Frequenzanalyse. Der Abstand der diskreten Frequenzlinien ist der Kehrwert der Periodendauer:

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1 WS 0 Fourier-Reihe: Jede einigrermaßen gutartige 1 periodishe reelle Zeitfuntion x(t) ann mittels einer Fourier-Reihe dargestellt werden als eine Summe omplexer Amplituden (Fourier-Synthese): xt () e n t j π Diese Amplituden werden mit Hilfe der Fourier-Analyse berehnet: 1 t j π t 0 xte () dt Es gelten folgende Eigenshaften: Aus den omplexen Amplituden ann man Betrag A und Phase ϕ berehnen: A x ϕ artg(im( )/Re( )) Eine periodishe Zeitfuntion hat ein disretes Leistungsspetrum (Linienspetrum). Die Signal-Leistung bei einer bestimmten Frequenz ist das Quadrat der entsprehenden Amplitude: P A Der Abstand der disreten Frequenzlinien ist der Kehrwert der Periodendauer: Δf 1 Das Spetrum ist symmetrish zur Frequenz 0 Hz, die omplexen Amplituden für negative Frequenzen sind zu den orrespendierenden positiven Amplituden omplex onjugiert: (-)()* Fourier-ransformation Für nihtperiodishe ontinuierlihe Zeitsignale mit endliher Energie ann (fast immer) die Fourier-ransformierte berehnet werden ( Fourier-Analyse ): + jπ f t X( f ) x( t) e dt Die Rütransformation geshieht folgendermaßen ( Fourier-Synthese ): + jπ f t xt () X( f) e df Das Ergebnis der Fouriertransformation ist eine Amplitudendihte, Einheit z.b. V/Hz. 1 Voraussetzung sind die Dirihlet-Bedingungen : Das Signal hat eine endlihe Zahl von Unstetigeiten, eine endlihe Zahl von Minima/Maxima und es ist quadratish integrierbar. 1

2 WS 0 Disrete Fouriertransformation DF bzw. FF: Bei der disrete Fouriertransformation DF eines zeitdisreten Signals x(n) muß man untersheiden zwishen periodishen Signalen und nihtperiodishen Signalen. Für nihtperiodishe Signale ist die DF folgendermaßen definiert: Analyse: X( ω) x( n) e Synthese: n jωn 1 jωn xn ( ) X( ω) e dω π π Das Spetrum einer abgetasteten zeitdisreten Funtion x(n) ist periodish mit Δωπ/ a. In der Meßtehni ann man shleht Signale beliebiger Dauer erfassen. Als Folge der endlihen Meßzeit erfaßt man immer nur eine endlihe Zahl N an Meßpunten. Die DF nihtperiodisher Signale ann man also nur dann berehnen, wenn das Signal vor und nah der Meßzeit null ist. Andernfalls erfaßt man nur einen eil des Signals und das Ergebnis der Messung und Fouriertransformation ist nur eine mehr oder weniger genaue Shätzung des wirlihen Spetrums. Für periodishe Signale ann die DF allerdings exat berehnet werden. Die Meßzeit muß nun unbedingt der Periodendauer (oder einem Vielfahen) entsprehen. Die DF eines periodishen zeitdisreten Signals ist folgendermaßen definiert: Analyse: N 1 1 jπ n N N Synthese: xn ( ) n 0 N 1 xne ( ) n j π N e 0 Die MALAB fft(...) - Funtion enthält bei der Analyse niht die Normierung um 1/N! Dafür wird bei der Synthese ifft(...) mit 1/N normiert. Die DF hat folgende Eigenshaften: Ein periodishes Zeitsignal mit N Punten hat eine periodishes Spetrum gleiher Länge N. Das Spetrum einer reellen Zeitfuntion ist spiegelsymmetrish zu seiner Mitte, die Kenntnis der Hälfte der Punte reiht zur vollständigen Beshreibung aus. Der erste Punt entspriht dem DC-Anteil, dieser hat ein Spiegelbild Der Punt bei N/ hat ebenfalls ein Spiegelbild, er entspriht der halben Abtastfrequenz und enthält im allgemeinen eine Nutzinformation. Ein vernünftiges Spetrum muß unterhalb dieser Frequenz aufhören. Der Ausdru Fouriertransformation ist hier eigentlih irreführend, genaugenommen handelt es sih ja um die Fourier-Reihe einer periodishen Funtion. Der Untershied zur Fourier-Reihe einer ontinuierlihen Funtion ist lediglih eine Folge des Abtasttheorems: Die abgetastete Folge enthält nur sinnvolle Information in einem Frequenzbereih von DC bis unterhalb der halben Abtastfrequenz. Das Spetrum ist symmetrish zur halben Abtastfrequenz und enthält deshalb eine Information bei noh höheren Frequenzen. Der Begriff FF wird für eine besonders shnelle Implementierung des Algorithmus der disreten Fouriertransformation DF verwendet. Er ann angewendet werden wenn die Anzahl der Punte eine Potenz von ist. Der ri bei der FF besteht in der Vermeidung redundanter Multipliationen mit den Werten der Sinusfuntion. Für eine DF mit N Punten benötigt man N² solher Operationen, bei der FF nur N/*ld(N). Bei 104 Punten ist die

3 WS 0 FF z.b. um einen Fator von etwa 05 shneller als die DF! Im Anhang finden Sie ein C-Programm mit dem FF-Algorithmus. Fensterfuntion Falls man ein nihtperiodishes Signal oder ein Signal mit unbeannter Periodendauer erfaßt und analysiert, dann liefert die DF das Spetrum einer Zeitfuntion, die der periodishen Wiederholung des Meßfensters entspriht! Im allgemeinen entsteht hierbei ein unstetiger Sprung vom Ende des Meßfensters (letzer Meßpunt) zum Anfang (erster Meßpunt). Dieser hinterläßt gewaltige Spuren im Spetrum ( Leaage ) und muß deshalb mit einer Fensterfuntion unterdrüt werden: Man multipliziert das gemessene Signal mit der Fensterfuntion, die am Anfang und Ende des Meßfensters sehr lein oder null ist. Damit ist der Sprung ausgeblendet. Allerdings ist der wirsame Zeitbereih jetzt etwas leiner geworden. Man ann die Multipliation mit der Fensterfuntion als eine Amplitudenmodulation des eigentlihen Meßsignals auffassen. Aus der Nahrihtentehni wissen wir, daß eine Modulation immer eine Vergrößerung der Bandbreite des Signals zur Folge hat. Bei der DF des gefensterten Signals maht sih das durh eine Vershlehterung der Frequenzauflösung (Linienverbreiterung) bemerbar. Es gibt viele vershiedene atalogisierte Fensterfuntionen, von denen jede für einen bestimmten Kompromiß aus Frequenzauflösung und Amlitudengenauigeit optimal ist. Normierung der FF: In der Regel wird man nur die erste Hälfte der Spetralfuntion verwenden, da die zweite Hälfte ja deren Spiegelbild ist. Allerdings geht dabei die Hälfte der Amplitude verloren, was durh eine entsprehende Korretur in Ordnung gebraht werden muß. Die FF bildet immer die Amplituden, also für Sinusfuntionen die Spitzenwerte. In der Meßtehni wird im allgemeinen durh eilung durh auf Effetivwerte umgerehnet, wenn es sih um ein periodishes Signal handelt. Dabei benötigt allerdings der Gleihspannungsanteil wieder eine Sonderbehandlung! Naturgemäß verändert die Multipliation mit der Fensterfuntion die Leistung des Signals. Man muß deshalb eine weitere Korretur der Amplitude vornehmen: Will man die Amplituden erhalten, so muß man durh den linearen Mittelwert der Koeffizienten der Fensterfuntion teilen. Will man dagegen die Leistung des Signals erhalten, so muß die Korretur durh den Effetivwert der Fensterfuntion erfolgen. rendunterdrüung: Ein weiteres Problem der endlihen Meßzeit entsteht beim Vorhandensein sehr niedriger Frequenzanteile: Signale mit einer Periodendauer, die groß ist gegenüber der Meßzeit erzeugen einen von der Phasenlage abhängigen Gleihspannungsanteil und einen linearen rend des Meßsignals. Dieser maht sih nah der Fouriertransformation als Störung im niederfrequnten Spetralbereih bemerbar. Vor der FF solher Signale sollte man deshalb den Gleihspannungsanteil und den linearen rend rehnerish entfernen (MALAB: detrend(...)). Messung der Leistungsdihte: Bei der Messung stohastisher Signale wird das Meßergebnis als Leistungsdihte angegeben: S xx : X( f ) meß Die Phase eines stohstishen Signals ist undefiniert und wird deshalb niht betrahtet. Die Einheit der Leistungsdihte ist bei einer Signal-Spannung z.b. V²/Hz. Die Normierung der MALAB-Funtion psd(...) zur Messung der Leistungsdihte ist im Handbuh der Signal - Proessing - oolbox auf den Seiten beshrieben. 3

4 WS 0 Anwendungen Die wihtigsten Anwendungen der FF umfassen: und Bestimmung der Harmonishen eines Signals Bestimmung der Leistungsdihte stohastisher Signale System-Identifiation Filterung im Frequenzbereih Filterdesign und Filteranalyse Korrelationsanalyse Anhang: C-Programm zur shnellen Fouriertransformation (FF) void fft(double *real_teil, double * imag_teil, int anzahl, BOOL reverse) double a, wr, wi; double tr,ti; int mr, l, nn, istep, m; register int i, j; mr0; nn anzahl-1; /************************/ /* Bitreverse Shuffling */ /************************/ for(m1; m<anzahl; ++m) l anzahl; l >> 1; while( (mr+l) > nn) l >> 1; mr (mr % l) +l; if( mr > m) /* vertaushen */ tr real_teil[m]; ti imag_teil[m]; real_teil[m] real_teil[mr]; imag_teil[m] imag_teil[mr]; real_teil[mr] tr; imag_teil[mr] ti; 4

5 WS 0 /*****************/ /* FF Butterfly */ /*****************/ for( l 1; l < anzahl; l istep) istep *l; for( m1; m < l; ++m) a -PI * ( m -1 ) / l; wr os( a ); if( reverse ) wi sin( a ); else wi -sin( a ); i m - 1; do j i + l; tr wr * real_teil[j] - wi * imag_teil[j]; ti wr * imag_teil[j] + wi * real_teil[j]; real_teil[j] real_teil[i] - tr; imag_teil[j] imag_teil[i] - ti; real_teil[i] + (FLOAYP)tr; imag_teil[i] + (FLOAYP)ti; i + istep; while( i<anzahl ); /*******************************************************/ /* Normieren der Zeitwerte bei inverser ransformation */ /*******************************************************/ if ( reverse ) for( i0; i<anzahl; ++i) real_teil[i] / anzahl; imag_teil[i] / anzahl; 5

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