Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1

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1 B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen, denn wir hätten zwei Gleichungen mit drei Unbekannten: Dieser (unnütze) Ansatz hat schon viele Realschüler in der Abschlussprüfung zur Verzweiflung gebracht! Der springende Punkt ist, dass kein beliebiger Punkt ist, sondern der Scheitel von! Wir wissen also, dass die Scheitelform von folgende Gestalt haben muss: Was uns noch fehlt, ist der Zahlenwert für die Konstante a (der Öffnungsfaktor). Gut, dass wir die Information Punkt noch nicht verwendet haben. Wir erhalten eine Gleichung mit einer Unbekannten (das sollte lösbar sein): Also sieht die gesuchte Parabel so aus: Achtung: Die allgemeine Form noch einmal die Frage durchlesen! Umwandeln in die allgemeine Form: ist gefragt! (Immer am Ende

2 Hinweis: Man muss für deshalb keine Wertetabelle anlegen, da eine Normalparabel ist und mit der Schablone bei bekanntem Scheitelpunkt einfach, sauber und schnell gezeichnet werden kann! Bitte möglichst gleichmäßig ohne Zacken verbinden! Das war viel Arbeit, aber nicht für 5 Punkte

3 B 1.0 B 1.2 L: Der Punkt liegt auf der Parabel zwischen dem linken Schnittpunkt der beiden Parabeln und dem rechten Schnittpunkt (außerhalb dieses Intervalls wäre!). Der Punkt liegt auf der Parabel zwischen dem linken Schnittpunkt der beiden Parabeln und dem rechten Schnittpunkt. und erhalten wir, indem wir für den Wert 3 setzen. liegt auf der Mittelsenkrechten von und 4 LE weiter links wie und. Genauso zeichnet man auch das Dreieck :

4 B 1.0 B 1.3 L: Wir haben bereits festgestellt, dass nur zwischen dem ersten und zweiten Schnitt der Parabeln erfüllt ist. Wir müssen also in dieser Aufgabe das und berechnen. Für jeden der beiden Schnittpunkte gilt, dass die x-werte und die y-werte gleich groß sind. Also können wir den y-wert der Parabel mit dem y-wert der Parabel gleichsetzen. Wenn wir dann nach x auflösen, erhalten wir die Werte für und. Auf geht s: Wir können bei dieser gemischtquadratischen Gleichung nicht erkennen, bei welchen x- Werten die der Linksterm dem Wert 0 des Rechtstermes entspricht. Deshalb ergänzen wir quadratisch (dadurch machen wir aus und x nur noch ein x ): Für x muss gelten: und

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6 B 1.4 L: Die Fläche eines Dreieckes ergibt sich (unter anderem wir lernen auch noch andere Formeln kennen!) durch folgende Formel: Für unsere Dreiecke erhalten wir daher: Die Länge von erhalten wir, indem wir den y-wert von vom y-wert von abziehen: Die Punkte haben folgende Koordinaten: und Differenz (Maßzahlengleichung): Mit der Maßeinheit LE erhalten wir folgende Größengleichung: Jetzt können wir die Fläche der Dreiecke in Abhängigkeit von x ermitteln: (Maßzahlengleichung): Die Größengleichung bringt uns folgendes: Wir setzen einen Wert für x in den Rechtsterm ein und erhalten den zu diesem x gehörenden Flächeninhalt des Dreiecks. Jetzt suchen wir ein x, bei dem der Flächeninhalt maximal wird (wir suchen also den Scheitelpunkt, denn kein y-wert ist größer als der des Scheitelpunktes!): (Maßzahlengleichung): Der Scheitelpunkt (der Funktion, die den Flächeninhalt der Dreiecke in Abhängigkeit von x angibt) hat also die Koordinaten: Wir wissen jetzt: Beim Wert liegt das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt. Für die Koordinaten des Punktes gilt: mit und gilt:

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8 B 1.0 B 1.5 L: Der Plan sieht folgendermaßen aus: Wir beweisen, dass 8 LE lang ist. Da das Dreieck gleichschenklig ist, teilt die Höhe die Grundlinie genau in der Mitte. Also in zwei jeweils 4 LE lange Strecken. Eine Kreislinie, die wir um den Mittelpunkt der Strecke mit dem Radius 4 LE zeichnen, stellt somit einen Thaleskreis dar. Der Winkel über der Strecke hat somit ein Maß von 90. Das Dreieck ist rechtwinklig! Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass 8 LE lang ist: mit gilt: q.e.d.

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