Digitaltechnik. Andreas König. Professur Technische Informatik Fakultät Informatik Technische Universität Chemnitz. Wintersemester 2001/2002

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1 Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Digitaltchnik Anras König Prossur Tchnisch Inormatik Fakultät Inormatik Tchnisch Univrsität Chmnitz Wintrsmstr / Anras König Foli - Rkapitulirung zu Kapitl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Einührung in i Boolsch Algbra Darstllung von Schaltunktionn: Funktionstablln KV-Diagramm Algbraisch Darstllung Gattrarstllung Würl BDDs un OBDDs Rglwrk zur algbraischn Umormung Vorstllung vrschinr Basissystm Rüstzug zur inutign Konstruktion un Darstllung inr blibign Schaltunktion (Bünlunktionn) Vollstänig bzw. unvollstänig Schaltunktionn Entwur von Schaltunktionn mit ngativr un positivr Logik Anras König Foli -

2 Vorlsungsglirung: Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik. Einührung. Koirung un Arithmtik. Grunlagn r Boolschn Algbra. Entwur zwistuigr kombinatorischr Logik. Ziltchnologin un Tchnologianpassung. Zitlichs Vrhaltn kombinatorischr Schaltntz 7. Entwur squntillr Schaltwrk 8. Funktionsblöck igitalr Rchnr un Systm 9. Entwur von Systmn r Digitaltchnik. Ausblick Anras König Foli - Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Kapitlglirung:. Entwur zwistuigr kombinatorischr Logik. Augabnstllung. Bgrisinitionn. Graphisch Minimirung im KV-Diagramm. Tabllarisch Minimirung (Quin/McClusky-Vrahrn). Übrckungsproblm. Funktionsbünl.7 Eakt un huristisch Lösung.8 Synthswrkzug Anras König Foli -

3 Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Dr Entwur von Systmn r Digitaltchnik untrligt inr Rih hartr wirtschatlichr un tchnischr Ranbingungn, wi z.b. n Kostn, r Entwicklungszit, r Gschwinigkit, or m Listungsvrbrauch P v bi garantirtr Systmunktionalität Di Anzahl bnötigtr Logikbaustin binlusst au PCB-Ebn (Print Circuit Boar) i Kostn Bi inr mikrolktronischn Lösung bstimmt i Gattrzahl un i bnötigt Gattrti n Chiplächnbar A un amit i Kostn Art r Gattr un i Ti (Stunzahl) bstimmn Gschwinigkit (t D ) Insgsamt Optimirungsrick im Digitalntwur: P v A t D Bispil inr Mhrziloptimirung, Tra-o ür jwilig Lösung Anras König Foli - Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di Btrachtung un Optimirung iss Gsamtaspkts ist äußrst kompl Im olgnn rolgt i Bschränkung au i Optimirung kombinatorischr zwistuigr Logik Augabnstllung: Zwistuig Logikminimirung Ggbn ist in blibig Boolsch Funktion (Schaltunktion) Gsucht ist in Schaltwrk in Form inr zwistuign Un/Or-Ralisirung mit minimaln Kostn! Erknnbar stckt in r Forrung minimalr Kostn in Bzug zum Ralisirungsauwan in Form von Fläch un Vrlustlistung kostnminimal? & & & & z Anras König Foli -

4 Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Ansatz inr Kostnunktion: Litral N L & & & Gattr N Gattr & Gattrausgäng N G Anzahl r Litral als Kostnunktion: N E N L Anzahl r Litral un Prouktrm als Kostnunktion: N E N L + N G - +(-) Anzahl r Prouktrm als Kostnunktion: N E N G - Zil r Logikminimirung:! N E () Minimum Anras König Foli -7 Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Erst Übrlgungn habn gzigt, ass algbraisch Zusammnassungn bzw. graphisch Zusammnassungn im KV-Diagramm brits Möglichkitn in Richtung gwünschtr Minimirung bitn j {,,,,,7,8,,,,} ( m j ) DNF: N E N L + N G - +(-) Visull Zusammnassungn im KV-Diagramm urch Vrschmlzung bnachbartr Flr (Flwchsl ntspricht Änrung inr Variabln!) Anras König Foli -8

5 Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di blau ingzichnt rst Zusammnassung bziht sich au: ( ) j {,,,,,7,8,,,,} ( m j ) DNF: N E N L + N G - +(-) Di Vrschmlzung lässt sich in Zwirpotnzn zu immr größrn Blgungsblöckn sinknr Litralzahl ortstzn Anras König Foli -9 Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di lila ingzichnt zwit Zusammnassung rgibt nun: j {,,,,,7,8,,,,} ( m j ) DNF: N E N L + N G - +(-) Ein witr, grün ingzichnt Zusammnassung rgibt nun: Anras König Foli -

6 Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Dr noch nicht vrwnt Mintrm kann nun bnalls mit inm (brits vrwntn!) Nachbarl vrschmolzn wrn: j {,,,,,7,8,,,,} ( m j ) DNF: N E N L + N G - +(-) Nun blibn noch i Mintrm un 8. Dis untrschin sich nur in r Variabln un könnn somit auch zusammngasst wrn! Anras König Foli - Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Damit rgibt sich zunächst: j {,,,,,7,8,,,,} ( m j ) DNF: N E N L + N G - +(-) Joch könnn aus Symmtrigrünn i vrblibnn zwi Eckn, i auch zur Einstllnmng ghörn, mit inbzogn wrn! Anras König Foli -

7 Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Damit rgibt sich insgsamt: N E N L + N G - +(-)8 Di Btrachtung kann aus Grünn r Dualität auch ür i KNF un Matrm äquivalnt vorgnommn wrn! Anras König Foli - Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Anras König Foli -

8 Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bhanlung von Don t-car-flrn unvollstänig spziizirtr Funktionn bi r Zusammnassung Di -Flr so Nullstlln- bzw. Einsstllnmng zuornn, ass sich maimal Blgungsblöck rgbn Anras König Foli - Augabnstllung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Entsprchn Zusammnassung von Matrmn: Di bishrign Zusammnassung ührn zu Vrbssrungn Um as wirklich (global) Minimum zu inn, muss in systmatischr Hranghnswis hrangzogn wrn Anras König Foli -

9 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Dinition.: Ein Implikant inr Funktion ist in Proukttrm c ür n gilt c,.h. r Implikant übrckt minstns inn or maimal all Einsstlln r Funktion. Ein Mintrm ist amit in Implikant. Kin Implikant Ein Implikant: Ein Implikant: Anras König Foli -7 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Dinition.: Ein Primimplikant inr Funktion ist in Proukttrm p ür n gilt p,.h. r slbst in Implikant ist, un ür n kin anrr Implikant c von istirt ür n p c gilt. D.h., in Primimplikant wir von kinm anrn Implikantn übrckt un bsitzt amit minstns in Einsstll mhr als i istirnn Implikantn von. Kin Primimplikant: Primimplikant: Anras König Foli -8

10 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bispil zur Auinung allr Primimplikantn inr ggbnn Funktion: All im KV-Diagramm hrvorghobnn Implikantn sin Primimplikantn von Im KV-Diagramm ist i Mng allr Primimplikantn hrvorghobn Anras König Foli -9 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di Disjunktion allr Primimplikantn hißt Blaksch Normalorm Si ist bnalls in kanonisch Normalorm: Anras König Foli -

11 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Erknnbar wrn nicht all Primimplikantn zur Funktionsarstllung bnötigt! Anras König Foli - Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Satz. Si P i Mng allr Primimplikantn r Funktion. Dann stzt sich i Disjunktiv Minimalorm DMF aus inr Disjunktion von Primimplikantn P* zusammmn ür i gilt P* P. Anschaulich liß sich ja jr Implikant urch inn Primimplikant mit glichn or gringrn Kostn rstzn un isr wür ahr kinn Eingang in i DMF inn. Wlch r Primimplikantn aus r Blakschn Normalorm wrn zur Bilung r DMF bnötigt? Nach wlchn Kritrin kann i Auswahl vrschinr Typn von Primimplikantn zur Minimirung r Kostnunktion rolgn? Anras König Foli -

12 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Dinition.: Ein Primimplikant p inr Funktion hißt Krnprimimplikant (KPI) wnn r von r Disjunktion allr anrn Primimplikantn r Mng P P \ p nicht übrckt wir. Anschaulich hißt is, in KPI or in ssntillr Primimplikant bsitzt minstns in Einslmnt (Mintrm) von, as (r) auch urch i Zusammnassung allr anrn Primimplikantn sonst nicht argstllt wir. KPI KPI Anras König Foli - Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di KPI wrn also unabingbar zur Bilung r DMF von bnötigt Manch Mintrm wrn von mhrrn Primimplikantn übrckt! KPI KPI Anras König Foli -

13 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Dinition.: Ein Primimplikant p inr Funktion hißt absolut liminirbarr Primimplikant (API) wnn r von r Disjunktion allr Krnprimimplikantn r Mng P K übrckt wir. Anschaulich hißt is, in API bsitzt kin Einslmnt (kinn Mintrm) von, as (r) nicht brits urch inn r Krnprimimplikantn übrckt bzw. argstllt wir. KPI KPI API Anras König Foli - Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di KPI wrn also unabingbar zur Bilung r DMF von bnötigt Di API sin runant un könnn ntrnt wrn KPI KPI API? Anras König Foli -

14 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Dinition.: Ein Primimplikant p inr Funktion hißt rlativ liminirbarr Primimplikant (RPI) wnn r von r Disjunktion allr Primimplikantn r Mng P \ P A übrckt wir. Anschaulich hißt is, in RPI bsitzt minstns in Einslmnt (inn Mintrm) von, as (r) nicht urch inn r Krnprimimplikantn übrckt bzw. argstllt wir abr von mhrrn RPI übrckt wir. KPI KPI API RPI RPI RPI Anras König Foli -7 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Satz. Si P i Mng allr Primimplikantn r Funktion. Dann stzt sich i Disjunktiv Minimalorm DMF aus inr Disjunktion allr Krnprimimplikantn KPI aus P K un inr gigntn Auswahl rlativ liminirbarr Primimplikantn RPI aus P R zusammn, so ass kin Primimplikant p isr Disjunktion von r Mng allr Primimplikantn P*\p übrckt wir. Ein Normalorm, ür i kin Proukttrm wgglassn wrn kann, ohn ass i Funktion vränrt wir, hißt irrunant. Erülln mhrr DNF i Bingung s Satzs. (irrunant DNF) so ist i DNF mit gringstn Kostn als DMF auszuwähln Anras König Foli -8

15 Digitaltchnik Anras König Foli -9 Entwur zwistuigr Logik Bispil r RPI-Auswahl zur Bilung inr irrunantn NF: Bgrisinitionn g i g g g g g Digitaltchnik Anras König Foli - Entwur zwistuigr Logik Erknnbar sin i bin Variantn mit g un g irrunant Bgrisinitionn Di Kostn ür sin N E Di Kostn ür sin N E Di kostngünstigr irrunant NF wur ins KV-Diagramm ingtragn: DMF ist urch ggbn

16 Bgrisinitionn Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vorghnswis bi unvollstänig spziizirtn Funktionn: Zuschlagn r -Flr zur Einstlln- bzw. Nullstllnmng Abr: Ein Proukttrm ist nur PI, wnn r minstns in nthält Entsprchns gilt ür KPI/API Bispil: KPI: API: kin PI: Anras König Foli - Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di Durchührung zwistuigr Logiksynths bruht au r Auinung un gigntn Auswahl allr Primimplikantn zur auwansgünstigstn Ralisirung r arzustllnn Funktion Lösungsmöglichkit : Darstllung r Funktion im KV-Diagramm un visulls, intraktivs bstimmn r KPI, API, RPI un inr arau basirnn minimaln Lösung Erknnbar Limitirung urch Variablnzahl (n ) un Übrsichtlichkit bi großr Zahl von Primimplikantn Disr Ansatz wir im olgnn anhan ins Bispils argstllt Lösungsmöglichkit : Tabllarisch Vrahrn zur Bstimmung allr Primimplikantn (gg. rkursiv), golgt von r Lösung ins sognanntn Übrckungsproblms Bssr rchnrgstützt Umstzung isr aktn Hranghnswis Drartig Ansätz wrn z.t. nacholgnn argstllt un angwant Anras König Foli -

17 Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Anwnungsbispil bit Komparator: N N,>,< F F < F > F F F Anras König Foli - Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik F Entwur r Tilunktion F : Nur Mintrm i amit glichzitig KPI sin F F F Anras König Foli -

18 Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Entwur r Tilunktion F : F F F F Dri KPI, kin API or RPI Anras König Foli - Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Entwur r Tilunktion F : F F F F Dri KPI, kin API or RPI Anras König Foli -

19 Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Anwnungsbispil bit Airr: N N + N Y Z Y Z Anras König Foli -7 Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Entwur r Tilunktion : Dri KPI, kin API or RPI Y Z Anras König Foli -8

20 Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Entwur r Tilunktion Y: Y Schs KPI (avon zwi Mintrm), kin API or RPI Anras König Foli -9 Y Z Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Entwur r Tilunktion Z: Y Z Z Zwi KPI, kin API or RPI Anras König Foli -

21 Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik DMF gsucht ür olgn Funktion : PI, KPI, API, RPI? Anras König Foli - Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik DMF gsucht ür olgn Funktion : KPI: RPI: Anras König Foli -

22 Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik DMF gsucht ür olgn Funktion : Anras König Foli - Graphisch Minimirung im KV-Diagramm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Gsucht: DMF ür in Schaltwrk zur Umstzung von ASCII-Ko nach BCD-Darstllung ür i Zahln bis 9: Zichn ASCII BCD Zichn ASCII BCD Ein Bispil:. Anras König Foli -

23 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di Bstimmung allr Primimplikantn ist i Ausgangsbasis ür akt Minimirungsvrahrn Im zwitn Schritt wir aus isn gunnn Primimplikantn in r kostngünstigstn bzw. i kostngünstigst Übrckung ausgwählt Es istirn in Rih von Vrahrn zu isr aktn Hranghnswis: Graphischs Vrahrn untr Nutzung s KV-Diagramms Algbraischs Vrahrn nach Nlson [Nlson, Lipp 99] Tabllarisch Vrahrn nach Quin-McClusky [McClusky, Katz 9] un as sognannt Consnsus-Vrahrn nach Mott [Mott, Eschrmann 9] Ein Problm s rstn Schritts in r aktn Minimirung ist, ass s Funktionn gibt, i bi n Variabln n /n Primimplikantn bsitzn Graphisch un manull Hranghnswis nur ür klins n! Zusätzlich: Übrckungsproblm s zwitn Schritts NP-vollstänig Eakt Minimirung rorrt izint Implmntirung bir Schritt, z.b. rkursiv Primimplikantnbstimmung Zunächst: Tabllarischs Vrahrn nach Quin-McClusky Anras König Foli - Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Tabllarischs Vrahrn nach Quin-McClusky: In m Vrahrn wir von r Mintrm-Darstllung ausghn in tabllarisch Vrschmlzung bnachbartr Flr in Analogi zur KV- Darstllung vorgnommn Übrprüt wrn all Mintrm, i sich nur in inr Variabln untrschin Zu ism Zwck wir in rst Tabll rstllt, in r i Mintrm nach Gruppn sortirt ingtragn wrn Di Sortirung r Gruppn rolgt nach r Anzahl r Einsn in r Blgung austign in r Tabll Übrprüt wir nun ür j möglich Kombination zwir bnachbartr Gruppn, ob in Untrschiung gnau in inr Stll ggbn ist un amit in Zusammnassung urch auslassn (-) r Variabln im Proukttrm möglich ist Konnt in Tabllnintrag in inr Zusammnassung vrwnt wrn, so wir r mit gknnzichnt Anras König Foli -

24 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Fortstzung: Tabllarischs Vrahrn nach Quin-McClusky: Konnt in Tabllnintrag in kinr Zusammnassung vrwnt wrn, so wir r mit * gknnzichnt,.h. r ist brits in Primimplikant Im Fall inr Zusammnassung wir r ntstann Blgungsausruck aus,, un in i nächst Tabll zur Witrvrarbitung übrnommn. Di Inizs r zughörign, übrcktn Mintrm wrn in inr ignn Tabllnspalt mitgührt Es rolgt in Sortirung r nugbiltn Blgungsausrück nach r Anzahl r Einsn in Gruppn Ernut rolgt i Prüung au möglich Zusammnassung, rn Durchührung un Austllung nur Tablln Abbruchkritrium: Lassn sich in inr Tabll kin Zusammnassungn mhr inn, so kann kin witr Tabll mhr augstllt wrn. All mit * gknnzichntn Tabllninträg sin Primimplikantn Auinung r irrunantn Normalorm DMF urch Austllung un Auswrtung r Primimplikantntabll Anras König Foli -7 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vranschaulichung r Primimplikantnbstimmung nach Quin- McClusky ( m ) Bispilunktion: j j {,,,8,9,,} i {,7,} Aulistung allr Mintrm (Eins- un -Stllnmng) ( i ) j Blgung j 8 Blgung Sortirung 9 7 Anras König Foli -8

25 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vranschaulichung r Primimplikantnbstimmung nach Quin- McClusky (Fortstzung) Gruppnwis Übrprüung allr möglichn Paar au Zusammnassung: j Tabll. Tabll Blgung Zusammnassung (. un. Grupp) j,, 8 Blgung - - Anras König Foli -9 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vranschaulichung r Primimplikantnbstimmung nach Quin- McClusky (Fortstzung) Gruppnwis Übrprüung allr möglichn Paar au Zusammnassung: j Tabll. Tabll Blgung Zusammnassung (. un. Grupp) j,, 8,, 8, 9 8, Blgung Anras König Foli -

26 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vranschaulichung r Primimplikantnbstimmung nach Quin- McClusky (Fortstzung) Gruppnwis Übrprüung allr möglichn Paar au Zusammnassung:. Tabll. Tabll j 8 Blgung j,, 8, Blgung Zusammnassung (. un. Grupp), 8, 9 8,, 7,, 7 9, Anras König Foli - Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vranschaulichung r Primimplikantnbstimmung nach Quin- McClusky (Fortstzung) Gruppnwis Übrprüung allr möglichn Paar au Zusammnassung:. Tabll. Tabll j 8 Blgung j,, 8, Blgung Zusammnassung (. un. Grupp), 8, 9 8,, 7,, 7 9, 7, , - Anras König Foli -

27 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vranschaulichung r Primimplikantnbstimmung nach Quin- McClusky (Fortstzung) Gruppnwis Übrprüung allr möglichn Paar au Zusammnassung:. Tabll. Tabll j Blgung j Blgung, - *,,,7 --, 8 - *,7,, --, -, - 8, 9 - * 8,, * Zusammnassung, -, 7-9, - * 7, -, - Anras König Foli - Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vranschaulichung r Primimplikantnbstimmung nach Quin- McClusky (Fortstzung) Gruppnwis Übrprüung allr möglichn Paar au Zusammnassung:. Tabll. Tabll j Blgung j Blgung,,,7 -- *,7,, -- * Zusammnassung Abbruch! Anras König Foli -

28 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vranschaulichung r Primimplikantnbstimmung nach Quin- McClusky (Fortstzung) Ggnprob r gunnn Primimplikantn übr KV-Diagramm: Anras König Foli - Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Auinung r irrnunantn Normalorm or irrunantn Hüll nach Quin-McClusky urch Austllung inr Primimplikantntabll Primimplikantntabll: Primimplikantn übr Mintrm (ohn -Mng) 8 9, (-),8 (-) 8,9 (-) 8, (-) 9, (-),,,7 (--),7,, (--) Anras König Foli -

29 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bstimmung r KPI in r Primimplikantntabll Erknnbar ist in KPI ggbn, wnn in inr Mintrmspalt nur in Markirung zu inn ist 8 9, (-),8 (-) 8,9 (-) 8, (-) 9, (-),,,7 (--),7,, (--) Anras König Foli -7 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di gunnn KPI ghn all in i irrunant Normalorm in un übrckn typisch witr Mintrm In r Primimplikantntabll könnn Spaltn gstrichn wrn, i urch i gunnn KPI übrckt wrn 8 9, (-),8 (-) 8,9 (-) 8, (-) 9, (-),,,7 (--),7,, (--) Anras König Foli -8

30 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Im ggbnn Bispil sin nur noch i Mintrm 9 un nicht urch i gunnn KPI abgckt Aus n ri vrblibnn RPI ist i Lösung - i kostngünstigst 8 9, (-),8 (-) 8,9 (-) 8, (-) 9, (-),,,7 (--),7,, (--) Anras König Foli -9 Tabllarisch Minimirung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Damit rgibt sich i akt Lösung s ggbnn Minimirungsproblms zu: Ein Bispil:. Anras König Foli -

31 Rkursiv Primimplikantnbstimmung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik In r Litratur wrn zur izintn Durchührung r aktn Logikminimirung Vrahrn zur rkursivn Bstimmung r Primimplikantn vorgstllt [Eschrmann 9] Im zwitn Schritt olgt ür i Mng r gunnn PI ann i Lösung s sognanntn Übrckungsproblms Dr rkursiv Ansatz bruht au m Entwicklungssatz un r Bstimmung r PI inr Funktion aus n PI ihrr bin Koaktorn Di Zrlgung in Koaktorn kann sowit urchgührt wrn, bis is nur noch aus inm Würl bsthn Kann in Funktion mit nur inm Würl rpräsntirt wrn, so ist isr Würl analog zu inm PI in Primwürl [Eschrmann 9] Hir soll nur kurz as Prinzip r Bilung r PI von aus n PI r Koaktorn augzigt wrn Divi-t-impra Schma zur izintrn Durchührung Anras König Foli - Rkursiv Primimplikantnbstimmung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik PI r Koaktorn zu inm Zrlgungspunkt sin bkannt. Aus ihnn sin i PI r Funktion zu bstimmn! PI: PI:? PI: Anras König Foli -

32 Rkursiv Primimplikantnbstimmung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di nuhinzukommn Variabl muss mit n PI r Koaktorn vrknüpt wrn (Ausnahm: PI i in bin Koaktorn vorkommn ) PI: PI: PI: Anras König Foli - Rkursiv Primimplikantnbstimmung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Sin i vorlignn PI r bin Koaktorn allin hinrichn zur Bstimmung r PI von? PI: PI: PI: Hir nicht hinrichn! Anras König Foli -

33 Rkursiv Primimplikantnbstimmung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di aus r Un-Vrknüpung r Koaktorn rsultirnn PI blibn als gminsamr Til ür rhaltn PI: PI: PI: PI: Anras König Foli - Rkursiv Primimplikantnbstimmung Allgmins Vorghn ür in Funktion mit: Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di Mng PI() r Primimplikantn von wir gbilt urch: PI( ) PI( o ( PI( ) o ( PI( ) \ PI( ) \ PI( In ism Kontt butt o PI i Mng von Proukttrmn, i urch Un-Vrknüpung von mit alln Elmntn von PI ntstht, z.b.: )) {, } { } o, o{} { } {, } { } { } \ )) Anras König Foli -

34 Rkursiv Primimplikantnbstimmung Vorghn ür Funktion aus m (Ggn)Bispil: Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di Mng PI() r Primimplikantn von wir gbilt urch: PI( ) PI( o ( PI( PI( ) ) ) \ PI( o ( PI( ) \ PI( )) { } o ({ } \ { } o ({ }\ { }) ) { } o{ } o{ } PI( ) { } PI ( ), )) Anras König Foli -7 Rkursiv Primimplikantnbstimmung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Damit ist i Bstimmung r PI inr Funktion in n Variabln zurückührbar au i Bstimmung r PI rir Funktionn in n- Variabln Di Zrlgung kann rkursiv m Divi-t-impra Schma nach urchgührt wrn Abbruchbingungn ür i Rkursion: PI(){} PI(){} PI(){} PI(){} Möglich Vrahrnsvrinachung ür sognannt unat Funktionn Witr Dtaillirung in achlichr Vrtiungsvranstaltung Abschlissns Bispil: Anras König Foli -8

35 Rkursiv Primimplikantnbstimmung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di nuhinzukommn Variabl muss mit n PI r Koaktorn vrknüpt wrn (Ausnahm: PI i in bin Koaktorn vorkommn ) PI( ) { }, { } PI( ), { } PI ( {,, } PI ) ( ) PI( ) o o Anras König Foli -9 { } Rkursiv Primimplikantnbstimmung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Btrachtung r tirn Zrlgungsbn un r Abbruchkritrin: PI( ) PI( ) PI( ) { }, { } {} PI( ) { } PI( PI( ) { } o{ } { } ) o {, } Anras König Foli -7

36 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Durch gignt Mthon, z.b. urch auwansgünstig rkursiv Bstimmung, könnn i PI inr Funktion sämtlich gunn wrn Di nacholgn Auswahl rlvantr PI mit m Zil r Gwinnung inr irrunantn un kostnminimaln DMF wur bislang noch witghn pragmatisch anggangn Im olgnn soll nun as ahintrsthn sognannt Übrckungsproblm gnaur btrachtt wrn Es solln systmatischr Wg zur Auinung inr DMF arglgt un bgangn wrn Allgmin Formulirung: Für in Mng M sowi in Mng T von m Tilmngn von M mit T{M,..., M m } un in monoton Kostnunktion, i jr Tilmng von T Kostn zuornt, ist in Tilmng T* von T so zu biln, ass U M i T* M.h. M bi minimaln Kostn vollstänig übrckt wir Anras König Foli -7 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Rpräsntation r Problms urch i Übrckungsmatri (s. Quin- McClusky Mtho) ür willkürlich Bispilunktion: 9 p k c k,,, (--) p c,,, (--) p c, (-) p c 9, (-) p c, (-) p c, (-) p c, (-) p 7 c 7,7,, ghörn zur -Stllnmng! Anras König Foli -7

37 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Ein Möglichkit r Bstimmung inr Lösung wir urch as Vrahrn von Ptrick gbotn Hirbi wrn sognannt Eistnz- bzw. Präsnzvariabln i ür jn Primimplikantn p i ingührt, ür i gilt: i wnn p T * wnn p T * i i Altrnativn in inr Spalt wrn urch i Altrnativn bzgl. r Präsnzvariabln abgbilt KPI müssn natürlich immr in r Lösung präsnt sin ( i KPI ) Für ggbns Bispil bstimmt sich r Ptrickausruck PA zu PA ( ( ) ( ) ( 7 ) ( ) ( 7 ) ) Anras König Foli -7 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di Barbitung s Ausrucks läut prinzipill wir au i glich Problmatik, wi z.b. bim Nlson-Vrahrn, hinaus Wsntlichr Untrschi: Variabl kommn nur nicht ngirt vor un bi PA hanlt s sich um in Boolsch Glichung ür i in (optimal) Lösung zu bstimmn ist Durch Umormn s Ausrucks von PA lässt sich in günstigr Darstllung zur Lösung r Augab inn: PA Jr Proukttrm stllt in möglich Kombination r PI r ursprünglichn Minimirungsaugab ar, i in irrunant Übrckung rpräsntirt Zur Auswahl r günstigstn Lösungn müssn nun i Kostn hrangzogn wrn Daür rolgt zunächst i Zuwisung von Kostn an i PI urch i Anzahl ihrr Litral. Damit ist c c, c bis c 7 Anras König Foli -7

38 Digitaltchnik Anras König Foli -7 Entwur zwistuigr Logik Daraus lassn sich i Kostn ür i möglichn Lösungn rrchnn: Erknnbar istirn zwi Lösungn mit glichn, minimaln Kostn: Übrckungsproblm K K K K K y y Digitaltchnik Anras König Foli -7 Entwur zwistuigr Logik Di Austllung un Abarbitung s Ptrick-Ausrucks lässt sich urch Ausnutzung von Inormation aus r Übrckungstabll von r Durchührung hr vrinachn So sin KPI unvrzichtbarr Bstantil r Lösung Si zichnn sich aurch aus, ass s nur inn inzign Eintrag in inr ntsprchnn Spalt gibt Übr i Auswrtung allr Spaltn sin i z KPI schnll zu inn un r Ptrick-Ausruck kann argstllt wrn als: Für as btrachtt Bispil wir ann PA & PA mit Bi ggbnr Kostnannahm rgbn sich zwi Trm 7 bzw., i noch um zur minimaln Lösung rgänzt wrn müssn Übrckungsproblm ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 7 PA PA PA KPI z KPI KPI K

39 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bi größrn Augabn un ntsprchnn Übrckungstablln ist i manull Barbitung mittls s Ptrick-Ausrucks schwirig Einsatz von ntsprchnr CAD-Untrstützung Für klinr Tablln istirt graphisch Mtho zur Ruktion r Tablln untr Ausnutzung sognanntr Dominanzvrhältniss Dabi istirn zwi Typn von Dominanzn: Spaltnominanz (Spaltnübrckung) Zilnominanz (Zilnübrckung) Dis wrn im olgnn Vrahrn zur Tabllnruktion ingstzt: Bstimmung allr ssntilln Spaltn un Strichung allr avon übrcktn Größn; lrgworn Ziln strichn Prüung allr Spaltnpaar au Dominanz; ominirn Spaltn strichn; lrgworn Ziln strichn Prüung allr Zilnpaar au Dominanz; ominirt Ziln strichn; lrgworn Ziln strichn, alls aurch kin kostngünstigr Lösung ntällt (Strichung glichwrtigr Ziln kann zu Vrlust glichwrtigr Lösungn ührn) Anras König Foli -77 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Fortstzung s Vrahrns zur Tabllnruktion: Di ri Schritt solang wirholn, bis kin Änrung mhr intritt Übrprüung, ob Tabll abgarbitt wur: Falls ja, Minimallösung(n) rmittln Falls nin, i vorlign sognannt zyklisch Rsttabll mit m Ptrick-Vrahrn abarbitn Zunächst Erläutrung s Bgris Spaltnominanz: Kann gstrichn wrn i i p k p p p p PA ( ) ( ) ( ) Anras König Foli -78

40 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Erläutrung s Bgris Zilnominanz: Dominirt in Zil i in Zil i bi gringrn or glichn Kostn, so kann i ominirt Zil gstrichn wrn Fall : Es si i > i un c i c i p k c k i p c i i p c i p c i i k p k c ik Zil i übrckt mhr Spaltn als Zil i Kostn bi glichn or gringrn PA k mit c i < ci + cik Anras König Foli -79 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Fall : Es si i i un c i c i p k c k i p c i i p c i Di bin Ziln habn glichn Wrt bzüglich r rziltn Übrckung Bi c i < c i wir i kostngünstigr Lösung gwählt, bi c i c i wir in glichwrtig Lösung urch as Strichn vrworn PA mit i i c c Anras König Foli -8

41 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bispil inr zyklischn Rsttabll: Dis kann mit n präsntirtn Mthon nicht witr vrinacht wrn Ptrick-Vrahrn ist in izint Möglichkit zur Abarbitung r zyklischn Rsttabll un Gnrirung inr Lösung Anwnungsbispil zur Vranschaulichung r Mtho Anras König Foli -8 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Anwnungsbispil aus Quin-McClusky-Mtho: 8 9, (-),8 (-) 8,9 (-) 8, (-) 9, (-),,,7 (--),7,, (--) Anras König Foli -8

42 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bstimmung r KPI in r Übrckungstabll (ssntill Spaltn) 8 9, (-),8 (-) 8,9 (-) 8, (-) 9, (-),,,7 (--),7,, (--) Anras König Foli -8 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Strichung allr urch i Krngrößn (KPI) übrcktn Größn; lrgwornn Ziln strichn 8 9, (-),8 (-) 8,9 (-) 8, (-) 9, (-),,,7 (--),7,, (--) Anras König Foli -8

43 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Strichung allr urch i Krngrößn (KPI) übrcktn Größn; lrgwornn Ziln strichn 9, (-),8 (-) 8,9 (-) 8, (-) 9, (-),,,7 (--),7,, (--) Anras König Foli -8 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Kin Spaltnominanz ür ggbn Rsttabll Prüung au Zilnominanz: Zwit Zil ominirt rst un ritt Zil! Prüung r Kostn (Zusatzspalt) 9 c k 8,9 (-) 9, (-),7,, (--) Dritt Zil hat i nirigstn Kostn abr rorrt Hinzunahm r rstn Zil, um glich Abckung zu rrichn Dahr: Strichn r rstn un rittn Zil Anras König Foli -8

44 Tabll abgarbitt: Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik 9 c k 9, (-) Minimal Lösung: y Witr Bispil: Anras König Foli -87 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Primplikantntabll s Bispils..: Bstimmung r KPI in r Übrckungstabll (ssntill Spaltn) ,,8,9,,7,, p 7,9,,7 p,,7,9 p 7, p, p, p, p 9, p 7 Anras König Foli -88

45 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Strichung allr urch i Krngrößn (KPI) übrcktn Größn; lrgwornn Ziln strichn ,,8,9,,7,, p 7,9,,7 p,,7,9 p 7, p, p, p, p 9, p 7 Anras König Foli -89 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Ergänzung um in Kostnspalt ür i witrn Ruktionsschritt Ligt Spaltnominanz vor? 7 c k 7,9,,7 (--) p 7, (-) p, (-) p, (-) p 9, (-) p 7 Anras König Foli -9

46 Übrckungsproblm Prüung au Zilnominanz Erknnbar: Zil ominirt Zil bi glichn Kostn Strichung von Zil! Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik 7 c k 7,9,,7 (--) p 7, (-) p, (-) p 9, (-) p 7 Anras König Foli -9 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Ernut Prüung au Zilnominanz Erknnbar: Zil ominirt Zil, allrings bi größrn Kostn Allrings: Um i notwnig Abckung, i urch Zil gbotn wir, zu rrichn, braucht Zil inn zusätzlichn Trm, z.b. i vorab gstrichn Zil Damit airn sich i Kostn zu +7 > von Zil Dahr: Strichung von Zil! 7 c k 7,9,,7 (--) p 7, (-) p, (-) p 9, (-) p 7 Anras König Foli -9

47 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Erknnbar ligt kin Spaltnominanz in r vrblibnn Tabll vor Ernut Prüung au Zilnominanz Erknnbar: Di bin Ziln un übrckn sich bzw. sin akt glich bi glichn Kostn Strichn inr r bin Ziln ührt zum Vrlust inr glichwrtign Lösung! 7 c k 7, (-) p, (-) p 9, (-) p 7 y y Anras König Foli -9 Digitaltchnik Übrckungsproblm Entwur zwistuigr Logik Primplikantntabll s Bispils..: Bilung s Ptrick-Ausrucks ür as Übrckungsproblm ,,8,9,,7,, p 7,9,,7 p,,7,9 p 7, p, p, p, p 9, PA ( ( p 7 ) )( ( )( )( 7 )( ) ( 7 ) )( Anras König Foli -9 )

48 Digitaltchnik Anras König Foli -9 Entwur zwistuigr Logik Vrinachung s Ptrick-Ausrucks ür as Übrckungsproblm Rgl R (Absorbtion) rlaubt i Zusammnassung bzw. Strichung allr Trm, i inn KPI nthaltn: Ursprünglichr Ausruck: Zusammnassung nach : Zusammnassung nach witrn KPI: Übrckungsproblm ) )( )( )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( 7 7 PA ) ( ) ( y ) )( )( )( ( ) ( 7 PA ) )( )( ( 7 PA Digitaltchnik Anras König Foli -9 Entwur zwistuigr Logik Witrghn Vrinachung s Ptrick-Ausrucks ür as Übrckungsproblm urch Autilung in ssntilln Til un PA Abarbitn s Ausrucks PA : Ausistribuirn: Damit istirn zunächst acht (vir) möglich Lösungn, aus nn bzüglich r Kostn i günstigst Variant gunn wrn muss: Übrckungsproblm PA PA ) )( )( ( 7 PA ) )( ( PA

49 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Austllung r Kostn urch Summation r Kostn in n bitragnn Litraln r Proukttrm: K ++ Hirbi habn anhan r 7 K ++ Litralzahl -7 Kostn von K, K +8, Kostn von K un Kostn von K 7 K +8 K ++ 7 K ++ K ++ 7 K ++ Damit istirn ür PA zwi glichwrtig Lösungn Dis müssn mit m ssntilln Antil zu PA zusammngügt wrn, z.b. zu 7 y Anras König Foli -97 Digitaltchnik Übrckungsproblm Entwur zwistuigr Logik Primplikantntabll s Bispils zur Quin-McClusky-Mtho: Bilung s Ptrick-Ausrucks ür as Übrckungsproblm 8 9, (-),8 (-) 8,9 (-) 8, (-) 9, (-),,,7 (--),7,, (--) PA ( )( ) ( )( ) ( ) Anras König Foli -98

50 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vrinachung s Ptrick-Ausrucks ür as Übrckungsproblm Rgl R (Absorbtion) rlaubt i Zusammnassung bzw. Strichung allr Trm, i inn KPI nthaltn: Ursprünglichr Ausruck: ( y) ( ) PA ( )( ) ( )( ) ( ) Zusammnassung nach : PA ( )( ) ( ) ( ) Zusammnassung nach witrn KPI: PA ( )( ) Anras König Foli -99 Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Witrghn Vrinachung s Ptrick-Ausrucks ür as Übrckungsproblm urch Autilung in ssntilln Til un PA Abarbitn s Ausrucks PA : Ausistribuirn: Übrckungsproblm PA PA PA ( )( ) PA ( ) PA Damit istirn zunächst vir (zwi) möglich Lösungn, aus nn bzüglich r Kostn i günstigst Variant gunn wrn muss: Anras König Foli -

51 Übrckungsproblm Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Austllung r Kostn urch Summation r Kostn in n bitragnn Litraln r Proukttrm: Hirbi habn anhan r Litralzahl - Kostn von K,, Kostn von K K + K K + K + Damit istirt ür PA nur in Lösung Dis muss mit m ssntilln Antil zu PA zusammngügt wrn: y Anras König Foli - Funktionsbünl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bislang wurn Boolsch Funktionn ür mhrr Eingangsvariabl un inn bzw. mhrr Ausgäng un ihr Schaltwrkralisirung btrachtt Di bishr vorgstlltn Mthon hattn zum Zil jwils in akt Lösung s Minimirungsproblms ür j mit inm Ausgang assoziirt Funktionzu inn Bislang wur as Optimirungspotnzial urch unktionsübrgrin Einsparungsmöglichkitn nicht gnutzt Möglich Einsparungn sin urch i Intiikation un gminsam Nutzung von (Proukt)Trmn, i in alln DMF vorlign ggbn Witrhin: Ggbnalls i Vrwnung anrr Trm als i r irrunantn DMF r Einzlunktion zu inr bssrn Gsamtlösung ür as Funktionsbünl ührn Wi könnt in systmatischr Ansatz zur Optimirung von Funktionsbünln ausshn? Anras König Foli -

52 Funktionsbünl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bi r Ralisirung ins Schaltwrks mit inm Funktionsbünl ist s ür in bünlbzogn minimal Gsamtlösung nicht hinrichn i PI un i DMF r inzlnn Funktionn s Bünls zu bstimmn Anschauungsbispil: PI: PI: Anras König Foli - Funktionsbünl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Erknnbar bstht j DMF aus zwi KPI un amit vir Proukttrmn ür bi Funktionn Es gibt kin gminsam vrwnbarn (K)PI Anras König Foli -

53 Funktionsbünl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di Intiizirung ins gminsamn Proukttrms, r kin PI ist, un zwi KPI rgbn bnalls in vollstänig un minimal Darstllung Anras König Foli - Funktionsbünl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di systmatisch Bstimmung ins minimaln Schaltwrks ür in Funktionsbünl rorrt i Bstimmung r PI r inzlnn Funktionn sowi allr Proukt (Un-Vrknüpungn) zwischn isn D.h., bi m Funktionn im Bünl müssn PI ür k( m -m-) Funktionn bstimmt wrn! Bi n zwi Funktionn s Bispils kommt nur in Proukt hinzu Anras König Foli -

54 Funktionsbünl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Für i gunnn PI r k Funktionn muss nun in Variant s Übrckungsproblms glöst wrn Dabi wir in Ptrick-Ausruck aus r Un-Vrknüpung r Ausrück ür i inzlnn Funktionn gbilt : : : : : : PA [ ( )][ ( )] Anras König Foli -7 Funktionsbünl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Üblich Hranghnswis zur Abarbitung s Ptrick-Ausrucks: PA [ ( )][ ( )] PA [ )][ )] PA Kostnbtrachtung: PA K ++7 K +++8 K +++8 Anras König Foli -8

55 Funktionsbünl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Gminsamr Entwur r Tilunktion un aus Bispil..: Für bi Funktionn nur KPI, Bilung s Proukts von un Anras König Foli -9 Funktionsbünl Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bstimmung r PI s Proukts von un : Dri KPI ür as Proukt von un Gminsamr KPI sichtbar Formalr Ptrick-Ausruck: (untr Ausnutzung möglichr Zusammnassungn) ( )][ ( )( )] [ [ ][ ] Anras König Foli -

56 Eakt un huristisch Lösung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di bishr vorgstlltn Mthon hattn zum Zil in akt Lösung s Minimirungsproblms zu inn Übrlgung: Ist iss Zil in alln Fälln mit bhrrschbarm Auwan rrichbar? Damit stllt sich i Frag, wi r Auwan r Lösungsinung zu mssn ist Ebnso: Was ist in akt Lösung un wlch Altrnativn gäb s? Kostn Willkürlich Kostnunktion Lokal Minima: (Akzptabl Lösungn) Globals Minimum Möglich Lösungn Anras König Foli - Eakt un huristisch Lösung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di akt Lösung s Minimirungsproblms ntspricht m globaln Minimum r Kostnunktion zu inn Um iss garantirt zu inn, ist in vollstänig Durchsuchung allr möglichn Lösungn rorrlich Übr huristisch Annahmn kann r zu urchsuchn Brich s Lösungsraums ingschränkt wrn Konsqunz: Es kann nur noch i Auinung ins lokaln Minimums,.h. inr suboptimaln Lösung (gg. i akt Lösung), rwartt wrn Kostn Willkürlich Kostnunktion Lokal Minima: (Akzptabl Lösungn) Globals Minimum Möglich Lösungn Anras König Foli -

57 Eakt un huristisch Lösung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Di bishr btrachttn Minimirungsvrahrn bsthn aus zwi Schrittn: Bstimmung allr Primimplikantn Lösung s Übrckungsproblms ür all gunnn PI Zur Erinnrung: Ein Problm s rstn Schritts in r aktn Minimirung ist, ass s Funktionn gibt, i bi n Variabln n /n Primimplikantn bsitzn Zusätzlich: Übrckungsproblm s zwitn Schritts NP-vollstänig,.h. s gibt kin Vrahrn mit polynomilln Auwan zur Lösungsinung Erknnbar sin bi Schritt amit in ihrm rorrlichm Auwan in ponntillr Abhängigkit von r Problmgröß n Wirkung: Di Gschicht mit m Schachbrtt un n Riskörnrn... Ein Riskorn au as rst Fl Vropplung ür js witr Fl Ltzts Fl: Körnr Anras König Foli - Eakt un huristisch Lösung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Vrglichbar Wirkung au Entwurszitn un amit Entwurskostn sowi Tim-to-markt tc. Für klin Variablnzahl n ist r rsultirn Auwan bhrschbar,.h. i Diskrpanz ins polynomilln bzw. ponntilln Auwans vrnachlässigbar Für wachsns n wächst r Auwan in unbhrrschbar Größnornungn Dahr sin Lösungn, i (akzptabl) lokal Minima zu rschwinglichm,.h. polynomilln Auwan mit möglichst gringm Polynomgra lirn, in praktischm Einsatz akzptabl Entsprchn Huristikn stlln ot i inzig praktikabl Möglichkit zur Lösungsinung ar Im olgnn wir in izints huristischs Vrahrn un sin rchnrgstützt Umstzung zu Logiksynths btrachtt un angwnt ESPRESSO Anras König Foli -

58 Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Einach huristisch Minimirungsvrahrn, z.b. au Basis von Funktionzrlgung bzw. ntwicklung un Monotoniprüung [Eschrmann 9] Itrativ huristisch Minimirung in rchnrgstütztr Implmntirung Wrkzug Esprsso (EsprssoII) r Univrsity o Caliornia at Brkly Grunlag r mistn in n nunzigr Jahrn kommrzill ingstztn Wrkzug zur zwistuign Logiksynths Das Programm stzt bsonrs ktiv Huristikn itrativ in Di Minimirung von Bünlunktion ist möglich Ein taillirt Btrachtung r zugrun lignn Algorithmn übrschritt n Rahmn inr Grunstuiumsvorlsung Zunächst rolgt prinzipill Btrachtung r Vorghnswis un i lmntarn Schritt in r Itration Das Wrkzug (mpohln rivrügbar Vrsion!) wir ann anhan inigr Bispil ür i Minimirung von Schaltwrkn in zwistuigr Ralisirung monstrirt Anras König Foli - Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bschribungn zu Esprsso sin zusätzlich zu n Originalqulln r Autorn Brayton, Hachl, McMulln, Sangiovanni-Vincntlli [BHMS 8] n Litraturmphlungn [Eschrmann 9] sowi [Katz 9] zu ntnhmn Anwnrinormation sin in n On-Lin Dokumntn im Packag von Chang [Chang 9] zu inn Au r olgnn Foli wir in Flussiagramm ins vrinachtn Grunalgorithmus zu EsprssoII vorgstllt [Eschrmann 9] Das Vrahrn stzt au inr initialn Hüll von Würln bzw. Implikantn au Di Optimirung wir urch lmntar Schritt vorgnommn: Epansion vorlignr Würl bis zur maimal möglichn Größ Eliminirung von übrcktn Würl: Rsultat Krn-Würl bzw. PI Bstimmung inr irrunantn Hüll (Übrckungsproblm) Ruktion vorlignr Krn-Würl, wobi i zu ralisirn Funktion vollstänig übrckt blibn muß Itrativs Vorghn rlaubt prinzipill Übrwinung lokalr Minima Anras König Foli -

59 Logiksynths Flussiagramm zu vrinachtm Grunalgorithmus von EsprssoII: Problmstllung, z.b. Einsstllnmng Dati Würl-Ruktion Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Brchn Kostnunktion Würl-Epansion Krn-Würl Übrckung Brchn Kostnunktion Paramtr ja Kostn vrklinrt? Esprsso Ltz Honung (last gasp) Brchn Kostnunktion KV-Diagramm DMF ja Kostn vrklinrt? nin Anras König Foli -7 Digitaltchnik Logiksynths Entwur zwistuigr Logik Einzln Schritt s EsprssoII-Grunalgorithmus: Initialisirung un Epansion Esprsso vrsucht nicht all Implikantn zu inn un araus i PI zu bstimmn, sonrn i vorlignn Implikantn inr Initialisirung wrn mit m Zil r Maimirung panirt Durch inn panirtn Implikantn übrckt Implikantn wrn gstrichn Di rrichbar Güt hängt rknnbar von r Rihnolg un Richtung r Implikantnpansion ab. In n ntsprchnn Mthon bgrünt sich großtils i Listungsähigkit von Esprsso Epansion Anras König Foli -8

60 Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Einzln Schritt s EsprssoII-Grunalgorithmus: Irrunant Hüll Aus n initialn un panirtn Implikantn wrn i PI inr irrunantn Hüll (DMF) bstimmt (KPI wrn zur Auwansruktion hrausgnommn un rst am En r Minimirung wir zur Hüll hinzugügt; ihr Mintrm ghn zur -Stllnmng übr) Anras König Foli -9 Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Einzln Schritt s EsprssoII-Grunalgorithmus: Ruktion Di gunn irrunantn Hüll kann zwar brits in gut Lösung arstlln, abr gg. gibt s witr irrunantn Hüll mit gringrr Trmanzahl or glichr Trmanzahl mit gringrr Litralzahl Zur Auinung inr günstigrn Hüll ruzirt Esprsso i PI au in Größ, i i Funktion gra noch abckn Anras König Foli -

61 Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Einzln Schritt s EsprssoII-Grunalgorithmus: Itration Nach r Ruktion kann ist i rsultirn Hüll typischrwis nicht mhr prim Ein itrativs Durchlaun r Schritt Epansion un Bstimmung inr nun irrunantn Hüll Anras König Foli - Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Einzln Schritt s EsprssoII-Grunalgorithmus: Itration Nach r Ruktion kann ist i rsultirn Hüll typischrwis nicht mhr prim Ein itrativs Durchlaun r Schritt Epansion un Bstimmung inr nun irrunantn Hüll Anras König Foli -

62 Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Ein ltztr Schritt übrprüt, ob as Hinzuügn ins witrn PI i Eliminirung von zwi anrn PI aus r ggnwärtign Hüll rlaubn wür Kann in solchr Austausch rolgn (Kostnruktion), so wir in nur Itrationsschritt urchgührt, sonst r Optimirungsvorgang abgbrochn Di Ein- un Ausgab von Datn in Esprsso rolgt übr ASCII-Datin Di Eingab rolgt in Form inr Funktionstabll, wobi zur Spziikation i: Einstllnmng Einstlln un -Stllnmng Nullstllnmng Nullstllnmng un -Stllnmng Ausgabn könnn j nach Optionsvorgabn KV-Diagramm or i PI r irrunantn Hüll ür i ggbn(n) Funktion(n) sin Dtails sin n Datin Manual un Format r Dmovrsion zu inn Anras König Foli - Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bispil inr Eingabati anhan r zur Vranschaulichung im KV- Diagramm vrwntn Funktion:.i.o Output spac # Anras König Foli -

63 Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Minimirungsrsultat ür as ggbn Bispil:.....i.o.p i.o Anras König Foli - Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Minimirungsrsultat ür as Bispil mit phas: i.o #.phas.p Rsultat: Matrm-Lösung hir günstigr (9 vs. 8).i.o.phas Anras König Foli -

64 Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bispil.. (Quin-McClusky, Funktion in ün Variabln): Output spac # Zughörigs KV-Diagramm in ün Variabln.i.o.phas Anras König Foli -7 Logiksynths Minimirungsrsultat ür as Bispil..: y.i.o #.phas.p Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik.i.o.phas Anras König Foli -8

65 Logiksynths Bispil ins Funktionsbünls (Bsp..., ASCII nach BCD Zirnumkoirung, LSB) Output spac # Output spac # Output spac # Output spac #..... Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik.i.o Anras König Foli -9 Logiksynths Bispil ins Funktionsbünls (Bsp..., ASCII nach BCD Zirnumkoirung, LSB).i.o.p Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik.i.o Anras König Foli -

66 Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Bispil ins Funktionsbünls (Bsp..., ASCII nach BCD Zirnumkoirung, LSB) Markr (Voltag Lvl) Digitalstimuli als b Bus Anras König Foli - Logiksynths Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik Simulation s Schaltwrks: Anras König Foli -

67 Zusammnassung Digitaltchnik Entwur zwistuigr Logik All btrachttn Minimirungsübrlgungn gltn aus Dualitätsgrünn ür inn Ansatz mit Matrmn gnauso wi mit Mintrmn! Ein Funktion kann gg. übr i KNF (KMF) günstigr ralisirbar sin als übr i DNF (DMF) un umgkhrt; Prob z.b. urch Minimirung r invrtirtn Funktion! Di mit Esprsso bhanlbarn Problmgrößn sin nicht unbgrnzt (inig hunrt bis tausn PI) Es istirn mittlrwil aktullr, utlich vrbssrt Vrahrn! Bislang Einschränkung au zwistuig Un/Or- bzw. Or/Un- Ralisirungn mit (nicht)ngirtn Litraln Witr Basissystm sowi mhrstuig Logik rorrn Erwitrung r Btrachtung Bislang nur logisch Vrknüpung btrachtt; Zitlich Ekt wurn vrnachlässigt Bi Punkt bsitzn stark Abhängigkit zur konkrtn Tchnologi Anras König Foli -