Übungsaufgaben Tilgungsrechnung

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1 1 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Übungsaufgaben Tilgungsrechnung Überarbeitungsstand: 1.März 2016 Die grundlegenden Ideen der folgenden Aufgaben beruhen auf Aufgabenvorschlägen aus dem Übungsbuch zur Finanzmathematik von J. Tietze. Dort ist eine Vielzahl weiterer Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen zu finden. Tietze, J (2015): Übungsbuch zur Finanzmathematik: Aufgaben, Testklausuren und ausführliche Lösungen. 8. Auflage, Springer Spektrum. Ein Kredit (K 0 = ) soll mit 10% p.a. verzinst werden. Folgende Tilgungen werden vereinbart: 1. Ende 1: Ende 4: Ende 6: Ende 7: Resttilgung Des Weiteren wird vereinbart, dass am Ende des 3. und 5. es auch keine Zinszahlungen des Schuldners erfolgen. Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. Lösung: Im Folgenden ist der Tilgungsplan für den vereinbarten Kredit aufgeführt. Die in der Aufgabenstellung angegebenen n sind rot gefärbt. Wird die Zinszahlung ausgelassen, so beträgt die Annuität im laufenden 0,00. Die ausgesetzte Zinszahlung führt zu einer Erhöhung der Restschuld. es es

2 2 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Ein Kredit in Höhe von soll innerhalb von 5 en inklusive Zinsen vollständig zurückzuzahlen. Der Zinssatz betrage 3%. Stellen Sie für folgende Kreditkonditionen einen Tilgungsplan auf: a) Gesamtfällige Schuld ohne Zinsansammlung: Es erfolgt eine Tilgung in einem Betrag zum Ende des 5. es. Die Zinsen werden jährlich, erstmals ein nach Kreditaufnahme gezahlt. b) Gesamtfällige Schuld mit Zinsansammlung: Die Rückzahlung des Kredits inklusive aller Zinsen erfolgt in einem Betrag am Ende des 5. es. c) Bei dem angegebenen Kredit handelt es sich um ein Tilgungsdarlehen. d) Bei dem angegebenen Annuitätendarlehen handelt es sich um ein Annuitätendarlehen. Lösung: Im Folgenden werden die Tilgungspläne entsprechend der Bedingungen aufgestellt. a) Tilgungsplan für eine gesamtfällige Schuld ohne Zinsansammlung es es , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , , , ,00 0,00 b) Tilgungsplan für eine gesamtfällige Schuld mit Zinsansammlung es es , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,50 0, , , , ,91 0, , , , , ,04 0,00

3 3 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 c) Zunächst wird die jährliche berechnet. Es gilt: T = K 0 n = Daraus ergibt sich der folgende Tilgungsplan: = es es , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0,00 d) Zunächst muss die Höhe der jährlichen Annuität mit Hilfe der Schuldentilgungsformel bei Annuitätenkrediten (Satz 3.3.2): A = ,03 5 1,03 1 1, = ,29 es es , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,27 0,00

4 4 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Ein Kredit in Höhe von soll mit 10 gleichhohen Annuitäten, Kreditzinssatz 9% verzinst und getilgt werden. Die erste Annuität wird ein nach Kreditaufnahme fällig. Ermitteln Sie ohne Tilgungsplan: a) die Annuität, b) die Tilgung letzten es, c) die Restschuld nach 5 en, d) die Tilgung Ende des 8. es, e) die Gesamtlaufzeit, wenn die Annuität mit p.a. vorgegeben ist. f) Wie hoch ist die Höhe der Annuität mindestens zu wählen, damit eine Tilgung stattfindet? a) Gegeben sind eine Kreditsumme in Höhe von , eine Laufzeit von 10 en und ein Zinssatz von 9%. Die Höhe der Annuität wird mit Hilfe der Schuldentilgungsformel (Satz 3.3.2) berechnet: 0 = ,0910 A 1, ,09 1 A 1, ,09 1 A = ,09 10 = ,0910 Die jährliche Annuität beträgt ,01. 1,09 1 1, = ,01 b) Die Tilgung letzten es entspricht der Restschuld K 9 nach 9 en. Diese wird mit der Restschuldformel (Satz 3.3.2) berechnet: K 9 = , ,01 1, ,09 1 = ,18 Die Höhe der letzten beträgt ,18. c) Die Restschuld nach 5 en wird ebenfalls mit der Restschuldformel (Satz 3.3.2) berechnet. Es gilt: K 5 = , ,01 1, ,09 1 = ,89 Restschuld nach 5 en beträgt ,89.

5 5 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 d) Gesucht ist die Tilgung 8. es. Da es sich bei dem gegebenen Kredit um ein Annuitätendarlehen handelt, setzt sich die berechnete Annuität in Höhe von ,01 aus der Tilgung und den Zinsen zusammen, die für das 8. fällig werden. Diese bezieht sich auf die Restschuld nach dem 7. bzw. zu 8. es. Daher berechnen wir zunächst die Restschuld, anschließend die zu zahlenden Zinsen, bevor wir abschließend die Tilgung bestimmen. Wir bestimmen die Restschuld nach 7 en mit der Restschuldformel (Satz 3.3.2). Es gilt: K 7 = , ,01 1, ,09 1 = ,02 Auf diese Restschuld werden im 8. folgende Zinsen Z 8 fällig: Z n = i K n 1 Z 8 = i K 7 = 0, ,02 = 5.324,76 Für die Tilgung am Ende des 8. es gilt dann unter Berücksichtigung der in a) bestimmten Annuitätenhöhe: T n = A Z n T 8 = A Z 8 = , ,76 = ,25 Nach dem 8. erfolgt eine Tilgung in Höhe von ,25. e) Zu berechnen ist die Gesamtlaufzeit bis zur vollständigen Tilgung für den Fall, dass die Höhe der jährlichen Annuität beträgt 1. Hierbei wenden wir erneut die Schuldentilgungsformel (Satz 3.3.2) an. Es gilt: 0 = K 0 q n A qn 1 Gesucht ist die Laufzeit, wir stellen die gegebene Formel 0 = K 0 q n A qn 1 A qn 1 = K 0 q n A (q n 1) = K 0 q n (q 1) 1 In der Realität ist diese Form des Kredits nicht geläufig. In der Regel wird neben der Annuität eine Laufzeit festgelegt. Nach dem Ende der Laufzeit wird die Restschuld ggf. in einer Rate getilgt oder umgeschuldet. Das heißt, dass ein neuer Kredit zu neuen Konditionen aufgenommen wird.

6 6 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 A q n A = K 0 q n (q 1) A q n = K 0 q n (q 1) + A A q n = K 0 q n (q 1) + A A q n K 0 q n (q 1) = A q n [A K 0 (q 1)] = A q n = A A K 0 () A n ln q = ln A K 0 (), da q > 0 A n = ln A K 0 () 1 ln q Für unser Beispiel gilt dann: ,01 n = ln , (1,09 1) 1 ln 1,09 38,67 Folglich beträgt die Laufzeit bis zur vollständigen Tilgung 39 e. f) Damit überhaupt eine Tilgung stattfindet, muss die Höhe der Annuität den Wert der Zinsen im ersten überschreiten. Daher berechnen wir die Höhe der Zinsen Z 1, die nach dem ersten fällig werden: Z 1 = 0, = Die Annuität muss daher übersteigen, damit der Kredit getilgt wird. Viele Banken räumen ihren Kunden ein Dispokredit ein: Wenn das Girokonto überzogen wird, dann kann man sich ohne Anträge Geld von der Bank borgen. In der Regel ist der Dispokredit sehr teuer. Die Rahmenbedingungen können sich täglich ändern, so dass die Bank die Zinsen stets taggenau bestimmt. Dabei berechnen sich die Überziehungszinsen gemäß der Formel: Höhe des Dispokredits Zinssatz Tage Überziehungszinsen = a) Herr Müller hat für 15 Tage sein Girokonto um 550 überzogen. Der aktuelle Zinssatz beträgt 12%. Berechnen Sie die Zinsen, die Herr Müller durch die Überziehung an die Bank zu zahlen hat. b) Frau Meier hat ihr Konto für 20 Tage um 235 überzogen. Für die ersten 10 Tage galt ein Zinssatz von 12%, dann wurde der Zinssatz auf 15% angehoben. Berechnen Sie die Überziehungszinsen.

7 7 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 a) Die Höhe der Überziehungszinsen Z Ü berechnet sich gemäß der angegebenen Formel. Es gilt bei einer Laufzeit von 15 Tagen und einem Zinssatz von 12%: Z Ü = 550 0,12 15 = 2,75 b) Hier erfolgt die Berechnung ebenfalls wie bei a). Allerdings ist zu berücksichtigen, dass sich der Zinssatz nach 10 Tagen ändert, d.h. wir berechnen Zinsen für zwei verschiedene Zinszeiträume. Es gilt: 235 0, ,15 10 Z Ü = + = 1,76 Die unter a) und b) bestimmten fälligen Zinsen erscheinen auf dem ersten Blick als nicht hoch. Wenn man aber bedenkt, dass sich diese Angaben auf wenige Tage und zudem auf kleine Überziehungssummen beziehen, wird einem bewusst, dass ein Dispokredit schnell zur Schuldenfalle werden kann.

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