Realisierung von Bezier-Flächen durch Anwendung von De Casteljau

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1 Projekarbe Compergrafk Dokmeao Compergrafk Thema: Realerg vo ezer-fläche drch Awedg vo De Caelja Doze: earbeer: Lehrgag: Prof. Dr. Zho Mar Sommer, Elv Corbo 12. Ifo NTA Iy Iy, de

2 Projekarbe Compergrafk Ihalverzech 1 Afgabeellg Eführg Gechche Zr Pero Perre ézer Zr ézer Krve...2 Darellg vo Krve....1 afkoe ere che Polyome ereba Prakche Realerg ézer-krve...5. Eaz vo De Caelja Darellg vo Fläche Eaz vo De Caelja Prakche epel Teorprodk UML-Dagramme Faz Qelleagabe Lerar Iere Soge Ahag

3 Projekarbe Compergrafk 1 Afgabeellg De Projekarbe gb ee klee Eblck de Theore vo ézer-fläche m Hlfe de De Caelja Algorhm d der prakche Umezg. Der Hapbeadel olle über ézer-fläche hadel, aber aürlch darf ee Eführg de Grdlage vo ézer d ere, owe de Eehg vo ézer-krve ch fehle

4 Projekarbe Compergrafk 2 Eführg 2.1 Gechche Zr Pero Perre ézer Perre ézer wrde am 1. Sepember 191 al Soh ee Igeer Par gebore. Ach er echlo ch z deem erfweg d abolvere a der Ecole de Ar e Meer e Machebageerdm. Er bldee ch ach ählche erffelder weer. 19 bega er ee 42-jährge Lafbah be Real. Er arbeee vele veraworgvolle Poe d wrde 1957 chleßlch Drekor der Macheelabelg d war vor allem für de Aomaerg mechacher Kompoee d für da Deg d de Prodko eer NC- Nmeral ad corol Mache veraworlch. Dee koe geomerche Dae a eem Recher af Werkzege überrage. Er veröffelche ee Sde rech bald, allerdg kam e z eem Rechre zwche ézer d De Caelja, welcher crca dre Jahre vor hm ählche Sde berebe hae, dee allerdg ch veröffelch hae. Schleßlch echlo da Gerch, da de allgemee Formel d dam de Krve ach ézer d da zgrde legede Korkoprzp ach De Caelja bea werde olle. Perre ézer bleb zelebe Mgled zahlreche wechaflche Veregge Dokor Hoor Caa der Uverä erl, hoorere Mgled der amerkache Geellchaf für Macheba, Präde der Geellchaf für Igeere d Wechafler vo Frakrech, Perre ézer arb am 25. November 1999 m Aler vo 89 Jahre Zr ézer Krve I de füfzger Jahre wrde für de Ewcklg zahlrecher Prodke och Zechebre d lef beög. De Prodko der für de Maeprodko beöge Gforme wrde me vo eem agebldee Mechaker hadgeferg. Doch cho bald erkae jge Igeere de Vorel vo Programme der damal och de Kderchhe ehede Compergeerao. De Mache würde Zkf exak z eer e, de Geagke würde perfekoer werde d de Fehlerqoe edrg gehale. I de echzger Jahre wrde vo ézer de ere NC- Mache mewckel d ermöglche de Ewcklggeere bher och ch bekae Möglchkee. Allerdg me zer och e Problem gelö werde. De mee Komee erwaree vo de Prodke rde Forme, gerade Le d geae Wkel ware be de mee Prodke ch vorgeehe. Sehr of me Hohlräme agefrä werde, de r m geaer Verarbeg der agefordere Dae de Erwarge hoher Qalä voll eprache. eoder Markbrache, welche bere aomaer ware, wrde dee Mache beög. Da e möglch war, m der ézer- Krve d dem De Caelja- Algorhm gekrümme Fläche z erelle, revoloere dee Syem vor allem de Aomoblbrache

5 Projekarbe Compergrafk Darellg vo Krve Um Krve der Compergrafk darzelle, verwede ma da Przp der Näherg. Eer Krve oder Polygozg werde dabe Pke o g we möglch ageäher. De Krve wrd verch. Telegmee ach afkoe gea afgepale. De Smme der afkoe Φ x ergb wederm de de egelche Krve fx: Φ a x x f *.1 afkoe De afkoe werde me m Polyome ewckel: a x x a x a a x Q Nachfolged ee der gebrächlche polyomale afko:.1.1 ere che Polyome De erepolyome d allgeme we folg für de Grad defer: ] ; [ 1 Im Regelfall wrd zr Verefachg bem De Caelja - Algorhm r da Iervall [; 1] berache: 1] [; Egechafe Paro der E o ] ; [ 1 Povä o ] ; [ Rekro o Symmere - -

6 Projekarbe Compergrafk o.1.2 ereba Al epel ehme wr ee kbche Krve d zehe dara de erepolyome: Ee kbche Krve ha 4 Korollpke d ez om de Grad. Wr gehe zr Verefachg weder vom Iervall [; 1] a. I deem Fall ergebe ch folgede ere-polyome. Ordg: A deem Schabld eh ma delch de Symmere der Polyome, de.1.1 defer wrde: 1 Ee Überprüfg deer Aage ergb, m Falle vo : 1 Dam bewee, da ee Verachg der Polyome keerle Äderge am Verhale d Verlaf der Krve zr Folge ha. De Egechaf Paro der E begrüde ch m Verlaf der ezele Polygokrve: De Smme aller Fkowere f a eem bemme Pk beräg mmer 1. Al weere lä ch erkee, da der ere d leze Korollpk m de ézerpke überemme m. E m alo gele: P P P Edpkerpolao d P Ee geaere erachg herüber erfolg och m äche Abch über ézer Krve

7 Projekarbe Compergrafk.1. Prakche Realerg De prakche Umezg Java-Code: // ereche ezerkoeffzee erepolyome vod epolyome { doble,v; for ; < N; ++ { doble /N-1; v 1-; ere b ew ere; b.a v*v*v; // 1. Telpolyom b.b **v*v; // 2. Telpolyom b.c ***v; //. Telpolyom b.d **; // 4. Telpolyom bezer[] b; } } De ere-polyome werde m deer Mehode bereche d de Ergebe für de weere erechg zwchegepecher. Wr gehe her vo eer kbche Krve a, da dee Ordg der Prax am häfge afr..2 ézer-krve Ma prch vo eer ézer-darellg, we e Polyom ereba vorleg, d.h. ma erhäl e Polyom, da de a ee Polyomrame eprechede Grade blde: R > R m m {2; } De allgemee Form de Polyom vom Grad : P P wobe P : Korollpke d : ere Polyome darelle. Ach her werde weder e paar Egechafe defer: Egechafe 1 [;1] Dee Defo bewrk, da de Krve P aff vara bzgl. Ihrer Korollpke, d.h. de Rehefolge be der emmg der ezerpke wchg. E ka de ezer-krve bereche d da de Pke raformer werde oder ader herm. Oder mahemach agedrück: - 5 -

8 Projekarbe Compergrafk T P T P T : Traformao Uer erückchgg vo Povä..1.1 d der affe Ivaraz folg dara: Krve P leg für [; 1] erhalb de kovexe Hülle de Korollpolygo ezerkrve verläf mmer erhalb der markere Fläche für 2. Afag- d Edpk de Korollpolygo d der ezerkrve d glech. Rchg de Tageevekor a de Edpke der ezerkrve eprch der Rchg de Vekor, der drch de ere d leze Srecke de Korollpolygo bemm wrd. Jeder Korollpk ha globale Efl af de Krve, da. Eaz vo De Caelja Der äche Schr, ee Algorhm z fde, der de zm Korollpolygo paede ezerpke fde. E wchger d efacher Algorhm zr erechg vo ezer-krve der vo De Caelja. Herbe werde de Srecke zwche de ezele Korollpke P, P 1, P 2, P erel d de e gewoee Polygo-Pke P, P, wederm verbde. Der Algorhm verbde om rekrv b er P 1 P2 abbrch

9 Projekarbe Compergrafk Sehr achalch ka ma de Ablegfe de Algorhm m der Pyramde darelle. I deem Fall geh ma vo eer kbche Krve a. Je ach Rekroefe erhäl ma 4, 5, 6 oder 7 ézerpke. Ee weere Erhöhg der Ordg drch ee Uerglederg der Krve möglch. Som werde Telegmee weder z ee - 7 -

10 Projekarbe Compergrafk 4 Darellg vo Fläche 4.1 Eaz vo De Caelja Der De Caelja Algorhm für Fläche ee Erweerg de cho bekae Algorhm für Krve. N wrd er af Krve vo Krve agewad. Drch rekrve Drchlafe werde her Verecke erzeg, de ch koa eem Pk aäher. Her pel de Rekroefe weder ee Rolle. Je größer de Rekroefe, deo weger Verecke ergebe ch a dem Algorhm Prakche epel Ee Verachalchg zweer Krveberechge zr Realerg de Algorhm: // jez de Krvepke bereche, 1. ezerkrve for ; < N; ++ { // ezerkoeffzee b.a, b.b, b.c, b.d werde Array gepecher bezerkoeff2.ma[][] bezer[].a; bezerkoeff2.ma[1][] bezer[].b; bezerkoeff2.ma[2][] bezer[].c; bezerkoeff2.ma[][] bezer[].d; // 2. ezerkrve for j ; j < N; j++ { // ezerkoeffzee vo 2. Krve werde gepecher bezerkoeff1.ma[][] bezer[j].a; bezerkoeff1.ma[][1] bezer[j].b; bezerkoeff1.ma[][2] bezer[j].c; bezerkoeff1.ma[][] bezer[j].d; - 8 -

11 Projekarbe Compergrafk 4.2 Teorprodk De Idee baer af der Mlplkao zweer ézer-krve. Agehed vo zwe ere-polyome: m j,..., m j,..., wrd ee Fläche vo zwe bvarae Polyome erzeg: m j v * j v m Teorprodkram A deer Teorprodk-a erhäl ma da de gewüche Flächefko: P, v m j c j m j, v m j c j m j v wobe c j : Koeffzee a R Egechafe Ierpolao der Ecke o P, P P1, P P, 1 P m P1, 1 P m I der Awedg leg ee Krve q vor, de drch de Ram beweg wrd d ch ach der Rchg äder ka. De Äderg wrd drch ee Koeffzee a bechrebe. Grdleged leg ma de Eckpke der Fläche fe. Da folg de Ierpolao v-rchg zwche de Pke P, P 1 d Pke P 1, P 11 drch zwe paramerere, wdchefe Gerade. Iervall [; 1] De zwee Ierpolao verläf ebeo -Rchg zwche de Gerade. Ma prch daher ach vo eer wederhol rekrv bleare Ierpolao

12 Projekarbe Compergrafk 5 UML-Dagramme Nachfolged och de erelle Projekklae UML

13 Projekarbe Compergrafk

14 Projekarbe Compergrafk

15 Projekarbe Compergrafk - 1 -

16 Projekarbe Compergrafk 6 Faz Der Algorhm vo ézer eer vo vele für Krve d gekrümme Oberfläche. eodere Awedg fde der Algorhm vo ézer m Rahme de CAD Comper Aded Deg d zr echrebg vo Schrfare z.. Pocrp Type1 d CFF- Opeype. E großer Vorel gegeüber adere Algorhme ee Gechwdgke de vor allem be eer große Azahl a Krve we z.. be eer Fläche beög wrd. E Nachel dagege, da be ézerkrve owe be ézerfläche jeder Pk globale Efl af de gaze Krve bzw. Fläche ha. Dehalb lae ch kee belebge Krve modellere. Ibeodere köe kee Kegelche Parabel, Kree/Ellpe oder Hyperbel dargeell werde. Darm ézer be der Modellerg vo komplexe Objeke eher ch geege

17 Projekarbe Compergrafk 7 Qelleagabe 7.1 Lerar [Foley, va Dam] Comper Graphc: Prcple ad Pracce [Ecaração] Graphche Daeverarbeg [Xag] Compergrafk 7.2 Iere hp://kal.plae-d.e/demo/marxfaq.hm hp://kal.plae-d.e/demo/marxfaq.hm hp://www-lehre.formak.-oabreck.de/~cg/2/krp/ihal.hml hp://www.-gee.de/www-nmerche-mahemak/a-e/ull/bll91 hp://www.-gee.de/www-nmerche-mahemak/a-e/ull/bll91.hml hp://www.fh-fredberg.de/er/mlz/javakr/apple/ezer/ezer.hml hp://www.ad.we.ac.a/doc/lva/mmgdv/k2 8.hm 7. Soge Skrp Compergrafk SS5 8 Ahag CD o o Qellcode UML-Dagramme

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