Moderne Monte Carlo Methoden für Anwendungen in Finanz- und Versicherungsmathematik

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1 Fraunhofer ITWM Kaiserslautern, Moderne Monte Carlo Methoden für Anwendungen in Finanz- und Versicherungsmathematik Ralf Korn (TU Kaiserslautern & Fraunhofer ITWM)

2 0. Einige praktische Probleme {( π ) π' σ } ' dx t = X t r+ t b r dt+ t dw t dv( t) = r ( t) V( t) dt + dp ( t ) dl( t) d f = ( ) +σ de t E t r r dt dw t ( t; x) = t x µ α t e β Prognose/Simulation der Entwicklung o des Wertes eines Portfolios von Aktien o von Reserven/Verpflichtungen eines Lebensversicherungsportfolios o ökonomischer Faktoren (wie Zinsraten, Inflation, Wechselkursraten, Arbeitslosigkeit, ) o von Populationsgrößen (Mortalitätsmodelle, )

3 0. Einige praktische Probleme,8,6 (0,) (0, 0.5) (0,0.),4 VaR, 0,8 0,6 0,4 Berechnung 0, o der Profit-Loss-Verteilung einer Investmentstrategie o von Risiko- und Solvenzmaßen o Ruin-W-keiten

4 0. Einige praktische Probleme Bewertung von o komplizierten strukturierten Produkten (exotische Optionen, Index-Linked Produkte, ) o eingebetteten Optionen in Versicherungskontrakten

5 0. Einige praktische Probleme T Optimierung von o Investmentstrategien o Liquiditätsstrategien o Asset-Liability-Management / Dynamic Financial Analysis

6 0. Einige praktische Probleme T Optimierung von o Investmentstrategien o Liquiditätsstrategien o Asset-Liability-Management / Dynamic Financial Analysis Viele dieser Probleme sind nur über numerische Methoden lösbar

7 0. Einige praktische Probleme T Optimierung von o Investmentstrategien o Liquiditätsstrategien o Asset-Liability-Management / Dynamic Financial Analysis Viele dieser Probleme sind nur über numerische Methoden lösbar Einfachste (?) Methode: Monte Carlo Simulation

8 . Die Monte Carlo Methode zur Optionsbewertung Ziel: Berechne den Preis ( rt p : ) B EQ e B = einer Option mit Payoff B

9 . Die Monte Carlo Methode zur Optionsbewertung Ziel: Berechne den Preis ( rt p : ) B EQ e B Monte Carlo Methode Approximiere ( rt p : ) B EQ e B wobei die = durch i B unabhängige Kopien von B sind. = einer Option mit Payoff B rt ˆ : ( i p ) B = e B i=

10 . Die Monte Carlo Methode zur Optionsbewertung Ziel: Berechne den Preis ( rt p : ) B EQ e B Monte Carlo Methode Approximiere ( rt p : ) B EQ e B wobei die = durch ( i B ) unabhängige Kopien von B sind. = einer Option mit Payoff B rt ˆ : ( i p ) B = e B Hauptproblem Langsame Konvergenz, denn es gilt () ( ) ( ) rt Var pb pˆ B = Var pˆ B = e Var ( B) = : O ( / ), d.h. eine weitere Stelle (mittlerer) Genauigkeit benötigt 00 Simulationen! i=

11 . Die Monte Carlo Methode zur Optionsbewertung Ziel: Berechne den Preis ( rt p : ) B EQ e B Monte Carlo Methode Approximiere ( rt p : ) B EQ e B wobei die = durch ( i B ) unabhängige Kopien von B sind. = einer Option mit Payoff B rt ˆ : ( i p ) B = e B Hauptproblem Langsame Konvergenz, denn es gilt () ( ) ( ) rt Var pb pˆ B = Var pˆ B = e Var ( B) = : O ( / ), d.h. eine weitere Stelle (mittlerer) Genauigkeit benötigt 00 Simulationen! Ausweg: Varianzreduktionsmethoden (d.h. Möglichkeiten, die (unbekannte!) Varianz des Monte Carlo Schätzers durch clevere Simulation (?) zu reduzieren) i=

12 Varianzreduktion durch Kontrollvariaten

13 Varianzreduktion durch Kontrollvariaten Hauptidee: Finde eine Zufallsvariable Y mit bekanntem (!) E(Y), die B ähnelt and verwende E B = E B Y + Y = E B Y + E Y ( B Y ) + E ( Y ) () i i i =

14 Varianzreduktion durch Kontrollvariaten Hauptidee: Finde eine Zufallsvariable Y mit bekanntem (!) E(Y), die B ähnelt and verwende E B = E B Y + Y = E B Y + E Y ( B Y ) + E ( Y ) () i i i = Populäre Anwendung: Approximiere eine Basketoption durch ein geometr. Mittel (Kemna, Vorst (990)): ( ( + ) ) E S T S T K + (3) ( ( ( ) ) ) + i i ( i ) ( i ) S T + S T K S T S ( T ) K i= E ( S ) T S T K + + Beachte, dass eine geschlossene Preisformel für geometrische Optionen existiert. +

15 Beispiel: Basket auf vier Aktien, T=5, K=00= S i (0), r =0, gleiche Volatilität von 0., Korrelationen von 0.5

16 Gewünschte MC-Anwendung: Simulation, wenn der Aktienpreis keine explizite Darstellung besitzt (wie bei Heston, CEV, Zinsmodellen, )

17 Gewünschte MC-Anwendung: Simulation, wenn der Aktienpreis keine explizite Darstellung besitzt (wie bei Heston, CEV, Zinsmodellen, ) (4) (, ) (, ) ds t = µ t S t dt + σ t S t dw t kann approximiert werden via Euler-Diskretisierung (5) (, ) (, )( ) S t + = S t + µ t S t + σ t S t W t + W t

18 Gewünschte MC-Anwendung: Simulation, wenn der Aktienpreis keine explizite Darstellung besitzt (wie bei Heston, CEV, Zinsmodellen, ) (4) (, ) (, ) ds t = µ t S t dt + σ t S t dw t kann approximiert werden via Euler-Diskretisierung (5) (, ) (, )( ) S t + = S t + µ t S t + σ t S t W t + W t Monte Carlo Optionsbewertung (for B = f(s(t) ) Wähle eine, um B durch B : f S ( T ) Wähle ein, um p E ( B) B = durch = zu approximieren pˆ B = ( i) B zu approximieren i=

19 Gewünschte MC-Anwendung: Simulation, wenn der Aktienpreis keine explizite Darstellung besitzt (wie bei Heston, CEV, Zinsmodellen, ) (4) (, ) (, ) ds t = µ t S t dt + σ t S t dw t kann approximiert werden via Euler-Diskretisierung (5) (, ) (, )( ) S t + = S t + µ t S t + σ t S t W t + W t Monte Carlo Optionsbewertung (for B = f(s(t) ) Wähle eine, um B durch B : f S ( T ) Wähle ein, um p E ( B) B = durch = zu approximieren pˆ B = ( i) B zu approximieren i= Wahl von,? Aufwand? Fehler?

20 Fehlermaß: Mittlerer quadratischer Fehler (6) MSE(, ) E E p p ( ˆ ) B B = = E ( p ) B E pb + ( ) B E E p p ( ˆ ) B (quadr.) BIAS MC-Varianz

21 Fehlermaß: Mittlerer quadratischer Fehler (6) MSE(, ) E E p p ( ˆ ) B B = = E ( p ) B E pb + ( ) B E E p p ( ˆ ) B (quadr.) BIAS MC-Varianz Wähle, so, dass beide Fehlerterme von gleicher Größnordnung sind!

22 Fehlermaß: Mittlerer quadratischer Fehler (6) MSE(, ) E E p p ( ˆ ) B B = = E ( p ) B E pb + ( ) B E E p p ( ˆ ) B (quadr.) BIAS MC-Varianz Wähle, so, dass beide Fehlerterme von gleicher Größnordnung sind! Bei gegebenem MSE von ε : = ε, = ε

23 Fehlermaß: Mittlerer quadratischer Fehler (6) MSE(, ) E E p p ( ˆ ) B B = = E ( p ) B E pb + ( ) B E E p p ( ˆ ) B (quadr.) BIAS MC-Varianz Wähle, so, dass beide Fehlerterme von gleicher Größnordnung sind! Bei gegebenem MSE von Gesamtaufwand von ε : 3 ε (riesig!!!) = ε, = ε

24 . Die statistische Romberg-Methode

25 . Die statistische Romberg-Methode Kontrollvariaten-Idee: Approximiere mit einer feinen Diskretisierung erzielte Preise durch solche mit einer gröberen Diskretisierung erzielte E B ( ( i) ( i) ) ( j) = E B B ' + E B ' B B ' B ' + M (7) M i= j=

26 . Die statistische Romberg-Methode Kontrollvariaten-Idee: Approximiere mit einer feinen Diskretisierung erzielte Preise durch solche mit einer gröberen Diskretisierung erzielte E B ( ( i) ( i) ) ( j) = E B B ' + E B ' B B ' B ' + M (7) Theorem (Kebaier (005)) M i= j=.5 Ein vorgegebener MSE von ε kann mit den Wahlen von = ε, = ε, ' = ε, M = ε mit einem Aufwand von O ( ε.5 ) gemäß (7) erzielt werden.

27 . Die statistische Romberg-Methode Kontrollvariaten-Idee: Approximiere mit einer feinen Diskretisierung erzielte Preise durch solche mit einer gröberen Diskretisierung erzielte E B ( ( i) ( i) ) ( j) = E B B ' + E B ' B B ' B ' + M (7) Theorem (Kebaier (005)) M i= j=.5 Ein vorgegebener MSE von ε kann mit den Wahlen von = ε, = ε, ' = ε, M = ε mit einem Aufwand von O ( ε.5 ) gemäß (7) erzielt werden. Beachte: Der Satz benötigt noch einige technische Voraussetzungen.

28 . Die statistische Romberg-Methode Kontrollvariaten-Idee: Approximiere mit einer feinen Diskretisierung erzielte Preise durch solche mit einer gröberen Diskretisierung erzielte E B ( ( i) ( i) ) ( j) = E B B ' + E B ' B B ' B ' + M (7) Theorem (Kebaier (005)) M i= j=.5 Ein vorgegebener MSE von ε kann mit den Wahlen von = ε, = ε, ' = ε, M = ε mit einem Aufwand von O ( ε.5 ) gemäß (7) erzielt werden. Beachte: Der Satz benötigt noch einige technische Voraussetzungen. Die Methode erhöht die Geschwindigkeit, nicht die Genauigkeit!

29 . Die statistische Romberg-Methode Kontrollvariaten-Idee: Approximiere mit einer feinen Diskretisierung erzielte Preise durch solche mit einer gröberen Diskretisierung erzielte E B ( ( i) ( i) ) ( j) = E B B ' + E B ' B B ' B ' + M (7) Theorem (Kebaier (005)) M i= j=.5 Ein vorgegebener MSE von ε kann mit den Wahlen von = ε, = ε, ' = ε, M = ε mit einem Aufwand von O ( ε.5 ) gemäß (7) erzielt werden. Beachte: Der Satz benötigt noch einige technische Voraussetzungen. Die Methode erhöht die Geschwindigkeit, nicht die Genauigkeit! 0. 5 Die Einsparung von ε im Aufwand ist typischerweise mehr als ein Faktor 0.

30 Algorithmus Statistische Romberg-Methode Es sei. Setze ε = / n (zur Vorgabe des MSE) mit m n m = n, = n, = n.. Simuliere n² Pfade des S-Prozesses mit Schrittweite = / m und berechne n n ( j) B / m. j= 3. Simuliere n.5 Pfade des S-Prozesses mit Schrittweite = / n und mit Schrittweite = / m. Berechne n. 5 n. 5 + n j= + n n = k ( ( j) ( j) ) B / n B / m, wobei für die Simulation bei beiden Schrittweiten jeweils derselbe Pfad der Brownschen Bewegung verwendet wird. 4. Bestimme den statistischen Romberg-Schätzer ˆB / n= n. 5 n. 5 + n j= + n ( ( j) ( j) ) B / n B / m n n j= ( j) B / m

31 Anwendungsbeispiel: ( ( )) Z t = cos θ + W t,sin θ + W t ist eindeutige Lösung des Systems = ( 0) = ( θ) dx t X t dt Y t dw t, X cos = + ( 0) = ( θ) dy t Y t dt X t dw t, Y sin Ziel: Berechne ( ) ( 0 ) E Z =

32 Anwendungsbeispiel: ( ( )) Z t = cos θ + W t,sin θ + W t ist eindeutige Lösung des Systems = ( 0) = ( θ) dx t X t dt Y t dw t, X cos = + ( 0) = ( θ) dy t Y t dt X t dw t, Y sin Ziel: Berechne ( ) ( 0 ) E Z = Methode ε = 4 rel. CPU-Zeit ε = 4 5 rel. CPU-Zeit Einfache MC 0.04 () *0-4 () Stat. Romberg (0.53) *0-3 (0.7).

33 Anwendungsbeispiel: ( ( )) Z t = cos θ + W t,sin θ + W t ist eindeutige Lösung des Systems = ( 0) = ( θ) dx t X t dt Y t dw t, X cos = + ( 0) = ( θ) dy t Y t dt X t dw t, Y sin Ziel: Berechne ( ) ( 0 ) E Z = Methode ε = 4 rel. CPU-Zeit ε = 4 5 rel. CPU-Zeit Einfache MC 0.04 () *0-4 () Stat. Romberg (0.53) *0-3 (0.7) Vorteile der stat. Romberg-Methode: Leicht zu implementierende Variation, die Geschwindigkeit bringt.

34 3. Die Multi-Level-Monte Carlo-Methode Hauptidee: Iteriere die statistische Romberg-Methode, aber mit einfacherer Schrittweitenwahl! (Idee geht auf Heinrich (00) zurück, eingeführt in FM von Giles (006))

35 3. Die Multi-Level-Monte Carlo-Methode Hauptidee: Iteriere die statistische Romberg-Methode, aber mit einfacherer Schrittweitenwahl! (Idee geht auf Heinrich (00) zurück, eingeführt in FM von Giles (006)) Für eine Folge von Schrittweiten über die Beziehung: i = berechne i M T ( ) E g S T approximativ (8) ( ( )) L L ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 i i E g S T = E g S T + E g S T g S T i= 0 L ( ) i 0 i j j j 0 i j= i= j= ( ( )) i g S T + g S T g S T, wobei L durch den gewünschten MSE festgelegt wird.

36 3. Die Multi-Level-Monte Carlo-Methode Hauptidee: Iteriere die statistische Romberg-Methode, aber mit einfacherer Schrittweitenwahl! (Idee geht auf Heinrich (00) zurück, eingeführt in FM von Giles (006)) Für eine Folge von Schrittweiten über die Beziehung: i = berechne i M T ( ) E g S T approximativ (8) ( ( )) L L ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 i i E g S T = E g S T + E g S T g S T i= 0 L ( ) i 0 i j j j 0 i j= i= j= ( ( )) i g S T + g S T g S T, wobei L durch den gewünschten MSE festgelegt wird. Problem: Wahl der für jede Feinheit i zu simulierenden Pfade, um einen möglichst niedrigen Aufwand zu erzielen, aber die gewünschte Genauigkeit zu garantieren!

37 Prinzip der MLMC-Methode (M =, L=7)

38 Theorem (Giles (008)) Ein vorgegebener MSE von den Wahlen von (9) ( ε ) ln L = ln( M ) mit einem Aufwand von ( O ln ) ε kann bei gegebener Schrittweitenfolge, L i = ε σi i σ i= 0 i / i (0) ε ε gemäß (8) erzielt werden, wobei ( ( )) i i σ i = Var g S T g S T. i i = M T mit

39 Theorem (Giles (008)) Ein vorgegebener MSE von den Wahlen von (9) ( ε ) ln L = ln( M ) mit einem Aufwand von ( O ln ) ε kann bei gegebener Schrittweitenfolge, L i = ε σi i σ i= 0 i / i (0) ε ε gemäß (8) erzielt werden, wobei ( ( )) i i σ i = Var g S T g S T. i i = M T mit Probleme der Umsetzung: σ i sind unbekannt und müssen in einem Vorlauf geschätzt werden Wahl von M (praktisch M = oder 4)? Ist der Algorithmus wirklich schneller?

40 Algorithmus Multi-Level-Monte-Carlo- Methode Es sei ε, M gegeben, L gemäß (9) gewählt.. Varianzschätzung: Simuliere für jede Feinheit i jeweils Pfade, um daraus die Varianzen σ zu schätzen. i. Bestimme die optimalen Pfadanzahlen i gemäß (9), wo die aus. ersetzt werden σ i durch die Schätzer 3. Simuliere für jede Feinheit i jeweils unabhängig i Pfade der zugehörigen Brownschen Bewegung und berechne die Schätzer gemäß (8). 4. Erhalte den MLMC-Schätzer als 0 L ( ) i 0 i j + j j 0 i j= i= j= ( ( )) i g S T g S T g S T

41 Bemerkung: Giles (008) gibt eine Variante des MLMC-Algorithmus an, bei der L, die Anzahl der Ebenen verschiedener Feinheiten, sich aus einem Konvergenzkriterium a posteriori ergibt. Dies ist oft schneller.

42 Bemerkung: Giles (008) gibt eine Variante des MLMC-Algorithmus an, bei der L, die Anzahl der Ebenen verschiedener Feinheiten, sich aus einem Konvergenzkriterium a posteriori ergibt. Dies ist oft schneller. Beispiel: ds t = S t 0. 05dt + 0. dw t, S 0 = E 0 + S t dt =? Methode ε = 0. 0 rel. CPU-Zeit L ε = rel. CPU-Zeit L Einfache MC () () MLMC (.89) (0.05) Resultate für M=4, exakter Wert

43 4. Optionspreissensitivitäten und Malliavin Calculus Ziel: Bestimmte Optionspreissensitivitäten ( Greeks ) wie z.b. pcall () Call ( 0, S ( 0) ) ( = = ) S 0 S 0 E S T K +

44 4. Optionspreissensitivitäten und Malliavin Calculus Ziel: Bestimmte Optionspreissensitivitäten ( Greeks ) wie z.b. pcall () Call ( 0, S ( 0) ) ( = = ) S 0 S 0 E S T K + Klassische Methode: () ( 0, ( 0) ) call 0, ( 0) pcall S + h p S h Call zentrale finite Differenz h

45 4. Optionspreissensitivitäten und Malliavin Calculus Ziel: Bestimmte Optionspreissensitivitäten ( Greeks ) wie z.b. pcall () Call ( 0, S ( 0) ) ( = = ) S 0 S 0 E S T K + Klassische Methode: () ( 0, ( 0) ) call 0, ( 0) pcall S + h p S h Call zentrale finite Differenz h Problem: Kombination von Diskretisierungsfehler und (möglichem) Monte Carlo Fehler!

46 4. Optionspreissensitivitäten und Malliavin Calculus Ziel: Bestimmte Optionspreissensitivitäten ( Greeks ) wie z.b. pcall () Call ( 0, S ( 0) ) ( = = ) S 0 S 0 E S T K + Klassische Methode: () ( 0, ( 0) ) call 0, ( 0) pcall S + h p S h Call zentrale finite Differenz h Problem: Kombination von Diskretisierungsfehler und (möglichem) Monte Carlo Fehler! Eine Alternative: Malliavin Calculus (Fournie e.a. (999)) rt + W T (3) Call = e E ( S ( T ) K ) σt Vorteil: Keine Diskretisierung notwendig! Verallgemeinerung auf andere Greeks und andere Optionen möglich! Spezielles Fine tuning => umerische Beispiele

47 Literatur Fournié E., Lasry J.-M., Lebuchoux J., Lions P.-L., Touzi. (999) Applications of Malliavin calculus to Monte Carlo methods in finance, Finance and Stochastics 3(4), Giles M. (008) Multi-level Monte Carlo path simulation, Operations Research 56(3), Kebaier A. (005) Statistical Romberg extrapolation: a new variance reduction method and applications to option pricing, Annals of Applied Probability 5(4), Korn R., Korn E., Kroisandt G. (00) Monte Carlo Methods and Models in Finance and Insurance, Chapman&Hall-Finance Series.

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