14. Strömende Flüssigkeiten und Gase
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- Arwed Frank
- vor 8 Jahren
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1 14. Strömende Flüssigkeiten und Gase orbemerkungen Es gibt viele Analogien zwischen Flüssigkeiten und Gasen (wegen der freien erschiebbarkeit der Teilchen); Hauptunterschied liegt in der Kompressibilität jedoch: Bei v << v Schall verhalten sich auch strömende Gase praktisch inkompressibel, d.h. es erfolgt kein Aufbau von ruckwellen.! aher im folgenden Annahme eines inkompressiblen Fluids. Beschreibung von Strömungen nach EULER ( ) anhand des Geschwindigkeitsfeldes v(r r ). Sonderfall: v(r r ) zeitlich const. stationäre Strömung stationäres Strömungsfeld beschrieben durch Stromlinien: Stromröhre Bündel von Stromlinien Tangente an der Stromlinie Richtung von v r ichte der Stromlinien Betrag von v r ie Abbildung zeigt, dass pro Zeiteinheit t ein strömendes olumenelement an jeder Stelle der Stromröhre konstant ist & A v const. (innerhalb der Stromröhre) (1) t &... olumenstrom Gl. (1) heißt Kontinuitätsgleichung: Wenn in der Stromröhre kein Medium erzeugt oder vernichtet wird, muss I konstant bleiben und v sich entsprechend A einstellen. Kommentar: Hier ist die Quellen- und Senkenfreiheit eigentlich fast selbstverständlich (ein Beispiel für eine Ausnahme wäre eine chemische Reaktion im strömenden Gas, die das olumen verändert). In der Elektrodynamik ist das anders, obwohl ansonsten viele Analogien existieren!! 85
2 14.. Innere Reibung... in strömenden Medien Beispiel: Löffel aus Honig herausziehen Geschwindigkeitsübergang... von v 0 (entfernt vom Löffel) auf v v Löffel (an der Löffel-Oberfläche) Es zeigt sich, dass für die Reibungskraft F R gilt dv F R ~ A dx mit: A... Wechselwirkungsfläche dv 1 F R η A dx mit: η... iskosität, dynamische Zähigkeit F dv τ R R η A dx τ R... Reibungs-Schubspannung; viskose Schubspannung () (3) Maßeinheit: N s [η] m SI Gl. (), (3) heißen NEWTONsches Gesetz der inneren Reibung. Beispiele: Substanz h in Nsm - Glycerin 0 C 1,53 H O 0 C 0, C 0, C 0,0003 (typisch: Abnahme mit steigendem T!) Luft 0 C 0,0000 H 0 C 0, dv orzeichen in Gl. () stimmt, da < 0! dx 86
3 eutung: Überwindung der Potentialhügel beim Gegeneinander-erschieben der Flüssigkeitsschichten Strömungen, deren erhalten durch die innere Reibung bestimmt ist, d.h., bei denen sich nicht vermischende Schichten des Mediums gegeneinander verschoben werden, heißen laminare Strömungen.! Beispiele für laminare Strömungen Laminare Rohströmung ie Flüssigkeit haftet an der Wand und hat in der Mitte des Rohres maximale Geschwindigkeit Wir betrachten nun einen Flüssigkeitszylinder um die Rohrachse: An der Mantelfläche wirkt die Reibungskraft (mit Gl. ()) F R dv πrl η dr ( A Mantel ) (4) Auf seine Grund- und eckflächen wirkt die Netto-ruckkraft Fp πr (p1 p ) ( A Grund/eck ) (5) F p treibt die Flüssigkeit voran und überwindet genau F R : F p F R. 87
4 aus (4), (5) erhalten wir dv p1 p dr ηl r und nach Integration v(r) p 4ηl ( R r ) (6) ies ist ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil v(r) A - B r, wie in der Skizze schon gezeigt. Interessant ist die urchflussmenge & (olumen/zeit) bei gegebenen p, η, R. Wir betrachten einen Hohlzylinder mit der icke dr: er olumenstrom im Querschnitts-Flächenelement da ist d dt Fl. Element (dz da d!) dz da v(r) πr dr dt Gesamt-olumenstrom im Rohr durch Integration über alle Flächen-Elemente: R & v(r) πr dr mit v(r) lt. Gl. (6) folgt 0 & π p R 8ηl 4 (7) ies ist das HAGEN-POISEUILLEsche Gesetz. Kommentar: Radius geht mit 4. Potenz ein! Gl. (7) stellt das OHMsche Gesetz für die laminare Rohströmung dar: I & U R Triebkraft (Strömungs )Widerstan d p 8ηl 4 πr 88
5 Laminares Umströmen einer Kugel An diesem Beispiel soll eine in der Strömungsmechanik häufig verwendete, sehr nützliche Betrachtungsweise erläutert werden: die Unterteilung in einen Nahbereich, in dem das Fluid anhaftet, und den unbeeinflussten Außenbereich der Strömung. Experiment: Wir ziehen eine Kugel mit der Geschwindigkeit v durch eine Flüssigkeit. Nahe Kugel-Oberfläche ist Strömungsgeschwindigkeit v (Anhaften der Flüssigkeit) In einiger Entfernung von der Kugel ruht die Flüssigkeit ( merkt nichts ) 1 dv v ; Wechselwirkungs-Fläche A Kugel-OF 4πr dr r amit ergibt sich für Gl. () F R F R dv η A dx 4πrηv η 4πr v r ie ungleich schwierigere korrekte Herleitung lieferte F R 6πrηv (3-19) Turbulente Strömungen, Ähnlichkeit, Strömungsgrenzschicht Experiment zeigt: Bei bestimmter Geschwindigkeit bricht laminare Strömung zusammen: Wirbelbildung; Nichtlinearität, chaotisches erhalten Turbulenz! Es zeigt sich, dass v krit in Abhängigkeit von... ichte η... iskosität l... Abmessung (z.b. Kugel-urchmesser) unterschiedliche Werte annehmen kann also: entscheidend ist nicht v, sondern eine Größe Re v l Re (8) η Re... REYNOLsche Zahl! 1 ie hier betrachete "r-umgebung" ist nicht identisch mit der Grenzschichtdicke in <14.4>. 89
6 l ist eine typische Abmessung des strömenden Systems. Re ist dimensionslos: Mechanik Strömende Flüssigkeiten und Gase Maßeinheit: kg m m m s [Re] 1 3 SI m s 1 kg Re hat die physikalische Bedeutung des Quotienten aus kinetischer Energie und Reibungsenergie. Bei einem bestimmten Re schlägt die Strömung um. er Übergang ist jedoch nicht scharf, sondern ein Bereich (z.b. Re )! 1 Gründe: Einfluss der Oberflächen-Rauheit, u.ä. Strömung kann instabil-laminar sein (gewisse Analogie zur unterkühlten Flüssigkeit) Strömungen mit gleicher Re sind ähnlich Modellierung im Wind- oder Strömungskanal kleines l (Schiffsmodell) Anpassung von v sowie gegebenenfalls, η damit gleiches Re herauskommt. Strömungsgrenzschicht: Fluid haftet an umströmten Oberflächen (Kugel, Rohrwandung), d.h. v 0, und gleicht sich dann allmählich an die in einiger Entfernung herrschende ungestörte Strömung an. Beispiel:! Fluid an einer Wand Herausziehen einer Platte aus ruhendem Fluid ie beiden dargestellten Fälle sind völlig analog! 1 eswegen ist die Frage Was ist die typische Länge bei einer bestimmten unregelmäßigen Form? auch nicht so kritisch! 90
7 Übergangsbereich wird durch Grenzschicht definierter icke mit linearem Geschwindigkeitsübergang angenähert (s. Abbildung zur bewegten Platte): v(x) x v 0 1 für x < 0 für x (9) Mit Gl. (9) vereinfacht sich das NEWTONsche Reibungsgesetz (Gl. ()) zu F R v0 η A dv ( - ) dx (10) Um die Platte herauszuziehen, muss stetig eine Kraft F - F R aufgewandt werden. iese führt lt. Gl. (3-6) zu einem Impulsübertrag an das Fluid: dp F dt (3-6) Wenn F - F R die Zeit t lang wirkt, wird übertragen: p F t F R t ( v 0 t l... herausgezogene Länge) v0 +η A t (11) p findet sich im Fluid wieder, das - in seinen einzelnen Schichten unterschiedlich beschleunigt wurde: Aufintegration des im Fluid steckenden Impulses: p 0 v(x) dm p A 0 v(x) dx dm d A dx x v(x) v0 1 lt. Gl. (9) x p A v0 1 dx p A v 0 0 (1) 91
8 Wegen der Impulserhaltung müssen (11) und (1) gleich sein Mechanik Strömende Flüssigkeiten und Gase mit η l A A v ηl v 0 0 (13) ist die icke der (PRANTLschen) Strömungsgrenzschicht. Kommentar: Gl. (13) ist eine Näherung, gibt die Tendenz der Abhängigkeit von η, l,, v 0. l hat die Bedeutung einer charakteristischen Länge. ie Annahme, dass v(x) linear ist, gilt natürlich besonders für << l, wenn das Fluid nur eine große ebene Wand sieht : ηl << l [ ] v 0 η l << l v 0 η v l << 0 Re (8) η v 0 Also: ie Näherung des linearen v(x)-erlaufs gilt für große Re, wo unter Umständen bereits Turbulenz auftritt. Bedeutung der Strömungsgrenzschicht a) als Modell: b) physikalisch: urch das Anhaften der Strömung wird der Transport beeinflusst: Feuchtigkeit, Wärme usw. müssen durch hindurch diffundieren; die Möglichkeiten des zwangsweisen Anoder Abtransports enden am Grenzschichtrand. Jedoch: großes v 0 kleines Transport erleichtert! Reibungsfreies Fluid: BERNOULLIsche Gleichung Wir betrachten jetzt ein reibungsfreies Fluid, d. h. eine existierende ruckdifferenz (p 1 p ) wird nicht zur Aufrechterhaltung der Strömung benötigt. 9
9 as Rohr weise eine erengung auf: Wegen der Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung (Gl. (1)) ist & A v1 A v t 1 const. (1 ) Im Beispiel lt. Abbildung nimmt v zu! Ebenfalls verändert sich an der erengung der ruck von p 1 auf p : ruckarbeit links: ruckarbeit rechts: W p1a1 x1 p1 ( F 1 ) 1 W pa x p ( F ) W 1 wird zum Teil verwendet, den ruck p zu überwinden, also W zu leisten. er Rest ( W 1 - W ) wird zur Beschleunigung des Fluids aufgewendet: 1 W1 W (p1 p ) (v v ( m) 1 ) (14) nach Umstellung folgt p verallgemeinert 1 + v1 p1 + v p + v p ges const. (15) ies ist die BERNOULLIsche Gleichung. 93
10 v hat die imension eines ruckes 1 und heißt Staudruck. p heißt statischer ruck. Kommentar: Für v 0 ist p p ges, der (maximale) statische ruck. Mit zunehmendem v sinkt p. Bei p 0 ( druckloser Ausfluss ) wird der Staudruck maximal. Wird v reduziert, baut sich wieder zunehmender p auf. Bisher betrachtet: Waagerechte Strömung, d.h. potentielle Energie im Erdschwerefeld war konstant. Wenn wir unterschiedliche Höhen einbeziehen wollen, müssen wir noch den Schweredruck g h berücksichtigen und erhalten: p + v + g h p ges const. (16) ies ist die verallgemeinerte BERNOULLIsche Gleichung. ie BERNOULLIsche Gleichung ist der Energiesatz (bezogen auf das olumen) für das Fluid. iesbezügliche Bedeutung der einzelnen Glieder:! m gh g h m v v A x p p E pot (Schweredruck) E kin (Staudruck) ruckarbei t (statischer ruck) Beispiele zur BERNOULLIschen Gleichung hydrodynamisches Paradoxon Bunsenbrenner Wasserstrahlpumpe Zerstäuber "v p " Kavitation: Wir betrachten Gl. (15) und formen um p ges v entspricht p 0 p ges v > entspricht einem statischen ruck p < 0! 1 kg m m 1 N Kraft kg! m s s m m Fläche kg m m 1 N Kraft imension von g h : kg! 3 m s s m m Fläche 94
11 ies unter Umständen leicht erreicht, z.b. bei H O für v 14m s -1 Bildung von ampf-/gasbläschen (z.b. verdampfte Flüssigkeit) die bei Reduzierung von v implosionsartig zusammenbrechen ruckwellen Materialzerstörung (Kavitation) ynamischer Auftrieb: Infolge der Anfahrtswirbel entsteht Tragflächenumströmung: v o > v u p o < p u Auftrieb Strömungswiderstand... kann über die BERNOULLIsche Gleichung verstanden werden: a) langsame Strömung völlig symmetrisches Bild v-erteilung vor und hinter der Kugel gleich keine resultierende Kraft b) schnelle Strömung Bildung von Wirbeln hinter dem Hindernis: v hinter der Kugel erhöht (ie unregelmäßige Richtung von v spielt keine Rolle, die BERNOULLI sche Gleichung ist eine Energieangelegenheit!) statischer ruck p hinter der Kugel ist reduziert Kraft, die die Kugel mitreißen will iese ruckwiderstandskraft ist dem Staudruck proportional. Kommentar: ( Staudruck) 1 F cw v A A... Querschnittsfläche c w... Widerstandsbeiwert Wir sind wieder ein mal am Rand der Gültigkeit des Modells. ie Initiierung des Wirbelfeldes setzt natürlich Reibung voraus, wenn auch dann die Argumentation wieder auf der BERNOULLIschen Gleichung beruht. (17) 95
12 eutung: Staudruckabhängigkeit (Staudruck korreliert mit E kin, s.o.) deshalb, weil infolge Wirbelbildung diese E kin der Kugel nur von vorn, nicht auch von hinten zugeführt wird resultierende Kraft! c w ist abhängig von der Körperform. Beispiele (Strömung von links): 1,35! 1,1 0,40 0,056 (PKW 0,5... 0,50) 96
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