Bildbasierte Algorithmen zur Metall-Artefakt Reduktion in der Computertomographie

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1 Bildbasierte Algorithmen zur Metall-Artefakt Reduktion in der Computertomographie Bachelorarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Bachelor of Science Westfälische Wilhelms-Universität Münster Fachbereich Mathematik und Informatik Institut für Numerische und Angewandte Mathematik Betreuung: Dr. Frank Wübbeling Prof. Dr. Martin Burger Eingereicht von: Nils-Arne Dreier Münster, September 2014

2 i Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Grundlagen der Computertomographie und das Problem der Metall-Artefakte Aufbau und Funktionsweise eines Computertomographen Das Problem der Metall-Artefakte Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion Radon-Transformation Modellierung und Diskretisierung Gefilterte Rückprojektion Algebraic-Reconstruction-Technique Regularisierungsmethoden Tikhonov-Regularisierung Total-Variation-Regularisierung Anpassung der Algorithmen auf das Problem der Metall-Artefakt Reduktion Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion Algebraic-Reconstruction-Technique Tikhonov-Regularisierung Total-Variation-Regularisierung Vergleich der Methoden 40 7 Fazit und Ausblick 56 Abbildungsverzeichnis 58 Tabellenverzeichnis 59 Literaturverzeichnis 60

3 1 1 Einleitung Die Computertomographie ermöglicht es, Schnittbilder eines menschlichen Körpers zu erstellen und auf diese Weise Tumore, Knochen, Gewebe oder Blutgefäße sichtbar zu machen sowie dessen Position und Form zu erkennen. Neben der Medizin gibt es zahlreiche weitere Einsatzgebiete der Computertomographie, wie etwa die Untersuchung von Bäumen oder der industriellen Materialüberprüfung. Die Mathematik spielt bei der Erstellung des Bildes eine wesentliche Rolle. Es gibt Situationen, in denen das resultierende Bild Artefakte aufweist, das heißt, dass es im Bild Bereiche gibt, die gestört sind - also nicht der Wahrheit entsprechen. Es besteht die Gefahr, dass aus dem Bild keine, beziehungsweise eine falsche medizinische Diagnose gestellt wird. Gründe dafür können Metallobjekte, wie etwa Zahnimplantate, Herzschrittmacher, Prothesen oder Schrauben sein, die sich im Bildbereich befinden. Röntgenstrahlung wird von Metall weitaus stärker abgeschwächt als von Gewebe oder Knochen, sodass die Intensität der Röntgenstrahlen nach dem Durchdringen des Objekts so klein ist, dass eine präzise Messung nicht mehr möglich ist. Ziel dieser Arbeit ist es, verschiedene bildbasierte Methoden zur Rekonstruktion von Daten eines Computertomographen zu erarbeiten und diese so zu verändern, dass Metall-Artefakte reduziert werden. Bildbasiert heißt dabei, dass die Reduktion der Metall-Artefakte während der Rekonstruktion auf Grundlage des Bildes geschieht. Im Gegensatz dazu gibt es datenbasierte Algorithmen, welche die gemessenen Daten aufbereiten, um die Artefakte zu reduzieren. Ein aktuelles Thema in der mathematischen Bildbearbeitung ist die Methode der Total- Variation. Diese lässt sich dazu verwenden, Metall-Artefakte zu reduzieren, wie beispielsweise von Schiffer und Bredies [SB14] aufgezeigt wird. Ein großer Teil dieser Arbeit wird sich damit beschäftigen, diese Methode zu untersuchen und auf das Problem der Metall-Artefakt Reduktion anzuwenden. Im Rahmen dieser Arbeit werden wir in Kapitel 2 die Grundlagen der Computertomographie untersuchen und uns die Eigenarten der Metall-Artefakte genauer ansehen.

4 1 Einleitung 2 Im Anschluss daran beschäftigen wir uns mit der mathematischen Modellierung sowie mit zwei klassischen Rekonstruktionsverfahren. Im vierten Kapitel werden wir uns weitere Rekonstruktionsverfahren erarbeiten, welche das resultierende Bild glätten. Wir erhoffen uns hiervon, die Metall-Artefakte reduzieren zu können. Das anschließende Kapitel 5 untersucht, inwiefern sich die Verfahren auf das Problem der Metall-Artefakt Reduktion anpassen lassen. Abschließend wollen wir in Kapitel 6 einen Vergleich der Methoden aufstellen. Dabei erzeugen wir künstlich Daten von relevanten Situationen und vergleichen die Ergebnisse der Verfahren. Am Ende der Arbeit steht ein Fazit, welches auf die Ergebnisse des Vergleichs eingeht und die Vor- und Nachteile der Methoden herausstellt.

5 3 2 Grundlagen der Computertomographie und das Problem der Metall-Artefakte In diesem einführenden Kapitel soll die Funktionsweise eines Computertomographen bündig erklärt und das Problem der Metall-Artefakte dargelegt werden. Außerdem werden erste Modellannahmen getroffen, bevor wir im nächsten Kapitel das mathematische Modell entwickeln. 2.1 Aufbau und Funktionsweise eines Computertomographen Ein Computertomograph dient der Aufnahme von Schnittbildern eines Objekts. Dazu wird die Abschwächung von Röntgenstrahlen gemessen, die das Objekt durchleuchten. Aus den gemessenen Daten kann mit einem Computer schließlich ein Schnittbild errechnet werden. Üblicherweise werden mehrere Schnittbilder aufgenommen und zu einem dreidimensionalen Bild zusammengesetzt. Im Gegensatz zu einer Röntgenaufnahme, sind die Bilder eines Computertomographen überlagerungsfrei, das heißt, dass sich Bereiche im Objekt auf dem Bild nicht überlagern. Ein Computertomograph besteht aus einer Röntgenquelle und einem Röntgendetektor, welche sich gegenüberliegend um das zu durchleuchtende Objekt drehen. Dabei werden Projektionen des Objekts erstellt, indem der Röntgendetektor die Intensität der Röntgenstrahlen misst, welche das Objekt durchdringen. Es gibt verschiedene Vorgehensweisen, die Projektionen zu erstellen in dieser Arbeit möchten wir nur die Parallelstrahlgeometrie (Parallel-Scanning) untersuchen. Bei anderen Geometrien sind die Methoden ebenfalls anwendbar und wir würden ähnliche Ergebnisse erwarten. Bei der Parallelstrahlgeometrie verlaufen die Röntgenstrahlen, aus denen die Projektionen

6 2 Grundlagen der Computertomographie und das Problem der Metall-Artefakte 4 erstellt werden, parallel zueinander. Dies entspricht einer unendlich weit entfernten Röntgenquelle, oder die Röntgenquelle und der Detektor müssten transversal in jedem Winkelschritt verschoben werden. Dieses Vorgehen wurde bei den ersten Computertomographen so praktiziert. Heutzutage wird mit mehreren Detektoren gearbeitet, welche die Strahlung von einer Röntgenquelle messen, das heißt, dass die Strahlen fächerförmig verlaufen. Die gemessenen Daten können in einem sogenannten Sinogramm dargestellt werden: Auf der X-Achse werden die Winkel und auf der Y-Achse der Radialabstand des gemessenen Röntgenstrahls aufgetragen (vgl. Abbildung 2.1). (a) Shepp-Logan Phantom (b) Sinogramm des Shepp-Logan Phantoms Abbildung 2.1: Shepp-Logan Phantom und dessen Sinogramm Die Abschwächung von Röntgenstrahlen durch eine Substanz mit dem Abschwächungskoeffizienten µ wird beschrieben durch I(s) = I(0) exp s 0 µ(η) dη. (2.1) Dabei beschreibt I(0) die Anfangsintensität und I(s) die am Detektor gemessene Intensität. Das Ziel der Computertomographie ist es, den Abschwächungskoeffizienten µ als Bild darzustellen. Diese Problemstellung wird auch als Inverses Problem bezeichnet. Es soll also von einer Wirkung (Abschwächung der Röntgenstrahlen bei dem Durchleuchten des Objekts) auf eine Ursache (Absorptionskoeffizienten innerhalb des Objekts) geschlossen werden. Für die Berechnung wird hingegen das Integral über die

7 2 Grundlagen der Computertomographie und das Problem der Metall-Artefakte 5 Absorptionskoeffizienten verwendet, welches durch Umstellen der Gleichung (2.1) aus den gemessenen Daten errechnet werden kann. s 0 µ(η) dη = ln( I(s) I(0) ) Dies ermöglicht uns die Modellierung mithilfe der Radon-Transformation (vgl. Kapitel 3). 2.2 Das Problem der Metall-Artefakte Als Artefakt bezeichnet man einen Fehler im rekonstruierten Bild. Artefakte können zur Folge haben, dass das Bild seine Aussagekraft verliert oder im medizinischen Bereich falsche Diagnosen gestellt werden. Neben Metall-Artefakten gibt es viele weitere Arten von Artefakten. Metall-Artefakte kennzeichnen sich durch helle und dunkle Streifen, die vom Metallobjekt ausgehen, aus (vgl. Abbildung 2.2). Metallobjekte, wie beispielsweise Zahnimplantate, Schrauben oder Herzschrittmacher, haben einen deutlich höheren Abschwächungskoeffizienten als ihn etwa Wasser, Knochen oder Gewebe besitzen. Daher kann es ab einer bestimmten Metalldicke zu einer sogenannten Totalabsorption kommen. Das heißt, dass die Strahlungsintensität, die am Detektor gemessen wird, unterhalb der Rauschschwelle liegt. Unter Betrachtung von Gleichung (2.1) bedeutet das I(0) exp s 0 s µ(η) dη = 0 µ(η) dη =. 0 Aus den Daten kann also nur die Information geschlossen werden, dass auf der Geraden ein Material mit sehr hohem Absorptionskoeffizienten liegt. Die Daten enthalten aber keine Information über die Absorptionskoeffizienten der Materialien, die vor sowie hinter dem Metallobjekt liegen. Insbesondere werden die Daten inkonsistent gegenüber Daten aus anderen Projektionen dies stellt die Hauptursache für Metall- Artefakte dar. Andere Gründe für die Artefakte sind Compton-Streuung, Rauschen

8 2 Grundlagen der Computertomographie und das Problem der Metall-Artefakte 6 oder Detektor-Unterabtastung und auch Bewegungen des Objekts während der Aufnahme wirken sich stärker aus, wenn Metall anwesend ist (vgl. [DMND + 98]). Für die Rekonstruktion bedeutet das, dass die Methode diese Daten anders behandeln muss. Die Standardmethode, die gefilterte Rückprojektion, kann das nicht ohne Weiteres. Daher versucht man stattdessen die Daten, die durch das Metall verloren gegangen sind, durch möglichst passende Daten zu ersetzen, um die Methode trotzdem anwenden zu können. Dies geschieht etwa durch Interpolation der gestörten Daten in den einzelnen Projektionen oder durch Inpainting im Sinogramm. Solche Methoden nennen wir datenbasiert. In Abschnitt 5.1 werden wir den einfachsten Fall, den der linearen Interpolation der Projektionen, ansehen und in Kapitel 6 mit den anderen bildbasierten Methoden vergleichen.

9 2 Grundlagen der Computertomographie und das Problem der Metall-Artefakte 7 (a) Als Vergleich: Rekonstruktion von ungestörten Daten mit gefilterter Rückprojektion. (b) Rekonstruktion von gestörten Daten mit gefilterter Rückprojektion. (c) Rekonstruktion mittels gefilterter Rückprojektion von gestörten Daten, die mit linearer Interpolation aufbereitet wurden. (d) Rekonstruktion durch ein iteratives Verfahren, welches die gestörten Daten ignoriert. Abbildung 2.2: Metall-Artefakte im Shepp-Logan Phantom. 180 Projektionen.

10 8 3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion 3.1 Radon-Transformation In diesem Abschnitt möchten wir uns kurz mit der Radon-Transformation beschäftigen. Sie ermöglicht uns die mathematische Modellierung der Computertomographie. Wir orientieren uns dabei an dem Buch von Natterer und Wübbeling [NW01, Kapitel 2.1] sowie an dem Skript der Vorlesung über Inverse Probleme von Wübbeling und Pietschmann [PW12]. Einsteigen wollen wir mit der Definition eines Funktionen-Raumes, welche wir für die Definition der Radon-Transformation benötigen. Definition (Schwartzraum). Es sei Ω R d. Eine Funktion f C 0 (Ω) heißt Schwartzfunktion, falls gilt sup x Ω k xl x f(x) k < k, l N 0. Der Raum aller Schwartzfunktionen auf Ω heißt Schwartzraum und wird mit S(Ω) bezeichnet. Definition (Radon-Transformation). Sei C := S 1 R der unendlich lange Einheitszylinder im R 3 und f S(R 2 ) eine Schwartzfunktion auf R 2. Dann ist die Radon- Transformation Rf S(C) definiert durch Bemerkung R ist linear. Rf(θ, s) := x θ=s f(x) dσ(x). (3.1)

11 3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion 9 Die Daten eines Computertomographen entsprechen einer Funktion g S(C). Für das zu errechnende Bild f S(R 2 ) gilt also Rf = g. Das dσ(x) in der Definition soll andeuten, dass wir das Linienintegral meinen. Wir werden das σ aber auch weglassen. Als Nächstes wollen wir die L 2 -Adjungierte der Radon-Transformation einführen, welche später für einige iterative Verfahren benötigt wird. Lemma (Die L 2 -Adjungierte der Radon-Transformation). Die ungefilterte Rückprojektion R : S(C) S(R 2 ) R g(x) := g(θ, x θ)dθ (3.2) S 1 ist L 2 -adjungiert zu der Radon-Transformation. Beweis. (Rf, g) L 2 (C) = Rf(θ, s)g(θ, s) ds dθ S 1 = R f(x) dx g(θ, s) ds dθ S 1 = R x θ=s f(x) g(θ, x θ) dx dθ S 1 = R 2 f(x) g(θ, x θ) dθ dx R 2 = S 1 f(x)r g dx = (f, R g) L2(R2) R 2 Der Name Rückprojektion lässt schon ahnen, was der Operator macht: Er weist jedem Punkt die Projektionswerte zu, die durch ihn entstanden sind und integriert diese auf. Das Adjektiv ungefiltert wird verwendet, um es von der gefilterten Rückprojektion, welcher wir uns im Abschnitt 3.3 zuwenden wollen, abzugrenzen. Wenn klar ist, von welcher Rückprojektion die Rede ist, werden wir auch nur Rückprojektion sagen.

12 3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion 10 An dieser Stelle wollen wir noch das Fourier-Slice-Theorem, welches eine Grundlage für die gefilterte Rückprojektion bildet, anführen. Dafür wollen wir zunächst festlegen was wir unter der Fourier-Transformation verstehen. Definition (Fourier-Transformation). Für eine Funktion f S(R n ) definieren wir die Fourier-Transformation f S(R n ) von f durch f(ξ) := (2π) n 2 R n f(x)e iξ x dx. Analog dazu definieren wir die inverse Fourier-Transformation f S(R n ) von f durch f(x) := (2π) n 2 R n f(ξ)e iξ x dξ. Satz (Fourier-Slice-Theorem (vgl. [NW01, Theorem 2.1])). Sei f S(R 2 ), θ S 1 und σ R. Dann gilt (Rf)(θ, σ) = 2π f(σθ). Auf der linken Seite ist dabei a priori nicht klar, wie die Fourier-Transformation einer Funktion auf C zu verstehen ist. Wir wollen vereinbaren, dass wir in so einem Fall die Fourier-Transformation nur in der zweiten Variable anwenden, also Rf(θ, )(σ). Beweis. Rf(θ, σ) = 1 2π Rf(θ, s)e isσ ds R = 1 2π f(x) dx e isσ ds R = 1 2π R 2 x θ=s = 2π f(σθ). f(x)e i(x θ)σ dx Mit der Invertierbarkeit der Fourier-Transformation folgt aus diesem Satz insbesondere die Invertierbarkeit der Radon-Transformation.

13 3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion Modellierung und Diskretisierung Nachdem wir im vorherigen Abschnitt einige mathematische Grundlagen erarbeitet haben, wollen wir in diesem Abschnitt darlegen, wie wir diese nutzen können. Dazu wollen wir zunächst zwischen zwei Bildmodellen unterscheiden: Im kontinuierlichen Bildmodell wird ein Bild durch eine Funktion f S(Ω) auf dem Bildgebiet Ω R 2 repräsentiert. Dabei ordnet f jedem Bildpunkt p Ω einen Grauwert f(p) zu. Um mit solchen Funktionen auf einem Computer arbeiten zu können, muss man sie in ein diskretes Bildmodell überführen. Dafür wählen wir ein endliches, linear unabhängiges System von Ansatzfunktionen Φ = {φ 1,..., φ n } S(Ω). Der von Φ aufgespannte Unterraum ist unser diskreter Bildraum. Nach den Erkenntnissen der linearen Algebra lässt sich jedes Bild im diskreten Bildraum durch einen Koordinatenvektor zur Basis Φ darstellen. Diesen können wir, weil er endlich viele Einträge hat, auf einem Computer speichern und verarbeiten. Für die Wahl der Ansatzfunktionen teilen wir das Bildgebiet Ω durch ein Gitter Ω = {x 1,..., x n } {y 1,..., y m } auf und wählen für jeden Gitterpunkt (x i, y j ) Ω eine Ansatzfunktion φ i,j S(Ω) mit 1, falls i = k und j = l φ i,j (x k, y l ) =, 0, falls i k oder j l etwa abgeschnittene Gaußglocken, Hütchenfunktionen oder Polynome. So können wir eine Approximation an ein kontinuierliches Bild erstellen, indem wir sie an den Gitterpunkten abtasten und erhalten so den Koordinatenvektor. In unseren Implementationen der Algorithmen werden wir stets auf die in MAT- LAB bereitgestellten Funktionen radon und iradon zurückgreifen, um eine Radon- Transformation oder eine ungefilterte Rückprojektion zu berechnen. Für eine detailliertere Auseinandersetzung mit kontinuierlichen und diskreten Bildern sei an dieser Stelle auf das Buch von Bredies und Lorenz verwiesen [BL10, Kapitel 3.1]. Wir wollen davon ausgehen, dass uns bekannt ist wo sich das Metallobjekt befindet, um unsere Algorithmen dem Problem anpassen zu können. Wir setzen also voraus, dass uns eine Menge Ω 0 Ω bekannt ist, die das Metallobjekt repräsentiert. Außerdem können wir damit ausrechnen, welche Daten von dem Metallobjekt gestört werden, indem wir

14 3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion 12 die Menge Λ C betrachten. Λ := {(θ, s) C 1, falls x Ω 0 RIΩ0 (θ, s) 0} mit I Ω0 (x) = 0, sonst In der Praxis kann die Region Ω 0, in der sich das Metall befindet, bestimmt werden, indem auf die Daten g S(C) die ungefilterte Rückprojektion angewandt wird. Alle Punkte, für die R g einen Grenzwert c R überschreiten, werden zu Ω 0 gezählt (vgl. [PKBK09, Abschnitt 2.2]). Ω 0 = { x Ω R g(x) > c } 3.3 Gefilterte Rückprojektion An dieser Stelle wollen wir uns der Standardmethode zur Rekonstruktion widmen. Dazu führen wir mithilfe der Fourier-Transformation das Riesz-Potential ein. Definition (Riesz-Potential). Sei f S(R n ) eine Schwartzfunktion und α R. Dann ist das Riesz-Potential I α f von f definiert durch Î α f(ξ) = ξ α f(ξ). Bemerkung Aus der Definition folgt, dass I β I α f = I β+α f und I 0 f = f gilt. Außerdem definieren wir das Riesz-Potential für Funktionen in S(C) analog zur Fourier-Transformation, nur auf dem zweiten Argument. Satz (vgl. [NW01, Theorem 2.5]). Es sei f S(R 2 ) und g = Rf. Dann gilt f = 1 2 (2π) 1 I α R I α 1 g. Beweis. Wir betrachten das Riesz-Potential von f mithilfe der inversen Fourier-Transformation und wenden die Transformation auf Polarkoordinaten an. I α f(x) = (2π) 1 e iξ x ξ α f(ξ) dξ R 2 = 1 2 (2π) 1 S 1 R e irθ x r 1 α f(rθ) dr dθ

15 3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion 13 Mit dem Fourier-Slice-Theorem folgt nun = 1 2 (2π) 1 e irθ x (2π) 1 2 r 1 α Rf(θ, r) dr dθ S 1 = 1 2 (2π) 1 R e irθ x (2π) 1 2 (I α 1 Rf)(θ, r) dr dθ S 1 = 1 2 (2π) 1 R I α 1 Rf(θ, θ x) dθ S 1 = 1 2 (2π) 1 R I α 1 g. Mit der Anwendung von I α folgt f = 1 2 (2π) 1 I α R I α 1 g. Wir erhalten hier eine ganze Familie von Rekonstruktionsformeln. Die Anwendung der Formel im Fall α = 0 wird gefilterte Rückprojektion genannt: f = 1 2 (2π) 1 R I 1 g 3.4 Algebraic-Reconstruction-Technique Als Algebraic-Reconstruction-Technique (ART) bezeichnet man das Lösen des endlich-dimensionalen Gleichungssystems Rf = g anhand der Kaczmarz-Methode, welche ein iteratives Lösungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme darstellt. Für unsere Gleichung bedeutet das, dass die Projektionen sukzessive auf das Bild zurückprojiziert werden, sodass alle Gleichungen zu der Projektion erfüllt werden. Wie der Name schon vermuten lässt, handelt es sich dabei um eine algebraische Methode, das heißt, dass für die Entwicklung der Methode schon von Daten in diskreter Form ausgegangen wird. Als Grundlage für dieses Kapitel dient das Buch von Natterer und Wübbeling [NW01, Kapitel 5.3.1]. Es sei H = S(R 2 ) und Θ = {θ 1,..., θ p } S 1 die Menge der Projektionswinkel. Dann betrachten wir die Radon-Transformation in eine feste Richtung θ Θ R θ f(s) := Rf(θ, s) = f(x) dx. x θ=s

16 3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion 14 Sei eine rechte Seite g S(C) gegeben. Von unserer Lösung f S(R 2 ) erwarten wir dann, dass für alle θ Θ gilt R θ f = g(θ, ). Für θ Θ können wir die affin-linearen Unterräume H θ := {f S(R 2 ) Rθ f = g(θ, )} und die orthogonalen Projektionen P θ von S(R 2 ) auf H θ betrachten. Für eine Lösung f gilt dann f H θ. θ Θ Wir wollen die Projektionen sukzessive anwenden. Um die Ungleichheiten bezüglich der Reihenfolge der Anwendungen auszugleichen, führen wir einen Relaxionsparameter ω (0, 2) ein und setzen Pθ ω = (1 ω)i + ωp θ. Wir definieren dann P ω := P ω θ p P ω θ 1 und die Kaczmarz-Methode durch f k = P ω f k 1 mit beliebigem f 0 S(R 2 ). Für die Berechnung müssen wir die Pθ ω sind gegeben durch angeben. Die orthogonalen Projektionen P θ P θ f = f + R θ(r θ R θ) 1 (g(θ, ) R θ f). Es stellt sich die Frage, wie R θ aussieht und ob R θ berechenbar ist. Wie auch bei der Radon-Transformation stellt sich heraus, dass die Adjungierte eine sehr einfache Darstellung besitzt. Es gilt (R θφ)(x) = φ(x θ), denn es gilt (R θ f, φ) R = R = x θ=s f(x) dxφ(s) ds R 2 f(x)φ(θ x) dx = (f, R φ) R2. Nehmen wir an, dass Ω ein Kreis mit Radius ρ ist, so gilt (R θ R θ)φ(s) = R θφ(x) dx = φ(s) dx = 2 ρ 2 s 2 φ(s). x θ=s x θ=s

17 3 Mathematische Modellierung und klassische Algorithmen zur Rekonstruktion 15 Dabei ist 2 ρ 2 s 2 die Länge der Geraden x θ = s durch den Kreis Ω. Und somit ergibt sich P θ f(x) =f(x) + R θh f (x) 1 h f (s) := 2 ρ 2 s (g(θ, s) R θf(s)). 2

18 16 4 Regularisierungsmethoden Regularisierungsmethoden stellen ein Werkzeug dar, um mit schlecht gestellten inversen Problemen umgehen zu können. Schlecht gestellt meint dabei, dass die Existenz oder Eindeutigkeit der Lösung nicht gegeben ist beziehungsweise die Lösung nicht stetig von den Anfangsdaten abhängt. Dabei löst die regularisierte Lösung nicht das Problem, sondern ist eine Approximation der Lösung, welche allerdings weniger störungsanfällig ist. In der Bildverarbeitung bedeutet Regularisierung meist, dass das Bild geglättet wird. Die Standardmethode zur Regularisierung eines linearen Problems ist die Tikhonov- Regularisierung, welche wir uns im ersten Abschnitt diesen Kapitels ansehen wollen. Im Anschluss daran untersuchen wir die Total-Variation-Regularisierung. 4.1 Tikhonov-Regularisierung Diesem Abschnitt liegt das System Rf = g zugrunde, welches wir als lineares Gleichungssystem lösen und mithilfe der Tikhonov-Regularisierung regularisieren wollen. Wir wollen unsere Ergebnisse aber in allgemeiner Form für ein System Ax = b formulieren. Wir orientieren uns dabei an Müller und Siltanen [MS12] sowie an der Masterarbeit von Koskela [Kos12]. Definition (Tikhonov-Regularisierung). Sei A : R n R m eine lineare Abbildung, b R m eine rechte Seite und L : R n R p eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Minimierer x R n von Φ α (x) = Ax m α Lx 2 2 (4.1) Tikhonov-Regularisierung von Ax = b bezüglich des Regularisierungsparameters α. Eine Tikhonov-Regularisierung löst also nicht die Gleichung Ax = b, sondern stellt vielmehr einen Kompromiss zwischen kleinem Residuum Ax b und kleiner Norm Lx dar. Dabei ist das L noch frei wählbar.

19 4 Regularisierungsmethoden 17 Folgendes Lemma gibt uns ein notwendiges Kriterium für eine Tikhonov-Regularisierung, welches wir im Anschluss weiterentwickeln (vgl. [MS12, Kapitel 5]). Lemma (Notwendiges Kriterium für eine Tikhonov-Regularisierung). Seien alle Bezeichnungen wie in Def Dann gilt für eine Tikhonov-Regularisierung x R n (A T A + αl T L) x = A T b. (4.2) Beweis. Da x ein Minimierer von Φ α ist, gilt Φ α ( x) = 0. Also gilt für beliebiges w R n 0 = ( A( x + tw) b 2 + α L( x + tw) 2). t t=0 Wir berechnen die Summanden einzeln: ( ) A( x + tw) b 2 = t t=0 t t=0 A x + Atw b, A x + Atw b = t ( A x 2 + 2t A x, Aw + t 2 Aw 2 2t b, Aw 2 A x, b + b 2) t=0 =2 A x, Aw 2 b, Aw und α L( x + tw), L( x + tw) t = α t=0 t =α ( 2 L x, Lw + 2t Lw 2) t=0 = 2α L x, Lw. Zusammen gilt A x b, Aw + α L x, Lw = 0, also ( L x 2 + 2t L x, Lw + t 2 Lw 2) t=0 0 = A T A x A T b, w + α L T L x, w = (A T A + αl T L) x A T b, w. Da w R n beliebig war, muss gelten (A T A + αl T L) x A T b = 0. Lemma Für α > 0 ist R R + αl T L symmetrisch positiv definit, also insbesondere invertierbar.

20 4 Regularisierungsmethoden 18 Beweis. Die Symmetrie folgt aus der Darstellung, da R R und αl T L symmetrisch sind. Für x 0 gilt (R R + αl T L)x, x = R Rx, x + αl T Lx, x = Rx, Rx + α Lx, Lx = Rx 2 + α Lx 2 > 0. Im letzten Schritt gilt, da die Radon-Transformation nach Satz invertierbar ist und somit Rx 0 gilt. Lemma (Hinreichendes Kriterium für eine Tikhonov-Regularisierung). Eine Lösung von (A T A + αl T L)x = A T b ist ein Minimum von Φ α aus Definition und somit eine Tikhonov-Regularisierung. Beweis. Es sei x R n und es gelte (A T A + αl T L) x = A T b. Wir zeigen, dass für alle x x R n gilt Φ α ( x) Φ α (x). Φ α (x) Φ α ( x) = Ax b 2 + α Lx 2 A x b 2 α L x 2 = Ax b, Ax b + α Lx, Lx A x b, A x b α L x, L x = Ax, Ax 2 Ax, b + α Lx, Lx A x, A x + 2 A x, b α L x, L x =2 A x, b 2 Ax, b + x, (A T A + αl T L)x x, (A T A + αl T L) x = A x, b Ax, b + x, (A T A + αl T L)x A T b x, (A T A + αl T L) x A T b Einsetzen liefert: = x x, A T b + x, (A T A + αl T L)(x x) = x x, (A T A + αl T L)( x x) = A( x x) 2 + α L( x x) 2 0 Bemerkung Wählen wir A = R in Lemma 4.1.4, so gilt im letzten Schritt des Beweises sogar > 0, wie in Lemma Hieraus folgt die Eindeutigkeit der Tikhonov- Regularisierung für unser Problem. In den Lemmata bis haben wir gezeigt, dass es für ein g S(C) genau eine Tikhonov-Regularisierung gibt. Diese ist durch die Lösung eines linearen Gleichungssystems gegeben, dessen Systemmatrix symmetrisch positiv definit ist. Für ein numerisches Lösungsverfahren zeigen wir noch die Äquivalenz zu einer Least-Squares Lösung, um dann die richtige Implementation des Conjugate-Gradient-Verfahren zu wählen.

21 4 Regularisierungsmethoden 19 Korollar (Äquivalenz zu einer Least-Squares Lösung). Die Lösung des Gleichungssystems (A T A + αl T L)x = A T b ist eine Least-Squares Lösung des Gleichungssystems [ ] [ A = αl Dabei hat die 0 genau so viele Zeilen wie L. b 0 ]. (4.3) Beweis. Wir betrachten die Normalengleichung. [ A T αl T ] [ ] A [ αl x = A T αl T ] [ b 0 ] (A T A + αl T L)x = A T b Wir wollen nun also eine Least-Squares Lösung zu der Gleichung (4.3) finden. Wir verwenden die CGLS-Methode aus dem Buch von Björck [Bjö96, Algorithmus 7.4.2] und setzen unser Problem ein. Das L wollen wir als Differentialoperator [ ] wählen: Sind D x und D y diskrete Richtungsableitungen, so setzen wir L = Lf 2 2 = D x f D y f 2 2. D x D y und es folgt Dadurch wollen wir vermeiden, dass sich strahlenförmige Artefakte bilden, welche einen großen Gradienten haben.

22 4 Regularisierungsmethoden 20 Algorithm 1 CGLS-Methode für Least-Squares Lösungen Vgl. [Bjö96, Algorithmus 7.4.2] Initialize: p s R (g Rx) αl T Lx, γ s 2 2 for k = 1, 2,... und solange γ k > tol do q 1 Rp q 2 αlp δ γ/( q q 2 2 2) x x + δp s s δ(r q 1 + αl T q 2 ) γ s 2 2 β γ/γ p s + βp γ γ end for (a) α = 30 (b) α = 700 Abbildung 4.1: Rekonstruktionen mit der Tikhonov-Regularisierungsmethode. Man beachte, dass mit hohem Regularisierungparameter Kanten verloren gehen.

23 4 Regularisierungsmethoden Total-Variation-Regularisierung Nachdem wir uns im vorherigen Abschnitt die Tikhonov-Regularisierung angesehen haben, werden wir uns in diesem Abschnitt mit der Total-Variation-Regularisierung (TV-Regularisierung) beschäftigen. Wir haben festgestellt, dass bei der Tikhonov- Regularisierung die Kanten im Bild verloren gehen. Wir erhoffen uns von der TV- Regularisierung, dass die Kanten erhalten bleiben, wir aber trotzdem eine Glättung erzielen. Vorgestellt wurde die TV-Regularisierung 1992 von Rudin, Osher und Fatemi [ROF92] zur Reduzierung von Rauschen in Bildern. Dazu definieren wir die Total- Variation eines Bildes. Definition (Total-Variation). Es sei u L 1 (Ω). Die Total-Variation ist definiert durch Bemerkung u BV (Ω) := sup Ω u divφ dx φ C 1 0 (Ω, R d ), φ 1. Ist u schwach differenzierbar, so gilt nach der mehrdimensionalen partiellen Integration u divφ dx = u φ dx und damit Ω u BV (Ω) = Ω Ω u dx. (4.4) Im diskreten Bildmodell sind unsere Ansatzfunktionen schwach differenzierbar, daher können wir die Formulierung (4.4) verwenden. Die regularisierte Variante v eines verrauschten Bildes v ist dann der Minimierer eines Funktionals. v = arg min u 1 2 u v λ u BV (Ω) (4.5) Diese Problemstellung wird auch als ROF-Modell bezeichnet. Nun können wir nicht analog zur Tikhonov-Regularisierung vorgehen, da unser Funktional nicht differenzierbar ist. Wir wollen deshalb das Arrow-Hurwicz-Verfahren herleiten und damit eine

24 4 Regularisierungsmethoden 22 TV-Regularisierung errechnen. Die Methode ist auch unter dem Namen Chambolle- Pock bekannt (vgl. [CP11]). Wir orientieren uns an einem Paper von Sidky, Jørgensen und Pan [SJP12]. Für einige Grundlagen der konvexen Funktionale und der Fenchel- Rockafellar-Dualität ziehen wir außerdem das Buch von Bredies und Lorenz [BL10, Kapitel 6.2] heran. Weiter sei auf das Paper von Schiffer und Bredies [SB14] verwiesen, in dem die TV-Regularisierung auf das Problem der Metall-Artefakte angewendet wird. Eine Alternative zu unserem Vorgehen wäre, das Funktional durch eine differenzierbare Approximation zu ersetzen und dieses, ähnlich wie bei der Tikhonov-Regularisierung, durch ein Gradienten-Verfahren zu minimieren (vgl. [DV97]). Dieses Vorgehen birgt allerdings einige Probleme, so muss man etwa zwischen einer starken Approximation und einer glatten Approximation abwägen. Eine glatte Approximation führt dazu, dass Kanten verschwimmen, ähnlich wie bei der Tikhonov-Regularisierung. Eine starke Approximation führt zu Schwierigkeiten mit der Differenzierbarkeit, sodass es zu Problemen mit der Konvergenz kommen kann (vgl. [BO13, Abschnitt 8.3]). Bemerkung Wir werden in diesem Abschnitt Funktionale mit Wertebereich R = R { } verwenden, dabei bedienen wir folgende Arithmetik: t t R a + = a R a = a > 0 0 = 0. Alle anderen Operationen gelten als nicht definiert. Ein Funktional nennen wir eigentlich, falls es nicht konstant ist. Wir wollen im Folgenden annehmen, dass alle Funktionale eigentlich sind. Um in die Theorie der konvexen Funktionale einzusteigen, werden wir, nach Bredies und Lorenz [BL10, Kapitel 6.2], zunächst einige Definitionen heranziehen. Definition (Konvexes Funktional). Ein Funktional F : X R auf einem normierten Vektorraum X heißt konvex, falls für alle u, v X und λ (0, 1) gilt F (λu + (1 λ)v) λf (u) + (1 λ)f (v) und strikt konvex, falls für u v sogar < gilt.

25 4 Regularisierungsmethoden 23 Definition (Unterhalbstetigkeit). Ein Funktional F : X R auf einem topologischen Raum X heißt (folgen-)unterhalbstetig, falls für jede Folge (u n ) und u X mit lim n u n = u folgt F (u) lim inf n F (un ). Definition (Duales Funktional). Es sei F : X R ein Funktional auf dem reellen Banachraum X. Dann ist das duale Funktional F : X R definiert durch Bemerkung F (ω) = sup ω, u X X F (u). u X Das Supremum geht nur über diejenigen Elemente u X, für die F (u) gilt, da die Subtraktion von nicht definiert ist. Da wir aber annehmen, dass F eigentlich ist, gibt es mindestens ein Element u X, für welches F (u) gilt. Somit nimmt das Supremum einen Wert in R an. F ist damit wohldefiniert. Für F : X R und (u, ω ) X X mit F (u ) gilt F (ω ) = sup ω, u X X F (u) ω, u X X F (u ) (4.6) u X und damit F (ω ) + F (u ) ω, u. Diese Ungleichung nennen wir Fenchel- Ungleichung. Definition (Subgradient, Subdifferential). Es sei X ein reeller normierter Vektorraum und F : X R ein konvexes Funktional. Ein ω X wird ein Subgradient von F in u X genannt, falls F (u) + ω, v u F (v) v X (4.7) gilt. Die Menge F (u) := {ω X ω ist Subgradient von F in u} wird Subdifferential genannt. Bemerkung Geometrisch entsprechen die Subgradienten in u X den Steigungen der Geraden, welche durch den Punkt (u, F (u)) gehen und überall unterhalb des Graphen von F liegen. Das bedeutet auch, dass F an differenzierbaren Stellen u maximal einelementig ist. Dann gilt F (u) = {DF (u)}.

26 4 Regularisierungsmethoden 24 Es gilt 0 F (u) genau dann, wenn u ein Minimum von F ist, denn F (u) F (v) v X F (u) + 0, v u F (v) v X. Es gilt (F + G) = F + G, falls F an einem Punkt u X stetig ist, für den G(u) = F (u) gilt. Einen Beweis dafür finden wir in Bredies und Lorenz [BL10, Satz 6.51]. Mit diesen Definitionen können wir den folgenden Satz formulieren. Satz (Fenchel-Rockafellar-Dualität vgl. [BL10, Satz 6.68]). Es seien F : X R, G : Y R zwei konvexe und unterhalbstetige Funktionale auf den reellen Banachräumen X und Y. Weiter sei K : X Y eine lineare, stetige Abbildung und das Minimierungsproblem besitze eine Lösung. Dann gilt min F (u) + G(Ku) (4.8) u X max F ( K ω) G (ω) = min F (u) + G(Ku). ω Y u X Einen Beweis finden wir im Buch von Bredies und Lorenz [BL10, Satz 6.68]. Das Maximierungsproblem max F ( K ω) G (ω) ω Y nennen wir das duale Problem zu (4.8). Unter dem primal-dualen Problem, verstehen wir die simultane Lösung beider Probleme. Lemma Es seien F : X R und G : Y R konvexe unterhalbstetige Funktionale auf reellen Banachräumen X und Y. Das Paar (u, ω ) X Y ist genau dann Lösung des primal-dualen Problems, falls (u, ω ) Sattelpunkt der Funktion L : X Y R L(u, ω) := ω, Ku + F (u) G (ω) ist. Das heißt, falls L(u, ω ) L(u, ω) für alle ω Y und L(u, ω ) L(u, ω ) für alle u X gilt.

27 4 Regularisierungsmethoden 25 Beweis. Ist u X eine Lösung des primalen Problems und ω Y eine Lösung des dualen Problems, so gilt einerseits L(u, ω ) sup ω Y L(u, ω) = sup ω Y ω, Ku + F (u ) + G (ω) = F (u ) + G(Ku ) und andererseits L(u, ω ) inf L(u, u X ω ) = sup u X = F ( K ω ) G (ω ). L(u, ω ) = sup ω, Ku F (u) G (ω ) u X Nach Satz sind jedoch die rechten Seiten beider Gleichungen gleich und somit gilt anstatt und jeweils =. Insbesondere gilt L(u, ω) sup ω Y L(u, ω ) = L(u, ω ) = inf u X L(u, ω ) L(u, ω ) u X und ω Y. Also ist (u, ω ) ein Sattelpunkt von L. Zeigen wir nun die andere Richtung: Ist (u, ω ) X Y ein Sattelpunkt von L, dann gilt mit der Fenchel-Ungleichung für beliebige u X und ω Y : F (u) + G(Ku) ω, Ku + F (u) G (ω ) = L(u, ω ) L(u, ω ) und = sup ω Y L(u, ω) = sup ω Y ω, Ku + F (u ) G (ω) = F (u ) + G(Ku ) F ( K ω) G (ω) ω, Ku + F (u ) G (ω) = L(u, ω) L(u, ω ) = inf L(u, u x ω ) = sup L(u, ω ) u X = sup ω, Ku F (u) + G (ω ) = F ( K ω ) G (ω ). u X Bemerkung Wir benutzen in dem Beweis, dass für das biduale Funktional G = G gilt. Dies folgt aus der Annahme, dass G konvex und unterhalbstetig ist (vgl. [BL10, Korollar 6.58 und Lemma 6.63]). Das Arrow-Hurwicz-Verfahren wird eine Folge von Punkten in X Y berechnen, die gegen den Sattelpunkt von L konvergieren. Dafür führen wir die Resolvente ein.

28 4 Regularisierungsmethoden 26 Definition (Resolvente). Es sei F : X R ein konvexes Funktional. Die Abbildung (id + σ F ) 1 : X X, die u X den eindeutigen Minimierer arg min v X v u 2 X 2 + σf (v) =: (id + σ F ) 1 (u) zuordnet, heißt Resolvente von F zu σ > 0. Die Wohldefiniertheit der Resolvente ist hier a priori nicht klar, da die Existenz und Eindeutigkeit des Minimums nicht offensichtlich ist. Das zu minimierende Funktional ist jedoch strikt konvex und koerziv, woraus die Eindeutigkeit und Existenz folgt. Für eine detaillierte Auseinandersetzung sei auf Bredies und Lorenz [BL10] verwiesen. Wir wollen nun noch die Bezeichnung der Resolvente rechtfertigen. Lemma Es gilt (id + σ F ) 1 (u) = w genau dann, wenn u w + σ F (w). Beweis. (id + σ F ) 1 (u) = w w = arg min ξ X u ξ ( u σf 2 0 w u + σ F (w) u w + σ F (w) + σf (ξ) ) (w) Lemma (Einige Rechenregeln für die Resolvente). Es sei F 1 : X R ein konvexes unterhalbstetiges Funktional. Dann gilt 1. für α R F 2 = F 1 + α (id + σ F 2 ) 1 = (id + σ F 1 ) für beliebiges ω 0 X F 2 (u) = F 1 (u) + ω 0, u (id + σ F 2 ) 1 (u) = (id + σ F 1 ) 1 (u σω 0 ).

29 4 Regularisierungsmethoden Ist F 2 : Y R ebenfalls ein konvexes, unterhalbstetiges Funktional, so gilt ( ) F 3 (u, v) = F 1 (u) + F 2 (v) (id + σ F 3 ) 1 (id + σ F 1 ) 1 (u) (u, v) =. (id + σ F 2 ) 1 (v) Beweis. 1. Folgt aus der Gleichheit arg min f(x) + α = arg min f(x). 2. Wir rechnen die Behauptung nach, dabei bedienen wir uns ebenfalls daran, Konstanten zu addieren ohne das Minimum zu ändern. (id + σ F 2 ) 1 (u) = arg min v X = arg min v X = arg min v X v u σ(f 1 (v) + ω 0, v ) 2 v u, v u + 2 σω 0, v + σf 1 (v) 2 v u, v u + 2 σω 0, v u + σω 0, σω 0 + σf 1 (v) 2 = arg min v X v (u σω 0 ) =(id + σ F 1 ) 1 (u σω 0 ) + σf 1 (v) 3. Bei einer Summe können wir die Summanden einzeln minimieren. (id + σ F 3 ) 1 (u, v) = arg min = = (w,x) X Y ( ( u w F 1 (w) + v x ) u w arg min 2 2 w X + F 2 1 (w) v x arg min 2 2 x Y + F 2 2 (x) (id + σ F 1 ) 1 (u) (id + σ F 2 ) 1 (v) ) + F 2 (x) Wir wollen nun mithilfe der Resolvente das Arrow-Hurwicz-Verfahren herleiten. Dazu betrachten wir für einen beliebigen Startwert (u 0, ω 0 ) X Y die Einschränkungen von L. L ω 0(u) = L(u, ω 0 ) = ω 0, u + F (u) G (ω 0 ) L u 0(ω) = L(u 0, ω) = ω, u 0 + F (u 0 ) G (ω)

30 4 Regularisierungsmethoden 28 Wir wollen L bezüglich der u-variable minimieren und bezüglich der ω-variable maximieren, daher sehen wir uns die Resolventen von L ω 0 und L u 0 an. Dabei hilft uns Lemma (id + σ L ω 0) 1 (u) = (id + σ F ) 1 (u σa ω 0 ) (id + σ ( L u 0)) 1 (ω) = (id + σ G ) 1 (ω + σau 0 ) Die Aussage (u, ω ) X Y ist Sattelpunkt von L können wir nun durch Äquivalenzumformungen in eine Fixpunktgleichung umformen, um daraus das Arrow-Hurwicz- Verfahren zu gewinnen. 0 L (u, ω ω (u ) ) ist Sattelpunkt von L 0 ( L u )(ω ) u u + σ L ω (u ) ω ω + τ ( L u )(ω ) u = (id + σ F ) 1 (u σa ω ) ω = (id + τ G ) 1 (ω + τau ) Aus dieser Fixpunktgleichung können wir nun den Algorithmus entwickeln, indem wir zusätzlich die Variablen (ū, ω ) einführen. Außerdem führen wir am Ende eines Iterationsschrittes noch eine Extrapolation in der primalen Variable ū durch. Für genauere Informationen siehe Bredies und Lorenz [BL10]. Algorithm 2 Arrow-Hurwicz-Verfahren mit linearem primalen Extragradienten. (vgl. [BL10, S. 388]) u 0 0 for k = 1, 2, 3,... do ω (id + τ G ) 1 ( ω + τkū ) u k (id + σ F ) 1 (ū σk ω ) ū 2u k u k 1 end for Der Algorithmus konvergiert unter der Voraussetzung τσ K 2 < 1 für k gegen den Sattelpunkt von L (vgl. [CP11]). Eine Frage, die sich nun noch stellt, ist, wie sich die

31 4 Regularisierungsmethoden 29 Resolventen berechnen lassen. Dafür schauen wir uns zunächst das ROF-Modell (4.5) an, welches wir später mit der ART-Rekonstruktion kombinieren werden (ART+TV), indem wir sukzessive ART-Schritte ausführen und die Zwischenergebnisse mit dem ROF-Modell regularisieren (vgl. [SP08]). Wir wenden die Theorie nun auf das ROF-Modell an. Dafür sei X = R m n der diskrete Bildraum und Ω = {1, 2,..., m} {1, 2,..., n}. Weiter sei ein verrauschtes Bild u 0 X gegeben. Wir setzen dann F : X R F (u) = 1 2 u 0 u 2 2 = (u 0 i,j u i,j ) 2 (i,j) Ω und sowie G : X 2 R G(v) = λ v 1 = λ (v 1 ) i,j + (v 2 ) i,j, (i,j) Ω ( K : X X 2 K = h = D x D y ) wobei D x und D y diskrete Richtungsableitungen nach x und y sind. Wir berechnen (id + σ F ) 1 : (id + σ F ) 1 (u) = arg min v X v u σ 1 2 u0 v 2 2 Der Term ist differenzierbar mit Maximum v = u+σu0 1+σ und somit gilt (id + σ F ) 1 (u) = u + σu0 1 + σ. Zur Berechnung von (id + τ G ) 1 bestimmen wir zunächst G : G (ω) = sup v X 2 ω, v G(v) = sup v X 2 ω, v λ Dazu unterscheiden wir zwei Fälle: (i,j) Ω (v 1 ) i,j + (v 2 ) i,j 1. Ist ω i,j λ für alle (i, j) Ω, so gilt G (ω) = Ist ω i,j > λ für ein (i, j) Ω, so gilt G (ω) =.

32 4 Regularisierungsmethoden 30 Zusammen gilt also 0, falls ω G λ (ω) = I { ω λ}(ω) =, sonst. Damit können wir nun die Resolvente berechnen: (id + τ G ) 1 (ω) = arg min ξ X 2 ξ ω τg (ξ) = arg min ξ X 2 ξ ω τi { ξ λ}(ξ) Der Term nimmt nur einen endlichen Wert an, falls ξ i,j λ für alle (i, j) Ω und ist am kleinsten, wenn ξ ω 2 2 klein ist. Das heißt die Resolvente (id + τ G ) 1 ist die Projektion auf die Menge {ω X 2 ωi,j λ (i, j) Ω}. (id + τ G 2) 1 (ω) i,j = P λ (ω) i,j = ω i,j max{1, λ 1 ω i,j } Der Algorithmus zur Lösung des ROF-Modells sieht dann wie folgt aus: Algorithm 3 Arrow-Hurwicz-Verfahren mit linearem primalen Extragradienten für das ROF-Modell Require: στ < 2 for k = 1, 2, 3,... do ω k+1 P λ (ω + τ ū) u k+1 u k+σ( div(ω)+u 0 ) 1+σ ū 2u k+1 u k end for

33 4 Regularisierungsmethoden 31 (a) λ = 10 4 (b) λ = 10 1 Abbildung 4.2: ART+TV Rekonstruktionen. Man beachte, dass Kanten erhalten bleiben, insbesondere aber kleine Details ineinander übergehen (mittlerer, unterer Bereich). Nachdem wir das Standardmodell betrachtet haben, werden wir noch einen zweiten Weg wählen und das Modell auf die Radon-Transformation anpassen. Dabei orientieren wir uns an dem Paper von Schiffer und Bredies [SB14]. Das ROF-Modell setzt sich aus zwei Funktionalen zusammen: Auf der einen Seite aus dem Regularisierungsterm λ u BV (Ω) und auf der anderen Seite aus dem Datenterm 1 2 u 0 u 2 2. Nach dem Studium der Tikhonov-Regularisierung liegt es nahe, im Datenterm den Abstand im Datenraum zu messen. Auf diese Weise wird neben der Minimierung des Regularisierungsterms auch das Bild aus den Daten rekonstruiert. Dafür sei Y := R M N der diskrete Datenraum zu X. Wir betrachten also für gegebene Daten g Y arg min f X 1 2 Rf g λ f 1. Wir legen nun wieder die Funktionale fest, um die Theorie anwenden zu können. Dies wollen wir auf folgende Weise tun: F : X R F (u) = 0

34 4 Regularisierungsmethoden 32 Für η R setzen wir G : Y X 2 R G(p, v) = 1 2 η 1 p g λ v 1 = (i,j) Ω 1 2 (η 1 p i,j g i,j ) 2 + λ( (v 1 ) i,j + (v 2 ) i,j ) sowie K : X Y X 2 K = [ ηr h ]. Das η ermöglicht es uns, das Verhältnis der Normen von ηr und zu kontrollieren, was uns Vorteile hinsichtlich der Konvergenzgeschwindigkeit bringt. Es gilt (id + σ F ) 1 = id, denn (id + σ F ) 1 v u 2 2 (u) = arg min 0 = u. v R m n 2 Nach Lemma kann die Resolvente von G komponentenweise ausgerechnet werden: (id + τ G ) 1 (p, v) = Dabei ist G 1 (p) = 1 2 η 1 p g 2 2 und damit ( (id + τ G 1) 1 (p) (id + τ G 2) 1 (v) ) G 1(ξ) = sup ξ, p 1 p Y 2 η 1 p g 2 2 = (η η) ξ η ξ, g. Die Resolvente berechnet sich nun wie folgt: ( (id + τ G 1) 1 χ ξ 2 2 (ξ) = arg min + τ (η 2 1 ) χ R 2 2 η) χ η χ, g M N und wir können durch Differenzieren wieder das Minimum bestimmen: (id + τ G 1) 1 (ξ) = ξ τηg 1 + τ(2η 2 η) Für G 2 (ω) = λ ω 1 können wir analog zum ROF-Modell vorgehen. Die Resolvente (id + τ G 2) 1 ist also die Projektion auf die Menge { ω λ}: (id + τ G 2) 1 (ω) i,j = P λ (ω) i,j = ω i,j max{1, λ 1 ω i,j }

35 4 Regularisierungsmethoden 33 Mit den Resolventen können wir nun das Arrow-Hurwicz-Verfahren formulieren. Algorithm 4 Arrow-Hurwicz-Verfahren mit linearem primalen Extragradienten für die TV-Rekonstruktion. Require: στ < (η 2 R ) 1 for k = 1, 2, 3,... do ω k+1 P λ (ω + τ ū) v k+1 v k + τη(rū g))/(1 + τ(2η 2 η)) u k+1 u k σ( div(ω) + R v) ū 2u k+1 u k end for (a) λ = 10 4 (b) λ = 10 1 Abbildung 4.3: TV-Regularisierungen Der Unterschied der Bilder wird klar, wenn man die Höhenlinen eines Schnitts des Bildes betrachtet.

36 4 Regularisierungsmethoden λ = 10 1 λ = Abbildung 4.4: Höhenlinien von TV-Regularisierungen mit verschiedenen Regularisierungsparametern.

37 35 5 Anpassung der Algorithmen auf das Problem der Metall-Artefakt Reduktion In diesem Kapitel wollen wir die von uns in Kapitel 3 und 4 untersuchten Algorithmen auf das Problem der Metall-Artefakte anpassen. Dabei nehmen wir stets an, dass uns die Menge Ω 0 Ω R 2, in der sich das Metall befindet, bekannt ist. Da wir Ω 0 kennen, wissen wir auch, welche Daten im Sinogramm gestört sind, indem wir Λ := {(θ, s) C RIΩ0 (θ, s) 0} betrachten. In diesem Kapitel soll Λ θ = {s R (θ, s) Λ} die Einschränkung von Λ auf θ R bezeichnen. Grundidee wird es sein, im Sinne des Themas dieser Arbeit, die gestörten Daten zu ignorieren und zu sehen, wie sich die bildbasierten Regularisierungsmethoden auswirken. Wir wollen aber mit dem in der Einleitung angekündigten datenbasierten Algorithmus starten. 5.1 Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion Bei der gefilterten Rückprojektion ersetzen wir die vom Metall gestörten Daten im Sinogramm, indem wir sie durch umgebende Werte interpolieren. Sind also Daten g S(C) gegeben, so erstellen wir ḡ S(C), indem wir für jedes θ S 1 die Projektion g(θ, ) durch ḡ(θ, ) ersetzen. Dabei ist ḡ(θ, ) auf jedem Intervall von Λ θ linear, sodass Λθ g(θ, ) und ḡ(θ, ) auf dem Rand von Λ θ übereinstimmen. Auf ḡ wenden wir dann die gefilterte Rückprojektion an. Dieses Vorgehen ist datenbasiert, da wir die Daten ändern und dann ein normales Rekonstruktionsverfahren anwenden. Die meisten Verfahren, die in der Praxis eingesetzt werden, sind datenbasiert.

38 5 Anpassung der Algorithmen auf das Problem der Metall-Artefakt Reduktion (a) Gefilterte Rückprojektion von durch lineare Interpolation aufbereiteten Daten (b) Graph einer interpolierten Projektion Abbildung 5.1: Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion. 5.2 Algebraic-Reconstruction-Technique Bei der Algebraic-Reconstruction-Technique können wir die gestörten Daten ignorieren, dazu streichen wir die entsprechenden Zeilen aus dem Gleichungssystem. Dies hat zur Folge, dass die affin-linearen Unterräume H θ, auf die wir sukzessive projizieren, größer werden. H θ := {f S(R 2 ) } Rθ f = g(θ, ) R\Λθ R\Λθ Auf die Projektionen P θ wirkt sich das folgendermaßen aus: P θ f = f + R θ(r θ R θ) 1 h f g(θ, ) R θ f, falls s λ θ h f (s) := 0, sonst Anschaulich betrachtet ignorieren wir bei dem Zurückprojizieren der Projektionen die vom Metall gestörten Daten. Wir lassen also den Bereich des Bildes, auf den sich die Daten auswirken würden, unangetastet. Wir erhoffen uns von der Kombination aus ART und der TV-Regularisierung eine Re-

39 5 Anpassung der Algorithmen auf das Problem der Metall-Artefakt Reduktion 37 (a) Ohne TV-Regularisierung (b) Mit TV-Regularisierung Abbildung 5.2: Rekonstrunktion mit ART+TV duktion der Artefakte. In Abbildung 5.2 sehen wir Ergebnisse der ART-Rekonstruktion mit und ohne TV-Regularisierung. 5.3 Tikhonov-Regularisierung Um die Tikhonov-Regularisierung anzupassen, betrachten wir das Funktional, welches wir minimieren wollen: Φ α (x) = Ax g α Lx 2 2 Wir wissen nun, welche Daten wir im Funktional nicht beachten wollen, das heißt, wir passen den Datenterm Ax g 2 2 an. Schauen wir uns daher die Situation im diskreten Fall an: Sei Λ {1, 2,..., m} {1, 2,..., n}. Dann ersetzen wir Ax g 2 2 = ((Ax) i,j g i,j ) 2 (i,j) Ω durch Ax g 2 Ω\Λ = ((Ax) i,j g i,j ) 2. (i,j) Ω\Λ Wir lassen die gestörten Daten in der Summierung also aus.

40 5 Anpassung der Algorithmen auf das Problem der Metall-Artefakt Reduktion 38 (a) α = 30 (b) α = 500 Abbildung 5.3: Tikhonov-Regularisierung mit unterschiedlichen Regularisierungsparametern. Wir stellen fest, dass bei zu kleinem Regularisierungsparameter noch Artefakte vorhanden sind, bei zu großem das Bild unscharf wird. Für das Least-Squares Problem bedeutet das, dass in der Matrix A und den Daten g entsprechende Zeilen gestrichen werden. In der Implementierung können wir analog dazu in Algorithmus 1 auch q 1 Λ = 0 setzen. Ergebnisse der Tikhonov-Regularisierung sind der Abbildung 5.3 zu entnehmen. 5.4 Total-Variation-Regularisierung Bei der TV-Regularisierung können wir im Ansatz analog zur Tikhonov-Regularisierung vorgehen. Das heißt, wir ersetzen den Datenterm Rx g 2 2 durch Rx g 2 Ω\Λ. Für den Algorithmus müssen wir folglich die Resolvente (id + τ G 1) 1 anpassen. G 1(ξ) = sup ξ, p η 1 p g 2 Ω\Λ p Y = sup ξ i,j p i,j (η 1 p i,j g i,j ) 2 p Y (i,j) Ω (i,j) Ω\Λ

41 5 Anpassung der Algorithmen auf das Problem der Metall-Artefakt Reduktion 39 Falls ξ i,j 0 für ein (i, j) Λ gilt, so gilt G 1(ξ) =, ansonsten G 1(ξ) = (η η) ξ 2 2+ η ξ, g, wie in Abschnitt 4.2. Daraus können wir nun die Resolvente berechnen: (id + τ G 1) 1 χ ξ 2 2 (ξ) = arg min χ R 2 M N (η τ η) χ η χ, g, falls χ i,j = 0 (i, j) Λ, sonst Betrachten wir die Gleichung koeffizientenweise, so können wir das Minimum analytisch berechnen. (ξ (id + τ G 1) 1 i,j τηg i,j )/(1 + τ(2η 2 η)), falls (i, j) Ω \ Λ (ξ) i,j = 0, falls (i, j) Λ Mit dieser Resolvente wenden wir nun wieder das Arrow-Hurwicz-Verfahren an. Abbildung 5.4 zeigt Ergebnisse mit und ohne Regularisierung. (a) λ = 0 (b) λ = 10 4 Abbildung 5.4: TV-Rekonstruktion aus gestörten Daten. Das Bild kann exakt rekonstruiert werden.

42 40 6 Vergleich der Methoden In diesem Kapitel wollen wir alle im Rahmen der Arbeit behandelten Methoden in verschiedenen Situationen miteinander vergleichen. Grundlage hierfür bietet das Shepp- Logan Phantom sowie ein Bild, welches realistischere Eigenschaften besitzt, da das Shepp-Logan Phantom stückweise-konstant und somit wie gemacht für die Total-Variation ist. Wir verwenden das originale Shepp-Logan Phantom mit starken Kontrasten. Die äußere Ellipse in dem Phantom hat eine Intensität von 1, während die Intensitäten im Rest des Bildes zwischen 0 und 0, 05 liegen. Dies wirkt sich auf die Rekonstruktionen aus, da Bilder mit starken Kontrasten störungsanfälliger sind. Besonders bei Metall- Artefakten spielt der Kontrast eine wesentliche Rolle, diese bilden sich stärker aus, wenn das Metall einen Kontrast abdeckt (vgl. Test 2). In unseren Darstellungen werden wir Intensitäten, die größer als 0, 1 sind, weiß und solche, die zwischen 0 und 0, 1 liegen, in Grauwerten darstellen. 1 0,03 0 Abbildung 6.1: Intensitäten des Shepp-Logan Phantoms Beginnen wollen wir mit Vergleichen von verschiedenen Platzierung des Metalls innerhalb des Bildes. Später werden wir die Methoden auf ihr Verhalten im Falle mehrerer Metallobjekte im Bild untersuchen und prüfen wie sich Details, die nah am Metall liegen, rekonstruieren lassen. Bei den Regularisierungsmethoden bestimmen wir den Regularisierungsparameter möglichst so, dass sich keine Artefakte bilden, das Bild aber

43 6 Vergleich der Methoden 41 nicht zu stark geglättet wird. Als Vergleichsmaß zwischen dem Originalbild u und dem Ergebnis der Methode v dient, wie auch in der Masterarbeit von Koskela [Kos12], eine optische Begutachtung, sowie der folgende relative Fehler: ε 2 := u v 2 Ω\Ω 0 u 2 Ω\Ω 0 Des Weiteren wollen wir den Fehler dicht am Metallobjekt beurteilen. Dafür sei eine Umgebung Ω ROI Ω (Region of Interest) des Metallobjekts gegeben. Dann betrachten wir ε ROI 2 := u v 2 Ω ROI \Ω 0 u 2 Ω ROI \Ω 0. In den Ergebnissen wird der Bereich, in dem sich das Metall befindet, rot gekennzeichnet. Als erstes Bild wird immer das Ausgangsbild gemeinsam mit dem Metallbereich und Ω ROI dargestellt.

44 6 Vergleich der Methoden 42 Test 1 Wir starten mit dem Beispiel aus Kapitel 5. Dabei liegt das Metallstück im Inneren des Phantoms, es stehen 180 Projektionen zur Verfügung und 2.3% der Daten werden vom Metall verdeckt. Die lineare Interpolation der Daten erzeugt schwache linienförmige Artefakte. Bei der Tikhonov-Regularisierung fällt auf, dass der Rand des Phantoms deutlich breiter geworden ist. Als Begründung ist hier die Intensität des Randes zu nennen, welcher über dem maximal dargestellten Grauwert liegt. Die Glättung sorgt infolgedessen für einen breiter erscheinenden Rand. Beide TV-Methoden können das Ausgangsbild fast fehlerfrei wiederherstellen. Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion ε 2 ε ROI Tikhonov-Regularisierung ART+TV TV-Regularisierung Tabelle 6.1: Relative Fehler zu Test 1.

45 6 Vergleich der Methoden 43 (a) Metallobjekt und ROI (b) Gefilterte Rückprojektion (c) Tikhonov-Regularisierung (d) ART+TV (e) TV-Regularisierung Abbildung 6.2: Ergebnisse von Test 1.

46 6 Vergleich der Methoden 44 Test 2 Ein Fall, bei dem sich das Problem besonders auswirkt, ist wenn das Metallobjekt einen Kontrast abdeckt beziehungsweise wenn Kontraste nah am Metallobjekt auftreten. Auch hier fehlen 2.3% der Daten. Wir stellen fest, dass der datenbasierte Algorithmus schlechtere Ergebnisse liefert als die bildbasierten. Bei der TV-Regularisierung wirkt sich das Metall nur noch lokal und sehr schwach aus. Die Ergebnisse unterscheiden sich stark von denen des ersten Tests. Besonders der relative Fehler der gefilterten Rückprojektion ist hier auf 45% gestiegen. Auch die TV- Regularisierung kann das Bild nicht mehr exakt rekonstruieren. Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion ε 2 ε ROI Tikhonov-Regularisierung ART+TV TV-Regularisierung Tabelle 6.2: Relative Fehler zu Test 2.

47 6 Vergleich der Methoden 45 (a) Metallobjekt und ROI (b) Gefilterte Rückprojektion (c) Tikhonov-Regularisierung (d) ART+TV (e) TV-Regularisierung Abbildung 6.3: Ergebnisse von Test 2.

48 6 Vergleich der Methoden 46 Test 3 In diesem Test wollen wir überprüfen, ob sich Details, die nah am Metallobjekt liegen, rekonstruieren lassen. In diesem Fall stehen weniger Daten über die Bereiche nah am Metall zur Verfügung. Daher erwarten wir, dass nicht alles rekonstruiert werden kann. Hier liegt der Anteil an fehlenden Daten bei 4.2%. Unsere Vermutung bestätigt sich, allerdings unterscheiden sich die Ergebnisse der Methoden. Auch in diesem Test produziert die TV-Regularisierung das beste Ergebnis. Während die lineare Interpolation sowie die Tikhonov-Regularisierung Artefakte aufweisen, schaffen es die TV-basierten Verfahren diese vollständig zu eliminieren. Jedoch weisen alle Ergebnisse den Fehler auf, dass die linke Ellipse, die das Metallobjekt schneidet, nicht richtig rekonstruiert wird. Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion ε 2 ε ROI Tikhonov-Regularisierung ART+TV TV-Regularisierung Tabelle 6.3: Relative Fehler zu Test 3.

49 6 Vergleich der Methoden 47 (a) Metallobjekt und ROI (b) Gefilterte Rückprojektion (c) Tikhonov-Regularisierung (d) ART+TV (e) TV-Regularisierung Abbildung 6.4: Ergebnisse von Test 3.

50 6 Vergleich der Methoden 48 Test 4 Nun werden wir untersuchen wie sich die Verfahren verhalten, wenn sich mehrere Metall-Objekte im Bild befinden. Es werden 6.7% der Daten vom Metall überdeckt. Besonders bei der Tikhonov-Regularisierung und der ART-Rekonstruktion mit TV- Regularisierung bilden sich nah am Metallobjekt Artefakte in Richtung der anderen Metallobjekte. Dies liegt an der Rekonstruktionsart: Da in diese Richtungen die Daten fehlen, werden sie wie etwa bei der ART-Methode auch nicht dahin zurückprojiziert. Die TV-Rekonstruktionsmethode ist hier unanfällig. Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion ε 2 ε ROI Tikhonov-Regularisierung ART+TV TV-Regularisierung Tabelle 6.4: Relative Fehler zu Test 4.

51 6 Vergleich der Methoden 49 (a) Metallobjekt und ROI (b) Gefilterte Rückprojektion (c) Tikhonov-Regularisierung (d) ART+TV (e) TV-Regularisierung Abbildung 6.5: Ergebnisse von Test 4.

52 6 Vergleich der Methoden 50 Test 5 In Test 5 versuchen wir realistischere Bedingungen zu schaffen. Dafür verwenden wir ein echtes Bild aus einem Computertomographen. Trotzdem sind die Ergebnisse auch hier nur mit Einschränkungen zu bewerten. Das Bild hat nun ähnlichere Eigenschaften wie ein echtes CT-Bild. Allerdings sind die Daten immer noch künstlich aus dem Bild erzeugt. Insbesondere betrachten wir das Bild auf dem gesamten Kontrastbereich, das heißt es gibt vergleichsweise nur schwache Kontraste. 2.3% der Daten fehlen. In der linken unteren Ecke sehen wir eine Vergrößerung von Ω ROI. Wir bemerken, dass die Details von den TV-Methoden am besten rekonstruiert werden können. Typischerweise wirkt die Tikhonov-Regularisierung unscharf. Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion ε 2 ε ROI Tikhonov-Regularisierung ART+TV TV-Regularisierung Tabelle 6.5: Relative Fehler zu Test 5.

53 6 Vergleich der Methoden 51 (a) Metallobjekt und ROI (b) Gefilterte Rückprojektion (c) Tikhonov-Regularisierung (d) ART+TV (e) TV-Regularisierung Abbildung 6.6: Ergebnisse von Test 5.

54 6 Vergleich der Methoden 52 Test 6 In den bisherigen Tests bestanden die Daten immer aus 180 Projektionen. Diese wollen wir nun auf 360 erhöhen und uns die entsprechenden Ergebnisse ansehen. Auch hier fehlen 2.3% der Daten. Die Ergebnisse sind hier ähnlich zu denen aus Test 2, wobei auch die Metallplatzierung die gleiche ist. Bei der gefilterten Rückprojektion fällt auf, dass das Rauschen verschwunden ist, daher sind die Metall-Artefakte noch deutlicher zu erkennen. Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion ε 2 ε ROI Tikhonov-Regularisierung ART+TV TV-Regularisierung Tabelle 6.6: Relative Fehler zu Test 6.

55 6 Vergleich der Methoden 53 (a) Metallobjekt und ROI (b) Gefilterte Rückprojektion (c) Tikhonov-Regularisierung (d) ART+TV (e) TV-Regularisierung Abbildung 6.7: Ergebnisse von Test 6.

56 6 Vergleich der Methoden 54 Test 7 Der letzte Test zeigt auf, dass Metallobjekte im Bild trotz relativ guter Rekonstruktionsverfahren ein Problem bleiben. Das Metallobjekt im Zentrum des Bildes wirkt sich bis in den oberen Bereich des Bildes aus. Dies liegt vor allem darin begründet, dass sich die Kontraste, welche nicht rekonstruiert werden können, mit dem Metallobjekt auf einer Linie befinden. Auf diese Weise ist der Teil der Projektion, in welchem der Kontrast enthalten ist, vom Metall abgedeckt. Dadurch entsteht ein qualitativer Fehler im Bild. Insgesamt fehlen 6% der Daten. Lineare Interpolation und gefilterte Rückprojektion ε 2 ε ROI Tikhonov-Regularisierung ART+TV TV-Regularisierung Tabelle 6.7: Relative Fehler zu Test 7.

57 6 Vergleich der Methoden 55 (a) Ausgangsbild (b) Metallobjekt und ROI (c) Gefilterte Rückprojektion (d) Tikhonov-Regularisierung (e) ART+TV (f) TV-Regularisierung Abbildung 6.8: Ergebnisse von Test 7.