Lab3 - Fourieranalyse von Signalen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lab3 - Fourieranalyse von Signalen"

Transkript

1 1 Einleitung Lab3 - Fourieranalyse von Signalen M. Brandner, C. Wallinger Die spektrale Analyse deterministischer und zufälliger Signale ist von zentraler Bedeutung in der Messtechnik, da sehr viele interessante physikalische Signale ihre Information erst bei einer spektralen Betrachtung offenbaren. Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT ) erlaubt eine näherungsweise Berechnung der zeitdiskreten Fourier-Transformierten (DTFT ) von Folgen 1 auf Digitalrechnern. Wichtig zur effizienten Realisierung der DFT auf Digitalrechnern sind die FFT-Algorithmen (Fast Fourier Transform). Dies ist eine Gruppe schneller und effizienter Algorithmen zur Berechnung der gesamten DFT einer endlichen Folge. Stochastische Signale werden im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum (Power Spectral Density, PSD) beschrieben. Die Schätzung der PSD erfolgt beispielsweise unter Verwendung von Periodogrammen. Detailliertere und ergänzende Informationen zum Thema Fourier-Transformation und Spektralanalyse findet man in [1, 4, 5]. Die Analyse von derartigen stochastischen Signalen wird in [3] beschrieben und ist u.a. Inhalt der Lehrveranstaltung Statistische Signalverarbeitung [2]. 2 Die Fourier-Transformation von Folgen Die Fouriertransformation einer diskreten Folge x[n] ist definiert als X(ω) = F{x[n]} = n= x[n] e jωn (1) und heißt zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT ), wobei die Folge x[n] im Allgemeinen als unendlich lang angenommen wird. Die Transformierte X(ω) ist dann eine kontinuierliche Funktion der diskreten Frequenz ω mit der Periode 2π und wird meist im Intervall von ω = π, oder ω = π... π angegeben. Damit die Fouriertransformierte der diskreten Folge x[n] existiert, muss diese Folge absolut summierbar, entsprechend Gleichung 2, bzw. quadratisch summierbar, nach Glei- 1 Damit ist die Fouriertransformation diskreter Wertfolgen mit endlicher Energie gemeint. 1

2 chung 3, sein. n= n= x[n] < (2) x[n] 2 < (3) Die absolute Summierbarkeit der Folge x[n] führt zu gleichmäßiger Konvergenz der Fourier-Transformation. Im Falle der quadratischen Summierbarkeit (von nicht absolut summierbaren Folgen) ergibt sich eine Konvergenz im quadratischen Mittel [4]. Für periodische Folgen (unendliche Signal-Energie) existiert damit keine Fouriertransformierte in diesem Sinne. Allerdings existiert eine Beschreibung über die diskrete Fourier- Reihe (Discrete Fourier Series, DFS). Durch Einbeziehung der Dirac schen Delta-Distribution gelingt jedoch auch für die periodischen Folgen mit endlichen Folgenwerten eine Beschreibung im Frequenzbereich [4]. Die Rücktransformation der Fourier-Transformierten X(ω) ergibt sich zu: x[n] = F 1 {X(ω)} = 1 2π X(ω) e jωn dω. (4) 2π 0 Gleichung 1 wird oft auch als Analysegleichung, Gleichung 4 als Synthesegleichung der Fouriertransformation bezeichnet. Die DTFT zerlegt im wesentlichen eine Folge in unendlich viele skalierte, komplexe Exponentialfunktionen ( spektrale Komponenten). Signalkomponenten in einem gewissen Frequenzbereich ergeben sich durch Integration der Fourier-Transformierten über einen ausgewählten Frequenzbereich und können damit extrahiert bzw. analysiert werden. Aus diesem Grund ist die Fouriertransformation ein wichtiges Werkzeug bei der Analyse von Signalen und Systemen. 3 Die Diskrete Fourier-Transformation DFT Um die DTFT auf Digitalrechnern berechenbar zu machen, muss aus der unendlichen Summation in der Analysegleichung 1 eine Summation über endlich viele Werte der Folge x[n] gemacht werden. Dies entspricht einer Rechteck Fensterung der unendlich langen Folge x[n] zu ˆx[n] mit { x[n] 0 n 1, ˆx[n] = 0 sonst, (5) näheres dazu in Abschnitt 5. Des weiteren wird aus der kontinuierlichen Frequenzvariablen ω eine diskrete Variable ω k = 2π k, mit k = 0,..., 1. Die Integration über ω in der Synthesegleichung 4 geht in eine Summation über. Das DFT-Transformationspaar 2

3 ist damit gegeben durch: X[k] = X( 2π 1 k) = x[n] e j 2π kn k = 0, 1,..., 1 (6) x[n] = 1 n=0 1 k=0 X[k] e j 2π kn n = 0, 1,..., 1 (7) Gleichung 6 ist die Analysegleichung, während die inverse diskrete Fouriertransformation in Gleichung 7 wieder die Synthesegleichung darstellt. Die Werte der DFT, X[k] mit k = 0,..., 1, entsprechen äquidistant abgetasteten Werten der DTFT ˆX(ω) der gefensterten Folge ˆx[n] an den diskreten Frequenzstützstellen ω = 2π k mit k = 0,..., 1, wobei die Länge der diskreten Sequenz ˆx[n] ist. Die Werte der DFT stimmen mit den skalierten Koeffizienten der diskreten Fourier- Reihe 2, den a k, überein. Diese zugehörigen DFS Koeffizienten ergeben sich durch Fourier- Reihenentwicklung der aus der endlichen Folge ˆx[n] periodisch erweiterten Folge x[n], wobei gilt: X[k] = a k mit k = 0, 1, Dieser Zusammenhang verdeutlicht, dass die Werte der DFT eigentlich den diskreten Fourier-Reihenkoeffizienten der periodisch erweiterten Folge entsprechen. Damit ergeben sich für die DFT einige besondere Eigenschaften, die zum Teil unterschiedlich zu den Eigenschaften der DTFT sind. Dies macht sich insbesondere bei der Faltungs- und Verschiebungseigenschaft der DFT bemerkbar (zirkulare Faltung, zirkulare Verschiebung [5]), behandelt in der Vorlesung Signalanalyse [1]. 4 Signal-Analyse mit der DFT Abbildung 1: Verarbeitungsschritte zur DFT-Analyse eines kontinuierlichen Signals s c (t). Aus [5]. Die Fourier-Analyse hat eine spektral sortierende Eigenschaft. Spektrale Eigenschaften eines beliebigen Signals lassen sich damit darstellen. Bei der praktischen Signalanalyse 2 Die DFS Koeffizienten a k, k = , einer diskreten Folge mit der Periodizität berechnen P sich zu: a k = 1 1 n=0 x[n] 2π e j kn. Das ursprüngliche Signal lässt sich damit als Summe skalierter, komplexer Exponentialfunktionen darstellen: x[n] = P 1 k=0 a k e j 2π kn. 3

4 liegt das zu untersuchende Signal meist in analoger Form s c (t) vor. Die prinzipiellen Verarbeitungsschritte bei der DFT-Analyse eines analogen Signals zeigt Abbildung 1: ach erfolgter Anti-Aliasing Filterung und Umsetzung in die zeitdiskrete Domäne (Abtastung und Zeit-Quantisierung) liegt die zeitdiskrete Wertfolge x[n] vor. Diese Folge wird gefenstert (=Multiplikation mit der Fensterfunktion w[n]) und wird damit zur endlichen Folge v[n], die jetzt zu V[k] transformiert wird (siehe Abbildung 2). Werden mit der DFT Signale analysiert, so muss man sich immer darüber im Klaren sein, dass sowohl die Fensterung als auch die Abtastung der DTFT Auswirkungen auf das erhaltene Ergebnis haben. So bewirkt die Frequenzabtastung eine oft irreführende Darstellung des Signalspektrums. Die Fensterung bewirkt den sogenannten Leakage Effekt: Analysiert man einen einzelnen diskreten Sinus, so sollte die Spektralanalyse eine einzige Linie im Spektrum ergeben. Dies ist auch der Fall, wenn die Signalfrequenz ω gleich der Frequenz ω k = 2π k der k-ten Stützstelle der DFT ist (ω = 2π k) und ein Rechteckfenster verwendet wird. Liegt die Signalfrequenz jedoch nicht auf einer Frequenzstützstelle, so erscheinen in der spektralen Darstellung der DFT mehrere Linien im Spektrum, das Signal rinnt teilweise in andere Spektrallinien. Die Form der Fensterfunktion bestimmt nun, in welcher Art und Weise dieser Leakage Effekt auftritt: iedrige Side-Lobes (hohe Seitenbanddämpfung) im Fensterfrequenzgang bedeuten geringere Anteile auf den weiter entfernten Spektrallinien, währenddessen breite Main-Lobes auch für rein sinusförmige Komponenten mehrere sehr hohe Spektrallinien um die tatsächliche Frequenz generieren. Die Seitenbanddämpfung und die Breite der Main Lobes sind für die gebräuchlichsten Fensterfunktionen in der Tabelle in Abbildung 3 dargestellt. 5 Fensterfunktionen Bei der Berechnung der DTFT geht man von einer unendlichen Datensatzlänge (Folge x[n]) aus. Zur Berechnung der DFT beschneidet man diese Datensequenz auf eine endliche Länge, ˆx[n] = x[n] 0 n <, sonst identisch ull. Allgemeiner formuliert ergibt sich die Fensterung durch Multiplikation mit einer endlichen Fensterfunktion w[n], v[n] = x[n] w[n], (8) im einfachsten Fall mit einem Rechteckfenster w R [n]. Diese Fensterfolge ist für ein Rechteckfenster definiert als { 1 für 0 n < w R [n] = (9) 0 sonst. Die Multiplikation von x[n] mit der Fensterfolge w[n] entspricht im Frequenzbereich einer Faltung des Signalfrequenzgangs X(ω) mit dem Fensterfrequenzgang W (ω), also: V (ω) = 1 2π X(ϑ)W (ω ϑ)dϑ (10) 2π 0 4

5 Abbildung 2: Darstellung der Verarbeitungsschritte einer DFT-Analyse eines kontinuierlichen Signals im Frequenzbereich: (a) Spektrum S c (Ω) des kontinuierlichen Signals s c (t), (b) Frequenzgang des Anti-Aliasing-Filters, (c) Spektrum X c (Ω) des bandbegrenzten Signals x c (t), (d) Spektrum des ideal abgetasteten Signals x[n], (e) Fensterfrequenzgang W (ω). (f) Die durchgezogene Linie stellt das diskrete Spektrum V (ω) des gefensterten Signals v[n] dar, während die DFT V [k] nur Werte an den äquidistanten Frequenzstützstellen ω k = 2π k liefert. Aus [5]. 5

6 Abbildung 3: Eigenschaften von verschiedenen Fensterfunktionen: Breite der Main- Lobes und Höhe der Side-Lobes im Fensterfrequenzgang. Aus [5]. Abbildung 4: Gebräuchliche Fensterfunktionen zur Signalanalyse. Aus [5]. Die in Abbildung 4 im Zeitbereich und in Abbildung 5 im Frequenzbereich dargestellten Fenstertypen werden meist für die Signalanalyse und beim Entwurf von FIR-Filtern verwendet. Wichtige Eigenschaften für die Signalanalyse, wie die Breite des Main-Lobes und die relative Höhe der ersten Side-Lobes (in db), sind in der Tabelle in Abbildung 3 zusammengefasst. Die DFT von v[n], also V [k], ist nichts anderes als eine an den Frequenzstützstellen ω k = 2π k abgetastete Version der DTFT (V (ω)). Bei einer spektralen Analyse von Signalen mit der DFT sollten Bedeutung und Auswirkungen von Fensterung und Frequenzabtastung immer bei der Interpretation des Ergebnisses miteinbezogen werden. 6

7 Abbildung 5: DTFT von diversen Fensterfunktionen: a) Rechteckfenster, b) Bartlett- Fenster, c) Von Hann-Fenster (Hanning-Fenster) d) Hamming-Fenster. Aus [5]. 6 Die Berechnung der DFT Wenn die gesamte DFT eines Signals berechnet werden soll, kann dies sehr effizient mit Hilfe schneller Algorithmen, den FFT Algorithmen, passieren. Interessieren nur einzelne Spektrallinien, so ist eine direkte Berechnung der DFT über die Analysegleichung (Gleichung 6), bzw. eine Implementation der DFT als IIR Filter (Görtzel Algorithmus) effizienter und schneller. 7

8 6.1 Die schnelle Fourier-Transformation FFT Verwendet man die direkte Formel zur Berechnung der Werte der DFT einer endlichen Sequenz x[n], so besitzt diese Berechnung eine Komplexität von O( 2 ). Die Anzahl der notwendigen Multiplikationen und Additionen steigt also proportional zu 2. Durch die Anwendung von FFT Algorithmen reduziert sich die Komplexität der Berechnung der DFT auf O( log 2 ). Dazu muss jedoch für die am häufigsten eingesetzten Radix-2- Algorithmen [5] immer eine Datensequenz der Länge = 2 m mit m zur Verfügung stehen. Ist die Länge der Datensequenz keine Potenz von 2, so muss diese mit ullen aufgefüllt werden, um den FFT Algorithmus verwenden zu können. Der Radix-2-FFT-Algorithmus macht sich zunutze, dass eine Aufteilung der Summe aus Gleichung 6 in immer kleinere Teilsummen, sowie die Ausnutzung der Periodizität der komplexen Exponentialfolge e jωn, die Anzahl von notwendigen Additionen und Multiplikationen reduziert. Diese Aufteilung in immer kleinere Teilsummen (die wiederum kürzere DFT s darstellen) passiert, bis nur mehr 2-Punkte-DFT s übrigbleiben (Butterfly-Operation), die dann direkt ausgeführt werden. Prinzipiell kann die Zerlegung im Zeitbereich (Decimation in time (DIT)), oder im Frequenzbereich (Decimation in frequency (DIF)) erfolgen, siehe [1, 5]. Beim DIT-Algorithmus liegen die berechneten Werte der DFT in richtiger Reihenfolge vor, wenn die Eingangssequenz x[n] in bit reversed order verwendet wird. Das Umsortieren der Eingangsfolge in diese bit reversed Reihenfolge erfolgt einfach, indem man die Indexwerte n nach den Bitwerten in umgekehrter Reihenfolge anordnet, sowie in Abbildung 6 dargestellt. Abbildung 6: Sortierung der Folge x[n] in der sog. bit reversed order. Der Index n der Folge ist hier durch seine Bitsequenz [n2 n1 n0] dargestellt, nach der in umgekehrter Reihenfolge sortiert wird. Aus [5]. 8

9 Es existieren sehr viele Algorithmen zur effizienten Berechnung der DFT, wie z.b. Primfaktor-Algorithmen, Radix-4- und Radix-8-Algorithmen, etc., nachzulesen in [5]. Wie bereits erwähnt, ist für die Berechnung einzelner Stützstellen der DFT (wenn also nicht die gesamte -Punkte-DFT benötigt wird) eine direkte Berechnung über die Summenformel effizienter. Es existiert noch ein weiterer Algorithmus zur Berechnung einer einzelnen Spektrallinie der DFT, der Görtzel-Algorithmus. Bei dieser Implementation ist die DFT der Ausgangswert eines zeitdiskreten IIR-Systems, wie im nächsten Abschnitt beschrieben. 6.2 Der Görtzel Algorithmus Durch Ausnützen der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion, nämlich von W k = e j 2π k = e j2πk = 1 (11) und durch Multiplikation von Gleichung 6 mit W k, also mit 1, folgt: X[k] = W k 1 r=0 1 x[r]w kr = r=0 x[r]w k( r) (12) Damit das Ergebnis einfacher gedeutet werden kann, schreibt man eine neue Folge y k [n] an: y k [n] = x[r]w k(n r) u[n r] (13) r= Mit u[n] als diskreten Einheitssprung und der endlichen Länge von x[n], nämlich dass x[n] = 0 für n < 0 und n, folgt, dass der -te Wert von y[n] gleich dem Wert der k ten Spektrallinie der DFT ist: X[k] = y k [n] (14) n = Gleichung 13 entspricht, wie jetzt leicht zu erkennen, einer diskreten Faltung der endlichen Folge x[n] mit der Folge W kn u[n]. y[k] ist also die Antwort eines Systems mit der Impulsantwort 3 W kn u[n] auf die endliche Eingangssequenz x[n] und damit ist X[k] der Wert der Ausgangsfolge für n =. Ein System mit der Impulsantwort h[n] = W kn u[n] zeigt das Flussdiagramm in Abbildung 7, wobei gelten muss, dass von einem Anfangsruhezustand ausgegangen wird. Abbildung 7 zeigt den Signalflussgraphen des komplexen Görtzel-Algorithmus, Gleichung 15 die zugehörige Übertragungsfunktion H(z). H(z) = 1 1 W k z 1 (15) 3 Erinnert sei hier an die Impulsantwort h 1[n] = a n u[n] eines rekursiven Systems mit H 1(z) = z z a, ROC z > a, also einem kausalen System mit einem Pol an der Stelle z = a. 9

10 Abbildung 7: IIR Struktur 1. Ordnung zur Implementierung des Görtzel DFT Algorithmus. Aus [5]. Die meisten komplexen Multiplikation können vermieden werden, wenn Zähler und enner von Gleichung 15 mit (1 W k z 1 ) multipliziert werden: H(z) = 1 W k z cos (2πk/)z 1 + z 2 (16) Damit bleibt nur mehr eine komplexe Multiplikation übrig, nämlich die des nichtrekursiven Teiles (siehe Abbildung 8), die sogar nur einmal, nach der -ten Iteration, ausgeführt werden muss. eben der Rechenersparnis (vor allem bei der Realisation als System 2. Ordnung) braucht auch nur ein komplexer Drehfaktor und ein Cosinus-Funktionswert gespeichert werden. Damit eignet sich diese Art der Implementierung der DFT besonders für ressourceneffiziente Anwendungen (Telekommunikation, etc.). Abbildung 8: IIR Struktur 2. Ordnung zur effizienten Implementierung des Görtzel- Algorithmus. Aus [5]. 10

11 7 Spektrale Analyse von stochastischen Signalen Wenn spektrale Eigenschaften eines stark verrauschten Signales oder eines rein stochastischen Signales (in der probabilistischen Modellvorstellung eine Realisation eines Zufallsprozesses) untersucht werden sollen, liefert die klassische DFT-Analyse für die meisten dieser Signale kein aussagekräftiges Ergebnis [3]. Jedoch gelingt es mit stochastischen Methoden, diese Klasse von Signalen im Frequenzbereich zu charakterisieren bzw. zu beschreiben: Durch diverse Mittelungsoperationen kann die im vorigen Abschnitt beschriebene Spektralanalyse auch auf stochastische Signale erweitert werden und führt dann zur sog. Periodogramm-Analyse. 7.1 Spektrale Leistungsdichte Spektrale Eigenschaften von Zufallssignalen werden mit Hilfe von Leistungsdichtespektren P XX (ω) (power spectral density, PSD) beschrieben. Wie der ame verrät, gibt die PSD die spektrale Verteilung der Signalleistung im Allgemeinen als Erwartungswert über alle Realisationen, für ergodische Prozesse auch als Zeitmittelwert über eine Realisation wieder. Das Leistungsdichtespektrum hängt eng mit der Autokorrelationsfolge (AKF ) φ XX [m] eines diskreten ergodischen Zufallsprozesses zusammen (Wiener- Khinchin-Theorem): P XX (ω) = F{φ XX [m]} (17) 7.2 Schätzung der PSD mit der DFT: Periodogrammanalyse Das Periodogramm I(ω) eines diskreten Signals x[n] (in der Messtechnik meist ein diskretisiertes analoges Signal) ist definiert als Quadrat des Betrages der Fourier-Transformierten des diskreten Signals. otwendig ist immer eine Fensterung des Signals (v[n] = x[n] w[n], siehe Abbildungen 1 und 2) um eine endliche Sequenz v[n] der Länge L zu erhalten, sowie eine ormierung mit der Fensterlänge L, um eine Leistungsgröße zu erhalten. Damit kann eine erste Schätzung der PSD P XX (ω) erfolgen, das Periodogramm I(ω) 4 : I(ω) = 1 L V (ω) 2 (18) Realisiert über die DFT kann ein Schätzer für das Periodogramm nun folgendermaßen angeschrieben werden (für L): I[k] = I( 2π k) = 1 L V [k] 2 (19) Diese Schätzung der PSD liefert für die meisten zufälligen Signale kein sinnvolles Ergebnis; für wachsende Signallängen wird das erhaltene Spektrum immer unregelmäßiger (Die Fourier-Transformierte von Rauschen ist wiederum stochastisch) 5. Abhilfe schafft hier 4 Das Periodogramm ist definiert für die Rechteck-Fensterung des Signales; alternative Fensterfunktionen führen zu modifizierten Periodogrammen. 5 Es lässt sich zeigen, dass die Varianz der Periodogrammschätzung näherungsweise so groß ist wie das zu schätzende Leistungsdichtespektrum; Das Periodogramm ist damit ein inkonsistenter Schätzer für die PSD [3]. 11

12 eine einfache Maßnahme: die Mittelung von Periodogrammen. Hierbei können sich die einzelnen Signalauschnitte x r [n] auch zeitlich überlappen (sinnvoll z.b. bis zur Hälfte, also L/2): I[k] = 1 K K 1 r=0 I r [k] (20) Gleichung 18 geht von einem Rechteckfenster aus. Der mittelnde Periodogrammschätzer mit einem Rechteckfenster heißt dann Bartlett-Verfahren 6. Die Ableitung bisher gilt für eine Rechteck-Fensterung der Datensequenz. Bei Verwendung anderer Fensterfunktionen (Hamming, etc.) ist in Gleichung 18 und Gleichung 19 noch ein Skalierungsparameter 1/U einzubringen: Dieser Skalierungsparameter berücksichtigt die Auswirkung der Fensterfunktion auf die Leistungsschätzung und berechnet sich für einen Fensterfunktion w[n] folgendermaßen: U = 1 L 1 n=0 w[n] 2. (21) Die otwendigkeit einer Mittelung zur sinnvollen Schätzung der PSD lässt sich auch über den Zusammenhang der PSD mit der AKF begründen (Gleichung 17): In der AKF steckt eigentlich eine Mittelungsoperation über eine Realisation (für ergodische Prozesse). Weiterführende Informationen findet man in [1, 2]. Literatur [1] Markus Brandner. Vorlesung Signalanalyse. Institut für Elektische Meßtechnik und Meßsignalverarbeitung, Technische Universität Graz, [2] Markus Brandner. Vorlesung Statistical Signal Processing. Institut für Elektische Meßtechnik und Meßsignalverarbeitung, Technische Universität Graz, [3] W. A. Gardner. Introduction to Random Processes. McGraw-Hill, ew York, 2 nd edition, [4] R. M. Gray and J. W. Goodman. Fourier Transforms, An Introduction for Engineers. Kluwer Academic Publishers, orwell, Massachusetts, [5] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck. Zeitdiskrete Signalverarbeitung. Pearson Studium, München, Deutschland, 2 nd edition, Dieser Schätzer ist ein asymptotisch erwartungstreuer, konsistenter Schätzer für die PSD 12

Versuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT)

Versuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT) Versuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT) Ziele In diesem Versuch lernen Sie zwei Anwendungen der Diskreten Fourier-Transformation in der Realisierung als recheneffiziente schnelle

Mehr

Seminar Digitale Signalverarbeitung

Seminar Digitale Signalverarbeitung Universität Koblenz-Landau Institut für integrierte aturwissenschaften Abteilung Physik Dr. Merten Joost Seminar Digitale Signalverarbeitung Thema: Fast Fourier Transformation Praktische Durchführung einer

Mehr

Zeitdiskrete, digitale Filter und schnelle Fourier-Transformation (FFT)

Zeitdiskrete, digitale Filter und schnelle Fourier-Transformation (FFT) Zeitdiskrete, digitale Filter und schnelle Fourier-Transformation (FFT) Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines Filter... 2 2 Filter auf dem Signalprozessor... 2 3 Zusammenhang Zeitsignal und Frequenzspektrum...

Mehr

Argumente für die diskrete Realisierung der Fourierintegrale

Argumente für die diskrete Realisierung der Fourierintegrale Argumente für die diskrete Realisierung der Fourierintegrale Die Fouriertransformation gemäß der Beschreibung in Kapitel 3.1 weist aufgrund der unbegrenzten Ausdehnung des Integrationsintervalls eine unendlich

Mehr

Longitudinale und transversale Relaxationszeit

Longitudinale und transversale Relaxationszeit Longitudinale und transversale Relaxationszeit Longitudinale Relaxationszeit T 1 (Zeit, die das System benötigt, um nach dem rf- Puls zurück ins Gleichgewicht zu kommen) Transversale Relaxationszeit T

Mehr

Netzwerke - Bitübertragungsschicht (1)

Netzwerke - Bitübertragungsschicht (1) Netzwerke - Bitübertragungsschicht (1) Theoretische Grundlagen Fourier-Analyse Jedes Signal kann als Funktion über die Zeit f(t) beschrieben werden Signale lassen sich aus einer (möglicherweise unendlichen)

Mehr

Einführung in die Signalverarbeitung

Einführung in die Signalverarbeitung Einführung in die Signalverarbeitung Phonetik und Sprachverarbeitung, 2. Fachsemester, Block Sprachtechnologie I Florian Schiel Institut für Phonetik und Sprachverarbeitung, LMU München Signalverarbeitung

Mehr

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Fourier-Transformation

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Fourier-Transformation Bildverarbeitung Herbstsemester 2012 Fourier-Transformation 1 Inhalt Fourierreihe Fouriertransformation (FT) Diskrete Fouriertransformation (DFT) DFT in 2D Fourierspektrum interpretieren 2 Lernziele Sie

Mehr

Technik der Fourier-Transformation

Technik der Fourier-Transformation Was ist Fourier-Transformation? Fourier- Transformation Zeitabhängiges Signal in s Frequenzabhängiges Signal in 1/s Wozu braucht man das? Wie macht man das? k = 0 Fourier- Reihe f ( t) = Ak cos( ωkt) +

Mehr

Digitale Regelung. Vorlesung: Seminarübungen: Dozent: Professor Ferdinand Svaricek Ort: 33/2211 Zeit:Di 15.00 16.30 Uhr

Digitale Regelung. Vorlesung: Seminarübungen: Dozent: Professor Ferdinand Svaricek Ort: 33/2211 Zeit:Di 15.00 16.30 Uhr Vorlesung: Dozent: Professor Ferdinand Svaricek Ort: 33/2211 Zeit:Di 15.00 16.30 Uhr Seminarübungen: Dozent: Alexander Weber Ort: 33/1101 Zeit: Mo 9.45 11.15 Uhr (Beginn: 20.04.2015) Vorlesungsskript:

Mehr

Elektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich

Elektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich Elektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich André Grüneberg Janko Lötzsch Mario Apitz Friedemar Blohm Versuch: 19. Dezember 2001 Protokoll: 6. Januar

Mehr

Digitale Signalbearbeitung und statistische Datenanalyse

Digitale Signalbearbeitung und statistische Datenanalyse Digitale Signalbearbeitung und statistische Datenanalyse Teil 5 8 Aus ontinuierlichem Signal werden in onstanten Zeitintervallen Daten entnommen ontinuierliches Signal x(t) Einheitsimpulsfuntion Gewichtete

Mehr

Systemtheorie Teil B

Systemtheorie Teil B d d z c d z c uk d yk z d c d z c Systemtheorie eil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Musterlösungen - Entwurf zeitdiskreter Filter... 3. iefpass mit

Mehr

Grundlagen der Videotechnik. Redundanz

Grundlagen der Videotechnik. Redundanz Grundlagen der Videotechnik Redundanz Redundanz beruht auf: - statistischen Abhängigkeiten im Signal, - Information, die vorher schon gesendet wurde - generell eine Art Gedächtnis im Signal Beispiel: Ein

Mehr

(Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen

(Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen (Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen Johannes Lülff Universität Münster 14.01.2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 FFT 3 Anwendungen 4 Beschränkungen 5 Zusammenfassung Definition Fouriertransformation

Mehr

Lokale Frequenzanalyse

Lokale Frequenzanalyse Lokale Frequenzanalyse Fourieranalyse bzw. Powerspektrum liefern globale Maße für einen Datensatz (mittleres Verhalten über die gesamte Länge des Datensatzes) Wiederkehrdiagramme zeigten, dass Periodizitäten

Mehr

Grundlagen der Computer-Tomographie

Grundlagen der Computer-Tomographie Grundlagen der Computer-Tomographie Quellenangabe Die folgenden Folien sind zum Teil dem Übersichtsvortrag: imbie.meb.uni-bonn.de/epileptologie/staff/lehnertz/ct1.pdf entnommen. Als Quelle für die mathematischen

Mehr

DFT / FFT der Titel der Präsentation wiederholt (Ansicht >Folienmaster) Dipl.-Ing. Armin Rohnen, Fakultät 03, rohnen@hm.edu

DFT / FFT der Titel der Präsentation wiederholt (Ansicht >Folienmaster) Dipl.-Ing. Armin Rohnen, Fakultät 03, rohnen@hm.edu 1 Grundlagen Abtasttheorem Fenster Zeit - Frequenzauflösung Pegelgenauigkeit Overlap Mittelung 2 2 volle Schwingungen 32 Abtastwerte Amplitude = 1 Pascal Signallänge = 1 Sekunde Eine Frequenzline bei 2

Mehr

Signale und Systeme. A1 A2 A3 Summe

Signale und Systeme. A1 A2 A3 Summe Signale und Systeme - Prof. Dr.-Ing. Thomas Sikora - Name:............................... Vorname:.......................... Matr.Nr:.............................. Ergebnis im Web mit verkürzter Matr.Nr?

Mehr

Signalverarbeitung - Filterung, PSD, Korrelationen

Signalverarbeitung - Filterung, PSD, Korrelationen 9. Dezember 2010 1 Signalverarbeitung - Filterung, PSD, Korrelationen Messtechnik Vorlesung 9. Dezember 2010 9. Dezember 2010 2 Zurück zur Schnellen Fourier-Transformation (FFT) Ein FFT-Beispiel mit zwei

Mehr

Die Diskrete Fouriertransformation (DFT)

Die Diskrete Fouriertransformation (DFT) Kapitel Die Diskrete Fouriertransformation (DFT). Einleitung Zerlegt man Signale in sinusoidale (oder komplex exponentielle) Komponenten, dann spricht man von der Darstellung der Signale im Frequenzbereich.

Mehr

3. Leistungsdichtespektren

3. Leistungsdichtespektren Stochastische Prozesse: 3. Leistungsdichtespektren Wird das gleiche Geräusch mehrmals gemessen, so ergeben sich in der Regel unterschiedliche zeitliche Verläufe des Schalldrucks. Bei Geräuschen handelt

Mehr

1 C A = A. y 1 y 2. x 1 x 2. x n B @ B @ C A. y m

1 C A = A. y 1 y 2. x 1 x 2. x n B @ B @ C A. y m Kapitel Systeme Ein System ist eine Anordnung von miteinander verbundenen Komponenten zur Realisierung einer technischen Aufgabenstellung. Ein System kann als Operator aufgefasst werden, der Eingangsgrößen

Mehr

2. Eigenschaften digitaler Nachrichtensignale

2. Eigenschaften digitaler Nachrichtensignale FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Elektrotechnik u. Automatisierungstechnik Seite 2-2. Eigenschaften digitaler Nachrichtensignale 2. Abgrenzung zu analogen Signalen Bild 2.- Einteilung der Signale

Mehr

Diskrete Fourier-Transformation

Diskrete Fourier-Transformation Universität Koblenz-Landau Institut für integrierte Naturwissenschaften Abteilung Physik Dozent: Dr. Merten Joost Seminar Digitale Signalverarbeitumg im Sommersemester 2005 Diskrete Fourier-Transformation

Mehr

Einfluß von Wind bei Maximalfolgenmessungen

Einfluß von Wind bei Maximalfolgenmessungen 1 von 5 05.02.2010 11:10 Der Einfluß von Wind bei Maximalfolgenmessungen M. KOB, M. VORLÄNDER Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig 1 Einleitung Die Maximalfolgenmeßtechnik ist eine spezielle

Mehr

Frequenzanalyse. Der Abstand der diskreten Frequenzlinien ist der Kehrwert der Periodendauer:

Frequenzanalyse. Der Abstand der diskreten Frequenzlinien ist der Kehrwert der Periodendauer: WS 0 Fourier-Reihe: Jede einigrermaßen gutartige 1 periodishe reelle Zeitfuntion x(t) ann mittels einer Fourier-Reihe dargestellt werden als eine Summe omplexer Amplituden (Fourier-Synthese): xt () e n

Mehr

Fourier - Transformation

Fourier - Transformation Fourier - Transformation Kurzversion 2. Sem. Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach Hochschule Pforzheim, Tiefenbronner Str. 65 75175 Pforzheim Überblick / Anwendungen / Motivation: Die Fourier-Transformation

Mehr

Signale und ihre Spektren

Signale und ihre Spektren Einleitung Signale und ihre Spektren Fourier zeigte, dass man jedes in der Praxis vorkommende periodische Signal in eine Reihe von Sinus- und Cosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenz zerlegt werden

Mehr

Entwicklung eines Verfahrens in MATLAB und C zur Schätzung des Spektrums der Hintergrundstörung bei Sprachsignalen

Entwicklung eines Verfahrens in MATLAB und C zur Schätzung des Spektrums der Hintergrundstörung bei Sprachsignalen Entwicklung eines Verfahrens in MATLAB und C zur Schätzung des Spektrums der Hintergrundstörung bei Sprachsignalen Diplomarbeit an der Hochschule Niederrhein Fachbereich Elektrotechnik Zur Erlangung des

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Einführung in die Signalverarbeitung

Einführung in die Signalverarbeitung Einführung in die Signalverarbeitung Phonetik und Sprachverarbeitung, 2. Fachsemester, Block Sprachtechnologie I Florian Schiel Institut für Phonetik und Sprachverarbeitung, LMU München Signalverarbeitung

Mehr

Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese

Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese Fourier-Zerlegung, Fourier-Synthese Periodische Funktionen wiederholen sich nach einer Zeit T, der Periode. Eine periodische Funktion f(t) mit der Periode T genügt der Beziehung: f( t+ n T) = f( t) für

Mehr

Prof. Dr. Stefan Weinzierl 10.02.2015

Prof. Dr. Stefan Weinzierl 10.02.2015 Einführung in die digitale Signalverarbeitung: 15. Tutorium Prof. Dr. Stefan Weinzierl 10.02.2015 Zusammenfassung Im Folgenden findet sich eine kleine Zusammenfassung der Konzepte, die wir in diesem Semester

Mehr

Zeitdiskrete Signalverarbeitung

Zeitdiskrete Signalverarbeitung Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck Zeitdiskrete Signalverarbeitung 2., überarbeitete Auflage ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario

Mehr

Systemtheorie Teil B

Systemtheorie Teil B d + d z + c d z + c uk d + + yk z d + c d z + c Systemtheorie Teil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme Übungsaufgaben Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt Übungsaufgaben - Signalabtastung und Rekonstruktion...

Mehr

SiSy1, Praktische Übung 3. Fourier-Analyse (periodischer Signale) kann als Fourier-Reihe 1 beschrieben werden:

SiSy1, Praktische Übung 3. Fourier-Analyse (periodischer Signale) kann als Fourier-Reihe 1 beschrieben werden: /5 Fourier-Analyse (periodischer Signale) Grundlagen Ein periodisches, kontinuierliches Signal x(t) der Periodendauer kann als Fourier-Reihe beschrieben werden: wie folgt ( ) = c k x t + e j k 2πf t k=

Mehr

Inhaltsverzeichnis Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen Fourier-Transformation

Inhaltsverzeichnis Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen Fourier-Transformation Inhaltsverzeichnis 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen 1 1.1 Elementarsignale... 1 1.2 ZumBegriffdesSystems... 5 1.3 LinearezeitinvarianteSysteme... 6 1.4 DasFaltungsintegral...

Mehr

filter Filter Ziele Parameter Entwurf

filter Filter Ziele Parameter Entwurf 1 Filter Ziele Parameter Entwurf 2.3.2007 2 Beschreibung Pol-Nullstellen- Diagramm Übertragungsfunktion H(z) Differenzengleichung y(n) Impulsantwort h(n): Finite Impulse Response (FIR) Infinite Impulse

Mehr

Elektrische Mess- und Prüftechnik Laborpraktikum. Signale im Zeit- und Frequenzbereich (FFT) USB-Oszilloskop. Testat:

Elektrische Mess- und Prüftechnik Laborpraktikum. Signale im Zeit- und Frequenzbereich (FFT) USB-Oszilloskop. Testat: Fachbereich Elektrotechnik / Informationstechnik Elektrische Mess- und Prüftechnik Laborpraktikum Versuch 2016-E ET(BA) SS 2016 Signale im Zeit- und Frequenzbereich (FFT) USB-Oszilloskop Set:... Studienrichtung:...

Mehr

(Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen

(Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen (Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen Johannes Lülff Universität Münster 14.01.2009 Definition Fouriertransformation F (ω) = F [f(t)] (ω) := 1 2π dt f(t)e iωt Fouriersynthese f(t) = F 1 [F

Mehr

III Verarbeitung und Analyse akustischer Signale

III Verarbeitung und Analyse akustischer Signale Verarbeitung und Analyse akustischer Signale 73 III Verarbeitung und Analyse akustischer Signale III.1 Aufnahme- und Wiedergabetechnik: Bestandteile der Übertragungskette Die Aufnahme, Analyse, Verarbeitung

Mehr

MATLAB Kurs 2010 Teil 2 Eine Einführung in die Frequenzanalyse via MATLAB

MATLAB Kurs 2010 Teil 2 Eine Einführung in die Frequenzanalyse via MATLAB MATLAB Kurs 2010 Teil 2 Eine Einführung in die via MATLAB 26.11.2010 & 03.12.2010 nhaltsverzeichnis 1 2 3 Ziele Kurze Einführung in die -Analyse Ziele Kurze Einführung in die -Analyse MATLAB Routinen für

Mehr

Entwicklung einer digitalen Übertragungsstrecke mit Einplatinencomputern zur Signalanalyse

Entwicklung einer digitalen Übertragungsstrecke mit Einplatinencomputern zur Signalanalyse Entwicklung einer digitalen mit Einplatinencomputern zur Signalanalyse Philipp Urban Jacobs p.1 Inhalt 1 Motivation 2 Grundlagen 3 Umsetzung 4 Verifizierung 5 Fazit p.2 Motivation Signalgenerator ADC Gertboard

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Sortierverfahren für Felder (Listen)

Sortierverfahren für Felder (Listen) Sortierverfahren für Felder (Listen) Generell geht es um die Sortierung von Daten nach einem bestimmten Sortierschlüssel. Es ist auch möglich, daß verschiedene Daten denselben Sortierschlüssel haben. Es

Mehr

Signalübertragung und -verarbeitung

Signalübertragung und -verarbeitung ILehrstuhl für Informationsübertragung Schriftliche Prüfung im Fach Signalübertragung und -verarbeitung 6. Oktober 008 5Aufgaben 90 Punkte Hinweise: Beachten Sie die Hinweise zu den einzelnen Teilaufgaben.

Mehr

Grundlagen der Monte Carlo Simulation

Grundlagen der Monte Carlo Simulation Grundlagen der Monte Carlo Simulation 10. Dezember 2003 Peter Hofmann Inhaltsverzeichnis 1 Monte Carlo Simulation.................... 2 1.1 Problemstellung.................... 2 1.2 Lösung durch Monte

Mehr

Tontechnik 2. Digitale Filter. Digitale Filter. Zuordnung diskrete digitale Signale neue diskrete digitale Signale

Tontechnik 2. Digitale Filter. Digitale Filter. Zuordnung diskrete digitale Signale neue diskrete digitale Signale Tontechnik 2 Digitale Filter Audiovisuelle Medien HdM Stuttgart Digitale Filter Zuordnung diskrete digitale Signale neue diskrete digitale Signale lineares, zeitinvariantes, diskretes System (LTD-System)

Mehr

Aufgabe 3. Signal Processing and Speech Communication Lab. Graz University of Technology

Aufgabe 3. Signal Processing and Speech Communication Lab. Graz University of Technology Signal Processing and Speech Communication Lab. Graz University of Technology Aufgabe 3 Senden Sie die Hausübung bis spätestens 15.06.2015 per Email an hw1.spsc@tugraz.at. Verwenden Sie MatrikelNummer1

Mehr

Diskrete und Schnelle Fourier Transformation. Patrick Arenz

Diskrete und Schnelle Fourier Transformation. Patrick Arenz Diskrete und Schnelle Fourier Transformation Patrick Arenz 7. Januar 005 1 Diskrete Fourier Transformation Dieses Kapitel erläutert einige Merkmale der Diskreten Fourier Transformation DFT), der Schnellen

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Modulationsanalyse. Amplitudenmodulation

Modulationsanalyse. Amplitudenmodulation 10/13 Die liefert Spektren der Einhüllenden von Teilbändern des analysierten Signals. Der Anwender kann damit Amplitudenmodulationen mit ihrer Frequenz, ihrer Stärke und ihrem zeitlichen Verlauf erkennen.

Mehr

Analogmultiplexer als Amplitudenmodulatoren

Analogmultiplexer als Amplitudenmodulatoren Analogmultiplexer als Amplitudenmodulatoren Dipl.-Phys. Jochen Bauer 09.11.014 Einführung und Motivation Mit dem zunehmenden Verschwinden von Mittel- und Langwellensendern ergibt sich die Notwendigkeit

Mehr

Klausur zur Vorlesung Signale und Systeme

Klausur zur Vorlesung Signale und Systeme Name: 10. Juli 2008, 11.00-13.00 Uhr Allgemeine Hinweise: Dauer der Klausur: Zugelassene Hilfsmittel: 120 min, 2 Zeitstunden Vorlesungsmitschrift, Mitschrift Übungen, Skript, handgeschriebene 2-seitige

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Kontrollfragen zum Skript Teil 1 beantwortet

Kontrollfragen zum Skript Teil 1 beantwortet Kontrollfragen zum Skript Teil 1 beantwortet Von J.S. Hussmann Fragen zu SW 1.1 Welche Vorteile hat die DSVB? Programmierbar Parametrierbar Reproduzierbar Wie heisst die Umwandlung eines Zeit-diskreten

Mehr

Biosignalverarbeitung (Schuster)

Biosignalverarbeitung (Schuster) Biosignalverarbeitung (Schuster) 9. FOURIER - TRANSFORMATION: 4 Ausprägungen der Transformation: Zeitbereich Frequenzbereich Laplace-Transformation Fourier-Transformation kontinuierlicher Signale (FT,

Mehr

Einführung in die Signalverarbeitung

Einführung in die Signalverarbeitung Einführung in die Signalverarbeitung Phonetik und Sprachverarbeitung, 2. Fachsemester, Block Sprachtechnologie I Florian Schiel Institut für Phonetik und Sprachverarbeitung, LMU München Signalverarbeitung

Mehr

Probeklausur Signale + Systeme Kurs TIT09ITA

Probeklausur Signale + Systeme Kurs TIT09ITA Probeklausur Signale + Systeme Kurs TIT09ITA Dipl.-Ing. Andreas Ströder 13. Oktober 2010 Zugelassene Hilfsmittel: Alle außer Laptop/PC Die besten 4 Aufgaben werden gewertet. Dauer: 120 min 1 Aufgabe 1

Mehr

Elektrische Messtechnik, Labor Sommersemester 2014

Elektrische Messtechnik, Labor Sommersemester 2014 Institut für Elektrische Messtechnik und Messsignalverarbeitung Elektrische Messtechnik, Labor Sommersemester 2014 Rechnerunterstützte Erfassung und Analyse von Messdaten Übungsleiter: Dipl.-Ing. GALLIEN

Mehr

Messtechnik. Gedächnisprotokoll Klausur 2012 24. März 2012. Es wurde die Kapazität von 10 Kondensatoren gleicher Bauart gemessen:

Messtechnik. Gedächnisprotokoll Klausur 2012 24. März 2012. Es wurde die Kapazität von 10 Kondensatoren gleicher Bauart gemessen: Messtechnik Gedächnisprotokoll Klausur 2012 24. März 2012 Dokument erstellt von: mailto:snooozer@gmx.de Aufgaben Es wurde die Kapazität von 10 Kondensatoren gleicher Bauart gemessen: Index k 1 2 3 4 5

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Projektdokumentation

Projektdokumentation Thema: Bildschärfung durch inverse Filterung von: Thorsten Küster 11027641 Lutz Kirberg 11023468 Gruppe: Ibv-team-5 Problemstellung: Bei der Übertragung von Kamerabildern über ein Video-Kabel kommt es

Mehr

3 Diskrete Fourier-Transformation

3 Diskrete Fourier-Transformation 33 3 Diskrete Fourier-Transformation Inhalt 3 Diskrete Fourier-Transformation... 33 3. Grundlagen... 34 3.. Diskrete Fourier-Transformation... 34 3..2 Eigenschaften der diskreten Fourier-Transformation...

Mehr

GT- Labor. Inhaltsverzeichnis

GT- Labor. Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Seite 1. Versuchsvorbereitung 2 1.1 Qualitatives Spektrum der Ausgangsspannung des Eintaktmodulators 2 1.2 Spektrum eines Eintaktmodulators mit nichtlinearem Element 2 1.3 Bandbreite

Mehr

7 Fourier-Transformation

7 Fourier-Transformation 7 Fourier-Transformation Ausgangspunkt: Die bereits bekannte Fourier-Reihenentwicklung einer T-periodischen, stückweise stetig differenzierbaren Funktion f T : R R, f T (t) = k= γ k e ikωt mit Frequenz

Mehr

Elektrotechnik-Grundlagen Teil 2 Messtechnik

Elektrotechnik-Grundlagen Teil 2 Messtechnik Version 1.0 2005 Christoph Neuß Inhalt 1. ZIEL DER VORLESUNG...3 2. ALLGEMEINE HINWEISE ZU MESSAUFBAUTEN...3 3. MESSUNG ELEMENTARER GRÖßEN...3 3.1 GLEICHSTROMMESSUNG...3 3.2 WECHSELSTROMMESSUNG...4 4.

Mehr

filter Filter Ziele Parameter Entwurf Zölzer (2002) Nov 14, 2015

filter Filter Ziele Parameter Entwurf Zölzer (2002) Nov 14, 2015 1 Filter Ziele Parameter Entwurf Zölzer (2002) Nov 14, 2015 2 Beschreibung Übertragungsfunktion H(z), H(ω) Differenzengleichung y[n] Impulsantwort h[n]: Finite Infinite Impulse Response (FIR) Impulse Response

Mehr

Die Fourier Transformation und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik

Die Fourier Transformation und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik A FT I Anwendungen der Fourier-Transformation Die Fourier Transformation und ihre Anwendungen in der Nachrichtentechnik Die Fourier Transformation und damit der Zusammenhang zwischen Zeit und Frequenzbereich

Mehr

EIN BEITRAG ZUR RECHNERGESTÜTZTEN BESTIMMUNG VON OBERSCHWINGUNGEN IN NIEDER- UND MITTELSPANNUNGSNETZEN

EIN BEITRAG ZUR RECHNERGESTÜTZTEN BESTIMMUNG VON OBERSCHWINGUNGEN IN NIEDER- UND MITTELSPANNUNGSNETZEN EIN BEITRAG ZUR RECHNERGESTÜTZTEN BESTIMMUNG VON OBERSCHWINGUNGEN IN NIEDER- UND MITTELSPANNUNGSNETZEN Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades Doktor - Ingenieur vorgelegt der Fakultät für Technische

Mehr

VAD - Voice Activity Detection -

VAD - Voice Activity Detection - VAD - - erstellt: Robert Schaar s63012 erstellt: Robert Schaar s63012 Mensch-Maschine-Robotik 1. Einleitung 2. Aufbau des Algorithmus 2.1. allgemeiner Aufbau 2.2. Fourier-Transformation 2.3. Short-Time

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr

Reell. u(t) Komplex u(t), Zeitabhängig Zeitunabhängig. u(t)e jωt. Reell Û. Elektrische Größe. Spitzenwert. Komplex Û. Reell U. Effektivwert.

Reell. u(t) Komplex u(t), Zeitabhängig Zeitunabhängig. u(t)e jωt. Reell Û. Elektrische Größe. Spitzenwert. Komplex Û. Reell U. Effektivwert. Aufgaben Reell u(t) Elektrische Größe Zeitabhängig Zeitunabhängig Spitzenwert Effektivwert Komplex u(t), Reell Û Komplex Û Reell U Komplex U u(t)e jωt Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen

Mehr

Einführung in die digitale Signalverarbeitung WS11/12

Einführung in die digitale Signalverarbeitung WS11/12 Einführung in die digitale Signalverarbeitung WS11/12 Prof. Dr. Stefan Weinzierl Musterlösung 11. Aufgabenblatt 1. IIR-Filter 1.1 Laden Sie in Matlab eine Audiodatei mit Sampling-Frequenz von fs = 44100

Mehr

Einfache Varianzanalyse für abhängige

Einfache Varianzanalyse für abhängige Einfache Varianzanalyse für abhängige Stichproben Wie beim t-test gibt es auch bei der VA eine Alternative für abhängige Stichproben. Anmerkung: Was man unter abhängigen Stichproben versteht und wie diese

Mehr

Kontinuierliche Fourier-Transformation. Laplace-Transformation

Kontinuierliche Fourier-Transformation. Laplace-Transformation Kontinuierliche Fourier-Transformation. Laplace-Transformation Jörn Loviscach Versionsstand: 16. Juni 2010, 17:56 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:

Mehr

Seminar Digitale Signalverarbeitung Thema: Digitale Filter

Seminar Digitale Signalverarbeitung Thema: Digitale Filter Seminar Digitale Signalverarbeitung Thema: Digitale Filter Autor: Daniel Arnold Universität Koblenz-Landau, August 2005 Inhaltsverzeichnis i 1 Einführung 1.1 Allgemeine Informationen Digitale Filter sind

Mehr

A2.3: Sinusförmige Kennlinie

A2.3: Sinusförmige Kennlinie A2.3: Sinusförmige Kennlinie Wie betrachten ein System mit Eingang x(t) und Ausgang y(t). Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet. Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

3. Fourieranalyse und Amplitudenspektren

3. Fourieranalyse und Amplitudenspektren 3.1 Fourieranalyse 3.1.1 Einleitung Laut dem französischen Mathematiker Fourier (1768-1830) kann jedes periodische Signal in eine Summe von sinusförmigen Signalen mit unterschiedlichen Amplituden, Frequenzen

Mehr

Titel: Darstellung und Analyse abgetasteter Signale Titel-Kürzel: ABT

Titel: Darstellung und Analyse abgetasteter Signale Titel-Kürzel: ABT Titel: Darstellung und Analyse abgetasteter Signale Titel-Kürzel: ABT Autoren: Niklaus Schmid, sni Koautor: U. Gysel, gys Version: v2.0 31. Dezember 2005 v2.1 7. Januar 2006 Korrekturen von G. Lekkas verarbeitet

Mehr

Bildrekonstruktion & Multiresolution

Bildrekonstruktion & Multiresolution Bildrekonstruktion & Multiresolution Verkleinern von Bildern? Was ist zu beachten? Es kann aliasing auftreten! Das Abtasttheorem sagt wie man es vermeidet? ===> Page 1 Verkleinern von Bildern (2) Vor dem

Mehr

Echtzeit-Analyse/Synthese von Sprachsignalen unter Berücksichtigung des Sprachverständlichkeitsindex (SII)

Echtzeit-Analyse/Synthese von Sprachsignalen unter Berücksichtigung des Sprachverständlichkeitsindex (SII) Allgemeine Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. Udo Zölzer Echtzeit-Analyse/Synthese von Sprachsignalen unter Berücksichtigung des Sprachverständlichkeitsindex (SII) Von Sayak Ghosh Choudhury Prof. Dr.-Ing.

Mehr

Dokumentation zum Projekt Multimediale Lehre Fluidmechanik an der Technischen Universität Graz

Dokumentation zum Projekt Multimediale Lehre Fluidmechanik an der Technischen Universität Graz Dokumentation zum Projekt Multimediale Lehre Fluidmechanik an der Technischen Universität Graz Andreas Aigner email: andreasa@sbox.tu-graz.ac.at. Januar 00 Inhaltsverzeichnis Theorie. Stromfunktion...........................

Mehr

Zusammenfassung der 1. Vorlesung

Zusammenfassung der 1. Vorlesung Zusammenfassung der 1. Vorlesung Einordnung und Motivation Grundlegende Definitionen Kontinuierliches Signal Zeitdiskretes Signal Quantisiertes Signal Digitales Signal Kontinuierliches System Abtastsystem

Mehr

Realisierung digitaler Filter FHTW-Berlin Prof. Dr. F. Hoppe 1

Realisierung digitaler Filter FHTW-Berlin Prof. Dr. F. Hoppe 1 Realisierung digitaler Filter FHTW-Berlin Prof. Dr. F. Hoppe System zur digitalen Signalverarbeitung: Signal- Quelle AAF ADC DAC RCF DSP Po rt Po rt Signal- Ziel Das Bild zeigt ein allgemeines System zur

Mehr

Verzerrungsfreies System

Verzerrungsfreies System Verzerrungsfreies System x(n) y(n) n n x(n) h(n) y(n) y(n) A 0 x(n a) A 0 x(n) (n a) h(n) A 0 (n a) H(z) A 0 z a Digitale Signalverarbeitung Liedtke 8.1.1 Erzeugung einer linearen Phase bei beliebigem

Mehr

Adaptive Systeme. Sommersemester Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn. Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

Adaptive Systeme. Sommersemester Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn. Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff Adaptive Systeme Sommersemester 2015 Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 1 Adaptive Systeme Adaptives System: ein System, das

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme

1 Lineare Gleichungssysteme MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden

Mehr

Skizze zur Veranschaulichung der Legendretransformation

Skizze zur Veranschaulichung der Legendretransformation 9 Die thermodynamischen Funktionen G und H Ehe das Schema des vorherigen Abschnittes zur Konstruktion weiterer thermodynamischer Potentiale zu Ende gebracht wird, kurz einige Erläuterungen zur Legendretransformation.

Mehr

Einfacher loop-shaping Entwurf

Einfacher loop-shaping Entwurf Intitut für Sytemtheorie technicher Prozee Univerität Stuttgart Prof. Dr.-Ing. F. Allgöwer 6.4.24 Regelungtechnik I Loophaping-Entwurf t http://www.it.uni-tuttgart.de/education/coure/rti/ Einfacher loop-haping

Mehr

Einführung in die digitale Signalverarbeitung WS11/12

Einführung in die digitale Signalverarbeitung WS11/12 Einführung in die digitale Signalverarbeitung WS11/12 Prof. Dr. Stefan Weinzierl usterlösung 1. Aufgabenblatt 1. Digitale Filter 1.1 Was ist ein digitales Filter und zu welchen Zwecken wird die Filterung

Mehr

4.2 Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher

4.2 Abtastung und Rekonstruktion zeitkontinuierlicher 7 4 Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale und Systeme nicht auf [, ] zeitbegrenzt ist. Es kommt daher zu einer Überlappung der periodischen Fortsetzungen. Für die Herleitung der Poissonschen Summenformel

Mehr

Frequenzanalyse Praktischer Leitfaden zur Anwendung der Frequenzanalyse. Ordnungsanalyse

Frequenzanalyse Praktischer Leitfaden zur Anwendung der Frequenzanalyse. Ordnungsanalyse Frequenzanalyse Praktischer Leitfaden zur Anwendung der Frequenzanalyse Definition Beispiel Drehzahlerfassung Methode FFT Methode Ordnungs-FFT Methode Filter Zusammenfassung 2 Unter versteht man die Analyse

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr