von Werkstoffkennwerten

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1 9.4 Werkstoffkennwerte Stoffgesetze Das Werkstoffverhalten wird durch Werkstoffkennwerte beschrieben, deren experimentelle Ermittlung Gegenstand der Werkstoffkunde ist. Als Stoffgesetze bezeichnet man mathematische unktionen, die das Werkstoffverhalten in Abhängigkeit von Werkstoffkennwerten beschreiben. Stoffgesetzte werden meist aufgrund theoretischer Überlegungen aufgestellt, wobei die Parameter experimentell an das Materialverhalten angepasst werden müssen. Behandelt werden hier Stoffgesetze, die das mechanische Werkstoffverhalten zu den gemessenen Spannungen und Verzerrungen in Beziehung setzen. 1

2 9.1 Zugversuch Das Verhalten eines Probestabes hinsichtlich seiner estigkeit und seines ormänderungsvermögens unter der Wirkung einer Längskraft wird im Zugversuch (DIN EN ) ermittelt. Hierbei wird in einer Zugprüfmaschine ein genormter Probestab (DIN 50125) zügig bis zum Bruch belastet, wobei die Kraft langsam (quasistatisch) aufgebracht wird. Die Aufnahme des Kraft- Verlängerungsverlaufs stellt das primäre Ergebnis des Zugversuchs dar. Schrittmotor Kardangelenk Zugstange Probe Kraftmessdose Spannbacken Traverse Bedienpanel Rahmen 2

3 9.1.1 Probengeometrie Zur Aufnahme in die Prüfmaschine werden die Enden eines Probestabes verdickt und als Gewinde oder glatt als Zylinder oder Kegel ausgeführt. d 0 A 0 L 0 Um störende Randeffekte auszuschließen, muss die zylindrische Messlänge im Verhältnis zum Probenquerschnitt A 0 genügend groß (L 0 5 d 0 ) sein α Messwerte L Die Verlängerung der Probe wird durch mechanische oder optische Vorrichtungen (Extensometer) aufgenommen. Gleichzeitig wird die momentan wirkende Kraft über eine Kraftmessdose registriert. 3

4 9.1.2 Spannungs-Dehnungskurve Aus dem gemessenen Kraft-Verlängerungsverlauf wird die Spannungs- Dehnungskurve (ließkurve) ermittelt. Hierbei wird die Spannung auf die Ausgangsfläche A 0 und die Dehnung auf die Bezugslänge L 0 bezogen. σ = /A 0 Zugfestigkeit R m R e R E Streckgrenze Bruch R p Elast. Bereich Probeneinschnürung ließbereich Verfestigungsbereich ε = L/L 0 4

5 Aus der ließkurve werden folgende genormte Werkstoffkennwerte ermittelt: Bis zur Proportionalitätsgrenze R p ist der Verlauf der ließkurve eine Gerade, zwischen Spannung und Dehnung herrscht eine linearer Zusammenhang Bis zur Elastizitätsgrenze R E bleiben bei Entlastung keine plastischen Verformungen zurück Im Bereich der Streckgrenze R e nimmt die Dehnung zu, während die Spannung konstant bleibt oder zurückgeht (ausgeprägte Streckgrenze) Die Zugfestigkeit R m ist die auf den Ausgangsquerschnitt bezogene maximalen Spannung Die Proportionalitätsgrenze R p und die Elastizitätsgrenze R E fallen oftmals zusammen und lassen sich aus der ließkurve nur schwer ermitteln. Als estigkeitskennwert gegen Verformungsversagen wird daher die Streckgrenze R e herangezogen. Die Zugfestigkeit R m ist der Werkstoffkennwert zur Dimensionierung eines Bauteils gegen Bruch. 5

6 Duktile Baustähle besitzen eine ausgeprägte Streckgrenze, während Vergütungsstähle oder Aluminium keinen ließbereich aufweisen. σ R m R p0,2 Bruch ε p ε e ε Bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Streckgrenze verwendet man stattdessen sog. Dehngrenzen, d. h. Spannungen, die zu einer bestimmten bleibenden Dehnung führen. Typischerweise wird ε p = 0,2% gesetzt. 6

7 Polymere (Kunstoffe, Gummi) besitzen keinen linearen Bereich, sie zeigen ein nichtlinear-elastisches Verhalten Bruch σ σ Naturkautschuk Grauguss ε ε Quetschgrenze Bei spröden Materialien (Grauguss, Keramik, Beton) kommt es bei Zugbeanspruchung zu keiner plastischen Verformung. Ausgehend von Störstellen tritt der Bruch durch spontane Rißausbreitung auf. Bei Druckbeanspruchung haben spröde Materialien einen wesentlich höheren Verformungswiderstand durch Ausbauchen der Probe bis zur Quetschgrenze. 7

8 9.1.3 Bruchverhalten von Zugstäben Zähes Material weist im Zugversuch ein typisches Bruchverhalten auf. Zunächst wird die Probe gleichmäßig gedehnt, wobei sich der Querschnitt infolge Volumenkonstanz verringert. Nach Überschreiten der Zugfestigkeit kommt es zur örtlichen Einschnürung, was sich in einem Abfall der ließkurve bemerkbar macht. Gleichmaßdehnung Ist das Verformungsvermögen ausgeschöpft, kommt es zum Scherbruch der Probe, wobei die Bruchflächen unter ca. 45 zur Zugrichtung auftreten. Einschnürung Bruchfläche 8

9 Bei starker Probeneinschnürung tritt ein sog. Mischbruch auf, d. h. das Material versagt in den Randbereichen durch einen Scherbruch, währen im Kernbereich ein Restgewaltbruch erfolgt (Napfbruch). Die Ursache hiefür ist die starke Verformungsbehinderung des Probenkerns, die in der Stabmitte zu einer duktilen Werkstofftrennung mit ausgeprägter Wabenstruktur führt. aus Issler/Ruoß/Häfele: estigkeitslehre Sprödes Material weist hingegen keine merkliche plastische Verformung auf. Der Bruch der Probe erfolgt als verformungsarmer Trennbruch, wobei die rauhen Bruchflächen senkrecht zur Zugrichtung auftreten. 9

10 Das Bruchverhalten wird durch folgende Kennwerte charakterisiert: Die Bruchdehnung A u ist die bleibende Dehnung nach Bruch der Probe A u = L B L L 0 0 [100%] mit der Ausgangslänge L 0 und der Bruchlänge L B. Die Brucheinschnürung Z ist die größte Änderung der Querschnittsfläche Z = A A A 0 B 0 [100%] mit der Ausgangsfläche A 0 und der Projektion der Bruchfläche A B. Die Ermittlung der Kennwerte erfolgt durch Ausmessen der gebrochenen Probe mittels Schieblehre. d B L B 10

11 9.1.4 Werkstoff-ließkurve In der Spannungs-Dehnungskurve nimmt die Spannung nach Überschreiten der Zugfestigkeit infolge der örtlichen Probeneinschnürung bis zum Bruch ab, da die berechneten Spannungen auf den Ausgangsquerschnitt A 0 bezogen werden, der Restquerschnitt aber nur noch geringe Lasten aufnehmen kann. Wird die Spannung auf die tatsächliche Querschnittsfläche A der Probe bezogen, erhält man die wahre Spannung oder ormänderungsfestigkeit k f k f = A = 0 A 0 A A = σ ür den Bereich der Gleichmaßdehnung gilt mit V = A 0 L 0 Ludwig-Gleichung A0 L L k f = σ = σ = σ (1 + ) = σ ( 1+ ε) A L 0 = A L die wobei Volumenkonstanz bei plastischer Verformung vorausgesetzt wird. L 0 A 0 A 11

12 Trägt man die ormänderungsfestigkeit k f über der log. ormänderung ϕ auf, erhält man die Werkstoff-ließkurve. σ = /A 0 k f = /A Werkstoff-ließkurve k f (ϕ) Bruch k fm Dehnungs-Spannungskurve σ(ε) R m Gleichmaßdehnung Bruch ε = L/L 0 ϕ = ln(l/l 0 ) ür kleine Dehnungen stimmt die Spannungs-Dehnungskurve mit der Werkstoff-ließkurve überein. 12

13 Beispiel: Zugprobe Gegeben: L 0 = 50 mm, A 0 = 78,5 mm 2, A u = 40%, Z = 60%, B = 42,4 kn Gesucht: Bruchspannungen σ B und Bruchfestigkeit k fb Übung: Zugprobe Gegeben: Zugfestigkeit R m = 580 N/mm 2, Gleichmaßdehnung ε = 22% Gesucht: ormänderung ϕ und ormänderungsfestigkeit k f 13

14 9.1.5 Hook sches Gesetz Der linear-elastische Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung von Metallen wurde von R. Hooke experimentell durch Versuche an elastischen edern festgestellt (1673). Hook sche Gerade Ausgleichskurve Messwerte α L Hook sches Gesetz: Kraft und Verlängerung sind proportional. L Eine Steigerung der Kraft führt zu einer proportionalen Verlängerung eines elastischen Körpers. 14

15 Aus σ = /A 0 und ε = L/L 0 ergibt sich das Hook sche Gesetz in der orm σ = E ε mit dem Elastizitätsmodul E als Proportionalitätskonstante (Young s Modulus). Je größer der Elastizitätsmodul, umso geringer ist die Dehnung Der Elastizitätsmodul kann auch als Steigung aus der Spannungs-Dehnungskurve abgelesen werden. Setzt man ε = 1 folgt σ = E, d. h. der Elastizitätsmodul ist diejenige Spannung, die zu einer Verdopplung der Probenlänge führen würde. Umformung des Hook schen Gesetzes liefert für konstante Querschnitte σ = E ε = E L L EA = = L A L die sog. Dehnsteifigkeit c = EA/L in [N/mm]. Das Hook sche Gesetz beschreibt die elastischen Eigenschaften eines Werkstoffs und besitzt bis zur Proportionalitätsgrenze R p Gültigkeit. = c L 15

16 Beispiel: Zugversuch an Rundstab Gegeben: = 10 kn, d = 10 mm, L = 500 mm, L = 0,9 mm Gesucht: Elastizitätsmodul E, Dehnsteifigkeit c d L Übung: Zugversuch an Rechteckstab Gegeben: c = 10 kn/mm, b = 10 mm, h = 5 mm, L = 400 mm, ε = 0,1 % Gesucht: Kraft, Elastizitätsmodul E, Spannung σ 16

17 Der Elastizitätsmodul ist für alle Stahlsorten bei Raumtemperatur mit ca. E = N/mm 2 nahezu gleich. Die Streckgrenze hängt jedoch von der Wärmebehandlung und den Legierungselementen ab. σ [Mpa] ederstahl (1% C) Vergütungsstahl (0,6% C) wärmebehandelt Maschinenstahl (0,5% C) Insbesondere die Legierungslemente Kohlenstoff (C) und Silizium (Si) erhöhen die Streckgrenze und damit den elastisch nutzbaren Bereich Baustahl (0,2% C) Baustahl (0,1% C) 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 ε 17

18 Wird ein Probekörper aus Stahl über die Streckgrenze R e bis in den plastischen Bereich hinein belastet, gehen nach Wegnahme der Last die elastischen Verformungen entlang der Hook schen Gerade zurück, die plastischen Dehnungen bleiben jedoch erhalten. Bei erneuter Belastung folgt die Belastungskurve der Entlastungskurve und folgt bei einer erhöhten Streckgrenze R e näherungsweise der ursprünglichen ließkurve bis zum Bruch. Das Material besitzt einen größeren elastischen Bereich, ist aber weniger zäh als im Ausgangszustand. Diese Eigenschaft macht man sich beim Vorrecken von Schrauben zunutze und wird als Kaltverfestigung bezeichnet. σ R e R e ε plast ε 18

19 Streckgrenze und Elastizitätsmodul sind von der Temperatur abhängig. σ ϑ = R e E 400 ε Mit steigender Temperatur fallen die Werte stark ab, d. h. die elastischen Eigenschaften eines Werkstoffes sind bereits weit vor Erreichen des Schmelzpunktes erschöpft. So ist die Einsatztemperatur von Baustahl auf ca. 150 C beschränkt, die maximale Einsatztemperatur hochlegierter ferritischer Stähle beträgt derzeit knapp 700 C. ϑ 19

20 Elastizitätsmodul für verschiedene Materialien bei Raumtemperatur Metallische Werkstoffe Nichtmetallische Werkstoffe Material E-Modul [GPa] Material E-Modul [GPa] erritischer Stahl 210 Holz, längs 7 bis 20 Austenit. Stahl 195 Holz, quer 0,2 bis 1,2 Aluminium 70 CK längs 150 Kupfer 120 CK quer 13 Messing 78 bis 123 Beton 22 bis 45 Grauguss 90 bis 155 Silikonkautschuk 0,01 bis 0,1 Sphäroguss 175 bis 185 Glas 50 bis 90 Titan 105 Glasfaser 55 bis 87 Magnesium 42 Knochen 18 bis 21 aus Wikipedia: Elastizitätsmodul 20

21 Beispiel: Zugversuch an Rundstab Gegeben: = 60 kn, d = 15 mm, L = 1000 mm Gesucht: Elast. und plast. Dehnungen und Verlängerungen d L σ [Mpa] ,1 0,9 ε [%] 21

22 Übung: Abgesetzter Rundstab Gegeben: = 30 kn, d 1 = 15 mm, d 2 = 10 mm, L 1 = 600 mm, L 2 = 400 mm Gesucht: Gesamtverlängerung L Lösung: L = 3,82 mm σ d 1 d 2 L 1 L 2 [Mpa] ,1 0,5 0,9 ε [%] 22

23 9.2 Torsionsversuch Beim Torsionsversuch wird die Verdrehung einer meist zylindrischen Hohlprobe durch mechanische oder optische Vorrichtungen aufgenommen und gleichzeitig das momentan wirkende Drehmoment gemessen T d s Das Drehmoment-Drehwinkel-Schaubild stellt die primären Messwerte des Torsionsversuchs dar. Der Torsionsversuch ist nicht genormt und wird eher selten durchgeführt, da genaue Winkelmessungen aufwendig sind. T T β Messwerte ϕ 23

24 Die Schubspannung τ lässt sich aus dem Drehmoment T mit dem nur von der Geometrie abhängigen Torsionswiderstandsmoment W t bestimmen τ = T W t Der Scherwinkel γ ergibt sich aus dem Drehwinkel ϕ, der Bezugslänge L und dem Radius R der Probe. ür kleine Winkel ist die Bogenlänge s s = γ L =ϕ R und damit R γ = ϕ L L γ s R ϕ T Trägt man die Schubspannung τ über dem Scherwinkel γ auf, erhält man das Schubspannungs-Scherwinkel-Schaubild 24

25 9.2.1 Hook sches Gesetz für Schub Wie beim Zugversuch zeigen viele Materialien auch im Torsionsversuch linear-elastisches Verhalten bis zur Schubfließgrenze τ f, danach Verfestigung bis zur Torsionsfestigkeit τ m und anschließend Abfall bis zum Bruch. τ τ m τ f Hook sche Gerade für Torsion β Bruch γ ür den linearen bereich kann analog zum Zugversuch das Hook sche Gesetz für Torsion formuliert werden τ = G γ mit der Schubspannung τ, dem Scherwinkel γ und dem Gleit- oder Schubmodul G als Proportionalitätsfaktor. Der Schubmodul G hat die Dimension einer Spannung [N/m 2,N/mm 2, MPa]. 25

26 Beispiel: Scherung eines Blocks aus Titan Gegeben: L = 100 mm, B = 75 mm, H = 50 mm, τ f = 360, γ f = 0,008 Gesucht: Schubmodul G, max. elast. Verschiebung d und Querkraft Q m H B γ d Q m L 26

27 9.2.2 Bruchverhalten von Torsionsstäben Das Bruchverhalten von Werkstoffen im Torsionsversuch unterscheidet sich von dem im Zugversuch. ür zähe Materialien beobachtet man einen Scherbruch, der näherungsweise senkrecht zur Stabachse auftritt. Bei spröden Materialien tritt ein verformungsarmer Trennbruch in einer unter 45 zur Stabachse geneigten Ebene auf. aus Issler/Ruoß/Häfele: estigkeitslehre Die Ursache für das unterschiedliche Bruchverhalten wird später behandelt. 27

28 Beispiel: Torsionsversuch an zylindrischer Probe Gegeben: T = 10,4 Nm, d = 10 mm, L = 200 mm, W t = 98 mm 3, ϕ = 3 Gesucht: Scherwinkel γ, Schubspannung τ und Schubmodul G ϕ T L T Übung: Verdrehung einer Welle Gegeben: T = 6 knm, γ = 0,2, G = N/mm 2 Gesucht: Schubspannung τ und Widerstandsmoment W t 28

29 9.3 Gesetz von Poisson Wird ein Zugstab in Axialrichtung gedehnt, beobachtet man bei den meisten Werkstoffen eine Verringerung des Querschnittes, d. h. eine Kontraktion in Querrichtung. Ød 0 Ød Umgekehrt verkürzt sich unter Druckbeanspruchung ein Stab bei gleichzeitiger Zunahme des Durchmessers. Bezieht man die Dickenänderung d des Stabes auf seinen ursprünglichen Durchmesser d, erhält man die Querdehnung d ε = mit d < 0 bei Zugspannungen. q d d 0 0 = d d 0 29

30 Das Verhältnis aus Quer- und Längsdehnung ist bei linear-elastischen Materialien eine Konstante und wird durch die Querkontraktionszahl bzw. Querdehnungszahl εq ν = ε oder seltener durch die Poisson sche Konstante m L ε L = 1 = ν ε q wiedergegeben. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass eine Verlängerung (positive Dehnung) eine Querkontraktion (negative Dehnung) verursacht und umgekehrt. Die Querdehnungszahl ist dimensionslos. Experimentell lässt sich die Querdehnungszahl im Zugversuch ermitteln, indem die Querschnittsänderung durch Querdehnungsaufnehmer oder durch ausmessen der Probe mit einer Mikrometerschraube bestimmt wird. 30

31 Werte der Querdehnzahl: Stahl: 0,32 Kupfer: 0,34 Grauguß: 0,28 Magnesium: 0,30 Alu: 0,35 Titan: 0,36 Beton: 0,1 ν 0,15 Glas: ν = 0,2 Gummi: ν = 0,5 Aus der Elastizitätstheorie lässt sich zeigen, das der max. Wert der Querdehnzahl ν = 0,5 ist und Volumenkonstanz kennzeichnet. Kleinere Querdehnzahlen sind bei Zugspannungen immer mit einer Volumenzunahme verbunden, die ein theoretisches Maximum für ν = 0 (keine Querdehnung) erreicht. ür vollkommen isotrop Querdehnungszahl bei 0,25. elastisches Verhalten liegt der Wert der Die Querdehnzahl nimmt mit der Temperatur geringfügig zu. ür Stähle liegen die Werte bei 500 C um ca. 10% über den Werten bei Raumtemperatur. 31

32 Beispiel: Rechteckstab aus Aluminium = 175 kn, L 0 = 1 m, b 0 = 100 mm, h 0 = 50 mm, E = N/mm 2, ν = 0,35 h L b Übung: Rundstab aus Kupfer Gegeben: = 80 kn, L 0 = 100 mm, L = 101,5 mm, d 0 = 10 mm, d = 9,95 mm Gesucht: Elastizitätsmodul E, Querdehnzahl ν 32

33 9.4 Beziehung zwischen den Werkstoffkonstanten Das elastische Verhalten isotroper (richtungsunabhängige) Werkstoffe wird durch die Konstanten E, G und ν vollständig beschrieben. Sie sind jedoch nicht unabhängig voneinander, d. h. es lässt sich eine dieser Größen jeweils durch zwei andere ausdrücken. Es gelten die Beziehungen G = E 2 (1 + ν ), ν = E 2 G Mit einer mittleren Querdehnzahl ν = 0,3 für Metalle folgt damit die Beziehung G 1 E 2,6 und = 2 (1 + ν ) G Da der Elastizitätsmodul E leicht aus dem Zugversuch bestimmbar ist, kann daher i. allg. auf den Torsionsversuch verzichtet werden. E 33