Versuch 1.6: Franck-Hertz-Versuch

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1 Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene TU Darmstadt Abteilung A: Angewandte Physik Versuch 1.6: Franck-Hertz-Versuch Stefan A. Gärtner Durchgeführt mit: Christian Klose Betreut von: Dr. Rainer Spehr 17. Februar 2005

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3 1 Einführung Ziel des Versuches ist es, den bekannten Franck-Hertz-Versuch nachzuvollziehen. Der Franck-Hertz-Versuch gibt Hinweise auf diskrete Energieniveaus in Atomen. Wir bestimmen die entsprechende Anregungsenergie von Quecksilberatomen. 2 Vorbereitung: 1) Druck des Hg-Dampfes und freie Weglängen 2.1 Druck des Quecksilber-Dampfes Die Clausius-Clapeyron-Gleichung lautet Q = T dp dt (V D V Fl ), wobei Q die Verdampfungsenergie, V D/Fl das Volumen des Dampfes bzw. der Flüssigkeit bedeutet. Mit dem idealen Gasgesetz pv = RT (in molaren Größen) ergibt sich: dp dt = Q T (V D V Fl ) V V D V Fl Q T V pv =RT = Qp RT 2 (1) Q bekommt man durch Integration von dq dt = c p γ: Q = (c p γ)t + Q 0 Dies setzt man in (1) ein und nach Trennung der Variablen wird daraus: dp p = (c ( p γ)t + Q 0 cp γ 1 dt = RT 2 R T + Q ) 0 dt RT 2 Integrieren und Exponieren führt schließlich auf die gesuchte Beziehung: ( ) T cp γ ( ) R Q 0 1 p = p 0 e R 1 T 0 T T 0 (2) (3) c p γ = 1,65 cal = 6,9 J entnimmt man der Versuchsanleitung. Die Werte mol K mol K für p 0 und T 0 schlägt man nach 1 : p 0 = 0,16 Pa, T 0 = 20 C. Zusammen mit der Verdampfungsenergie 2 Q = 59,4 kj von Quecksilber bei T = 630,2 K errechnet man sich mol Q 0 = 63,75 kj aus (2). mol 1 Gerthsen, 21. Auflage, Tab Gerthsen, 21. Auflage, Tab

4 Damit ergeben sich folgende Werte: p(t = 20 C) = 0,16 Pa p(t = 200 C) = 22,53 hpa 2.2 Freie Weglängen der Elektronen und Hg-Atome Die mittlere freie Weglänge für ein schnelles Teilchen (hier: die Elektronen), das in ein Gas aus praktisch ruhenden Teilchen eingeschossen wird, berechnet sich aus λ e = 1 nσ e, n: Teilchenzahldichte, σ e : Wirkungsquerschnitt. (4) Da der Elektronenradius gegenüber dem Radius der Quecksilberatome vernachlässigt werden kann, gilt σ e πr 2 Hg. Mit dem idealen Gasgesetz p = nk BT ergibt sich dann: λ e = k BT p πr 2 Hg (5) Gleichung (4) gilt nicht mehr für die Wechselwirkung der Quecksilberatome untereinander, da die Gasmoleküle nicht mehr als ruhend angenommen werden können. Stattdessen ist anzusetzen (mit σ Hg = π (2r Hg ) 2 ): λ Hg = 1 2nσHg = k BT 2pσHg = k B T 2 4pπr 2 Hg (6) Mit 3 r Hg = 1, m erhält man dann folgende Werte: T = 20 C: λ e = 31,45 cm λ Hg = 5,56 cm T = 200 C: λ e = 36,05 µm λ Hg = 6,37 µm 3 Versuchsaufbau und -durchführung Herzstück des Versuches ist die Franck-Hertz-Röhre, die auf dem Anleitungsblatt skizziert ist. Die aus der indirekt geheizten Kathode austretenden Elektronen werden in 3 4

5 Richtung Anode beschleunigt, wobei sie unterwegs elastisch, und wenn sie genügend Energie besitzen auch ein- oder mehrmals inelastisch, mit den Quecksilberatomen stoßen. Die Elektronen werden schließlich mithilfe der Messelektrode registriert. Die Spannung zwischen Kathode und Anode kann wahlweise vom Netzgerät als Sägezahnspannung vorgegeben werden (zur Anzeige der Franck-Hertz-Kurve auf einem Oszilloskop) oder sie kann von Hand eingestellt werden (zur Ausgabe der Franck-Hertz-Kurve auf einem x-y-schreiber). Das Netzgerät stellt ebenfalls die Ablenkspannung für das Oszilloskop, die Spannung für die Kathodenheizung und einen Messverstärker zur Verfügung. Die Franck-Hertz-Röhre selbst ist in einem Ofen untergebracht, der dazu dient, das Quecksilber zu verdampfen. 4 Auswertung 4.1 2) Ablenk- und Beschleunigungsspannung Stellt man sowohl die Ablenkspannung als auch die Beschleunigungsspannung gleichzeitig auf dem Oszilloskop dar (siehe Abbildung 1), so stellt man fest, dass die Ablenkspannung eine Periode von 50 Hz, die Beschleunigungsspannung eine von 100 Hz besitzt. Der Schluss liegt nahe, dass die Ablenkspannung eine Ein-Wege-Gleichrichtung, die Beschleunigungsspannung eine Zwei-Wege-Gleichrichtung (zusätzlich wurde offensichtlich im ansteigenden Bereich ein Schalter betätigt, der die Spannung dort ausschaltete, siehe Bereich 2) der heruntertransformierten Netzspannung darstellt. Dabei fällt auf, dass die Sinushalbwellen der Ablenkspannung durch andere am Netz angeschlossene Geräte deformiert sind. Die in der Grafik eingezeichneten 1,2 V rühren von der Gegenspannung zwischen Masse und Anode her, da wir nur gegen Masse messen können. In Abbildung 2 ist die Beschleunigungsspannung über der Ablenkspannung aufgetragen. Man kann vier Bereiche unterscheiden: Bereich 1: Dieser nahezu lineare Bereich kommt durch die gleichzeitige Änderung der Beschleunigungs- und Ablenkspannung zustande. Er wird von links nach rechts durchlaufen und stellt den Bereich dar, den wir zur Beobachtung der Franck-Hertz- Kurve auf dem Oszilloskop sinnvoll benutzen können. Bereich 2: Die Beschleunigungsspannung ist fast völlig abgeschaltet, die Ablenkspannung ist am Fallen, sodass diese Gerade von rechts nach links durchlaufen wird. Bereich 3: Die Ablenkspannung ist 0, während sich die Beschleunigungsspannung ändert. Diese Gerade wird daher von oben nach unten durchlaufen. 5

6 U Abl U Kathode 1,2 V 0 3,5 V 5 V 0 20 ms t Abbildung 1: Skizze der Ablenk- und Beschleunigungsspannung. Bereich 4: Sowohl Ablenk- als auch Beschleunigungsspannung sind abgeschaltet, sodass der Elektronenstrahl des Oszilloskops lange an diesem Punkt verweilt und die Helligkeit dementsprechend hoch ist. Generell ist zu sagen, dass die Enden der einzelnen Bereiche etwas heller sind, da der Elektronenstrahl des Oszilloskops durch die Deformation des Sinus (Abflachung an seinen Extremstellen) länger dort verweilt. Die einzelnen Bereiche sind größtenteils linear, die Schwankungen nahe des Bereiches 4 sind durch das Verhalten des Schalters der Beschleunigungsspannung bestimmt ) Franck-Hertz-Kurve am Oszilloskop Die Franck-Hertz-Kurve war am Oszilloskop bei einer Temperatur von T = 140 C ± 5 K gut sichtbar (siehe Abbildung 3). Der Abstand zweier Maxima wurde bestimmt, indem 6

7 U Kathode U Abl Abbildung 2: Skizze der Beschleunigungs- über der Ablenkspannung. wir die Gerade des Bereiches 1 der Auftragung der Beschleunigungs- über der Ablenkspannung benutzten und diese und die Franck-Hertz-Kurve in geeigneter Weise überlagerten. Mit einem Ablesefehler am Oszilloskop von ±0,1 cm und dem Skalierungsfaktor von 2 V ergibt sich der Abstand der Maxima zu (4,9 ± 0,28) V, was sehr gut mit dem cm Literaturwert 4 von 4,9 V übereinstimmt ) Franck-Hertz-Kurve am x-y-schreiber Wir haben die Franck-Hertz-Kurve am x-y-schreiber bei den beiden Temperaturen T = 138 C ± 5 K (siehe Anhang 1) und T = 216 C ± 5 K (siehe Anhang 2) aufgenommen, indem die Beschleunigungsspannung von Hand hochgedreht wurde. Zur Eichung haben wir mithilfe eines Multimeters Punkte im Abstand von (5 ± 0,02) V bzw. im Abstand von (10 ± 0,1) V gesetzt. Die mit dem Lineal vermessenen Abstände der Maxima, sowie die entsprechenden durch Multiplikation mit dem Skalierungsfaktor ( 15 ± 0,047) V V 30 = (0,93 ± 0,047) bzw. ( ± 0,09) V V = (1,84 ± 0,09) erhaltenen 16,1 cm cm 16,3 cm cm Spannungsdifferenzen sind in den Tabellen 1 und 2 zu sehen. Die Ableseungenauigkeit bei Längen beträgt dabei ±0,5 mm, die Bestimmung der Maxima ist aufgrund der zum Teil relativ breiten Plateaus nur bis zu einer Genauigkeit von ±2 mm bzw. ±0,5 mm möglich. 4 Gerthsen, 21. Auflage, S

8 U Mess U Abl Abbildung 3: Skizze der Franck-Hertz-Kurve am Oszilloskop. Es wurde nur die eigentliche Franck-Hertz-Kurve eingezeichnet; die anderen Linien, die auf dem Oszilloksop zu sehen waren (die von den Bereichen 2-4 herrühren), wurden weggelassen. Die daraus resultierenden Fehler wurden nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet. Im Mittel erhält man für die Maxima-Abstände (5,03 ± 0,31) V bzw. (4,75 ± 0,27) V, was innerhalb der Fehlerschranken gut mit dem Literaturwert von 4,9 V übereinstimmt. Durch Mittelung beider Messreihen erhält man sogar (4,89 ± 0,29) V. Maxima-Abstand [cm] U [V] Fehler ( U) [V] 5,15 4,80 0,30 5,4 5,03 0,31 5,65 5,26 0,32 Tabelle 1: Differenzen der Maxima der Franck-Hertz-Kurve bei T = 138 C ± 5 K und einem Skalierungsfaktor von (0,93 ± 0,047) V cm ) Temperatur, bei der erstes Minimum gerade verschwindet Die Temperatur, bei der das erste Minimum der Franck-Hertz-Kurve gerade verschwindet (wobei die Wahl dieses Punktes etwas willkürlich ist, da die Kurve noch sehr lange eine Delle an der Stelle des Minimums aufweist), haben wir beim Abkühlen zu T = 89 C ± 1 K bestimmt. Mit (3) bestimmt man den Dampfdruck zu p = (19,59 ± 1,1) Pa und mit (5) schließlich die freie Weglänge der Elektronen zu λ e = (3,17 ± 0,18) mm. 8

9 Maxima-Abstand [cm] U [V] Fehler ( U) [V] 2,5 4,60 0,26 2,65 4,88 0,28 2,5 4,60 0,26 2,55 4,69 0,27 2,65 4,88 0,28 2,65 4,88 0,28 Tabelle 2: Differenzen der Maxima der Franck-Hertz-Kurve bei T = 216 C ± 5 K und einem Skalierungsfaktor von (1,84 ± 0,09) V cm. Diese Länge liegt in der Größenordnung der Röhrenabmessungen, sodass die Zahl der inelastischen Stöße mittlerweile recht niedrig ist ) Kurvenverlauf bei weiterer Abkühlung Wird noch weiter abgekühlt, geht der Kurvenverlauf der Franck-Hertz-Kurve in die Kennlinie einer Vakuumröhre über. Die Elektronen stoßen schon nicht mehr inelastisch, da ihnen die Energie fehlt, aber auch die elastischen Stöße lassen mit sinkender Temperatur und damit sinkendem Dampfdruck des Quecksilbers nach (die mittlere freie Weglänge der Elektronen übertrifft die Röhrendimensionen). Man beobachtet die typische I U 3 2 -Abhängigkeit zwischen Strom und Spannung im raumladungsbegrenzten Betrieb und eine Sättigung beim Strom I sat ) Energieverlust und Energieverbreiterung Nach Gleichung (5) des Anleitungsblattes ergeben sich Energieverlust und Energieverbreiterung der Elektronen durch elastische Stöße zu: dw = 2N eu m ± 2 2N eu k B T m = (3,1 ± 0,5) ev } {{ M} M } {{ } Energieverlust Energieverbreiterung Dabei ist die Anzahl der Stöße N = L 2 M. Der Weg L von der Kathode zur Anode λ e m beträgt ungefähr L 1 cm. Das Massenverhältnis von Quecksilberatomen zu Elektronen beträgt nach dem Anleitungsblatt etwa M = 4 m 105. Die mittlere kinetische Energie der Elektronen zwischen zwei inelastischen Stößen ist ebenfalls auf dem Anleitungsblatt angegeben und beträgt eu = 2,5 ev. Das ganze betrachten wir bei einer Temperatur von T = 200 C und können für die freie Weglänge der Elektronen λ e das entsprechende Ergebnis aus 2.2 benutzen. 9

10 4.7 8) Mindestfeldstärke für inelastischen Stoß und Energieunschärfe Mindestfeldstärke für inelastischen Stoß der Elektronen Die Energieaufnahme der Elektronen im elektrischen Feld beträgt eel. Dem gegenüber steht die Energieabnahme durch elastische Stöße 2N eu m. Die Elektronen können erst M dann inelastisch stoßen, wenn sie die Anregungsenergie W A = 4,9 ev der Quecksilberatome erreicht haben, sodass dann gilt: eel 2N eu m M! = W A E = W A + 2N eu m M el = 800,13 V m Temperatur, bei der Energieunschärfe so groß wie Anregungsenergie wird Die Temperatur, bei der die Energieunschärfe so groß wie die Anregungsenergie wird, bestimmt man aus: W A! = 2 N eu k B T m 2 M L = 2 2 Mm eu k BT mm = 2 L 2 m M eu σ e p(t ) λ e Hier wurde im ersten Schritt die Beziehung für N aus 4.6 und im zweiten Schritt (5) eingesetzt. Setzt man für p(t ) Gleichung (3) ein, so stellt man fest, dass sich obige Beziehung nicht nach T auflösen lässt. Man sieht jedoch, dass in Gleichung (3) die ( e-funktion den dominierenden Faktor darstellt, sodass man kann: ( ) p(t ) p 0 e Q 0 1 R 1 T 0 T Nun kann man dies einsetzen, nach T auflösen und erhält ) cp γ T R T 0 ( ) 1 T = R 1 WA 2 ln T 0 Q 0 16L 2 m eu σ M e p = 570,7 K = 297,5 C. 0 durch 1 nähern 10