EU-Projekt Nr MINOS, Laufzeit von 2005 bis 2007

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1 Mechatronik Modul 1-4 Grundlagen Interkulturelle Kompetenzen Projektmanagement Fluidtechnik Elektrische Antriebe und Steuerungen Schülerhandbuch (Konzept) EU-Projekt Nr MINOS, Laufzeit von 2005 bis 2007 Europäisches Konzept für die Zusatzqualifikation Mechatronik für Fachkräfte in der globalisierten industriellen Produktion. Das Projekt wurde gefördert von der Europäischen Union im Rahmen des Aktionsprogramms der Europäischen Union für die berufliche Bildung Leonardo da Vinci.

2 Mechatronik Modul 1: Grundlagen Schülerhandbuch (Konzept) Matthias Römer Technische Universität Chemnitz Institut für Werkzeugmaschinen und Produktionsprozesse EU-Projekt Nr MINOS, Laufzeit von 2005 bis 2007 Europäisches Konzept für die Zusatzqualifikation Mechatronik für Fachkräfte in der globalisierten industriellen Produktion. Das Projekt wurde gefördert von der Europäischen Union im Rahmen des Aktionsprogramms der Europäischen Union für die berufliche Bildung Leonardo da Vinci.

3 Projektpartner bei der Erarbeitung und Erprobung des Teachwarekonzepts Technische Universität Chemnitz, Institut für Werkzeugmaschinen und Produktionsprozesse, Deutschland Projektleitung Corvinus Universität Budapest, Institut für Informationstechnologien, Ungarn Universität Stockholm, Institut für Soziologie, Schweden Technische Universität Wroclaw, Institut für Produktionstechnik und Automatisierung, Polen Henschke Consulting Dresden, Deutschland Christian Stöhr Unternehmensberatung, Deutschland Neugebauer und Partner OHG Dresden, Deutschland Korff Isomatic sp.z.o.o. Wroclaw, Polen Euroregionale Industrie- und Handelskammer Jelenia Gora, Polen Dunaferr Metallwerke Dunajvaros, Ungarn Knorr-Bremse Kft. Kecskemet, Ungarn Nationales Institut für berufliche Bildung Budapest, Ungarn Teachwearkonzept: Modul 1: Grundlagen Modul 2: Interkulturelle Kompetenzen, Projektmanagement Modul 3: Fluidtechnik Modul 4: Elektrische Antriebe und Steuerungen Modul 5: Mechatronische Komponenten Modul 6: Mechatronische Systeme und Funktionen Modul 7: Inbetriebnahme, Sicherheit, Teleservice Modul 8: Fernwartung, Diagnose Weitere Informationen: Technische Universität Chemnitz Institut für Werkzeugmaschinen und Produktionsprozesse Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Prof. E.h. Dr.-Ing. E.h. Reimund Neugebauer Prof. Dr.-Ing. Dieter Weidlich Reichenhainer Straße 70, Chemnitz Tel.: +49(0) Fax: +49(0) Internet: 2

4 Grundlagen Minos Inhalt: 1 Technische Mathematik Grundrechenarten... 7 Reihenfolge von Operationen Berechnung von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen Allgemeine Hinweise zur Multiplikation von Klammern 1.2 Rechnen mit Brüchen Definition von Brüchen Kürzen und Erweitern von Brüchen Addition von Brüchen Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Berechnen von Brüchen mit dem Taschenrechner 1.3 Höhere Rechenarten Rechnen mit Zehnerpotenzen Berechnung von Potenzen mit dem Taschenrechner Multiplikation und Division von Exponentialzahlen Addition und Subtraktion von Exponentialzahlen Wurzelberechnung 1.4 Dualzahlen Umrechnung von Dualzahlen Addition von Dualzahlen Subtraktion von Dualzahlen Dualzahlen im Computer Rechnen mit Variablen Aus- und Einklammerregeln Lösen von Gleichungen 1.6 Potenzrechnung Zinseszinsrechnung Geometrie Winkel Viereck Dreieck Winkelfunktionen Kreis Körper

5 Minos Grundlagen 2 Technische Physik Physikalische Grundlagen Physikalische Größen und Einheiten Physikalische Gleichungen Kraft Addieren von Kräften Zerlegen von Kräften Drehmoment Kräfte- und Momentengleichgewicht Hebelgesetz Druck Kraftübersetzung Druckübersetzung Gasgesetz Strömende Medien Spannung Reibung Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung Gleichförmige Bewegung Beschleunigte Bewegung Kräfte an bewegten Körpern Rotation Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Arbeit, Energie und Leistung Arbeit Energie Energieerhaltungsgesetz Leistung Wirkungsgrad Wärmelehre Temperatur Ausdehnung fester Körper Ausdehnung von Gasen Wärmeenergie und Wärmekapazität

6 Grundlagen Minos 3 Technisches Zeichnen Grundlagen des technischen Zeichnens Die technische Zeichnung als Kommunikationsmittel der Technik Zeichnungsarten Papierformate Schriftfelder und Stücklisten Maßstäbe Darstellungen in Zeichnungen Ansichten Linienarten und Liniendicken Schnitte Maßeintragungen in Zeichnungen Maßlinien, Maßhilfslinien und Maßzahlen Besonderheiten bei der Bemaßung Oberflächenbeschaffenheit Angabe der Oberflächenbeschaffenheit in der Zeichnung Form- und Lagetoleranzen Maßtoleranzen Passungen Technische Zeichnungen und Computer CAD Numerisch gesteuerte Maschinen

7 Minos Grundlagen 6

8 Grundlagen Minos 1 Technische Mathematik 1.1 Grundrechenarten Zu den Grundrechenarten zählen die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division. Beim Addieren werden Zahlen zusammengezählt. Bei der Subtraktion, der Umkehrung der Addition, werden Zahlen voneinander abgezogen. Beide Rechenarten werden wegen der Zeichen + und als Strichrechnung bezeichnet. Die Multiplikation bezeichnet das Malnehmen von Zahlen. Die Division als Umkehrung der Multiplikation ist das Teilen einer Zahl durch eine andere. Da diese Rechenarten einen Punkt oder einen Doppelpunkt als Operationszeichen besitzen, werden sie auch Punktrechnung genannt. Die Punktrechnung ist höherwertiger als die Strichrechnung und muss vorher ausgeführt werden. Wichtig Punktrechnung geht vor Strichrechnung! Zur Multiplikation gelangt man, indem man mehrfach die gleichen Zahlen addiert. So hat das gleiche Ergebnis wie 4 3. In manchen Unterlagen wird dabei auch das Zeichen * für den Punkt bei der Multiplikation verwendet. Durch mehrfaches Multiplizieren mit der gleichen Zahl gelangt man zur Potenzrechnung hat also das gleiche Ergebnis wie 3 4. Die Potenzrechnung ist höherwertig als die Punktrechnung und muss deshalb vor der Punktrechnung ausgeführt werden. Wichtig Potenzrechnung geht vor Punktrechnung! Noch höherwertiger ist die Klammerrechnung. Werte innerhalb der Klammer müssen immer zuerst berechnet werden. Wichtig Beispiel Die Klammer wird immer zuerst berechnet! = = = : 4 = = = 10 (4 + 2) 3 = 6 3 = 18 7

9 Minos Grundlagen Hinweis Aufgabe Einfache Rechenaufgabe kann man im Kopf ausführen. Häufig wird jedoch auch ein Taschenrechner eingesetzt. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass viele einfache Taschenrechner die einzelnen Rechenoperationen nur nacheinander abarbeiten. Bei anderen Taschenrechnern dagegen kann man ganze Formeln eingeben und berechnen lassen. Für das Einhalten der Rechenregeln ist trotzdem der Mensch zuständig. Bei der Benutzung fremder Taschenrechner ist gegebenenfalls vorher auszuprobieren, ob das Gerät Punktrechnung vor Strichrechnung beherrscht. Lösen Sie die Aufgabe 1 im Übungsbuch! Bei der Subtraktion kann es vorkommen, dass der zweite Wert größer ist als der erste. Im Ergebnis erhält man dann eine negative Zahl mit einem Minus als Vorzeichen. Das Plus zum Kennzeichnen positiver Zahlen kann dagegen entfallen. Um zu vermeiden, dass ein Rechenzeichen und ein Vorzeichen direkt hintereinander stehen, wird die Zahl mit dem Vorzeichen in eine Klammer gesetzt. Beim Addieren und Subtrahieren können gleiche Rechen- und Vorzeichen zu einem Plus zusammengefasst werden. Unterscheiden sich dagegen Rechen- und Vorzeichen, so können sie durch ein Minus ersetzt werden. Das muss für jede Klammer einzeln erfolgen. Beispiel 8 14 = ( + 5 ) = = 9 4 ( 5 ) = = 9 5 ( + 4 ) = 5 4 = ( 4 ) = 5 4 = 1 Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 2 im Übungsbuch! Befinden sich in einer Klammer mehrere Summanden, so muss jedes Vorzeichen einzeln neu ermittelt werden um die Klammer entfernen zu können. Beispiel ( ) = 5 + ( 6 ) = 5 6 = 11 ( 5 6 ) = 5 + ( + 6 ) = = 1 ( a + b + c ) = a + ( b ) + ( - c ) = a b c ( a + b c ) = + a + ( b ) + ( + c ) = a b + c Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 3 im Übungsbuch! 8

10 Grundlagen Minos Bei der Multiplikation und Division gilt ebenfalls, dass gleiche Vorzeichen von zwei Werten zu einem Plus und ungleiche Vorzeichen zu einem Minus im Ergebnis führen. Beispiel ( + 5 ) ( + 6 ) = + 30 ( 5 ) ( 6 ) = + 30 ( + 5 ) ( 6 ) = 30 ( 18 ) : ( 6 ) = + 3 ( 18 ) : ( + 6 ) = 3 Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 4 im Übungsbuch! Bei der Addition und bei der Multiplikation kann die Reihenfolge der beiden Summanden bzw. Faktoren vertauscht werden. Diese Regel wird als Kommutativgesetz bezeichnet. In der allgemeinen Schreibweise sieht das folgendermaßen aus: a + b = b + a a b = b a Weiterhin gilt für die Addition und die Multiplikation, dass bei mehreren gleichen Rechenoperationen die Reihenfolge der Berechnung egal ist. Dieses Gesetz wird Assoziativgesetz genannt. Die Klammer kann in diesem Fall auch entfallen. a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a ( b c ) = ( a b ) c Steht in einer Klammer eine Summe und wird diese Klammer mit einem Wert multipliziert, so gilt das Distributivgesetz. Jeder Wert in der Klammer wird mit dem Wert vor der Klammer multipliziert. a ( b + c ) = a b + a c Befinden sich in zwei Klammern mehrere Summanden, so müssen alle Summanden miteinander multipliziert werden. Wird dabei mit Variablen gerechnet, so ist es oft üblich das Multiplikationszeichen wegzulassen. ( a + b ) ( c + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Diese Berechnung kann man auch grafisch darstellen (Bild 1). Die Multiplikation von zwei Strecken (a + b ) und ( c + d ) ergibt den Flächeninhalt eines Rechtecks. Dies gilt auch, wenn die beiden Strecken sich aus den zwei Teilstrecken a und b sowie c und d zusammensetzen. Die vier Teilflächen ergeben zusammen wieder das Gesamtrechteck. 9

11 Minos Grundlagen a+b c+d a d a c b d b c c d a b Bild 1: Grafische Darstellung der Multiplikation Wendet man das Distributivgesetz von rechts nach links an, so bezeichnet man dieses Vorgehen als Ausklammern. Enthalten mehrere Summanden einen gleichen Faktor, so kann dieser vor die Klammer geschrieben werden. Beispiel ab + ac = a ( b + c ) 15x 5y = 5 ( 3x y ) Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 5 im Übungsbuch! 1.2 Rechnen mit Brüchen Beim Aufteilen einer bestimmten Anzahl in gleich große Gruppen ist eine Lösung mit ganzen Zahlen manchmal nicht möglich. So kann man beispielsweise sechs Äpfel in drei Gruppen teilen, wobei jede Gruppe zwei Äpfel enthält. Soll dagegen ein Apfel in drei gleich große Stücke geteilt werden, muss er zerteilt werden. Diese Aufgabe kann man dann auch als Bruch wie folgt schreiben: 1: 3 = 1 3 wobei die Zahl über dem Bruchstrich als Zähler und die Zahl darunter als Nenner bezeichnet wird. Der Nenner gibt dabei an, in wieviele Teile das Ganze geteilt ist und der Zähler gibt an, wie viele Teile davon vorhanden sind. 10

12 Grundlagen Minos Es ist nun auch möglich, den Apfel in sechs Stücke zu teilen und jeder der drei Gruppen zwei Stücke zuzuordnen. Rechnerisch wurde dabei der Zähler und der Nenner mit Zwei multipliziert. Allgemein wird diese Vorgehensweise Erweitern von Brüchen genannt, wenn der Zähler und der Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert wird. Das Erweitern von Brüchen kann sinnvoll sein, wenn Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen. Beispiel = = = Unter dem Kürzen von Brüchen versteht man das Teilen von Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl. Wie beim Erweitern ändert sich der Wert des Bruches dadurch nicht. Durch das Kürzen werden die Zahlen des Bruches kleiner und der Bruch damit insgesamt übersichtlicher. Auch das Berechnen des Bruches kann dadurch vereinfacht werden. Wichtig Aufgabe Das Erweitern oder Kürzen von Brüchen darf nicht mit der Zahl 0 erfolgen! Lösen Sie die Aufgabe 6 im Übungsbuch! Brüche kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie den gleichen Nenner haben. Sollen Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert oder subtrahiert werden, so müssen durch Erweitern eines oder beider Brüche zunächst die Nenner auf den gleichen Wert gebracht werden. Man sagt, die Nenner werden gleichnamig gemacht und der dabei entstehende Nenner ist der Hauptnenner. Ganze Zahlen werden dabei in einen Bruch verwandelt, indem diese Zahl als Zähler verwendet wird und der Nenner 1 ist. Anschließend können die Zähler der beiden Brüche addiert oder subtrahiert werden. Der Nenner wird dabei nicht verändert. 11

13 Minos Grundlagen Ist der Hauptnenner nicht einfach ersichtlich, so kann man ihn dadurch ermitteln, dass man die beiden einzelnen Nenner miteinander multipliziert. Der dabei entstehende Hauptnenner ist nicht unbedingt der kleinste mögliche Hauptnenner, das Ergebnis ist jedoch trotzdem richtig. Beispiel = = = = = = = 6 8 = 3 4 Im ersten Fall wurde der erste Bruch mit 2 erweitert und so der Hauptnenner 4 gefunden. Im zweiten Beispiel dagegen wurde der Hauptnenner 8 durch die Multiplikation der beiden Nenner 2 und 4 ermittelt und die beiden Brüche entsprechend erweitert. Anschließend wurde das Ergebnis gekürzt. Beide Berechnungen ergeben, dass beispielsweise ein halber Apfel und ein viertel Apfel zusammen drei viertel eines Apfels ergeben. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 7 im Übungsbuch! Das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen ist einfacher als das Addieren, weil dafür nicht das Bestimmen des Hauptnenners erforderlich ist. Bei der Multiplikation von Brüchen werden einfach die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinander multipliziert. Dabei kann man einfach den Bruchstrich der beiden Brüche verbinden. Vor dem Ausmultiplizieren kann geprüft werden, ob ein Kürzen des entstandenen Bruches möglich ist. Mit den dabei entstehenden kleineren Zahlen ist die Berechnung einfacher. Beispiel Aufgabe = = 1 4 Lösen Sie die Aufgabe 8 im Übungsbuch! Die Division wird in eine Multiplikation umgewandelt. Dazu wird von dem Bruch, durch den dividiert werden soll, zunächst der Kehrwert gebildet. Das geschieht, indem man einfach Zähler und Nenner vertauscht. Der Kehrwert wird auch Reziproke genannt. Für eine Division wird also mit dem reziproken Bruch multipliziert. Beispiel Aufgabe 1 3 : 3 4 = = = 4 9 Lösen Sie die Aufgabe 9 im Übungsbuch! 12

14 Grundlagen Minos Beim Berechnen von Brüchen mit dem Taschenrechner ist zu beachten, dass einfache Geräte keine direkte Eingabe von Brüchen ermöglichen. Die Berechnungen müssen also nacheinander durchgeführt werden. Beispiel = 0,3 Ein falsches Ergebnis erhält man, wenn man den Bruch einfach in der folgenden Reihenfolge eingibt: 3 : 2 5 = 7,5 Diese Berechnung würde als Bruch dargestellt jedoch anders aussehen. 3 5= 7,5 2 Um das Beispiel mit dem Taschenrechner richtig zu berechnen, müssen die einzelnen Berechnungen folgendermaßen eingegeben werden: 3 : 2 : 5 = 0,3 Das Teilen durch 5 ergibt sich daraus, dass sich die Zahl 5 im Nenner befindet. Es kann natürlich auch erst der gesamte Nenner berechnet werden und danach die Division des Zählers durch den Nenner. Diese Vorgehensweise ist auch dann erforderlich, wenn sich im Nenner eine Addition befindet: Beispiel = 0, Hier muss die Addition im Nenner wie in einer Klammer betrachtet werden. Für die Berechnung muss also vor der Division die Addition erfolgen: 3 : ( ) = 0, Die ausgerechnete Form des Bruches wird als Dezimalbruch bezeichnet. Der Wert des Dezimalbruches wird dabei durch die Stellung der einzelnen Ziffern bestimmt. Links vom Komma stehen dabei die Einer, die Zehner, die Hunderter. Rechts vom Komma dagegen stehen die Zehntel, die Hundertstel, die Tausendstel usw. Bei manchen Brüchen, wie in diesem Beispiel, wird die Anzahl der auf dem Taschenrechner angezeigten Stellen nur durch die Anzahl der Stellen der Anzeige begrenzt. Berechnet man weitere Stellen, so fällt auf, dass sich die ersten sechs Stellen nach dem Komma unendlich wiederholen. 13

15 Minos Grundlagen Für die Darstellung dieser periodischen Dezimalbrüche werden die periodisch wiederkehrenden Zahlen überstrichen. 3 7 = 0, Je nach der geforderten Genauigkeit kann der Bruch auch gerundet werden. Dabei bleibt die letzte Ziffer, die beibehalten werden soll, unverändert, wenn darauf eine 0, 1, 2, 3 oder 4 folgt. Ist die unmittelbar darauffolgende Ziffer dagegen eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird die beizubehaltende Ziffer um 1 erhöht. Das Runden des Bruches im Beispiel auf zwei und auf drei Stellen nach dem Komma ergibt folgendes Ergebnis: 3 7 0, ,429 Durch das Runden ergibt sich bei der Berechnung ein gewisser Fehler. Im Allgemeinen sollten die gerundeten Zahlen eine oder zwei Stellen mehr haben, als die zu Beginn der Berechnung eingesetzten Zahlen. Ein Runden auf mehr Stellen erhöht unnötig den Rechenaufwand. 1.3 Höhere Rechenarten Bereits bei den Grundrechenarten hat das wiederholte Addieren mit einem bestimmten Wert zur Multiplikation geführt. Die wiederholte Multiplikation mit einem gleichen Faktor führt nun zur Potenzrechnung. Die Basis oder Grundzahl der Potenz ist dabei die Zahl, die multipliziert wird. Wie oft diese Zahl multipliziert wird steht im Exponenten, der auch Hochzahl genannt wird, weil diese Zahl hochgestellt hinter die Basis geschrieben wird. In der Geometrie wird der Flächeninhalt A eines Quadrates berechnet, in dem die beiden gleich langen Seiten a miteinander multipliziert werden. Bei einem Würfel wird die quadratische Grundfläche mit der gleich langen Höhe multipliziert um das Volumen V zu berechnen. A = a a = a 2 V = a a a = a 3 Entsprechend werden auch die Einheiten miteinander multipliziert, eine Fläche wird in m 2 angegeben, ein Volumen in m 3. 14

16 Grundlagen Minos Beispiel Ein Würfel hat eine Seitenlänge von 3 m. Wie groß ist sein Volumen? V = 3 m 3m 3 m = 3 3 m 3 = 27 m 3 Der Exponent kann aber auch ein Dezimalbruch sein. Darauf wird bei der Berechnung von Wurzeln weiter eingegangen. Ist ein Exponent negativ, so kann er in einen positiven Exponenten umgeformt werden, in dem die gesamte Potenz in den Nenner eines Bruches gestellt wird. 3-2 = 1/3 2 = 1/9 Wichtig Wichtig Beispiel Eine beliebige Zahl mit dem Exponenten 0 ergibt immer 1. Eine beliebige Zahl mit dem Exponenten 1 ergibt genau diese Zahl, da sie nur einmal als Faktor der Multiplikation vorhanden ist. 2 6 = = = = = 1/6 2 = 1/36 Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 10 im Übungsbuch! 15

17 Minos Grundlagen Eine besondere Bedeutung haben Potenzen mit der Zahl 10 als Basis. Sie werden als Zehnerpotenzen bezeichnet und vorallem benutzt, um besonders große oder kleine Zahlen darzustellen. Die Berechnung von Zehnerpotenzen ist sehr einfach. Der Exponent gibt dabei an, wieviele Nullen sich nach der 1 befinden. Man kann aber auch ausgehend von der 1 aus das Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie der Exponent angibt. Bei negativen Exponenten wird dagegen das Komma von der 1 aus nach links verschoben = = = = 0, = 0,001 Um große oder kleine Zahlen besser darstellen zu können, werden sie häufig in Kombination mit einer Zehnerpotenz dargestellt. Dabei wird die Zahl selbst einstellig mit einer mehr oder weniger großen Anzahl von Kommastellen angegeben und die Zehnerpotenz gibt an, um wieviele Stellen verschoben wird. Es besteht aber auch die Möglichkeit, vorrangig Zehnerpotenzen mit durch 3 teilbaren Exponenten zu verwenden, also beispielsweise 3, 6 und 9 bzw. 3, 6 und 9. Diese können dann durch einen Vorsatz bei den Einheiten ersetzt werden. Übliche Vorsätze für Einheiten sind Kilo, Mega und Giga sowie Milli, Mikro und Nano. Beispiel = 1, = , = 1, = km = 10 3 m = 1000 m 1 nm = 10 9 m = 0, m 16

18 Grundlagen Minos Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 11 und 12 im Übungsbuch! Nicht auf jedem Taschenrechner sind die Funktionen für die Berechnung von Potenzen vorhanden. Geräte mit Möglichkeiten, höhere Rechenoperationen auszuführen, werden oft als wissenschaftliche Taschenrechner bezeichnet. Für das Potenzieren mit den häufiger benötigten Exponenten 2 und 3 sind oftmals gesonderte Tasten x 2 und x 3 vorhanden. Andere Exponenten werden mit der Taste x y eingegeben. Für Zehnerpotenzen ist die Taste EXP vorgesehen. Je nach Ausführung des Taschenrechners ist für die Anzeige der Zehnerpotenz ein gesonderter Teil der Anzeige reserviert oder die Zahl vor der Zehnerpotenz wird mit weniger Stellen angezeigt. Aufgabe Machen Sie sich mit den höheren Rechenarten Ihres Taschenrechners vertraut und geben Sie die Zahlen der vorangegangenen Übung in den Taschenrechner ein. 17

19 Minos Grundlagen Die Addition von Potenzen ist nur dann möglich wenn die Basis und der Exponent der zu addierenden Potenzen gleich ist. Dies wird häufig durchgeführt, wenn die Basis der Potenz eine Variable ist. 2x 2 + 5x 2 = 7x 2 1,5a 7 + 3,6a 7 = 5,1a 7 Eine Multiplikation von Potenzen ist nur möglich, wenn die Basis oder der Exponent gleich ist. Bei gleicher Basis werden die Exponenten miteinander addiert, bei gleichem Exponenten dagegen die beiden Basiswerte miteinander multipliziert. a n a m = a (n+m) a n b n = (a b) n Entsprechend werden bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten voneinander subtrahiert. Bei der Division von Potenzen mit gleichem Exponenten werden die beiden Basiswerte durcheinander geteilt. m a a =a n (m n) n a b = a n b n Für das Potenzieren von Potenzen werden die beiden Exponenten miteinander multipliziert. Auf diese Weise kann man auch extrem große oder kleine Zahlen sehr kurz darstellen. (a m ) n = a m n Beispiel x 2 x 3 = (x x) (x x x) = x (2+3) = x 5 x 5 x 2 = x (5 2) = x 3 x 5 y 5 = (x y) 5 a a 12 8 =a =a 12 ( 8) 20 (10 10 ) 10 = 10 (10 10) = , eine 1 mit 100 Nullen. 18

20 Grundlagen Minos Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 13 im Übungsbuch! Möchte man von einem Quadrat, bei dem der Flächeninhalt bekannt ist, die Länge einer Seite bestimmen, so muss man die Wurzel berechnen. Man bezeichnet diese Berechnung auch als Wurzelziehen oder Radizieren. Hat das Quadrat beispielsweise eine Fläche von 4 m 2, so beträgt die Länge einer Seite 2 m. In diesem Fall hat man die Quadratwurzel bestimmt. Die Berechnung wird folgendermaßen dargestellt: 4 = 2 Um die Wurzel einer Zahl zu berechnen muss man also bestimmen, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Zahlenwert ergibt. Da diese Berechnung nicht so einfach ist, findet sich auf jedem Taschenrechner eine Taste zur Bestimmung der Wurzel. Eine Wurzel kann auch als Potenz dargestellt werden. Anstelle des Wurzelzeichens wird der Exponent der Potenz als Bruch geschrieben. Man kann sich hier auch andere Brüche als Exponent vorstellen. Hervorzuheben ist noch die Kubikwurzel. Hiermit wird die Seitenlänge eines Würfels mit bekanntem Volumen berechnet / 27 = 27 = 3 Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 14 im Übungsbuch! 19

21 Minos Grundlagen 1.4 Dualzahlen In unserem dezimalen Zahlensystem verwenden wir die zehn Ziffern von 0 bis 9. Größere Zahlen werden aus mehreren Ziffern zusammengesetzt. Dabei ist wichtig, an welcher Stelle die einzelnen Ziffern stehen. Von rechts nach links werden die Stellen als Einer, Zehner, Hunderter usw. bezeichnet. Die Ziffer der Hunderter Stelle wird dabei mit 100 multipliziert, die Ziffer der Zehner Stelle mit 10. Zusammen mit der Einerstelle ergeben sie die gesamte Zahl. Man kann also schreiben 325 = = Diese Vorgehensweise ist für uns selbstverständlich geworden, schließlich haben wir auch zehn Finger, mit denen wir auch rechnen können. Neben dem Dezimalsystem sind aber auch andere Zahlensysteme möglich. So besteht beispielsweise ein Dutzend aus 12 einzelnen Teilen. Ein Tag besteht aus zweimal 12 Stunden und eine Stunde hat 60 Minuten, genauso wie eine Minute auch 60 Sekunden hat. Bevor eine neue Minute beginnt, müssen 60 Sekunden vergangen sein. Für die Berechnungen in Computern wird das duale Zahlensystem verwendet. Hier gibt es nur zwei verschiedene Zustände oder Ziffern, nämlich 0 und 1. Um Verwechslungen zu vermeiden, wird die 1 manchmal auch als L dargestellt. Der Vorteil von diesem Zahlensystem besteht darin, dass die beiden Zustände sehr leicht dadurch dargestellt werden können, dass ein elektrischer Strom fließt oder nicht. Auch kann ein Speicherbaustein eingeschaltet sein oder nicht. Andere Möglichkeiten sind nicht zugelassen. Da diese dualen oder auch binären Zahlen nur zwei Ziffern haben, werden sie schneller länger als die Dezimalzahlen. Eine Gegenüberstellung von dezimalen und dualen Zahlen sieht wie folgt aus: Dezimal Dual

22 Grundlagen Minos Auch bei den Dualzahlen bestimmt die Stelle einer Ziffer deren Wertigkeit. Allerdings wird hier eine Potenz mit der Basis 2 verwendet, deshalb die Bezeichnung Dualzahl. Man kann für die dezimale Zahl 6 in der Schreibweise der Dualzahlen also auch schreiben: 110 = = Wie man sieht, haben die Stellen von rechts nach links die Wertigkeit 1, 2, 4, 8, 16 usw. Möchte man nun eine Dezimale Zahl in eine Binärzahl umrechnen, so dividiert man diese Zahl durch 2 und notiert sich den Rest. Dies führt man mit dem Ergebnis solange fort, bis das Ergebnis der Teilung 0 ergibt. Die notierten Zahlen des Restes ergeben in umgekehrter Reihenfolge die Dualzahl. Umrechnen der dezimalen Zahl 29 in eine Dualzahl: 29 geteilt durch 2 14 Rest 1 14 geteilt durch 2 7 Rest 0 7 geteilt durch 2 3 Rest 1 3 geteilt durch 2 1 Rest 1 1 geteilt durch 2 0 Rest 1 Für die Bestimmung der Dualzahl werden die Reste vom Ende der Berechnung aus aufgeschrieben und ergeben somit Man sieht, dass ungerade Dezimalzahlen nach der Umrechnung in Dualzahlen immer an der letzten Stelle eine 1 besitzen. Dies ergibt sich daraus, dass ungerade Zahlen durch 2 nur mit dem Rest 1 teilbar sind. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 15 im Übungsbuch! Um umgekehrt eine Dualzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln muss für jede Stelle der Dualzahl die Wertigkeit bestimmt werden. Alle Wertigkeiten mit der Ziffer 1 werden nun addiert, die anderen Wertigkeiten werden ignoriert. Wie bereits erwähnt sind die Wertigkeiten Potenzen mit der Basis 2. Die am weitesten rechts stehende Wertigkeit ist dabei 2 0, also 1. Für die Umrechnung der Dualzahl geht man wie folgt vor: = = = = = 1 1 Aufgabe Summe: 25 Lösen Sie die Aufgabe 16 im Übungsbuch! 21

23 Minos Grundlagen Dualzahlen im Computer Im normalen Umgang mit Computern kommt man kaum mit den Dualzahlen in Berührung. Anders ist das, wenn man selbst ein Programm schreiben will oder auch beim Programmieren einer speicherprogrammierbaren Steuerung, einer SPS. Einige grundlegende Kenntnisse über die Arbeitsweise des Computers sind aber sicherlich von Vorteil. Eine Dualzahl mit nur einer Stelle wird als Bit bezeichnet. Ein Bit kann nur die Werte 0 oder 1 haben. Acht Bits werden zu einem Byte zusammengefasst. Mit diesen acht Stellen der Dualzahl können Werte von 0 bis 255 dargestellt werden. In der Schreibweise von Dualzahlen sind das acht Nullen bzw. acht Einsen. Jeder Buchstabe und jede Ziffer des Dezimalsystems wird innerhalb des Computers durch ein Byte dargestellt. Welche Dualzahl die einzelnen Buchstaben bestimmt, ist im ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange) festgelegt. Das große A entspricht beispielsweise der Zeichenfolge oder als Dezimalzahl der 65. Da Dualzahlen sehr lang werden können, wird in der Computertechnik ein weiteres Zahlensystem verwendet. Dazu wird ein Byte in zwei Vierergruppen von Bits aufgeteilt. Diese Vierergruppen werden auch Nibbles genannt. Mit einem Nibble oder mit vier Bits können insgesamt 16 verschiedene Werte gebildet werden. Um die Nibbles mit einem Zeichen darstellen zu können wird das Hexadezimalsystem verwendet. Beim Hexadezimalsystem wird als Basis die 16 verwendet, im Gegensatz zum dezimalen Zahlensystem, wo die 10 die Basis bildet. Da für das Hexadezimalsystem 16 verschiedene Zeichen benötigt werden, werden neben den Ziffern 0 bis 9 die Buchstaben A bis F verwendet. Um Verwechslungen mit den anderen Zahlensystemen zu vermeiden wird nach der Zahl oft noch ein kleines h angeordnet. Die mit einem Byte darstellbaren Zahlen liegen somit in den verschiedenen Zahlensystemen in folgenden Bereichen: Dualsystem bis Hexadezimales System 00 bis FF Dezimales System 0 bis

24 Grundlagen Minos Durch die Verwendung von Dualzahlen ergeben sich im Computerbereich bestimmte Zahlen, die aus den Potenzen mit der 2 als Basis entstehen. Solche Zahlen sind beispielsweise: 2 6 = = = = = 1024 Besonders bei Speicherbausteinen sind diese Zahlenwerte zu finden. Es liegt also am Dualzahlensystem, wenn eine Speicherkarte 512 MByte hat und nicht 500. Eine weitere Besonderheit stellen die Vorsilben für große Zahlenwerte dar. Im dezimalen Zahlensystem wird die Vorsilbe Kilo für den Wert 1000 verwendet. So sind beispielsweise 1000 Meter gleich 1 Kilometer. In der Datenverarbeitung sind jedoch 1024 Byte gleich 1 Kilobyte. Um Verwechslungen zu vermeiden können in der Datenverarbeitung die Vorsilben Kibi und Mebi für binäres Kilo und binäres Mega eingesetzt werden. In der Praxis ist das allerdings noch selten anzutreffen. Im Zweifelsfall ist deshalb genau zu überprüfen, ob eine Vorsilbe wie Kilo für 1000 oder 1024 steht. Häufig kann man davon ausgehen, dass bei der Angabe von Bits die Vorsilbe Kilo für 1000 steht und bei der Angabe von Bytes für den Wert Beispiel Die Übertagungsgeschwindigkeit eines ISDN-Telefonkanals beträgt 64 kbit/s. Das sind genau bit/s und nicht bit/s, was sich bei ergeben würde. Eine moderne Festplatte dagegen mit 400 Gigabyte hat 400 Milliarden Bytes. Da der Computer jedoch intern das duale Zahlensystem verwendet, zeigt er nur eine Kapazität von 372,5 GiB an. Die Festplattenhersteller verwenden jedoch lieber den Wert von 400 als 372,5. 23

25 Minos Grundlagen 1.5 Rechnen mit Variablen Mit Variablen können allgemein gültige Gesetzmäßigkeiten in Formeln dargestellt werden. Für die Variablen werden Buchstaben verwendet. Durch Ersetzen der Variablen mit konkreten Werten kann dann für beliebig viele Einzelfälle ein Ergebnis berechnet werden. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Rechtecks lautet beispielsweise wie folgt: A = a b Dabei steht A für die Fläche und a und b für die Seitenlängen des Rechtecks. Durch Einsetzen von Werten für a und b kann der Flächeninhalt des Rechtecks berechnet werden. Mit den Variablen wie a und b kann genauso gerechnet werden wie mit Zahlen. Es gelten auch die gleichen Rechenregeln wie Punktrechnung vor Strichrechnung oder die Regeln für das Ein- oder Ausklammern. Ein Ergebnis kann natürlich erst berechnet werden, wenn die Variablen durch konkrete Werte ersetzt werden. Soll eine Gleichung berechnet werden, so darf für ein eindeutiges Ergebnis nur ein Wert unbekannt sein. So sind bei der Gleichung zur Berechnung des Flächeninhaltes beispielsweise die beiden Seiten des Rechtecks bekannt und der Flächeninhalt soll berechnet werden. Es kann aber auch vorkommen, dass der Flächeninhalt und eine Seite bekannt ist und die Länge der zweite Seite berechnet werden soll. In diesem Fall ist die Formel so umzustellen, dass die zu berechnende Größe allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Die Aneinanderreihung von Zahlen oder Variablen und Rechenzeichen auf einer Seite des Gleichheitszeichens wird als Term bezeichnet. Der unbekannte Wert wird durch x dargestellt. Das Umstellen der Gleichung wird auch Auflösen nach x genannt. Dies erfolgt, indem man auf beide Seiten des Gleichheitszeichens, also auf beide Terme, die gleiche Rechenoperation anwendet. Diese Rechenoperation wird rechts neben die Gleichung geschrieben und durch einen senkrechten Strich abgetrennt. Der zu berechnende Wert x sollte am Ende des Umformens auf der linken Seite des Gleichheitszeichen stehen. 24

26 Grundlagen Minos Beispiel a = b + x b a b= x x = a b a = b x + x a + x = b a x = b a x : a = b x = b a a a : x = b x a = b x : b a : b = x x = b Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 17 im Übungsbuch! 1.6 Prozentrechnung Im täglichen Leben trifft man oft auf Werte, die in Prozent angegeben werden. Es wird angegeben, um wieviel Prozent ein Preis gestiegen oder gesunken ist oder wieviel Prozent der Bevölkerung ein bestimmtes Lebensalter haben. Dabei wird der Wert, auf den die Prozentangabe sich bezieht, gleich 100 gesetzt und der Prozentwert als Anteil von diesen 100 angegeben. Eine Aussage zum absoluten Wert findet dabei nicht statt. Beispiel Eine Flasche mit einem Inhalt von einem Liter ist zu 60 % gefüllt. Eine zweite Flasche mit einem Inhalt von 2 Litern ist nur zu 40 % gefüllt. Trotzdem befindet sich in der zweiten Flasche absolut gesehen mehr Flüssigkeit als in der ersten Flasche. Bei der Flasche mit einem Liter Inhalt wird dieser gleich 100 % gesetzt. 60 % davon sind dann 0,6 Liter. 1 Liter : 100 % = 0,6 Liter : 60 % Die Flasche mit zwei Litern Inhalt ist zwar nur zu 40 % gefüllt, da diese zwei Liter jedoch mit 100 % angesetzt werden entspricht der Anteil von 40 % einer absoluten Menge von 0,8 Litern. 2 Liter : 100 % = 0,8 Liter : 40 % Bei der Prozentrechnung steht nur der Wert von 100 % immer fest. Je nach Aufgabenstellung ist einer der drei anderen Werte unbekannt und kann dann nach dem entsprechenden Umstellen der Gleichung berechnet werden. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 18 im Übungsbuch! 25

27 Minos Grundlagen Zinsrechnung Leiht man sich Geld, so ist normalerweise für diese leihweise Überlassung einen Zins zu bezahlen. Der Zins wird in Prozent angegeben. Dieser Prozentsatz legt fest, wieviel Zinsen man in einem Jahr für 100 Euro zu zahlen hat. Beispiel Wieviel Prozent beträgt der Zins, wenn für einen Kredit von Euro Euro Zinsen gezahlt werden müssen? 100 % der geliehenen Summe sind die Euro. Die Prozentzahl von den Euro soll berechnet werden. 100 % : Euro = x % : Euro Nach dem Umstellen der Gleichung kann der Wert für die Zinsen mit 12 % berechnet werden. Zur Vereinfachung kann man bei der Berechnung auch die 100 % weglassen. Der Prozentsatz berechnet sich dann aus den Zinsen geteilt durch die Kreditsumme. x = Euro : Euro = 0,12 Das Ergebnis muss anschließend aber noch mit den weggelassenen 100 % multipliziert werden, so dass sich im Ergebnis wieder ein Zins von 12 % ergibt. Bei der Berechnung mit dem Taschenrechner wird die Multiplikation mit 100 % durchgeführt, indem man nach der Division anstatt des Gleichheitszeichens die Prozenttaste drückt. Bei fremden Geräten sollte man diese Funktionsweise des Taschenrechners aber an einfachen Beispielen überprüfen. Mit der Zinsenszinsrechnung wird berücksichtigt, dass Zinsen über mehrere Jahre gezahlt werden. Beispiel Befinden sich auf einem Sparbuch 1000 Euro und bleibt das Guthaben 5 Jahre lang mit einem Zinssatz von 3 % angelegt, so würde bei der Berechnung der Zinsen für ein Jahr und der anschließenden Multiplikation mit den fünf Jahren nur ein Guthaben von 1150 Euro auf dem Sparbuch sein. 26

28 Grundlagen Minos Es ist jedoch so, dass sich nach dem ersten Jahr 1030 Euro auf dem Sparbuch befinden, die im zweiten Jahr mit 3 % verzinst werden. Die Berechnung erfolgt allgemein nach folgender Formel, wobei G 0 das Anfangskapital ist und Gn das Kapital nach n Jahren. Bei z wird der Zins eingetragen und n steht für die Anzahl der Jahre. G n = G 0 (1 + z/100) n Für fünf Jahre und einen Zins von 3 % ergibt sich nach Einsetzen in die Formel folgendes Ergebnis: G 5 = 1000 Euro (1 + 3/100) 5 G 5 = 1000 Euro (1 + 0,03) 5 G 5 = 1000 Euro 1,03 5 G 5 = 1159,27 Euro Der Unterschied zur vorangegangenen Berechnung ist hier noch nicht all zu groß, bei längerer Laufzeit und höheren Zinsen werden jedoch deutliche Unterschiede sichtbar. Bei einem Zins von 3 % dauert es etwa 24 Jahre bis sich die eingezahlte Summe verdoppelt hat. Würde man dagegen die erzielten Zinsen nicht weiter in die Zinsberechnung einbeziehen, so würde es etwa 33 Jahre dauern bis eine Verdopplung erreicht ist. Wird ein Kredit mit immer den gleichen Raten zurückgezahlt, so wird zu Beginn der Rückzahlung ein größerer Teil der Rate zum Begleichen der Zinsen benötigt und nur mit dem Rest wird der Kredit verringert. Erst im Laufe der Abzahlung wird der Anteil der Zinsen geringer und mit jeder Rate wird ein größerer Teil des Kredites abgezahlt. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 19 im Übungsbuch! 27

29 Minos Grundlagen 1.7 Geometrie Zur Einführung in die Geometrie müssen zunächst einige Definitionen getroffen werden. Ein Körper hat eine Ausdehnung in drei Richtungen. Er hat eine Länge, eine Breite und eine Höhe und ist somit dreidimensional. Eine Fläche dehnt sich nur in zwei Dimensionen aus. So besteht beispielsweise die Oberfläche eines Würfels aus mehreren Flächen. Eine Linie ist eine Kante des Würfels. Sie hat nur eine Ausdehnung in eine Richtung. Ein Punkt hat gar keine Ausdehnung, er ist unendlich klein. Es kann als Schnittpunkt von zwei Linien verstanden werden. Neben dem Punkt gehört auch die Gerade zu den Grundbausteinen der Geometrie. Sie ist dadurch definiert, dass sie durch zwei Punkte verläuft und weder einen Anfang noch ein Ende hat. Zwei Geraden in einer Ebene können sich maximal in einem Punkt schneiden. Eine Ausnahme besteht darin, dass alle ihre Punkte übereinstimmen. Sie liegen dann exakt übereinander. Schneiden sich zwei Geraden in einer Ebene nicht, so nennt man sie Parallelen. Ein Strahl ist ebenfalls eine unendlich lange Linie. Im Gegensatz zur Geraden hat ein Strahl jedoch einen Anfangspunkt. Das andere Ende läuft weiter bis ins unendliche. Eine Strecke verläuft wie eine Gerade durch zwei Punkte, jedoch begrenzen diese beiden Punkte die Länge der Strecke. Eine Strecke ist somit die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten Winkel Gehen zwei Strahlen von einem gemeinsamen Punkt aus, so bilden sie einen Winkel. Dreht man einen Strahl um den gemeinsamen Punkt bis er über dem anderen Strahl liegt, so gibt das Maß dieser Drehung den Winkel an. Die beiden Strahlen werden auch als Schenkel des Winkels bezeichnet. Die Unterteilung eines Kreises erfolgt in 360 Teile, die Grad genannt werden. Einen Winkel mit 360 bezeichnet man als Vollwinkel. Hat der Winkel einen Wert zwischen 0 und 90, so spricht man von einem spitzen Winkel. Ein stumpfer Winkel hat einen Wert zwischen 90 und 180. Stehen die beiden Schenkel senkrecht aufeinander, so wird dieser Winkel als rechter Winkel bezeichnet. Er hat einen Wert von 90. Liegen die beiden Strahlen einander genau gegenüber, so entsteht ein gestreckter Winkel mit einem Wert von 180. Winkel mit einem Wert zwischen 180 und 360 werden überstumpfe Winkel genannt. 28

30 Grundlagen Minos spitzer Winkel rechter Winkel stumpfer Winkel gestreckter Winkel überstumpfer Winkel Vollwinkel Bild 2: Einteilung der Winkel Stufenwinkel Wechselwinkel Winkel an sich schneidenden Geraden entgegengesetzt liegende Winkel Bild 3: Winkel an geschnittenen Geraden Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen dabei vier einzelne Winkel. Die beiden gegenüberliegenden Winkel sind dabei immer gleich groß und zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen immer 180. Werden zwei Parallelen von einer Gerade geschnitten, so entstehen insgesamt acht unterschiedliche Winkel. Die dabei gebildeten Stufenwinkel sind dabei immer gleich groß. Das gilt ebenso für die Wechselwinkel. Entgegengesetzt liegende Winkel ergeben zusammen immer einen Winkel von

31 Minos Grundlagen Viereck Ein Viereck wird durch vier Punkte bestimmt, von denen immer nur zwei auf einer Geraden liegen dürfen. Je nach der Lage und der Länge der Seiten werden verschiedene Vierecke unterschieden. Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. Die jeweils gegenüberliegenden Seiten sind parallel. Alle vier Winkel des Quadrates betragen 90. Der Flächeninhalt berechnet sich aus dem Quadrat der Seitenlänge. Dabei ist A der Flächeninhalt und a die Seitenlänge. A = a 2 Der Umfang eines Quadrates berechnet sich aus der Summe der vier gleich langen Seiten. U = 4 a Das Rechteck unterscheidet sich vom Quadrat dadurch, dass nur jeweils gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Für die Berechnung des Flächeninhaltes werden die beiden Seitenlängen miteinander multipliziert. A = a b Zur Berechnung des Umfanges werden die Längen der vier Seiten zusammengezählt. Da jeweils zwei Seitenlängen gleich sind, kann man den Umfang wie folgt berechnen: Beispiel U = 2a + 2b Ein Zimmer soll mit Fußbodenbelag ausgelegt werden. Das Zimmer ist 6 m lang und 4 m breit. Wieviel Quadratmeter sind erforderlich? Wieviel Meter Teppichkante benötigt man für das ganze Zimmer, wenn Türen nicht mit berechnet werden? A = a b A = 6 m 4m A = 24 m 2 U = 2a + 2b U = 2 6 m + 2 4m U = 12 m + 8 m U = 20 m Es werden 24 m 2 Fußbodenbelag benötigt. Die Teppichkante braucht man in einer Gesamtlänge von 20 m. 30

32 Grundlagen Minos Quadrat Rechteck Rhombus Rhomboid Trapez Drachenviereck konkaves Viereck Bild 4: Bezeichnungen für Vierecke Neben dem Quadrat und dem Rechteck gibt es noch eine Reihe weiterer Vierecke. Allgemein als Parallelogramme werden Vierecke bezeichnet, bei denen die beiden gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. Somit gehören auch das Quadrat und das Rechteck zu den Parallelogrammen. Das Rhombus, auch Raute genannt, hat wie das Quadrat vier gleich lange Seiten. Die Winkel im Rhombus sind allerdings keine rechten Winkel und haben somit Werte ungleich 90. Beim Rhomboid sind wie beim Rechteck die gegenüberliegenden Seiten gleich lang, doch auch hier sind die Winkel nicht 90. Beim Trapez sind nur zwei gegenüberliegende Seiten parallel. Alle vier Seiten können unterschiedlich lang sein. Beim Drachenviereck dagegen sind jeweils zwei beieinanderliegende Seiten gleich lang. Keine Seite ist parallel zu einer anderen. Das ist die typische Form eines Kinderdrachens. Weiterhin besteht noch die Möglichkeit, dass ein Viereck konkav ist. Dies bedeutet, das eine Ecke nach innen einspringt. Bei allen diesen Vierecken ist es oftmals am günstigsten, die Fläche in Dreiecke aufzuteilen und den Inhalt aller Dreiecke zu berechnen. Für die Berechnung des Umfanges können die Längen aller vier Seiten addiert werden. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 20 im Übungsbuch! 31

33 Minos Grundlagen Dreieck Ein Dreieck wird durch drei Punkte bestimmt, die nicht auf einer Geraden liegen dürfen. Die drei Punkte werden mit A, B und C bezeichnet, die diesen Punkten gegenüberliegenden Seiten mit den kleinen Buchstaben a, b und c. Die Winkel im Dreieck bekommen die griechischen Buchstaben α (alpha), β (beta) und γ (gamma). Wichtig Die Summe der drei Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180. Dreiecke werden nach ihrer Form unterschieden. Ein spitzwinkliges Dreieck hat nur Winkel, die kleiner als 90 sind. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90. Das rechtwinklige Dreieck hat einen rechten Winkel. Für diese Dreiecke gelten einige besondere Gesetzmäßigkeiten. Sind zwei Seiten eines Dreieckes gleich lang, so wird es gleichschenklig genannt. Sind alle drei Seiten gleich lang handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. Hier sind auch die Innenwinkel gleich groß, nämlich 60. Eine Linie, die von einem Eckpunkt aus senkrecht auf die gegenüberliegende Seite führt, wird als Höhe h bezeichnet. Da von den drei Eckpunkten aus drei Höhen gebildet werden können, bezeichnet man die unterschiedlichen Höhen mit der Seite, auf der sie steht, also h a, h b und h c. γ C b a A α c β B spitzwinklig rechtwinklig stumpfwinklig gleichschenklig gleichseitig Bild 5: Formen der Dreiecke 32

34 Grundlagen Minos Beim gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe auf die unterschiedlich lange Seite diese in zwei gleich lange Teile. Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt allgemein die Hälfte des Produktes aus der Höhe und der Seite, auf dem die Höhe steht: A = 1 2 h a = 1 2 h b = 1 a b 2 h c c Beispiel Bei einem Dreieck hat die Seite c eine Länge von 5 cm. Die Höhe h c auf dieser Seite beträgt 4 cm. Wie groß ist die Fläche des Dreiecks? A = 1 2 h c c A = 1 4cm 5cm 2 A = 10cm 2 Da die Höhe immer senkrecht auf eine Seite fällt, unterteilt sie das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Da für rechtwinklige Dreiecke besondere Rechenregeln gelten ist es oftmals vorteilhaft, eine Fläche in rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen. Wichtig Beim rechtwinkligen Dreieck wird die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, als Hypotenuse bezeichnet. Die beiden anderen Seiten werden Katheten genannt. Für das rechtwinklige Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Dieser besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Fläche des Quadrates über der Hypotenuse gleich ist der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten. Als Formel wird dies wie folgt dargestellt: c 2 = a 2 + b 2 Beispiel Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 3 cm und 4 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse des Dreiecks? c 2 = a 2 + b 2 c 2 = 3 2 cm cm 2 c 2 = 9 cm cm 2 c 2 = 25 cm 2 c = 5 cm Die Hypotenuse des Dreiecks ist 5 cm lang. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 21 im Übungsbuch! 33

35 Minos Grundlagen a 2 b 2 a c b c 2 Bild 6: Lehrsatz des Pythagoras Beispiel Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Seiten a und b 13 cm lang. Die Seite c ist 10 cm lang. Wie groß ist die Fläche des Dreiecks? Zuerst muss die Höhe berechnet werden. Dazu wird das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks hat nun eine Länge von 13 cm und eine Kathete hat die Hälfte der Länge der Seite c, also 5 cm. Diese Teilstrekke wird hier mit d bezeichnet. Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Höhe berechnet werden. a 2 = h c 2 + d 2 h c 2 = a 2 d 2 h c 2 = 13 2 cm cm 2 h c 2 = 169 cm 2 25 cm 2 h c 2 = 144 cm 2 h c = 12 cm Mit der Höhe und der Länge der Seite c kann nun die Fläche berechnet werden. A = 1 2 h c c A = 1 12 cm 10 cm 2 A = 2 60cm 34

36 Grundlagen Minos Winkelfunktionen Für die Berechnung am rechtwinkligen Dreieck können auch die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens verwendet werden. Andere Dreiecke müssen deshalb in rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt werden, wenn Berechnungen mit Winkelfunktionen erfolgen sollen. Neben der Hypotenuse werden die beiden Katheten unterschiedlich bezeichnet. Die Ankathete ist die Kathete, die mit der Hypotenuse den für die Berechnung betrachteten Winkel bildet. Die Gegenkathete dagegen liegt gegenüber diesem Winkel. Der Sinus eines Winkels berechnet sich aus der Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse. sin α = Gegenkathete Hypotenuse Um vom Sinus des Winkels wieder den Winkel selbst zu bestimmen wurden früher Tabellenbücher benutzt. Heutzutage ist dies mit dem Taschenrechner leichter durchzuführen. Winkelfunktionen sind aber nur auf wissenschaftlichen Taschenrechnern zu finden. Um von dem Winkel 30 den Sinus zu berechnen, muss man zunächst den Wert 30 eingeben und die Taste SIN drücken. Die Berechnung war richtig, wenn das Ergebnis 0,5 angezeigt wird. Für die umgekehrte Berechnung vom Sinus zurück auf den Winkel sind unterschiedliche Tasten zu finden. Meistens werden diese mit einer Taste für weitere Funktionen aufgerufen und als ARC SIN oder SIN 1 bezeichnet. Nach Eingabe von dem Wert 0,5 und der entsprechenden Taste wird dadurch der Wert des Winkels mit 30 berechnet. α Hypotenuse Ankathete Gegenkathete Bild 7: Winkelfunktion am Dreieck 35

37 Minos Grundlagen Beispiel Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse mit einer Länge von 5 cm. Die Gegenkathete des Winkels ist 3 cm lang. Wie groß ist der Winkel? sin α = Gegenkathete Hypothenuse sin α = 3cm 5cm sin α = 0,6 α 36,9 Bei einem rechtwinkligen Dreieck hat ein Winkel einen Wert von 50. Die Gegenkathete ist 8 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? sin α = Gegenkathete Hypothenuse sin 50 = 8cm c c = 8cm sin 50 c 10,44 cm Eine weitere Winkelfunktion berechnet sich aus der Ankathete und der Hypotenuse. Diese Winkelfunktion wird als Kosinus bezeichnet. cos α = Ankathete Hypotenuse Die dritte wichtige Winkelfunktion ist der Tangens. Der Tangens eines Winkels berechnet sich aus der Division der Gegenkathete durch die Ankathete. tan α = Gegenkathete Ankathete Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 22 im Übungsbuch! 36

38 Grundlagen Minos Kreis Der Kreis wird durch seinen Radius bestimmt. Der Radius wird vom Mittelpunkt zum Rand des Kreises gemessen. Der Durchmesser des Kreises entspricht genau dem Doppelten des Radius. Das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises ergibt die Zahl π. Dieser Buchstabe wird als Pi ausgesprochen. Diese Zahl ist irrational, das heisst, sie hat unendlich viele Stellen nach dem Komma, wobei sich keine Regelmäßigkeiten erkennen lassen. Die ersten Stellen der Zahl π lauten: 3, Für praktische Rechnungen wird die Zahl oft auf 2 oder 4 Stellen gerundet. Die Formel für die Berechnung des Umfanges eines Kreises lautet: U = π d = 2 π r Auch für die Berechnung der Fläche eines Kreises wird die Zahl π benötigt. Die Formel für die Berechnung der Fläche lautet: 2 2 A = 1 π d = π r 4 Beispiel Ein Kreis hat einen Umfang von 20 cm. Wie groß ist sein Durchmesser? Wie groß ist die Fläche dieses Kreises? Runden Sie das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. U = π d d = U π d = 20 cm 3,1416 d 6,37cm A = 1 π d 4 A = 1 3,1416 6, cm A 31,87 cm 2 Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 23 im Übungsbuch! 37

39 Minos Grundlagen Körper Ein Körper dehnt sich in allen drei Dimensionen aus. Er wird einer Oberfläche umgeben. Der Inhalt eines Körpers wird als Volumen bezeichnet. Ein Würfel wird von sechs gleich großen Quadraten begrenzt. Die Oberfläche des Würfels beträgt demzufolge: A = 6 a 2 Da bei dem Würfel alle Seiten gleich lang sind, berechnet sich das Volumen nach folgender Formel: V = a 3 Der Würfel ist eine Sonderform des Quaders. Bei einem Quader sind jeweils die gegenüberliegenden Flächen gleich große Rechtecke. Der Inhalt der Oberfläche berechnet sich demzufolge aus der Summe der insgesamt sechs Flächen. A = 2 (a b + a c + b c) Für die Berechnung des Volumens werden die drei Seitenlängen miteinander multipliziert. V = a b c Beim Zylinder bestehen zwei gegenüberliegende Seiten aus Kreisen. Die Verbindung der Kreise erfolgt durch die Mantelfläche des Zylinders. Die Oberfläche des Zylinders berechnet sich aus den beiden Kreisflächen und der Mantelfläche, die sich wieder aus dem Umfang des Kreises und der Höhe des Zylinders berechnen lässt. Das Volumen eines Zylinders berechnet man aus der Fläche des Kreises und der Höhe des Zylinders. Beispiel Ein Zylinder hat einen Durchmesser von 5 cm und eine Höhe von 20 cm. Wie groß ist die Oberfläche und das Volumen des Zylinders? Zunächst wird die Fläche und der Umfang des Kreises berechnet. A = 1 2 π d 4 A = , cm 4 2 A = 19,635 cm U = π d U = 3, cm U = 15,708 cm 38

40 Grundlagen Minos Aus der Umfang des Kreises und der Höhe wird die Mantelfläche berechnet. A M = U h A M = 15,708 cm 20 cm A M = 314,16 cm 2 Die Gesamtfläche ergibt sich aus der Summe der beiden Kreisflächen und der Mantelfläche. A Zyl = 2 A Kr + A M A Zyl = 2 19,635 cm ,16 cm 2 A Zyl = 353,43 cm 2 Das Volumen wird durch Multiplikation der Kreisfläche mit der Höhe ermittelt. V Zyl = A h V Zyl = 19,635 cm 2 20 cm V Zyl = 392,7 cm 3 Im Gegensatz zum Zylinder hat das Prisma keine kreisförmigen Flächen, sondern Flächen mit drei, vier oder mehr Ecken. Somit ist der Quader mit Rechtecken als Flächen ein Sonderfall des Prismas. Die Kugel ist ein Körper, bei dem alle Oberflächenpunkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben. Diese Entfernung der Oberfläche vom Mittelpunkt wird Radius genannt. Die Fläche der Kugeloberfläche berechnet sich nach folgender Formel: A = 4 π r 2 Der Rauminhalt der Kugel wird nach dieser Formel berechnet: V = 4 3 π r 3 Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 24 im Übungsbuch! Neben diesen Körpern gibt es noch eine Reihe weiterer Formen. Diese sollen jedoch hier nicht weiter besprochen werden. 39

41 Minos Grundlagen 40

42 Grundlagen Minos 2 Technische Physik 2.1 Physikalische Grundlagen Physikalische Größen und Einheiten Die messbare Eigenschaft eines physikalischen Objekts wird als physikalische Größe bezeichnet. Mit physikalischen Berechnungen werden die verschiedenen physikalischen Größen miteinander verknüpft. Die physikalischen Größen bestehen aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit. Im internationalen Einheitensystem sind sieben Basisgrößen für die Physik festgelegt. Diese SI-Einheiten (französisch: Système International d Unités) sind in der Tabelle dargestellt. Basisgröße Basiseinheit Einheitszeichen Länge Masse Zeit Stromstärke Temperatur Stoffmenge Lichtstärke Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol Candela m kg s A K mol cd Tabelle 1: SI-Einheiten Aus diesen Basisgrößen können weitere Größen gebildet werden. Beispiel Die Geschwindigkeit ist aus der Länge und der Zeit zusammengesetzt. In einer bestimmten Zeit wird eine bestimmte Länge zurückgelegt. Die Einheit ist demzufolge m/s. Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit in einer bestimmte Zeit. Als Einheit ergibt sich somit m/s 2. 41

43 Minos Grundlagen Da die Zahlenwerte oftmals sehr groß oder sehr klein sein können, werden sie mit Vorsätzen versehen. Diese Vorsätze werden vor die Einheit geschrieben. Dabei werden vorrangig Tausender Schritte verwendet. Wichtige Vorsätze sind in der Tabelle aufgeführt. Vorsatz Vorsatzzeichen Faktor Nano n 0, M ikro µ 0, Milli m 0,001 Kilo k 1000 Mega M Giga G Tabelle 2: Vorsätze der SI-Einheiten Beispiel Eine Straße ist 5,8 km lang. Ein Kilometer entsprechen 1000 m. Somit ist die Straße 5800 m lang. Die physikalischen Größen sollten dabei bevorzugt so dargestellt werden, dass vor dem Komma nur wenige Stellen stehen. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 25 im Übungsbuch! Um weitere physikalische Größen aus den verschiedenen Basiseinheiten zu erhalten, werden sie mittels mathematischer Formeln miteinander verknüpft. Damit diese Formeln allgemein gültig sind, werden diese Größen durch Formelbuchstaben ersetzt. Für die Kraft wird der Buchstabe F verwendet und für die Masse das M. Dieser Buchstabe darf nicht mit der Einheit Meter verwechselt werden, die durch ein kleines m dargestellt wird. Mit dem Begriff Dimension wird der Bezug zur Grundgröße festgelegt. Eine Breite oder ein Radius haben die Dimension Länge und werden mit der Maßeinheit Meter versehen. Als dimensionslos werden physikalische Größen bezeichnet, bei denen sich die Einheiten wegkürzen und so genaugenommen 1 ergeben. So eine dimensionslose Größe ist beispielsweise der Luftwiderstandsbeiwert. 42

44 Grundlagen Minos Physikalische Gleichungen Mathematische Gleichungen, in denen physikalische Größen verwendet werden, werden Größengleichungen genannt. Die Kraft berechnet sich beispielsweise nach der Formel Kraft = Masse Beschleunigung. Nach dem Einsetzen der Formelbuchstaben ergibt sich die Größengleichung F = m a Durch Einsetzen von Werten können nun verschiedene Kräfte berechnet werden. Die Einheiten sollten dabei immer mit aufgeschrieben und in die Berechnung einbezogen werden. Somit ist eine Kontrolle der Berechnung möglich, da die Einheit des Ergebnisses ja schon bekannt ist. Beispiel F = m a F = 1 kg 10 m/s 2 F = 10 kg m/s 2 F = 10 N Berechnungen ohne Einheiten kommen in der Physik nicht vor. Da in diesem Fall als Ergebnis nur ein Zahlenwert ermittelt wird, ist nicht klar, was dieser Wert darstellen soll. Aus einer Kraft von 10 somit ist nicht zu erkennen, ob es sich um Newton oder Kilonewton handelt. 43

45 Minos Grundlagen 2.2 Kraft Die Kraft wird mit dem Formelbuchstaben F bezeichnet. Die Einheit ist Newton, abgekürzt N. Eine Kraft wird benötigt, um eine bestimmte Masse zu beschleunigen. In einer Formel ausgedrückt wird dies so dargestellt: F = m a Um eine Masse von einem Kilogramm mit einer Beschleunigung von einem Meter pro Sekunde zum Quadrat zu beschleunigen, wird eine Kraft von einem Newton benötigt. F = m a F = 1 kg 1 m/s 2 F = 1 N Beispiel Welche Masse übt eine Kraft von einem Newton senkrecht nach unten aus, wenn diese Masse in der Hand gehalten wird? Auf die Masse wirkt die Schwerebeschleunigung von 9,81 m/s 2. m = F / a m = 1 N / 9,81 m/s 2 m = 0,1019 kg Wichtig Damit eine Kraft vollständig beschrieben ist, ist die Angabe ihres Betrages, also die Größe, ihre Lage und ihre Richtung erforderlich. F 1 F 2 F 3 F 1 = F 2 F 1 F 3 Bild 8: Grafische Darstellung von Kräften 44

46 Grundlagen Minos Die Kräfte werden häufig auch grafisch durch einen Pfeil symbolisiert. Die Länge des Pfeiles steht dabei für den Betrag. Die räumliche Lage der Kraft ist durch die Richtung und den Angriffspunkt des Pfeiles dargestellt. Um darzustellen, dass es sich bei einer Kraft um einen Vektor handelt, wird häufig ein Pfeil über den Buchstaben F gesetzt. Im englischsprachigen Raum wird die Darstellung mit einem Strich unter dem Buchstaben F bevorzugt. Die Kraftvektoren dürfen entlang ihrer Wirkungslinie, das ist die Richtung, in der der Pfeil zeigt, verschoben werden. Eine parallele Verschiebung darf nicht erfolgen, da sich hierbei der Angriffspunkt ändert. Die im Bild dargestellt Kraft F 1 entspricht in ihrer Wirkung also der Kraft F 2, da sie nur längs verschoben wurde. Die Kraft F 3 dagegen wirkt anders als die Kraft F 1, da sie an einem anderen Angriffspunkt ansetzt Addieren von Kräften Mehrere Kräfte, die auf einen Körper einwirken, können zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst werden. Diese Kraft wird auch als Ersatzkraft bezeichnet. Einfach ist das Zusammenfassen, wenn die Kräfte auf der gleichen Wirkungslinie liegen. In diesem Fall dürfen ihre Beträge addiert werden. Der resultierende Pfeil ist somit so lang wie die beiden einzelnen Pfeile. Ist die Wirkungsrichtung der Kräfte entgegengesetzt, so wird die kleinere Kraft von der größeren abgezogen. Der resultierende Pfeil ist dadurch kleiner als der größere der beiden Einzelpfeile. F 1 F 2 F 1 F 2 F 3 F 3 F 3 = F 1 + F 2 Bild 9: Addition von Kräften 45

47 Minos Grundlagen In der Vektorschreibweise werden die einzelnen Vektoren immer addiert. Auch wenn die einzelnen Pfeile in entgegengesetzte Richtung zeigen, handelt es sich um eine Addition. Dies liegt daran, dass bei der Vektorschreibweise ein Vektor immer den Betrag und die Richtung enthält. Für das Addieren mehrerer Kräfte, die in einem gemeinsamen Punkt angreifen, gibt es zwei grafische Möglichkeiten. Eine Möglichkeit besteht darin, die Kraftvektoren aneinander anzutragen. Dazu wird der Anfang des zweiten Vektors an die Spitze des ersten Vektors gesetzt. Indem der Anfang des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten Vektors verbunden wird, erhält man einen resultierenden Vektor der Kraft. Die Länge dieses Vektors entspricht dem Betrag der Kraft. Bei der zweiten Möglichkeit wird parallel zu den Kraftvektoren ein Parallelogramm aufgespannt. Die beiden neuen Seiten liegen damit parallel zu jeweils einem der beiden Kraftvektoren. Der Startpunkt der resultierenden Kraft liegt im gemeinsamen Angriffspunkt der beiden Kraftvektoren, der Endpunkt ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden neuen Seiten des Parallelogramms. Auch hier entspricht die Länge des Vektors dem Betrag der resultierenden Kraft. F 1 F 1 F 2 F 2 F 3 F 1 F 3 = F 1 + F 2 F 2 F 3 Bild 10: Grafische Addition von Kräften 46

48 Grundlagen Minos Greifen an einem Körper mehrere Kräfte an verschiedenen Punkten an, so müssen sie vor der Addition erst entlang ihrer Wirkungslinien verschoben werden bis sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Danach können sie wie bisher addiert werden. Bei zwei Kräften, die nicht parallel zueinander liegen, gibt es immer einen gemeinsamen Schnittpunkt. Bei drei oder mehr Kräften ist dies meistens nicht der Fall. Zum Addieren aller Kräfte werden deshalb zunächst zwei Kräfte in ihren Wirkungslinien zu einem gemeinsamen Schnittpunkt verschoben und anschließend addiert. Die resultierende Kraft wird nun wieder zum gemeinsamen Schnittpunkt mit der dritten Kraft verschoben und addiert. Gegebenenfalls wird diese neue Resultierende mit einer weiteren Kraft addiert. Dabei ist zu beachten, dass die beiden Kräfte, die ein Parallelogramm aufspannen, in dessen resultierender Kraft enthalten sind. Diese Kräfte dürfen somit nicht zum Aufspannen weiterer Parallelogramme genutzt werden. F 1 F 3 F 1 F 3 F 1,2 F 2 F 2 F 1, F 2, F 3 F 1,2 = F 1 + F 2 F 3 F 1,2,3 F 1,2 F 1,2,3 = F 1 + F 2 + F 3 Bild 11: Grafische Addition mehrerer Kräfte 47

49 Minos Grundlagen Die Addition von parallelen Kräften ist nach dem bisher gezeigten Weg nicht möglich, da bei parallelen Wirkungslinien keine Schnittpunkte möglich sind. Für die Addition von zwei parallelen Kräften werden deshalb zwei Hilfskräfte eingeführt. Diese beiden Hilfskräfte müssen gleich groß, ihre Richtungen allerdings entgegengesetzt sein. Sie sollten am Anfangspunkt der parallelen Kräfte ansetzten. Da beide Hilfskräfte gleich groß sind, heben sie sich durch die entgegengesetzte Richtung wieder auf. Ihre Summe ist somit gleich Null. Jeweils eine Kraft und eine Hilfskraft werden anschließend addiert. Dadurch ergeben sich zwei resultierende Kräfte. Da diese resultierenden Kräfte nicht mehr parallel wirken, haben sie einen gemeinsamen Schnittpunkt in den Wirkungslinien und sie können wie bisher addiert werden. Sollen mehr als zwei parallele Kräfte miteinander addiert werden, so sind auch in diesem Fall zunächst zwei Kräfte zu addieren. Danach wird die resultierende Kraft mit der dritten Kraft addiert. Auch dafür sind wieder Hilfskräfte zu verwenden, die sich wieder gegenseitig aufheben. Die Addition weiterer Kräfte erfolgt nach dem gleichen Prinzip. F 1 F 2 F 1 F 2 F h F h F 1,2 F 1,h F 2,h Bild 12: Grafische Addition paralleler Kräfte 48

50 Grundlagen Minos Zerlegen von Kräften Das umgekehrte Prinzip zum Addieren von Kräften wird als Zerlegung von Kräften bezeichnet. Man benötigt dies, wenn man wissen will, wie groß die Anteile einer Kraft in bestimmte Richtungen ist. Im Gegensatz zur Addition wird bei der Zerlegung der Kräfte vorgegeben, in welcher Richtung die Teilkräfte wirken sollen. In einem Koordinatensystem mit einer X-Achse und einer Y-Achse ist ein Kraftvektor eingetragen. Es ist zu ermitteln, wie groß der Kraftanteil in der X-Richtung und in der Y-Richtung ist. Um die Teilkräfte zu ermitteln, werden die X-Achse und die Y-Achse jeweils so verschoben, dass sie durch den Anfang und das Ende des Kraftvektors gehen. Dadurch entsteht ein Viereck, bei dem der Kraftvektor zwei gegenüberliegende Ecken berührt. Die beiden Seiten des Vierecks, die vom Anfang des Kraftvektors ausgehen, sind die Anteile der Kraft in der X-Richtung und in der Y-Richtung. Die Länge der beiden Pfeile entspricht der Größe der Teilkräfte in der jeweiligen Richtung. Aufgabe Lösen Sie die Aufgaben 26 und 27 im Übungsbuch! Y-Achse Y-Achse F 1 F Y F 1 F X X-Achse X-Achse Bild 13: Grafische Zerlegung von Kräften 49

51 Minos Grundlagen 2.3 Drehmoment Das Einwirken einer Kraft auf einen freibeweglichen Körper kann genau durch den Schwerpunkt des Körpers geschehen. In diesem Fall wird der Körper beschleunigt. Geht die Wirkungslinie einer Kraft bei einem frei beweglich Körper nicht durch den Schwerpunkt, so wird sich dieser durch die Krafteinwirkung drehen. Verursacht wird diese Drehung durch das Drehmoment, das durch das Einwirken der Kraft entsteht. Das Drehmoment ist das Produkt aus einer Kraft und dem Abstand der Wirkungslinie dieser Kraft zum Dreh- oder Schwerpunkt des Körpers. Die Wirkungslinie der Kraft steht dabei senkrecht zum Abstand vom Drehpunkt. Die Einheit des Drehmomentes wird ebenfalls aus der Multiplikation der Kraft und des Weges gebildet. Das Drehmoment wird somit in Newtonmeter angegeben. Die Berechnung des Drehmomentes erfolgt nach folgender Gleichung: Drehmoment = Kraft Hebelarm M = F l F M l Bild 14: Drehmoment 50

52 Grundlagen Minos Beispiel Eine Schraube soll mit einem Drehmoment von 40 Nm angezogen werden. Der Schraubenschlüssel hat eine Länge von 200 mm. Mit welcher Kraft muss an dem Schraubenschlüssel gezogen werden, um das geforderte Drehmoment zu erreichen? M = F l F = M / l F = 40 Nm / 0,2 m F = 200 N An dem Schraubenschlüssel muss mit einer Kraft von 200 N gezogen werden. Wird ein anderer Schraubenschlüssel mit einer Länge von 400 mm verwendet, wird nur noch eine Kraft von 100 N benötigt. Im Gegensatz dazu wären 400 N notwendig, wenn der Schraubenschlüssel nur 100 mm lang wäre. Anstelle dieser einen Kraft ist es auch möglich, das Drehmoment durch mehrere Kräfte zu erzeugen. Diese müssen dazu in einer Ebene liegen. Übertragen auf das Beispiel bedeutet dies, dass beispielsweise anstelle des Schraubenschlüssels ein Radkreuz zum Anziehen und Lösen von Radmuttern verwendet wird. Während an dem einen Hebel des Radkreuzes gezogen wird, wird auf der gegenüberliegenden Seite gedrückt. Dadurch wird deutlich, dass bei mehreren Drehmomenten das resultierende Drehmoment gleich der Summe der einzelnen Drehmomente ist. Aufgabe Lösen Sie die Aufgaben 28 bis 30 im Übungsbuch! M F F Bild 15: Addition von Drehmomenten 51

53 Minos Grundlagen 2.4 Kräfte- und Momentengleichgewicht Auf einen Körper können gleichzeitig mehrere Kräfte und Momente einwirken. Der Körper bleibt dabei nur dann in Ruhe, wenn sich die Wirkungen aller Kräfte und Momente gegenseitig aufheben. Diese Gleichgewichtsbedingung lässt sich wie folgt ausdrücken: Die Resultierende aller wirkenden Kräfte muss gleich Null sein. F 1 + F = 0 Die Summe aller Drehmomente muss gleich Null sein. M 1 + M = 0 Ein Ballon steigt weder nach oben oder sinkt nach unten, wenn sich Auftriebskraft und Gewichtskraft gegenseitig aufheben. Zur Seite bewegt sich der Ballon nicht, wenn kein Wind auf den Ballon einwirkt. Entsprechend wird der Ballon nicht in Drehung versetzt, wenn kein Drehmoment auf ihn einwirkt. F A F G Bild 16: Kräftegleichgewicht 52

54 Grundlagen Minos 2.5 Hebelgesetz Ein Hebel ist ein starrer Körper, der um eine Achse drehbar ist. Mit dem Hebel kann die Richtung oder der Betrag einer Kraft verändert werden. Damit sich ein Hebel im Gleichgewicht befindet, müssen mindestens zwei Kräfte an ihm angreifen. Durch jede dieser Kräfte wird ein Drehmoment um den Drehpunkt erzeugt. Der Hebel befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Drehmomente, die durch angreifende Kräfte entstehen, gleich Null ist. Beispiel An einer Balkenwaage hängt eine Last im Abstand von 20 cm vom Drehpunkt. Am anderen Arm der Waage befindet sich ein Gewicht mit einer Gewichtskraft von 5 N. Dieses hat einen Abstand von 50 cm zum Drehpunkt. Wie groß ist die Gewichtskraft der Last? F L l L = F G l G F L = F G l G / l L F L = 5 N 0,5 m / 0,2 m F L = 12,5 N Die Last hat eine Gewichtskraft von 12,5 N. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 31 im Übungsbuch! l L l G F L F G Bild 17: Hebel an einer Balkenwaage 53

55 Minos Grundlagen 2.6 Druck Gase und Flüssigkeiten, die sich in einem Behälter befinden, üben einen Druck auf die Wand des Behälters aus. Dabei ist der Druck definiert durch die Kraft, die auf eine bestimmte Fläche einwirkt. Diese Gesetzmäßigkeit wird als Pascalsches Gesetz bezeichnet. p = F / A Druck = Kraft / Fläche Aus den Einheiten von Kraft und Fläche ergibt sich, dass der Druck entsprechend den SI-Einheiten in N/m 2 angegeben würde. Um die Einheit zu vereinfachen wurde für den Druck die Einheit Pascal eingeführt. 1 Pa = 1 N/m 2 Ein Druck von einem Pascal ist ein recht kleiner Druck. Der Luftdruck auf der Erdoberfläche beträgt etwa das fache dieses Druckes. Deshalb werden Drücke häufig in Kilopascal oder Megapascal angegeben Pa = 1 kpa Pa = kpa = 1 MPa = 1 N/mm 2 F p Bild 18: Pascalsches Gesetz 54

56 Grundlagen Minos Abweichend von den SI-Einheiten ist im technischen Bereich auch die Einheit bar weit verbreitet. Ein bar entspricht etwa dem Luftdruck auf der Erdoberfläche. 1 bar = Pa = 10 N/cm 2 Der Luftdruck der Atmosphäre ist ein Absolutdruck. Er wird von einem drucklosen Raum aus gemessen. Für den Luftdruck wird das Formelzeichen p amb verwendet. Dabei bedeutet amb ambiens, was mit umgebend übersetzt werden kann. Der Luftdruck schwankt in Abhängigkeit vom Wetter etwa im Bereich von 960 mbar bis 1040 mbar. Im technischen Bereich werden Drücke häufig als Überdrücke angegeben. Im Formelzeichen p e bedeutet das e excedens, also überschreitend. Die Manometer an Behältern zeigen im allgemeinen den Überdruck an. Negative Überdrücke werden als Unterdruck bezeichnet. Auf der Erdoberfläche ist maximal ein Unterdruck von einem bar möglich. Für Berechnungen ist die Verwendung von Absolutdrücken p abs erforderlich. Die Absolutdrücke können nie kleiner als Null sein. 4 p [bar] 3 p e = 2 bar p abs = 3 bar 2 1 p amb = ca. 1 bar p e = 0,4 bar p abs = 0,6 bar Bild 19: Absolut- und Überdruck 55

57 Minos Grundlagen Im Gegensatz zu den veralteten Einheiten ata und atü ist nur an der Einheit bar nicht erkennbar, ob es sich um einen Absolut- oder Überdruck handelt. Bestehen Unklarheiten darüber, so ist unbedingt mit anzugeben, worauf sich die Druckangabe bezieht. Beispiel Ein Zylinder hat einen Kolbendurchmesser von 32 mm. Er wird mit einem Druck von 6 bar beaufschlagt. Wie groß ist die Kraft des Zylinders ohne Berücksichtigung von Verlusten? Ein runder Kolben mit einem Durchmesser von 32 mm hat eine Fläche von rund 8 cm 2. p = F / A F = p A F = 6 bar 8cm 2 F = 60 N/cm 2 8cm 2 F = 480 N Der Zylinder kann bei einem Druck von 6 bar eine Kraft von 480 N aufbringen. Aufgabe Lösen Sie die Aufgaben 32 und 33 im Übungsbuch! Kraftübersetzung Eine praktische Anwendung des Pascalschen Gesetzes ist die Kraftübersetzung. Ein Gas oder eine Flüssigkeit befindet sich in einem geschlossenen Behälter. In zwei verschieden großen Öffnungen befinden sich zwei Kolben. Durch das Aufbringen einer Kraft auf die Kolben wird im Innern des Behälters ein Druck erzeugt. Sind die Kolben verschieden groß, so muss für einen Gleichgewichtszustand auf dem Kolben mit der größeren Fläche eine größere Kraft aufgebracht werden als auf den Kolben mit der kleineren Fläche. Bei einer Kraftübersetzung wird mit einer kleineren Kraft am kleineren Kolben eine größere Kraft an dem großen Kolben erzeugt. Nach diesem Prinzip arbeiten beispielsweise hydraulische Pressen. In Analogie zum Hebelgesetz muss jedoch der kleinere Kolben einen längeren Hub zurücklegen als der große Zylinder. Damit auch der größere Kolben einen längeren Weg zurücklegen kann, wird der kleinere Kolben mehrmals hin und herbewegt, wobei beim Rückhub immer neue Flüssigkeit nachgesaugt wird. 56

58 Grundlagen Minos Für die Kraftübersetzung gilt folgende Formel: p = F 1 / A 1 = F 2 / A 2 Innerhalb des Behälters kann ein zusätzlicher Kolben eingebaut sein. Dieser freibewegliche Kolben hat auf beiden Seiten gleich große Flächen. Dadurch bewegt er sich so im Medium mit, dass auf beiden Seiten immer gleich große Drücke herrschen. In diesem Fall dient der Kolben zur Druckmitteltrennung und verhindert, dass sich verschiedene Flüssigkeiten vermischen. Beispiel Der kleinere Kolben hat eine Fläche von 5 cm 2 und der größere eine Fläche von 50 cm 2. Auf den kleineren Kolben wirkt eine Kraft von 100 N. Wie groß ist die Kraft am größeren Kolben wenn alle Verluste vernachlässigt werden? F 1 / A 1 = F 2 / A N / 5 cm 2 = F 2 / 50 cm 2 F 2 = (100 N / 5 cm 2 ) 50 cm 2 F 2 = 1000 N Durch die zehnfache Fläche erreicht man am größeren Kolben die zehnfache Kraft. F 1 < F 2 A 1 < A 2 p Bild 20: Kraftübersetzung 57

59 Minos Grundlagen Druckübersetzung Die Druckübersetzung ist ebenfalls eine Anwendung des Pascalschen Gesetzes. Dabei wird ein frei beweglicher Kolben verwendet, der zwei unterschiedlich große Kolbenflächen aufweist. Bei einem Aufbau wie in Bild muss der Zwischenraum eine Entlüftungsöffnung haben, damit kein Druckpolster entsteht. Damit sich am Kolben ein Kräftegleichgewicht ausbildet, muss an der kleineren Fläche ein entsprechend größerer Druck anliegen als an der größeren Kolbenfläche. Anderenfalls genügt an der größeren Fläche bereits ein kleiner Druck, um an der kleinen Fläche einen größeren Druck zu erzeugen. Die Druckübersetzung berechnet sich nach folgender Formel: F = p 1 A 1 = p 2 A 2 Die Druckübersetzung kann eingesetzt werden, wenn die große Fläche beispielsweise mit Druckluft beaufschlagt wird und dadurch an der kleinen Fläche eine Hydraulikflüssigkeit mit wesentlich höherem Druck zur Verfügung stehen soll. A 1 > A 2 p 1 < p 2 F F Bild 21: Druckübersetzung 58

60 Grundlagen Minos Beispiel Der größere Kolben hat eine Fläche von 50 cm 2 und der kleinere von 5cm 2. Am größeren Kolben liegt ein Druck von 5 bar an. Wie groß ist der Druck am kleineren Kolben? Die Verluste sind zu vernachlässigen. p 1 A 1 = p 2 A 2 5 bar 50 cm 2 = p 2 5cm 2 p 2 = 5 bar 50 cm 2 / 5 cm 2 p 2 = 50 bar Durch die zehnmal so große Fläche entsteht an der kleineren Fläche ein zehnmal so großer Druck von 50 bar. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 34 im Übungsbuch! Gasgesetz Flüssigkeiten haben ein bestimmtes Volumen. Gase dagegen nehmen immer den ihnen zur Verfügung stehenden Raum ein. Für ideale Gase wird der Zusammenhang von Druck, Temperatur und Volumen in einer Formel dargestellt. Luft kann dabei näherungsweise als ideales Gas betrachtet werden. p V T = p V T Bei Berechnungen mit dieser Formel ist zu beachten, dass die Drücke als Absolutdrücke einzusetzen sind. Das Gleiche gilt für die Temperaturen. Hier sind die Werte in Kelvin einzutragen und damit gegebenenfalls vorher umzurechnen. Bleibt der Druck, die Temperatur oder das Volumen während einer Änderung der Verhältnisse in einem Gas unverändert, so kann die Berechnung vereinfacht werden. Bleibt die Temperatur konstant, so lautet die Berechnungsformel: p 1 V 1 = p 2 V 2 Bei einem konstanten Volumen sieht die Berechnungsformel wie folgt aus: p 1 / T 1 = p 2 / T 2 Ist der Druck unverändert, so wird folgenden Formel verwendet: V 1 / T 1 = V 2 / T 2 59

61 Minos Grundlagen Beispiel 8m 3 Umgebungsluft werden auf ein Volumen von 1 m 3 verdichtet. Die angesaugte Luft hat dabei eine Temperatur von 20 C. Durch die Verdichtung steigt die Temperatur auf 50 C. Wie hoch ist der Druck der verdichteten Luft? p V T = p V T bar 8 m ( ) K = p2 1m ( ) K p = 2 p = 2 3 1bar 8 m ( ) K 3 ( ) K 1m 3 8 m 323 K 1m 293 K bar 3 p 2 = 8,82 bar Der berechnete Druck ist ein Absolutdruck. Befindet sich die verdichtete Luft in einem Behälter, so beträgt der Überdruck nur rund 7,8 bar. Kühlt sich die verdichtete Luft nach dem Verdichten auf die Umgebungstemperatur von 20 C ab, so wird der Druck wieder etwas sinken. Wie groß ist der Druck nach der Temperaturabsenkung? Das Volumen bleibt dabei unverändert. p 1 / T 1 = p 2 / T 2 8,82 bar / 323 K = p 2 / 293 K p 2 = 8,82 bar 293 K / 323 K p 2 = 8 bar Durch die Abkühlung der verdichteten Luft sinkt der Druck auf einen Absolutdruck von 8 bar ab. Das entspricht einem Überdruck von 7 bar. 60

62 Grundlagen Minos Strömende Medien Beim Strömen einer Flüssigkeit oder eines Gases durch eine Rohrleitung hängt die Strömungsgeschwindigkeit eines bestimmten Volumenstromes vom Querschnitt der Rohrleitung ab. Je geringer der Querschnitt ist, desto schneller muss das Medium strömen. Der Zusammenhang von Strömungsgeschwindigkeit und Querschnitt wird als Kontinuitätsgesetz bezeichnet und nach folgender Formel berechnet: v 1 A 1 = v 2 A 2 Nachdem an der engen Stelle eine hohe Geschwindigkeit erreicht wurde, sinkt die Strömungsgeschwindigkeit danach wieder ab. Wird dem strömenden Medium von außen keine Energie zugeführt oder Energie nach außen abgegeben, so bleibt die Energiemenge unverändert. Da sich durch die höhere Geschwindigkeit die Bewegungsenergie des Mediums zunimmt muss dementsprechend die Druckenergie abnehmen. Der Druck kann dabei soweit absinken, dass durch eine Öffnung an der engen Stelle kein Medium austritt. Dieser Effekt wird beispielsweise in Ejektoren zur Erzeugung von Unterdrücken in Saugnäpfen genutzt. A 1 A 2 v 1 v 2 Bild 22: Kontinuitätsgesetz 61

63 Minos Grundlagen 2.7 Spannung Der Begriff Spannung wird hier in Verbindung mit festen Körpern verwendet. Er ist nicht mit der elektrischen Spannung zu verwechseln. Bei der Betrachtung von Kräften oder Momenten auf Körper wurde bisher davon ausgegangen, dass die Körper starr sind und sich durch die Belastungen nicht verformen. Dies ist aber nur der Fall, wenn sie eine ausreichende Festigkeit aufweisen. Die Auswirkungen durch die Belastungen, die von Kräften und Momenten auf Körper ausgeübt werden, werden mit dem Begriff Spannung bezeichnet. Die Belastung wird dabei auf eine Fläche bezogen. Die Kraft, durch die die Belastung auftritt, und die Spannung liegen in einer Richtung. Allgemein gilt: Spannung = Kraft / Fläche wobei sich durch diese Berechnung die Einheit N/mm 2 ergibt. Mechanische Spannungen werden in zwei grundlegende Arten unterschieden. Die Normalspannung σ wirkt senkrecht, also normal, auf die zu belastende Fläche. Diese Fläche hat dabei einen bestimmten Querschnitt S. Normalspannungen treten typischerweise bei Belastung durch Druck, Zug oder Biegung auf. Für sie gilt die Berechnung: σ = F / S Im Gegensatz dazu wirkt die Scherspannung τ in der gleichen Ebene wie der betrachtete Querschnitt. Die Scherspannungen treten bei Scherungen und bei Torsionen auf. Sie werden nach folgender Formel berechnet: τ = F / S Neben den Spannungen in festen Körpern können Spannungen aber auch in Flüssigkeiten oder Gasen auftreten. 62

64 Grundlagen Minos Beispiel Ein Gewicht von 600 kg soll an eine Schraube mit einem Haken gehängt werden. Für die Schraube mit einem Gewinde M8 wird aus der entsprechenden Tabelle für die Werkstoffeigenschaften eine zulässige Spannung von 400 N/mm 2 entnommen. Der dünnste Querschnitt beträgt 30 mm 2. Kann der Haken die Last tragen? σ = F / S F = σ S F = 400 N/mm 2 30 mm 2 F = N Die Schraube hält eine Belastung durch eine Kraft von N aus. Als nächstes muss die Gewichtskraft des Gewichtes berechnet werden. Die Schwerebeschleunigung wird dabei auf 10 m/s 2 gerundet. Die Gewichtskraft durch das Gewicht beträgt somit: F = m g F = 600 kg 10 m/s 2 F = 6000 N Durch das Gewicht wird eine Kraft von 6000 N auf die Schraube ausgeübt. Diese Kraft ist halb so groß wie die maximal zulässige Kraft. Somit trägt die Schraube das angehängte Gewicht. Maximal zulässig wäre die doppelte Masse. Der Sicherheitsfaktor hat in dem Fall der Masse von 600 kg der Wert 2. 63

65 Minos Grundlagen 2.8 Reibung Sollen zwei Körper, die sich berühren, gegeneinander bewegt werden, so wirkt zwischen ihnen eine Reibungskraft. Diese Kraft wirkt der Bewegungsrichtung entgegen. Die Reibung ist also bestrebt die Bewegung zwischen den Körpern zu behindern. Die Reibungskraft wird mit F R bezeichnet. Ihre Größe hängt zum einen von der Kraft ab, mit der die Körper an den sich berührenden Flächen zusammengedrückt werden. Diese Kraft wirkt senkrecht zu den sich berührenden Flächen und ist somit eine Normalkraft F N. Die Reibkraft und die Normalkraft werden wie alle Kräfte in Newton angegeben. Zum Zweiten hängt die Reibungskraft von der Beschaffenheit der Oberflächen ab. Dieser Wert wird durch die Reibzahl µ bestimmt. Die Reibzahl ist ein Wert, der immer für zwei Flächen gilt. Für eine einzelne Fläche ist die Angabe einer Reibzahl nicht möglich. Die Reibzahl gibt somit an, wie gut oder wie schlecht zwei Flächen aufeinander gleiten. Eine größere Reibzahl bedeutet, dass die Reibung größer ist und somit das Aufeinandergleiten schwerer möglich ist. Die Reibzahl hat keine Einheit. Für das Berechnen der Reibungskraft gilt die folgende Formel. F R = µ F N Für die Größe der Reibung ist die Größe der aneinander reibenden Flächen ohne Bedeutung. Es ist jedoch möglich, dass zusätzlich zur Reibungskraft noch andere Kräfte wirken können. So können beispielsweise durch Adhäsionskräfte die verschiedenen Körper zusätzlich zusammenhaften. F N Bewegungsrichtung F R Reibfläche Bild 23: Reibungskraft 64

66 Grundlagen Minos Eine besondere Form der Reibung ist die Haftreibung. Sie tritt zwischen zwei sich berührenden Körpern auf, die gegeneinander bewegt werden sollen. Die Haftreibung verhindert diese Bewegung der Körper. Die Reibungszahl der Haftreibung wird mit µ 0 bezeichnet. Der Begriff Haftreibung ist dabei etwas irreführend, da dabei noch keine Bewegung auftritt. Es wird auch keine Energie umgewandelt oder Wärme erzeugt. Deshalb wird für die Haftreibung auch der Begriff Haftung verwendet. Zu den anderen Reibungsformen gehört die Gleitreibung. Sie tritt auf, wenn die sich bewegenden Körper berühren und aneinander vorbei gleiten. Wie allgemein bei der Reibung wird die Reibungszahl mit µ bezeichnet. Die Gleitreibung ist immer kleiner als die Haftreibung. Ein auf einer schrägen Ebene rutschender Körper kann deshalb nicht anhalten, wenn er sich erst einmal in Bewegung gesetzt hat. Weitere Formen der Reibung sind beispielsweise die Rollreibung von Rädern oder die Bohrreibung. Diese tritt auf, wenn sich eine Kugel auf einer Oberfläche dreht. Reibung tritt auch in Flüssigkeiten oder Gasen auf. Diese Reibung ist im allgemeinen jedoch viel kleiner als die Reibung zwischen festen Körpern. In der Technik werden deshalb Schmierstoffe verwendet, damit die Reibung zwischen festen Körpern vermieden wird. Beispiel Beim Anhänger einer Straßenbahn blockieren die Bremsen, so dass sich die Räder nicht mehr drehen. Der Wagen mit einer Gewichtskraft von 80 kn soll auf den Schienen ein Stück gezogen werden. Aus Tabellenbüchern kann die Reibzahl von 0,15 für die Haftreibung und 0,1 für die Gleitreibung von Stahl auf Stahl entnommen werden. Wie groß muss die Kraft sein, um den Wagen in Bewegung zu setzten und ihn dann weiter zu ziehen? F R = µ 0 F N F R = 0,15 80 kn F R = 12 kn F R = µ F N F R = 0,1 80 kn F R = 8 kn Am Wagen muss mit einer Kraft von 12 N gezogen werden um ihn in Bewegung zu setzten. Danach ist für das Ziehen nur noch eine Kraft von 8 kn erforderlich. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 35 im Übungsbuch! 65

67 Minos Grundlagen 2.9 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung Bei einer Bewegung verändert ein Körper in einer bestimmten Zeit seinen Ort. Die Geschwindigkeit bestimmt dabei, wie schnell der Körper sich von einem Ort zu einen anderen Ort bewegt. Mit der Beschleunigung wir die Änderung der Geschwindigkeit bezeichnet Gleichförmige Bewegung Die gleichförmige Bewegung wird auch als gleichförmige geradlinige Bewegung bezeichnet. Der Körper bewegt sich mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit. Somit legt der Körper in gleichen Zeitabschnitten immer die gleiche Strecke zurück. Nach dem Trägheitsprinzip bewegt sich ein Körper mit einer geradlinigen Bewegung, wenn die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte gleich Null ist. Bei einer reinen gleichförmigen Bewegung findet keine Drehung des Körpers um eine eigene Achse statt. Die Berechnung der Geschwindigkeit erfolgt nach folgender Formel: Geschwindigkeit = Wegstrecke / Zeit v = s / t Im physikalischen Bereich wird die Zeit in Sekunden und eine Strecke in Metern angegeben. Demzufolge ergibt sich für die Geschwindigkeit die Einheit Meter/Sekunde oder m/s. Im Alltag wird häufig die Geschwindigkeit in km/h angegeben. Auch Angaben im m/min sind möglich. Im physikalischen Bereich sollten diese Einheiten vermieden werden. Für die Umrechnung von Geschwindigkeiten, die in von m/s angegeben werden, nach Werten in km/h kann der Faktor 3,6 verwendet werden. 1 m/s = 60 m/min = 3600 m/h = 3,6 km/h Für die Umrechnung von Werten in m/s nach Werten in km/h muss also der Wert mit 3,6 multipliziert werden. Umgekehrt müssen Angaben für Geschwindigkeiten in km/h durch den Faktor 3,6 geteilt werden, damit Werte in m/s erhalten werden. 66

68 Grundlagen Minos Beispiel Ein Auto legt in vier Stunden eine Strecke von 360 km zurück. Mit welcher gleichförmigen Geschwindigkeit bewegt sich das Auto? Das Ergebnis soll in km/h und m/s angegeben werden. v = s / t v = 360 km / 4 h v = 90 km/h v = 90 km/h / 3,6 = 25 m/s Das Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h. Das entspricht einer Geschwindigkeit von 25 m/s. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 36 im Übungsbuch! Beschleunigte Bewegung Durch die Einwirkung einer Kraft auf einen Körper kann sich dessen Geschwindigkeit ändern. Diese Änderung der Geschwindigkeit wird als Beschleunigung bezeichnet. Die Änderung der Geschwindigkeit kann dabei zu höheren und niedrigeren Geschwindigkeiten führen. Negative Beschleunigungen werden deshalb auch als Verzögerung bezeichnet. Im einfachsten Fall ändert sich die Beschleunigung in einem bestimmten Zeitraum nicht. Es handelt sich dabei um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Diese berechnet sich auf folgende Weise: Beschleunigung = Geschwindigkeitsänderung / Zeitabschnitt a = v / t Da die Geschwindigkeit durch eine Zeit dividiert wird, ergibt sich als Einheit für die Beschleunigung m/s 2. Eine besondere Beschleunigung ist die Fallbeschleunigung. Sie ergibt sich aus der Schwerkraft, durch die sich Körper anziehen. Auf der Erdoberfläche wird allgemein mit einer Schwerebeschleunigung von 9,81 m/s 2 gerechnet. Auch eine Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung. Hier ändert sich jedoch nicht der Betrag der Geschwindigkeit sondern die Richtung der Bewegung. 67

69 Minos Grundlagen Beispiel Ein Fallschirmspringer springt aus einem Flugzeug. Welche Geschwindigkeit würde er nach drei Sekunden erreicht haben, wenn der Luftwiderstand nicht berücksichtigt wird? Für diese Berechnung ist der Wert der Schwerebeschleunigung auf 10 m/s 2 zu runden. Die Geschwindigkeit ist in m/s und km/h anzugeben. a = v / t v = a t v = 10 m/s 2 3s v = 30 m/s = 108 km/h Nach drei Sekunden hätte der Fallschirmspringer eine Geschwindigkeit von 30 m/s oder 108 km/h erreicht. Durch den Luftwiderstand wird dieser Wert aber nicht ganz erreicht. In dieser Aufgabe wird davon ausgegangen, dass die Geschwindigkeit am Anfang der Beschleunigung gleich Null ist. Die Geschwindigkeitsänderung kann aber auch von bestimmten Geschwindigkeiten ausgehen. Dies ist bei allen Verzögerungen der Fall, es kann aber auch eine weitere Erhöhung der Geschwindigkeit geben. Beispiel Ein ICE-Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 144 km/h oder 40 m/s. Für eine Zeitdauer von 20 Sekunden wird er mit einem Wert von 0,5 m/s 2 beschleunigt. Wie hoch ist die Endgeschwindigkeit? v = a t v = 0,5 m/s 2 20 s v = 10 m/s = 36 km/h Die Geschwindigkeit der Zuges erhöht sich um 10 m/s oder 36 km/h auf insgesamt 50 m/s oder 180 km/h. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 37 im Übungsbuch! 68

70 Grundlagen Minos Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von Null und einer gleichmäßigen Beschleunigung kann anstelle der Geschwindigkeitsänderung und dem Zeitintervall auch die Endgeschwindigkeit und die Gesamtzeit für die Berechnung der Beschleunigung verwendet werden. Die Formel ändern sich dabei zu folgender Form: a = v / t oder v = a t Für die gleichförmige Bewegung gilt die Berechnung: v = s / t Umgestellt nach dem Weg ergibt sich: s = v t Da sich bei einer gleichförmigen Beschleunigung die Geschwindigkeit gleichmäßig vom Wert Null zum Endwert ändert, kann als mittlerer Wert für die Geschwindigkeit die halbe Endgeschwindigkeit verwendet werden. Die während der gleichmäßigen Beschleunigung zurückgelegte Strecke kann man deshalb wie folgt berechnen: s = 1/2 v t Ersetzt man die Geschwindigkeit durch die Multiplikation aus Beschleunigung und Zeit, so ergibt sich für die zurückgelegte Strecke: s = 1/2 a t 2 Beispiel Ein Auto beschleunigt in zehn Sekunden von 0 auf 100 km/h. Welchen Weg hat das Auto in dieser Zeit zurückgelegt? s = 1/2 v t s = 1/2 100 km/h 10 s s = 1/2 27,8 m/s 10 s s = 139 m Während der Beschleunigung legt das Auto eine Strecke von 139 m zurück. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 38 im Übungsbuch! 69

71 Minos Grundlagen Kräfte an bewegten Körpern Die Grundgesetze für die Bewegung wurden erstmals von Isaac Newton beschrieben und sind deshalb auch als Newtonsche Gesetze bekannt. Das erste Newtonsche Gesetz wird auch als Gesetz vom Trägheitsprinzip bezeichnet. Es lautet: Ein Körper bleibt in seinem Zustand der Ruhe oder in gleichförmiger, geradliniger Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist. Das bedeutet, dass ein Körper sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit gleichförmig weiterbewegt, wenn keine Kräfte von außen auf den Körper einwirken. Der Betrag und die Richtung der Geschwindigkeit ändern sich also nicht. Umgekehrt bedeutet dieses Gesetz: Die Ursache jeder Änderung des Bewegungszustandes ist das Wirken von Kräften. Einfach ausgedrückt bedeutet dies, dass eine Kraft die Ursache für eine Beschleunigung ist. Kräfte, die auf den Körper einwirken, können dabei auch die Gravitationskraft oder die Reibungskraft sein. Der Zusammenhang zwischen der Änderung des Bewegungszustandes, also der Beschleunigung, und der Kraft wird durch das zweite Newtonsche Gesetz beschrieben: Die Änderung der Bewegung eines Körpers ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional. Die Beschleunigung geschieht dabei in die Richtung der geraden Linie, in die diese Kraft wirkt. Aus diesem Gesetz ergibt sich, dass durch eine doppelt so große Kraft auch eine doppelt so große Beschleunigung eines Körpers erreicht wird. Der Proportionalitätsfaktor für das Verhältnis von Kraft und Beschleunigung ist für jeden Körper eine konstante Größe. Diese Größe ist die Masse des Körpers. Somit ergibt sich die Formel: Masse = Kraft / Beschleunigung m = F / a oder F = m a mit der Einheitengleichung: 1 N = 1 kg 1m/s 2 70

72 Grundlagen Minos Es wird also eine Kraft von einem Newton benötigt, um einen Körper mit der Masse von 1 kg mit 1 m/s 2 zu beschleunigen. Diesen Zusammenhang bezeichnet man auch als Kraftwirkungsgesetz. Durch die Schwerkraft der Erde werden alle Körper zum Mittelpunkt der Erde gezogen. Dabei handelt es sich auch um eine Beschleunigung, die in diesem Fall Schwerebeschleunigung oder Erdbeschleunigung genannt wird. Die Erdbeschleunigung wird mit dem Buchstaben g anstelle des Buchstabens a der allgemeinen Beschleunigung bezeichnet und hat auf der Erdoberfläche einen Wert von 9,81 m/s 2. Für vereinfachte Berechnungen kann der Wert auf 10 m/s 2 gerundet werden. Die Gewichtskraft, die mit dem Buchstaben G bezeichnet wird, ist somit die auf einen Körper wirkende Schwerkraft. Sie ist das Produkt aus der Masse eines Körpers und der Schwerebeschleunigung. F G = m g Im Alltag wird der Begriff Gewicht häufig so verwendet, dass eigentlich eine Masse gemeint ist. So werden beispielsweise auch Gewichte von Körpern mit der Einheit der Masse kg bezeichnet. Im Bereich der Physik sollte dann besser von Gewichtskraft gesprochen werden. Wegen der Schwerebeschleunigung hat eine Masse von einem Kilogramm auf der Erdoberfläche eine Gewichtskraft von 9,81 N. F G = m g F G = 1 kg 9,81 m/s 2 F G = 9,81 N Vereinfacht kann festgestellt werden, dass eine Masse von 1 kg eine Gewichtskraft von rund 10 N erzeugt. Beispiel Wie groß ist die Gewichtskraft eines Körpers mit einer Masse von 100 kg auf der Mondoberfläche, wenn die Schwerebeschleunigung dort rund 1,6 m/s 2 beträgt? F G = m g F G = 100 kg 1,6 m/s 2 F G = 160 N Auf der Mondoberfläche hat der Körper nur eine Gewichtskraft von 160 N. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 39 im Übungsbuch! 71

73 Minos Grundlagen 2.10 Rotation Dreht sich ein fester Körper um einen Drehpunkt, so bewegen sich alle Punkte diesen Körpers auf Kreisbahnen um den Drehpunkt. Die Entfernung eines Punktes des Körpers vom Drehpunkt ist der Radius des Kreises. Während der Drehung des Punktes um den Mittelpunkt überstreicht eine Linie in einer bestimmten Zeiteinheit einen Winkel. Dieser wird in Bogenmaß gemessen. Der für die Beschreibung der Drehbewegung erforderliche Winkel ϕ wird berechnet aus dem Quotienten der Länge des Kreisbogenstückes s und dem Radius des Kreises r. ϕ = s / r Der Winkel ist eigentlich ohne Einheit, da bei der Division einer Länge durch eine andere Länge die Einheiten sich wegkürzen. Trotzdem wird der Winkel mit Radiant rad bezeichnet. Ist die Länge des Kreisbogenstückes s genauso lang wie der Radius r, so hat der Winkel einen Wert von 1 rad. Entsprechend hat sich der Punkt P um 1 rad um den Drehmittelpunkt gedreht, wenn die Länge der Kreisbahn genau dem Radius entspricht. r Kreisbogenstück s Drehachse ϕ Radius r Punkt P Bild 24: Bogenmaß 72

74 Grundlagen Minos Für eine volle Umdrehung muss der Punkt eine Strecke zurücklegen, der dem Umfang des Kreises entspricht. Der Umfang hat in Bezug auf den Radius eine Länge von 2 π r. Deshalb beträgt der Wert einer Umdrehung 2 π rad. Setzt man für π den Wert 3,14 an, so ist der Wert einer vollen Umdrehung 6,28 rad. Für eine volle Umdrehung gilt also: s = 2 π r Beispiel Ein Reifen hat einen Durchmesser von 0,5 m. Welchen Weg auf der Oberfläche des Reifens legt der Punkt zurück, wenn sich der Reifen um drei Viertel einer Radumdrehung dreht? D = 0,5 m r = 0,25 m s = 0,75 2 π r s = 0,75 2 π 0,25 m s = 1,18 m Auf dem Reifen legt der Punkt eine Strecke von 1,18 m zurück. Eine andere Möglichkeit für die Angabe von Werten für Winkel ist die Verwendung der Einheit Grad. Dabei wird ein Vollkreis in 360 einzelne Teilstücke unterteilt. Der Winkel in einem Viertel Kreis hat demzufolge einen Wert von 90. Im Gegensatz zur Einheit Radiant entspricht die Einteilung von Winkeln in Grad nicht den SI-Einheiten. Die Verwendung von Grad ist trotzdem allgemein akzeptiert. Es gelten folgende Umrechnungen: 1 = 2 π / 360 0,0175 rad 1 rad = 360 / (2 π) 57,3 Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 40 im Übungsbuch! 73

75 Minos Grundlagen Winkelgeschwindigkeit Die Geschwindigkeit ist bei einer geradlinigen Bewegung die in einer bestimmten Zeiteinheit zurückgelegte Strecke. Dementsprechend wird bei der Rotation der Steckenabschnitt durch einen Winkelabschnitt ersetzt. Die Winkelgeschwindigkeit ω bei einem sich gleichförmig drehenden Körper ist somit der Quotient aus dem Drehwinkel ϕ und dem Zeitabschnitt t. Wie bei der Geschwindigkeit oder Beschleunigung wird für die Differenz der Strecke und der Zeit das Symbol Delta verwendet. ω = ϕ / t Die Einheit für die Winkelgeschwindigkeit ist somit rad/s. Da der Winkel eigentlich dimensionslos ist, wird für die Winkelgeschwindigkeit häufig auch 1/s als Einheit angegeben. Beispiel Ein Elektromotor hat eine Drehzahl von 750 Umdrehungen pro Minute. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit? ω = ϕ / t ω = / 60 s ω = /s ω = 2π 12,5 1/s Der Motor hat eine Winkelgeschwindigkeit von 2π 12,5 1/s. 74

76 Grundlagen Minos Winkelbeschleunigung Auch die Winkelgeschwindigkeit ist nicht immer gleichbleibend. Sie kann vergrößert oder verkleinert werden. Das Verändern der Winkelgeschwindigkeit wird mit dem Begriff Winkelbeschleunigung bezeichnet. Bei einer gleichmäßigen Beschleunigung der Winkelgeschwindigkeit kann die Beschleunigung als Änderung der Winkelgeschwindigkeit in einer bestimmten Zeiteinheit betrachtet werden. Die Berechnung der Winkelbeschleunigung erfolgt in diesem Fall nach der Formel: α = ω / t Die Einheit für die Winkelbeschleunigung ist dementsprechend entweder rad/s 2 oder 1/s 2. Winkelbeschleunigungen erhalten ein positives Vorzeichen, wenn die Drehzahl sich erhöht. Im Gegensatz dazu wird die Winkelbeschleunigung mit einem negativen Vorzeichen versehen, wenn die Drehzahl abnimmt. Beispiel Ein Handhabungssystem mit einem Greifer soll aus dem Stillstand so gedreht werden, dass nach einer Zeit von 0,3 Sekunden eine Winkelgeschwindigkeit von 3 rad/s erreicht wird. Wie groß muss dafür die Winkelbeschleunigung sein? α = ω / t α = 3 rad/s / 0,3 s α = 10 rad/s 2 Es ist eine Winkelbeschleunigung von 10 rad/s 2 erforderlich, um in dem gegebenen Zeitraum die gewünschte Winkelgeschwindigkeit zu erreichen. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 41 im Übungsbuch! 75

77 Minos Grundlagen 2.11 Arbeit, Energie und Leistung Arbeit In der Physik werden die Begriffe Arbeit, Energie und Leistung teilweise anders gebraucht als in der Umgangssprache. Deshalb ist es möglich, dass bei der Verwendung dieser Begriffe Mißverständnisse auftreten können. Wird eine Kiste über den Boden geschoben, so wird im physikalischen Sinne Arbeit verrichtet. Die zu verrichtende Arbeit ist dabei um so größer, je länger der Weg und je größer die zum Schieben erforderliche Kraft ist. Die Arbeit berechnet sich demzufolge nach folgender Formel: Arbeit = Kraft Weg W = F s Als Einheit der Arbeit ergibt sich bei dieser Berechnung Newtonmeter Nm. Anstelle des Newtonmeters wird jedoch die Einheit Joule J verwendet. Eine Arbeit von einem Joule wird somit verrichtet, wenn ein Körper mit einer Kraft von einem Newton um einen Meter verschoben wird. Für den technischen Bereich ist eine Arbeit von einem Joule ein recht geringer Wert. Deshalb wird häufig auch die Einheit Kilowattstunde kwh verwendet. Dabei sind folgende Umrechnungen erforderlich: 1 kwh = 3, J = J Beispiel 1 J = 2, kwh Eine Holzpalette mit Werkstücken wiegt 100 kg. Sie soll 20 m weit über den Boden gezogen werden. Der Reibwert zwischen Palette und Boden wird mit 0,5 angenommen. Wie groß ist die erforderliche Zugkraft? Welche Arbeit muss verrichtet werden? F = µ F N = µ m g = 0,5 100 kg 9,81 m/s 2 F = 490,5 N Es wird eine Zugkraft von 490,5 N benötigt. W = F s W = 490,5 N 20 m W = 9810 J Es wird eine Arbeit von 9810 J oder 9,81 kj verrichtet. 76

78 Grundlagen Minos Wird ein Körper senkrecht nach oben verschoben, so wird eine Hubarbeit verrichtet. Hier kann die Kraft durch die Gewichtskraft ersetzt werden. Für die Berechnung der Gewichtskraft kann wiederum die Masse des Körpers und die Schwerebeschleunigung der Erde herangezogen werden. Der zurückgelegte Weg entspricht dabei der Höhe, um die der Körper angehoben wird. W = F G h W = m g h Beispiel Ein Lastenaufzug hat eine Gesamtmasse von 1000 kg. Er soll 25 m in die Höhe gehoben werden. Wie groß ist die zu verrichtende Hubarbeit? W = m g h W = 1000 kg 9,81 m/s 2 25 m W = 245,25 kj Beim Spannen einer Feder nimmt die Kraft zum Spannen mit der Spannweg zu. Bei einer idealen Feder steigt die Spannkraft dabei proportional zum Spannweg. Die zum Spannen der Feder erforderliche mittlere Kraft ist deshalb genau halb so groß wie die maximale Kraft am Ende des Spannweges. Dadurch ergibt sich folgende Berechnung: W = 1/2 F max s Beispiel An einem Sportgerät kann trainiert werden, indem eine Feder gespannt wird. Der Spannweg beträgt 0,6 m. Die notwendige Kraft für diesen Spannweg beträgt 400 N. Die Übung soll 50 Mal wiederholt werden. Welche Arbeit muss dabei verrichtet werden? W = 1/2 F max s W = 1/2 400 N 0,6 m W = 120 J Um die Feder einmal zu spannen wird eine Arbeit von 120 J verrichtet. Für das 50 fache spannen wird demzufolge eine Arbeit von W = J W = 6000 J = 6 kj verrichtet. 77

79 Minos Grundlagen Zum Beschleunigen einer Masse ist bekanntermaßen eine Kraft erforderlich. Die Formel dafür lautet: F = m a Der Weg, der zurückgelegt werden muss, um bis zu einer bestimmten Geschwindigkeit zu beschleunigen, berechnet sich nach folgender Formel: s = 1/2 v 2 / a Setzt man nun diese beiden Formeln in die Berechnung für die Arbeit ein, so erhält man für die Beschleunigungsarbeit: W = F s W = 1/2 m v 2 Die Arbeit, die zum Beschleunigen eines Körpers auf eine bestimmte Geschwindigkeit erforderlich ist, ist somit nur von der Masse und der zu erreichenden Geschwindigkeit abhängig. Die Beschleunigung selbst kommt in der Berechnung nicht vor. Das bedeutet, dass es nicht darauf ankommt, wie schnell der Körper auf die Endgeschwindigkeit gebracht wird. Eine lange dauernde, aber kleine Beschleunigung benötigt eine genauso große Arbeit wie eine kürzere, aber höhere Beschleunigung. Entscheidend ist nur die Endgeschwindigkeit. Weitere Einflüsse wie beispielsweise die Reibung sind allerdings dabei noch nicht berücksichtigt. Eine Lokomotive mit einer Masse von 100 t soll auf eine Geschwindigkeit von 90 km/h beschleunigt werden. Welche Arbeit muss dafür verrichtet werden? W = 1/2 m v 2 W = 1/2 100 t (90 km/h) 2 W = 1/ kg (25 m/s) 2 W = 1/ kg 625 m 2 /s 2 W = 31,25 MJ = 8,68 kwh Es wird für die Beschleunigung eine Arbeit von 31,25 MJ oder 8,69 kwh benötigt. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 42 im Übungsbuch! 78

80 Grundlagen Minos Energie Damit eine Arbeit verrichtet werden kann, muss vorher Energie vorhanden gewesen sein. Beim Verrichten der Arbeit wird die Energie dann in dem Körper gespeichert. Somit ist Energie die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Die Energie kann nicht direkt gemessen werden. Sie wird berechnet oder sie wird über die durch sie verrichtete Arbeit bestimmt. Die Energie wird in der gleichen Einheit angegeben wie die Arbeit. Die SI-Einheit ist somit das Joule. Die Energie wird aber auch oftmals in kwh angegeben. Die Energie kann in verschiedenen Erscheinungsformen auftreten. In der klassischen Mechanik sind vorallem die potentielle und die kinetische Energie von Bedeutung. Damit ein Körper gegen die Schwerkraft der Erde angehoben werden kann, muss Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit ist danach als potentielle Energie im Körper gespeichert. Dabei ist die potentielle Energie genauso groß wie die beim Heben verrichtete Arbeit. E pot = m g h Die in einem Körper nach dem Anheben gespeicherte Energie lässt sich anschließend auch wieder zum Verrichten von Arbeit verwenden. Da die Speicherung von Energie durch die erhöhte Position des Körpers erfolgt, wird die potentielle Energie auch als Lageenergie bezeichnet. Beispiel In einem Pumpspeicherwerk wird Wasser aus dem unteren Becken in das obere Becken gepumpt. Das obere Becken liegt 150 m über dem unteren Becken. Wieviel potentielle Energie wird in einem Kubikmeter Wasser gespeichert? Ein Kubikmeter Wasser hat eine Masse von 1000 kg. E pot = m g h E pot = 1000 kg 9,81 m/s m E pot = 1,47 MJ E pot = 0,409 kwh In jeden Kubikmeter Wasser sind 1,47 MJ oder 0,409 kwh potentielle Energie gespeichert. 79

81 Minos Grundlagen Arbeit muss auch verrichtet werden, wenn ein Körper beschleunigt werden soll. Nach der Beschleunigung ist diese Arbeit als kinetische Energie in dem Körper gespeichert. Der Betrag der kinetischen Energie ist dabei genauso groß wie die Arbeit, die zum Beschleunigen aufgewendet wurde. Die kinetische Energie wird auch als Bewegungsenergie bezeichnet. Sie berechnet sich wie folgt: E kin = 1/2 m v 2 Wie bei der Beschleunigungsarbeit geht die Geschwindigkeit mit ihrem Quadrat in die Berechnung ein. Das bedeutet, dass bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit die vierfache Energiemenge gespeichert ist. Die Größe der Beschleunigung geht dabei nicht in die Berechnung mit ein. Beispiel Ein Auto mit einer Masse von 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h. Wie groß ist die kinetische Energie des Autos? Wie hoch ist die kinetische Energie bei einer Geschwindigkeit von 180 km/h? E kin = 1/2 m v 2 E kin = 1/ kg 25 2 m 2 /s 2 E kin = 468,75 kj Und bei der zweiten Geschwindigkeit: E kin = 1/ kg 50 2 m 2 /s 2 E kin = 1875 kj Bei einer Geschwindigkeit von 90 km/h beträgt die kinetische Energie 468,75 kj, bei 180 km/h bereits 1875 kj. Kinetische Energie tritt außer bei geradlinigen Bewegungen auch bei Drehbewegungen auf. Neben der in der Mechanik wichtigen potentiellen und kinetischen Energie gibt es eine Reihe weiterer Energieformen. Thermische Energie ist die ungeordnete Bewegung der einzelnen Atome oder Moleküle eines Stoffes. Chemische Energie ist in den Bindungen von Atomen und Molekülen enthalten. Elektrische und magnetische Energie ist in den entsprechenden Feldern enthalten. Diese Energieformen sollen hier jedoch nicht weiter betrachtet werden. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 43 im Übungsbuch! 80

82 Grundlagen Minos Energieerhaltungsgesetz In den vorangegangenen Aufgaben wurden Berechnungen zur potentiellen und zur kinetischen Energie durchgeführt. Es ist dabei möglich, die eine Energieform in die andere umzuwandeln. Die Gesamtenergie nimmt dabei weder zu noch ab. Der Energieerhaltungssatz der klassischen Mechanik besagt somit, dass die Summe aus der potentiellen und der kinetischen Energie konstant ist. E = E pot + E kin = konstant Bei dieser Aussage wird zunächst die Reibung vernachlässigt. Bezieht man die Reibung mit ein, so wird ein Teil der Energie durch die Reibung in Wärme umgewandelt. Allgemein lässt sich das Energieerhaltungsgesetz so formulieren, dass in einem abgeschlossenen System die Gesamtsumme der Energie konstant bleibt. Das bedeutet, dass in einem abgeschlossenen System keine Energie erzeugt oder vernichtet werden kann. Sie kann nur von einer Form in eine andere Form umgewandelt werden. Das abgeschlossene System ist dabei so definiert, dass kein Austausch von Energie, Stoffen oder Informationen mit der Umwelt stattfindet, also keine Wechselwirkungen mit der Umgebung auftreten. Ein Auto fährt auf einer geraden Strecke mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h. Wie weit kann es mit abgeschalteten Motor auf einen Berg hinaufrollen, wenn die gesamte Bewegungsenergie in potentielle Energie umgewandelt wird? Beispiel E pot = E kin m g h = 1/2 m v 2 g h = 1/2 v 2 h = 1/2 v 2 / g h = 1/ m 2 /s 2 / 9,81 m/s 2 h = 31,8 m Das Auto würde eine Höhe von 31,8 m erreichen. Die Masse des Autos spielt dabei keine Rolle. 81

83 Minos Grundlagen Leistung Beim Begriff der Arbeit wurde nicht berücksichtigt, mit welcher Geschwindigkeit sie verrichtet wird. Durch das Einbeziehen der Zeit, in der die Arbeit verrichtet wird, gelangt man zur Leistung. Die Leistung ist definiert als die verrichtete Arbeit und der dafür benötigten Zeit. Leistung = Arbeit / Zeitabschnitt P = W / t Als Einheit für die Leistung ergibt sich zunächst Joule pro Sekunde. Anstelle dessen wird die Einheit Watt W verwendet. Es wird eine Leistung von einem Watt benötigt, um in einer Sekunde die Arbeit von einem Joule zu leisten. Im technischen Bereich sind eher Leistungen gebräuchlich, die im Bereich von Kilowatt liegen. Kleine Antriebe können aber auch Leistungen haben, die nur im Bereich von Milliwatt liegen. Nicht den SI-Einheiten entspricht die Einheit PS. Sie wird trotzdem im täglichen Leben noch verwendet. Die Umrechnung dafür ist: 1 PS = 0,735 kw 1 kw = 1,36 PS Ersetzt man in der Berechnung der Leistung die Arbeit durch ihre Berechnung aus Kraft und Weg, so erhält man für die Leistung auch folgende Berechnung: P = F v Somit berechnet sich die Leistung auch aus Kraft multipliziert mit der Geschwindigkeit. Beispiel Um einen Anhänger mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h zu ziehen, wird eine Kraft von 500 N benötigt. Wie groß ist dafür die erforderliche Leistung? P = F v P = 500 N 25 m/s P = 12,5 kw Es wird eine Leistung von 12,5 kw benötigt. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 44 im Übungsbuch! 82

84 Grundlagen Minos Wirkungsgrad Unter dem Wirkungsgrad versteht man das Verhältnis von der abgegebenen Leistung zu der aufgenommenen Leistung. Der Wirkungsgrad wird dabei mit dem griechischen Buchstaben Eta bezeichnet. η = P ab / P auf Der Wirkungsgrad ist eine dimensionslose Größe. Um ihn in Prozent angeben zu können, wird der Wert mit 100 multipliziert. Der Wirkungsgrad kann nicht kleiner als 0 und nicht größer als 1 oder 100 % sein. Der fehlende Teil gilt zwar als verloren, er ist jedoch in Wirklichkeit nur in eine andere Energieform umgewandelt worden. Oftmals erfolgt eine Umwandlung in Wärme. Betrachtet man mehrere Maschinen, die hintereinander arbeiten, so werden die einzelnen Wirkungsgrade miteinander multipliziert. Der Gesamtwirkungsgrad ist dabei immer kleiner als der kleinste der einzelnen Wirkungsgrade. Bei thermischen Anlagen wie Heizkraftwerken kann ein Teil der eigentlich verlorenen Wärme für andere Aufgaben wie beispielsweise zur Erzeugung von Fernwärme genutzt werden. Damit erhöht sich wiederum der Wirkungsgrad, wobei dieser in diesem Fall als Anlagenwirkungsgrad bezeichnet wird. Beispiel Ein elektrischer Bohrhammer hat laut Typenschild eine Leistungsaufnahme von 900 W. Die Leistungsabgabe beträgt 540 W. Wie groß ist der Wirkungsgrad der Maschine? η = P ab / P auf η = 540 W / 900 W η = 0,6 Der Wirkungsgrad hat einen Wert von 0,6 oder 60 %. 83

85 Minos Grundlagen 2.12 Wärmelehre Temperatur Die Temperatur eines Körpers, einer Flüssigkeit oder eines Gases ist die mittlere Bewegungsenergie der einzelnen Atome oder Moleküle. Im täglichen Leben wird die Temperatur in Grad Celsius C angegeben. Die Temperatur ist dadurch definiert, dass 0 C dem Schmelzpunkt und 100 C dem Siedepunkt von Wasser entsprechen. Diese Übergänge vom festen zum flüssigen sowie vom flüssigen zum gasförmigen Zustand werden dabei bei einem Druck von 1013,25 mbar ermittelt. Dieser Druck wird auch als Normaldruck bezeichnet. Der Bereich vom Schmelzpunkt zum Siedepunkt wird in einhundert gleich große Abschnitte unterteilt. Wird die Temperatur in C angegeben, so wird dafür das Formelzeichen t verwendet. Auf der Grundlage der SI-Einheiten wird dagegen das Formelzeichen T verwendet. Die Einheit der Temperatur ist das Kelvin K. Eine Temperatur von 0 K ist die niedrigste Temperatur, die überhaupt möglich ist. Die Bewegung der einzelnen Atome und Moleküle ist in diesem Fall gleich Null. Eine Temperatur von 0 K entspricht einer Temperatur von 273,15 C. Dementsprechend sind auch tiefere Temperaturen auf der Celsius-Skala nicht möglich. Die Differenzen von Temperaturen stimmen bei beiden Einheiten überein. Zwischen dem Schmelzpunkt und dem Siedepunkt von Wasser besteht also ebenfalls eine Temperaturdifferenz von 100 K. Daraus ergibt sich für den Schmelzpunkt von Wasser eine Temperatur von 273,15 K und für den Siedepunkt eine Temperatur von 373,15 K. Die Umrechnung erfolgt allgemein nach folgender Formel: T = t + 273,15 wobei T in K eingesetzt wird und t in C. Wird nur eine geringere Genauigkeit benötigt, so kann die Umrechnung auch mit dem Wert 273 erfolgen. Temperaturdifferenzen werden in der Physik in K angegeben, umgangssprachlich wird dagegen der Begriff Grad verwendet. Die Verwendung von Temperaturen mit der Einheit Kelvin ist vorallem in Berechnungen notwendig. Prinzipbedingt gibt es bei der Einheit Kelvin nur positive Werte. Das Einsetzen von Werten in C würden bei vielen Berechnungen falsche Ergebnisse liefern. 84

86 Grundlagen Minos Beispiel Stickstoff hat einen Siedepunkt von 195,8 C. Wie hoch ist die Temperatur in Kelvin? T = 195,8 C + 273,15 T = 77,35 K Stickstoff wird bei einer Temperatur von 77,35 K vom flüssigen in den gasförmigen Zustand übergehen Ausdehnung fester Körper Feste Körper dehnen sich bei Erwärmung in alle Richtungen gleichmäßig aus. Oftmals ist es vorallem wichtig, wie sich die Länge eines Körpers bei einer Temperaturänderung verhält. Die Berechnung der Längenänderung erfolgt nach folgender Formel: l = α l 0 T Dabei ist α der materialabhängige Längenausdehnungskoeffizient, l 0 ist die ursprüngliche Länge und T die Temperaturdifferenz. Der Längenausdehnungskoeffizient kann aus Tabellen entnommen werden. Er wird in 1/K angegeben. Beispiel Die Schiene eines Bahngleises ist 20 m lang. Ihre Temperatur ist durch die Erwärmung in der Sonne um 30 K gestiegen. Wie groß ist die Längenänderung, wenn der Längenausdehnungskoeffizient für Eisen einen Wert von 0, hat? l = α l 0 T l = 0, /K 20 m 30 K l = 0,0074 m = 7,4 mm Durch die Erwärmung dehnt sich die Schiene insgesamt um 7,4 mm aus. 85

87 Minos Grundlagen Ausdehnung von Gasen Gase dehnen sich beim Erwärmen ebenfalls aus, wenn es möglich ist, dass sich ihr Volumen vergrößert. Bleibt das Volumen gleich groß, so steigt dagegen der Druck des Gases an. Die Volumenänderung bei konstantem Druck kann ähnlich wie die Längenänderung bei festen Stoffen berechnet werden. Dabei gilt folgende Formel: V = γ V 0 T Die Volumenänderung berechnet sich somit aus dem Volumenänderungskoeffizienten, dem ursprünglichen Volumen und der Temperaturdifferenz. Im Gegensatz zu den festen Stoffen dehnen sich alle Gase fast gleich aus. Für die Praxis kann deshalb für den Volumenänderungskoeffizienten folgender Wert verwendet werden: γ = 1/273,15 1/K = 0, /K Diese Formel würde jedoch bedeuten, dass das Volumen eines Gases bei einer Temperatur von 0 K auch gleich Null würde. Der Wert für γ gilt deshalb genau genommen nur für ideale Gase, die sich bei tiefen Temperaturen auch nicht verflüssigen. Für die in der Praxis weitgehend üblichen Temperaturbereiche können Gase aber fast immer als ideale Gase betrachtet werden. Das gilt im besonderen auch für Luft. Beispiel In einem Raum befinden sich 50 m 3 Luft. Die Temperatur der Luft erwärmt sich um 20 K. Wieviel Luft muss durch Undichtigkeiten aus dem Raum entweichen, damit der Druck nicht ansteigt? V = γ V 0 T V = 0, /K 50 m 3 20 K V = 3,661 m 3 Beim Erwärmen der Luft um 20 K nimmt das Volumen um 3,661 m 3 zu. Wie bereits erwähnt, steigt bei der Erwärmung von Gasen der Druck an, wenn sich das Volumen nicht vergrößern kann. Dabei gilt folgende Formel: p = γ p 0 T Auch diese Berechnung gilt vorallem für ideale Gase. 86

88 Grundlagen Minos Wärmeenergie und Wärmekapazität Beim Erwärmen eines Körpers wird ihm Energie zugeführt. Diese Energie ist in dem Körper gespeichert, solange die Temperatur gleich bleibt. Umgekehrt kann ein Körper Energie abgeben, wenn er sich abkühlt. Die in einem Körper enthaltene Wärmeenergie wird mit Q bezeichnet und wie andere Energiearten in Joule oder kwh angegeben. Die Menge der Energie, die zum Erwärmen eines Körpers benötigt wird, hängt dabei von dem Material des Körpers, von seiner Masse und von Höhe der Temperaturänderung ab. Die Berechnung erfolgt nach folgender Formel: Q = c m T Die spezifische Wärmekapazität c ist dabei vom Material des Körpers abhängig. Sie wird in J/(kg K) angegeben. Die Wärmekapazität C beschreibt die Energiemenge, die für die Erhöhung der Temperatur eines Körpers benötigt wird. Sie wird in J/K angegeben. Es gilt die Formel: C = Q / T = c m Beispiel Wieviel Energie wird benötigt, um ein Kilogramm Wasser von 20 C auf 70 C zu erwärmen? Die spezifische Wärmekapazität von Wasser bei 20 C beträgt 4180 J/kgK. Q = c m T Q = 4,18 kj/kgk 1 kg 50 K Q = 209 kj Für die Erwärmung werden 209 kj benötigt. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 45 im Übungsbuch! 87

89 Minos Grundlagen 88

90 Grundlagen Minos 3 Technisches Zeichnen 3.1 Grundlagen des technischen Zeichnens Die technische Zeichnung als Kommunikationsmittel der Technik In der heutigen Zeit werden Produkte nicht mehr nur von einer Person hergestellt, sondern es findet eine weitgehende Arbeitsteilung statt. Schon während der Entwicklung werden Produkte in mehreren Abteilungen entworfen und in verschiedenen Werkstätten gebaut. Die Produktion kann in verschiedenen Werken sogar weltweit erfolgen. Viele Bestandteile sind Normteile oder werden von Zulieferbetrieben zugekauft. Damit keine Missverständnisse auftreten, ist eine eindeutige und zuverlässige Verständigung zwischen den verschiedensten Personen und Abteilungen erforderlich. Trotz Einsatz moderner Computertechnik spielt die technische Zeichnung eine wesentliche Rolle bei der Verständigung sowie zum Übertragen von Informationen. In der technischen Zeichnung werden die dreidimensional vorhandenen Werkstücke maßgetreu und in nur noch zwei Dimensionen abgebildet. Alle zur Fertigung erforderlichen Informationen können in der technischen Zeichnung enthalten sein. Dazu gehören beispielsweise: die Maße und Toleranzen, die Oberflächenangaben, der verwendete Werkstoff, die Wärmebehandlung, der Korrosionsschutz, Montageanweisungen. Damit diese Vielzahl der Informationen von jedem Techniker oder Handwerker verstanden werden kann, müssen technische Zeichnungen nach bestimmten Regeln erstellt werden. Diese Regeln werden als Zeichnungsnormen bezeichnet. Durch die Normung wird die Durchführung von wiederkehrenden Aufgaben vereinheitlicht. Zu diesen Aufgaben gehören: das Erstellen von technischen Zeichnungen, das Festlegen von Form, Ausführung und Größe von Normteilen, das Festlegen von Anschlussmaßen, das Festlegen von Prüfverfahren, das Festlegen von Bezeichnungen. 89

91 Minos Grundlagen Die Normen stellen Regeln im Bereich der Technik dar. Durch ihre Beachtung wird das Austauschen und Kombinieren von Informationen und Produkten möglich. Es werden verschiedene Normen mit unterschiedlichen Geltungsbereichen unterschieden. DIN-Normen Das Deutsche Institut für Normung e.v. gibt die DIN-Normen heraus. Dabei werden die Inhalte von einzelnen Fachnormausschüssen erarbeitet, zu denen Vertreter aus der Industrie, der Forschung, aus Interessenvertretungen und Behörden gehören. Die DIN-Normen können kostenpflichtig vom Beuth-Verlag bezogen werden. ISO-Normen Die ISO-Normen sind international gültig. Sie werden in einer Internationalen Organisation für Normung, der International Organization for Standardization, erarbeitet. Für die Bundesrepublik Deutschland ist das Deutsche Institut für Normung e.v. Mitglied der ISO. Durch die ISO-Normen soll die weltweite Zusammenarbeit auf dem Gebiet der Technik gefördert werden. Neben technischen Normen gibt es beispielsweise auch Normen für das Qualitätsmanagment, wie die ISO EN-Normen Für die europäischen Normen ist das Europäische Komitee für Normung zuständig. Die DIN EN-Normen gelten vorallem in Westeuropa. Sie werden unter Berücksichtigung der ISO-Normen erstellt und gelten in allen technischen Bereichen außer der Elektrotechnik und der Telekommunikation. Für diese Bereiche ist das Europäisches Komitee für elektrotechnische Normung und das Europäische Institut für Telekommunikationsnormen zuständig Zeichnungsarten Die Anforderungen an eine Zeichnung können sehr unterschiedlich sein. Aus diesem Grund werden verschiedene Zeichnungsformen unterschieden. Diese Zeichnungsformen sind in der DIN 199 Teil 1 zu finden. Die Unterscheidung der Zeichnungsformen kann nach verschiedenen Gesichtspunkten erfolgen. Die gebräuchlichsten werden im Folgenden beschrieben. Die Begriffe sind dabei nicht vollständig aufgeführt. 90

92 Grundlagen Minos Art der Darstellung Nach der Art der Darstellung unterscheidet man Skizzen und Zeichnungen. Dabei sind Skizzen nicht maßstäblich. Sie werden häufig freihändig erstellt. Das Zeichnen einer Skizze erfolgt meistens mit einem Bleistift. Als Zeichnung wird dagegen eine aus Linien bestehende bildliche Darstellung bezeichnet. Alle Zeichnungen, die zur Darstellung oder Herstellung eines Gegenstandes erforderlich sind, werden in einem Zeichnungssatz zusammengefasst. Art der Anfertigung Zunächst wird zwischen der Original-Zeichnung und der Vervielfältigung unterschieden. Dabei ist das Original das Muster für die Kopien und somit die verbindliche Zeichnungsversion. Das Erstellen des Originals kann auf die klassische Weise mit Bleistift oder Tusche erfolgen. In heutiger Zeit werden jedoch die Zeichnungen vor allem mittels Computerprogrammen erzeugt. Auch hier ist jedoch darauf zu achten, dass konstruktive Änderungen nur am Original durchgeführt werden dürfen. Inhalt der Zeichnung Die Gesamtzeichnung enthält eine Maschine, eine Anlage oder ein Gerät im zusammengebauten Zustand. Die Gruppenzeichnung dagegen zeigt maßstabsgetreu die räumliche Lage und die Form der zu einer Gruppe zusammengehörigen Teile. Ein einzelnes Teil ohne seine räumliche Zuordnung zu anderen Teilen wird in einer Einzelteilzeichnung oder auch Teilzeichnung abgebildet. Zweck der Zeichnung In der Entwurfszeichnung werden Teile dargestellt, über deren genaue Ausführung noch nicht endgültig entschieden wurde. Die Angaben zur Herstellung eines Teils oder zu dessen Montage enthält die Fertigungszeichnung. Die Fertigungszeichnungen werden weiterhin unterteilt in Zeichnungen für die Bearbeitung sowie Zusammenbauzeichnungen, die der Erläuterung der Zusammenbauvorgänge dienen. Die Konstruktionszeichnung dagegen zeigt zwar das Teil in seinem Endzustand, sie enthält aber nicht alle Fertigungsangaben. Weiterhin werden noch Zeichnungen für das Erstellen von Angeboten und Zeichnungen für das Einreichen von Patenten unterschieden. 91

93 Minos Grundlagen Papierformate Die DIN 476 legt den Aufbau der Papierformate fest. Das Ausgangsformat A0 ist ein Rechteck mit einer Fläche von 1 m 2. Das Verhältnis der beiden Seiten beträgt dabei 1 : 2, die lange Seite ist also 1,4142 mal so lang wie die kurze Seite. Die Papierformate sind in der DIN T6 festgelegt. Halbiert man dieses Format A0, so erhält man zwei gleich große Teile, die das nächst kleinere Format A1 aufweisen. Durch weiteres Teilen entstehen die anderen Formate A2, A3, A4, A5, A6 und kleinere. Eine normale Seite zum Schreiben oder Drucken hat das Format A4. Die Formate der einzelnen Seiten werden auf ganze Millimeter gerundet. Die einzelnen Größen sind: A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 841 x 1189 mm 594 x 841 mm 420 x 594 mm 297 x 420 mm 210 x 297 mm 148 x 210 mm 105 x 148 mm 74 x 105 mm. A0 841x1189 mm A2 A1 A4 A3 A6 A7 A5 Bild 25: Papierformate 92

94 Grundlagen Minos Die Papierformate können alle in Hoch- oder Querformat verwendet werden. Bei der Größe A4 wird jedoch das Hochformat bevorzugt verwendet. Zusätzlich zu den Papierformaten der A-Reihe gibt es noch die B-Reihe, die C-Reihe und die D-Reihe. Die Formate der B-Reihe errechnen sich aus dem geometrischen Mittel der A-Reihe. Das Format B0 berechnet sich somit aus dem Format A0 und dem doppelt so großem Format 2A0. Somit ergibt sich für B0 B0 = A0 x 2A0 B0 = (841 mm x 1189 mm) x (1189 mm x 1682 mm) B0 = 1000 mm x 1414 mm. Die C-Reihe wird wiederum aus dem geometrischen Mittel gleicher Seiten bei gleichen Formaten der A-Reihe und der B-Reihe gebildet. C0 = (kleine Seiten) A0 x B0) x (große Seiten) A0 x B0) C0 = (841 mm x 1000 mm) x (1189 mm x 1414 mm) C0 = 917 mm x 1297 mm. Die D-Reihe schließlich wird aus dem geometrischen Mittel der Werte des A-Formates mit dem nächst kleineren Werten des B-Formates ermittelt D0 = A0 x B1 D0 = (841 mm x 1189 mm) x (707 mm x 1000 mm) D0 = 771 mm x 1091 mm Insgesamt sind bei gleichen Nummern die B-Formate größer als die A- Formate. Die C-Formate liegen zwischen der B-Reihe und der A-Reihe. Die Formate der D-Reihe sind am kleinsten. Beispiel B0 = 1000 x 1414 mm C0 = 917 x 1297 mm A0 = 841 x 1189 mm D0 = 771 x 1091 mm B4 = 250 x 353 mm C4 = 229 x 324 mm A4 = 210 x 297 mm D4 = 192 x 272 mm Die Formate in Nordamerika basieren abweichend davon auf Zollmaßen. 93

95 Minos Grundlagen Schriftfelder und Stücklisten Die technischen Zeichnungen werden alle mit einem Schriftfeld versehen. Dieses Schriftfeld wird immer unten und rechts angeordnet. Das Grundschriftfeld ist 187 mm breit und 55 mm hoch. Diese Maße und der Inhalt sind in der DIN 6771, Teil 1 festgelegt. Seit dem Jahr 2004 ist diese DIN durch die DIN EN ISO 2700 ersetzt. Im linken Teil des Grundschriftfeldes werden Änderungen eingetragen. Dazu ist das Datum der Änderung und der Name des Bearbeiters hinzuzufügen. Das größere Feld darüber steht zur freien Verfügung. Im mittleren Teil wird unten die Firma eingetragen. Darüber werden das Datum der Bearbeitung und der Name des Bearbeiters eingefügt. Auch das Datum und der Bearbeiter für die Überprüfung der Zeichnung werden festgehalten. Darüber sind Felder vorgesehen für die zulässigen Abweichungen und für die Oberfläche des Werkstücks. Im rechten Teil des Schriftfeldes befindet sich unten die Zeichnungsnummer. Rechts daneben wird eingetragen, aus wievielen zusammengehörigen Blättern die Zeichnung insgesamt besteht. (Verwendungsbereich) (Zul. Abw.) (Oberfläche) Maßstab (Werkstoff, Halbzeug) (Rohteil-Nr) (Modell- oder Gesenk-Nr) (Gewicht) Datum Name (Benennung) Bearb. Gepr. Norm (Firma des Zeichnungserstellers) (Zeichnungsnummer) Blatt Zust Änderung Datum Name (Urspr.) (Ers. f.:) (Ers. d.:) Bl. Bild 26: Zeichnungskopf 94

96 Grundlagen Minos Weiter oben wird die Benennung des in der Zeichnung dargestellten Teiles eingetragen. Der Werkstoff, aus dem das Teil besteht, kommt in das Feld darüber. Ganz oben im rechten Teil des Schriftfeldes wird der Maßstab und rechts daneben das Gewicht des Werkstückes festgehalten. Sollte für weitere Informationen das Grundschriftfeld nicht ausreichen, so kann es durch weitere Felder ergänzt werden. Die Einzelteile einer Baugruppe oder eines ganzen Erzeugnisses werden in Stücklisten aufgeführt. Sie werden entweder mit auf die Gruppenoder Zusammenbauzeichnungen über das Schriftfeld gesetzt oder gesondert dargestellt. Die Stücklisten erhalten dann ein ähnliches Schriftfeld wie die Zeichnungen. Für Stücklisten der Form A werden Zeichenblätter im Format A4 oder A3 hochkant verwendet. In die Tabelle werden folgende Werte eingetragen: Position, Menge, Einheit, Benennung, Sachnummer, Bemerkung. Die Stücklisten der Form B gibt es nur im Format A4 quer. In die Tabelle werden folgende Werte eingetragen. Position, Menge, Einheit, Benennung, Sachnummer, Werkstoff, Gewicht in kg/einheit, Bemerkung. 95

97 Minos Grundlagen Maßstäbe Beim Zeichnen von Teilen ist es oftmals nicht möglich, diese in originaler Größe abzubilden. Ein ganzes Gebäude kann nicht auf einem Blatt Papier gezeichnet werden, die Teile einer Uhr können dagegen so klein sein, dass nichts mehr zu erkennen wäre. In anderen Fällen ist es einfach nicht sinnvoll, die Teile in ihrer wahren Größe darzustellen. Um große Teile zeichnerisch darstellen zu können, werden sie verkleinert gezeichnet. Umgekehrt werden kleine Teile vergrößert. Für die Vergrößerung und Verkleinerung sind feste Staffelungen festgesetzt. So können beispielsweise auch für Zeichnungen verschiedener Vergrößerung oder Verkleinerungen gleiche Schablonen verwendet werden. Die Staffelung der Maßstäbe ist in der DIN ISO 5455 festgelegt. Sie beträgt immer dezimale Vielfache von den Werten 1, 2 und 5. Zeichnungen von Bauteilen in natürlicher Größe werden im Maßstab 1:1 erstellt. Das bedeutet, dass jeder Millimeter auf der Zeichnung einem Millimeter im Original entspricht. Eine Verkleinerung großer Gegenstände kann beispielsweise im Maßstab 1:2 erfolgen. Hier entspricht jeder Millimeter der Zeichnung zwei Millimetern im Original. Somit ist die Zeichnung nur halb so groß wie das Teil in Wirklichkeit ist. Vergrößerungen können im Maßstab 2:1 erfolgen. Jeder Millimeter des Originals wird durch zwei Millimeter in der Zeichnung dargestellt. Die Zeichnung ist deshalb doppelt so groß wie das Original. Folgende Maßstäbe dürfen beispielsweise verwendet werden: Natürliche Größe: 1:1 Verkleinerung: 1:2 1:5 1:10 1:20 1:50 1:100 1:200 1:500 1:1000 Vergrößerung: 2:1 5:1 10:1 20:1 50:1 100:1 200:1 500:1 1000:1 Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 46 im Übungsbuch! 96

98 Grundlagen Minos 3.2 Darstellungen in Zeichnungen Ansichten Beim Erstellen von Zeichnungen ist es im Allgemeinen nicht ausreichend, ein Teil nur von einer Seite zu zeichnen. Damit ist es nicht möglich, alle notwendigen Informationen darzustellen. Das Teil muss also in mehreren Ansichten gezeichnet werden. Die Darstellung der verschiedenen Ansichten erfolgt dabei durch ein gedachtes Umklappen des Werkstückes auf dem Blatt Papier. Je nachdem, wie das Teil liegt, wird die oben liegende Ansicht gezeichnet. Zunächst wird die Vorderansicht gezeichnet. Die beiden Seitenansichten werden durch das gedachte Umklappen nach links oder rechts erzeugt. Darunter wird die Draufsicht auf das Teil angeordnet. Reichen diese Ansichten nicht aus, so kann ganz rechts die Rückansicht und oben die Unteransicht dargestellt werden. Es müssen aber nur diese Ansichten gezeichnet werden, die weitere Informationen enthalten, die bisher nicht dargestellt waren. Ein Abweichen von dem Darstellen durch Umklappen muss unbedingt mit angegeben werden. Bild 27: Ansichten 97

99 Minos Grundlagen Linienarten und Liniendicken In technischen Zeichnungen werden unterschiedliche Liniendicken sowie verschiedene Arten von Linien verwendet. Die Zeichnung wird dadurch übersichtlicher und besser lesbar. Abhängig vom Format der Zeichnung sollten in einer Zeichnung nur zwei Liniendicken verwendet werden. Zusätzlich ist eine dritte Liniendicke für die Beschriftung möglich. Für eine Zeichnung im Format A1 wird die Liniengruppe 1 verwendet. Dicke Linien werden mit einer Breite von 1,0 mm gezeichnet. Für dünne Linien wird eine Linienbreite von nur 0,5 mm verwendet. Die Schriften dagegen werden mit einer Linienbreite von 0,7 mm erstellt. Bei einer Zeichnung im Format A4 kommt die Liniengruppe 0,5 zum Einsatz. Hier sind die dicken Linien entsprechend 0,5 mm breit, während die dünnen Linien eine Breite von 0,25 mm haben. Die Linien von Schriften sind 0,35 mm breit. Eine dicke Vollinie wird bei sichtbaren Kanten verwendet. Auch die Gewindetiefe sowie die Spitzen des Gewindes werden durch eine dicke Vollinie begrenzt. Die schmale Vollinie wird dagegen eingesetzt, um Maß- oder Hilfslinien zu zeichnen. Auch Schraffuren werden mit schmalen Vollinien erstellt. Für den Gewindegrund sind ebenfalls dünne Vollinien zu verwenden. Freihandlinien werden ebenfalls dünn gezeichnet. Sie werden verwendet, um den Verlauf einer geschnittenen Darstellung abzugrenzen. Mit Strich-Linien werden Kanten gezeichnet, die verdeckt und somit nicht sichtbar sind. Diese Linien werden ebenfalls schmal gezeichnet. Mittellinien werden mit einer Strich-Punkt-Linie gezeichnet. Auch Teilkreise bei Verzahnungen oder Lochkreise werden so dargestellt. Diese Linien sind ebenfalls dünn. Eine dicke Strich-Punkt-Linie dagegen kennzeichnet beispielsweise eine geforderte Wärmebehandlung. Weiterhin sind schmale Strich-Zweipunkt-Linien möglich. Sie stellen beispielsweise dar, welche Grenzstellung bewegliche Teile einnehmen können. 98

100 Grundlagen Minos Schnitte Nicht alle Abmessungen eines Körpers sind von außen sichtbar. Um die inneren Kanten zeichnen zu können, wird das Teil zeichnerisch aufgeschnitten. Die geschnittenen Flächen werden mit einer dünnen Vollinie schraffiert dargestellt. Da die dann sichtbaren Schnittkanten Begrenzungen des Körpers sind, werden sie mit einer dicken Vollinie gezeichnet. Die Schraffur wird immer unter einem Winkel von 45 gezeichnet. Stoßen mehrere geschnitten dargestellte Flächen zusammen, so ist entweder die Schraffur entweder im entgegengesetzten Winkel zu zeichnen oder der Abstand der Schraffurlinien ist zu verändern. Es müssen jedoch alle geschnittenen Flächen, die zu einem Körper gehören, in der gleichen Weise schraffiert werden. Lässt sich nicht eindeutig erkennen, wo das Teil geschnitten wurde, so muss in einer ungeschnittenen Ansicht die Schnittlinie eingezeichnet werden. Für diesen Schnittverlauf ist eine breite Strich-Punkt-Linie zu verwenden. An die Linie des Schnittverlaufs werden außerhalb des Werkstückes Pfeile angezeichnet. Diese stellen dar, von welcher Richtung aus auf die geschnittene Fläche gesehen wird. Jeder Pfeil wird dabei mit einem Großbuchstaben bezeichnet. Ist die Schnittlinie nicht gerade durchgängig sondern abgesetzt, so müssen auch diese Knickstellen bezeichnet werden. Bild 28: Schraffur 99

101 Minos Grundlagen Über den Schnittdarstellungen wird die Sichtrichtung beschrieben. So bedeutet beispielsweise Schnitt A-B, dass die entsprechende Schnittzeichnung das geschnittene Bauteil entlang der Schnittlinie zeigt, die mit den Buchstaben A und B bezeichnet ist. Es werden jedoch nicht alle Bauteile geschnitten dargestellt. Nicht geschnitten werden beispielsweise Schrauben, Muttern und Scheiben, Nieten und Bolzen, Wellen, Kugeln oder Rollen von Wälzlagern, Paßfedern und Stifte, Zähne von Zahnrädern, Rippen oder Stege. Es ist auch möglich, nur einen Teil des Werkstückes geschnitten zu zeichnen. Der geschnittene Bereich wird entweder durch eine Mittellinie begrenzt oder durch eine Freihandlinie. Bild 29: Schnitte 100

102 Grundlagen Minos 3.3 Maßeintragungen in Zeichnungen Neben der Darstellung des Teiles sollen aus einer Zeichnung auch verschiedene Maße entnommen werden können. Das Eintragen der Maße ist in DIN 406 festgelegt. Die Hauptmaße bezeichnen die größte Länge, Breite und Höhe der gezeichneten Teiles. Die Fertigungsmaße dagegen sind Maße, die bei der Fertigung benötigt werden. Als Funktions- und Anschlussmaße werden die Maße bezeichnet, die für das Zusammenwirken mehrerer Teile erforderlich sind. Die Maße, die geprüft werden müssen, werden als Prüfmaße bezeichnet Maßlinien, Maßhilfslinien und Maßzahlen Zum Eintragen der Maße in die Zeichnung werden Maßlinien verwendet. Dabei handelt es sich um dünne Vollinien. Es dürfen keine Mittellinien oder Körperkanten als Maßlinien benutzt werden. Die Maßlinien sollen einen Abstand von 10 mm von dem Körper haben. Weitere Maßlinien können in einem Abstand von 7 mm gezeichnet werden. An das Ende der Maßlinien werden Maßpfeile gezeichnet. Dabei handelt es sich um schmale, voll gezeichnete Pfeile. Die Länge der Maßpfeile beträgt das Fünffache der Linienstärke. Es können als Abschluss aber auch Schrägstriche oder Punkte verwendet werden. Pro Zeichnung ist aber nur eine Art der Maßlinienbegrenzung zulässig. Die Maßlinien werden bis an die zu bemaßende Körperkante gezeichnet. Ist dies nicht möglich, so werden Maßhilfslinien verwendet. Diese dienen dazu, die Maßlinien parallel zu verschieben. Die Maßhilfslinien sollen 2 mm über die Maßlinien hinausragen. Sie dürfen aber nicht von einer Ansicht bis zur nächsten Ansicht gezogen werden. Für die Eintragung der Maße wird die Normschrift nach DIN 6776 verwendet. Diese Maßzahlen werden an die Maßlinie geschrieben. Alle Maße werden grundsätzlich in mm angegeben. Aus diesem Grund brauchen keine Einheiten in der Zeichnung angegeben werden. Die Maßzahlen müssen so an die Maßlinien geschrieben werden, dass sie von rechts oder von unten zu lesen sind. Geänderte Maße, die nicht mehr maßstabsgerecht sind, werden unterstrichen. Die Prüfmaße sind oval eingerahmt. Bei mittels CAD erstellten Zeichnungen darf die Maßlinie von der Maßzahl unterbrochen werden. Auch dürfen die Maßpfeile aus nur zwei Linien bestehen. Weiterhin müssen die Maßhilfslinien nicht über die Maßlinien hinausstehen. 101

103 Minos Grundlagen Besonderheiten bei der Bemaßung Mit Maßlinien und Maßhilfslinien lassen sich leicht gerade Kanten bemaßen. Für Rundungen und Kugeln sind jedoch weitere Bemaßungsregeln erforderlich. Bei Radien wird vor die Maßzahl der Buchstabe R gesetzt. Der Maßpfeil zeigt auf die Rundung. Das andere Ende des Maßpfeiles muss durch den Mittelpunkt des Kreises gehen. Der Mittelpunkt des Kreises braucht aber nur dann mit eingezeichnet zu werden, wenn er für die Funktion oder die Fertigung erforderlich ist. Wenn in der Darstellung die Kreisform nicht zu erkennen ist, so muss das Durchmesserzeichen Ø der Maßzahl vorangestellt werden. Liegt der Kreismittelpunkt der Rundung zu weit entfernt um ihn mit einzeichnen zu können, so wird die Maßlinie verkürzt. Dies geschieht durch einen kurzen rechtwinkligen Versatz. Bei kleinen Radien kann der Platz zwischen Kreismittelpunkt und Radius nicht ausreichen, um den Maßpfeil mit der Maßzahl dazwischen einzutragen. In diesem Fall ist der Maßpfeil mit der Maßzahl außen an den Radius zu zeichnen. Die Radien an Kanten sind in der Zeichnung oft nicht zu erkennen. Deshalb werden sie ohne Mittelpunkt gezeichnet. Es zeigt nur der Maßpfeil mit der Maßzahl für den Kantenradius auf die zu bezeichnende Kante. Bei Kugeln wird der Maßzahl das Durchmesserzeichen Ø vorangestellt. Ist dagegen der Mittelpunkt nicht mit eingezeichnet, so wird statt dessen der Buchstabe R verwendet. Bild 30: Maße an Rundungen 102

104 Grundlagen Minos Rechteckflächen können mit einem Diagonalkreuz gekennzeichnet werden. Die ist vorallem dann erforderlich, wenn diese Fläche als Rechteckfläche erkennbar sein muss, dies aber in der Zeichnung nicht zu erkennen ist. Für das Diagonalkreuz ist eine dünne Vollinie zu verwenden. Werden zwei gegenüberliegende Rechteckflächenan einem Runden Teil dazu verwendet, dass ein Schraubenschlüssel an dieser Stelle angesetzt wird, so ist die Angabe der Schlüsselweite möglich. Diese wird durch die Buchstaben SW symbolisiert. An verschiedenen Teilen können auch schräge Flächen auftreten. Bei einem Kegel handelt es sich um eine gleichmäßige Querschnittsveränderung von Kreisquerschnitten. Als Verjüngung wird eine Querschnittsänderung bezeichnet, wenn sich diese gleichmäßig an einem prismatischen Querschnitt ändert. Hiebei kann es sich beispielsweise um einen pyramidenförmigen Körper handeln. Als Neigung wird die Querschnittsänderung benannt, wenn sich diese Änderung nur einseitig ändert. Die Bemaßung kann durch die Angabe des Winkels erfolgen oder durch die Angabe des Steigungsverhältnisses. Entsprechend der DIN 254 sollen folgende Kegel verwendet werden: leicht lösbare Kegel: 1: : selbsthemmende Kegel: 1: : : : Bei der Bezeichnung mit dem Steigungsverhältnis wird den Zahlen ein Dreieck vorangestellt. Dieses Dreieck muss dabei in die Richtung der Neigung zeigen. 103

105 Minos Grundlagen 3.4 Oberflächenbeschaffenheit Beim Bearbeiten von Werkstücken entstehen auf den Oberflächen mehr oder weniger tiefe Rillen, Riefen oder andere Unebenheiten. Die Qualität der Oberfläche wird von der Anzahl und Tiefe dieser Unebenheiten bestimmt. Mit dem Begriff Rauheit wird die Oberflächenqualität beschrieben. Eine glatte Oberfläche besteht aus vielen kleineren Rillen. Je tiefer und damit auch größer die Rillen sind, desto schlechter ist die Qualität der Oberfläche. Die Tiefe der Unebenheiten wird als Rauhtiefe R t bezeichnet. Dabei wird der Abstand von der Höhe einer Unebenheit bis zur tiefsten Stelle gemessen. Die Rauheit wird in µm angegeben, also in Tausendstel Millimetern. Diese Angabe der Rauheit bezieht sich allerdings nur auf eine einzige Vertiefung. Da die Oberflächen jedoch mit einer Vielzahl von Unebenheiten überzogen sind, werden die unterschiedlichen einzelnen Rauhtiefen zu einem Wert zusammengefasst. In der DIN 4768 sind dafür zwei Rauheitsmessgrößen festgelegt. Mit dem Mittenrauhwert R a wird der arithmetische Mittelwert aller Unebenheiten entlang einer zu messenden Strecke bezeichnet. Es werden also alle Unebenheiten zusammengezählt und durch die Anzahl der Unebenheiten geteilt. Sehr selten vorkommende, aber besonders tiefe Unebenheiten fallen bei dieser Berechnung allerdings kaum ins Gewicht. Bei der gemittelten Rauhtiefe R z wird eine Messstrecke in fünf gleich große Teilstücke aufgeteilt. Die Rauhtiefen dieser einzelnen gemessenen Strecken werden addiert und durch die Anzahl der Messungen geteilt. Die Mittenrauhwerte R a können auch als Rauheitsklassen N angegeben werden. Dabei bedeuten höhere Werte der Rauheitsklasse auch eine rauhere Oberfläche. Folgende Mittenrauhwerte R a entsprechen dabei den Rauheitsgraden: Mittenrauhwert Ra (in µm) Rauheitsgrad Nr. 50 N12 25 N11 12,5 N10 6,3 N9 3,2 N8 1,6 N7 0,8 N6 0,4 N5 0,2 N4 0,1 N3 0,05 N2 0,025 N1 104

106 Grundlagen Minos Bei verschiedenen Fertigungsverfahren werden unterschiedliche Oberflächenqualitäten erreicht. Die folgenden Angaben für Mittenrauhwerte R a stellen einige Beispiele dar. Die Werte in Klammern werden dabei nur bei besonderer Sorgfalt oder bei besonders grober Fertigung erreicht. Urformen: Sandformgießen 12,5-50 Druckgießen 3,2-50 Feingießen (0,8) 1,6-3,2 (6,3) Umformen: Gesenkschmieden (0,8) 3,2-12,5 (25) Tiefziehen (0,2) 1,6-3,2 (6,3) Strangpressen (0,8) 3,2-12,5 (25) Tennen: Längsdrehen (0,2) 0,8-12,5 (50) Plandrehen (0,4) 0,8-12,5 (50) Feilen (0,4) 1,6-12,5 (25) Bohren (1,6) 6,3-12,5 (25) Schleifen (0,1) 0,4-3,2 (12,5) 105

107 Minos Grundlagen Angabe der Oberflächenbeschaffenheit in der Zeichnung Nach der DIN ISO 1302 werden Oberflächen entsprechend ihrer Beschaffenheit mit Symbolen gekennzeichnet. Anhand dieser Symbole kann man erkennen, welche Rauhigkeit die Oberfläche aufweist, wie sie bearbeitet wurde oder ob sie beispielsweise mit einer Lackierung versehen ist. Das Grundsymbol, das ohne Ergänzungen nicht sinnvoll ist, wird durch ein hakenförmiges Zeichen gebildet. Ist der Haken oben geschlossen, so wird eine materialabnehmende Bearbeitung gefordert. Die Oberfläche muss also durch Drehen, Fräsen, Hobeln oder ähnlichen Bearbeitungsverfahren entstanden sein. Beim Symbol für eine spanlose Bearbeitung der Oberfläche ist innerhalb des Hakens ein Kreis eingefügt. Die Oberfläche wurde also durch eine Bearbeitung wie Walzen, Schmieden oder Gießen gebildet. Die Grundsymbole werden durch weitere Angaben ergänzt. Diese werden an verschiedenen Stellen des Grundsymbols hinzugefügt. a b c d e f Mittenrauhwert Ra in µm oder Rauheitsklasse N Fertigungsverfahren, Oberflächenbehandlung, Überzug Bezugsstrecke Rillenrichtung Bearbeitungszugabe in mm andere Rauhigkeitsmessgrößen Das Symbol für die Rauhigkeit wird normalerweise direkt an die zu bezeichnende Fläche angefügt. Dies ist jedoch nicht immer möglich. In diesem Fall wird eine dünne Vollinie vom Symbol für die Oberflächenbeschaffenheit zur Oberfläche des Werkstückes gezogen und mit einem Pfeil versehen. a e d b c (f) Geschliffen R z 0,8 Bild 31: Symbole der Oberflächenbeschaffenheit 106

108 Grundlagen Minos Es ist jedoch auch möglich, an der Oberfläche nur das Grundsymbol ohne Ergänzungen anzubringen und mit einer Kurzbezeichnung zu versehen. Direkt über dem Schriftfeld der Zeichnung wird dieses Kurzzeichen dem vollständigen Symbol gegenübergestellt und damit erläutert. 3.5 Form- und Lagetoleranzen Die Symbole für die Oberflächenbeschaffenheit beziehen sich nur auf die Rauheit der Außenfläche eines Werkstückes. Bei der Fertigung gibt es aber auch Abweichungen von der theoretischen Form und der Lage der Bestandteile eines Teiles. Die Form- und Lagetoleranzen dagegen beziehen sich somit auf die Anordnung mehrerer Körper zueinander. Sie legen fest, wie eben eine Fläche sein muss, in welchem Winkel Teile zueinander stehen oder ob sich Bohrungen an der richtigen Stelle befinden. Die Toleranzen für Form und Lage werden aber nur dann mit in die Zeichnung aufgenommen, wenn sie für die Fertigung oder für die Funktion bedeutsam sind. Auch für die Austauschbarkeit verschiedener Werkstücke sind diese Toleranzen wichtig. Geradheit 0.02 A Rechtwinklichkeit 0.02 A Ebenheit 0.02 A Neigung 0.02 A Rundheit 0.02 A Position 0.02 A Zylinderform 0.02 A Konzentrität 0.02 A Profil einer Linie 0.02 A Symmetrie 0.02 A Profil einer Fläche 0.02 A Lauf 0.02 A Parallelität 0.02 A Gesamtlauf 0.02 A Bild 32: Symbole für tolerierte Eigenschaften 107

109 Minos Grundlagen Die Formtoleranzen legen fest, inwieweit Abweichungen von der vorgegebenen Form auftreten können. Zu ihnen zählen die Geradheit, die Ebenheit, die Rundheit, die Zylinderform, die Linienform und die Flächenform. Die Toleranzen werden in einem Rahmen angegeben. Links ist das entsprechende Symbol für die Toleranzform abgebildet. Rechts daneben wird der Zahlenwert für die Abweichung angegeben. Mit einem Pfeil wird angezeigt, worauf sich die Toleranzangabe bezieht. Bei der Rundheit wird durch den Toleranzwert beispielsweise festgelegt, wieweit der wirkliche Umfang des Teiles von zwei ineinanderliegenden konzentrischen Kreisen abweicht. Der Abstand zwischen diesen beiden Kreisen wird durch den Toleranzwert angegeben. Ähnliches gilt für die Ebenheit. Hier werden zwei parallele Flächen festgelegt, die einen Abstand zueinander entsprechend dem Toleranzwert haben. Zwischen diesen beiden Flächen muss die Oberfläche der tolerierten Fläche befinden. Bei der Zylinderform werden durch die Toleranzwerte zwei Zylinder vorgegeben, die sich ineinander befinden und einen Abstand voneinander aufweisen, der vom Toleranzwert bestimmt wird. Die Zylinderoberfläche des Werkstückes muss sich wie bei der Ebenheit zwischen diesen beiden Zylindern befinden. Entsprechend gelten die Toleranzwerte für die Abweichung einer Achse bei der Geradheit und der Abweichung einer Linie oder gewölbten Fläche bei der Linienform und der Flächenform. Toleranzrahmen Toleranzwert Symbol Bezug 0.25 Tolerierte Fläche 0.16 Tolerierter Kreisquerschnitt Bild 33: Rundlauf- und Planlauftoleranz 108

110 Grundlagen Minos Zu den Richtungstoleranzen gehören die Parallelitäts-, die Rechtwinkligkeits- und die Neigungstoleranz. Hier werden wenn erforderlich rechts in den Toleranzrahmen Buchstaben einesetzt, die den Bezug zu einer Fläche angeben. Die Parallelitätstoleranz bestimmt die Lage einer Linie zu einer Bezugsfläche. So verläuft beispielsweise eine Bohrung nicht genau parallel zu einer Oberfläche, die mit A bezeichnet ist. Diese Richtungstoleranz legt fest, mit welcher maximalen Toleranz die Achse der Bohrung von der idealen Linie abweichen darf. In dem Beschriftungsfeld symbolisieren zwei parallele Linien die Parallelitätstoleranz, die Zahl gibt den Toleranzbereich in Millimetern an und der Buchstabe kennzeichnet die Bezugsfläche. Entsprechend bestimmt die Rechtwinkligkeitstoleranz, in welchem Bereich die senkrechte Fläche liegen muss und wieweit sie dementsprechend von der Rechtwinkligkeit abweichen darf. Das dazugehörige Symbol zeigt zwei rechtwinklig aufeinander stehende Linien. Für andere als rechte Winkel gilt die Neigungstoleranz. Sie entspricht der Rechtwinkligkeitstoleranz, nur für den entsprechend vorgegebenen Winkel. Im Symbol ist dies durch zwei in einem spitzen Winkel stehende Linien dargestellt. 0.2 C C A 0.4 A Bild 34: Parallelitäts- und Rechtwinkligkeitstoleranzen 109

111 Minos Grundlagen Zu den Ortstoleranzen gehört die Positionstoleranz eines Punktes. So muss der Mittelpunkt einer Bohrung innerhalb eines Kreises liegen, der einen Durchmesser mit dem angegebenen Wert hat. Der Mittelpunkt des Toleranzkreises liegt dabei genau an der idealen Stelle, die von der Zeichnung vorgegeben wird. Zu den Ortstoleranzen gehören weiterhin die Toleranzen für Konzentrizität und Koaxialität. Sie beziehen sich auf die Achse einer Welle, die in einem bestimmten Bereich liegen muss. Auch die Toleranz für die Symmetrie ist eine Ortstoleranz. Durch sie wird beispielsweise bestimmt, inwieweit sich eine Nut in der Mitte eines Teiles befindet. Die Lauftoleranzen gelten für sich drehende Teile. Bei der Drehung einer Welle um die Bezugsachse A-B darf die Abweichung des Rundlaufes den angegebenen Wert nicht übersteigen. Die Planlauftoleranz legt diesen Wert für die Fläche am Ende des sich drehenden Werkstücks fest. Die Gesamtlauftoleranzen unterscheiden sich zu den Rundlauftoleranzen dadurch, dass zusätzlich zur drehenden Bewegung eine axiale oder radiale Verschiebung des Werkstückes vorgenommen wird A-B 0.06 C A B C Bild 35: Orts- und Lauftoleranzen 110

112 Grundlagen Minos Maßtoleranzen Die Herstellung von Werkstücken erfolgt aus technischen und wirtschaftlichen Gründen nicht mit den exakt genauen Maßen. Je nach den gewünschten Anforderungen sind Abweichungen zulässig. Diese werden als Maßtoleranzen angegeben. Eine einfache Möglichkeit ist die Angabe von Allgemeintoleranzen entsprechend DIN Die Werte für die Abweichungen gelten in diesem Fall für die gesamte Zeichnung. Das von der Zeichnung vorgegebene Maß wird als Nennmaß N bezeichnet, die Abweichung davon als Abmaß A. In der Tabelle sind die Werte für das obere und untere Grenzmaß bei verschiedenen Nennmaßen und Toleranzklassen angegeben. Beispiel Im Schriftfeld der Zeichnung für ein Bauteil ist die Allgemeintoleranz mittel vorgegeben. Das Bauteil hat eine Abmessung von 150 mm. Das Sollmaß S ist somit 150 mm ± 5 mm = 149, ,5 mm. Die Werte berechnen sich wie folgt: Nennmaß + oberes Grenzmaß = Höchstmaß 150 mm + 0,5 mm = 150,5 mm Nennmaß + unteres Grenzmaß = Mindestmaß 150 mm + ( 0,5 mm) = 149,5 mm Höchstmaß Mindestmaß = Maßtoleranz 150,5 mm 149,5 mm = 1,0 mm Nennmaßbereich in mm 0,5 bis 3 über 3 bis 6 über 6 bis 30 über 30 bis 120 über 120 bis 400 über 400 bis 1000 f (fein) 0,05 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 Toleranzklasse m (mittel) g (grob) sg (sehr grob) 0,1 0,15 0,1 0,2 0,5 0,2 0,5 1 0,3 0,8 1,5 0,5 1,2 2 0,8 2 3 Bild 36: Grenzabmaße für Längenmaße ohne Toleranzangabe 111

113 Minos Grundlagen Werden statt der gesamten Maße der Zeichnung nur einzelne Maße mit einer Toleranzangabe versehen, so werden die Werte rechts neben das Nennmaß geschrieben. Das obere Grenzmaß wird dabei hochgestellt, während das untere Grenzmaß tiefgestellt darunter angeordnet wird. +0,3 oberes Grenzmaß 78 0,2 unteres Grenzmaß Nennmaß Auf diese Weise könnten sehr viele verschiedene Toleranzangaben gemacht werden. Deshalb wird die Anzahl der möglichen Toleranzwerte beschränkt. Dies erfolgt entsprechend dem ISO-Toleranzsystem nach DIN Darin sind in Abhängigkeit vom Nennmaß 20 Toleranzklassen und 13 Nennmaßklassen festgelegt. In der Tabelle sind die wichtigsten ISO-Grundtoleranzen aufgeführt. Die Toleranzwerte sind in µm angegeben. Beispiel Eine Welle hat einen Durchmesser von 60 mm. Die Toleranz soll nach IT6 festgelegt sein. Aus der Tabelle wird der Wert 19 abgelesen. Somit beträgt die Toleranz 19 µm = 0,019 mm. ISO-Toleranzklasse ISO-Toleranzreihe IT2 IT3 IT4 IT5 IT6 IT7 IT8 IT9 IT10 IT11 Nennmaßbereich in mm über 10 bis 18 über 18 bis 30 über 30 bis 50 über 50 bis 80 über 80 bis 120 über 120 bis ,5 2, Bild 37: ISO-Grundtoleranzen (Teil) 112

114 Grundlagen Minos Die mit den Toleranzklassen festgelegte Toleranz wird auch als Toleranzfeld bezeichnet. Der Wert bestimmt die Größe des Bereiches, nicht jedoch seine Lage. Das bedeutet, dass es möglich ist, das die Abweichungen in beide Richtungen verschieden groß sein dürfen. Die Lage des Toleranzfeldes ist ebenfalls in Klassen festgelegt. Diese Klassen werden mit Buchstaben bezeichnet. Für Toleranzen von Innenmaßen wie Bohrungen werden große Buchstaben verwendet. Die Toleranzen der Außenmaße wie bei Wellen werden dagegen durch kleine Buchstaben gekennzeichnet. Für die Innenmaße gilt für die Lage der Toleranzfelder: Toleranzfeldlage A bis G Toleranzfeldlage H Toleranzfeldlage J bis JS Toleranzfeldlage K bis ZC Innenmaß > Nennmaß Innenmaß Nennmaß Innenmaß < oder > Nennmaß Innenmaß < Nennmaß Entsprechend gilt für die Lage der Toleranzfelder der Außenmaße: Toleranzfeldlage a bis g Toleranzfeldlage h Toleranzfeldlage j bis js Toleranzfeldlage k bis zc Außenmaß < Nennmaß Außenmaß Nennmaß Außenmaß > oder < Nennmaß Außenmaß > Nennmaß Innenmaß (Bohrung) Außenmaß (Welle) Nennmaß A H T a h t Bild 38: Lage der Toleranzfelder 113

115 Minos Grundlagen Die komplette Toleranzangabe besteht aus dem Nennmaß, der Grundtoleranz und der Toleranzfeldlage. Damit keine Verwechslungen entstehen, bestehen die Angaben für Toleranzen der Innenmaße aus Großbuchstaben, die hochgestellt an das Nennmaß angetragen werden. Die Angaben für die Außenmaße bestehen aus kleinen Buchstaben, die tiefgestellt werden. Die zu den Angaben dazugehörigen Werte für die Toleranzen und die dadurch sich ergebenden Sollmaße können aus den entsprechenden Tabellen entnommen werden. Beispiel Folgende Toleranzangaben gelten beispielsweise für eine Bohrung und eine Welle von jeweils 45 mm Durchmesser: 45 H7 45 h6 Die beiden Werte von 45 mm stellen das Nennmaß dar. Das hochgestellte große H und das tiefgestellte kleine h bestimmen die Toleranzfeldlage. Für die Grundtoleranz steht bei der Bohrung die Ziffer 7 und bei der Welle die Ziffer 6. Bei einer Bohrung von 45 mm bedeutet diese Toleranzfeldlage, dass die realen Werte von 0 bis +25 µm vom Nennmaß abweichen dürfen. Entsprechen diesen Werten darf die Bohrung also einen Durchmesser von 45,000 bis 45,025 mm haben. Bei der Welle mit einem Durchmesser von 45 mm dagegen darf der tatsächliche Wert von 0 bis 16 µm vom Nennmaß abweichen. Damit ergibt sich ein Durchmesser von 44,984 bis 45,000 mm Passungen Die Werte für die Toleranzen gelten zunächst nur für ein einzelnes Bauteil. Werden jedoch mehrere Teile zusammengefügt, so ist auch das Zusammenpassen der einzelnen Toleranzen zu beachten. Jeweils zwei Toleranzwerte bilden zusammen deshalb eine Passung. So ist beim Beispiel mit der Welle zu sehen, das beim Ausnutzen aller möglichen Toleranzwerte die Welle fast immer kleiner als die Bohrung ist und nur in einem Fall exakt den Durchmesser der Bohrung erreicht. Je nach Kombination der einzelnen Toleranzen lassen sich Teile leicht oder nur schwierig zusammenfügen. Es wird dabei nach Spiel-, Übergangs- und Presspassung unterschieden. Bei Spielpassungen ist die Bohrung immer größer als die Welle. Bei Übergangspassungen kann je nach Einzelfall die Welle größer oder kleiner als die Bohrung ausfallen. Ist die Welle immer größer als die Bohrung, so wird dies als Übermaß oder Presspassung bezeichnet. 114

116 Grundlagen Minos Bohrung > Welle Bohrung Welle Bohrung < Welle Spielpassung Übergangspassung Preßpassung Bild 39: Passungen Da sich aus der Vielzahl von Toleranzen eine unüberschaubare Kombinationsvielfalt von Passungen ergibt, werden in der Praxis nur eine geringere Anzahl von bevorzugten Passungen verwendet. Diese können ebenfalls aus Tabellen entnommen werden. Beispiel Spielpassungen sind: D10/h9 F8/h6 H7/h6 sehr weites Spiel, Anwendung bei Landmaschinen merkliches Spiel, Kulissensteine in Führungen die Teile gleiten gerade noch, wenn sie von Hand bewegt werden Eine Übergangspassung ist: H7/n6 Teile lassen sich mit geringem Kraftaufwand verschieben, wird bei Kolbenbolzen angewendet Presspassungen sind: H7/r6 H8/u8 Teile lassen sich mit größerem Kraftaufwand zusammenfügen, Verwendung bei Lagerbuchsen Fügen ist nur durch Dehnen oder Schrumpfen möglich 115

117 Minos Grundlagen 3.6 Technische Zeichnungen und Computer CAD CAD ist die Abkürzung für Computer Aided Design, auf deutsch rechnerunterstützte Konstruktion. Durch die Entwicklung der Rechentechnik ist das Erstellen von Zeichnungen mit Bleistift oder Tusche heute kaum noch üblich. Ein CAD-Arbeitsplatz besteht aus einem PC mit einem Bildschirm. Damit von der Zeichnung ein möglichst großer Teil gleichzeitig darstellbar ist, sollte der Bildschirm möglichst groß sein. Neben den üblichen Dateneingabegeräten wie Tastatur und Maus sind auch Grafiktabletts anzutreffen. Auf diesen kann mit der Maus oder einem speziellen Stift gezeichnet werden. Die Speicherung der Daten erfolgt auf Festplatten. Viele Rechner sind vernetzt, so dass die Erstellung von Sicherheitskopien auf speziellen Servern erfolgen kann. Die Ausgabe von Zeichnungen auf Papier erfolgt mit großformatigen Druckern oder Plottern. Änderungen dürfen jedoch auf den Papierzeichnungen nicht mehr erfolgen sondern werden nur im Computer durchgeführt. Das Erstellen von Zeichnungen wird durch den Einsatz von CAD-Programmen wesentlich erleichtert. Zum Einen lassen sich Punkte, Linien und Kurven sehr leicht mit wenigen Mausklicks erstellen. Auch unterschiedliche Krümmungen, für die früher der Einsatz von Schablonen erforderlich war, sind schnell erzeugt. Fertige Zeichnungen oder Teile davon lassen sich einfach vergrößern oder verkleinern, verschieben oder verdoppeln, drehen oder auch löschen. Versehentliche Arbeitsschritte lassen sich rückgängig machen, was auch das Ausprobieren verschiedener Lösungen vereinfacht. Das Zeichnen von Normteilen ist durch den Einsatz vorgefertigter Bibliotheken sehr vereinfacht worden. Auch das Schraffieren lässt sich automatisch durchführen. Beim Bemaßen werden die entsprechenden Maßzahlen vom Programm eingetragen. Firmeneigene Standardteile oder Baugruppen lassen sich ebenfalls in Zeichnungen eintragen. Die Vorteile moderner CAD bestehen aber nicht nur im einfacheren Erstellen der Zeichnungen. Es ist oft bereits möglich, die Konstruktion in drei Dimensionen durchzuführen. Davon können einerseits wieder die zweidimensionalen Zeichnungen erstellt werden. Andererseits ist es möglich, mit den 3D-Modellen weitere Berechnungen anzustellen. 116

118 Grundlagen Minos So kann beispielsweise die Masse eines Teiles berechnet werden. Das Verhalten unter Belastung wird mit Berechnungen nach der Finite Elemente Methode durchgeführt. Im Automobilbau wird mit Computermodellen das Verhalten im Falle eines Crashs überprüft. Aber auch einfach nur das Betrachten von mehreren Seiten kann sehr hilfreich sein. So kann auch der Einfluss verschiedener Beleuchtungen ausprobiert werden. Das Zusammenspiel der verschiedenen Komponenten kann in bewegten Computermodellen verfolgt werden. CAD-Programme mit 2D-Darstellung arbeiten vektororientiert. Dabei werden Anfangs- und Endpunkt einer Linie durch Punkte festgelegt. Die Berechnung der Linie zwischen den Endpunkten erfolgt durch das Programm. Deshalb werden Linien auch bei sehr starker Vergrößerung immer noch als Linien dargestellt. Im Gegensatz dazu stehen Bildbearbeitungsprogramme, die pixelorientiert arbeiten. Bei diesen wird bei starker Vergrößerung die Pixelstruktur eines Bildes sichtbar. CAD-Programme arbeiten mit verschiedenen Ebenen. Durch Ausblenden einzelner Ebenen werden auch komplexe Zeichnungen übersichtlicher. So können beispielsweise alle Bemaßungen auf einer gesonderten Ebene gezeichnet werden. Solange die Bemaßungen nicht erforderlich sind, brauchen sie auch nicht sichtbar in die Zeichnung eingeblendet zu werden. CAD-Programme mit 2 1/2 D werden vorwiegend im Architekturbereich eingesetzt. Flächen werden in isometrischer Darstellung gezeichnet. Es ergeben sich ähnliche Ergebnisse wie bei den 3D-Programmen, der Rechenaufwand ist jedoch wesentlich geringer. CAD-Programme mit 3D-Darstellung erzeugen räumliche Modelle. Im einfachsten Fall sind die Gitter- oder Drahtmodelle, die für weitere Berechnungen benötigt werden. Bei Flächenmodellen werden die Oberflächen der Modelle durch mathematische Berechnungen beschrieben, während bei Volumenmodellen auch festgelegt ist, was die Flächen begrenzen. Bei der rechnergestützten Fertigung, Computer Aided Manufacturing, abgekürzt CAM, werden zusätzliche Daten für die Fertigung zu den Zeichnungsunterlagen hinzugefügt. Diese Daten können direkt zur Fertigungsmaschine übertragen und von dieser verwendet werden. 117

119 Minos Grundlagen Numerisch gesteuerte Maschinen Numerisch gesteuerte Maschinen werden als Maschinen mit NC-Steuerung bezeichnet. Die Abkürzung NC steht für Numerical Control und bedeutet, dass alle Daten beispielsweise für Maße, Drehzahlen und Vorschübe in Form von Zahlen der Werkzeugmaschine vorgegeben werden. Die einzelnen Bewegungen der Maschine werden nach dem eingegebenen Programm selbstständig der Reihenfolge nach ausgeführt. Bei den inzwischen veralteten NC-Steuerungen war das Programm dafür noch auf Lochstreifen enthalten. Bei den modernen CNC-Steuerungen gibt es diese Lochstreifen nicht mehr. CNC bedeutet Computerized Numerical Control. Die notwendigen Daten werden an einem Display an der Maschine direkt eingegeben oder mit Hilfe eines Datenträgers in die Steuerung der Maschine geladen. Werkzeugmaschinen mit einer DNC-Steuerung sind mit weiteren Computern vernetzt. DNC bedeutet Distributed Numerical Control und weist darauf hin, dass die Rechner auch an verschiedene Standorte verteilt sein können. Da die Programme für die Steuerungen auf Grundlage der technischen Zeichnungen erstellt werden, sind einige Besonderheiten zu beachten. Koordinatensysteme Die Angabe von einzelnen Punkten auf dem Werkstück erfolgt durch Koordinaten. Es werden dabei zwei grundsätzliche Koordinatensysteme unterschieden. Polarkoordinaten Kartesische Koordinaten Bild 40: Koordinatensysteme 118

120 Grundlagen Minos Bei beiden Koordinatensystemen gibt es einen Nullpunkt, von dem aus die Koordinaten eines Punktes angegeben werden. Die Koordinatensysteme unterscheiden sich dabei, wie der Abstand zu einem Punkt festgelegt ist. Beim Polarkoordinatensystem wird der Abstand zum Koordinaten-Nullpunkt angegeben und der Winkel, den diese Verbindungslinie mit der Achse bildet. Beim kartesischen oder auch rechtwinkligen Koordinatensystem wird dagegen der Abstand zu dem Nullpunkt durch die Abstände zu den beiden Achsen bestimmt. Der Nullpunkt sollte eine sinnvolle Beziehung zum Werkstück haben. Er ist also an eine Kante oder auf die Mittelachse einer Bohrung zu legen. Bei der Absolutbemaßung gehen alle Maße vom Nullpunkt der Koordinaten aus. Die Maßzahlen geben somit immer den Abstand zum Koordinatenursprung an. Für den Fall, dass sich in einer Ansicht nur ein Koordinaten-Nullpunkt befindet, müssen die Maßlinien auch nicht bis zu diesem Nullpunkt gezeichnet werden. Bild 41: Absolutbemaßung 119

121 Minos Grundlagen Als steigende Bemaßung wird bezeichnet, wenn alle Maße außerhalb des Teiles gezeichnet werden können. Auch hier gehen alle Maße vom Nullpunkt aus. Die Bemaßung kann auf diese Weise sehr platzsparend durchgeführt werden. Die Zahlen werden dabei um 90 gedreht. Bei der Zuwachsbemaßung, die auch als Inkrementalbemaßung bezeichnet wird, ist immer der Endpunkt des vorangegangenen Maßes der Startpunkt des folgenden Maßes. Die Bemaßung erfolgt also von einem Maß zum nächsten in Form einer Maßkette. Kommen in einer Maßkette mehrere Abstände mit den gleichen Werten vor, so kann eine Vereinfachung erfolgen. Das Maß wird in diesem Fall nur einmal eingetragen und die Anzahl der Wiederholungen hinzugefügt. Innerhalb einer Zeichnung sollten jedoch möglichst immer die gleichen Bemaßungsarten verwendet werden. In bestimmten Fällen kann es aber doch sinnvoll sein, verschiedene Bemaßungssysteme zu verwenden. Bild 42: Steigende Maßeintragung 120

122 Grundlagen Minos Bild 43: Zuwachsbemaßung Bei der Eintragung von Maßen ist es prinzipiell auch möglich, voneinander unabhängige Maße auf verschiedene Koordinatensysteme zu beziehen. Durch die Maßpfeile wird erkennbar, auf welchen Nullpunkt sich die Maße beziehen. Allerdings erhöht sich der Aufwand für die Programmierung, wenn mehrere Koordinatensysteme verwendet werden. Deshalb sollte nach Möglichkeit in einer Zeichnung der Einsatz mehrerer Koordinatensysteme vermieden werden. 121

123 Minos Grundlagen Ist für das Erstellen von vielen Bemaßungen nur wenig Platz vorhanden, so können auch Koordinatentabellen und Positionsnummern verwendet werden. Die Nummer einer Koordinate besteht aus zwei Zahlen, die durch einen Punkt voneinander getrennt sind. Die erste Zahl bezeichnet die Nummer des Koordinatensystems, während die zweite Nummer eine fortlaufende Nummer für die einzelnen Punkte dieses Koordinatensystems ist. So bedeutet beispielsweise die Positionsnummer 2.4, dass es sich um den vierten Koordinatenpunkt im zweiten Koordinatensystem handelt. Diese Positionsnummern werden in Tabellen abgelegt. Die Achsen der Koordinaten werden mit großen Buchstaben bezeichnet, also A, B und c bei drei Koordinaten. Für den Fall, dass mehrere Koordinatensysteme verwendet werden, folgt auf den Buchstaben eine Ziffer. Somit ergeben sich Bezeichnungen wie A1, B1, A2 und B2. Neben den Koordinaten der einzelnen Punkte werden in die Tabelle auch weitere Informationen wie Bohrungsdurchmesser, Gewinde usw. aufgenommen. Die Koordinatensysteme werden weiterhin in Haupt- und Nebensysteme unterschieden. Die Hauptsysteme sind unabhängig voneinander und haben jeweils ihren eigenen Koordinatenursprung. Die Nebensysteme dagegen sind durch ein bestimmtes Maß mit dem Hauptsystem verbunden. Der Koordinatenursprung des Nebensystems muss deshalb vom Ursprung des Hauptsystems ausgehend bemaßt werden. Aufgabe Lösen Sie die Aufgabe 47 und 48 im Übungsbuch! 122

124 Grundlagen Minos B2 2 A2 1.1 B A1 0 Koordinaten- Nullpunkt Koordinatentabelle (Maße in mm) Pos. Nr. A B Bohrung Gewinde M Bild 44: Koordinatentabelle 123

125 Minos Grundlagen 124

126 Mechatronik Modul 2: Sozialverhalten, (Teil1) Interkulturelle Kompetenzen Schülerhandbuch (Konzept) Christian Stöhr Christian Stöhr Unternehmensberatung, Deutschland EU-Projekt Nr MINOS, Laufzeit von 2005 bis 2007 Europäisches Konzept für die Zusatzqualifikation Mechatronik für Fachkräfte in der globalisierten industriellen Produktion. Das Projekt wurde gefördert von der Europäischen Union im Rahmen des Aktionsprogramms der Europäischen Union für die berufliche Bildung Leonardo da Vinci.

127 Projektpartner bei der Erarbeitung und Erprobung des Teachwarekonzepts Technische Universität Chemnitz, Institut für Werkzeugmaschinen und Produktionsprozesse, Deutschland Projektleitung Corvinus Universität Budapest, Institut für Informationstechnologien, Ungarn Universität Stockholm, Institut für Soziologie, Schweden Technische Universität Wroclaw, Institut für Produktionstechnik und Automatisierung, Polen Henschke Consulting Dresden, Deutschland Christian Stöhr Unternehmensberatung, Deutschland Neugebauer und Partner OHG Dresden, Deutschland Korff Isomatic sp.z.o.o. Wroclaw, Polen Euroregionale Industrie- und Handelskammer Jelenia Gora, Polen Dunaferr Metallwerke Dunajvaros, Ungarn Knorr-Bremse Kft. Kecskemet, Ungarn Nationales Institut für berufliche Bildung Budapest, Ungarn Teachwearkonzept: Modul 1: Grundlagen Modul 2: Interkulturelle Kompetenzen, Projektmanagement Modul 3: Fluidtechnik Modul 4: Elektrische Antriebe und Steuerungen Modul 5: Mechatronische Komponenten Modul 6: Mechatronische Systeme und Funktionen Modul 7: Inbetriebnahme, Sicherheit, Teleservice Modul 8: Fernwartung, Diagnose Weitere Informationen: Technische Universität Chemnitz Institut für Werkzeugmaschinen und Produktionsprozesse Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Prof. E.h. Dr.-Ing. E.h. Reimund Neugebauer Prof. Dr.-Ing. Dieter Weidlich Reichenhainer Straße 70, Chemnitz Tel.: +49(0) Fax: +49(0) Internet: 2

128 Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Minos Inhalt 1 Einleitung interkulturelles Training Einleitung Ziele des Seminars 5 2 Was ist Kultur? Definitionen von Kultur Elemente der Kultur Elemente der Kultur - Materielle Kultur Elemente der Kultur - Soziale Institutionen Elemente der Kultur - Die Menschheit und das Universum Elemente der Kultur - Ästhetik Elemente der Kultur - Sprache Das Eisberg-Modell der Kultur 9 3 Grundlagen von Kultur Stereotypen und kulturelle Generalisierungen Generalisierung von Kultur - Geert Hofstede s Kulturdimensionen Individualismusindex (IDV) Machtdifferenzindex (PDI) Unsicherheitsvermeidungsindex (UAI) Maskulinitätsindex (MAS) Langzeitorientierungsindex (LTO) Grenzen von Hofstede s Modell Geert Hofstede s Kulturdimensionenskala Länderübersicht 22 4 Eigenschaften von Kultur Die Wahrnehmung von Zeit und Prioritäten Das monochrone Zeitkonzept Das polychrone Zeitkonzept Der Ursprung von Status Der erworbene Status Der zugeschriebene Status Direkte versus indirekte Kommunikation Die direkte Kommunikation / Kulturen mit niedrigem Kontext Die indirekte Kommunikation / Kulturen mit hohem Kontext 30 5 Arbeiten im Ausland Kulturellen Schock erfahren Der kulturelle Schock Methoden für den Umgang mit kulturellem Schock Der Prozess der kulturellen Anpassung Den Gebrauch des Selbst-Referenz-Kriteriums vermeiden Beobachtungen 34 Referenzen 36 3

129 Minos Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz die größte Barriere für wirtschaftlichen Erfolg wird allein von Kultur errichtet." Edward T. Hall and Mildred Reed Hall Kultur ist ein dünne, aber sehr wichtige Schicht mit der Sie sehr sorgsam umgehen müssen, damit sie nicht zerkratzt. Menschen aus verschiedenen Kulturen sind im Grunde gleich und reagieren auf die gleiche Weise. Stellen Sie sicher, dass Sie deren grundlegenden Gewohnheiten verstehen und zeigen Sie Interesse sowie die Bereitschaft, die Unterschiede zwischen ihren Kulturen zu verstehen. Mike Wills 4

130 Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Minos 1 Einleitung interkulturelles Training 1.1 Einleitung 1.2 Ziele des Seminars Mit zunehmender Globalisierung verändert sich fundamental die Art des Regierens, des Geschäftslebens, des Organisierens und der Nationen. Die Menschen agieren nicht länger innerhalb der Grenzen eines Landes, da sie ein Teil eines voneinander abhängigen, internationalen Netzwerks geworden sind. Heute, mehr als je zuvor, verlangt wirtschaftlicher Erfolg interkulturelles Bewusstsein und die Fähigkeit zur interkulturellen Kommunikation. Kulturelles Bewusstsein gehört zu den wichtigsten Wissensgebieten, die sich im Ausland tätige Unternehmen und Personen aneignen müssen, wenn sie Wachstum, Erfolg und Integration auf dem Markt anstreben. Mit Mitarbeitern oder Kunden aus anderen Kulturen zu arbeiten, sich zu treffen, Geschäfte zu tätigen, zu unterhalten, zu verhandeln oder zu korrespondieren kann ein Minenfeld sein. Ein falscher Satz oder ein Missverständnis kann monatelange Arbeit verzögern oder ruinieren. Letztendlich fördern das Verständnis und die Wahrnehmung interkultureller Differenzen eine klarere Kommunikation, brechen Barrieren, schaffen Vertrauen, stärken Bindungen, öffnen Horizonte und führen zu konkreten Ergebnissen in Bezug auf Geschäfts- und Arbeitserfolge. Der Zweck des Seminars ist es, das Potential der Teilnehmer in der globalen Arena zu maximieren und auf Arbeitsaufenthalte in anderen Ländern vorzubereiten. Das heißt, dass die Teilnehmer im Seminar lernen und verstehen werden: - wie Kultur Weltanschauungen und das Verhalten beeinflusst, - welche Probleme entstehen, wenn Menschen unterschiedlicher Kulturen miteinander interagieren, - wie Kultur für den Auslandaufenthalt analysiert und aufbereitet werden kann, - wie Missverständnisse und mögliche Konflikte beruflicher, interkultureller Kommunikation minimiert werden können, - wie man mit kulturellem Schock umgeht. Alles in allem, werden die Teilnehmer ihre interkulturelle Kompetenz verbessern. Definition Interkulturelle Kompetenz ist die Fähigkeit, mit Menschen aus anderen Kulturen erfolgreich zu kommunizieren - im engeren Sinne die Fähigkeit zum beiderseitig zufriedenstellenden Umgang mit Menschen aus anderen Kulturen. Diese Fähigkeit kann schon in jungen Jahren vorhanden sein oder auch mit Hilfe bewusster und systematischer Anstrengungen entwickelt und verbessert werden. Die Grundlage für erfolgreiche, interkulturelle Kommunikation sind emotionale Kompetenz und interkulturelle Sensibilität. 5

131 Minos Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz 2 Was ist Kultur? 2.1 Definitionen von Kultur Wichtig Definition Definition Definition Definition Es gibt nicht die Definition von Kultur!!! Kultur ist die Software des Gehirns. Sie ist, was uns programmiert, so zu denken, zu sprechen, zu agieren und zu fühlen, wie wir es tatsächlich tun. (Hofstede, 1989) Kultur ist eine erlernte, gemeinsame, zwingende, zu einander in Beziehung stehende Menge von Symbolen, deren Bedeutungen einen Satz von Orientierungen für die Mitglieder einer Gesellschaft bereitstellen. Zusammengenommen bieten diese Orientierungen mögliche Lösungen für Probleme, mit denen sich alle Gesellschaften auseinandersetzen müssen, um existenzfähig zu bleiben. (Terpstra und David, 1985) Kultur ist eine Menge von Anschauungen oder Standards, die von einer Gruppe von Menschen geteilt werden und die dem Einzelnen helfen, Entscheidungen darüber zu treffen, was ist, was sein kann, was man fühlt, was zu tun ist und wie etwas getan wird. (Goodenough, 1996) Kultur ist die Konfiguration von erlernten Verhaltensweisen und darauf basierenden Ergebnissen, deren einzelne Elemente von den Mitgliedern einer bestimmten Gesellschaft geteilt und übertragen werden. (Linton, 1945) Diese Definitionen teilen einige gemeinsame Inhalte. Sie verstehen Kultur als ein System von Verhaltensweisen und Gewohnheiten, die von einer Generation zur Nächsten weitergegeben werden. Gemeinsam geteilte Regeln, Sprachen, Religionen, Familienstrukturen, Reaktionen und Erziehung bieten Vorhersagbarkeit und Sicherheit im täglichen Leben einer Gruppe von Leuten. Werden Menschen gleicher Überzeugungen und Handlungsweisen zusammengeführt, so verstehen sie einander und die Welt um sie herum ergibt Sinn. Wichtig Im Rahmen dieses Seminars hat Kultur zwei Aspekte, der man sich besonders bewusst sein muss: 1. Kultur ist erlernt! 2. Kultur ist verinnerlicht und vergessen - in dem Sinne, dass uns nicht bewusst ist, dass sie aus gelernten Verhaltensweisen besteht! 2.2 Elemente der Kultur 6 Obwohl jede Definition unterschiedliche Aspekte von Kultur betont, beinhalten Sie dennoch wichtige, allgemeine, gemeinsam geteilte Elemente, die in Ihrer Ausprägung von Kultur zu Kultur variieren können: 1. Materielle Kultur 2. Soziale Institutionen 3. Die Menschheit und das Universum 4. Ästhetik 5. Sprache

132 Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Minos Elemente der Kultur - Materielle Kultur Definition Materielle Kultur besteht aus zwei Komponenten: 1. dem Grad der technologischen Fähigkeiten einer Kultur und 2. ihrer Wirtschaftlichkeit oder wie die Menschen ihre Fähigkeiten und Errungenschaften nutzen. Es gibt bestimmte Dinge, die Menschen aus einem Land mit einem hohen technischen Standard als selbstverständlich ansehen, die in Ländern mit einem niedrigen Technologielevel nicht vorkommen. In solchen Ländern sind die Leute nicht unbedingt mit Konzepten wie z. B. präventiven Wartungsmassnahmen vertraut. Die Wirtschaftlichkeit eines Landes kann auf die Art der vor Ort existierenden Waren Einfluß nehmen. Manchmal sind bestimmte Güter nicht erhältlich, weil sich die Leute sie nicht leisten oder einfach nicht mit ihnen umgehen können. Beispiel Rudolf, ein deutscher Mechaniker in Rumänien, war froh einen Laden gefunden zu haben, in dem es vier Kopiergeräte gab. Das Geschäft hatte geöffnet, aber zu seinem Pech waren alle Geräte außer Betrieb. Wie ist das möglich? fragte er. Vier Kopierer und alle sind defekt! Was ist denn mit Euch los? fügte er hinzu, als er den Laden verließ. Rudolf war bestürzt, weil die Wartungsmassnahmen, die er aus Deutschland kennt, in diesem Land nicht existierten Elemente der Kultur - Soziale Institutionen Definition Die Art und Weise, wie Menschen miteinander interagieren, variiert von Kultur zu Kultur und von Land zu Land. Bildung, die soziale Organisation und politische Strukturen spielen bei Interaktionen eine nicht zu unterschätzende Rolle. Die soziale Organisation beeinflusst die Rolle von Individuen, ihren Status und die Wichtigkeit und Struktur von Familien. Frauen haben in unterschiedlichen Ländern unterschiedliche Rollen und Rechte. Der Grad und die Qualität von Bildung variieren ebenso zwischen Kulturen. Einige Länder bieten eine billige oder sogar kostenlose primäre, sekundäre und tertiäre Ausbildung an. In anderen ist eine gute Ausbildung sehr teuer und folglich hängt der Grad und die Qualität der Bildung einer Person stark vom Reichtum und dem Status der Eltern ab. Beispiel In einigen Ländern ist es absolut normal für einen Mann, weibliche Vorgesetzte zu haben und man findet einen viel größeren Prozentsatz an Frauen in Führungspositionen als in anderen Ländern, wo sich Männer mit einer Frau als Chef mit höherer Wahrscheinlichkeit sehr unwohl fühlen. Darüber hinaus ist die Facharbeiterausbildung in einigen Ländern, wie Deutschland, traditionell von hoher Qualität und hat einen hohen Status erlangt, während in anderen eine universitäte Ausbildung mehr oder weniger obligatorisch ist, um einen solchen Status zu erreichen. 7

133 Minos Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Elemente der Kultur - Die Menschheit und das Universum Definition Unter diese Kategorie fallen Religionen ebenso wie Glaubenssysteme, Werte und Aberglaube. Religiöse Einstellungen und manchmal sogar Aberglaube können so stark ausgeprägt sein, dass sie einen grossen Einfluß auf die Wahrnehmungen und Handlungen von Menschen nehmen. Während Religionen in manchen Ländern die Gleichheit aller Menschen fördern, unterstützen sie in anderen eher die Ungleichheit. In solchen Ländern können sich der Status und die Rolle einer Person in der Gesellschaft darüber definieren, wo er geboren ist etc. Religionen spielen eine wichtige Rolle bei der Begründung und Bestärkung von Weltanschauungen. Die Religion einer Person kann bestimmen, welche Mahlzeiten erlaubt sind (z.b. kein Schwein, kein Rind, ausschließlich koscheres Essen) oder wie er sich kleidet (Frauen sind verpflichtet ihren Kopf zu bedecken, Männer müssen Bärte tragen). Diese Aspekte sind in einigen Religionen auffallender als in anderen (Islam, Orthodoxe Juden). Anderen Anschauungen können eine genauso wichtige Rolle spielen wie die Werte der Menschen. Wie verstehen sie Zeit? Wie anpassungsfähig sind sie an Veränderungen? Es ist wichtig, dass jemand, der in ein fremdes Land geht, versteht, wie diese Sachen das Verhalten des Anderen beeinflussen und dasselbe sollte für sein Verhalten gelten. Beispiel Thomas ist Katholik. Er lebt in einer großen Stadt und jeden Sonntag geht er zum Gottesdienst. Er wirft sich niemals in Schale, da in seiner Kirche auf Kleidung nicht viel Wert gelegt wird. Bei einem Aufenthalt in einem anderen Land wird Thomas von Freunden eingeladen, der Messe beizuwohnen. Er verabredet sich mit seinen Freunden an der Kirche. Da es in diesem Land sehr warm ist und er niemals irgendjemanden besonders fein gekleidet gesehen hat, entscheidet er sich, seine guten, kurzen Hosen und ein Hemd zu tragen. Wie auch immer, er schafft es nicht in die Kirche zu kommen, denn als ihn seine Freunde in kurzen Hosen sehen, schicken sie ihn weg. Es wäre nicht angemessen, die Kirche derart gekleidet zu besuchen Elemente der Kultur - Ästhetik Definition Beispiel Diese Kategorie umfasst die Künste, Folkore, Musik, Schauspiel sowie die verbreiteten Tänze einer Kultur, die natürlich stark variieren können. Es ist hilfreich, diese sich mit diesen Dingen zu beschäftigen, da man durch sie wertvolle Einsichten erhalten kann. Durch die Kunst beispielsweise kann man erkennen, wie sich Schönheit in einer Kultur definiert. Durch das Theater kann man etwas über die Lebenseinstellung und die Dinge erfahren, die als wichtig erachtet werden. Und Folklore kann oft heutige Traditionen erklären. 8

134 Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Minos Elemente der Kultur - Sprache Definition Die Sprache ist die primäre Form der Kommunikation. Eine neue Sprache zu erlernen, heißt nicht nur zu studieren, wie man bestimmte Terme von einer Sprache in eine andere übersetzt. Jede Sprache besitzt ihre eigenen Assoziationen und leichten Variationen innerhalb bestimmter Bedeutungen, die in der Muttersprache in dieser Form nicht vorkommen. Nicht zu wissen, wie man diese nutzt, um sich auszudrücken, kann zu viel Frustration und Unzufriedenheit führen. Beispiel Das Wort gay kann im amerikanischen Englisch meinen, dass jemand homosexuell ist aber ebenso, dass er glücklich ist. Deswegen wird das Wort selten im letzteren Sinne verwendet. Weiterhin findet man im Portugiesischen eine außergewöhnlich hohe Zahl an Schimpfwörtern und die Portugiesen zeigen eine hohe Bereitschaft, sie auch zu verwenden. Im Schwedischen, auf der anderen Seite, findet man viel weniger solcher schmutzigen Wörter und die Kommunikation ist im Allgemeinen wesentlich höflicher. 2.3 Das Eisberg-Modell der Kultur Kultur kann man mit einem Eisberg vergleichen. Ein Eisberg besteht aus einem kleinen sichtbaren Teil über der Wasseroberfläche und einem nicht sichtbaren Teil unterhalb der Wasseroberfläche. Genauso ist es mit der Kultur; einige Aspekte sind leicht wahrnehmbar, es existiert jedoch noch ein anderer, wesentlich größerer Teil, der für das Auge verborgen ist. Nichtsdestoweniger stehen der sichtbare und der unsichtbare Teil in Beziehung zu einander. Die sichtbaren Aspekte oder Eigenschaften einer Kultur, die sich im Verhalten von Menschen zeigen, werden durch die unsichtbaren beeinflusst, z. B. durch Werte, Einstellungen, Gedanken, Gefühle und Glaubenseinstellungen. Während einer interkulturellen Interaktion interpretieren Personen oft das Verhalten der Anderen mit ihren eigenen Kategorien - ihren Einstellungen und ihren Werten. Die Folge ist, dass das Verhalten der Anderen befremdlich erscheint. Dabei darf man aber nicht vergessen, dass dieses Verhalten des Anderen für ihn sehr wahrscheinlich sinnvoll ist, ganz einfach weil es mit seinen Werten und Einstellungen übereinstimmt. Wenn wir also sagen, dass das Verhalten von jemanden keinen Sinn macht, meinen wir in Wahrheit, dass dieses Verhalten dem widerspricht, was wir glauben, was diese Person glaubt und denkt. Um zu verstehen, woher eine bestimmte Verhaltensweise kommt und warum Personen sich so verhalten, wie sie es tun, muss man etwas über ihre Werte und Einstellungen lernen. 9

135 Minos Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Sichtbare Teile von Kultur (wahrnehmbares Verhalten, Sprache, Aussehen) Nicht sichtbare Teile von Kultur (Erwartungen, Einstellungen, Werte, Normen, Bräuche) Abbildung 1: Eisbergmodell der Kultur Beispiel Rudolf aus Deutschland und Gaia aus Italien haben sich um Uhr verabredet. Er erscheint genau zur verabredeten Zeit an der Stelle, wo sie einander treffen wollten, aber Gaia ist nicht da. Sie kommt eine gute Stunde später. Rudolf wertet ihr Verhalten als Mangel an Respekt oder als Unzuverlässigkeit, weil er ihr Verhalten mit seinen Werten und Überzeugungen interpretiert. Doch tatsächlich haben die Menschen aus Italien ein anderes Verständnis von Zeit und Gaia hat nur nach ihren Werten, Überzeugungen und Gewohnheiten gehandelt. 10

136 Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Minos 3 Grundlagen von Kultur 3.1 Stereotypen und kulturelle Generalisierungen Kulturelle Stereotypen und Generalisierungen sind zwei Konzepte darüber, wie man über andere Menschen denken kann. Obwohl sie einander ähnlich erscheinen, gibt es entscheidende Unterschiede, die für die interkulturelle Kommunikation von außerordentlicher Relevanz sind. Definition Definition Ein kultureller Stereotyp ist die Anwendung eine vorher behaupteten Verallgemeinerung auf alle Personen in einer kulturellen Gruppe oder das Generalisieren auf Grundlage nur weniger Menschen einer Gruppe. Ein Stereotyp ist eine rigide Generalisierung, manchmal als das Verhärten von Kategorien bezeichnet. (Bennett, 1998) Kulturelle Generalisierung ist die Tendenz einer Mehrheit von Menschen einer kulturellen Gruppe, gewisse Werte und Überzeugungen zu haben und nach bestimmten Verhaltensmustern zu agieren. Es ist eine Hypothese, die auf Erfahrungen über vorherrschende Verhaltensweisen oder zentrale Neigungen einer Gruppe von Personen basiert. (Bennett, 1998) Beispiel Stereotypen : Engländer mögen Fisch und Pommes. Die Franzosen essen viel Käse. Deutsche sind immer pünktlich. Generalisierungen : Viele Engländer mögen Fisch und Pommes. Viele Franzosen essen viel Käse. Deutsche tendieren dazu, pünktlich zu sein. Wichtig Obwohl wir Verallgemeinerungen benötigen, um einen Zugang zu anderen Kulturen zu erhalten, ist es problematisch zu stereotypisieren - es gibt immer viele verschiedene Auffassungen, andere Verhaltensweisen und Überzeugungen. Kulturelle Generalisierung heisst immer, dass eine erhöhte Wahrscheinlichkeit besteht, dass manche Menschen einer Kultur auf eine bestimmte Weise agieren oder denken, aber niemals alle. Niemand repräsentiert die Gesamtheit der Eigenschaften, die einem speziellen Land zugeschrieben werden! Es gibt immer Subgruppen und Subkulturen (z.b. basierend auf Geschlecht, Alter, ethnischen und beruflichen Gruppierungen), in denen kulturelle Charakteristika nicht denen der Mehrheit der Gesellschaft entsprechen. Es gibt einige weitere Konzepte, die in diesem Zusammenhang von besonderer Bedeutung sind: Definition Definition Ethnozentrismus ist die Idee, dass das, was die Kultur einer Person repräsentiert, den natürlichen und besten Weg darstellt, Dinge zu tun. Der kulturelle Relativismus behauptet, dass Kulturen nicht aus einer einzigen oder absoluten, ethischen oder moralischen Perspekive beurteilt oder bewertet werden können. Bewertungen sind relativ zu dem Hintergrund, aus dem sie entstammen. Die Werte, Ethik oder Moral einer Kultur können niemals ganzheitlich als übergeordnet oder untergeordnet im Vergleich zu einer Anderen gesehen werden. 11

137 Minos Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Definition Kultureller Pluralismus ist ein Kontext, in dem mehr als eine Kultur in einer bestimmten Gesellschaft existiert. Kultureller Pluralismus ist die soziale und politische Interaktion von Menschen mit verschiedenen Lebens- und Denkweisen. Idealerweise impliziert dies die Ablehnung von Fanatismus, Voreingenommenheit und Rassismus und begünstigt den Respekt vor den kulturellen Traditionen anderer Leute. 3.2 Generalisierung von Kultur - Geert Hofstede s Kulturdimensionen 12 Wie die bisherigen Abschnitte zeigten, ist Kultur ein komplexes Phänomen mit zahlreichen Aspekten und Facetten. Da ein Auslandsaufenthalt eine Vorbereitung auf die Anpassung an eine Kultur nötig macht, braucht man einen einfacheren Weg, um über Kultur zu reflektieren. Einen Weg, der Aspekte von höherer Bedeutung beinhaltet und auf andere, weniger wichtige, verzichet. Diese Herangehensweise heisst, dass man ein Modell von Kultur entwickelt, dass vereinfachte aber nichtsdestoweniger brauchbare Informationen über eine Kultur bereitstellt. Ein sehr populäres Modell wurde von Geert Hofstede entwickelt. Basierend auf einer der größten jemals durchgeführten empirischen Studien über kulturelle Unterschiede, befragte er in zahlreichen Ländern Leute nach ihren Überzeugungen und Werten. Aus den Resultaten schaffte er es, die Komplexität von Kultur auf 5 fundamentale Kulturdimensionen zu reduzieren: 1. Individualismus 2. Machtdifferenz 3. Unsicherheitsvermeidung 4. Maskulinität 5. Langzeitorientierung Laut Hofstede unterscheiden sich Kulturen am meisten durch die Art wie sie zu diesen fünf Konzepten stehen und auf sie reagieren. Zunächst mag das etwas seltsam erscheinen. Wie kann es sein, dass man mit nur fünf Dimensionen eine bestimmte Kultur beschreiben kann? Der Grund ist, dass sie so fundamental sind. Sie sind oftmals die Quelle eines weiten Spektrums konkreter Werte, Überzeugungen und Einstellungen und oft kann man die Verhaltensweisen der Leute auf eine dieser Dimensionen zurückgeführen (oder eine Kombination aus ihnen). Da sich diese Dimensionen häufig als die grundlegenden Elemente kultureller Unterschiede herausstellen, sind sie ein sehr hilfreiches Instrument, um Konflikte zwischen Individuen oder Gruppen verschiederner kultureller Herkunft zu verstehen. Als ersten Ansatz bieten sie eine Struktur für die Analyse von Kulturen, die als Vorbereitung auf einen Auslandsaufenthalt genutzt werden kann. In aller Kürze bedeuten die Dimensionen: Individualismus: Das Ausmaß, in dem Menschen glauben, dass sie sich um andere kümmern sollten und sie selbst, ihre Familien oder die Organisationen, zu denen sie gehören, sich um sie kümmern sollten.

138 Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Minos Individualismusindex (IDV) Machtdifferenz: Der Grad an Ungleichheit zwischen den Menschen, den die Bevölkerung eines Landes als normal erachtet. Unsicherheitsvermeidung: Das Ausmaß, in dem Menschen eines Landes strukurierte, vorhersehbare Situationen gegenüber unstrukturierten bevorzugen. Maskulinität: Das Ausmaß, mit dem eine Kultur fördernd auf Dominanz, Selbstbewusstsein und die Anhäufung von matieriellen Besitzümern einwirkt. Dem steht eine Kultur gegenüber, die mehr die Menschen, Gefühle und Lebensqualität herausstellt. Langzeitorientierung: Langzeit-Werte sind zukunftsorientiert, z.b. Sparen und Dauerhaftigkeit. Kurzzeit-Werte dagegen orientieren sich mehr auf die Vergangenheit und die Gegenwart, so z. B. der Respekt gegenüber Traditionen und die Erfüllung sozialer Verpflichtungen. Plant man in einem anderen Land zu arbeiten, so ist ein Blick auf die Punktwerte des betreffenden Landes in den Kulturdimensionen hilfreich, um erste Informationen darüber zu erhalten, was man bei Interaktionen mit Menschen dieses Landes wahrscheinlich zu erwarten hat. In den folgenden Abschnitten werden die einzelnen Dimensionen genauer erklärt und das Buch wird auf einige Phänomene Bezug nehmen, die durch die Dimensionen erklärt werden können. Das Buch bietet darüberinaus einige Ratschläge, die bedacht werden sollten, wenn man in einem Land arbeitet, das einen anderen Punktwert in einer Dimension hat als das Eigene. Definition Individualismus betrachtet das Ausmaß,mit dem Personen es bevorzugen, mehr als Individuum denn als Gruppenmitglied zu agieren. Wird der Schwerpunkt auf die Rechte von Individuen oder von Gruppen gelegt? Neigen die Menschen dazu, nur auf sich und ihre eigene Familie zu achten oder gibt es einen sozialen Rahmen, in dem Menschen zwischen Wir- und Fremdgruppen unterscheiden und dabei erwarten, dass ihre Wir-Gruppe ein Auge auf sie hat? Menschen aus Kulturen mit einem hohen Wert in der Individualismusdimension, tendieren dazu, in Ich - Kategorien zu denken. Sie fokussieren ihre Interessen auf die individuellen, persönlichen Ziele und die angestrebten Erfolge. Die Beziehungen zu Anderen sind oft relativ lose. In diesen Ländern werden Privatsphäre und Freiheit betont und Leute aus diesen Kulturen finden es ganz natürlich, dass sie sich selbstverwirklichen und ihre einzigartigen Qualitäten entdecken. Beispiel Individualismus findet man zum Beispiel in den USA, Australien, Großbritannien, den Niederlanden, Kanada, Deutschland und Italien. 13

139 Minos Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Kollektivistische Gesellschaften fallen auf das andere Ende dieser Dimension. Menschen aus diesen Ländern denken mehr in Wir - Kategorien und das Interesse der Gemeinschaft ist von äußerster Wichtigkeit. In kollektivistischen Kulturen fühlen sich die Menschen in einer Gruppe wohler und möchten mit anderen in Verbindung stehen. Zur Familie besteht ein starker Bezug mit viel Verantwortung. Die Menschen tendieren dazu, sich als Mitglieder verschiedener Gruppen zu sehen. Konformität wird erwartet und geschätzt. Beispiel Kollekivismus findet man in vielen südamerikanischen Ländern und ebenso in China, Bulgarien und Rumänien. Abbildung 2: Verteilung des Individualismusindex Anmerkungen mit Bezug auf die Arbeit in Ländern mit einem anderen IDV: Für Länder mit einem hohen IDV gilt: - Als Person wird von einem erwartet, selbstständig und mit Eigeninitative zu arbeiten. Für Unterstützung sollte man sich nicht auf die Gruppe verlassen. - Der Kommunikationsstil ist oft vergleichsweise direkt und aufgabenorientiert. - Das Geschäftsumfeld ist mehr oder weniger von Beziehungen und persönlichen Kontakten abhängig. Das Geschäfts- und Privatleben kann sehr gut getrennt werden. - Angestellte oder Personen in niedrigeren Positionen erwarten häufiger Chancen, an Projekten zu arbeiten oder Aufgaben selbstständig zu lösen. Sich zu sehr in ihre Arbeit einzumischen, kann negativ interpretiert werden. - Es ist für die Menschen nicht ungewöhnlich, sich anzustrengen und aufzufallen. Das kann beispielsweise bei Meetings, Präsentationen oder innerhalb einer Gruppenarbeit sein. - Man sollte verstehen, dass eine gewisses Ausmaß an Individualität toleriert wird, z. B. in Hinblick auf das äußere Erscheinungsbild, bestimmte Verhaltensweisen usw. 14

140 Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Minos Für Länder mit einem niedrigen IDV gilt: - Die Menschen haben oft einen starken Familiensinn, der manchmal über die Arbeit gestellt wird. - Die Kommunikation erfolgt häufiger indirekt. Mit Konflikten wird sehr vorsichtig umgegangen. - Ein Lob sollte stets an das Team und nicht an den Einzelnen gerichtet sein, da es diesen peinlich berühren könnte. - Beförderungen beruhen auf Dienstalter und Erfahrung - weniger auf Leistung und Erfolgen. - Die Entscheidungsfindung kann ein sehr langwieriger Prozess sein, da viele Leute in der Hierarchie konsultiert werden müssen Machtdifferenzindex (PDI) Definition Machtdifferenz umfasst Hierarchie und die Stellung von Individuen innerhalb der Gesellschaft. Sie bezieht sich auf das Ausmaß an Ungleichheit, das in einem Land von den Menschen akzeptiert wird. Ist jeder gleich oder werden Machtunterschiede als natürlich gegeben angesehen? In Bezug auf das Arbeitsleben könnte man fragen, wie der Entscheidungsfindungsprozess in einem Unternehmen für gewöhnlich abläuft. Sollte jeder eine gleichberechtigte Stimme haben oder ist eine höher gestellte Person befugt, Entscheidungen allein zu treffen? Hat ein Land einen hohen Wert, wird Macht als ein selbstverständlicher Teil der Gesellschaft anerkannt und die Position eines Individuums hat weniger mit ihren Fähigkeiten zu tun. Die Leute haben kein wirkliches Problem mit grossen Unterschieden in Dingen wie Klassen, Einkommenshöhe oder Machtverteilung. Oft fördern Religionen die Ungleichheit und Macht steht oft über dem Gesetz. Behörden tendieren dazu, ihren Status offen zu demonstrieren. Beispiel Beispiele sind viele arabische, lateinamerikanische und afrikanische Länder, sowie Russland, Slovenien und Rumänien. Ebenso zeigen Polen, Frankreich und Belgien einen vergleichsweise hohen Wert. Länder mit geringer Machtdistanz finden große Unterschiede in diesen Bereichen im Allgemeinen inakkzeptabel oder unerwünscht. Macht ist nichts natürlich gegebenes sondern muss praktische Gründe aufweisen. Ansonsten tendieren die Leute zu der Meinung, dass alle die gleichen Rechte haben sollten und dass die Stellung eines Individuums in der Gesellschaft viel mehr in Zusammenhang zu dessen Fähigkeiten und Kompetenzen stehen sollte. Beispiel Die Werte für Machtdifferenz sind niedrig in Ländern wie der USA, Australien, Deutschland, Großbritannien sowie den skandinavischen Staaten. 15

141 Minos Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Abbildung 3: Verteilung des Machtdifferenzindexes Anmerkungen mit Bezug auf die Arbeit in Ländern mit einem anderen PDI: Für Länder mit einem hohen PDI gilt: - Vorgesetzte sollten mit Respekt behandelt werden und man sollte ihnen nicht zu oft widersprechen. - Die Beziehung zu Angestellten sollte eher distanziert sein und Vorgesetzte sollten gegenüber ihren Angestellten eher autoritär auftreten. Nicht jede Entscheidung sollte diskutiert werden. - Instruktionen für Leute, mit denen man zusammenarbeitet, sollten präzise und explizit sein. - Fristen sollten gesetzt und betont werden. - Von Untergebenen wird nicht erwartet, dass sie die Initiative ergreifen. - Man sollte sich auf mehr Bürokratie einstellen. Für Länder mit einem geringen PDI gilt: - Vorgesetzte werden mit weniger Respekt und Ehrerbietung behandelt, als dies in Ländern mit einem hohen PDI typisch ist. - Das Protokoll und Etikette sind weniger wichtig und die Leute möchten sich auf formlosere Art kennenlernen. - Die Beziehung zu Untergebenen sollte enger sein. - Andere sollten in den Prozess der Entscheidungsfindung involviert werden. - Urteile über Menschen auf Grundlage des äußeren Erscheinungsbildes, des Benehmens, Privilegien oder Statussymbolen sollten vermieden werden. 16

142 Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Minos Unsicherheitsvermeidungsindex (UAI) Definition Unsicherheitsvermeidung ist das Ausmaß, mit dem Menschen einer bestimmten Kultur strukturierte Situationen mit klaren Regeln, Gesetzen und Vorschriften, gegenüber unstrukturierten vorziehen. Unsicherheitsvermeidung bezieht sich z.b. auf das Ausmaß an Risikobereitschaft der Menschen oder bis zu welcher Detailtiefe die Mitglieder eines Planungsteams bei der Vorbereitung eines Seminars gern gehen würden. Sie umfasst auch, wieviel Raum für Wandel und Improvisation vorhanden ist und ob die Dinge einfach ihren Weg gehen (und dann vielleicht besser oder schlechter als erwartet werden). In Ländern mit einem hohen Unsicherheitsvermeidungsindex wird Unsicherheit als etwas negatives betrachtet. Dinge, die anders sind, werden als gefährlich eingestuft. Die Leute in solchen Gesellschaften fühlen sich von unklaren Situationen bedroht und versuchen, sie durch viele Regeln, Vorschriften oder andere Sicherheitsmaßnahmen zu vermeiden. Die Menschen tendieren dazu Struktur, Präzision und Formalisierung zu bevorzugen. Diese Länder sind oft sehr homogen und gegenüber Wandel und Innovation eher verschlossen. Beispiel Ein hohes Maß an Unsicherheitsvermeidung findet man in lateinamerikanischen Ländern, Russland, Japan, Griechenland, Portugal und in den deutschsprachigen Ländern. Ist der Indexwert gering, wird Unsicherheit als etwas normales und natürliches betrachtet. Man wird wahrscheinlich auf Leute treffen, die die Dinge gelassen angehen und weniger rigide sind. Sie tendieren dazu, risikobereiter und offener für Wandel und Innovationen zu sein. In der Regel ist das Maß an Vorschriften wesentlich geringer. Zudem sind diese Länder zumeist vergleichsweise jung und zeichnen sich durch eine höhere Diversität auf Grund von Einwanderungswellen aus. Beispiel Länder mit niedrigem Unsicherheitsvermeidungsindex sind z.b. die USA und Großbritannien, Dänemark, Schweden sowie China und Singapur. 17

143 Minos Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Abbildung 4: Verteilung des Unsicherheitsindex Anmerkungen mit Bezug auf die Arbeit in Ländern mit einem anderen UAI: Für Länder mit einem hohen UAI gilt: - Versucht man neue Ideen, innovative Arbeitsweisen oder Methoden einzubringen, wird das Zeit kosten. Für solche Vorhaben werden Sie wahrscheinlich viel Aufwand und Geduld benötigen, bevor die neuen Vorschläge letztlich von den Leuten angenommen werden. - Man sollte sich darauf einstellen, mit einem sehr bürokratischen System zu tun zu haben. - Wenn möglich, sollten Einheimische in Projekte innvolviert werden, um ihnen zu ermöglichen, ein gewisses Verständnis zu entwickeln und den Grad an Unwissenheit zu senken. - Instruktionen, Vorschläge, Präsentationen und Antworten auf Fragen sollten sehr präzise sein und Zuständigkeiten klar definiert werden. - Aussagen sollten mit harten Fakten und Statistiken untermauert werden. Für Länder mit einem niedrigen UAI gilt: - Man sollte Flexibilität und Offenheit gegenüber neuen Ideen und Innovationen zeigen. - Man sollte darauf vorbereitet sein, beschlossene Vereinbarungen schnell umzusetzen, da erwartet werden wird, dass sie so bald wie möglich realisiert werden. - Angestellte sollten eigenständig sein und Freiräume zum Ausführen von Aufgaben haben, bei denen ihnen Mittel und Wege offen stehen. 18

144 Sozialverhalten, Interkulturelle Kompetenz Minos Maskulinitätsindex (MAS) Definition Maskulinität und Femininität sollten nicht als die biologischen Kategorien männlich und weiblich missverstanden werden. Stattdessen beziehen sie sich auf soziale Rollen und Kategorien, die Personen in einer Gesellschaft inne haben. Bestimmte Werte werden als männlich angesehen, z.b. Durchsetzungsvermögen, Erfolg, das Streben nach Reichtum und Leistungsorientierung. Andere sind weiblich, wie Solidarität, Beziehungen und Lebensqualität. Das Ausmaß, in dem die mänlichen Werte über die weiblichen gestellt werden, definiert den Wert eines Landes im Maskulinitätsindex. In Ländern, in denen die Priorität auf dem maskulinen Leben liegt, werden Leistung, Wettbewerb, Vermögen und Wachstum hoch geschätzt. Man lebt, um zu arbeiten. Männer und Frauen haben in der Gesellschaft verschiedene, wohldefinierte Rollen und Konflikte werden oft auf eine eher agressive Weise ausgetragen. Beispiel Europäische Länder, wie die Slovakei, Deutschland, Österreich, Ungarn und die Schweiz zeigen einen hohen Maskulinitätswert ebenso wie Japan. In femininen Ländern (mit einem niedrigen Wert) wird viel mehr Wert auf Familie, Beziehungen und die Lebensqualität gelegt. Man arbeitet um zu leben. Männer und Frauen werden als gleichberechtigt angesehen. Konflikte werden weniger hart ausgetragen und sollten durch Verhandlungen gelöst werden. Beispiel Die skandinavischen Länder, die Niederlande und Spanien zeigen einen niedrigen Wert in diesem Index. Abbildung 5: Verteilung des Maskulinitätsindex 19