& REGELUNGSTECHNIK AUTOMATISIERUNGS- Fachvertiefung WS 2012/2013

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1 - Fachvertiefung WS 01/013 AUTOMATISIERUNGS- & REGELUNGSTECHNIK Dipl.-Ing. Tobias Glück Dr.-Ing. Wolfgang Kemmetmüller Univ.-Prof. Dr. techn. Andreas Kugi

2 Automatisierungs- und Regelungstechnik Fachvertiefung WS 01/013 Dipl.-Ing. Tobias Glück Dr.-Ing. Wolfgang Kemmetmüller Univ.-Prof. Dr. techn. Andreas Kugi TU Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik Gruppe für komplexe dynamische Systeme Gusshausstrasse Wien Telefon: Internet: Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik, TU Wien

3 1 Einleitung In der Vorlesung Automatisierung werden unterschiedliche Analysemethoden und Reglerentwurfsverfahren für lineare zeitkontinuierliche und lineare zeitdiskrete Systeme vorgestellt. Die Grundlage für alle diese Verfahren bildet eine mathematische Beschreibung des Verhaltens des betrachteten Systems. Für einige einfache Beispiele wurde bereits in der Vorlesung Automatisierung gezeigt, wie man die entsprechenden mathematischen Modelle ausgehend von den grundlegenden physikalischen Gesetzmäßigkeiten herleiten kann. In realen Anwendungen sind die zu regelnden Systeme meist jedoch wesentlich komplexer, weshalb im Rahmen dieser Vorlesung eine systematische mathematische Modellierung von gewissen Systemklassen behandelt wird. Weiterhin sind viele reale Systeme meist nicht rein mechanisch oder elektrisch sondern bestehen aus einer Kopplung von Teilsystemen unterschiedlicher ingenieurwissenschaftlicher Disziplinen wie z.b. Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik, Verfahrenstechnik, usw.). Die hier behandelte Klasse der elektromechanischen Systeme tritt in der Praxis sehr häufig auf, wie z.b. mikromechanische Drehratensensoren, Festplattenlaufwerke, elektromechanische Antriebssysteme, Roboter, Hybridautos, Walzwerke und viele mehr. Repräsentativ für elektromechanische Systeme sollen im Folgenden einige Beispiele dargestellt werden. 1.1 Roboter Ein sehr bekanntes Beispiel für ein elektromechanisches System ist ein Industrieroboter wie er in Abbildung 1.1 dargestellt ist. Dieser Roboter der Firma KUKA besitzt 6 Freiheitsgrade in Form von Drehungen um die sechs Winkel ϕ 1,..., ϕ 6. Der Antrieb dieser sechs Achsen erfolgt dabei über die von geregelten AC-Servomotoren eingebrachten elektrischen Momente M el,1,..., M el,6. Der Arbeitsraum dieses Roboters umfasst einen Radius von ca. m, wobei am Endeffektor eine Lastmasse von 65 kg angebaut werden kann. Die Einsatzgebiete eines solchen Roboters sind die Automobilindustrie, Lackieranlagen oder Werkzeugmaschinen. Eine typische Regelungsaufgabe für einen Industrieroboter ist die Positionierung des Endeffektors entlang einer gewünschten Bahn Trajektorienfolgeregelung). Dazu ist offensichtlich eine Beschreibung der Position des Endeffektors als Funktion der Drehwinkel ϕ 1,..., ϕ 6 der Achsen, d.h. der Kinematik des Roboters, notwendig. Zusätzlich wird eine Beschreibung des dynamischen Verhaltens des Roboters als Reaktion auf die elektrischen Momente und auf externe Kräfte z.b. Gravitation) benötigt. Da die Arme des Roboters sehr steif sind, können diese als Starrkörper modelliert werden. Der Roboter ist also ein System von gekoppelten Starrkörpern. Da viele technische Systeme sich als Starrkörpersysteme beschreiben lassen, sind die ersten zwei Kapitel dieser Vorlesung der systematischen mathematischen Beschreibung der Kinematik und der Dynamik von Starrkörpersystemen gewidmet.

4 1. Turmdrehkran Seite ϕ 1 Antriebsmotoren ϕ ϕ 3 ϕ 4 ϕ5 Endeffektor ϕ 6 Abbildung 1.1: Industrieroboter KR 30-3 KS der Firma KUKA. 1. Turmdrehkran Ein weiteres Beispiel für Starrkörpersysteme, welche von Elektromotoren angetrieben werden, sind Turmdrehkräne. Im linken Teil von Abbildung 1. ist ein Turmdrehkran der Firma Liebherr dargestellt, welcher typischerweise im Hochbau verwendet wird. Dieser Turmdrehkran besitzt eine maximale Ausladung von ca. 90 m und eine maximale Tragfähigkeit von 0 t. Ein von der Firma Quanser hergestelltes Labormodell eines Turmdrehkranes ist im rechten Teil von Abbildung 1. zu sehen. Dieses Modell wird auch am Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik in den Lehrveranstaltungen eingesetzt. Die Regelungsaufgabe für einen Turmdrehkran ist dabei ein möglichst schnelles und möglichst exaktes Positionieren der Last. Hier treten als besondere Herausforderungen für den Regelungsentwurf die sehr lange und variable Länge des Seils sowie die meist unbekannte Last auf.

5 1.3 Elektromagnetventil Seite 3 Abbildung 1.: Turmdrehkran der Firma Liebherr linkes Bild) und Labormodell eines Turmdrehkranes der Firma Quanser rechtes Bild). 1.3 Elektromagnetventil Zur Ansteuerung von hydraulischen Antriebssystemen werden meist Elektromagnetventile verwendet. In Abbildung 1.3 ist ein direktgesteuertes 4/3 Proportionalwegeventil der Firma Bosch-Rexroth dargestellt. Die Bezeichnung 4/3 bezieht sich dabei auf die Anzahl der Anschlüsse Versorgungsdruck, Tankdruck, Arbeitsanschlüsse a und b) sowie auf die Anzahl der möglichen Stellungen des Ventilkolbens links, mitte, rechts). Wie man Abbildung 1.3: Direktgesteuertes 4/3 Proportionalwegeventil der Firma Bosch-Rexroth. in der Prinzipdarstellung eines Schnittes durch das Elektromagnetventil in Abbildung 1.4 erkennen kann, besteht das Ventil im Wesentlichen aus einem Ventilkolben welcher

6 1.4 Drehratensensor Seite 4 sich in einem Ventilgehäuse bewegen kann. Durch eine Verschiebung des Kolbens können, wie in Abbildung 1.4 ersichtlich, die Arbeitsanschlüsse a und b entweder mit dem Versorgungsdruck p s oder mit dem Tankdruck p t verbunden werden. Somit ist eine Einstellung der Volumenströme q a und q b in den an die Arbeitsanschlüsse angeschlossenen Verbraucher möglich. Die Ansteuerung des Ventilkolbens erfolgt durch zwei Proportionalelektromagnete deren Anker direkt mit dem Ventilkolben verbunden sind. Weiterhin wird der Ventilkolben durch zwei Rückstellfedern in der Mittellage zentriert. Gibt man Ventilgehäuse Ventilkolben q a q b Luftspalt Spule Anker p t p a p s p b p t Arbeitsanschlüsse Rückstellfeder Abbildung 1.4: Prinzipdarstellung eines Schnittes durch ein direktgesteuertes 4/3 Proportionalwegeventil. nun eine geeignete elektrische Spannung an den Spulen vor, so bewirken die resultierenden Spulenströme den Aufbau eines magnetischen Flusses im Luftspalt. Dadurch entsteht wiederum eine magnetische Kraft, welche schließlich zu einer Bewegung des Ventilkolbens führt. 1.4 Drehratensensor Abbildung 1.5 zeigt einen kapazitiven mikromechanischen Drehratensensor, welcher z.b. im Automobilbereich ESP) eingesetzt wird. Dieser in Silizium gefertigte Sensor besitzt in etwa eine Ausdehnung von µm, wobei die kleinsten Strukturen im Bereich weniger µm liegen. Das Funktionsprinzip lässt sich vereinfacht wie folgt erklären: Durch Anlegen einer sinusförmigen Spannung mit geeigneter Frequenz ca. 10 khz) an die Antriebskämme wird das System in resonante Schwingungen in der sogenannten Gegentaktanregemode versetzt, siehe Abbildung 1.6. Tritt nun eine Rotation des Sensors um die y-achse auf, so bewirkt der Corioliseffekt eine Anregung der Paddel in der Gegentaktauslesemode. Da der Corioliseffekt im Wesentlichen proportional zur Drehwinkelgeschwindigkeit des Sensors um die y-achse ist, kann durch eine Messung der Amplitude der Auslenkung der Paddels sehr genau auf die Drehwinkelgeschwindigkeit geschlossen werden.

7 1.4 Drehratensensor Seite 5 Linearfedern Paddel Torsionsfedern Koppelfeder Antriebskämme Antriebskontrollkämme Basiseinheit Koppelmasse Rahmen z y x Abbildung 1.5: Kapazitiver mikromechanischer Drehratensensor [1]. Gegentaktauslesemode Gegentaktanregemode Gegentaktauslesemode Gegentaktanregemode Abbildung 1.6: Wesentliche Schwingungsmoden des Drehratensensors [1]. Hier wird eine Genauigkeit im Bereich von 1 /s erreicht. Ein wesentliches Problem beim Entwurf und bei der Regelung eines solchen Sensors ist die Vermeidung von unerwünschten Schwingungsmoden des Sensors, wie z.b. die in Abbildung 1.6 dargestellte Gleichtaktanregemode und Gleichtaktauslesemode. Für die Auslegung des Sensors und den Entwurf der Elektronik kommt einer möglichst exakten Beschreibung der Dynamik des Sensors eine besondere Bedeutung zu. Diese Beschreibung kann z.b. durch ein in Abbildung 1.7 dargestelltes Starrkörperersatzschaltbild der Gleichtakt- und der Gegentaktauslesemoden erfolgen.

8 1.5 Segway Seite 6 ϕ l ϕ r z f,l ϕ c z f,r z c Abbildung 1.7: Starrkörperersatzschaltbild zur Beschreibung der Gleichtakt- und der Gegentaktauslesemoden [1]. 1.5 Segway Eine weitere aktuelle Anwendung eines elektromechanischen Systems ist der in Abbildung 1.8 dargestellte Segway X. Abbildung 1.8: Segway X. Dieses zweirädrige Gefährt wird durch zwei in den Rädern eingebrachten bürstenlosen Gleichstrommotoren angetrieben. Eine Besonderheit dieses Systems ist, dass es ohne Regelung instabil ist, d.h. entsprechend der Erdbeschleunigung umkippen würde. Im Segway sind nun mehrere Sensoren zur Bestimmung der aktuellen Lage des Gefährts eingebracht, mit deren Hilfe eine Regelung zur Stabilisierung des Systems aufgebaut ist. Dieses Stabilisierungsproblem entspricht dabei im Wesentlichen dem Balancieren eines inversen

9 1.5 Segway Seite 7 Pendels, eine Regelungsaufgabe die auch in den Lehrveranstaltungen am Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik behandelt und gelöst wird. Um das Gefährt nun vorwärts oder rückwärts zu bewegen, reicht es aus, dass der Benutzer den Schwerpunkt entsprechend verlagert. Offensichtlich ist es auch bei diesem System unumgänglich, dass ein möglichst genaues mathematisches Modell des Systems erstellt wird.

10 1.6 Literatur Seite Literatur [1.1] S. Günthner, Entwurf und Charakterisierung von mikromechanischen Drehratensensoren in Silizium, Aktuelle Berichte aus der Mikrosystemtechnik. Shaker, 006.

11 Starrkörperkinematik Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen der Kinematik von Starrkörperbewegungen. Jede Starrkörperbewegung kann im Allgemeinen als Kombination einer translatorischen und einer rotatorischen Bewegung beschrieben werden..1 Rotation In Abbildung.1 ist ein Starrkörper S mit einem körperfesten Koordinatensystem 0x 1 y 1 z 1 ) und einem ortsfesten Koordinatensystem Inertialsystem) 0x 0 y 0 z 0 ) dargestellt. Es sei angenommen, dass durch {e x1, e y1, e z1 } und {e x0, e y0, e z0 } jeweils eine orthonormale Basis gegeben ist, d.h. es gilt e T x e x e T x e y e T x e z e T y e x e T y e y e T y e z = ) e T z e x e T z e y e T z e z Der Vektor vom gemeinsamen Ursprung der Koordinatensysteme zu einem Punkt P kann nun entweder im körperfesten Koordinatensystem in der Form oder im ortsfesten Koordinatensystem durch p 1 = p 1x e x1 + p 1y e y1 + p 1z e z1.) p 0 = p 0x e x0 + p 0y e y0 + p 0z e z0.3) ausgedrückt werden. Da p 1 und p 0 denselben Vektor in unterschiedlichen Koordinatensystemen repräsentieren, gilt für deren Komponenten folgender Zusammenhang p 0x = e T x 0 p 0 = e T x 0 p 1 = p 1x e T x 0 e x1 + p 1y e T x 0 e y1 + p 1z e T x 0 e z1..4) Führt man dies analog für p 0y und p 0z durch, erhält man für eine rein rotatorische Bewegung die Beziehung e p T 0x x 0 e x1 e T x 0 e y1 e T x 0 e z1 p 1x p 0y = e T y 0 e x1 e T y 0 e y1 e T y 0 e z1 p 1y..5) p 0z } {{ } e T z 0 e x1 e T z 0 e y1 e T p z 0 e 1z z1 } {{ } p 0 } {{ } p 1 R0 1

12 .1 Rotation Seite 10 z 0 S P z 1 y 1 x 1 0 x 0 y0 Abbildung.1: Zur Rotationsmatrix. Die 3 3)-Matrix R0 1 gibt die Transformation der Koordinaten eines Vektors im Koordinatensystem 0x 1 y 1 z 1 ) hochgestellter Index bei R0 1 ) zu den Koordinaten im Koordinatensystem 0x 0 y 0 z 0 ) tiefgestellter Index bei R0 1 ) an. Man kann sich einfach davon überzeugen, dass gilt p 1x = e T x 1 p 1 = e T x 1 p 0 = p 0x e T x 1 e x0 + p 0y e T x 1 e y0 + p 0z e T x 1 e z0.6) bzw. Nun muss offensichtlich gelten e p T 1x x 1 e x0 e T x 1 e y0 e T x 1 e z0 p 0x p 1y = e T y 1 e x0 e T y 1 e y0 e T y 1 e z0 p 0y p 1z } {{ } e T z 1 e x0 e T z 1 e y0 e T p z 1 e 0z z0 } {{ } p 1 } {{ } p 0 R1 0..7) p 0 = R 1 0p 1 = R 1 0R 0 1p 0 bzw. p 1 = R 0 1p 0 = R 0 1R 1 0p 1.8) folgt die Orthogo- und wegen der Kommutativität des Skalarproduktes e T x 1 e y0 = e T y 0 e x1 nalität der Matrix R1 0, d.h.

13 .1 Rotation Seite 11 z 1 z 0 e z0 =e z1 e x0 0 e y1 φ e x1 e y0 φ y 1 x 1 x 0 y 0 Abbildung.: Elementare Drehung um die z 0 -Achse mit dem Winkel φ. R 1 0 = ) 1 T R1 0 = R1) 0..9) Nimmt man nun als Koordinatensystem ein Rechtssystem an, so gilt det R0) 1 = +1. In diesem Zusammenhang werden alle orthogonalen 3 3)-Matrizen mit Determinante +1 als Drehmatrizen des R 3 bezeichnet. Häufig verwendet man dabei das Symbol SO 3) für special orthogonal group of order 3. Nun gibt es drei elementare Drehmatrizen, die jeweils die Drehung um eine der drei Koordinatenachsen beschreiben. Abbildung. zeigt grafisch die Lage der Koordinatensysteme 0x 1 y 1 z 1 ) und 0x 0 y 0 z 0 ) bei einer Drehung um die z 0 - Achse mit dem Winkel φ. Die zugehörige Drehmatrix lautet in voller bzw. in abgekürzter Schreibweise cos φ) sin φ) 0 c φ s φ 0 R0 1 = R z,φ = sin φ) cos φ) 0 = s φ c φ 0..10) Analog erhält man für die elementaren Drehungen um die y 0 - bzw. x 0 -Achse mit den jeweiligen Winkeln θ und ψ die Drehmatrizen cos θ) 0 sin θ) R0 1 = R y,θ = und R1 0 = R x,ψ = 0 cos ψ) sin ψ). sin θ) 0 cos θ) 0 sin ψ) cos ψ).11)

14 .1 Rotation Seite 1 Betrachtet man nun drei Koordinatensysteme 0x 0 y 0 z 0 ), 0x 1 y 1 z 1 ) und 0x y z ), die durch Drehung miteinander verbunden sind, dann lässt sich der Vektor p vom gemeinsamen Ursprung der Koordinatensysteme zu einem Punkt P in den Koordinaten der jeweiligen Koordinatensysteme, mit p 0, p 1 und p bezeichnet, darstellen. Dabei gelten folgende Zusammenhänge p 0 = R 1 0p 1 und p 1 = R 1p.1) und für die Hintereinanderausführung von zwei Drehungen ergibt sich p 0 = R 1 0R 1p = R 0p bzw. R 0 = R 1 0R 1..13) Im Weiteren überzeugt man sich leicht davon, dass auch folgende Beziehungen für die Umkehrung p = R 0 p 0 mit R 0 = ) T ) T ) T T R0 = R0R 1 1 = R1 R0) 1 = R 1 R1 0.14) gelten. Man beachte, dass die Hintereinanderausführung von Drehungen keine kommutative Operation ist, d.h. es gilt im Allgemeinen R A R B R B R A für zwei Drehmatrizen R A und R B. Als Beispiel betrachte man die Hintereinanderausführung von zwei elementaren Drehungen, zuerst um den Winkel φ bezüglich der momentanen z-achse und anschließend um den Winkel θ bezüglich der gedrehten) momentanen y-achse. Die Drehmatrix lautet in diesem Fall c φ s φ 0 c θ 0 s θ c θ c φ s φ c φ s θ R zy = R z,φ R y,θ = s φ c φ = s φ c θ c φ s φ s θ..15) s θ 0 c θ s θ 0 c θ Ändert man die Reihenfolge, also zuerst eine Drehung um den Winkel θ bezüglich der momentanen y-achse und anschließend eine Drehung um den Winkel φ bezüglich der gedrehten) momentanen z-achse, so erhält man c θ 0 s θ c φ s φ 0 c θ c φ c θ s φ s θ R yz = R y,θ R z,φ = s φ c φ 0 = s φ c φ 0..16) s θ 0 c θ s θ c φ s θ s φ c θ Man sieht unmittelbar aus.15) und.16), dass R yz R zy gilt, siehe Abbildung.3. Die Hintereinanderausführung von zwei Drehungen gemäß.15) oder.16) impliziert, dass die zweite Drehung immer bezüglich des bereits gedrehten Koordinatensystems ausgeführt wird. Zur geometrischen Interpretation der Ergebnisse nehme man an, dass das Koordinatensystem 0x 0 y 0 z 0 ) um den Winkel φ bezüglich der z 0 -Achse und das so entstandene gedrehte Koordinatensystem 0x 1 y 1 z 1 ) um den Winkel θ bezüglich der y 0 - Achse im Gegensatz zu.15), wo um die y 1 -Achse gedreht wurde) gedreht wird und man so das Koordinatensystem 0x y z ) erhält. Bezeichnet man mit p 0, p 1 und p ein

15 .1 Rotation Seite 13 z 0 z 0 φ y 0 θ y 0 x 0 x 0 z 1 φ y 1 z 1 θ x 1 y 1 x 1 y z y x x z Abbildung.3: Zur Hintereinanderausführung von Drehungen: R yz R zy. und denselben Vektor in den unterschiedlichen Koordinatensystemen, so gelten folgende Beziehungen p 0 = R z,φ p 1 und p 1 = R z, φ R y,θ R z,φ p R y,θ p.17) bzw. p 0 = R y,θ R z,φ p..18) Der Ausdruck R z, φ R y,θ R z,φ in.17) zeigt, dass zuerst die Drehung um den Winkel φ bezüglich der z 1 -Achse ist identisch zur z 0 -Achse) ausgeführt wird damit ist man wieder im ursprünglichen 0x 0 y 0 z 0 ) System), dann die Drehung um den Winkel θ bezüglich der y 0 -Achse und anschließend wieder die Drehung um den Winkel φ zurück erfolgt. Die bisherigen Überlegungen lassen sich nun wie folgt zusammenfassen: Man betrachte drei Koordinatensysteme 0x 0 y 0 z 0 ), 0x 1 y 1 z 1 ) und 0x y z ), die durch Drehung miteinander verbunden sind, wobei R 1 0 die Drehung von 0x 1y 1 z 1 ) gegenüber 0x 0 y 0 z 0 ) beschreibt. Ist durch R 1 die Drehung von 0x y z ) gegenüber dem momentanen Koordinatensystem 0x 1 y 1 z 1 ) gemeint, so folgt für die Gesamtdrehung die Beziehung R 0 = R 1 0R 1.19) und für den Fall, dass mit R 1 die Drehung von 0x y z ) gegenüber dem festen Koordinatensystem 0x 0 y 0 z 0 ) gemeint ist, erhält man die gesamte Drehmatrix durch Vertauschen der Reihenfolge bei der Multiplikation zu

16 . Parametrierung einer Drehung Seite 14 R 0 = R 1R ). Parametrierung einer Drehung Die neun Einträge einer 3 3)-Drehmatrix R sind natürlich nicht linear unabhängig. Vielmehr lässt sich die Orientierung eines Starrkörpers durch drei rotatorische Freiheitsgrade festlegen, weshalb die Drehmatrix im Allgemeinen auch nur durch drei linear unabhängige Größen charakterisiert ist. Im Folgenden sollen zwei verschiedene Parametrierungen angegeben werden...1 Euler-Winkel Dazu betrachte man das gegenüber einem ortsfesten Koordinatensystem Inertialsystem) 0x 0 y 0 z 0 ) gedrehte körperfeste Koordinatensystem 0x 1 y 1 z 1 ). Bei der Euler-Winkel Parametrierung stellt man die Orientierung des Koordinatensystems 0x 1 y 1 z 1 ) gegenüber 0x 0 y 0 z 0 ) durch drei aufeinanderfolgende Drehungen mit den Winkeln φ, θ, ψ) dar: Dabei dreht man zuerst um den Winkel φ bezüglich der z 0 -Achse, anschließend um den Winkel θ bezüglich der gedrehten) momentanen y-achse und abschließend um den Winkel ψ bezüglich der gedrehten) momentanen z-achse. Damit lautet die Drehmatrix c φ s φ 0 c θ 0 s θ c ψ s ψ 0 R0 1 = R z,φ R y,θ R z,ψ = s φ c φ s ψ c ψ s θ 0 c θ c φ c θ c ψ s φ s ψ c φ c θ s ψ s φ c ψ c φ s θ = s φ c θ c ψ + c φ s ψ s φ c θ s ψ + c φ c ψ s φ s θ. s θ c ψ s θ s ψ c θ.. Roll-Pitch-Yaw Winkel.1) Eine Parametrierung der Drehmatrix in Form von Drehwinkeln φ, θ, ψ) um die Koordinatenachsen des ortsfesten Koordinatensystems 0x 0 y 0 z 0 ) in der Form, dass zuerst eine Drehung um den Winkel ψ bezüglich der x 0 -Achse, anschließend eine Drehung um den Winkel θ bezüglich der y 0 -Achse und schlussendlich eine Drehung um den Winkel φ bezüglich der z 0 -Achse durchgeführt wird siehe Abbildung.4), resultiert in der Drehmatrix

17 .3 Translation Seite 15 z 0 φ x 0 ψ θ y 0 Abbildung.4: Zur Parametrierung der Drehmatrix mit Hilfe der Roll-Pitch-Yaw Winkel. c φ s φ 0 c θ 0 s θ R0 1 = R z,φ R y,θ R x,ψ = s φ c φ c ψ s ψ s θ 0 c θ 0 s ψ c ψ c φ c θ s φ c ψ + c φ s θ s ψ s φ s ψ + c φ s θ c ψ = s φ c θ c φ c ψ + s φ s θ s ψ c φ s ψ + s φ s θ c ψ. s θ c θ s ψ c θ c ψ.) Dabei werden ψ als Gierwinkel yaw angle), θ als Nickwinkel pitch angle) und φ als Wankwinkel roll angle) bezeichnet..3 Translation Neben der bisher besprochenen rein rotatorischen Bewegung soll im nächsten Schritt die rein translatorische Bewegung behandelt werden. Man betrachte dazu die zwei zueinander nicht gedrehten Koordinatensysteme 0 0 x 0 y 0 z 0 ) und 0 1 x 1 y 1 z 1 ) von Abbildung.5, deren Koordinatennullpunkte 0 0 und 0 1 durch den Vektor d 1 0 verbunden sind. Bemerkung.1 Notation). Der Vektor d 1 0 beschreibt die translatorische Verschiebung des Koordinatensystems 0 1 x 1 y 1 z 1 ) bezüglich des Koordinatensystems 0 0 x 0 y 0 z 0 ) ausgedrückt im Koordinatensystem 0 0 x 0 y 0 z 0 ). Für alle weiteren Betrachtungen gilt, dass die Größen Verschiebungsvektor, Vektor der Drehwinkelgeschwindigkeiten etc.) immer bezüglich des durch den unteren rechten Index angegebenen Koordinatensystems dargestellt sind. Im Weiteren seien mit p 0 und p 1 die Vektoren von den Nullpunkten 0 0 und 0 1 der Koordinatensysteme 0 0 x 0 y 0 z 0 ) und 0 1 x 1 y 1 z 1 ) zu einem Punkt P bezeichnet. Bei rein translatorischer Verschiebung d 1 0 der beiden Koordinatensysteme ergibt sich nun folgender Zusammenhang p 0 = p 1 + d )

18 .4 Kombinierte Rotation und Translation Seite 16 z 1 z d 1 0 x y0 x 1 y 1 p 1 p 0 P Abbildung.5: Zur translatorischen Verschiebung..4 Kombinierte Rotation und Translation Wie bereits eingangs erwähnt, setzt sich eine Starrkörperbewegung im Allgemeinen aus rotatorischen und translatorischen Bewegungen zusammen. Kombiniert man.5) mit.3), so erhält man für eine kombinierte translatorische und rotatorische Bewegung die Beziehung p 0 = R 1 0p 1 + d ) Es lässt sich nun unmittelbar zeigen, dass für die in Abbildung.6 dargestellten Koordinatensysteme 0 0 x 0 y 0 z 0 ), 0 1 x 1 y 1 z 1 ) und 0 x y z ) folgende Beziehungen bzw. p 0 = R 1 0 p 0 = R 1 0p 1 + d 1 0 und p 1 = R 1p + d 1.5) ) R1p + d 1 + d 1 0 = R0p + R0d d 1 0.6) gelten. Eine Transformation der Form.4) mit einer orthogonalen Matrix R0 1 wird auch als Starrkörperbewegung bezeichnet. Starrkörperbewegungen können nun in Form von homogenen Transformationen der Art H 1 0 = R1 0 d mit R 1 0 SO 3).7) dargestellt werden. Betrachtet man nun eine Konfiguration P 0 eines Starrkörpers P 0 = p 0 1,.8) so erhält man durch Rotation mit R0 1 und Translation mit d1 0 die Konfiguration P 1 = p 1 1.9)

19 .4 Kombinierte Rotation und Translation Seite 17 R 1 0 R 1 z z 0 x 1 d 1 0 d 1 x p 1 y 1 0 z 0 0 x 0 y 0 p 0 P p y Abbildung.6: Zur kombinierten translatorischen und rotatorischen Bewegung. in der Form vergleiche mit.4)) P 0 = H 1 0P 1..30) Man überzeugt sich leicht, dass die durch eine weitere Starrkörperbewegung Rotation mit R1 und Translation mit d 1 ) resultierende Konfiguration des Starrkörpers folgender Beziehung P = P 1 = H 1P = p 1.31) R 1 d genügt. Kombiniert man.30) mit.3), so erhält man mit P.3) p 0 = R1 0 d 1 0 R 1 d 1 p = R1 0 R 1 R0 1d 1 + d1 0 p } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } P 0 H 1 0 H P 1 H P 0.33) unmittelbar das Ergebnis von.6). Im Weiteren gilt für die inverse homogene Transformation ) ) 1 R H 0 1 = H 1 1 T 0 = 0 R0) 1 T d ) 0 1 Beispiel.1 Planarer Manipulator). In Abbildung.7 ist ein einfacher planarer Manipulator bestehend aus zwei Stäben dargestellt. Der Stab 1 Länge l 1, Abstand zum Schwerpunkt l s1 ) ist an einem Ende drehbar um die x -Achse Winkel ϕ 1 ) gelagert. Am anderen Ende ist der Stab mit der Länge l und dem Abstand l s zum Schwerpunkt wiederum drehbar um die x-achse angebracht. Der Winkel ϕ bezeichnet dabei

20 .4 Kombinierte Rotation und Translation Seite 18 die relative Verdrehung des Stabes gegenüber dem Stab 1. l 1 z y ϕ l s1 z 1 z 0 y 1 ϕ 1 l s l y 0 Abbildung.7: Planarer Manipulator mit Freiheitsgraden. Um nun die Lage der Schwerpunkte sowie des am Ende des Stabes angebrachten Endeffektors zu berechnen, werden zuerst die Drehmatrizen zur Beschreibung der Verdrehungen der Koordinatensysteme 0 1 x 1 y 1 z 1 ) und 0 x y z ) gegenüber dem Inertialkoordinatensystem 0 0 x 0 y 0 z 0 ) berechnet. Diese ergeben sich direkt aus den elementaren Drehmatrizen nach.11) zu R0 1 = 0 c ϕ1 s ϕ1 0 s ϕ1 c ϕ R1 = 0 c ϕ s ϕ..35a).35b) 0 s ϕ c ϕ Im nächsten Schritt wird der Vektor p s1 1 vom Koordinatenursprung 0 0 des Inertialsystems 0 0 x 0 y 0 z 0 ) zum Schwerpunkt des Stabes 1 entspricht dem Ursprung 0 1 des Koordinatensystems 0 1 x 1 y 1 z 1 )) dargestellt im Koordinatensystem 1 körperfestes Koordinatensystem des Stabes 1) berechnet: p s1 1 = 0 l s1 0.36) Analog dazu werden der Vektor p e1 1 vom Koordinatenursprung 0 0 zum Ende des Stabes 1 Drehpunkt des Stabes ), der Vektor p s vom Drehpunkt des Stabes zum Schwerpunkt des Stabes Koordinatenursprung 0 des Koordinatensystems

21 .4 Kombinierte Rotation und Translation Seite 19 0 x y z )) sowie der Vektor p e vom Drehpunkt des Stabes zum Ende des Stabes Lage des Endeffektors) wie folgt berechnet: p e1 1 = l 1, ps = l s, pe = l..37) Nun ist natürlich weniger der relative Lage dieser Punkte sondern vielmehr die absolute Lage im Bezug auf das Inertialsystem 0 0 x 0 y 0 z 0 ) von Interesse. Für den Schwerpunkt und das Ende des Stabes 1 errechnen sich die absolute Lage einfach durch Drehung der körperfesten Vektoren p s1 1 Form p s1 0 = R 1 0p s1 1 = 0 l s1 c ϕ1 l s1 s ϕ1 und pe1 1 mit Hilfe der Drehmatrix R1 0 und pe1 0 = R 1 0p e1 1 = in der 0 l 1 c ϕ1..38) l 1 s ϕ1 Zur Berechnung der absoluten Lage des Schwerpunktes sowie des Endes des Stabes ist zu beachten, dass die Drehung des Stabes relativ zur Drehung des Stabes 1 definiert ist und somit die gesamte Drehung als Hintereinderausführung der Drehung des Stabes 1 mit der Drehung des Stabes gegeben ist. Weiterhin gilt zu beachten, dass die in den körperfesten Koordinaten definierten Vektoren p s und p e jeweils vom Drehpunkt des Stabes entspricht dem Ende des Stabes 1) gemessen wurden und somit zur Darstellung der gesamten Verschiebung zusätzlich die Verschiebung des Drehpunktes berücksichtigt werden muss. Dies führt auf ) p s 0 = R0 1 p e1 1 + R1p s = 0 l 1 c ϕ1 + l s c ϕ1 +ϕ.39a) l 1 s ϕ1 + l s s ϕ1 +ϕ 0 ) p e 0 = R0 1 p e1 1 + R1p e = l 1 c ϕ1 + l c ϕ1 +ϕ..39b) l 1 s ϕ1 + l s ϕ1 +ϕ Beispiel. Roboter). Abbildung.8 stellt den bereits in Kapitel 1.1 vorgestellten Roboter der Firma KUKA dar. Im Folgenden soll die Position des Endeffektors als Funktion der Drehwinkel um die Achsen berechnet werden. Zur Vereinfachung der Aufgabenstellung werden vorerst nur drei Drehungen betrachtet. Die erste Drehung um den Winkel ϕ 1 beschreibt dabei die Drehung des gesamten Roboters um die z-achse des Inertialkoordinatensystems 0 0 x 0 y 0 z 0 ). Die Winkel ϕ und ϕ 3 stellen die Drehung der Arme und 3 um die jeweiligen y-achsen der kör-

22 .4 Kombinierte Rotation und Translation Seite 0 perfesten Koordinatensysteme dar. Analog zum vorigen Beispiel werden im ersten Schritt die jeweiligen Drehmatrizen angegeben. ϕ 1 ϕ l 0 z 1 z x 1 y 1 z 0 y 0 x 0 x y l 1 l x 3 y 3 z 3 b ϕ 3 l 3 Abbildung.8: Roboter der Firma KUKA zu Beispiel.. c ϕ1 s ϕ1 0 R0 1 = s ϕ1 c ϕ c ϕ 0 s ϕ R1 = s ϕ 0 c ϕ c ϕ3 0 s ϕ3 R 3 = ).41).4) s ϕ3 0 c ϕ3 Im nächsten Schritt werden die Verschiebungen der Koordinatensysteme 0 1 x 1 y 1 z 1 ), 0 x y z ) und 0 3 x 3 y 3 z 3 ) im jeweiligen körperfesten Koordinatensystem dargestellt: 0 l 1 l d 1 0 = 0, d 1 = 0, d3 = b 0 0 l 0.43)

23 .4 Kombinierte Rotation und Translation Seite 1 Weiterhin berechnet sich der Abstand des Endeffektors vom Ursprung 0 3 des Koordinatensystems 0 3 x 3 y 3 z 3 ) in der Form l 3 p e 3 = 0..44) 0 Die absolute Position des Endeffektors p e 0 relativ zum Ursprung 0 0 des Inertialkoordinatensystems 0 0 x 0 y 0 z 0 ) kann nun durch p e 0 = d R 1 0 )) d 1 + R1 d 3 + Rp 3 e 3.45) ausgedrückt werden. Nach einiger Rechnung und unter Zuhilfenahme eines Computeralgebraprogramms Maple) folgt c ϕ1 l 1 + c ϕ l + c ϕ3 l 3 ) s ϕ s ϕ3 l 3 ) s ϕ1 b p e 0 = s ϕ1 l 1 + c ϕ l + c ϕ3 l 3 ) s ϕ s ϕ3 l 3 ) + c ϕ3 b..46) l 0 s ϕ l + c ϕ3 l 3 ) c ϕ s ϕ3 l 3 Beispiel.3 Turmdrehkran). Die beiden letzten Beispiele stellten mechanische Starrkörpersysteme dar, deren Bewegung allein durch Rotationen um die Drehachsen beschrieben werden konnten. Im Gegensatz dazu wird bei dem in Abbildung.9 skizzierten Turmdrehkran die Bewegung als Kombination von Rotationen mit einer Translation beschrieben. z 1 y 1 s 1 l 1 ϕ ϕ 1 h 1 l y z z 0 y 0 Abbildung.9: Prinzipskizze eines Turmdrehkranes zu Beispiel.3.

24 .4 Kombinierte Rotation und Translation Seite Das System besitzt 3 Freiheitsgrade: eine Drehung des Turms um den Winkel ϕ 1 um die z-achse des Inertialkoordinatensystems 0 0 x 0 y 0 z 0 ), eine Translation der Laufkatze um s 1 entlang der y-achse des Koordinatensystems 0 1 x 1 y 1 z 1 ) sowie eine Drehung des Seiles um den Winkel ϕ um die x-achse des Koordinatensystems 0 1 x 1 y 1 z 1 ). Dabei wurde vereinfachend angenommen, dass die Seillänge konstant ist und das Seil als starr betrachtet werden kann. Weiterhin wird vorerst nur eine Drehung des Seils mit Last um die x-achse des Koordinatensystems 0 1 x 1 y 1 z 1 ) betrachtet. Die Drehmatrizen zur Beschreibung der Verdrehungen der Koordinatensysteme ergeben sich in diesem Beispiel zu c ϕ1 s ϕ1 0 R0 1 = s ϕ1 c ϕ1 0.47) R1 = 0 c ϕ s ϕ..48) 0 s ϕ c ϕ Der Vektor d 1 0 vom Ursprung 0 0 des Koordinatensystems 0 0 x 0 y 0 z 0 ) zum Koordinatensystem 0 1 x 1 y 1 z 1 ), der Vektor p LK 1 zur Beschreibung der relativen Position der Laufkatze zum Koordinatensystem 0 1 x 1 y 1 z 1 ) sowie der Vektor p L zur Beschreibung der Lage der Last relativ zum Drehpunkt lassen sich in den jeweiligen Koordinatensystemen wie folgt angeben d 1 0 = 0, dlk 1 = s 1, pl = l h ) Nach kurzer Rechnung lässt sich schließlich die absolute Position der Last p L 0 relativ zum Inertialkoordinatensystem 0 0 x 0 y 0 z 0 ) mit durch p L 0 = d R 1 0 ) d LK 1 + R1p L s ϕ1 s 1 + c ϕ l ) p L 0 = c ϕ1 s 1 + c ϕ l ) h 1 + s ϕ l.50).51) beschreiben. Man beachte, dass hier die Position s 1 nicht konstant ist sondern die Translation der Laufkatze beschreibt, d.h. s 1 = s 1 t).

25 .5 Drehwinkelgeschwindigkeit Seite 3.5 Drehwinkelgeschwindigkeit Die Elemente der Drehmatrizen sind Funktionen der Drehwinkel, die wiederum im Allgemeinen Zeitfunktionen darstellen, siehe beispielsweise.10) und.11). Berechnet man nun die totale zeitliche Ableitung einer Drehmatrix R SO 3) und setzt der Einfachheit halber voraus, dass die Drehmatrix nur von einem Drehwinkel θ t) abhängt, so folgt Ṙ θ) = θ R θ..5) Man überzeugt sich nun leicht, dass aufgrund der Orthogonalität der Drehmatrix R mit E als Einheitsmatrix folgende Beziehungen RR T d = E und dt gelten. Dies zeigt aber, dass die Matrix RR T ) = ṘRT + RṘT = 0.53) S = ṘRT = RṘT.54) eine schiefsymmetrische 3 3)-Matrix ist und damit immer ein eindeutiger Vektor der Drehwinkelgeschwindigkeiten ω T = [ω x, ω y, ω z ] so existiert, dass sich S in der Form 0 ω z ω y S ω) = ω z 0 ω x ω y ω x 0.55) anschreiben lässt. Für die elementaren Drehmatrizen.10) und.11) erhält man beispielsweise 0 φ 0 S z,φ = Ṙz,φRz,φ T = φ ) bzw. 0 0 θ S y,θ = Ṙy,θRy,θ T = θ und S x,ψ = Ṙx,ψRx,ψ T = 0 0 ψ..57) ψ 0 Kombiniert man.53) und.54), dann folgt Ṙ θ) = Ṙ } RT {{ R} = SR..58) E Es wird angenommen, dass p 1 einen festen zeitlich konstanten) Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems 0 1 x 1 y 1 z 1 ) zu einem Punkt P repräsentiert, siehe dazu Abbildung

26 .5 Drehwinkelgeschwindigkeit Seite Das Koordinatensystem 0 1 x 1 y 1 z 1 ) führe translatorische und rotatorische Bewegungen gegenüber einem ortsfesten Koordinatensystem Inertialsystem) 0 0 x 0 y 0 z 0 ) aus. Die Geschwindigkeit ṗ 0 des Punktes P gemessen im Inertialsystem ist dann durch die Beziehung vergleiche.4)) ) ṗ 0 = Ṙ1 0p 1 + R0 1 ṗ }{{} 1 +ḋ1 0 = S ω0 1 R0p ḋ1 0.59) =0 bzw. mit ω = ω 1 0, r = R1 0 p 1 und v = ḋ1 0 durch gegeben. Man beachte dabei, dass gilt 0 ω z ω y S ω) r = ω z 0 ω x ω y ω x 0 ṗ 0 = ω r + v.60) r x r y = r z ω y r z ω z r y ω z r x ω x r z = ω x r y ω y r x ω x r x ω y r y ω z r z = ω r..61) R 1 0 t) z 0 d 1 0 t) z y 1 p 1 x x 0 y 0 p 0 t) P Abbildung.10: Zur Drehwinkelgeschwindigkeit. Im nächsten Schritt soll nun berechnet werden, wie sich die Drehwinkelgeschwindigkeiten bei mehreren zueinander gedrehten Koordinatensystemen addieren. Dazu betrachte man die Drehmatrix R0 gemäß der Beziehung.13) mit R 0 = R1 0 R 1 und leite diese nach der Zeit ab. Man erhält dann einerseits zufolge von.58) die Beziehung ) Ṙ0 = S ω0 R0.6) und andererseits ergibt sich durch Anwenden der Produktregel ) ) T Ṙ0 = Ṙ1 0R1 + R 0Ṙ 1 1 = S ω0 1 R0R R0S 1 ω1 R0) 1 R 1 0 R1..63) } {{ } E

27 .6 Manipulator Jacobi-Matrix Seite 5 Um.63) weiter zu vereinfachen, nutzt man folgenden, für einen beliebigen 3-dimensionalen Vektor k geltenden, Zusammenhang ) ) T R0S 1 ω1 R0 1 k = R 1 0 = R 1 0ω 1 ω 1 ) ) T R0 1 k ) k = S = R0ω 1 1 ) k R 1 0ω 1 ) T R0 1 R0) 1 k.64) sowie die Additionseigenschaft zweier schiefsymmetrischer Matrizen 0 a z a y 0 b z b y 0 a z b z a y + b y a z 0 a x + b z 0 b x = a z + b z 0 a x b x a y a x 0 b y b x 0 a y b y a x + b x 0 } {{ } } {{ } } {{ } Sa) Sb) Sa+b)..65) Mit.64),.65) und R0 = R1 0 R 1 reduziert sich.63) zu ) )) ) Ṙ0 = S ω0 1 + S R0ω 1 1 R0 = S ω0 1 + R0ω 1 1 R0.66) und durch Vergleich von.6) mit.66) bekommt man folgenden Zusammenhang für den Vektor der Drehwinkelgeschwindigkeiten ω 0 = ω R 1 0ω 1..67) Wie man in.67) erkennt, macht eine Addition der Vektoren der Drehwinkelgeschwindigkeiten natürlich nur dann Sinn, wenn sie bezüglich des gleichen Koordinatensystems ausgedrückt werden. Durch den Ausdruck R0 1ω 1 wird der Vektor der Drehwinkelgeschwindigkeit ω1 in das Koordinatensystem 0 0x 0 y 0 z 0 ) transformiert und kann dann erst zu ω0 1 addiert werden. Die soeben hergeleiteten Beziehungen lassen sich konsequent auf den allgemeinen Fall in der Form und erweitern..6 Manipulator Jacobi-Matrix Ṙ n 0 = S ω n 0 ) R n 0 mit R n 0 = R 1 0R 1... R n n 1.68) ω n 0 = ω R 1 0ω 1 + R 0ω R n 1 0 ω n n 1.69) Angenommen, die homogene Transformation H l k q) = Rl k q) 0 1 pl k q) mit R l k q) SO 3).70)

28 .6 Manipulator Jacobi-Matrix Seite 6 beschreibt die Bewegung eines Punktes z.b. Endeffektorposition) im Koordinatensystem 0 l x l y l z l ) gegenüber dem Koordinatensystem 0 k x k y k z k ) und lässt sich durch die unabhängigen Variablen Winkel und Positionen) q j, j = 1,..., n parametrieren. Der zu H l k zugehörige Vektor der Drehwinkelgeschwindigkeiten ωk l kann zufolge von.9),.55) aus folgender Beziehung ) S ωk l = Ṙl k q) Rk l q) T = n j=1 ) Rk l q) Rk l q) T q j.71) q j in der Form ωk l = J ω ) l k q) q.7) errechnet werden. Analog dazu kann auch die translatorische Geschwindigkeit vk l durch q und q in der Form ) n [ ] vk l = ṗ l k q) = d l k q) q j = q q j 1 d l k q) q d l k q)... q n d l k q) q.73) } {{ } j=1 J v) l k q) parametriert werden. Zusammenfassend lassen sich der Vektor der Drehwinkelgeschwindigeit ωk l und der Vektor der translatorischen Geschwindigkeit vl k wie folgt ωl k J ω ) l = k q) q = J l J v ) l k q) k q) q.74) v l k anschreiben. Die Matrix J l k q) wird dabei oft auch als Manipulator Jacobi-Matrix bezeichnet. Beispiel.4 Planarer Manipulator). Im Beispiel.1 wurde die Kinematik des planaren Manipulators nach Abbildung.7 berechnet. Will man nun z.b. die kinetische Energie des Endeffektors bestimmen, so setzt sich diese, wie später noch gezeigt wird, aus einem translatorischen und einem rotatorischen Anteil zusammen. Zur Berechnung des rotatorischen Anteils der kinetischen Energie muss nun offensichtlich die Drehwinkelgeschwindigkeit des Endeffektors bestimmt werden. Nach.67) kann die gesamte Drehwinkelgeschwindigkeit in der Form berechnet werden. Darin kann ω 1 0 aus ω 0 = ω R 1 0ω 1.75) ) T S ω0 1 = Ṙ1 0 R0) 1.76) in der Form ϕ 1 ω0 1 = )

29 .6 Manipulator Jacobi-Matrix Seite 7 ermittelt werden. Analog ergibt sich ϕ ω1 = ) und damit die gesamte Drehwinkelgeschwindigkeit ϕ ϕ ϕ 1 + ϕ ω0 = c ϕ1 s ϕ1 0 = 0..79) 0 0 s ϕ1 c ϕ1 0 0 In der späteren Berechnung der Bewegungsgleichungen des Systems erweist es sich als sinnvoll, die Drehwinkelgeschwindigkeit in der Form.7)) mit der Manipulator Jacobi-Matrix J ω ) k l q) darzustellen. In.71) wurde dazu gezeigt, dass der Vektor der Drehwinkelgeschwindigkeit eine linear Funktion von q ist. Daher ist es möglich, die Manipulator Jacobi-Matrix für die Drehwinkelgeschwindigkeiten in der Form ] J ω ) k l q) = [ ω k l q 1,..., ωk l q n.80) zu berechnen, wobei n die Anzahl der Freiheitsgrade beschreibt. Im betrachteten Beispiel des planaren Manipulators soll nun die Drehwinkelgeschwindigkeit sowie die Geschwindigkeit des Endeffektors berechnet werden. Dazu stellt man im ersten Schritt die absolute Position des Endeffektors mit Hilfe der homogenen Transformation H e 0 dar, siehe.38),.39) H e 0 = R 0 p e mit p e 0 = R0 1 p e1 1 + R1 ) pe R0 = R0 1R 1..81) Die Freiheitsgrade q und deren zeitliche Ableitungen q des planaren Manipulators sind durch q T = [ϕ 1, ϕ ] und q T = [ ϕ 1, ϕ ].8) gegeben, womit mit.79) unmittelbar J ω ) e 0 = )

30 .6 Manipulator Jacobi-Matrix Seite 8 folgt. Die Einträge für J v ) e 0 können einfach durch partielle Ableitung von pe 0 gemäß.81) nach q berechnet werden, d.h. J v ) e 0 = 0 0 l 1 s ϕ1 l s ϕ1 +ϕ l s ϕ1 +ϕ..84) l 1 c ϕ1 + l c ϕ1 +ϕ l c ϕ1 +ϕ

31 .7 Literatur Seite 9.7 Literatur [.1] M. G. Calkin, Lagrangian and Hamiltonian mechanics. Singapore: World Scientific, [.] H. Goldstein, Klassische Mechanik, 11.Auflage. Wiesbaden: AULA-Verlag, [.3] H. Hahn, Rigid Body Dynamics of Mechanisms: Part 1: Theoretical Basis. Berlin: Springer, 00. [.4] H. Hahn, Rigid Body Dynamics of Mechanisms: Part : Applications. Berlin: Springer, 00. [.5] B. Heimann, W. Gerth und K. Popp, Mechatronik: Komponenten - Methoden - Beispiele,. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 003. [.6] R. Isermann, Mechatronische Systeme: Grundlagen. Berlin: Springer, 00. [.7] A. A. Shabana, Dynamics of Multibody Systems. Cambridge: Cambridge University Press, [.8] M. W. Spong und M. Vidyasagar, Robot Dynamics and Control. New York: John Wiley & Sons, [.9] P. E. Wellstead, Physical System Modelling. London: Academic Press, 1979.

32 3 Starrkörperdynamik Nachdem im vorigen Kapitel die Starrkörperkinematik behandelt wurde, befasst sich dieses Kapitel mit der Herleitung von dynamischen Bewegungsgleichungen von Starrkörpersystemen. Die hier gewählte Formulierung beruht auf den sogenannten Euler-Lagrange Gleichungen, die eine sehr systematische Berechnung der Bewegungsgleichungen auf Basis der kinetischen und potenziellen Energie des Starrkörpersystems erlauben. Im Zusammenhang mit regelungstechnischen Fragestellungen wird diese Formulierung unter anderem auch deshalb gewählt, da die Energien eine wichtige Rolle im Rahmen des nichtlinearen) Regelungsentwurfes spielen. Ziel dieses Kapitels ist es auch, das theoretische Rüstzeug zur systematischen Herleitung der Bewegungsgleichungen mit Hilfe von Computeralgebraprogrammen zu legen, weshalb sich ein großer Teil mit der systematischen Berechnung der Ausdrücke für die kinetische und potenzielle Energie beschäftigt. 3.1 Euler-Lagrange Gleichungen Ausgangspunkt der Betrachtungen ist das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz angewandt auf ein Teilchen der Masse Punktmasse) m in einem kartesischen Koordinatensystem m r = F. 3.1) Dabei bezeichnet F T = [F x, F y, F z ] die gesamte Kraft, die auf das Teilchen wirkt, und r T = [x, y, z] ist der Positionsvektor vom Koordinatenursprung des Inertialsystems zum Teilchen 1. Die Lage einer Punktmasse, deren Bewegung keinen Zwängen unterliegt, ist durch die Angabe der drei translatorischen Verschiebungen bezüglich eines Inertialsystems eindeutig bestimmt. Man sagt dann auch, die Punktmasse besitzt 3 Freiheitsgrade. Im Gegensatz dazu wird die Konfiguration eines frei beweglichen Starrkörpers durch 6 Freiheitsgrade beschrieben, nämlich 3 Freiheitsgrade für die translatorische Verschiebung und 3 Freiheitsgrade der Rotation zur Beschreibung der Orientierung des Starrkörpers zum Inertialsystem. Nun unterliegt die Bewegung eines Starrkörpersystems im Allgemeinen Zwangsbedingungen, die mit in Betracht gezogen werden müssen. Man betrachte dazu beispielsweise die Bewegung einer Masse auf einer schiefen Ebene gemäß Abbildung 3.1a) mit der Zwangsbedingung y = a 1 x/b) oder das sphärische Pendel gemäß Abbildung 3.1b) mit der Zwangsbedingung x + y + z = l. 3.) Zwei Masseteilchen i und j eines Starrkörpers, die durch eine Linie der festen Länge 1 Hier und im Weiteren wird mit einem Punkt über einer Größe immer die totale Zeitableitung d dt symbolisiert.

33 3.1 Euler-Lagrange Gleichungen Seite 31 y a z y x l b x a) b) Abbildung 3.1: Zwangsbedingungen der Bewegung. l ij miteinander verbunden werden können, erfüllen die Zwangsbedingung r i r j = r i r j ) T r i r j ) = lij. Lässt sich eine Zwangsbedingung in der Form f r 1, r,..., t) = 0 3.3) ausdrücken, dann spricht man von einer holonomen Zwangsbedingung. Zwangsbedingungen, die nicht in dieser Art darstellbar sind, werden als nichtholonom bezeichnet. Dazu zählen unter anderem Ungleichungsbedingungen f r 1, r,..., t) 0, 3.4) wie sie beispielsweise bei der Bewegung eines Partikels in einer Hohlkugel mit dem Radius a in der Form a r 0 auftreten. Auch Zwangsbedingungen, die explizit von der Geschwindigkeit abhängen und nicht integrabel sind, d.h., f r 1, r,..., ṙ 1, ṙ,..., t) = 0, 3.5) sind nichtholonom. In manchen Literaturstellen werden Zwangsbedingungen gemäß 3.3) und 3.5) auch als geometrische und kinematische Zwangsbedingungen klassifiziert. Ein typischer Fall für eine nichtholonome kinematische) Zwangsbedingung ist das Rollen einer Scheibe auf einer Ebene. Man überzeugt sich nun leicht, dass ein System von N Teilchen, das frei von Zwang ist, 3N unabhängige Koordinaten oder Freiheitsgrade besitzt. Existieren nun beispielsweise 3N n) holonome Zwangsbedingungen der Form dann ist unmittelbar einsichtig, dass f j r 1, r,..., r N, t) = 0, j = 1,..., 3N n), 3.6) A) die Koordinaten nicht mehr linear unabhängig voneinander sind und

34 3.1 Euler-Lagrange Gleichungen Seite 3 B) zur Einhaltung der Zwangsbedingungen entsprechende Zwangskräfte auftreten müssen, die a priori nicht bekannt sind. Mit Hilfe der 3N n) holonomen Zwangsbedingungen ist es nun möglich, 3N n) der 3N Koordinaten zu eliminieren bzw. n neue unabhängige Koordinaten q i, i = 1,..., n einzuführen, durch die sämtliche alte) Koordinaten in der Form r j = r j q 1, q,..., q n, t) = r j q, t), j = 1,..., N 3.7) ausgedrückt werden können. Man sagt dann auch, das System besitzt n Freiheitsgrade und die n neuen unabhängigen Koordinaten q i, i = 1,..., n bzw. q T = [q 1,..., q n ] werden als generalisierte Koordinaten bezeichnet. Zerlegt man gemäß B) die auf die Masseteilchen wirkenden Kräfte F i in die angewendeten Kräfte F a) i und in die Zwangskräfte F z) i, dann lauten die Newtonschen Bewegungsgleichungen 3.1) für das System von N Teilchen m i r i = F a) i + F z) i, i = 1,..., N. 3.8) Man beachte, dass durch 3.6) und 3.8) lediglich 6N n) Gleichungen zur Bestimmung der 6N Unbekannten r i und F z) i, i = 1,..., N zur Verfügung stehen. Die fehlenden Gleichungen erhält man nun aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit. Betrachtet man beispielsweise die reibungsfrei gleitende Masse auf der schiefen Ebene gemäß Abbildung 3.a), dann hat man für die unbekannten Größen x, y sowie F x z), F y z) zwei Bewegungsgleichungen und eine Zwangsbedingung. Die fehlende Gleichung ist durch die Tatsache gegeben, dass die Zwangskraft F z) senkrecht zur schiefen Ebene steht. Die fehlenden Gleichungen y a z y x l F z) mg F z) b x mg a) b) Abbildung 3.: Zwangskräfte zu den Beispielen von Abbildung 3.1. folgen aus dem Prinzip, dass die Summe der durch die Zwangskräfte verrichteten Arbeit

35 3.1 Euler-Lagrange Gleichungen Seite 33 gleich Null ist. Man beachte aber, dass diese Aussage nicht gültig ist, wenn die Zwangsbedingungen zeitabhängig sind, also z.b. die schiefe Ebene sich mit der Zeit verändert. Aus diesem Grund führt man den Begriff der virtuellen Verrückung eines Systems ein. Dabei wird das System zu einem Zeitpunkt t festgehalten und in diesem festgehaltenen Zustand wird anschließend eine willkürliche infinitesimale Verschiebung δr i, die mit den Zwangsbedingungen 3.6) konsistent ist, durchgeführt. Beispielsweise für das sphärische Pendel von Abbildung 3.1b) bedeutet dies, dass folgende Beziehung x + δx) + y + δy) + z + δz) = l 3.9) erfüllt sein muss. Unter Berücksichtigung von 3.) und unter Vernachlässigung von Termen zweiter Ordnung, d.h. δx) = δy) = δz) = 0, folgt 3.9) zu xδx + yδy + zδz = ) Das Prinzip der virtuellen Arbeit besagt nun, dass die Summe der durch die Zwangskräfte F z) i verrichteten Arbeit δw z) bei einer virtuellen Verrückung gleich Null ist, d.h. für das System von N Teilchen gilt δw z) = N F z) i i=1 ) T δri = ) Betrachtet man wiederum das sphärische Pendel von Abbildung 3.1b), so muss gemäß 3.11) offensichtlich die Bedingung F z) x δx + F y z) δy + F z z) δz = 0 3.1) erfüllt sein. Löst man nun unter der Annahme z ) nach δz auf und setzt dies in 3.1) ein, so folgt F z) x x ) z F z z) δx + F y z) y ) z F z z) δy = ) bzw. wegen der linearen Unabhängigkeit von δx und δy müssen die Bedingungen F z) x [ gelten. Dies bedeutet aber, dass die Zwangskraft F z) = = x z F z z) und F y z) = y z F z z) 3.14) F z) x, F z) y, F z) ] in Richtung des masselosen Stabes der Länge l zeigen muss, vergleiche dazu Abbildung 3.b). Auf analoge Art und Weise kann man zeigen, dass die Zwangskraft bei der reibungsfrei gleitenden Masse auf der schiefen Ebene senkrecht auf die Ebene steht Abbildung 3.a)). Häufig ist man an den Zwangskräften nicht interessiert, weshalb man diese aus 3.8) berechnet und in 3.11) einsetzt. Man erhält dann das sogenannte D Alembertsche Prinzip in der Form N i=1 m i r i F a) i ) T δri = ) z

36 3.1 Euler-Lagrange Gleichungen Seite 34 Nimmt man nun an, dass das System n Freiheitsgrade besitzt und gemäß 3.7) durch die generalisierten Koordinaten q i, i = 1,..., n beschrieben werden kann, dann gilt für die virtuelle Verrückung man beachte, dass bei der virtuellen Verrückung die Zeit t konstant gehalten wird!) n r i δr i = δq j 3.16) q j und 3.15) folgt zu n N m i r T i j=1 i=1 r i q j δq j = j=1 n N Q j δq j mit Q j = j=1 i=1 F a) i ) T r i. 3.17) q j Die Q j werden dabei als Komponenten der generalisierten Kraft bezeichnet. Man beachte, dass weder Q j notwendigerweise die Dimension einer Kraft noch q j die Dimension einer Länge haben muss deshalb auch der Name generalisiert), deren Produkt aber immer die Dimension einer Arbeit ergeben muss. Bemerkung 3.1. Zur Berechnung der generalisierten Kräfte eines Starrkörpersystems betrachte man die über eine externe Kraft F a) bzw. über ein externes Moment M a) zugeführte Leistung a W F = F a)) T v a) bzw. W M = M a)) T ω a) 3.18) mit dem zugehörigen Geschwindigkeitsvektor v a) und dem zugehörigen Vektor der Drehwinkelgeschwindigkeiten ω a). Im Abschnitt.6 wurde gezeigt, siehe im Speziellen.74), dass sich v a) und ω a) über die Manipulator Jacobi-Matrizen in der Form v a) = J a) v q) q und ω a) = J a) ω q) q 3.19) schreiben lassen. Setzt man 3.19) in 3.18) ein, so erhält man aus W F = F a)) T a) J v q) q bzw. W M = M a)) T J a) ω q) q 3.0) } {{ } } {{ } Q T F Q T M unmittelbar die zu F a) und M a) zugehörigen generalisierten Kräfte Q F = J a) v ) T F a) und Q M = J a) ω ) T M a). 3.1) Die genaue Anwendung dieser Theorie wird im weiteren Verlauf des Skriptums anhand von Beispielen demonstriert. a Man beachte, dass sowohl die Komponenten von F e und v e als auch die Komponenten von M e und ω e bezüglich des identischen Koordinatensystems ausgedrückt werden müssen.

37 3.1 Euler-Lagrange Gleichungen Seite 35 Wendet man die Produktregel der Differenziation auf die linke Seite von 3.17) an, so erhält man [ ] ) N m i r T r i N d i = m i ṙ T r i i m i ṙ T d r i i. 3.) q j dt q j dt q j i=1 i=1 Unter Verwendung der Geschwindigkeiten v i v i = ṙ i = n j=1 r i q j + r i q j t 3.3) bzw. folgt 3.) zu N m i r T i i=1 v i q j = r i q j r i q j = N i=1 und [ d m i vi T dt d r i = dt q j n k=1 ] v i m i vi T q j mit der kinetischen Energie T definiert in der Form Setzt man 3.5) in 3.17) ein, dann ergibt sich r i q j q k q k + r i q j t = v i q j 3.4) ) v i q j = d T T 3.5) dt q j q j T = 1 N m i vi T v i. 3.6) i=1 n d T T ) Q j δq j = 0 3.7) dt q j=1 j q j und da die virtuellen Verrückungen δq j, j = 1,..., n unabhängig voneinander sind, erhält man unmittelbar n gewöhnliche Differenzialgleichungen zweiter Ordnung Euler-Lagrange Gleichungen), die die Bewegung des Systems beschreiben d T T = Q j, j = 1,..., n 3.8) dt q j q j mit den generalisierten Koordinaten q j und den generalisierten Geschwindigkeiten q j. Wenn sich nun die generalisierte Kraft Q j aus der Summe von externen generalisierten Kräften τ j und Kräften, die aus einer skalaren Potenzialfunktion V q) hergeleitet werden können, Q j = τ j V q j 3.9) zusammensetzt, dann können die Euler-Lagrange Gleichungen 3.8) folgendermaßen umgeschrieben werden

38 3.1 Euler-Lagrange Gleichungen Seite 36 d L L = τ j, j = 1,..., n 3.30) dt q j q j mit der sogenannten Lagrange-Funktion L = T V Lagrange-Funktion = kinetische Energie minus potenzielle Energie). Für τ j = 0 in 3.30) spricht man auch von einem sogenannten konservativen System, ein System, bei dem sich die Gesamtenergie zufolge der Bewegung nicht ändert bzw. keine Dissipation im System auftritt z.b. ungedämpftes Feder-Masse System). Da nur einige der auf das System wirkenden Kräfte Q j in 3.8) durch ein skalares Potenzial ausgedrückt werden können, fasst man alle anderen Kräfte, wie beispielsweise auch Reibungskräfte, in τ j zusammen, siehe dazu 3.9). Wenn nun eine den generalisierten Geschwindigkeiten q j proportionale Reibungskraft der Form τ j = k j q j, k j > ) auftritt, dann kann diese Reibungskraft durch die sogenannte Rayleighsche Dissipationsfunktion R = 1 n k j q j 3.3) j=1 ausgedrückt werden. Die physikalische Interpretation von R ist dadurch gegeben, dass der Ausdruck R den Anteil der Energiedissipation beschreibt, der durch die Kräfte 3.31) hervorgerufen wird. Beinhaltet nun die Lagrange-Funktion L das Potenzial aller konservativen Kräfte, die Rayleighsche Dissipationsfunktion R alle Reibungskräfte der Form 3.31) und die τ j beschreiben sämtliche externen generalisierten Kräfte und die Kräfte, die nicht durch L bzw. R ausgedrückt werden können, so lauten die Euler-Lagrange Gleichungen 3.30) d L L + R = τ j, j = 1,..., n. 3.33) dt q j q j q j Bemerkung 3.. Die Euler-Lagrange Gleichungen 3.30) führen auch dann noch zu den richtigen Bewegungsgleichungen, wenn die generalisierten Kräfte nicht aus einem Potenzial der Form V q) herrühren, sondern aus einem generalisierten Potenzial V q, q), das folgende Bedingung Q j = V + d ) V q j dt q j 3.34) erfüllt. Dies ist beispielsweise der Fall bei der Beschreibung elektromagnetischer Kräfte auf bewegte Ladungen. Bemerkung 3.3. Die Lagrangeschen Gleichungen lassen sich auch über ein Variationsprinzip, nämlich dem sogenannten Hamiltonschen Prinzip, herleiten. Dieses besagt in seiner integralen Formulierung für konservative Systeme, dass die Bewegung eines Systems zwischen den Zeitpunkten t 1 und t so erfolgt, dass das Linienintegral t t 1 Ldt mit L = T V für die durchlaufene Bahn ein Extremum ist. Es soll an dieser Stelle nicht näher darauf eingegangen werden, doch kann diese Formulierung