Spin-Modelle und Monte-Carlo Simulationen

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1 Spin-Modelle und Monte-Carlo Simulationen Ralf Gamillscheg Technische Universität Graz Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

2 Einleitung Spins uä. Statistische Physik Monte-Carlo Simulationen Renormierungsgruppe Anwendungen Zusammenfassung Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

3 Einleitung Modelle in der Physik Ein Modell soll die Natur möglichst gut beschreiben soll einfach und behandelbar sein ist weder richtig noch falsch Beispiel: Atommodelle Thomson-Modell Bohrsches Atommodell Sommerfeldsches Atommodell Quantenmechanik usw. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

4 Ein Spin Spins uä. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

5 Zwei Spins Spins uä. Energie kleiner Energie größer Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

6 Zuordnung Spins - Zahlen Spins uä. = 1 = 1 = 1 1 = 1 = 1 1 = 1 = 1 1 = 1 = 1 1 = 1 Energie: E = J σ 1 σ 2 Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

7 Ising Modell Spins uä. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

8 Ising Modell Spins uä. Wechselwirkung nur zwischen nächsten Nachbarn Berechnung der Energie: E = J <i,j> σ i σ j Jeder Konfiguration kann so eine Energie zugeordnet werden. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

9 Statistische Physik Statistische Physik Berechnung des Energieinhalts in einem thermodynamischen System: Es muss jeweils Wahrscheinlichkeit (p) mit Energie (E) der Konfiguration multipliziert werden und über jede Konfiguration summiert werden. E = p 1 E 1 + p 2 E 2 + p 3 E Berechnung einer beliebigen Observablen: O = p 1 O 1 + p 2 O 2 + p 3 O Boltzmann-Wahrscheinlichkeit: p i (T ) = e E i k B T Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

10 Statistische Physik Anzahl der Konfigurationen 5x5-Gitter 25 Spins, 2 Möglichkeiten pro Spin, Anzahl möglicher Konfigurationen: x10-Gitter: x20-Gitter: zu viele! Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

11 Monte-Carlo Simulationen Monte-Carlo Simulationen Numerische Methode: Fehler! Versuche eine kleine Anzahl von Konfigurationen zu erzeugen, die den physikalischen Sachverhalt genausogut wiedergeben wie der volle Zustandsraum. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

12 Monte-Carlo Simulationen Beispiel: Oberfläche eines Sees Analytsche Methode Nehme einen Geodäten samt Zubehör. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

13 Monte-Carlo Simulationen Beispiel: Oberfläche eines Sees Analytsche Methode Nehme einen Geodäten samt Zubehör. Manuelle Methode Zähle Kästchen über See. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

14 Monte-Carlo Simulationen Beispiel: Oberfläche eines Sees Analytsche Methode Nehme einen Geodäten samt Zubehör. Manuelle Methode Zähle Kästchen über See. MC Methode Werfe Steinchen. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

15 Monte-Carlo Simulationen Anwendung auf unser Ising-Modell Verwende lokale Updates: Vorschlag: einen Spin umdrehen. Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit einer Konfiguration notwendig, Führe Akzeptanzwahrscheinlichkeit ein: (Metropolis-Verfahren) p = 1 für p neu > p alt p = p neu p alt für p neu < p alt Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

16 Monte-Carlo Simulationen Ablauf einer Simulation Wähle Anfangskonfiguration (muss egal sein) Thermalisierung um Gleichgewichtszustand zu erreichen (in etwa 1 10 der Gesamtschritte) eigentliche Simulation Führe N mal Sweep aus, messe Observable Berechne Schätzwerte der Observablen Überprüfe Konvergenz, Fehlerrechnung Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

17 Monte-Carlo Simulationen 2 Bedingungen an MC Ergodizität Jeder mögliche Zustand des Systems muss auch in der Simulation prinzipiell erreichbar sein. Stationarität Der Update-Algorithmus muss bei unendlich vielen Schritten die korrekte Wahrscheinlichkeit wiedergeben. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

18 Monte-Carlo Simulationen Schwierigkeiten Statistischer Fehler Problem unterliegt Statistik Fehler nimmt nur langsam mit Zahl der MC-Schritte ab. Autokorrelationen Einzelne Konfigurationen sind nicht unabhänging voneinander vergrößern Fehler Nicht erkannte Probleme mit Ergodizität Fange bei kleinen Systemen an, die überschaubar sind. Arbeite dich dann zu größeren Systemen vor. Hausverstand: Symmetrien (z.b. Magnetisierung) Vergleich mit Experiment: Unzulänglichkeiten des Modells Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

19 Monte-Carlo Simulationen Metropolis-Hastings Verfahren Benutze zusätzlich Vorschlagswahrscheinlichkeit q alt neu Verwende Akzeptanzwahrscheinlichkeit p = 1 für p neu q neu alt > p alt q alt neu p = p neuq neu alt p alt q alt neu für p neu q neu alt < p alt q alt neu Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

20 Monte-Carlo Simulationen Verbesserte Verfahren Clusteralgorithmen Swendsen-Wang Verfahren (bei kleinen Temperaturen) Wurm-Algorithmen (bei großen Temperaturen) Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

21 Simulation Monte-Carlo Simulationen Simulation mit xtoys von Michael Creutz Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

22 Renormierungsgruppe Renormierungsgruppe Ein kleines Beispiel: Verwende Monte-Carlo-Methode zur Untersuchung kritischen Verhaltens. Renormierung: Vermindere die Auflösung einer Spinkonfiguration. Aus 9 Spins der alten Konfiguration wird ein Spin in der neuen. Entscheide nach Mehrheit. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

23 Renormierungsgruppe T < T c T = T c T > T c Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

24 Renormierungsgruppe T < T c T = T c T > T c Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

25 Renormierungsgruppe T < T c T = T c T > T c Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

26 Renormierungsgruppe T < T c T = T c T > T c Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

27 Renormierungsgruppe T < T c T = T c T > T c Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

28 Anwendungen Anwendungen Festkörperphysik zb. Untersuchnung des Collossal Magnetoresistance Effects in Manganaten zur Entwicklung neuer Materialien zur Datenspeicherung in Festplatten Elementarteilchenphysik zb. Quantenchromodynamik (QCD) Finanzmathematik Lösen hochdimensionaler Integralgleichungen Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

29 Zusammenfassung Zusammenfassung Ising-Modell Einfaches Modell zur Beschreibung eines Festkörpers mit ungesättigten Spins. Monte-Carlo-Methode Leistungsfähige numerische Methode zur Simulation in der Festkörperphysik und vielen anderen Bereichen. Ralf Gamillscheg (TUG) Monte Carlo Simulationen / 22

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