Die Fourier-Transformation

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Jacob Zimmermann
vor 8 Jahren
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1 D Fourr-Trasorato INHATSVERZEICHNIS EINEITUNG GRUNDIDEE EINER TRANSFORATION 3 DAS SAPINGTHEORE 4 DIE DISKRETE FOURIERTRANSFORATION DFT) 4 DIE INVERSE DISKRETE FOURIERTRANSFORATION IDFT) 8 DIE SCHNEE FOURIERTRANSFORATION FFT) DIE DISKRETE KOSINUSTRANSFORATION DCT) GRENZEN & PROBEE 4 ITERATURVERZEICHNIS 5

DISKRETE FOURIERTRANSFORATION IDFT) 8 DIE SCHNEE FOURIERTRANSFORATION FFT)

2 Eltug - Prodsh Vorgäg spl sho st hr Natur ud Th ztral Roll z.b. Pulsshlag, Platbwgug, Tat- ud Torquz us - D Rhth zur Aalys solhr Vorgäg lrt JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER ) - D Hauptaussag FOURIER s war: Jd prodsh Futo a durh Su o Sus- ud Kosusshwgug dargstllt wrd. Dr rhthsh Durhbruh glag doh rst COOEY ud TUKEY d 6r Jahr t dr oputrgstützt FOURIERaalys. Dadurh ot dgtal Sgal rarbtt wrd. S ot aalysrt, gltrt ud gglättt wrd. D FOURIERtrasorato st udatals Vrahr dr Sgalrarbtug, s röglht d Übrührug o Sgal dr Darstllug Ztput, Abtastwrt) Sgal dr Darstllug Frquzatl, Apltud ud/odr Phas). Vl Oprato z.b. Fltr) sd Frquzrau wstlh lhtr durhührbar. Ashlßd wrd das Sgal t Hl dr rs FOURIERtrasorato zurütrasorrt. st st sogar d Trasorato, das Awd dr Oprato ud d Rütrasorato shllr als das drt Awd dr Oprato au das tsprhd Sgal. Awdug dt d FOURIERtrasorato u.a. dr Utrsuhug atürlhr Tö ud Sgal. Adrshru st s öglh, t Hl dr rs Egshat Sgal zu rzug.

dargstllt wrd. Dr rhthsh Durhbruh glag doh rst COOEY ud TUKEY d 6r Jahr t dr oputrgstützt FOURIERaalys. Dadurh ot dgtal Sgal rarbtt wrd. S ot aalysrt, gltrt ud gglättt wrd.

3 Grudd r Trasorato E Trasorato st ützlhs Hlsttl u lstg Probl zu lös. D Id bruht au dr Übrührug r athatsh g Zahl, Vtor, Futo,...) adr For, d llht urtraut st, abr daür shr ützlh Egshat hat. Bspl : ultplato zwr röshr Zahl XCVI XII - Trasorato d arabsh Shrbws Htrasorato) Brhug 5 CII - Rütrasorato wdr d rösh Shrbws Rütrasorato) Bspl : ultplato zwr rllr Zahl Frühr, als oh Tashrhr bat war, wurd d ultplato ttls Uwadlug d ogarthus brht, d so brauht a d ogarth ur oh zu addr ogarthtal). Z,345,543 Wg I Shulthod): Z.9584 Wg II ogarthtal): log Z ) log ) log Z ) log.345) log.543) logz) logz).799 Z.95 /Nahshlag Htrasorato) /Nahshlag Rütrasorato) Hr rt a auh gut, dass das Nahshlag r Tabll wstlh shllr rolgt, als d Brhug ds Produts t Hl dr Shulthod.

bat war, wurd d ultplato ttls Uwadlug d ogarthus brht, d so brauht a d ogarth ur oh zu addr ogarthtal). Z,345,543 Wg I Shulthod): 345 543 345 675 4938 3735 469 9584 Z.

4 Das Saplgthor - Das Abtast r Futo wrd Saplg gat - Nyqust ud Shao hab brts d 4r Jahr ds. Jahrhudrts das Saplg-Thor gzgt: D Abtastrquz sollt größr d dopplt dr axal autrtd Frquz s ax Nyqustrat ax Nyqustrquz - D Nyqust-Rat bshrbt d thortsh alst Saplgrat, b dr das Egagssgal oh ollstädg dargstllt wrd a. Es st also Saplgrat, b dr das ursprüglh Sgal rlässlh wdrhrgstllt wrd a. Bspl: shlhs Ghör: Hz bs Hz Audosgal CD-Qualtät: 44 Hz - Dab uss a baht, dass d rwdt Saplrat höhr s sollt, als d Nyqust-Rat, da Quatsrugshlr b Saplgprozss das Ergbs zusätzlh bluss. - Als Quatsr bzht a d Vorgag, b d dr Wrtbrh Itrall utrtlt wrd Wrtdsrtsrug). D Dsrt Fourrtrasorato DFT) - I dr dgtal Sgalrarbtug wrd das Ausgagssgal d Rau dr oplx Zahl übrührt ud als Frquzsptru t ral ud agär Atl btrahtt ud aalysrt. - D FOURIERaalys bldt d Grudlag batr Vrahr zur Koprsso, ralsxtrato ud ustrrug. ggb: Vtor,..., [ ] T, ssdat-abtastwrt) Azahl ssput r Prod gsuht: Trasorato d Frquzbrh all orod Frquz wrd dargstllt - Frquzsptru)

dargstllt wrd a. Es st also Saplgrat, b dr das ursprüglh Sgal rlässlh wdrhrgstllt wrd a.

5 - ür d FOURIERtrasorato glt olgd Forl: DFT s os -,,..., - odr ugort Expotalshrbws: -,,..., - bzw. altrat atrxshrbws: ) ) ) ) ) 4 ) - Bspl: ggb: Futo ) os9.3 ) os.7 ) t t t st ubat) wrd abgtastt. T, [. ;.384 ;.89 ;.35 ;.39 ; -. ; -.39 ; -.35 ; -.89 ; ; -. ; ; -.89 ; -.35 ; -.39 ;. ;.39 ;.35 ;.89 ;.384 ] T gsuht: :DFT)

6 wrd ah ah obgr Forl brht, s rgbt sh olgdr Vtor FOURIERozt) : [. ;.35 ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;.5 ;. ;.5 ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;.35 ] T Brug: all Iagäratl sd rshwudda, ur Kosusatl dr ggb Futo orhad sd) - D FOURIERozt rprästr dsrts Sptru. Für rll Futo sd s sytrsh. Zur Darstllug wrd dshalb ur d Hält dr FOURIERozt gutzt. D Apltud rgbt sh da zu y Apltudsptru). - Es st auh öglh d Phas übr dr Frquz abzutrag. Für I d Phas rgbt sh: ) ϕ arta Phassptru). R ) - grash Darstllug: t).7 os t) t).3os9 ) t Das Bld zgt d wlg Futo Itrall [,]. S wrd addrt ud s tstht d rsultrd Futo t).

Für rll Futo sd s sytrsh. Zur Darstllug wrd dshalb ur d Hält dr FOURIERozt gutzt. D Apltud rgbt sh da zu y Apltudsptru).

7 t).7 os t).3 os9 t) Es wrd gau d Frquzatl agzgt, d auh dr Ausgagsuto thalt war. - b dr dgtal Fltrug wrd das Sgal aalysrt, d Frquzatl hrausgltrt d.h. tsprhd FOURIERozt wrd au gstzt) ud ashlßd rütrasorrt.

8 I Bld sd au Vrädrug zwsh d Ausgagssgal ud d rzugt Sgal shtbar, d.h. d Shwgug t grgr Apltud trag au zur For dr Grudshwgug b. Ds a zur rlustbhatt) Koprsso gutzt wrd d a d FOURIERozt t grg Btrag au Null stzt. Es lass sh auh shr ah Hoh-, T- odr Badpassltr pltr. D tsprhd FOURIERozt dr ugwollt Frquz wrd au Null gstzt). D Irs Dsrt Fourrtrasorato IDFT) D rs dsrt FOURIERtrasorato stllt das Ggstü zur DFT dar. S wadlt d Dat o Frquzbrh wdr zurü d Ztbrh. ggb: Vtor FOURIERozt ) [ ] T,,..., Azahl ssput gsuht: Ausgagssgal Ztbrh - ür d rs FOURIERtrasorato glt olgd Forl: IDFT,,..., -

D tsprhd FOURIERozt dr ugwollt Frquz wrd au Null gstzt).

9 - odr wdr atrxshrbws: ) ) ) ) ) 4 ) - Bspl: ggb: [. ;.35 ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;.5 ;. ;.5 ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;.35 ] T gsuht: [. ;.384 ;.89 ;.35 ;.39 ; -. ; -.39 ; -.35 ; -.89 ; ; -. ; ; -.89 ; -.35 ; -.39 ;. ;.39 ;.35 ;.89 ;.384 ] T D Wrt tsprh xat d Ausgagswrt. - grash Darstllug:

10 D Shll Fourrtrasorato FFT) - b DFT st dr Auwad ) O, ür pratsh Awdug t r groß Azahl a Egagsdat st ds zu lag - dshalb suht a shllr Algorthus zur Brhug dr FOURIERtrasorato: dr Auwad war tzt ur oh ) log O - ds hat rst Awdug auh au lr Prozssrhr röglht z.b. Bldrarbtug, Glättug o Dat - wtr Awdug sd d shll Polyoultplato bzw. ultplato zwr großr htgatr Zahl - lassshs dd & oqur Przp - dr FFT Algorthus bruht au r gsht Zusaassug o Suad, u gwss Sytrgshat auszuutz. Vorausstzug: p. Tlug ds Ausgagstors Vtor grad ud ugrad Idzs) t wls ur oh dr halb äg ),...,-, ür glt: ) ür glt:

Bldrarbtug, Glättug o Dat - wtr Awdug sd d shll Polyoultplato bzw.

11 dadurh a d obg Forl ugshrb wrd: -,...,,. Es wrd ür d Vtor rut das Utrprogra augru 3. Autlug wdr zw Vtor t grad ud ugrad Idzs Abbruh: Vtor dr äg, Awdug o DFT au Vtor tral : ; 5. Ergbs wrd dr ähsthöhr Stu tgtlt 6. Vtor wrd zu dopplt so lag Vtor zusagügt Forl sh ob). - Bspl: ggb:,4, [,,3,4] T gsuht:,:fft)

Autlug wdr zw Vtor t grad ud ugrad Idzs... 4.

12 s rgbt sh also ür d rs shll FOURIERtrasorato IFFT) wrd aalogs Vrahr agwadt Fator wrd wgglass ud Übrgag zu ah Koplx). D Dsrt Kosustrasorato DCT) - Spzalall dr FOURIERtrasorato - u 97 twlt - bsodrs ür Blddat JPEG) gut ggt D Dsrt Kosustrasorato wadlt w d FOURIERtrasorato Dat Bshrbug u, b dr d Wrt durh Frquz ud Apltud rprästrt wrd Für Blddat gb d Frquz a, w shll sh Farb rhalb s Blds rädr, d Apltud bshrb d Stär dr Vrädrug. Es dt hauptsählh d zwdsoal Varat Vrwdug. S arbtt üblhrws au 8x8 Blö ds zu odrd Blds. W Pxlblo plötzlh Farbsprüg, sodr ur ählh Farb sd, hab auh d DCT-Kozt außr d Erst ählh, l Wrt. wtr Awdug: PEG - Vdooprsso P3 - Koprsso Forl: ählh w DFT, abr oh Susatl

d Wrt durh Frquz ud Apltud rprästrt wrd Für Blddat gb d Frquz a, w shll sh Farb rhalb s Blds rädr, d Apltud bshrb d Stär dr Vrädrug. Es dt hauptsählh d zwdsoal Varat Vrwdug.

13 D-Trasorato Htrasorato DCT) : os,..., F Rütrasorato IDCT) : os,..., F D-Trasorato: Htrasorato: os os F Rütrasorato: os os 4 Utrshd zur DFT: - DFT rzugt oplx Zahl; DCT Ggsatz ur rll Zahl - DFT t a, dass d Futo prodsh st Es gbt auh ür d DCT shll Varat, au d hr abr ht ähr ggag wrd soll.

DFT: - DFT rzugt oplx Zahl; DCT Ggsatz ur rll Zahl - DFT t a, dass d

14 Grz & Probl - hld oalsato au Ztahs - all Dat wurd glh bwrtt Rhtstr), dadurh tsth a Aag ud Ed ds Datsatzs tl. Sprüg, d b dr Trasorato Frquzbädr ortäush, d Sgal übrhaupt ht thalt war. Auswg: ultplato ds zu trasorrd Sgals t r Bwrtugsuto Drs-, Hag-, odr Hagstr) D Dat a Aag ud Ed s Fstrs wrd dadurh shwähr bwrtt. - FOURIERozt thalt Iorato übr d Futo aus d gsat Dtosbrh, a a h ht ash wo Sprugstll odr ausgprägt Sptz dr Futo lg - Probl wrd bstgt durh d WAVEET-THEORIE Wtrtwlug dr FOURIERaalys)

Auswg: ultplato ds zu trasorrd Sgals t r Bwrtugsuto Drs-, Hag-, odr Hagstr) D Dat a Aag ud Ed s Fstrs wrd dadurh shwähr

15 traturrzhs [] Saloo, Dad: Data Coprsso. Sprgr Vrlag, Nw Yor 997 [] ohr, Fraz: Nursh athat ür Ioratr. Sprgr Vrlag, Brl 993 [3] Hul, Thoas: Nur ür Ioratr. Sprgr Vrlag, Brl [4] Sdgw, R.: Algorth. Addso-Wsly, Bo 99 [5] Paul, Rhold: Eltroth ud Eltro ür Ioratr. Tubr, Stuttgart 995 [6] Shulz, Dtr: PC-gstützt ß- ud Rglth Grudlag ud pratsh Awdug. Frazs, Fldrh 994

Sprgr Vrlag, Brl 993 [3] Hul, Thoas: Nur ür Ioratr. Sprgr Vrlag, Brl [4] Sdgw, R.

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