11. Klasse TOP 10 Mathematik 11 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G

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1 Klasse TOP 0 Mathematik Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik. Klasse: Die 0 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen des Kompakt-Überblicks verwenden. / Gebrochen-rationale Funktionen, 0 G Ü L / Differenzieren G Ü L /3 Tangenten, Etrema, Newton-Verfahren G Ü L /4 Wurzelfunktion, Umkehrung, Parameter G Ü L /5 Differentiationsregeln G Ü L /6 e-funktion G Ü L /7 ln-funktion G Ü L /8 Steckbriefaufgabe, Optimierung G Ü L /9 Koordinatengeometrie: Vektoren G Ü L /0 Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit G Ü L /K Kompakt-Überblick zum Grundwissen G Ü L G=Grundwissen, Ü=Übungen, L=Lösungen

2 . Klasse TOP 0 Grundwissen Gebrochen-rationale Funktionen, 0 0 Differentiation von Bruchfunktionen grund5.pdf, ueb5.pdf Beispiel: f() = + Definitionslücke: Nenner +=0 ergibt =, also Definitionsbereich D f = IR\{ }. Nullstelle: f() = 0 ergibt Zähler = 0, also / = 0 (doppelt). ±0 Verhalten in der Nähe der Definitionslücke: Mit dem Grenzwert f() wird das rechts- bzw. linksseitige Verhalten der Funktion in der Nähe der Definitionslücken ermittelt, d. h. für -Werte wie 0,99 ( plus ein bisschen ) bzw.,0 ( minus ein bisschen ). Im Folgenden: Rechtsseitig (oberes Vorzeichen), linksseitig (unteres Vorzeichen) : Symbolisch notiert man : f() = ( ± 0) ±0 ± 0 + Man denke sich ± 0 für eingesetzt + = ± ±0 Wichtig ist hierbei, das Vorzeichen im Nenner zu betrachten und sich klar zu machen, dass geteilt durch eine sehr kleine Zahl sehr groß wird. Bedeutung: Der Graph hat die senkrechte Asymptote =, hier wegen des Nenners + = ( + ) Pol erster Ordnung mit Vorzeichenwechsel ( ueb.pdf, Aufgabe ). h-methode: Formal etwas sauberer als obige symbolische Notation ist das Einsetzen von ± h für, wobei h klein ist: ( ± h) ( ± h) + = h 0 ± h + h ± f() = f( ± h) = ±0 h 0 h 0 ±h (Hier sind wieder die Vorzeichen im Zähler (+, der Rest spielt keine Rolle, da sehr klein) und Nenner (±) zu betrachten, um das Vorzeichen ± zu ermitteln.) Schräge Asymptote, wenn der Grad des Polynoms im Zähler um größer als der Grad des Polynoms im Nenner ist: Polynomdivision: f() = : ( + ) = + + } {{ } } {{ } g() 0 für ± Somit ist g() = der Term der schrägen Asymptote, an die sich der Graph im Unendlichen anschmiegt. y f g 0 Spezialfall hebbarer Definitionslücken: Beispiel: h() = 3 Definitionslücken: Nenner = 0 liefert = ±. Nullstellen: Zähler 3 = ( ) = 0 liefert / = 0 (doppelte Nullstelle) und 3 = (keine Nullstelle, da Definitionslücke). Hier ist wegen h() = ( ) = zwar wie oben bei der einen Definitionslücke (+)( ) (+) h() ±, aber bei der anderen Definitionslücke h() = ±0 ±0 4 y ( ueb.pdf, Aufgabe 3), so dass sich in der Nähe der Definitionslücke = die Funktionswerte dem Wert y = 4 h nähern. 0 4 Waagrechte Asymptote, wenn Grad des Zähler-Polynoms Grad des Nenner-Polynoms, z. B. f() = 3 hat waagrechte Asymptote y =,5 ( grund87.pdf). Es empfiehlt sich, zuerst rechtsseitig zu betrachten und dann für linksseitig mit Farbstift die Vorzeichen an den entsprechenden Stellen zu ändern. Für diese symbolische Notation ist manchmal ein Faktorisieren des Funktionsterms nötig, weitere Hinweise ueb.pdf, Aufgabe.

3 . Klasse TOP 0 Grundwissen Differenzieren 0 Zweck: Das Differenzieren (Ableiten) einer Funktion f dient zur Betrachtung lokaler Änderungsraten, d. h. zur Bestimmung der Steigung eines Funktionsgraphen. Während man mit der Sekante zwischen zwei Graphen-Punkten P ( f()) und P ( f( )) mit Hilfe des Differenzenquotienen m = f( ) f() nur die durchschnittliche Änderung von f() pro Zeitabschnitt erhält, erhält man die lokale Änderungsrate, d. h. die Steigung der Tangente an der Stelle, wenn man den Punkt P immer näher zum Punkt P schiebt; d. h. die Tangentensteigung ist gegeben durch y f( )= f( + h) f() P h P f( + h) f() = + h bzw. anders ausgedrückt, indem man den Abstand h zwischen den betrachteten - Werten infinitesimal klein macht: m = ±0 f( ) f(), f( ± h) f() m =. h 0 ±h Die Ableitungsfunktion f gibt zu jedem -Wert die Steigung m an dieser Stelle an: f f( ± h) f() () = m =. h 0 ±h Interpretation als Änderungsrate: Beispiele: f() f () Ort zur Zeit Geschwindigkeit zur Zeit Anzahl Scheidungen bis zum Jahr Scheidungsrate (Scheidungen pro Jahr) im Jahr Ableitung von Potenzfunktionen (weitere grund5.pdf): f() Konstante c 3 n f () 0 3 n n ( alter Eponent runter, neuer um kleiner ) Konstanten fallen bei Addition weg und bleiben bei Multiplikation erhalten; Summen und Differenzen können gliedweise differenziert werden, z. B. f() = f () = 4 3 f() = 7 4 f () = = 8 3 f() = f () = Differenzierbarkeit Die Tangentensteigung an einer Stelle kann nicht bestimmt werden, wenn der Funktionsgraph nicht glatt verläuft, sondern dort Sprünge oder Knicke y aufweist. Die Funktion ist dann nicht differenzierbar an dieser Stelle. {, falls 0 Beispiel: Betragsfunktion f() = =, falls < 0 0 Stammfunktion y Umgekehrt ist eine Stammfunktion einer gegebenen Funktion f eine Funktion F, deren Ableitung f ergibt: 0 F () = f(). F ist daher nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Beispiel: f() = hat die Stammfunktionen F c () = c, z. B. F 0 () = 3 3 oder F 5 () = F () = 3 Differenzieren Stammfunktion bilden f()=f ()= 3 y 0

4 . Klasse TOP 0 Grundwissen Tangenten, Etrema, Newton-Verfahren 03 Tangenten an den Funktionsgraphen von f im Punkte P ( y): Zunächst bestimmt man den y-wert durch Einsetzen von in f(). Ansatz für die Tangentengleichung: y = m + t Die Steigung m erhält man mit der Ableitung an der Stelle : m = f (). Den y-achsenabschnitt t erhält man durch Einsetzen der Punktkoordinaten. Beispiel: f() = 8 +, P (?). y-wert: f() =, also P ( ). Steigung: f () = 8, f () = 4. Also Tangente: y = 4 + t. P einsetzen: = 4 + t t = 3. Also Tangente: y = 4 3. Zum Aufstellen der Tangentengleichung an der Stelle 0 kann auch direkt die Formel y = f ( 0 ) ( 0 ) + f( 0 ) verwendet werden. Den Schnittwinkel α einer Geraden g() = m + t mit der -Achse und den α Neigungswinkel der Tangente erhält man mit m = tan α. m Mit der SHIFT-tan- bzw. INV-tan-Funktion des Taschenrechners erhält man dann α. Beispiel: g() = 4 3. m = 4 = tan α α 75,96. Normale: Unter einer Normalen versteht man in der Mathematik eine senkrecht stehende Gerade. Zu einer vorgegebenen Steigung m erhält man die Steigung m der Normalen mit der Gleichung m m =. Etrema und Monotonie: f () bilden, f () = 0. Vorzeichenbereiche von f ermitteln ( grund07.pdf, dabei auch eventuelle Definitionslücken markieren). Monotonie: f > 0: Graph steigt in diesem Bereich streng monoton; f < 0: fällt. Dazwischen je nach Situation: Definitionslücke, (lokales) Maimum (steigt-fällt), (lokales) Minimum (fällt-steigt), Terrassenpunkt (fällt-fällt oder steigt-steigt). Die y-koordinaten dieser Punkte ermittelt man durch Einsetzen in den Original-Funktionsterm f() ganz oben. Beispiel: f() = 4 + 3, D f = IR f () = f () = 0: ( 4 + 6) = 0; / = 0, 3 =,5. f > 0 f > 0 f < 0 steigt 0 steigt,5 fällt TerrP(0 0) Ma(,5,6875) Eventuell könnten an den Rändern des Definitionsbereichs globale Maima/Minima auftreten. Wäre hier z. B. D f = [ ; ], so wäre ( 3) ein globales Minimum. Eigentlich sollte man beim -Wert besser Maimal-/Minimalstelle, beim Punkt besser Hochpunkt/Tiefpunkt sagen. Newton-Verfahren: Zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen wird folgende Iterations-Idee verwendet: Wahl eines geeigneten Startwertes 0. Berechnung der Tangente t im Punkt P 0 ( 0 f( 0 )): t() = f ( 0 ) ( 0 ) + f( 0 ). Berechnung der Nullstelle der Tangente: t() = 0 liefert = 0 f( 0) f ( 0 ) In der Regel ist ein besserer Näherungswert für die gesuchte Nullstelle von f (siehe Abb.). Wiederholte Anwendung dieses Verfahrens mit usw. als neuem Startwert. y 0 P0 P 0

5 . Klasse TOP 0 Grundwissen Wurzelfunktion, Umkehrung, Parameter 04 Wurzelfunktion Die Wurzelfunktion f mit y = ist die Umkehrfunktion (siehe unten) zur Quadratfunktion mit y =, 0. Definitionsbereich: D f = IR + 0 = [0; [. Funktionsgraph: Halbparabel (siehe Skizze). Schreibweise mit Potenz: f() = =. Ableitung f () = =, D f = IR+ =]0; [, wobei im Nullpunkt eine senkrechte Tangente vorliegt. Umkehrfunktion Beispiel: Gesucht ist die Umkehrfunktion zu f() = 4 + 5, D f =] ; ], W f = [; [ y y = y = 0 y Umkehrung bedeutet, zu jedem y-wert jetzt umgekehrt den - Wert zu finden; damit dies eindeutig möglich ist, muss bei der hier vorliegenden quadratischen Funktionsgleichung der Definitionsbereich eingeschränkt werden, z. B. auf den linken Parabelast wie in der Skizze. 0 Gleichung schreiben: y = 4 + 5,, y Variablentausch y (auch bei D f, W f ): = y 4y + 5, y, Nach y auflösen: y + 4y + 5 = 0; y / = ± = ± Blick auf D f = W f liefert: y =, da y Also: f () =, D f = W f, W f = D f In der Zeichnung ist der Graph an der Winkelhalbierenden des./3. Quadranten zu spiegeln (siehe auch Bild oben bei der Wurzelfunktion). f Kurvenscharen: Funktionsterme mit Parameter ( grund08.pdf) Beim Differenzieren ist zu unterscheiden zwischen der Variablen, nach der differenziert wird, und dem Parameter (z. B. a, k, t,... ), der die Rolle einer Konstanten spielt, somit wie eine feste Zahl behandelt wird und nach dem nicht differenziert wird. Beispiel: f() = 3 a + a a 3 f () = 3 a + a = 3 4a + a f () = 6 4a Je nachdem, welchen Wert man für den Parameter einsetzt, erhält man verschiedene Funktionen, also eine ganze Schar von Kurven, z. B. a= : f()= a=0: f()= 3 a=: f()= 3 + Zum Teil können diese Kurven ganz unterschiedlich aussehen, d. h. bei Funktionsuntersuchungen, die man allgemein mit dem Parameter rechnet, sind eventuell Fallunterscheidungen notwendig. Beispiel: f() = 3 a + a a 3 Punkte mit waagrechter Tangente: f () = 0: 3 4a + a = 0; / = 4a± 6a 4 3 a = 4a±a. 3 6 = a, 3 = a. Ob Ma oder Min, hängt von a ab: a < 0 (Zahlenbeispiel rechnen!): a = 0: a > 0: f > 0 f < 0 f > 0 a f > 0 f > 0 f > 0 f < 0 f > 0 steigt fällt a steigt steigt 0 steigt steigt 3 3 Ma Min TerrP a fällt a steigt Ma ( 50 (a a 3 ) a 3 7 a3 ) (0 0) ( 50 a 3 7 a3 ) Min (a a 3 )

6 . Klasse TOP 0 Grundwissen Differentiationsregeln 05 Ableitungsformeln: Allgemeines grund.pdf, Wurzeln, Parameter grund4.pdf f() n = = / n = n sin cos f () 0 n n = / = Viele Funktionen lassen sich auf n zurückführen, z. B. g() = n = n n n n cos sin =. Die Ableitung ergibt sich dann mit alter Eponent runter, neuer ist um kleiner : g () = 3 =. 3 In manchen Fällen (insbes. bei Wurzeln) kann es sein, dass die Ableitung einen kleineren Definitionsbereich als die Funktion selbst hat. Eponential- und Logarithmusfunktion grund6.pdf und grund7.pdf Produktregel: f() = u() v() f () = u()v () + u ()v() Das erste lassen mal das zweite differenzieren plus das erste differenzieren mal das zweite lassen Beispiel: f() = sin f () = cos + sin Quotientenregel: f() = z() n() f () = n() z () z() n () NAZ ZAN = [n()] N ( Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch Nenner im Quadrat ) Beispiel: f() = 3 5 f () = ( 5) 3 3 = 4 5 ( 5) ( 5) Tipps: Nenner nicht ausmultiplizieren; bei nochmaligem Differenzieren kürzen; manchmal lässt sich ein Nenner bequemer mit hoch schreiben oder auseinanderziehen, Beispiel: f() = 5 = 5 = Kettenregel: Begriff der Verkettung von Funktionen: Beispiel: f() = sin( ) bedeutet: Zuerst ( Inneres ), dann sin davon nehmen ( äußere Funktion ) Differenzieren verketteter Funktionen f() = u(v()): f () = u (v()) v () Das Äußere differenzieren und das Innere einsetzen mal das Innere nachdifferenzieren. Beispiele: f() = sin( ) f () = cos( ) g() = ( 5) 7 g () = 7( 5) 6 ( 5) h() = sin h () = cos sin Beispiel: Untersuchung ( Diskussion ) der Bruchfunktion f() = 3 3 (Siehe auch grund.pdf, grund09.pdf, grund3.pdf; Wendepunkte. Klasse) Definitionsbereich: Wegen des Nenners ist D f = IR\{0}. Asymptoten: Wegen ± f() = 0 ist y = 0 waagrechte Asymptote; wegen des Nenners ist = 0 senkrechte Asymptote (Pol 3. Ordnung) mit 0±0 Symmetrie: f( ) = f(), also Punktsymmetrie zum Ursprung. Nullstellen: f() = 0; 3 = 0; / = ± 3 ±0,58 Etrema und Monotonie: f () = 3 6 (3 ) 3 kürzen! = f () = = 0 = ± Skizze: y f < 0 f > 0 f > 0 f < 0 fällt steigt 0 steigt fällt Min D f Ma 0 ( ) ( ) Wertebereich (d. h. vorkommende y-werte): W f = IR f()

7 . Klasse TOP 0 Grundwissen e-funktion 06 f() = e ( Natürliche Eponentialfunktion ). Definitionsbereich: D f = IR (alle -Werte sind erlaubt) Wertebereich: W f =]0; [ (es ist e > 0 für alle IR, somit besitzt die e-funktion keine Nullstellen). Spezielle Werte: f(0) = e 0 = (Schnitt mit der y-achse), f() = e = e,78 (Eulersche Zahl e) Taschenrechner: Meist SHIFT-ln. Beispiel: e 0,5,649, e = e,78 y e 3. Es gelten die bekannten Potenz-Rechenregeln, also z. B. e = e, e + = e e, e = (e ) 4. Grenzwerte: e, e = 0 (d. h. die negative -Achse ist Asymptote) Die e-funktion konvergiert stärker als jedes Polynom, also e e = 0, 5. Ableitung: f () = e ( Die e-funktion reproduziert sich. ) Somit ist f () > 0, d. h. der Graph steigt streng monoton Ist der Eponent nicht einfach, so muss beim Differenzieren nachdifferenziert werden. Beispiel: g() = e, g () = e ( ) = e ( e-funktion reproduziert sich mal das Innere (also ) nachdifferenziert ) 7. Stammfunktion: F () = e + C ist Stammfunktion von f() = e. 8. Term der Umkehrfunktion: ln Somit ist e ln = und ln e =. F () = e v() + C ist Stammfunktion von f () = v ()e v(). 9. Lösen von Eponentialgleichungen durch beidseitiges Logarithmieren: Beispiel: e = ln = ln 0. Lösen von Gleichungen mit Produkt vom Typ (3 + 4)e = 0: Da e... stets positiv ist, kann man beide Seiten der Gleichung durch e... dividieren (in obigem Beispiel steht dann = 0 als leicht zu lösende Gleichung).. Für die allgemeine Eponentialfunktion h a () = a, IR, Basis a > 0, gilt h a () = a = e ln a = e ln a und daher h a() = ln a e ln a = ln a a. Somit ist h a(0) = ln a und die Eulersche Zahl e,78 als Basis der natürlichen Eponentialfunktion ist diejenige, bei der h e(0) = gilt.

8 . Klasse TOP 0 Grundwissen ln-funktion 07 f() = ln ( Natürliche Logarithmusfunktion ). Definitionsbereich: D f = IR + =]0; [ (im ln sind nur Werte > 0 erlaubt) Wertebereich: W f = IR. Spezielle Werte: f() = ln = 0 (Nullstelle), f(e) = ln e = (e,78 Eulersche Zahl) 3. Rechenregeln (a, b > 0, n IR): y 0 e ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln( a b ) = ln(a) ln(b) ln(an ) = n ln(a) Dadurch ergeben sich oft Vereinfachungen, z. B. ln( ) = ln + ln( + ), ln(e ) = ln e =, ln( ) = ln ln e = e 4. Grenzwerte: ln, ln (d. h. die y-achse ist Asymptote) 0 Die ln-funktion konvergiert schwächer als jedes Polynom, also ln ln = 0, = Ableitung: f () = 6. Steht im ln nicht einfach (Beispiel: g() = ln( )), so muss dies berücksichtigt werden beim Definitionsbereich: g() = ln( ) ist definiert, wenn > 0 ist, d. h. <, also D g =] ; [ beim Differenzieren: g () = ( ) = ( durch das Innere mal das Innere nachdifferenziert ) 7. Stammfunktionen: (siehe Formelsammlung/ Merkhilfe) 8. Term der Umkehrfunktion: e Somit ist e ln = und ln e =. K() = ln + C ist Stammfunktion von k() = K () = ln v() + C ist Stammfunktion von K () = v () v() F () = ln + C ist Stammfunktion von f() = ln 9. Lösen von Eponentialgleichungen durch beidseitiges Logarithmieren: Beispiel aus der Stochastik: ( 5 6 )n < 0,0 ln (und Rechenregeln!) n ln 5 < ln 0,0 : ln 5 (< 0) (!) 6 6 ln 0,0 n > ln 5 5, Lösen von Gleichungen vom Typ ln( ) = 3: Beidseitiges Anwenden der e- Funktion liefert e ln( ) = e 3, also = e 3, somit = ( e3 ). Die ln-funktion ist die Logarithmusfunktion zur Basis e (ln = log e ). Für die allgemeine log-funktion h a () = log a, > 0, zur Basis a > 0 gilt (Basis- Umwandlung!) h a () = ln und daher ln a h a() = (siehe Formelsammlung/Merkhilfe). ln a

9 . Klasse TOP 0 Grundwissen Steckbriefaufgabe, Optimierung 08 Steckbriefaufgabe (d. h. gesucht ist eine Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften) Steckbrief-Beispiel: Gesucht ist eine zur y-achse achsensymmetrische Polynomfunktion 4. Grades mit Min( ) und Schnitt der y-achse bei y =. Ansatz: f() = a 4 + b 3 + c + d + e, wegen der geforderten Achsensymmetrie werden nur gerade Eponenten gewählt, also f() = a 4 + c + e. f () = 4a 3 + c Die gegebenen Informationen werden jetzt abgearbeitet und mit Hilfe des Ansatzes umgesetzt; für drei unbekannte Parameter werden drei Gleichungen benötigt. Min( ) bringt zwei Informationen: Steigung bei = ist 0: f () = 0: 4a 8 + c = 0 Punkt ( ): f() = : 6a + 4c + e = Ferner: Punkt (0 ): f(0) = : e = Lösen dieses Gleichungssystems: e = eingesetzt: 3a + 4c = 0 6a + 4c = ( ) 6a =, also a =. Also: f() = Nachrechnen zeigt, dass bei = tatsächlich ein Min vorliegt: f < 0 f > 0 f () = 4 3 = ( 4 ) = 0 liefert = 0, /3 = ±. 0 fällt steigt Spezialfall: Geradengleichungen aufstellen Fall : Gegeben sind Steigung m und Punkt P ( y ): Ansatz y = m + t mit gegebenem m. Einsetzen der Punktkoordinaten für und y liefert t. Fall : Gegeben sind zwei Punkte P ( y ) und Q( y ): Steigungsdreieck: m = y y. Weiter mit m und P wie in Fall. Anwendung: Modellieren mit Funktionen Gelegentlich kommt je nach Fragestellung anstelle einer Polynomfunktion auch ein Ansatz mit einem anderen Funktionstyp (z. B. Eponentialfunktion, Bruchfunktion, trigonometrische Funktion) in Frage, wobei wieder ein Ansatz mit Parametern aufgestellt wird und diese mit gegebenen Funktionseigenschaften bestimmt werden. Optimierungsaufgabe (Etremwertaufgabe) Beispiel: Mit einer 50 m -Grassamen-Packung soll entlang einer Mauer eine rechteckige Fläche angelegt werden, die möglichst wenig Zaun zur Eingrenzung benötigt. Hier im Folgenden: Rechnung in der Einheit m. Rezept: GNADE : Größe, die etremal werden soll, mit Berechnungsformel: Zaunlänge l = a + b Nebenbedingung: Fläche a b = 50 (Braucht man, wenn mehrere Unbekannte [hier: a, b] vorliegen, um eine Unbekannte durch die andere auszudrücken) Ausdrücken der zu optimierenden Größe durch Funktion einer Variablen: N liefert b = 50, Einsetzen in G liefert l = a + 50 a a Umbenennung a liefert Funktion: f() = + 50 Differenzieren: f () = 50 = 50 Etremwerte suchen und Ergebnis schreiben: f () = 0 liefert = 5, = ±5 f < 0 f > 0 5 fällt 5 steigt nicht sinnvoll Min Ergebnis: Die kleinste Zaunlänge ergibt sich für a = 5, b = 50 5 und sie beträgt l = a + b = 0. = 0 (aus N), a b

10 . Klasse TOP 0 Grundwissen Koordinatengeometrie: Vektoren 09 Koordinaten und Vektoren Zum Punkt P ( 3 ) zeigt vom Nullpunkt (Ursprung) O(0 0 0) der Ortsvektor P P 3 P = 3. Verbindungsvektor AB der Punkte A, B: AB = B A ( Spitze minus Fuß ) Addition (Aneinanderhängen) ( ) ( ) und S-Multiplikation (Streckung) von Vektoren Beispiel: a =, b =, dann ist a + b = a Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b 0 + = + = b a + b P Subtraktion von Vektoren liest man am besten als Reise längs der Vektoren, z. B. a b = b + a ist eine Reise längs b rückwärts und anschließend längs a vorwärts, in obiger Skizze kommt man so von P nach Q, also a b = P Q. Mittelpunkt M der Strecke [AB]: M = ( A + B) Länge eines Vektors: a = a = a a = a + a + a 3 Abstand zweier Punkte = Länge des Verbindungsvektors Beispiel: A( 4), B(3 ). d(a, B) = B A = (3 ) + ( ( )) + ( 4) = 7. Kugeln Eine Kugel ist die Menge aller Punkte X, die vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand r haben: MX = r. Schreibweisen für die Gleichung einer Kugel sind also ( m) = r oder ( m ) + ( m ) + ( 3 m 3 ) = r Skalarprodukt: a b = a a a 3 b b b 3 = a b + a b + a 3 b 3 Winkel ϕ zwischen zwei Vektoren u und v: cos ϕ = Beispiel: Winkel zwischen 5 und u v u v A : cos ϕ = + ( )+( 5) ,6086, also ϕ 7,49. Aufeinander senkrecht stehende Vektoren u und v: u v u v = 0 Vektorprodukt a b = Beispiel: a b 3 a 3 b a 3 b a b 3 a b a b 5 3 ist ein Vektor, der sowohl auf a als auch auf b senkrecht steht. = 6 ( 5) 0 3 ( 4) = Die Länge dieses Vektors ist die Fläche des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms, entsprechend a b die Dreiecksfläche. Das Volumen des von drei Vektoren a, b, c aufgespannten Spats ist gegeben durch V Spat = ( a b) c, das Pyramidenvolumen entsprechend V Pyr = ( a b) c b a b a c c b a b a B

11 . Klasse TOP 0 Grundwissen Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 0 Grundbegriffe ( grund85.pdf und ueb0.pdf, Aufgabe ): Alle möglichen Versuchsergebnisse eines Zufallseperiments werden als Elemente eines Grundraums Ω zusammengefasst, dessen Teilmengen E die sog. Ereignisse sind. Jedem Ereignis E ist seine Wahrscheinlichkeit P (E) zugeordnet. Diese Zuordnung P muss die Kolmogorow-Aiome erfüllen, aus denen die folgenden Rechenregeln folgen: P (E) = P (E) und P (E E ) = P (E ) + P (E ) P (E E ) Verknüpfte Ereignisse, Schreib- und Sprechweisen E (Komplement, Gegenereignis, nicht-e) E E (E und E, beide Ereignisse treten ein) E E (E oder E ; mindestens eines der Ereignisse tritt ein). (In der Mathematik dürfen bei oder auch beide Ereignisse eintreten, sofern nichts anderes dasteht). E E = E E (Höchstens eines der Ereignisse tritt ein) E E = E E (keines der Ereignisse tritt ein) (E E ) (E E ) (Genau eines der beiden Ereignisse tritt ein) E E = {} (E und E sind unvereinbar, disjunkt) Unabhängigkeit Zwei Ereignisse A, B heißen unabhängig, falls P (A B) = P (A) P (B). Hinweise Falls A und B unabhängig sind, so gilt dies auch für die Komplemente. Wichtig ist die richtige Bildung von Komplementen, Beispiel: { Mindestens ein Treffer } = { Kein Treffer }. Für Laplace-Eperimente gilt P (A)= A Anzahl der für A günstigen Ergebnisse = B Anzahl aller möglichen Ergebnisse ( grund85.pdf). Mehrstufige Zufallseperimente lassen sich oft (zumindest gedanklich) mit Baumdiagrammen veranschaulichen und mit den Pfadregeln berechnen ( grund99.pdf). Für Zufallseperimente mit Betrachtung von Ereignissen A/nicht-A und B/nicht-B eignet sich oft neben dem Baumdiagramm eine Vierfeldertafel, mit denen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten P B (A) = P (A B) berechnen lassen ( grund04.pdf). P (B) Nach dem Gesetz der großen Zahlen pendelt sich bei n-maliger unabhängiger Durchführung desselben Zufallseperiments die relative Häufigkeit eines Ereignisses für n bei P (E) ein ( grund65.pdf). Beispiel: Ein Oktaeder (beschriftet mit 8) und ein Würfel ( 6) werden unabhängig nacheinander geworfen. Betrachtet werden die Ereignisse A: Oktaeder zeigt eine Zahl 3, B: Würfel zeigt eine Zahl 3, C: Würfel zeigt eine Zahl, D: Beide zeigen eine Zahl 3, E: Oktaeder oder Würfel zeigt eine Zahl 3, F : Höchstens einer zeigt eine Zahl 3, G: Keiner zeigt eine Zahl 3, H: Genau einer zeigt eine Zahl 3, I: Augensumme, J: Oktaeder zeigt Primzahl. P (A) = 6 8 = 3 4, P (B) = 4 6 = 3, P (C) = P (B) = P (B) = 3 = 3, P (D) = P (A B) = P (A) P (B) =, P (E) = P (A B) = = P (A) + P (B) P (A B) = P (F ) = P (A B) = P (A B) = P (G) = P (A B) = P (A) P (B) = P (H) = P ((A B) (A B)) = = P (A B) + P (A B) = = P (A) P (B) + P (A) P (B) = 5 P (I) = P ( 66, 75, 84 ) = 3 =. P (J) = P ( 8 6 6, 3, 5, 7 ) = 4 =. 8 P (I J) = P ( 75 ) = = = P (I) P (J), also I und J abhängig

12 Blatt auf DIN A 3 vergrößern, Karteikarten ausschneiden und Rückseite an Rückseite zusammenkleben! Gebr.-rat. Fkten, 0 Wann gibt es waagrechte/schräge Asymptoten? Wie müsste z. B. bei f() = 3 ( ) die Zahl n jeweils n gedeutet werden? Wie untersucht man z. B. ±0 3 ( )? L Waagr.: Zählergrad<Nennergrad, schräge Asymptote: Zählergrad = Nennergrad+. 3 In ( ) ist n die Ordnung der n Polstelle (z. B. n = : Kein Vorzeichenwechsel) ±0 e-funktion 3 ( ) = +0 6 Wie sieht der Graph aus (Asymptoten)? Was ist die Umkehrfkt.? Besondere Werte: (0?), (?) Ableitung f() = e, f () =? Wie werden Funktionen wie h() = e 7+ differenziert? Differenzieren Welche anschauliche Bedeutung hat die Ableitung f f(+h) f() () = h h? Nach welcher Regel wird f() = n differenziert, z. B. h() = ,5 L Die Ableitung gibt die lokale Änderungsrate und somit die Steigung von f an. f() = n : Alter Eponent runter, neuer ist um kleiner. h () = ln-funktion 7 Wie sieht der Graph aus (Asymptoten, Definitionsbereich)? Besondere Werte: ln, ln e Ableitung f() = ln, f () =? Wie werden Funktionen wie h()=ln(( 3) ) differenziert?. Klasse TOP 0 Grundwissen Kernsätze K Tangenten, Etrema, Newton-V. 3 Wie stellt man die Gleichung der Tangente an eine Funktion f in einem Punkt P (0 f(0)) auf? Wie untersucht man eine Funktion auf Etrema? Newton-Verfahren: Wozu dient es? L3 Tangenten-Ansatz y = m+t mit m = f (0), t durch Einsetzen von P. Etrema: f () = 0 lösen, Vorzeichenbereiche für Steigen/Fallen. Newton-Verfahren ergibt Näherungswert für Nullstelle. Steckbriefaufgabe, Optimierung 8 Welcher Ansatz wird bei einer Funktion dritten Grades gemacht? Welche Gl. folgen z. B. aus Nst = Steigung 45, Min(0 )? Wie kann man bei Etremwertaufgaben vorgehen?, Umkehrung, Parameter 4 Wie berechnet und zeichnet man zu einer Funktion die Umkehrfunktion? Wurzelfkt. f() =, f () =? Wie differenziert man bei Parametern, z. B. f()=a 3 5a +a 3? L4 Variablentausch y. Graph: Spiegelung an Winkelhalbierender y =. f()= =, f ()=. Parameter werden wie eine feste Zahl behandelt, z. B. f () = 3a 5a. Koordinatengeo: Vektoren Wie berechnet man den Verbindungsvektor AB, den Mittelpunkt M, die Streckenlänge AB, 9 Skalar- und Vektorprodukt, den Winkel zwischen Vektoren? Differentiationsregeln 5 Wie lauten die Produktregel, Kettenregel, Quotientenregel? Beispiele: f() = sin(), f() = ( 7) 3 L5 Das erste differenzieren mal das zweite lassen plus.... Das Äußere differenziert... mal das Innere nachdifferenziert. N AZ Z AN N f () = sin()+ cos() f () = 3 ( 7) 4 Wahrscheinlichkeit, Unabh. 0 Wie werden A B und A B umgangssprachlich formuliert? Was sind die Komplemente von A (A8): Mindestens (8) Jahre? Welche Formeln gibt es für P (A), P (A B), für Unabhängigkeit? L6 y e = 0 e Umkehrfkt.: ln (0 ), ( e), e,78 f () = e 0 e-fkt. reproduziert sich mal das Innere nachdifferenziert, z. B. h () = 7e f () = L7 y ln ln ln = 0, ln e = Dln =]0; [ 0 durch das Innere mal das Innere nachdifferenziert, z. B. h() = ln( 3): h () = ( 3) 3 L8 f() = a 3 + b + c + d f() = 0, f () = tan 45 =, f(0) =, f (0) = 0. Etremwertaufg.: Zu optimierende Größe notieren, mit Nebenbedingungen alles durch eine Variable ausdrücken, Etrema suchen. L9 Spitze minus Fuß M = ( A + B) (b a) + (b a) +... a b = ab + ab + a3b3. Vektorprodukt siehe Merkhilfe/ Formelsammlung cos ϕ = a b a b L0 A B: A und B (also beide). E =A B: A oder B (oder beide). A: Kein Jahr, A8: Höchstens 7 Jahre. P (A) = P (A) P (E)=P (A)+P (B) P (A B) Unabh.: P (A B) = P (A) P (B).

13 Klasse Übungsaufgaben Gebrochen-rationale Funktionen, 0 0 Weitere Beispiele und Aufgaben grund87.pdf, grund09.pdf, grund00.pdf, ueb87.pdf, ueb05.pdf Aufgabe 6, ueb07.pdf Aufgaben 5/6, ueb09.pdf Aufgabe 3 und ueb00.pdf.. Gegeben ist f() = + 5. Berechnen Sie 0±0 f() und f(). 5±0 Fertigen Sie eine grobe Skizze des Funktionsgraphen.. Formulieren Sie, was die Vielfachheit einer Polstelle über Vorzeichenwechsel an dieser Stelle bedeutet. Untersuchen Sie die folgenden Beispiele: (a) f () = (b) f 3 () = (c) f ( + 3) 3 3 () = Ordnen Sie die folgenden Graphen diesen drei Funktionstermen zu: A 3 y 0 B 3 y 0 C 3 y 0 3. Rechnen Sie durch Faktorisieren direkt sowie mit Hilfe der h-methode nach, dass 3 (siehe grund.pdf) ±0 = Berechnen Sie für f() = die Definitionslücken, geben Sie die faktorisierte Form und die Vorzeichenbereiche an und untersuchen Sie das Verhalten an der 3 + Definitionslücke = mit der h-methode. 5. Geben Sie alle Asymptoten an: (a) f() = (c) f() = = + 4 (b) f() = (Überzeugen Sie sich davon, dass die hier angegebene Umformung richtig ist!) (d) f() = + 3 (e) f() = Gegeben ist die Funktionenschar mit dem Parameter a IR durch f a ()= a. (a) Untersuchen Sie f a auf Definitionsbereich und Nullstellen. Geben Sie den Schnittpunkt Y a mit der y-achse an. (b) Berechnen Sie f(), sofern a < 0. a±0 (c) Fertigen Sie eine Skizze der Funktionsgraphen für a = 5, a = 6 und a = 5.

14 Klasse Übungsaufgaben Differenzieren 0. Gegeben sind die folgenden Funktionsterme: f () = 4 6 f () = + 6 f 3 () = f 4 () = ( )( ++7) (Vorsicht: Produkte erfordern vor dem Differenzieren ein Ausmultiplizieren [oder die Anwendung der Produktregel grund5.pdf]) (a) Berechnen Sie die Ableitungen. (b) Berechnen Sie die Steigung der Tangenten in den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.. Untersuchen Sie in den folgenden Fällen die Bedeutung der Ableitung f : (a) f() = Geschwindigkeit zur Zeit. (b) f() = Volumen eines Würfels, dessen Seitenflächen vom Würfel-Mittelpunkt den Abstand haben (somit Würfel-Kantenlänge ). 3. Untersuchen Sie auf Differenzierbarkeit: f() = + 4. Ergänzen Sie die folgende Tabelle mit Stammfunktionen: f() 3 n F () + c Geben Sie dann die Stammfunktions-Terme zu f() = 7 8 an. 5. Gegeben ist der nebenstehende Graph einer Funktion f. Ermitteln Sie graphisch die Form des Graphen zur Ableitungsfunktion f. Skizzieren Sie ferner umgekehrt die Gestalt des Graphen einer Stammfunktion F. y 0 f

15 Klasse Übungsaufgaben Tangenten, Etrema, Newton-Verfahren 03. Gegeben ist der Funktionsterm f() = Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P (?). Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen der Kurve im Punkt Q(?).. Prüfen Sie, ob die Gerade mit g() = eine Tangente an f() = ist! 3. Gegeben sind f() = + + und g() = Bestimmen Sie den Winkel, unter dem sich die Funktionsgraphen schneiden; berechnen Sie hierzu die Steigungen m und m im Schnittpunkt und verwenden Sie anschließend m = tan α, m = tan α, um den Schnittwinkel der Tangenten zu ermitteln (Skizze!). 4. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Nullstellen, Monotonie und Etrema. Dabei bemerken Sie: Bei einer doppelten Nullstelle (also ohne Vorzeichenwechsel) hat man eine Berührung der -Achse und somit gleich eine Kontrolle für den nächsten Schritt, da hier dann ein Etremum vorliegen muss. Unter welchem Winkel schneidet in den anderen Nullstellen der Graph die -Achse? (a) f() = (b) f() = Ermitteln Sie mit dem Newton-Verfahren für f() = 3 mit Startwert 0 = 5 einen Näherungswert für eine Nullstelle. Führen Sie zwei Iterationsschritte durch. 6. In jedem Dreieck gilt der cos-satz c = a + b ab cos γ. Wendet man diesen Satz auf ein Dreieck mit γ = 45, b = und variabler Seite a = an, so erhält man wegen cos 45 = γ b = c = + = a = +. Die Seite c ist also dann besonders lang, wenn sehr c groß ist, denn dieser Wurzel-Term ist umso größer/kleiner, je größer/kleiner der Radikand ist. Um herauszufinden, wie lang die Seite c mindestens ist, genügt es also, ein Minimum von f() = + zu finden. Finden Sie den Scheitel von f durch Differenzieren und zeigen Sie auf diese Weise, dass für das Dreieck in diesem Etremalfall c = a = gilt; das Dreieck ist dann somit ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ( halbes Quadrat ).

16 Klasse Übungsaufgaben Wurzelfunktion, Umkehrung, Parameter 04. Gegeben ist die Funktion mit f() = 6. Geben Sie den maimalen Definitionsbereich an, zeichnen Sie den Funktionsgraphen und begründen Sie, dass sich tatsächlich genau ein Halbkreis ergibt, also eine Figur, deren Punkte alle den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben.. Skizzieren Sie die Umkehrfunktion zu f() = 4 + 5, D f =] ; ] (siehe grund4.pdf), nämlich f () =, D f = [; [, (a) indem Sie beschreiben, wie f durch Verschiebungen und Streckungen aus der gewöhnlichen Wurzelfunktion mit y = hervorgeht, (b) durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des I./III. Quadranten. (c) Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen der Steigung f (a) in dem auf dem Graphen von f liegenden Punkt (a b) und der Steigung (f ) (b) im entsprechenden Punkt der Umkehrfunktion. 3. Berechnen Sie den Term der Umkehrfunktion: f() = Beim Funktionsterm f() = ist zwar die eplizite Angabe des Terms der Umkehrfunktion (zumindest mit Schulmethoden) nicht möglich; trotzdem kann gesagt werden, dass die dadurch gegebene Funktion umkehrbar ist, und zwar mit Hilfe der Steigung. Führen Sie diese Betrachtung durch! 5. Gegeben sind die Funktionenschar f k mit f k () = k + 3 mit dem Parameter k IR und die Parabel p mit p() = + 5. Welche der Geraden ist parallel zur Tangente an p im Punkt Q( 5)? 6. Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = a 3 3 a 9 + 5(a + ) mit dem negativen Parameter a < 0. (a) Untersuchen Sie die Lage des Maimums! (b) Zeigen Sie, dass die Maima aller Scharkurven auf einer Geraden liegen, und geben Sie deren Gleichung an.

17 Klasse Übungsaufgaben Differentiationsregeln 05. Differenzieren Sie: (a) f() = cos() (b) f() = + (c) f() = tan = sin cos (d) f() = 3 + ( ) (e) f() = sin π (f) f() = 4 3 (g) f() = (7 ) 4 (h) f() = + (i) f() = + ( ). Differenzieren Sie und betrachten Sie den Definitionsbereich von f() und f (): f() = 4 3. Differenzieren Sie f() =, fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie darin die Tangente im Punkt (0 ) (mit Steigung f (0)) ein. In der Nähe dieses Punktes stimmen Funktion und Tangente etwa überein. Welche Näherung ergibt sich damit? Diese Näherung wird in der Relativitätstheorie benötigt. Dabei ist = ( v c ), und man betrachtet E = mc mit der relativistischen Masse m = m 0 (v/c). Was liefert dann die Anwendung der obigen Näherung? 4. Bestimmen Sie für f() = 5 + cos(), D f = [0; π], die steilste Stelle des Graphen. 5. Betrachten Sie für y f() = Definitionsbereich, Verhalten in der Nähe der Definitionslücke, Nullstellen, Etrema und Monotonie und bestätigen Sie damit die Gestalt des nebenstehend dargestellten Graphen. Wie verhält sich dieser für ±? 0

18 Klasse Übungsaufgaben e-funktion 06. Differenzieren Sie: (a) f () = e 5 3 (b) f () = e (c) f 3 () = ( )e (d) f 4 () = e e + (e) f 5 () = e sin (f) f 6 () = e sin. Finden Sie Stammfunktionen: (a) f() = 3e 3 (b) g() = 6e 3+ (c) h() = e 3. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: (a) e = 0 (b) ( )e 3 4 = 0 (c) 5e + ( + 4)e = 0 (d) e = 3e 4. (Abwandlung einer Aufgabe aus dem Grundkurs-Abitur Baden-Württemberg 99) Kraftfahrzeuge erzeugten weltweit 990 ca.,75 Milliarden Tonnen CO. Der CO - Ausstoß g(t) in Milliarden Tonnen zur Zeit t (in Jahren nach 990) soll zunächst beschrieben werden durch g(t) =,75 a t. (a) Geben Sie a an, wenn der CO -Ausstoß jährlich um, % steigt. Wie groß ist dann der CO -Ausstoß im Jahr 030? (b) Schreiben Sie den Funktionsterm auch in der Form g(t) =,75e kt. Berechnen Sie g (40) und geben Sie die anschauliche Bedeutung dieser Größe an. (c) Nun soll der CO -Ausstoß beschrieben werden durch h(t) = 4,7,4e 0,04t. Zeigen Sie, dass sich für diesen Term die (ungefähr) gleichen Startbedingungen h(0) = g(0) und h (0) g (0) ergeben. Welcher Unterschied ergibt sich bei dieser Modellierung auf lange Sicht? 5. Untersuchen Sie f() = (0,5 )e auf Nullstellen, Etrema und Verhalten im Unendlichen. Skizzieren Sie den Funktionsgraphen mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse und der Werte f(0) und f().

19 Klasse Übungsaufgaben ln-funktion 07. Differenzieren Sie und bestimmen Sie den Definitionsbereich: (a) f () = ln(4 + 0) (b) f () = ln( ) (c) f 3 () = 3 ln( ) (d) f 4 () = ( e) ln (e) f 5 () = ln ( ) +5 (f) f 6 () = e ln(7 ). Bestätigen Sie durch Differenzieren, dass F () = ln + C Stammfunktion von f() = ln ist, und finden Sie durch Anwenden entsprechender Rechenregeln Stammfunktion und Ableitung von h() = log Finden Sie Stammfunktionen: (a) f() = 7 4. Lösen Sie die folgenden (Un-)Gleichungen: (b) g() = (a) ln = (b) ln( ) = 0 (c) 0,99 > 0,9 5. Begründen Sie mit Hilfe der Ableitung, dass die Funktion f() = ln ( ), D f =]; [, umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Term der Umkehrfunktion. 6. Untersuchen Sie f() = ( + ) ln auf Definitionsbereich, Nullstellen und Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt (?). Begründen Sie, welcher der folgenden Graphen zur Funktion f gehört. Welche könnten Stammfunktionen von f darstellen? A y B y C y Zeigen Sie, dass durch F () = (0,5 + ) ln 0,5 eine Stammfunktion von f gegeben ist, und berechnen Sie F (). 0+0

20 Klasse Übungsaufgaben Steckbriefaufgabe, Optimierung 08. Berechnen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte P (0 03) und Q(05 04). Berechnen Sie den Term einer Polynomfunktion 3. Grades mit waagrechter Tangente im Punkt ( 64) und Nullstelle = 5, die durch den Punkt (0 65) geht. Zeigen Sie, dass es keine weitere Nullstellen gibt. [Zur Kontrolle: f() = ] 3. Bestimmen Sie mit dem Ansatz f() = ( + a)e b den Term einer Funktion, die die y-achse bei y = mit Steigung 3 schneidet. 4. An eine hohe Hauswand, vor der wie in nebenstehender (nicht maßgetreuer) Skizze ein m breiter und 8 m hoher Anbau steht, soll wie in der Skizze eine möglichst kurze Leiter gelehnt werden. In welcher Entfernung vom Hochhaus ist der untere Punkt F der Leiter zu wählen? h 8 5. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird gelegentlich das Produkt der Wahrscheinlichkeit p ( [0; ]) mit der Gegenwahrscheinlichkeit q = p benötigt. Wann ist dieses Produkt besonders groß/klein? F

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