Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Name, Vorname: Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr 007 / 008 Prüfungsfach: Mathematik (Vorschlag ) Prüfungstag: 6. November 007 Prüfungszeit: Zugelassene Hilfsmittel: llgemeine rbeitshinweise: Spezielle rbeitshinweise: (4 Zeitstunden) Klasse: Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Grafikdisplay, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede ufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Denken Sie an eine übersichtliche, saubere und fehlerfreie Wiedergabe, da es sonst Punktabzüge geben kann. Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der ufgabensatz Mathematik besteht aus 4 ufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen. Die Lösungswege müssen klar gegliedert, schrittweise und eindeutig nachvollziehbar sowie angemessen kommentiert sein. Nebenrechnungen sind durch Einrücken etc. kenntlich zu machen. Nur einwandfrei Leserliches wird bewertet. Die erste nicht durchgestrichene Lösung zählt. Besonders gute sprachliche und grafische Darstellungen, Übersichtlichkeit und Sauberkeit bei der Bearbeitung der Prüfungsaufgaben können zu einem Sonderpunkt führen (Bonusregelung). Grobe Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder Übersichtlichkeit und Sauberkeit können zu einem Punktabzug von einem Punkt führen (Malusregelung). Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter: Blätter Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte ufgabe Nr.: Soll Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: 00 Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Durch die / den Prüfungsvorsitzende/n festgelegt: Bonus / Maluspunkt: +/- Punkt Punkt Insgesamt: Punkte Punkte Punkte Name / Kurzzeichen:

2 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 007 ufgabe : Kurvendiskussion Bewertungseinheiten: 40 Gegeben ist eine Funktion f durch ihre Gleichung ( x) = x - x - 4 x + 4 f ; x... Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f... Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f im Unendlichen... Bestimmen Sie die Nullstellen von f..4. Untersuchen Sie den Graphen der Funktion auf Extrem - und Wendepunkte..5. Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [,5;,5] ( ).6. Bestimmen Sie die Gleichung der Normale im Punkt ( ) P f. ufgabe : Rekonstruktion von Funktionen Bewertungseinheiten: 5 Von dem Graphen einer ganzrationalen Funktion f sei bekannt: Der Graph ist bezüglich der y-chse symmetrisch und hat im Punkt W ( 0) einen Wendepunkt. Des Weiteren liegt der Punkt P(4 ) auf dem Graphen der Funktion. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion 4. Grades, deren Graph die Bedingungen erfüllt. Sollten Sie das zur Bestimmung der Koeffizienten des Funktionsterms benötigte Gleichungssystem nicht oder nicht vollständig aufgestellt haben, berechnen Sie mit dem folgenden alternativen Gleichungssystem a, b und c: I. 64a + 6b + 4c = 0 II. 5a + b + c = -6 III. 4a + b = 0

3 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 007 ufgabe : Extremwertaufgabe Bewertungseinheiten: 5 Eine m x 5m große Schaufensterscheibe ist zersprungen. Die Bruchlinie entspricht dem Graphen einer Funktion. Grades. Die Bruchlinie kann mit Hilfe der Funktionsgleichung angenähert werden. f x 4 = + relativ gut 9 ( ) x us dem unteren Bruchstück soll eine möglichst große rechteckige Fläche ausgeschnitten werden. Wie sind die Maße zu wählen und wie groß ist der Inhalt der maximalen Rechteckfläche? ufgabe 4: Integralrechnung Bewertungseinheiten: 0 Gegeben ist die Funktionenschar g a durch ga ( x) = x + ax; x IR, a IR und a > Die x-chse und der Graph der Funktion g (d.h. a = ) begrenzen im I. Quadranten eine Fläche vollständig. Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. 4.. Durch die Gerade, die durch den Punkt P ( 0) geht und parallel zur y-chse verläuft, wird diese Fläche in zwei Teile zerlegt. Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte der Teilflächen. 4.. Welchen Wert müsste a annehmen, damit die Fläche zwischen dem Graphen von g a und der x-chse im Intervall [0 ; ] den Inhalt 4 FE hat?

4 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 007 b hier nicht für die Hand der Schülerin / des Schülers

5 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 007 ufgabenteil Erwartete Leistung Soll Erbrachte Leistungen Begutachtung. Da weder f ( x) = f ( x) noch f ( x) = f( x) -bzw. gerade und ungerade Exponenten von x auftreten- ist der Funktionsgraph weder achsensymmetrisch zur y-chse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. ufgabe : Kurvendiskusion. Der höchste Exponent der Variablen im Funktionsterm von f ist. Da a im Summand ax positiv ist, ergibt sich: lim f( x) = und lim f( x) =. x x. Nullstellen: x = x x 8.4 f '' ( x) = x ( x) = 6x = = Extrempunkte: f ' x 4 MIN(,5 0,9) Wendepunkt: '''( x) = 6 MX ( 0,9 6,) f P (,6).5 Zeichnung: 6 W 5.6 Es handelt sich um den Wendepunkt,6 ( ) PW. f '() = = mtangente Damit m Normale = und y = x +,5. 6

6 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 007 ufgabenteil Erwartete Leistung Soll Erbrachte Leistungen Begutachtung ufgabe : Rekonstruktion von Funktionen. nsatz: f(x) = ax 4 + bx² + c 7 bleitungen: f (x) = 4ax³ + bx f (x) = ax² + b ufstellen der Bedingungen: I) f() = 0 II) f(4) = - III) f () = 0 Die Bedingungen I) bis III) führen auf das Gleichungssystem: 6a + 4b + c = 0 56a + 6b + c = - 48a + b = 0 Lösungen (auch beim Ersatzgleichungssystem): a = / 6 ; b = - / ; c = 5 Funktionsgleichung: f(x) = / 6 x 4 - / x² Hauptbedingung: = b h Nebenbedingungen: b = - x h = 4 / 9 x² + Zielfunktion: NB in HB eingesetzt und vereinfacht (x) = - 4 / 9 x³ + 4 / x² - x + bleitungen: (x) = - 4 / x² + 8 / x - (x) = - 8 / x + 8 / Notwendige Bedingung für Extremstellen (x) = 0 führt auf die Lösungen x =,5 und x = 0,5. Testen mit der. bleitung: (,5) < 0 rel. Maximum (0,5) > 0 rel. Minimum bmessungen: b max =,5 m ; h max = m max = m² ufgabe : Extremwertaufgabe 5

7 Vorschlag Fachhochschulreifeprüfung Mathematik 007 ufgabenteil Erwartete Leistung Soll Erbrachte Leistungen Begutachtung 4. Nullstellen: x, x = 4, x = 4 N = 0 N N = 6 FE ; I. Quadranten beachten ufgabe 4: Integralrechnung = f / ( x) dx 4, 85, =, 5 0 4, a 0 bzw. 0, 4 = f ( x) dx = 4; a =