Simulation von Kreditportfolios

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1 Implementierung und Laufzeitoptimierung von Monte-Carlo-Simulationen von Kreditportfolios Einzel-Thesis Zürcher Fachhochschule HWZ Hochschule für Wirtschaft Zürich eingereicht bei: Dr. Mario Clerici vorgelegt von: Studiengruppe: Adresse: Bruno Moser BWI-A09 Bruno Moser, Langackerweg 10, 8155 Niederhasli Zürich, 24. Januar 2013

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3 Abstract Abstract Für Kreditinstitute ist es von grosser Bedeutung, die Risiken zu kennen, welche in Verbindung mit ihren Kreditportfolios bestehen, und potenzielle Portfolioverluste möglichst genau voraussagen zu können. Einerseits helfen diese Schätzungen bei der Berechnung des Kreditzinssatzes und der Bestimmung der benötigten Eigenmittel für die Absicherung von grossen Verlusten in Krisenjahren, andererseits gilt es jedoch mit diesen Berechnungsverfahren auch, verschiedene Gesetze und Auflagen von Aufsichtsbehörden zu erfüllen. Die wichtigsten Vorgaben in diesem Zusammenhang sind die Regelungen von Basel II. Das benötigte Mindestkapital für die Absicherung von Portfolios kann mit verschiedenen Techniken bestimmt werden. Da es sich stets um Schätzungen handelt, liegen den Berechnungsmethoden Modelle zugrunde, welche auf der Basis von internen, historischen sowie externen Daten und Parametern versuchen, die mögliche künftige Entwicklung der Portfolios und damit die potenziellen Portfolioverluste vorauszusagen. Neben diversen kommerziellen Applikationen, welche mit solchen Modellen arbeiten, gibt es die weit verbreitete Methode der Monte-Carlo-Simulation. Hier werden mit einem Modell möglichst viele Szenarien mit Zufallszahlen durchgespielt. Aufgrund der verschiedenen realisierten Verluste können so die Verteilung der Portfolioverluste sowie Kennzahlen wie z.b. der Value at Risk geschätzt werden. In dieser Arbeit wird eine solche Monte-Carlo-Simulation aufgrund eines auf dem Ein-Faktor-Modell von Merton basierenden Ausfallmodell und einem Recoverymodell mit stochastischen Verlustquoten implementiert. Die Programmierung wird in Java gemacht. Mittels drei Beispielportfolios wird das resultierende Programm sowohl auf einem Desktop-PC mit Windows als auch auf einem Server-System mit Linux getestet. Nach ersten Testläufen und Verifikation der Resultate wird das Programm in drei Schritten auf bessere Laufzeit hin optimiert. In einem ersten Schritt werden die Abläufe und die Datenhaltung so abgeändert, dass möglichst viele Zwischenresultate vorberechnet werden. Dann wird das Ausfallmodell als Bernoulli-Mischmodell codiert, was die Ermittlung der Ausfälle effizienter macht. Im letzten Schritt wird das Programm so umgeschrieben, dass die eigentliche Simulationsschlaufe parallelisiert abläuft. Es zeigt sich, dass Java absolut geeignet ist für diese Implementation und dass die Portierbarkeit zu keinem Zeitpunkt Schwierigkeiten bereitet. Durch die diversen Optimierungsmassnahmen kann die Laufzeit des Programms um Faktoren zwischen 80 und 320 verbessert werden. Die berechneten Kennzahlen sind von einem Simulationslauf zum nächsten sehr stabil, weisen dennoch aufgrund der auf Zufallszahlen basierten Modelle gewisse Schwankungen auf. Um diese statistisch auszuwerten, wird ein Zusatzprogramm implementiert, welches aufgrund der Realisierungen der Monte-Carlo-Simulation mit der Resampling-Methode eine Schätzerstatistik der Kennzahlen ermittelt. Das implementierte Simulationsprogramm ist in der Lage, wichtige Kennzahlen der Verlustverteilung eines Kreditportfolios zu schätzen. Diese Kennzahlen können für die Ermittlung des Mindestkapitals nach dem IRB-Ansatz von Basel II herangezogen werden. Es ist eine zentrale Aussage der Arbeit, dass der Umgang mit Modellen fundierte Kenntnisse dessen, was berechnet wird, voraussetzt. So führen bereits minimale Abweichungen in der Parametrisierung zu grossen Veränderungen im Ergebnis. Die Arbeit versteht sich deshalb auch als Plädoyer gegen eine leichtfertige und technologiegläubige Anwendung von Modellen. I

4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Abstract... I Inhaltsverzeichnis... II Ehrenwörtliche Erklärung...IV Vorwort...V Glossar...VI 1 Einleitung Theoretischer Teil Kreditrisiko Das Risiko von Kreditvergaben Absicherung von Kreditportfolios Vorgaben durch Richtlinien und Gesetze Der Basler Ausschuss und dessen Beschlüsse Schweizerische Rechtslage Begriffe und Kennzahlen Mathematische Beschreibung von Verteilungen Begriffe aus der Finanzbranche Zusammenfassung Modelle und deren Anwendung Kategorisierung von Ausfallmodellen Monte-Carlo-Simulation Marktübliche Applikationen Eigene Implementation Modellierung Modellierung der Ausfälle Einfaches Schwellenwertmodell Erweiterung zum Ein-Faktor-Modell Überführung ins Bernoulli-Mischmodell Modellierung der einzelnen Verluste Basismodell Stochastische Verlustquoten Zusammenfassung Gesamtmodell Ausfallmodell Höhe der Verluste Implementierung Anforderungsanalyse Funktionale Anforderungen Nicht-funktionale Anforderungen II

5 Inhaltsverzeichnis 4.2 Design Input und Output Ablauf Wahl der Programmierumgebung Programmiersprache Bibliotheken Beispielportfolios Einfaches homogenes Portfolio (P1) Homogenes Portfolio mit Korrelation (P2) Inhomogenes Portfolio (P3) Rechner Programmierung Variablennamen und -typen Umsetzung des Ablaufs in Code Testlauf und Verifikation Einfaches homogenes Portfolio (P1) Homogenes Portfolio mit Korrelation (P2) Inhomogenes Portfolio (P3) Optimierung Vermeidung von unnötigen Berechnungen Überführung ins Bernoulli-Mischmodell Parallelisierung Zusammenfassung Schätzerstatistik Vorgehen Resultate Zusammenfassung und Fazit Implementation und Optimierung Realisierungen und Kennzahlen Modelle und Parameterschätzung Anhang Quellenverzeichnis Literatur Internet Übrige Verzeichnisse Abkürzungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Abbildungsverzeichnis Programmcode Simulation Resampling III

6 Ehrenwörtliche Erklärung Ehrenwörtliche Erklärung Ich bestätige hiermit, dass die vorliegende Diplomarbeit selbständig durch den Verfasser und ohne Benützung anderer als der angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt wurde, die benutzten Quellen wörtlich oder inhaltlich als solche kenntlich gemacht wurden; und diese Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungskommission vorgelegt wurde. Zürich, 24. Januar 2013 Bruno Moser IV

7 Vorwort Vorwort Weder das für Kreditinstitute relevante Thema der Kreditrisiken und der Voraussage von Verlusten von Kreditportfolios noch die mathematischen Grundlagen, welche der Modellierung und Implementierung einer Monte-Carlo-Simulation zugrunde liegen haben viel mit meinem Beruf als Informatiker oder meinem Anstellungsverhältnis bei der Migros zu tun. Es sind mehrere Gründe, die dazu geführt haben, dass ich als Bachelor-Thesis eine Programmierarbeit in diesem Bereich gewählt habe. Der wohl wichtigste Beweggrund, mich im Rahmen dieser Diplomarbeit mit stochastischer Simulation zu beschäftigen, waren die Modul-Kurse von Herrn Dr. Clerici im vierten und fünften Semester meines Studiums an der HWZ. Die beiden Fächer Stochastik und Simulation gehörten für mich, zusammen mit den verwandten Fächern Datenanalyse und Database-Marketing, klar zu den interessantesten Fächern des ganzen Studiums. Eine Programmierarbeit im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung verfassen zu können, bei der neben der eigentlichen Thesis auch noch etwas Handfestes geschaffen wird wenn man denn bei einem Programm von etwas Handfestem sprechen kann war ein weiterer Motivationsfaktor. Auch wenn ich mich von Berufs wegen täglich mit Informationstechnologie beschäftige, so kommt das Programmieren da doch etwas zu kurz und ist daher eher als ein Hobby von mir zu sehen. Schliesslich war es für mich auch wichtig, dass die Arbeit sich mit einem aktuellen Thema befasst, und dass ein Bezug zu Fragestellungen besteht, welche für die Volkswirtschaft und die Geschäftswelt relevant sind. Auch wenn für mich die Grundlagenforschung eigentlich eher den grösseren Reiz bietet als die angewandte Forschung, so scheint es mir doch wichtig, dass sich eine Diplomarbeit an einer Fachhochschule mit einem praxisrelevanten Thema auseinandersetzt. Die Banken und die Diskussion um Messung und Absicherung von Kreditrisiken sind in Anbetracht der derzeitigen Finanzkrise hochaktuell. Ich möchte mich an dieser Stelle ganz herzlich bei meinem Referenten, Herrn Dr. Mario Clerici, für die vorbildliche Betreuung und all seine investierte Zeit bedanken. Nicht nur zeichnet er verantwortlich für meine Themenwahl, er war es auch, dessen Engagement und Interesse mich in meinem Arbeitsprozess antrieben und wesentlich zur Sinngebung beitrugen. Besonderer Dank gilt auch meiner Freundin Kathrin Würth für ihr Lektorat ebenso wie für ihre Versuche, mich in Krisenmomenten zu motivieren. Zu guter Letzt bedanke ich mich bei meinen Freunden, allen voran bei Michael Leu und Tobias Bartholdi, für ihre moralische Unterstützung und für das Verständnis, dass ich in letzter Zeit wenig Zeit für sie hatte. V

8 Glossar Glossar Array Assembler Assetkorrelation Ausfall Bladeserver Bonität Credit Risk Default Erlösquote Ausfallwahrscheinlichkeit Funktionsbibliothek G10 Histogramm Hyperthreading Konstruktor Kreditinstitut Eine Datenstruktur, in der Werte ein- oder mehrdimensional abgelegt und über Indizes abgerufen werden. Eine plattformabhängige Programmiersprache, bei der die zur Verfügung stehenden Operationen und Datenstrukturen abhängig sind von der jeweiligen Prozessorarchitektur. Abhängigkeit zwischen zwei Vermögenswerten. Eine höhere Assetkorrelation führt mit grösserer Wahrscheinlichkeit zu gemeinsamen Ausfällen zweier Vermögenswerte. Ereignis, bei dem davon ausgegangen wird, dass ein Schuldner seinen vertraglich abgemachten Zahlungsverpflichtungen (Zinszahlung, rechtzeitige Rückzahlung des Kredits) nicht mehr nachkommt. Wahrscheinlichkeit, mit der ein Schuldner in einer festgelegten Periode Ausfällt, also seinen vertraglich abgemachten Zahlungsverpflichtungen (Zinszahlung, rechtzeitige Rückzahlung des Kredits) nicht mehr nachkommt. Eine modulare, kompakte Bauform von Server-Systemen. Beurteilung eines Schuldners hinsichtlich seiner Kreditwürdigkeit Siehe unter Kreditrisiko. Siehe unter Ausfall. Prozentualer Anteil eines Kredits, der beim Ausfall des Schuldners nicht als Verlust verbucht werden muss. Das Gegenteil der Verlustquote. Eine Sammlung von Funktionen für Aufgaben in einem bestimmten Themenbereich. Abkürzung für Group of Ten. Forum der zehn wichtigsten Industrienationen, welches 1962 gegründet wurde. Seit 1983 ist die Schweiz als elftes Mitglied dabei. Ein Diagramm zur grafischen Darstellung von Häufigkeitsverteilungen. Hardwareseitig implementierte Multithreading-Technologie auf Intel-Prozessoren, bei der gegenüber dem Betriebssystem pro physischem CPU-Core zwei logische Prozessoren präsentiert werden. Prozedur, welche beim Erzeugen eines Objekts aufgerufen wird und dieses initialisiert. En Unternehmen, welches gewerbsmässig Kreditgeschäfte betreibt. Beispiele: Bank, Sparkasse. VI

9 Glossar Kreditrisiko Kreditscoring Das Risiko, dass beim Ausfall eines Schuldners dem Kreditinstitut Verluste entstehen. Statistische Methode, um die Kreditwürdigkeit von potenziellen Kreditnehmern einzuschätzen. Loss given default Siehe unter Verlustquote. Market Risk Marktrisiko Modell Overhead Portfolio Probability of Default Rating Ratingagentur Routine Taktrate Verbriefung Verlustquote Siehe unter Marktrisiko. Das Risiko, dass aufgrund von Änderungen von Marktpreisen (z.b. Aktienkursen, Zinssätzen oder Wechselkursen) einem Kreditinstitut Verluste entstehen. Ein Abbild der Realität, bei dem gewisse Annahmen getroffen werden, um die Komplexität zu reduzieren. Verbrauchte Ressourcen wie Prozessorzeit, Arbeitsspeicher oder Bandbreite, welche nicht Teil der Nutzlast resp. der Nutzdaten sind. Bündelung mehrerer Vermögenswerte. Siehe unter Ausfallwahrscheinlichkeit. Einschätzung der Bonität eines Schuldners oder potenziellen Kreditnehmers. Privates Unternehmen, welches die Kreditwürdigkeit von Firmen und Staaten analysiert und bewertet. Ein Abschnitt eines Computerprogramms, welches für eine Teilaufgabe des gesamten Programms zuständig ist. Geschwindigkeit des Systemtakts (system clock) eines Prozessors. Handelbares Wertpapier, welches aus Verbindlichkeiten besteht, welche sonst nicht handelbar wären. Prozentualer Anteil eines Kredits, der beim Ausfall des Schuldners als Verlust verbucht werden muss. VII

10 Einleitung 1 Einleitung Für Kreditinstitute ist es wichtig, abschätzen zu können, mit welchem Verlust sie bei ihren Kreditportfolios aufgrund von Ausfällen von Schuldnern rechnen müssen. Einerseits basieren die Zinssätze der Kredite unter anderem auf solchen Risikoüberlegungen und -berechnungen, andererseits gibt es zahlreiche Vorgaben durch Richtlinien und Gesetze, welche Mindestanforderungen an Eigenkapital und Reserven stellen, um gewisse Höhen von Portfolioverlusten abdecken zu können. Eine verbreitete Methode, um solche potenzielle Verluste und die damit verbundenen Eigenkapitalanforderungen abschätzen zu können, ist die Technik der Simulation. Ziel dieser Arbeit ist die effiziente Implementation einer Monte-Carlo-Simulation für die Schätzung von Kennzahlen, welche Auskunft geben über die zu erwartenden Verluste eines Kreditportfolios. Die Berechnungen sollen dabei aufgrund von zu erarbeitenden Modellen sowie geschätzten Input-Parametern erfolgen. Auf Basis der Kennzahlen, welche auf diese Weise berechnet wurden, können Kreditinstitute die Höhe der zu tätigenden Rückstellungen ermitteln, welche für die Absicherung eines Portfolios mit genügend Eigenkapital erforderlich ist. In Kapitel 0 werden die theoretischen Grundlagen behandelt. Es wird aufgezeigt, welchen Risiken Kreditinstitute bei der Vergabe von Krediten ausgesetzt sind und wie wichtig die Absicherung von etwaigen Kreditportfolioverlusten für das Kreditinstitut und letztlich für die gesamte Volkswirtschaft ist. Zudem werden die regulatorischen und gesetzlichen Vorgaben aufgezeigt, welche im Zusammenhang stehen mit der Absicherung von Kreditportfolioverlusten. Als Grundlage für die Modellierung werden hier ebenfalls die wichtigsten Begriffe aus der Statistik und der Finanzwelt erläutert sowie weit verbreitete Ausfallmodelle und Anwendungen vorgestellt. In Kapitel 3 werden die Modelle erarbeitet, welche als Basis für die Monte-Carlo-Simulation dienen. Zuerst werden die Ausfallereignisse modelliert und dann die Höhe der einzelnen Ausfälle. In Kombination kann mit Hilfe dieser beiden Modelle in einer Monte-Carlo-Simulation eine Verlustverteilung für ein Kreditportfolio geschätzt werden. Die eigentliche Implementierung des Simulationsprogramms erfolgt in Kapitel 4. Nach einer Anforderungsanalyse wird das Design des Programms festgelegt, was vor allem die Schnittstellen und den Ablauf der Simulation beinhaltet. Für die Überprüfung der vom Simulationsprogramm berechneten Kennzahlen auf Plausibilität werden Beispielportfolios definiert und Rechnerhardware festgelegt, mit denen Testläufe durchgeführt werden sollen. Mit Hilfe der gemessenen Laufzeiten wird dann in mehreren Schritten das Programm auf verbesserte Performance und kürzere Laufzeiten optimiert. Um die Schwankungen der berechneten Kennzahlen zwischen verschiedenen Simulationsläufen zu bestimmen, wird am Schluss noch ein kleines Zusatzprogramm implementiert, welches eine Schätzerstatistik der Kennzahlen berechnet. Kapitel 5 fasst die Ergebnisse zusammen. Es wird sich zeigen, dass mit geeigneten Optimierungsmassnahmen erhebliche Performancegewinne erzielt werden konnten. Es werden auch die Grenzen der Optimierung im Bereich der Parallelverarbeitung aufgezeigt. Anhand der Resultate des Simulationsprogramms wird die Sensibilität des angewendeten Modells auf dessen Parametrisierung untersucht und die Aussagekraft der geschätzten Kennzahlen thematisiert. Seite 1

11 Theoretischer Teil 2 Theoretischer Teil In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen behandelt, welche für die Modellierung von Kreditausfällen und die Monte-Carlo-Simulation von Kreditportfolios relevant sind. In Abschnitt 2.1 wird das Risiko, welches bei der Vergabe von Krediten besteht, thematisiert und aufgezeigt, wie wichtig die Absicherung von Kreditportfolios mit genügend Eigenkapital ist. Abschnitt 2.2 zeigt die wichtigsten Richtlinien und Gesetze auf, welche Vorgaben für die Risikoabschätzung und Eigenkapitalunterlegung von Krediten vorschreiben. In Abschnitt 2.3 werden die gängigsten Begriffe und Kennzahlen aus mathematischer und finanztechnischer Sicht erläutert. Abschnitt 2.4 bietet einen Überblick über einige Modelle und deren Anwendungsmöglichkeiten im Bereich Kreditportfolios. 2.1 Kreditrisiko Das Risiko von Kreditvergaben Bei der Vergabe eines Kredits besteht immer ein gewisses Risiko, dass der Kreditnehmer seinen vertraglich abgemachten Verpflichtungen nicht nachkommen wird. Bleiben Zinszahlungen aus oder kann das Darlehen am Ende der Laufzeit nicht oder nicht vollständig zurückbezahlt werden, so entsteht dem Kreditinstitut dadurch ein finanzieller Schaden. Es ist somit im Interesse des Kreditinstituts, das Risiko im Vorneherein möglichst genau abschätzen zu können, um längerfristig profitabel zu sein und im Extremfall die eigene Insolvenz zu verhindern. Dieses Risiko abzuschätzen ist kein leichtes Unterfangen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Kreditnehmer ausfällt, ist von vielen Faktoren abhängig, so z.b.: Momentane Liquidität des Kreditnehmers Wirtschaftlichkeit und Rentabilität des Kreditnehmers Geplanter Einsatz des Kreditbetrags Andere Schulden und ausstehende Zahlungen Zahlungsmoral des Kreditnehmers Branchenzugehörigkeit und wirtschaftliche Verflechtung des Kreditnehmers Konjunkturlage und Wirtschaftsentwicklung Um die Wahrscheinlichkeit möglichst gut im Voraus abschätzen zu können, greifen Banken und andere Kreditinstitute üblicherweise in erster Linie auf die durch Ratingagenturen vergebenen Bonitätsstufen zurück. Zudem bedienen sie sich oft auch verschiedener Kreditscoringmodelle. Diese berechnen die Ausfallwahrscheinlichkeit aufgrund von historischen internen Daten sowie externen Quellen. Die Modelle untersuchen, wie Unternehmen bei früheren Kreditvergaben zum Zeitpunkt des Antrags dastanden und welche von ihnen schliesslich ihren Verpflichtungen nicht nachgekommen sind. Die grundlegende Annahme dabei ist, dass bei vergleichbaren Kreditnehmern mit ähnlichen Voraussetzungen bei künftigen Kreditvergaben mit hoher Wahrscheinlichkeit wieder vergleichbare Ergebnisse herauskommen. Seite 2

12 Theoretischer Teil Am Ende wird sich das Kreditinstitut dafür entscheiden, die Kredite bei zu hoher geschätzter Ausfallwahrscheinlichkeit zu verweigern. Bei den restlichen wird der Zinssatz auch in Abhängigkeit des Risikos festgelegt. So geschieht die Preisbestimmung des Kreditzins in der Regel aufgrund der Refinanzierungskosten (in Abhängigkeit des Zinssatzes, zu dem das Kreditinstitut das Geld beschaffen muss), den Betriebskosten (administrative Kosten), den Standard-Risikokosten (die im Schnitt erwarteten Verluste), den Eigenkapitalkosten (Kosten für die Absicherung des Portfolios gegen unerwartete Verluste) und einer Gewinnmarge Absicherung von Kreditportfolios Ein Kreditportfolio ist eine Sammlung von gewährten Krediten. Die Portfolios werden gemäss internen Regeln des Kreditinstituts gebildet, z.b. nach Typ des Kredits, Demographie des Schuldners, Jahr der Vergabe oder nach der Laufzeit. Das Kreditinstitut muss davon ausgehen, dass trotz aller Sorgfalt bei der Auswahl einige der Kreditnehmer ausfallen werden. Wie in Abschnitt aufgezeigt, kann für jeden Kredit im Kreditportfolio eine Ausfallwahrscheinlichkeit geschätzt werden. Zudem kann, aufgrund des Kreditbetrags, etwaiger vertraglich zugesicherten Zusatzkredite und der prognostizierten Wertentwicklung der dem Kreditbetrag gegenüberstehenden Sicherheiten eine potenzielle Schadenssumme geschätzt werden. Um den finanziellen Schaden der Ausfälle im Kreditportfolio abdecken zu können, müssen dem Kreditinstitut schliesslich genügend finanzielle Mittel in Form von Eigenkapitalreserven und Rückstellungen zur Verfügung stehen. Die 100%ige Sicherheit wäre nur dann gegeben, wenn eine Eigenkapitalunterlegung in der Gesamthöhe aller Kredite im Portfolio vorhanden ist. Das ist weder realistisch noch sinnvoll. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Schuldner sämtlichen finanziellen Verpflichtungen nicht mehr nachkommen können und der gesamte Kreditbetrag verloren ist, ist verschwindend klein. Man entscheidet sich daher dafür, ein bestimmtes Restrisiko in Kauf zu nehmen. Bei 95%iger Sicherheit heisst das zum Beispiel, dass die 5% der möglichen Szenarien mit dem höchsten für das Institut durch Kreditausfälle resultierenden Schaden durch Eigenkapital und Rückstellungen nicht mehr abgedeckt wären. Meist wird ein Restrisiko von 0.1% festgelegt, sodass 99.9% aller Fälle abgedeckt sind. Dieser Level ist u.a. auch beim IRB-Kreditrisiko-Ansatz der ersten Säule der Basel II-Vorschriften für die einjährige Betrachtung von Kreditportfolios vorgesehen. 2 So kann ein Kreditinstitut davon ausgehen, dass die Verluste in 1'000 Jahren ein Mal die getätigten Rückstellungen überschreiten werden. Diese bewusst in Kauf genommenen, nicht abgesicherten Fälle sind diejenigen mit einer sehr kleinen Wahrscheinlichkeit und einer sehr hohen Schadenssumme. Wie sieht jedoch die Verlustverteilung eines Kreditportfolios genau aus? Zu wissen, mit welchem Schaden im Schnitt gerechnet werden muss, ist für die Budgetierung und für die Berechnung der Zinssätze unerlässlich. Mit den Zinseinnahmen müssen mindestens diejenigen Verluste des Portfolios gedeckt sein, mit denen voraussichtlich gerechnet werden muss. Der Zins sollte zudem zum Aufbau des Eigenkapitals beitragen. Um rentabel zu sein, wird realistischerweise ein Gewinn angestrebt und miteinkalkuliert. Für die Absicherung des Portfolios mit genügend Eigenkapital und Rückstellungen muss bekannt sein, was der höchste anzunehmende Verlust bei einem bestimmten festgelegten Restrisiko ist. Zur Berechnung der benötigten Kennzahlen genauer gesagt, um deren Höhe abzuschätzen werden Modelle erstellt, mit denen man aufgrund von Beobachtungen aus der Vergangenheit versucht, 1 2 vgl. Wolke Thomas 2008, S vgl. Abschnitt , S. 5 Seite 3

13 Theoretischer Teil die Realität so gut wie möglich abzubilden. Die meisten Modelle beruhen dabei nicht auf einer geschlossenen Formel für die Berechnungen, sondern berücksichtigen den Einfluss des Zufalls auf die Abschätzung der Verluste. Ein solches Modell wird in Kapitel 3 aufgestellt. Das Modell liefert den zufälligen Verlust des Portfolios in einem Jahr. Um letztlich die Kennzahlen berechnen zu können, müssen mehrere solche Jahre mit jeweils anderen Zufallszahlen durchgespielt werden, um möglichst verschiedene wirtschaftliche Rahmenbedingungen zu berücksichtigen. Dabei werden die Kennzahlen umso aussagekräftiger, je mehr solche Szenarien berechnet werden. Ein weit verbreitetes Verfahren, um Modelle in dieser Art und Weise viele Male zu durchlaufen, ist die Monte-Carlo-Simulation. In Kapitel 4 wird eine solche Simulation implementiert, welche die Modelle aus Kapitel 3 zur Berechnung der einzelnen Jahresverluste des Portfolios benutzt. 2.2 Vorgaben durch Richtlinien und Gesetze Wie wir gesehen haben, ist das Abschätzen der Höhe der grössten anzunehmenden Verluste von Portfolios für Kreditinstitute aus ökonomischen Überlegungen sehr wichtig. Genügend hohe Rückstellungen zu bilden ist für das längerfristige Überleben eines Kreditinstituts eigentlich unerlässlich. Andererseits möchte das kreditvergebende Unternehmen jedoch auch möglichst effizient wirtschaften und letztlich seinen Gewinn maximieren. Aus dieser Perspektive sind unnötig hohe Rückstellungen nicht erwünscht. Da es sich um kleine Wahrscheinlichkeiten mit sehr hohen Schadenssummen (und somit hohen Eigenkapitalanforderungen) handelt, kann schon der Eindruck entstehen, dass diese Rückstellungen unnötig sind. Im operativen Betrieb und im normalen Geschäftsverlauf wird üblicherweise kein so hoher Verlust erzielt, wie er für den schlimmsten anzunehmenden Fall prognostiziert wird. Aus diesem Grund ist es oftmals verlockend, die Reserven zu verkleinern und dieses Kapital gewinnbringender einzusetzen. Es besteht also die Gefahr, dass zu hohe Risiken in Kauf genommen werden und die Portfolios nur ungenügend abgesichert werden. Gewisse Teile der Geschäftstätigkeit von Kreditinstituten, insbesondere die Bereiche Zahlungsverkehr und Kreditvermittlung, sind wegen ihren wichtigen Aufgaben in der Volkswirtschaft als systemrelevant einzustufen. So ist ein funktionierendes Kreditgeschäft Voraussetzung für Investitionen und Wirtschaftswachstum. Zudem unterscheiden sich Kreditinstitute wesentlich von anderen Firmen dadurch, dass sie mit Kapital handeln, welches sie auch nur geliehen haben. Das macht sie schliesslich anfälliger für Liquiditätsrisiken. 3 Werden bei der Kreditvergabe hohe Risiken eingegangen, welche nicht genügend mit Eigenmitteln abgesichert sind, so können bei einer schlechten Konjunkturlage mit überdurchschnittlichen Kreditausfällen auch die Gläubiger des Kreditinstituts in Mitleidenschaft gezogen werden. Intermediäre Institutionen auf dem Finanzmarkt tragen aufgrund ihrer Vermittlerrolle also eine grosse wirtschaftliche Verantwortung. Aus diesem Grund gibt es regulatorische Richtlinien und Gesetze, welche Leitplanken vorgeben, wie mit Kreditrisiken umgegangen werden soll und wie diese Risiken durch Eigenkapital abgesichert werden müssen. Viele dieser Vorgaben beruhen auf Empfehlungen des Basler Ausschusses für Bankenaufsicht und dessen Eigenkapitalverordnung Basel II. Auf die Basler Papiere wird in Abschnitt genauer eingegangen. In Abschnitt wird die schweizerische Rechtslage und die Umsetzung der Basler Empfehlungen in der Schweiz behandelt. Es werden lediglich diejenigen Teile der Guidelines und Gesetze der Finanzwelt betrachtet, welche für das Kreditrisiko und die Eigenkapitalunterlegung relevant sind. 3 vgl. Paudel Youbaraj 2007, S. 3 Seite 4

14 Theoretischer Teil Der Basler Ausschuss und dessen Beschlüsse Ende 1974 wurde der Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (Basel Committee on Banking Supervision, BCBS) durch die damaligen G10-Staaten und Luxemburg ins Leben gerufen, um Empfehlungen für die Bankenaufsicht auszuarbeiten. Hauptauslöser für die Gründung des Ausschusses war der Konkurs der Herstatt-Bank, welche Mitte 1974 in Folge von riskanten Devisenspekulationen insolvent wurde. 4 Heute sind 27 Länder im Komitee vertreten Basel I Im Jahr 1988 veröffentlichte das Gremium die erste Eigenkapitalverordnung (bekannt als Basel I), welche den Banken vorschreibt, dass Kredite unabhängig von ihrem Risiko grundsätzlich mit mindestens 8% Eigenkapital abgesichert werden müssen. 6 Die vorgesehen Regulierungen waren also noch sehr einfach gehalten. Der grosse Vorteil von Basel I war jedoch, dass die ausgearbeiteten Massnahmen zur Stabilisierung des Finanzsystems nicht zuletzt wegen dessen Einfachheit international in sehr vielen Ländern in ähnlicher Weise in lokale Gesetze übernommen werden konnten. Es zeigte sich mit der Zeit, dass die einfach gehandhabte Risikobemessung und Eigenkapitalunterlegung von Basel I nicht wirksam genug ist, um auch in schwierigeren Konjunkturlagen die Kreditinstitute genügend zu schützen. Eine Folgeverordnung Basel II wurde deshalb nötig Basel II Aufgrund der Unzulänglichkeiten von Basel I veröffentlichte der Basler Ausschuss Mitte 2004 nach diversen Studien und Entwürfen die endgültige Fassung von Basel II, einer Weiterentwicklung von Basel I. Diese neuen Regelungen sollen in erster Linie eine risikogerechte Eigenkapitalunterlegung sicherstellen und dabei auch das operationelle Risiko besser berücksichtigen. 7 Das Regelwerk von Basel II bildet heute die Basis der meisten Gesetze und Verordnungen zu Mindestanforderungen an das Eigenkapital und wird mit Hilfe von ähnlich aufgestellten Aufsichtsbehörden in vielen Ländern umgesetzt. Das Regelwerk von Basel II besteht im Wesentlichen aus drei Säulen. Die erste Säule regelt die Basis der Risikoberechnung und die Bemessung des Mindestkapitals, die zweite Säule schreibt eine bankaufsichtliche Überwachung vor und die dritte Säule strebt mehr Markttransparenz durch eine Offenlegungspflicht an. Die drei Säulen von Basel II werden im Folgenden näher betrachtet. Säule 1: Mindestkapitalanforderungen Kreditinstitute müssen zur Absicherung von Kreditrisiken genügend Eigenkapital aufweisen. Die Ermittlung der erforderlichen Eigenmittel für die Absicherung eines Kreditportfolios geschieht aufgrund der jeweiligen Portfoliostruktur sowie diverser Risikokennzahlen. Die zwei wichtigsten Parameter sind dabei wohl die Ausfallwahrscheinlichkeit der Schuldner, welche üblicherweise mit PL oder p gekennzeichnet wird, und die Assetkorrelation, für welche das Symbol ρ üblich ist vgl. Henking Andreas / Bluhm Christian / Fahrmeir Ludwig 2006, S. 3 vgl. Bank for International Settlements, About the Basel Committee, in: about.htm, vgl. Henking Andreas / Bluhm Christian / Fahrmeir Ludwig 2006, S. 3 vgl. Wolf Martin 2005, S. 10 Seite 5

15 Theoretischer Teil Für die Ermittlung des Eigenkapitals zur Absicherung von Kreditrisiken können Kreditinstitute in der ersten Säule grundsätzlich zwischen den folgenden Verfahren wählen: 1. Standardverfahren: Das Standardverfahren sieht nebst einer Kategorisierung der Kreditnehmer eine Berücksichtigung von externen Ratings und eine Gewichtung der Risiken je nach Art des Schuldners vor Internal Rating Based (IRB) Approach: Als Alternative zum Standardverfahren bietet Basel II die Möglichkeit, dass Kreditinstitute die Risiken und Eigenkapitalanforderungen selber aufgrund von internen und externen Daten ermitteln. Es gibt einen einfachen und einen fortgeschrittenen IRB Ansatz. Während im Basisverfahren (Foundation IRB, F-IRB) die Schätzung einiger Kennzahlen, insbesondere diejenigen für exposure at default (EAD) 9 und loss given default (LGD) 10, durch die Aufsichtsgremien vorgegeben werden, erlaubt das fortgeschrittene Verfahren (Advanced IRB, A-IRB) weitergehende Freiheiten in der Ermittlung der Kennzahlen und somit der erforderlichen Eigenmittel. Bei den IRB-Ansätzen ist für Kreditrisiken ein Credit VaR 11 von massgebend, also der Verlust, welcher mit einer Wahrscheinlichkeit von 99.9% nicht überschritten wird. 12 Beim IRB-Verfahren allgemein kann die Assetkorrelation ρ mit einer Formel in Abhängigkeit der Ausfallwahrscheinlichkeit p berechnet werden: 13 ρ(p) = e 50 p 1 e 50 p e 50 1 e 50 Abbildung 1 zeigt diesen funktionalen Zusammenhang zwischen der Ausfallwahrscheinlichkeit und der Assetkorrelation: Assetkorrelation % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Ausfallwahrscheinlichkeit Abbildung 1: Assetkorrelation in Abhängigkeit der Ausfallwahrscheinlichkeit beim IRB- Verfahren (Quelle: Eigene Aufbereitung, in Anlehnung an Henking Andreas / Bluhm Christian / Fahrmeir Ludwig 2006, S. 174) Der IRB-Ansatz von Basel II geht davon aus, dass die Assetkorrelation zwischen 0.12 und 0.24 liegt und umso höher ist, je kleiner die Ausfallwahrscheinlichkeit ist. 8 9 vgl. Wolf Martin 2005, S vgl. Abschnitt , S vgl. Abschnitt , S vgl. Abschnitt , S vgl. Macht Christian 2007, S vgl. Henking Andreas / Bluhm Christian / Fahrmeir Ludwig 2006, S. 174 Seite 6

16 Theoretischer Teil Der Vorteil der detaillierteren, aufwendigeren Berechnungen in den IRB-Verfahren für Banken ist, dass die resultierenden Anforderungen an die Eigenkapitalunterlegung in der Regel einiges tiefer ausfallen als beim Standardverfahren. 14 So wird der Aufwand einer genaueren Abschätzung des Kreditrisikos belohnt. Auch wenn die meisten Grossbanken sich für den IRB-Ansatz entschieden haben, so nutzen auch diese oftmals gewisse Elemente aus dem Standardverfahren, um ihre Berechnungen durchzuführen. 15 Säule 2: Bankaufsichtliche Überwachung Die zweite Säule von Basel II beinhaltet Anforderungen an die Banken und an Aufsichtsbehörden, die die Überprüfung der Prozesse und Ergebnisse der Mindestkapitalermittlung betreffen. Die Banken müssen nachweisen können, dass die mit der Aufsichtsstelle ausgehandelten Verfahren zur Ermittlung des erforderlichen Eigenkapitals eingehalten und sauber durchgeführt wurden. Es muss insbesondere nachvollziehbar sein, aufgrund welcher Daten und Annahmen die Parameter für die Modelle gewählt wurden. Es muss zudem sichergestellt sein, dass das ermittelte Kapital auch wirklich vorhanden ist. Die Banken müssen dazu interne Kontrollprozesse etablieren, welche die Einhaltung der Mindestanforderungen überprüfen. Je nach Qualität des Risikomanagements einer Bank kann die Aufsichtsbehörde eine höhere Eigenkapitalunterlegung anordnen, als die Bank mit ihren Berechnungen ermittelt hat. 16 Säule 3: Offenlegungsvorschriften Primäres Ziel der dritten Säule von Basel II ist es, Kapitalgebern genügend Transparenz über die Risiken der Kreditinstitute und deren Umgang mit diesen Risiken zu gewähren. 17 So wird die regelmässige Veröffentlichung von Angaben betreffend bestehenden Risiken, Risikomanagementprozessen und Eigenkapitalausstattung verlangt. Diese Informationen sollen demnach nicht nur den Aufsichtsbehörden, sondern auch anderen Marktteilnehmern wie potenziellen Kreditgebern, Konkurrenten und Ratingagenturen zur Verfügung gestellt werden müssen Basel III Im Dezember 2010 hat der Basler Ausschuss als Reaktion auf die weltweite Finanzkrise unter dem Namen Basel III ein überarbeitetes und ergänztes Regelwerk veröffentlicht. Die drei Säulen von Basel II und die Standard- und IRB-Verfahren der ersten Säule wurden grundsätzlich übernommen. Die wichtigsten Erneuerungen im Bereich Kreditrisiko und Mindestkapitalanforderung sind einerseits, dass Verbriefungen und Wiederverbriefungen speziell gehandhabt werden müssen und einer höheren Risikogewichtung unterliegen und andererseits, dass eigene Berechnungsmodelle für gewisse Schuldinstrumente vorgesehen sind. Beim Marktrisiko ist eine wesentliche Änderung die Einführung einer neuen Kennzahl stressed VaR (svar) im Bereich des Marktrisikos, welche für die Bestimmung der benötigten Eigenkapitalunterlegung zum normalen credit Value at Risk (Quantil bei Konfidenzniveau 99.9%) hinzuaddiert werden muss vgl. Henking Andreas / Bluhm Christian / Fahrmeir Ludwig 2006, S vgl. Gleeson Simon 2010, S vgl. Wolf Martin 2005, S vgl. Gleeson Simon 2010, S vgl. Wolf Martin 2005, S vgl. Breidenbach Stefanie 2011, S Seite 7

17 Theoretischer Teil Schweizerische Rechtslage Die Beschlüsse des Basler Ausschusses sind streng genommen keine Verordnungen, sondern Verträge mit Empfehlungen, wie die Gesetzgebung und mögliche Verordnungen und Aufsichtsgremien aussehen sollten. In der Schweiz sind die Geschäfte von Kreditinstituten im Bundesgesetz über die Banken und Sparkassen (Bankgesetz, BankG) geregelt. Dieses ermächtigt die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA), Vorschriften über Eigenmittel, Liquidität und Risikoverteilung festzulegen. 20 Der Bundesrat legt die Mindestanforderungen an Eigenmittel und Liquidität fest. 21 Diese sind in der Verordnung über die Eigenmittel und Risikoverteilung für Banken und Effektenhändler (Eigenmittelverordnung, ERV) festgehalten. Die FINMA publiziert zudem verbindliche Rundschreiben über die Anwendung der Finanzmarktgesetzgebung. Die Struktur, Ziele und Aufgaben der FINMA sind im Bundesgesetz über die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (Finanzmarktaufsichtsgesetz, FINMAG) festgelegt. Primäres Ziel der FINMA ist der Schutz von Gläubigern und Versicherten sowie der Schutz der Funktionsfähigkeit der Finanzmärkte im Hinblick auf die Wettbewerbsfähigkeit des Finanzplatzes Schweiz. 22 Die FINMA vertritt die Schweiz im Basler Ausschuss für Bankenaufsicht, zusammen mit der Schweizerischen Nationalbank (SNB) und sorgt für die Umsetzung der Beschlüsse in der Schweiz. 23 Sowohl die Eigenmittelverordnung als auch die Verordnungen und Rundschreiben der FINMA sind sehr stark an die Beschlüsse des Basler Ausschusses angelehnt. So wurden die Regelungen von Basel II grundsätzlich übernommen und an die schweizerischen Verhältnisse angepasst. Die Schweizer Eigenmittelbestimmungen gehen dabei in der Regel über die internationalen Mindeststandards hinaus. Mitte 2012 wurde die Eigenmittelverordnung an Basel III angepasst und im Rahmen der too big to fail-problematik wesentlich ergänzt. 2.3 Begriffe und Kennzahlen Bei der Beschreibung von Verlusten und deren Verteilungen treffen zwei Welten aufeinander. In der Mathematik sind die verwendeten Begriffe für Kennzahlen klar definiert; gibt es keinen offiziellen Terminus für eine bestimmte Grösse, so kann diese exakt mittels mathematischen Formeln beschrieben werden. Demgegenüber steht eine Vielzahl von Begriffen aus der Finanzbranche, die sich über die Zeit ergeben haben, die jedoch nicht klar und eindeutig definiert sind und entsprechend oftmals auch unterschiedlich angewendet werden. Eine vorgängige Klärung der verwendeten Begrifflichkeiten scheint daher unumgänglich. Ausgehend von den mathematischen Begriffen werden im Folgenden die für diese Arbeit relevanten Kennzahlen erklärt Mathematische Beschreibung von Verteilungen Die wichtigsten mathematischen Begriffe aus der Statistik sind einerseits der Erwartungswert und die Standardabweichung und andererseits das Quantil (abhängig von einem vorgegebenen Konfidenzniveau) und Kennzahlen, welche auf dem Quantil basieren, wie z.b. der bedingte Erwartungswert. Diese Begriffe werden im Folgenden erklärt. 20 vgl. Art. 3g BankG 21 vgl. Art. 4 Abs. 2 BankG 22 vgl. Art. 5 FINMAG 23 vgl. FINMA, Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (BCBS), in: internationales/gremien/basel/, Seite 8

18 Theoretischer Teil Erwartungswert Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable ist derjenige Wert, welcher X im Durchschnitt annimmt, der also im Schnitt erwartbar ist. Der Erwartungswert E(L) einer Verlustverteilung ist somit derjenige Verlust, mit dem innerhalb einer gewissen Zeitperiode im Schnitt gerechnet werden muss. Dieser Wert kann als Summe der Produkte aus den Einzelwerten x i und deren Wahrscheinlichkeiten p i berechnet werden. Bei der Untersuchung von empirischen Daten (Stichproben), bei denen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten gleich gross sind, kann der Schätzer für den Erwartungswert als Summe der einzelnen Beobachtungswerte geteilt durch die Anzahl Werte beschrieben werden: N E(X) x = 1 N x i i=1 Für den Erwartungswert E(X) wird oft der Buchstabe μ verwendet, beim Erwartungswert einer Stichprobe auch die Schreibweise x Varianz und Standardabweichung Der Durchschnitt alleine beinhaltet noch keinerlei Angaben dazu, wie weit die einzelnen Werte auseinander liegen resp. wie weit diese vom Durchschnitt abweichen. Als einfache Methode, die Streuung der Werte zu beschreiben, haben sich Varianz und Standardabweichung durchgesetzt. Die Varianz Var(X) einer Zufallsvariable X ist der Durchschnitt aller mit ihrer Wahrscheinlichkeit p i gewichteten quadrierten Differenzen zwischen den einzelnen Werten x i und dem Erwartungswert E(X). Bei Daten mit gleich grossen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse kann die Formel wiederum so umgeformt werden, dass die Summe ohne die Wahrscheinlichkeiten gebildet wird und dann durch die Anzahl Werte geteilt wird. Bei empirischen Daten wird meistens eine abgeänderte Variante der Varianz, die empirische Varianz, verwendet. Anstatt dass die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl Beobachtungswerte N geteilt wird, wird nur durch die Anzahl Freiheitsgrade N 1 geteilt: Var(X) S 2 = 1 N N 1 (x i x ) 2 i=1 Die Standardabweichung ist definiert als die Quadratwurzel der Varianz. Diese hat somit wieder die gleiche Masseinheit wie die einzelnen Werte x i : Std(X) S = S 2 Für Varianz Var(X) und Standardabweichung Std(X) wird oft σ 2 resp. σ verwendet, bei Stichproben auch S 2 resp. S. Die Standardabweichung gibt die ungefähre Streuung um den Erwartungswert wieder. Wegen ihrer Berechnungsmethoden liegen Varianz und Standardabweichung immer symmetrisch um den Erwartungswert. Seite 9

19 Theoretischer Teil Quantil Ein Quantil unterteilt eine Verteilung oder die sortierte Menge aller Beobachtungswerte einer Zufallsvariablen in zwei Abschnitte. Die Trennung wird dabei bestimmt durch den vorgegebenen Wert 0 < α < 1. Beim Quantil Q α (X) sind α 100 Prozent der Werte links von diesem Wert (tiefere Werte) und (1 α) 100 Prozent der Werte rechts davon (höhere Werte). So ist zum Beispiel der Median, also der Wert in der Mitte aller der Reihe nach geordneten Werte, das 0.5-Quantil Q 0.5. Das empirische Quantil, geschrieben als x α, wird in der Literatur unterschiedlich definiert. So finden auch verschiedene Berechnungsmethoden Anwendung. Die häufigste Methode für die Berechnung des empirischen Quantils von n Werten x 1, x 2,, x n ist diejenige, wie sie z.b. auch Storm beschreibt: 24 x n α falls n α keine ganze Zahl ist Q α (X) x α = 1 2 (x n α + x n α+1 ) falls n α eine ganze Zahl ist Das Quantil ist vor allem bei der Beschreibung von asymmetrischen Verteilungen sehr hilfreich, da Varianz und Standardabweichung nichts über die Schiefe der Dichtefunktion aussagen. Ein weiterer Vorteil ist, dass Quantile auch gute Aussagen zum Verlauf der Verteilung an deren Ausläufen machen können. Bei einer Verlustverteilung und der Schätzung des benötigten Kapitals zur Absicherung von Portfolioverlusten ist das Quantil genau deshalb sehr nützlich. Will man wissen, welcher Betrag mit 99.9%-iger Sicherheit (also in 999 von 1000 Fällen) nicht überschritten wird, so kann hierfür das Q berechnet werden; über diesem Wert sind nur noch 0.1% aller beobachteten Werte Bedingter Erwartungswert Ein bedingter Erwartungswert ist der Erwartungswert einer Teilmenge aller Werte, welche durch eine Einschränkung (oder Bedingung) gegeben ist. Eine solche Berechnung ist vor allem im Zusammenhang mit einem Quantil sehr nützlich. Ist z.b. das Quantil einer Verteilung von empirischen Daten bekannt, ist der Erwartungswert bedingt auf dieses Quantil der Durchschnitt aller Werte, welche dieses Quantil überschreiten. Bei einer Verlustverteilung müsste also in 0.1% der Fälle mit einem Verlust in dieser Höhe gerechnet werden. So kann das Restrisiko quantifiziert werden Begriffe aus der Finanzbranche Im Folgenden werden die gängigsten Begriffe aus der Finanzwelt erklärt. Wo möglich, werden die Begriffe mit den mathematischen Definitionen aus Abschnitt in Bezug gesetzt Portfolioverlust Der Gesamtverlust des Portfolios entspricht der Summe der Verluste der einzelnen Positionen im Portfolio. 24 vgl. Storm Regina 2007, S. 118 Seite 10

20 Theoretischer Teil Erwarteter Verlust Der expected loss (EL, erwarteter Verlust) ist derjenige Verlust, mit welchem im Schnitt gerechnet werden muss, und welcher somit in die Berechnung der Zinssätze miteinfliessen muss. Der erwartete Verlust entspricht dem Erwartungswert 25 der Verlustverteilung Unerwarteter Verlust Der unexpected loss (UL, unerwarteter Verlust) wird sehr unterschiedlich definiert. Gemeinsam an allen Definitionen ist, dass ein Betrag gemeint ist, welcher über den erwarteten Verlust hinausgeht. In den meisten Fällen wird als Berechnungsgrundlage für die Abweichung vom erwarteten Verlust die Standardabweichung als Mass für die Streuung der Verlustverteilung genommen. Es gibt jedoch auch Definitionen von UL, welche auf einem bestimmten Quantil beruhen. Je nach Kontext (d.h. je nachdem ob der erwartete Verlust bereits beim Geschäftsfall berücksichtigt wurde und somit nicht mehr als eigentlicher Verlust gilt) wird als unerwarteter Verlust der Wert inklusive oder exklusive dem Anteil des erwarteten Verlust angegeben. Wegen der unklaren Definition wird der Begriff UL in dieser Arbeit fortan vermieden. Es werden ausschliesslich die Begriffe Standardabweichung und Quantil benutzt, damit immer klar ist, welche Kennzahl und Berechnungsmethode gemeint ist Credit value at risk Mit credit value at risk (VaR, value at risk) soll aufgezeigt werden, welcher Kreditbetrag mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit in Gefahr ist. Wie beim UL gehen auch bei der Interpretation des Begriffs VaR die Meinungen weit auseinander. Die häufigste Definition ist, dass der VaR derjenige Wert ist, welcher mit einer bestimmten, vorgegebenen Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird. Diese Definition, zum Teil auch absolute VaR genannt, deckt sich mit derjenigen des Quantils. Dieser Betrag beinhaltet den EL. Manchmal wird der Begriff VaR jedoch auch so definiert, dass der erwartete Verlust vom Quantil abgezogen wird, da dieser bei der Zinsgestaltung berücksichtigt werde. Für diese Auslegung von VaR, zum Teil auch relative VaR genannt, hat sich der Ausdruck economic capital (EC, ökonomisches Kapital) durchgesetzt. In dieser Arbeit wird aufgrund der verschiedenen Interpretationen fortan auf den Ausdruck VaR verzichtet und stattdessen mit den Begriffen Quantil und EC gearbeitet Expected shortfall Der expected shortfall (ES) entspricht dem bedingten Erwartungswert und ist immer in Abhängigkeit eines vorgegebenen Quantils (der Bedingung) zu verstehen. Der Begriff expected shortfall hat sich in der Finanzwelt durchgesetzt und wird einheitlich verwendet Probability of Default Die probability of default (PD) eines Schuldners gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der dieser innerhalb eines Jahres ausfällt. 25 vgl. Abschnitt , S. 9 Seite 11

21 Theoretischer Teil Exposure at default Mit exposure at default (EAD) ist die Höhe aller Verbindlichkeiten eines Schuldners dem Kreditinstitut gegenüber zum Zeitpunkt des Ausfalls gemeint. Wenn ein Schuldner im Laufe der Zeit zusätzliche Kredite aufnehmen konnte kann das EAD durchaus wesentlich vom ursprünglichen Kreditbetrag anfangs Jahr abweichen. Beim EAD wird üblicherweise auch ein Teil des zugesagten, zum Zeitpunkt des Ausfalls noch abrufbaren Kreditrahmens miteinberechnet Loss given default Dem Total der Verbindlichkeiten eines ausgefallenen Kreditnehmers stehen üblicherweise auch gewisse Sicherheiten gegenüber, welche zum Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit verwertet werden können. Dies können, je nach Kreditgeschäft, z.b. Wertpapiere oder Immobilien sein. Die Verlustquote loss given default (LGD) ist ein deterministischer oder stochastischer Faktor, welcher angibt, welcher Anteil des EAD tatsächlich als Verlust gebucht werden muss. Das ist der Betrag, welcher schliesslich abgeschrieben werden muss. Die Erlösquote (recovery rate) ist das Gegenstück des LGD, also derjenige Anteil des EAD, welcher gerettet werden kann. Es gilt: Erlösquote i = 1 LLL i LLL i = 1 Erlösquote i 26 vgl. Henking Andreas / Bluhm Christian / Fahrmeir Ludwig 2006, S. 20 Seite 12

22 Theoretischer Teil Zusammenfassung Tabelle 1 bietet eine Übersicht über die Begriffe, welche in dieser Arbeit verwendet werden, und zeigt deren mathematische Bedeutung auf: Abkürzung Begriffe Mathematische Bedeutung EL Var Std Q EC ES Expected loss Schätzer für den erwarteten Verlust Mittelwert des Verlusts Variance Schätzer für die Varianz Standard deviation Schätzer für die Standardabweichung Streuung des Verlusts Quantile Empirisches Quantil Absolute value at risk Economic capital Ökonomisches Kapital Relative value at risk Expected shortfall Erwartete Unterdeckung Conditional value at risk Erwartungswert des Verlusts: N E(L) 1 N L i i=1 Varianz des Verlusts: Var(L) 1 N 1 (L i L ) 2 N i=1 Standardabweichung des Verlusts: Std(L) = Var(L) Quantil der Ordnung α: Q α (L) Quantil minus Erwartungswert: EC α (L) = Q α (L) E(L) Bedingter Erwartungswert: ES α (L) PD Probability of default Ausfallwahrscheinlichkeit p i EAD Exposure at default Höhe der Forderung zum Zeitpunkt des Ausfalls LGD Loss given default Verlustquote Tabelle 1: Übersicht Begriffe (Quelle: Eigene Aufbereitung) Die Formeln in Tabelle 1 entsprechen denjenigen aus Abschnitt 2.3.1, jedoch angewendet auf N Realisierungen L i von Verlusten in einer Simulation, welche in diesem Fall die Stichprobe repräsentieren. Seite 13

23 Theoretischer Teil Abbildung 2 zeigt die verwendeten Begriffe für die Portfoliokennzahlen anhand einer typischen Verlustverteilung (Dichtefunktion) eines Kreditportfolios: Verlustverteilung EL Q ES Std Wahrscheinlichkeit EC Verlust Abbildung 2: Portfoliokennzahlen anhand einer typischen Verlustverteilung (Quelle: Eigene Aufbereitung) Die Kurve macht sichtbar, wie wichtig nebst Erwartungswert (EL) und Standardabweichung (Std) die Berechnung des Quantils und der auf dem Quantil basierenden Werten economic capital (EC) und expected shortfall (ES) sind. Da die Verlustverteilung eines Portfolios typischerweise sehr rechtsschief ist, liefert die um den Erwartungswert symmetrisch liegende Standardabweichung in den meisten Fällen zu wenig Informationen über die Extremwerte auf der rechten Seite der Kurve. Diese sehr hohen Verluste, welche mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit eintreten können, werden mit Hilfe geeigneter Quantilwerte berechnet. 2.4 Modelle und deren Anwendung Dieser Abschnitt gibt einen groben Überblick über die etablierten Ausfallmodelle für Kreditportfolios und die heute verbreitetsten Berechnungsverfahren und kommerziellen Anwendungen in diesem Bereich Kategorisierung von Ausfallmodellen Allgemein können stochastische Risikomodelle zur Schätzung der Ausfälle in Kreditportfolios aus Perspektive der Finanzindustrie in die zwei Klassen Unternehmenswertmodelle und Ausfallratenmodelle unterteilt werden Unternehmenswertmodelle Unternehmenswertmodelle, auch Firmenwert- oder Assetwertmodelle genannt, leiten den Ausfallzeitpunkt eines Unternehmens von der Entwicklung des Firmenwerts ab. 28 So kann bestimmt werden, ob innerhalb eines festgesetzten Zeithorizontes für dieses Unternehmen ein Ausfallereignis stattfindet oder nicht. Der Firmenwert ist dabei nichts anderes ist als die Bilanzsumme des Unternehmens, also die Summe sämtlicher Aktiven resp. die Summe von Eigenkapital und Fremdkapital. 27 vgl. Fink Stefan K. 2011, S vgl. Martin Marcus R. W. / Reitz Stefan / Wehn Carsten S. 2006, S. 88 Seite 14

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