Stefan Funken, Dirk Lebiedz, Karsten Urban. Numerik II. (Einführung in die Numerische Analysis)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Stefan Funken, Dirk Lebiedz, Karsten Urban. Numerik II. (Einführung in die Numerische Analysis)"

Transkript

1 Stefan Funken, Dirk Lebiedz, Karsten Urban Numerik II (Einführung in die Numerische Analysis) SKRIPT, UNIVERSITÄT ULM, SOMMERSEMESTER 213

2

3 i Vorwort. Dieses Manuskript ist entstanden aus Mitschriften und Skripten verschiedener Vorlesungen, die wir seit 22 an der Universität Ulm gehalten haben. Es ist der Sinn des vorliegenden Dokumentes, den Studierenden unserer Vorlesungen einen einheitlichen Stoffumfang für die Vorlesung Numerik II zu geben, unabhänging davon, wer von uns tatsächlich die Vorlesung hält. In diesem Sinne bietet das vorliegende Manuskript einen Rahmen für die Nachbearbeitung der Vorlesungen und der Vorbereitung auf Prüfungen. Dieses Manuskript kann keinesfalls das Studium von Lehrbüchern ersetzen. Eine entsprechende Liste von Lehrbüchern findet sich im Literaturverzeichnis und auf der Internet Seite der Vorlesung. Jedes Manuskript weist Fehler auf, sicher auch dieses. Wenn Sie Fehler, Druckfehler, sprachliche Unzulänglichkeiten oder inhaltliche Flüchtigkeiten finden, würden wir uns über einen entsprechenden Hinweis per freuen. Sie helfen damit zukünftigen Studierenden. Vielen Dank im Voraus. Danksagung. Einige Vorgängerversionen dieses Manuskriptes wurden aus Mitteln der Studiengebühren finanziert. Eine Reihe von Personen haben bei der Erstellung geholfen. Wir danken Theresa und Julia Springer, Markus Bantle und Judith Rommel für zahlreiche Hinweise. Frau Kristin Kirchner und Herrn Moritz Reinhard sind wir für das sorgfältige Lesen des Manuskripts zu besonderem Dank verpflichtet. Ihre zahlreichen Kommentare, Vorschläge, Korrekturen und Hinweise haben die Qualität des Textes wesentlich verbessert. Ganz besonderer Dank gebührt auch Frau Petra Hildebrand, die unsere handschriftlichen Aufzeichnungen in L A TEX umgesetzt und zahlreiche Grafiken erstellt hat. Die hier vorliegende Version des Manuskripts wurde von Frau Katharina Becker-Steinberger grundlegend überarbeitet, vereinheitlicht und inhaltlich ergänzt, dafür danken wir ganz herzlich. Ihre umsichtigen Anmerkungen und Korrekturen haben wesentlich dazu beigetragen das aktuell Manuskript zu erstellen. Copyright. Alle Rechte, insbesondere das Recht auf Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form ohne schriftliche Genehmigung des Autors reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme oder auf anderen Wegen verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Stand. Ulm, Juni 213. Stefan Funken, Dirk Lebiedz, Karsten Urban

4 ii

5 Inhaltsverzeichnis 1 Nichtlineare Gleichungen Problemstellung und Beispiele Notation Grundlegende Begriffe: Konvergenzgeschwindigkeit Skalare Nichtlineare Gleichungen Bisektionsmethode Regula-Falsi Die Sekantenmethode Fixpunkt-Iteration Das Verfahren von Newton Effizienz Nullstellen von Polynomen Globale Konvergenz des Newton Verfahrens Berechnung weiterer Nullstellen und Mackey Trick Nichtlineare Gleichungssysteme Fixpunkt Iteration Newton Verfahren für Systeme Schnelle lokale Konvergenz des Newton Verfahrens Hinweise zur Durchführbarkeit des Newton-Verfahrens und Varianten des Verfahrens Beispiele: Das Newton-Verfahren für Optimierungsprobleme Das Broyden-Verfahren Gauß-Newton Verfahren für nichtlineare Ausgleichsprobleme 39 2 Interpolation Das allgemeine Interpolationsproblem Polynominterpolation Lagrange-Interpolation Lagrange-Darstellung Monomiale Basis Darstellung Hermite-Interpolation Auswertung von Polynomen Schema von Aitken und Neville Newton-Darstellung und dividierte Differenzen Interpolationsgüte Interpolationsfehler Tschebyscheff -Interpolation Rationale Interpolation Padé-Approximation 62

6 iv INHALTSVERZEICHNIS 3 Numerische Integration und orthogonale Polynome Quadraturformeln Einfache Beispiele Konstruktion und Definition von Quadraturformeln Exaktheitsgrad und Quadraturfehler Konvergenz einer Quadraturformel Klassische interpolatorische Quadraturformeln Newton-Cotes-Formeln Zusammengesetzte Newton-Cotes-Formeln Extrapolation und Romberg-Integration Idee der Extrapolation Beispiele für Knotenfolgen Romberg-Folge Bulirsch-Folge Gauß-Quadratur Orthogonale Polynome Tschebyscheff -Polynome Legendre-Polynome Jacobi-Polynome Konstruktion von Gauß-Quadraturen Berechnung der Knoten und Gewichte Schwierigkeiten bei der Quadratur Unstetige Integranden Singuläre Integrale Numerische Quadratur von stark oszillierenden Integranden 11 4 Splines Kubische Spline-Interpolation Berechnung kubischer Splines Berücksichtigung natürlicher und vollständiger Randbedingungen Berücksichtigung periodischer Randbedingungen Punktauswertung kubischer Splines Sequentielle Suche Binäre Suche Suche mit korrelierten Daten Bézier-Technik Parametrisierte Kurven und Flächen Bernstein-Polynome Bézierkurven Der de Casteljau-Algorithmus Bézierflächen Grundlegende Algorithmen 139

7 INHALTSVERZEICHNIS v 4.4 B-Splines Rekursive Definition der B-Splines-Basisfunktionen Effiziente Auswertung der B-Spline-Basisfunktionen Berechnung der B-Splines Ableitung der B-Splines Rationale B-Splines 16 A Lineare Differenzengleichung 163 A.1 Inhomogene lineare Differenzengleichungen 166 Literaturverzeichnis 168 Stichwortverzeichnis 17

8

9 1 NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Nachdem wir uns in der Vorlesung Numerik I mit dem Lösen linearer Gleichungssysteme beschäftigt haben, wenden wir uns nun nichtlinearen Gleichungen (in einer oder mehreren Variablen) zu. Diese Gleichungen treten häufig als Teilaufgabe bei der Behandlung komplexerer Probleme auf. g pos f pos g neg g pos g = f pos g = f pos Nullstellen g = g pos g neg Abb. 1.1: Lösung von zwei Gleichungen in zwei Unbekannten. Die durchgezogenen Linien sind Niveaulinien zu f(x,y) =, die gestrichelten Linien zu g(x,y) =. Die gesuchten Lösungen sind die Schnittpunkte der völlig unabhängigen Nulllinien. Die Anzahl der Nullstellen ist im Allgemeinen a-priori nicht bekannt. 1.1 PROBLEMSTELLUNG UND BEISPIELE In der Numerik 1 haben wir lineare Gleichungssysteme Ax = b, A R n n,b R n betrachtet, d.h. in diesem Fall hatten wir ein lineare Funktion A : R n R n. Ist nun allgemein ein System von n nichtlinearen Gleichungen in n Unbekannten gegeben, d.h. mit einer stetigen, nichtlinearen Funktion F : R n R n, so können wir das gegebene Problem F(x) = b in eine Nullstellenaufgabe transformieren, so dass Lösungen x R n der Gleichung F(x) := F(x) b = (1.1) zu bestimmen sind. Noch allgemeiner: F : Ω W mit Mengen Ω,W R n. Wir beschränken uns aber in dieser Vorlesung auf den Fall W = R n. Für n = 1 spricht man von einer skalaren Gleichung, für n > 1 von einem System. Zur Motivation stellen wir zunächst mehrere Modellbeispiele, bei denen nichtlineare Gleichungen auftreten, vor.

10 2 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen Beispiel (Erste einfache Beispiele) Wir beginnen mit einigen einfachen Beispielen, die aber bereits einen Eindruck von der Vielfalt nichtlinearer Gleichungssysteme vermitteln. (a) Löse f(x) = für f(x) = x 2 2px + q mit p,q R. Bekanntermaßen gibt es zwei Lösungen x 1,2 = p ± p 2 q. Falls p 2 q < gibt es keine reelle Lösung. An diesem ganz einfachen Beispiel sieht man bereits, dass Existenz und Eindeutigkeit im nichtlinearen Fall nicht trivial sind. (b) Es müssen aber nicht immer Zahlen (oder Vektoren) die gesuchten Lösungen sein. Als Beispiel betrachte man nichtlineare Differentialgleichungen, z.b. die Transportgleichung ( Burgers Gleichung ): d d u(t,x) + u(t,x) dt dx u(t,x) =, (kurz: u t + uu x = ) wobei u(t, x) die Geschwindigkeit eines Teilchens zur Zeit t am Ort x ist. Die Unbekannte ist also eine Funktion, man sucht in einem unendlich-dimensionalen Raum (den Raum aller in t und x stetig differenzierbareb Funktionen). Anwendungen sind z.b. Simulationen des Straßenverkehrs oder Informationsausbreitung im Internet. (c) Numerische Transformation von Wahrscheinlichkeits Verteilungsfunktionen und die Berechnung von Quantilen. Aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen Sie Tabellen von Quantilen z.b. der Standardnormalverteilung. Diese können nicht exakt berechnet werden, sondern ergeben sich als Lösung eines nichtlinearen Problems. (d) Fast alle realen Phänomene sind nichtlinear werden oft zur Vereinfachung linearisiert. Wie man schon an obigem Beispiel sieht, hat man hier keine handlichen Kriterien für Existenz und Eindeutigkeit. Dies hat natürlich auch Konsequenzen für die numerischen Lösungsverfahren. Im Folgenden zeigen wir weitere Beispiele. Beispiel (Zinssatz bei einem Kredit) Wie hoch darf der Zinssatz sein, wenn man einen Kredit über 1. Euro in 1 Jahren abzahlen möchte und man höchstens 25 Euro monatlich aufbringen kann? Oder allgemeiner eine Kreditsumme K in n Jahren mit monatlichen Raten R getilgt haben möchte? Der Einfachheit halber rechnen wir den jährlichen Zinssatz p in einen monatlichen Zinssatz m um, d.h. verzinst man monatlich mit einem Prozentsatz m oder jährlich mit p, so erhält man am Ende des Jahres jeweils das Gleiche. Die Beziehung zwischen p und m ist also (1 + m) 12 = 1 + p. Für den Restbetrag K i des Kredits nach i N Monaten gilt: K i = K i 1 (1 + m) R, K i+1 = K i (1 + m) R = [K i 1 (1 + m) R] (1 + m) R, = K i 1 (1 + m) 2 R [(1 + m) + 1],. K n = K (1 + m) n R [ (1 + m) n (1 + m) + 1 ], = K (1 + m) n R [(1 + m) n 1] /m, = (K R/m)(1 + m) n + R/m. Zu gegebener Kreditsumme K, monatlichem Zinssatz m und Tilgungsdauer (n Monate) berechnet sich die Rate R, um den Kredit vollständig zu tilgen, indem wir K n = setzen, d.h. R = K m (1 + m) n /[(1 + m) n 1].

11 Abschnitt 1.1: Problemstellung und Beispiele 3 Auch die Tilgungsdauer lässt sich analytisch darstellen n = log (R/(R m K )) log(1 + m) (Wie ist hier das Ergebnis zu interpretieren, falls n nicht ganzzahlig ist?) Wie gewinnt man jedoch m zu gegebenen K >, n N, K > R > K /n aus der Gleichung (m K R)(1 + m) n + R =? Es ist offensichtlich, dass < m < 1 gilt und f(m) := (m K R)(1 + m) n + R nur eine Nullstelle in (, 1) hat. Aber wie kann man diese einfach, schnell und numerisch stabil bestimmen? f(m) 5 f(m) m m Abb. 1.2: Der Graph von f(m) := (m K R)(1 + m) n + R (links, y-achse linear skaliert, x [,.2]) bzw. f(m) (rechts, logarithmisch-skaliert, x [,.1]) für K = 1, R = 25 und n = 48. Die Funktion f hat eine Nullstelle bei und bei.8. Beispiel (Nullstellen von Orthogonalpolynomen) Sei P n der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich n. Die Legendre-Polynome P n P n (n =,1,2,...) erfüllen die Drei-Term-Rekursion P (x) = 1, P 1 (x) = x, (n + 1)P n+1 (x) = (2n + 1)xP n (x) np n 1 (x), n N. Die ersten Legendre-Polynome lauten P = 1, P 3 = 1 2 (5x3 3x), P 1 = x, P 4 = 1 8 (35x4 3x 2 + 3), P 2 = 1 2 (3x2 1), P 5 = 1 8 (63x5 7x x). Die Nullstellen der Legendre-Polynome liegen in ( 1,1) und die Nullstellen von P n trennen die Nullstellen von P n+1 (n N). Mit Hilfe dieser Eigenschaft lassen sich sukzessive Intervalle finden, in denen Nullstellen liegen, z.b. hat P 1 die Nullstelle ξ (1) 1 = und somit liegen die Nullstellen ξ (2) 1, ξ(2) 2 von P 2 in ( 1,) und (,1), die Nullstellen ξ (3) 1, ξ(3) 2, ξ(3) 3 von P 3 in ( 1,ξ (2) 1 ), (ξ (2) 1,ξ(2) 2 ) und (ξ(2) 2,1). Diese Eigenschaft der Legendre-Polynome gilt auch für weitere Orthogonalpolynome (siehe Satz?? in Kapitel 3). Die Berechnung der Nullstellen ist u.a. wichtig im Zusammenhang mit Gauß-Quadraturformeln.

12 4 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen Beispiel (Extremalstellen von skalaren Funktionen) Die mehrdimensionale Erweiterung der Rosenbrock 1 -Funktion f : R n R mit n 1 [ f(x) = (1 xi ) 2 + 1(x i+1 x 2 i )2], x R n i=1 hat für n 4 mindestens ein lokales Minimum in der Umgebung von (x 1,x 2,...,x n ) T = ( 1,1,...,1) T neben dem globalen Minimum (x 1,...,x n ) T = (1,...,1) T. Diese Extremalstellen erfüllen notwendigerweise die Gleichung f =. Wie kann man nun für n 4 ein solches lokales Minimum bestimmen? Dies bedeutet, ein x R n \ {(1,...,1) T } ist zu bestimmen mit g(x) = (g 1 (x),...,g n (x)) T =, g 1 (x) := f = 2(1 x 1 ) 4x 1 (x 2 x 2 1 x ), 1 g i (x) := f = 2(1 x i ) 4x i (x i+1 x 2 i x ) + 2(x i x 2 i 1 ), i i = 2,...,n 1, g n (x) := f = 2(x n x 2 x n 1). n Notation Sei X der zugrunde liegende Banach-Raum. Außerdem bezeichnen wir mit eine beliebige Norm auf X. Wir betrachten hier die Fälle X = R X = R n. versehen mit der Betrags-Norm und Vektoren x R n werden hier grundsätzlich als Spaltenvektoren verstanden. Mit x T bezeichnen wir den durch Transposition entstehenden Zeilenvektor. Wenn nicht explizit anders erwähnt, verwenden wir auf X = R n die Euklidische Norm 2 mit: x 2 = ( n 1/2 x T x = xi) 2, x R n. Weitere nützliche p-normen sind hier die Betragssummennorm und die Maxiumsnorm i=1 x 1 := n x i i=1 x = max 1 i n x i. Sei ǫ > und x R n, dann bezeichnen wir die offene ǫ-umgebung um x mit K ǫ (x ): K ǫ (x ) := {x R n : x x < ǫ}. Ist die skalarwertige Funktion f : R n R stetig differenzierbar, dann wird f x 1 (x) 1 Rosenbrock, Howard Harry (192-21) f(x) =. f x n (x) R n

13 Abschnitt 1.1: Problemstellung und Beispiele 5 der Gradient von f im Punkt x genannt. Ist f zweimal stetig differenzierbar, dann nennt man 2 f x 1 x 1 (x)... 2 f x 1 x n (x) 2 f(x) = die Hesse-Matrix von f im Punkt x.. 2 f x n x 1 (x) f x n x n (x) Rn n Ist F : R n R n stetig differenzierbar, dann ist J F (x) = F 1 (x) T. F n (x) T die Jacobi-Matrix von F im Punkt x. = F 1 x 1 (x).... F n x 1 (x)... F 1 x n (x). F n x n (x) R n n Grundlegende Begriffe: Konvergenzgeschwindigkeit Wir betrachten stets eine Folge als ein iteratives Verfahren zur Approximation einer Unbekannten x, z.b. der Lösung von F(x) =. Also möchten wir natürlich, dass x (k) x, k möglichst schnell konvergiert. Oder, anders ausgedrückt, bei vorgegebenen ǫ > (einer Toleranz) möchten wir möglichst wenige Schritte unternehmen, also x (k) x ǫ mit einem möglichst kleinen n = n(ǫ) N. Dies führt auf den Begriff der Konvergenzordnung, die ein Maß für die Konvergenzgeschwindigkeit ist. Definition (Konvergenzgeschwindigkeit) Sei (x (k) ) k N eine konvergente Folge mit x (k) R n und Grenzwert x R n. 1. Man bezeichnet (x (k) ) k N als (mindestens) linear konvergent (oder Q-linear konvergent), wenn es ein < ρ < 1 gibt mit x (k+1) x ρ x (k) x, k =,1,.... Die Zahl ρ wird Konvergenzfaktor (oder auch Kontraktionsrate) genannt. 2. Gibt es eine gegen Null konvergente Folge (ρ k ) k N mit x (k+1) x ρ k x (k) x, k =,1,..., so heißt (x (k) ) k N (mindestens) superlinear konvergent (oder Q-superlinear konvergent). 3. Gibt es ein ρ > und ein 1 < q R mit x (k+1) x ρ x (k) x q, k =,1,..., so heißt (x k ) k N konvergent mit (mindestens) Konvergenzordnung q. Für q = 2 spricht man auch von (mindestens) quadratischer Konvergenz (oder Q-quadratischer Konvergenz).

14 6 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen 4. Man nennt (x k ) k N R-linear konvergent mit Rate < γ < 1 gegen x, falls es eine Folge (α k ) k N (, ) gibt, die Q-linear mit Rate γ gegen konvergiert, so dass gilt: x (k) x α k für k. 5. Die Folge (x k ) k N heißt R-superlinear konvergent mit Rate < γ < 1 gegen x, falls es eine Folge (α k ) k N (, ) gibt, die Q-superlinear mit Rate γ gegen konvergiert, so dass gilt: x (k) x α k für k. 6. Die Folge (x k ) k N heißt R-quadratisch konvergent gegen x, falls es eine Nullfolge (α k ) k N (, ) gibt, die Q-quadratisch gegen konvergiert, so dass gilt: x (k) x α k für k. Bemerkung (Charakterisierung der Q-Konvergenz via Landau scher-symbolik) Mit der o- und O-Notation kann man die Definitionen auch wie folgt schreiben: Eine Folge (x (k) ) k N mit x (k) x heißt (mindestens) Q-superlinear konvergent, falls x (k+1) x = o( x (k) x ), für k, die Folge heißt (mindestens) Q-quadratisch konvergent, falls x (k+1) x = O( x (k) x 2 ), für k. Bemerkung (Charakterisierung der Q-Konvergenz über Brüche) Eine Folge (x (k) ) k N mit x (k) x wird auch als Q-superlinear konvergent bezeichnet, falls gilt und als Q-quadratisch konvergent, falls x (k+1) x lim k x (k) x = lim sup k x (k+1) x x (k) x <. Diese Charakterisierungen sind allerdings nur möglich, wenn x (k) x für alle k N gilt. Motiviert durch diese Beschreibung definiert man Definition (Q-und R-Faktor) 1. Q-Konvergenz: (a) Für eine Folge (x (k) ) k N mit x (k) x und p [1, ) wird x lim sup (k+1) x k, falls x (k) x für alle k N, Q q (x (k) x (k) x q ) :=, falls x (k) = x für alle k k, +, sonst. der Quotienten-Konvergenzfaktor (Q-Faktor) von (x (k) ) k N genannt. (b) Die Größe O Q (x (k) ) := inf{p [1,+ ) Q p (x (k) ) = } heißt Q-Konvergenzordnung der Folge (x (k) ) k N.

15 Abschnitt 1.2: Skalare Nichtlineare Gleichungen 7 2. R-Konvergenz: (a) Für eine Folge (x (k) ) k N mit x (k) x und p [1, ) wird { R p (x (k) lim sup ) := k x (k) x 1/k, falls p = 1, lim sup k x (k) x 1/pk, falls p > 1, der Wurzel-Konvergenzfaktor (R-Faktor, engl. root-factor) von (x (k) ) k N genannt. (b) Die Größe R p (x (k) ) := inf{p [1,+ ) R p (x (k) ) = 1} heißt R-Konvergenzordnung der Folge (x (k) ) k N. Bemerkung Die Definition Q-Konvergenz basiert somit auf dem Quotientenkriterium für Reihen, während die R-Konvergenz auf dem Wurzelkriterium für Reihen basiert. Offenbar impliziert Q-Konvergenz die entsprechende R-Konvergenz. Bemerkung Für p = 1 und p = 2 gilt Q 1 (x (k) ) = Q-superlineare Konvergenz < Q 1 (x (k) ) < 1 Q-lineare Konvergenz < Q 2 (x (k) ) < + Q-quadratische Konvergenz 1.2 SKALARE NICHTLINEARE GLEICHUNGEN Betrachten wir zunächst die Situation in einer Raumdimension. Mit anderen Worten, in diesem Abschnitt beschäftigen wir uns zunächst mit Verfahren zur Lösung einer skalaren nichlinearer Gleichung f(x) =. wobei I := [a,b] R und f : I R eine stetige Funktion Bisektionsmethode Die Bisektionsmethode ist ein sehr einfaches robustes Verfahren, das jedoch nur für skalare Gleichungen geeignet ist. Herleitung des Algorithmus: Diese Methode, motiviert durch Überlegungen aus der reellen eindimensionalen Analysis (siehe Intervallschachtelung), löst (1.1) dadurch, dass sie die Lösung durch systematisch kleiner werdende Intervalle einschließt. Man geht von der Annahme aus, es sei ein Intervall I := [a,b] bekannt mit f(a) f(b) <. Da wir f stetig vorrausgesetzt haben können wir den Zwischenwertsatz anwenden. Mit anderen Worten, die Annahme f(a) f(b) < liefert die Existenz eine Nullstelle x (a,b), d.h. die Existenz eines x im Inneren von I mit f(x ) =. Zunächst wird in den Mittelpunkt m = 1 2 (a + b) des Intervalls I der Funktionswert f(m) bestimmt. Ist f(m) entscheidet nun das Vorzeichen, in welchem der Teilintervalle [a, m],[m, b] die gesuchte Lösung x liegt. Nun passt man die Intervallgrenzen entsprechend an, so dass x im neuen halbierten Intervall liegt und beginnt von vorne.

16 8 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen Etwas mathematischer: Wir bezeichnen die Grenzen des Ausgangsintervalls I mit a := a und b := b wählen als Startwert den Mittelwert x () := 1 2 (a + b ). Führen einen Vorzeichentest durch, um zu prüfen, auf welcher Seite des Mittelpunkts die Nullstelle liegt. Falls f(x () )f(a ) < ist wählen wir das linke Teilintervall als neues Intervall und setzen a 1 := a,b 1 := x (), ansonsten, wählen wir das rechte Teilintervall und setzen a 1 := x (),b 1 := b. Von dem neuen Teilintervall bestimmen wir unsere nächste Iterierte wiederum als Mittelpunkt x (1) = 1 2 (a 1 + b 1 ). Wir erhalten damit folgenden Algorithmus: Algorithmus (Bisektionsmethode) Seien I := [a, b] mit f(a)f(b) <, ǫ > gegeben und setze a := a,b := b. Für k =,1,2... : 1) Berechne x (k) = 1 2 (a k + b k ) und f(x (k) ). 2) Falls f(x (k) ) ǫ, STOPP. 3) Falls f(x (k) )f(a k ) <, setze a k+1 := a k, b k+1 := x (k), sonst a k+1 := x (k), b k+1 := b k. Bemerkung (Abbruchbedingungen) Sei ǫ > eine gegebene Toleranz. Man könnte an die folgenden zwei Abbruchbedingungen für das Bisektionsverfahren denken: Einerseits das in Algorithmus Schritt 2 verwendete Abbruchkriterium, bei dem gefordert wird, dass der Funktionswert in der aktuellen Näherung betragsmäßig sehr klein wird: f(x (k) ) ǫ. Und andererseits, das im nachfolgenden Matlab-Programm verwendete Abbruchkriterium, bei dem der Algorithmus abbricht, wenn das Intervall sehr klein wird: a k b k ǫ. MATLAB-Funktion: BisektionsMethode.m 1 function Nullstelle = BisektionsMethode(a,b,func,epsilon) 2 % Initialisierung 3 temp=[] 4 fa = func(a); fb = func(b); 5 while abs(a-b) > epsilon 6 m = (a+b)/2; 7 fm = func(m); 8 if fm == 9 Nullstelle = m; 1 return 11 elseif fa*fm < 12 b = m; 13 fb = fm; 14 else 15 a = m; 16 fa = fm;

17 Abschnitt 1.2: Skalare Nichtlineare Gleichungen 9 17 end 18 temp = [temp;m]; 19 end 2 % Lösung 21 Nullstelle = m; Testen wir nun die Bisektionsmethode anhand von Bsp Wie hoch darf der Zinssatz sein, wenn man einen Kredit über 1. Euro in 48 Monaten zurückzahlen möchte, aber nur 25 Euro monatlich aufbringen kann? MATLAB-Beispiel: >> n = 48; >> K = 1; >> R = 25; >> f (m*k-r)*(1+m)ˆn+r; >> m = Bisektionsmethode(eps,1,f,1e-7) m = >> p = 1 * ((1+m)ˆ12-1) p = Nach der Umrechnung in den jährlichen Zinssatz sehen wir, dass wir uns den Kredit nur erlauben könnten, wenn der Zinssatz niedriger als 9.65% ist. Offenbar wird die Intervalllänge in jeder Iteration halbiert. Die Methode konvergiert somit. Gleichzeitig erhalten wir eine a-priori Fehlerabschätzung. Dies halten wir in der folgenden Bemerkung fest. Bemerkung (Konvergenz des Bisektionsverfahrens) Betrachten wir den Mittelpunkt x (k) des Intervalls nach der k-ten Intervallhalbierung als Näherung an x, so gilt die a-priori Fehlerabschätzung x (k) x b a 2 k, k =,1,2,.... Da die Fehlerschranke wie eine geometrische Folge abnimmt, liest man manchmal, dass die Konvergenzordnung 1 sei (also lineare Konvergenz vorliege). Nach Definition ist das Bisektionsverfahren nicht Q-linear konvergent, da auf der rechten Seite der Abschätzung nicht x (k 1) x steht, man also keine monotone Reduktion des Fehlers hat. Es gibt Beispiele, bei denen der Fehler springt, vgl. [QSS1, 6.2]. Allerdings ist das Bisektionsverfahren R-linear konvergent, denn die Folge der Beträge der absoluten Fehler e (k) := x (k) x, d.h. (β k ) k N, mit β k := e (k), wird durch die linear konvergente Folge (α k ) k N, mit α k := b a/2 k majorisiert Regula-Falsi 1 Herleitung des Algorithmus: Wiederum gehen wir davon aus, dass ein Intervall I := [a, b] mit f(a) f(b) < bekannt sei. Anstatt nun I durch Hinzufügen eines Mittelpunkts in zwei Intervalle zu zerlegen, wählen wir eine zusätzliche Stelle ξ, die Nullstelle der Geraden durch (a, f(a)) und (b,f(b)), d.h. b a af(b) bf(a) ξ = a f(a) = f(b) f(a) f(b) f(a). (1.2) Mit den beiden Intervallen [a, ξ], [ξ, b] verfahren wir nun analog zur Methode der Intervallhalbierung. D.h. durch einen Vorzeichentest prüfen wir wieder, in welchem der beiden Teilintervalle 1 lat.: Regel des falschen Ansatzes

18 1 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen die Nullstelle liegt, und nehmen das entsprechende Intervall als neues Intervall. Als Algorithmus y y = f(x) a = x (1) x (2) b= x () x ergibt sich somit: Abb. 1.3: Die geometrische Interpretation der Regula-Falsi-Methode. Algorithmus (Regula-Falsi) Seien I := [a, b] mit f(a)f(b) <, ǫ > gegeben und setze a := a,b := b. Für k =,1,2... : 1) Berechne x (k) = a kf(b k ) b k f(a k ) f(b k ) f(a k ) und f(x (k) ). 2) Falls f(x (k) ) ǫ, STOPP. 3) Falls f(a k )f(x (k) ) <, setze sonst a k+1 := a k, b k+1 := x (k), a k+1 := x (k), b k+1 := b k. Satz (Konvergenzordnung Regula-Falsi-Methode) Es sei x einzige Nullstelle von f in I := [a,b], f C 3 (I) und f (x ) f (x ). Dann beträgt die Konvergenzordnung der Regula-Falsi-Methode p = 1. Beweis. Es bezeichne (x (k) ) k N die sich aus aus obigem Algorithmus ergebende Folge von Mittelpunkten, d.h. x(k) (a k,b k ) (k N). Es seien ε a k := a k x, ε b k := b k x. Aus (1.2) und der Voraussetzung f(x ) = folgt ε k := x (k) x = (a k x )f(b k ) (b k x )f(a k ) f(b k ) f(a k ) = εa k f(x + ε b k ) εb k f(x + ε a k ) f(x + ε b k ) f(x + ε a k ).

19 Abschnitt 1.2: Skalare Nichtlineare Gleichungen 11 Da f C 3 (I) nach Voraussetzung gilt, liefert die Taylor 2 -Entwicklung: ε k = εa k {εb k f (x ) (εb k )2 f (x ) +...} ε b k {εa k f (x ) (εa k )2 f (x ) +...} {ε b k f (x ) (εb k )2 f (x ) +...} {ε a k f (x ) (εa k )2 f (x ) +...} = = 1 2 εa k εb k (εb k εa k )f (x ) +... (ε b k εa k ){f (x ) (εb k + εa k )f (x ) +...} 1 2 εa k εb k f (x ) +... f (x ) +... Nach der Herleitung des Algorithmus gilt a k < x < b k. Demzufolge besitzen ε a k und εb k entgegengesetztes Vorzeichen und es gilt weiter ε b k εa k >. Für hinreichend kleine εa k und εb k folgt damit ε k f (x ) 2f (x ) εa k εb k. (1.3) Mit f (x ) gilt aber weiterhin, dass f in einer hinreichend kleinen Umgebung von x konvex oder konkav ist, und folglich bleibt ein Intervallende fest und wird im Verfahren nur umbenannt. Deshalb ist ε k nur direkt proportional zu einem der beiden vorhergehenden ε a k oder εb k. Die asymptotische Fehlerkonstante C ist für eine konkave Funktion gegeben durch C = f (x ) 2f (x ) εa k, εa k = εa k 1 =... = εa 1 = x 1 x, und damit konvergiert die Folge (x (k) ) k N linear. Analoges gilt für konvexe Funktionen mit ε b k anstatt ε a k. MATLAB-Funktion: RegulaFalsi.m 1 function Nullstelle = RegulaFalsi(a,b,func,epsilon) 2 fa = func(a); fb = func(b); % Initialisierung 3 m = (a*fb-b*fa)/(fb-fa); fm = func(m); 4 while abs(fm) > epsilon 5 if fa*fm < 6 b = m; 7 fb = fm; 8 else 9 a = m; 1 fa = fm; 11 end 12 m = (a*fb-b*fa)/(fb-fa); 13 fm = func(m); 14 end 15 Nullstelle = m; % Lösung 2 Taylor, Brook ( )

20 12 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen Testen wir nun das Regula-Falsi- Verfahren anhand Bsp mit K = 1, n = 48 und R = 25. MATLAB-Beispiel: >> n = 48; >> K = 1; >> R = 25; >> f (m*k-r)*(1+m)ˆn+r; >> m = RegulaFalsi(1e-5,.1,f,1e-7) m = Bei einem genaueren Vergleich mit dem Bisektionsverfahren stellt man bei diesem Beispiel eine langsamere Konvergenz des Regula-Falsi-Verfahrens fest. Bemerkung (Abbruchbedingung für Verfahren 1. Ordnung) Wir hatten bereits über denkbare Abbruchbedingungen im Rahmen des Bisektionsverfahrens nachgedacht. Allgemeiner formuliert könnte man zu einer gewünschter Zielgenauigkeit ǫ > einerseits an die Bedingung x (k) x ǫ und andererseit an die bereits angesprochene Bedingung f(x (k) ) ǫ denken. Allerdings enthällt erster Abbruchbedingung die unbekannte Nullstelle x. Für Verfahren 1. Ordnung gilt mit der Dreichecksungleichung: ( ) 1 x (k) x (k+1) x (k) x x (k+1) x C 1 x (k+1) x also x (k+1) x C 1 C x(k) x (k+1). Auf der rechten Seite dieser Ungleichung kommt x nicht mehr vor! Oftmals verwendet man daher für Verfahren 1. Ordnung auch als Abbruchbedingung Die Sekantenmethode x (k) x (k+1) x (k) Als Modifikation des Regula-Falsi-Verfahrens verzichtet man bei der Sekantenmethode darauf, die Lösung durch zwei Näherungswerte einzuschließen. Herleitung des Algorithmus: Zu zwei vorgegebenen Näherungswerten x () und x (1), welche die Lösung nicht notwendigerweise einzuschließen brauchen, bestimmt man x (2) als Nullstelle der Sekante β = f(x(1) ) f(x () ) x (1) x () zu (x (),f(x () )) und (x (1),f(x (1) )). Ungeachtet der Vorzeichen bestimmt man aus x (1),x (2) eine nächste Näherung x (3). ǫ Die Iterationsvorschrift der Sekantenmethode ergibt sich damit zu x (k+1) = x (k) f(x (k) x (k) x (k 1) ) f(x (k) ) f(x (k 1), k = 1,2,.... (1.4) ) Als Algorithmus ergibt sich somit:

21 Abschnitt 1.2: Skalare Nichtlineare Gleichungen 13 Algorithmus (Sekantenverfahren) Wähle x (),x (1) R, ǫ. Für k = 1,2... : 1) Berechne x (k+1) = x (k) f(x (k) x (k) x (k 1) ) f(x (k) ) f(x (k 1) ). 2) Falls f(x (k+1) ) ǫ, STOPP. y y = f(x) x (2) x (3) x (1) x () x Abb. 1.4: Die geometrische Interpretation der Sekantenmethode. Bemerkung Man beachte, dass das Sekantenverfahren im Gegensatz zu den vorangegangen Verfahren ein zweistufiges Verfahren ist. Satz (Konvergenzordnung Sekantenverfahren) Falls f (x ) f (x ) gilt, ist die Konvergenzordnung der Sekantenmethode p = 1 2 (1 + 5). Beweis. Wir betrachten die Sekantenmethode als Modifikation des Regula-Falsi-Verfahrens. Für hinreichend kleine Fehler ε k 1 und ε k bleibt (1.3) für die Sekantenmethode gültig, bzw. geht über in ε k+1 f (x ) 2f (x ) ε kε k 1. (1.5) Es besteht jedoch der Unterschied, dass bei Erhöhung von k sich beide Werte ε k 1 und ε k ändern. Mit der Konstanten C := f (x )/(2f (x )) gilt für hinreichend großes k ε k+1 C ε k ε k 1. Nach unserer Definition der Konvergenzordnung versuchen wir nun diese Differenzengleichung mit dem Ansatz ε k = ρ ε k 1 p, ρ >, p 1 zu lösen. Einsetzen ergibt ( ε k+1 =) ρ ε k p = ρ ρ p ε k 1 p2! = C ρ ε k 1 p+1 (= C ε k ε k 1 ). Diese letzte Gleichung kann aber für alle (hinreichend großen) k nur dann gelten, falls ρ p = C und p 2 = p + 1

22 14 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen erfüllt sind. Die positive Lösung p = 1 2 (1 + 5) der quadratischen Gleichung ist deshalb die Konvergenzordnung der Sekantenmethode. Die asymptotische Fehlerkonstante ist ρ = C 1/p = C.618. MATLAB-Funktion: SekantenMethode.m 1 function x1 = SekantenMethode(x,x1,func,epsilon) 2 % Initialisierung 3 fx = func(x); fx1 = func(x1); 4 while abs(fx1) > epsilon && abs(fx-fx1) > epsilon 5 tmp = x1; 6 x1 = x1 - fx1 *(x1-x)/(fx1-fx); 7 x = tmp; 8 fx = fx1; 9 fx1 = func(x1); 1 end MATLAB-Beispiel: Testen wir nun abschließend die Sekantenmethode an Bsp mit >> K = 1; >> n = 48; K = 1, n = 48 und R = 25. >> R = 25; >> f (m*k-r)*(1+m)ˆn+r; >> m = SekantenMethode(1e-2,.1,f,1e-7) m = Im Vergleich zu den oben gemachten Tests ist hier das Startintervall kleiner zu wählen Fixpunkt-Iteration Idee: Wie schon bei klassischen Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme besteht die einfache Idee darin, das Nullstellen Problem f(x) =, in ein Fixpunkt Problem umzuschreiben. Wir werden schnell sehen, dass diese Idee auch für Systeme von nichtlinearen Gleichungen verwendet werden kann. Die Fixpunkt Funktion lautet dann φ(x) := x f(x). Offensichtlich gilt f(x ) = genau dann, wenn x = φ(x ), also wenn x Fixpunkt von φ ist. Nun sind auch andere Definitionen für φ denkbar, so dass wir eine ganze Klasse von Verfahren erhalten. Die Konvergenz von Fixpunkt Iterationen wird durch den Banach schen 3 Fixpunktsatz geklärt. Wir formulieren und beweisen diesen hier in einem etwas allgemeineren Rahmen als er aus der Analysis bekannt sein dürfte. Insbesondere kann der Satz in dieser Formulierung auch im nächsten Abschnitt über nichtlineare Gleichungssysteme angewandt werden. 3 Banach, Stefan ( )

23 Abschnitt 1.2: Skalare Nichtlineare Gleichungen 15 Satz (Banach scher Fixpunktsatz) X sei ein linear normierter Raum mit Norm, E X sei eine vollständige Teilmenge von X. Die Abbildung Φ : X X erfülle folgende Bedingungen: (i) Selbstabbildung: Φ(E) E, also Φ : E E. (ii) Kontraktion: Es gelte Φ(x) Φ(y) L x y einer Konstanten L < 1. x,y E (Lipschitz 4 Stetigkeit) mit Dann gilt: (a) Es existiert genau ein Fixpunkt x von Φ in E. (b) Die Iteration x (k+1) := Φ(x (k) ), k =,1,2,... (1.6) konvergiert für jedes x () E gegen den Fixpunkt x. (c) A-priori-Fehlerabschätzung: x (k) x (d) A-posteriori-Fehlerabschätzung: x (k) x Lk 1 L x(1) x (). (1.7) L 1 L x(k) x (k 1). (1.8) Beweis. 1) Zeige, dass (x (k) ) k N eine Cauchy Folge ist: Mit einer Teleskopsumme und der Dreiecks Ungleichung gilt x (k+m) x (k) = x (k+m) x (k+m 1) + x (k+m 1) +... x (k+1) + x (k+1) x (k) x (k+m) x (k+m 1) x (k+1) x (k) sowie aufgrund der Kontraktivität: x (k+1) x (k) = Φ(x (k) ) Φ(x (k 1) ) L x (k) x (k 1)... L k x (1) x (), (1.9) also wegen L < 1 und der (endlichen) geometrischen Reihe x (k+m) x (k) (L k+m L k ) x (1) x () = L k 1 Lm 1 L x(1) x () L k 1 L x(1) x () k. Also ist (x (k) ) k N eine Cauchy Folge. Da E vollständig ist, existiert ein Grenzwert x, d.h. 4 Lipschitz, Rudolf ( ) x (k) x k.

24 16 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen 2) Zeige, dass x ein Fixpunkt ist: Mit der Dreiecks Ungleichung und der Iterationsvorschrift gilt x Φ(x ) = x x (k) + x (k) Φ(x ) x x (k) + Φ(x (k 1) ) Φ(x ) x x (k) +L x (k 1) x k, } {{ } } {{ } k k also x = Φ(x ), da k N beliebig war. 3) Eindeutigkeit: Seien x und x zwei Fixpunkte, d.h. Dann gilt für x x x = Φ(x ) und x = Φ(x ). Φ(x ) Φ(x ) L x x = L Φ(x ) Φ(x ) < Φ(x ) Φ(x ), da L < 1. Dies ist ein Widerspruch zu x x, also folgt x = x. 4) Fehlerabschätzung: Für jedes m > gilt wie in 1) x (k) x x (k) x (k+1) + x (k+1) x (k+2) x (k+m) x = Φ(x (k 1) ) Φ(x (k) ) + Φ(x (k) ) Φ(x (k+1) ) Φ(x (k+m 1) ) Φ(x ) (L + L L m ) x (k 1) x (k) + L x (k+m 1) x ( ) 1 L m = L x (k 1) x (k) + x (k+m 1) x } 1 {{ L } {{ } } m m 1 1 L also (d) und mit (1.9) folgt dann (c). Bemerkung Für X = R, (Betrag) und E = [a,b] oder E = R erhält man den Satz für skalare Gleichungen. In diesem Fall bezeichnen wir die Fixpunkt-Funktion mit φ. 2. Man beachte, dass der Satz insbesondere auch für unendlich-dimensionale Räume, wie z.b. Funktionenräume gilt. Es stellt sich nun die Frage, wie man die Vorraussetzungen des Banach schen Fixpunktsatzes nachprüfen bzw. nachrechnen kann. Die nachfolgende Folgerung aus dem Banach schen Fixpunktsatz beantwortet dies. Folgerung Sei φ C 1 (R) mit φ : [a,b] [a,b] mit max x [a,b] φ (x) =: L < 1, (1.1) dann besitzt φ genau einen Fixpunkt und Satz gilt für.

25 Abschnitt 1.2: Skalare Nichtlineare Gleichungen 17 Beweis. Mit dem Mittelwertsatz gilt also ist φ eine Kontraktion. φ(x) φ(y) = φ (ξ)(x y) x y max ξ (a,b) φ (ξ) = L x y, Für Fixpunkt-Iterationen kann man ein einfach zu handhabendes Kriterium herleiten, um die Konvergenzordnung zu bestimmen. Lemma (Konvergenzordnungskriterium für die Fixpunkt-Iteration) Sei φ : R R (p + 1)-mal stetig differenzierbar in einer Umgebung von x = φ(x ) und es gelte φ (j) (x ) =, j = 1,...,p 1, φ (p) (x ), dann konvergiert x (k+1) := φ(x (k) ) lokal genau von der Ordnung p. Bemerkung (Lokale Konvergenz) Lokal heißt wiederum für alle Startwerte x () R, die nahe genug bei x liegen! Zur Illustration des Begriffs lokal betrachten wir als Übung das Beispiel f(x) = arctan(x) = und löse dies mit dem lokalen Newton-Verfahren, welches im nächsten Abschnitt behandelt wird. Beweis. Für p = 1 folgt die Behauptung aus Satz (Banach scher Fixpunktsatz). Sei also p > 1: Wir entwickeln φ(x) um x und erhalten mit einem ξ k (x (k),x ) x (k+1) = φ(x (k) ) = φ(x ) } {{ } =x + p (x (k) x ) j j=1 also mit der Dreiecksungleichung somit folgt die Behauptung. j! φ (j) (x ) } {{ } =, j=1,...,p 1 + (x(k) x ) p+1 φ (p+1) (ξ k ) (p + 1)! x (k+1) x x (k) x p 1 p! φ(p) (x ) + x(k) x φ (p+1) (ξ k ), (p + 1)! } {{ } k Beispiel (Einfluss der Formulierung der Fixpunkt-Funktion) Die Eigenschaften von φ (vor allem die Größe der Konstanten L) beeinflussen die Iteration maßgebich. Daher ist u.u. eine Umformung sinnvoll: f(x) := 2x tan x, φ 1 (x) := 1 2 tan x, φ 2 (x) := arctan(2x). Beachte: φ 1 ist weder Selbstabbildung auf I = [, π 2 ] noch Kontraktion! Man untersuche dies für φ 2.

26 18 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen f x* x 2 x 1 x x Abb. 1.5: Die geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens Das Verfahren von Newton Einerseits, da man das Sekantenverfahren aus dem vorangegangenen Unterabschitt aber auch als Vereinfachung des nun folgenden Newton 5 -Verfahren für skalare Funktionen betrachten kann, greifen wir hier schon mal vor und betrachten der Vollständigkeit halber zum Abschluss dieses Abschnitts über skalare nichtlineare Gleichungen noch das Newton-Verfahren im Eindimensionalen. Im nächsten Anschnitt wird dieses Verfahren, welches sich auch sehr gut zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme eignet genauer behandelt. Andererseits werden wir sehen, dass die Methode von Newton zur Klasse der Fixpunkt-Iterationen gehört. Herleitung des Algorithmus: Ist die gegebene Funktion f(x) der zu lösenden Gleichung f(x) = stetig differenzierbar, so wird im Verfahren von Newton die Funktion f(x) im Näherungswert x (k) linearisiert und der iterierte Wert x (k+1) als Nullstelle der Tangente in x (k) definiert (vgl. Abbildung 1.5). Mit anderen Worten, kann man das Newton-Verfahren für skalare Gleichungen geometrisch motivieren: der Schnittpunkt der Tangente mit der x-achse ist die neue Näherung x (k+1). Aus der Tangentengleichung ergibt sich die Iterationsvorschrift Somit erhalten wir den Algorithmus T(x) = f(x (k) ) + (x x (k) )f (x (k) ) Algorithmus (Newton-Verfahren) Wähle x () R, ǫ. Für k =,1,2... : 1) Falls f(x (k) ) ǫ, STOPP. x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ). (1.11) 2) Berechne x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ). (1.12) 5 Newton, Isaac ( )

27 Abschnitt 1.2: Skalare Nichtlineare Gleichungen 19 Im nun folgenden Satz verwenden wir, dass die Methode von Newton zur Klasse der Fixpunkt- Iterationen mit der Funktion φ(x) := x f(x) f (x) mit φ(x ) = x. (1.13) gehört, um die lokale quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens zu zeigen. Satz (Lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens für skalare Probleme) Es sei I := [a,b] ein echtes Intervall mit a < x < b und f C 3 (I) mit f (x ), d.h. x ist eine einfache Nullstelle von f(x). Dann existiert ein Intervall I δ = [x δ,x + δ] mit δ >, für welches die Fixpunkt-Funktion φ : I δ I δ definiert gemäß (1.13) eine Kontraktion darstellt. Ferner ist für jeden Startwert x () I δ die Konvergenz der Folge (x k ) k N des Newton-Verfahrens mindestens von quadratischer Ordnung. Beweis. Für die erste Ableitung von φ erhalten wir φ (x) = 1 f (x) 2 f(x)f (x) f (x) 2 = f(x)f (x) f (x) 2. Da f(x ) =, f (x ) und f C 2 (I) vorausgesetzt sind, gilt auch φ (x ) =. Aus Stetigkeitsgründen existiert dann ein δ > derart, dass φ (x) < 1 für alle x [x δ,x + δ] =: I δ gilt. Somit ist φ eine Kontraktion in I δ. Weiterhin sind für I δ die Voraussetzungen des Banach schen Fixpunktsatzes erfüllt und damit ist die Konvergenz von (x k ) k N gezeigt. Zum Beweis der Konvergenzordnung definieren wir e (k+1) := x (k+1) x. Eine Taylor- Entwicklung von φ um x und φ (x ) = liefert e (k+1) = x (k+1) x = φ(x (k) ) φ(x ) = φ(x + e (k) ) φ(x ) = φ(x ) + e (k) φ (x ) + (e(k) ) 2 φ (x + θ k e (k) ) φ(x ) mit θ k (,1) 2 = 1 2 (e(k) ) 2 φ (x + θ k e (k) ). Damit gilt also Da aber auch x (k+1) x x (k) x sup φ (x + θ k e (k) ) =: M k. <θ k <1 φ (x) = f (x) 2 f (x) + f(x)f (x)f (3) (x) 2f(x)f (x) 2 f (x) 3 gilt und f C 3 (I) vorausgesetzt wurde, existiert ein C R mit M k C, für k =,1,2,... und somit ist das Newton-Verfahren quadratisch konvergent.

28 2 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen MATLAB-Funktion: NewtonSimple.m 1 function [x,nit] = NewtonSimple(x,f,Df,tol,maxit,param) 2 nit = ; 3 fx = f(x,param); 4 while norm(fx) > tol && nit <= maxit 5 nit = nit+1; 6 x = x-df(x,param)\fx; 7 fx = f(x,param); 8 end 9 nit Beispiel Vergleichen wir nun die Bisektionsmethode, das Sekantenverfahren und das Newton-Verfahren angewandt auf das Problem aus Bsp mit K = 1, n = 48 und R = 25 sowie Anfangsbedingungen a = eps, b = 1 für die Bisektionsmethode, x () = 1/2, x (1) = 1 für das Sekantenverfahren und x () =.1 für das Newton-Verfahren, so erhalten wir die in Abb dargestellte Konvergenz Fehler Sekanten Bisektion Newton Anzahl Iterationen Abb. 1.6: Konvergenz von Bisektions-, Sekanten- und Newton-Verfahren angewandt auf f(m) = (m K R) (1 + m) n + R aus Bsp mit K = 1, n = 48 und R = Effizienz Was nutzt eine hohe Konvergenzordnung, wenn man diese mit vielen Operationen erkauft? Ein solches Verfahren wäre ineffizient. Die teuersten Operationen sind i.d.r. bei der Auswertung der Funktion f versteckt. Dies könnte ja z.b. die Lösung einer partiellen Differentialgleichung bedeuten. Daher verwendet man die Anzahl der Funktionsauswertungen als Synonym für den Aufwand bzw. die Anzahl der Operationen. Definition (Effizenzindex) Sei m die Anzahl von Funktionsauswertungen pro Iterationsschritt. Damit definiert man den Effizienzindex ind := p 1 m, (1.14)

29 Abschnitt 1.2: Skalare Nichtlineare Gleichungen 21 wobei p die Konvergenzordnung des Verfahrens angibt. Beispiel Wir fassen p und m für die oben vorgestellten Verfahren zusammen. Verfahren p m ind Fixpunkt-Iteration Newton Sekanten (> 2)! Regula Falsi Unter der Annahme, dass die Auswertung von f in etwa so aufwendig ist wie die von f. Bemerkung Bislang haben wir neben der Stetigkeit von f außer entsprechenden Differenzierbarkeit bei Newton keine Eigenschaften von f vorausgesetzt. Für speziellere Funktionen kann man durch Ausnutzung der zusätzlichen Informationen effizientere Verfahren konstruieren. Eine Klasse spezieller Funktionen sind Polynome Nullstellen von Polynomen Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass die Nullstellenbestimmung von Polynomen eine eher akademische Fragestellung wäre. Dem ist nicht so. Es gibt ganz konkrete Anwendungen z.b. bei der Bestimmung von Eigenwerten als Nullstelle des charakterisitschen Polynoms oder in der Computergraphik z.b. bei der Darstellung von Flächen und Bestimmung von Durchstosspunkten. Es stellt sich heraus, dass man für Polynome Varianten des Newton-Verfahrens konstruieren kann, die global konvergieren Globale Konvergenz des Newton Verfahrens Für Polynome kann man unter bestimmten Voraussetzungen die globale Konvergenz des Newton- Verfahrens für Polynome beweisen. Grundlage ist der folgende Satz. Satz Falls für P P n, p(x ) =, P(x) >, P (x) >, P (x) x > x, (1.15) gilt, dann liefert das Newton-Verfahren für alle Startwerte x () > x eine monoton fallende Folge, die gegen x konvergiert. Beweis. Der Beweis ist klar, wenn man z.b. die folgende Zeichnung betrachtet.

30 22 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen Bemerkung Aus Satz bekommt man Schranken für x mit Hilfe der Koeffizienten von P. Folgerung Sei P P n und x sei die betragsgrößte Nullstelle, a n = 1. Dann gilt: Das Newton Verfahren konvergiert für alle x () mit x () > x und sgn (x () ) = sgn (x ). Definition (Begleitmatrix) Sei P(x) := n a j x j P n, a n = 1, dann heißt die Matrix Begleitmatrix von p. Bemerkung Es gilt j= A := R n n (1.16) 1 a a n 2 a n 1 P A (λ) = det(λi A) = P(λ) = P A T (λ), also ist p das charakteristische Polynom von A. Insbesondere sind also die Eigenwerte von A die Nullstellen von P. Dies können wir nun benutzen, um die gesuchten Schranken herzuleiten. Sei eine Norm auf dem R n und die induzierte Matrix Norm, also Ax A = sup x = x. Für einen Eigenwert λ von A zum Eigenvektor x gilt auf Grund der Submultiplikativität von λ x = λ x = Ax A x, d.h. wegen ist die Matrix-Norm eine obere Schranke. λ A (1.17) Beispiel (a) Für die Zeilensummennorm gilt also n 1 λ max 1, a j. (1.18) j= (b) Für die Spaltensummennorm 1 gilt analog λ max{ a,1 + a 1,...,1 + a n 1 }. (1.19) Diese Abschätzung kann man weiter verbessern, denn Eigenwerte sind invariant unter Ähnlichkeits Transformationen: DAD 1. Wähle dazu speziell a 1... D := an 1, 1

31 Abschnitt 1.2: Skalare Nichtlineare Gleichungen 23 also DAD 1 = a 1 /a an 2 /a n a n 1 a /a a n 2 /a n 1 a n 1. (1.2) Mit 1 (Spaltensummennorm) erhält man also { } λ a max,2 a 1,...,2 a n 2,2 a n 1 a 1 a 2 a n 1 (1.21) und mit (Zeilensummennorm) λ a + a a n 2 + a n 1. (1.22) a 1 a 2 a n Berechnung weiterer Nullstellen und Mackey Trick Mit dem obigen Verfahren kann man die betragsgrößte Nullstelle berechnen. Was macht man, wenn man z.b. alle Nullstellen benötigt? Sei t 1 die betragsgrößte Nullstelle von P, dann gilt P(x) = (x t 1 )P 1 (x) mit P 1 P n 1, da P entsprechend faktorisiert werden kann. Man könnte nun P 1 berechnen, die betragsgrößte Nullstelle von P 1 bestimmen und dieses Vorgehen iterieren. Dies führt allerdings auf erhebliche Probleme: Rundungsfehler verstärken sich durch die Faktorisierung enorm. Man kann dann die Approximationen (t 1,...,t n ) als Starwerte für eine neue Iteration ( Nachiteration ) verwenden, der Aufwand ist aber groß. Man muss die Abspaltung explizit berechnen (die Polynomdivision führt zu einem hohen Aufwand). Es gibt aber einen einfachen, aber sehr wirksamen Ausweg, den Mackey Trick: Seien t 1,...,t r die r betragsgrößten Nullstellen von P, dann gilt: 1 r P r (x) = P(x) (x t j ) für x t j. Für das Newton-Verfahren brauchen wir P r (x). Hierfür gilt mit der Kettenregel: j=1 r P r (x) = P (x) (x t j ) = j=1 1 + P(x) r j=1 1 r (x t j ) P (x) P(x) j=1 Also gilt für x t j für den benötigten Quotienten: P r (x) P r (x) = ( 1) (x t j ) 2 j=1 r (x t i ) 1 i=1 i j r 1 x t j, x t j. P(x) P (x) P(x) r, (1.23) (x t j ) 1 j=1

32 24 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen d.h., die Newton Korrektur x (k+1) = x (k) P r(x (k) ) P r (x(k) ) kann leicht berechnet werden, ohne P r oder P r explizit zu berechnen! Allerdings: Das Auslöschungs Problem hat man immer noch. Ein Ausweg sind sogenannte Sturm sche Ketten (Übung). 1.3 NICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme F(x) =, wobei Ω R n und F : Ω R n eine stetige Funktion ist Fixpunkt Iteration Analog zum eindimensionalen Fall wandeln wir das Nullstellen-Problem F(x) = in ein Fixpunkt-Problem mit Fixpunkt-Funktion um. Φ(x) := x F(x) Folgerung Sei Ω R n abgeschlossen und konvex, Φ : Ω R n stetig differenzierbar mit Φ : Ω Ω. Falls für eine beliebige Vektornorm auf R n und die zugehörige Matrixnorm max J Φ(x) = L < 1 (1.24) x Ω gilt (J Φ ist die Jacobi Matrix von Φ), dann gelten die Aussagen von Satz Bemerkung (Erzielen einer gewünschte Genauigkeit via a priori Fehlerabschätzung) Der Banach sche Fixpunktsatz sagt auch aus, wie viele Iterationen man machen muss, um eine gewünschte Genauigkeit zu erzielen. Ziel: x (k) x ε mit einer Toleranz ε >. Wegen der a priori Fehlerabschätzung (c) ist dies erfüllt, falls L k 1 L x(1) x () ε, also wegen L < 1 und damit k log ( L k x(1) x (), ε(1 L) ) / x (1) x () log(l 1 ). (1.25) ε(1 L)

33 Abschnitt 1.3: Nichtlineare Gleichungssysteme 25 Beispiel Betrachte das System 6x = cos x + 2y, 8y = xy 2 + siny (1.26) auf Ω = [,1] [,1]. Gesucht sind also x,y [,1] mit (1.26). Definiere also die Fixpunkt- Funktion Φ : R 2 R 2 durch ( 1 Φ(x,y) := 6 cos x y ) 1 8 xy sin y. Für diese Funktion untersuchen wir die Voraussetzungen des Banach schen Fixpunktsatzes. Selbstabbildung: Wegen cos x 1, sin x 1 x,y [,1] (1 < π 2 ) gilt also 1 6 cos x y = 1 2 < xy siny = 1 4 < 1 Also gilt Φ : Ω Ω, Φ ist also eine Selbstabbildung. Kontraktion: Wähle (die induzierte Matrixnorm ist die Zeilensummennorm). Wegen ( 1 J Φ (x,y) = 6 sin x ) y2 1 4 xy cos y gilt { 1 J Φ = max 6 sin x + 1, 1 } {{ 3} 8 y xy + 1 } 8 cos y 1 =: L. } {{ } Somit erfüllt die Fixpunkt-Funktion die Vorraussetzungen des Banach schen Fixpunktsatzes und wir können diesen anwenden. Wähle z.b. (x,y ) = (,). Angenommen, wir wollten die Lösung bis auf einen Fehler von ε =.1 bestimmen: (x 1,y 1 ) = Φ(x,y ) = ( 1 6,) ( ) 1 (x 2,y 2 ) = Φ(x 1,y 1 ) = Φ = ( 1 6 cos ( 1 6 6, ).=,) (.164,). Mit der Abschätzung (1.25) gilt mit ε =.1, L = 1 2 und (x 1,y 1 ) (x,y ) = 1 6 ( 1 ) 6 log 1 log 3. n log /log(2) = = 1,74, log 2 2 } {{ } = 2 6 =1 3 also reichen obige zwei Schritte aus, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen Newton Verfahren für Systeme Wir wollen nun analog zum eindimensionalen Fall das Nullstellen-Problem für Funktionen F(x) = F : R n R n,n > 1, F C 2 (R n ) (1.27)

34 26 Kapitel 1: Nichtlineare Gleichungen mit dem Newton Verfahren lösen. Man beachte, dass die erste Ableitung der vektorwertigen Abbildung F hier eine Matrix ist. Die Jacobi Matrix oder Funktionalmatrix ist gegeben durch J F (x) := ( ) n Fi (x) = x j i,j=1 Also macht ein Ausdruck der Form keinen Sinn! F 1 x 1 (x).... F n x 1 (x)... F(x) J F (x) F 1 x n (x). F n x n (x) R n n. Herleitung des Algorithmus: Die Iterierte x (k) sei bereits berechnet. Die Idee ist es, F(x) durch Taylor-Entwicklung am Entwicklungspunkt x (k) linear zu approximieren. Mit dem Satz von Taylor gilt F(x) = F(x (k) ) + J F (x (k) )(x x (k) ) + O( x x (k) 2 2 ). Wie in Abschnitt bestimmt man in der k-ten Iteration also anstelle der Nullstelle von F die Nullstelle x (k+1) des Taylorpolynoms ersten Grades T(x) = F(x (k) ) + J F (x (k) )(x x (k) ). Falls die Matrix J F in x (k) regulär (invertierbar) ist, folgt T(x (k+1) ) = x (k+1) = x (k) (J F (x (k) )) 1 F(x (k) ). Formal müssten wir also die inverse Matrix (J F (x k )) 1 berechnen, was natürlich numerisch völlig unbrauchbar ist. Man kann dies aber leicht umgehen. Wir müssen in der k-ten Iteration ein lineares (n n)-gleichungssystem der Form J F (x (k) )x (k+1) = J F (x (k) )x (k) F(x (k) ) mit Koeffizientenmatrix J F (x (k) ) lösen. Da dies aufwendiger ist als eine einfache Fixpunkt- Iteration, reduziert man den Aufwand um eine Matrix-Vektor-Multiplikation durch eine Newton- Korrektur-Iteration Somit erhalten wir den Algorithmus: J F (x (k) )s (k) = F(x (k) ), x (k+1) = x (k) + s (k). Algorithmus (Newton Iteration) Sei x () R n ein geeigneter Starwert. Für k =,1,2,...: 1) Bestimme einen Newton-Schritt s (k) R n durch 2) Newton Korrektur: x (k+1) = x (k) + s (k) J F (x (k) )s (k) = F(x (k) ) (1.28) Bemerkung In 1.) hat man also ein lineares Gleichungssystem zu lösen! Wir haben somit die numerische Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems auf die numerische Lösung einer Folge von linearen Gleichungssystemen übertragen. Je nach Größe von n macht man dies iterativ oder mittels LR/QR-Zerlegung (vgl. Numerik 1).

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen

Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Kapitel 2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 21 Aufgabenstellung und Motivation Ist f eine in einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] stetige und reellwertige Funktion, so heißt

Mehr

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden

Mehr

Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Nullstellenberechnung von nichtlinearen Funktionen

Nullstellenberechnung von nichtlinearen Funktionen Kapitel 3 Nullstellenberechnung von nichtlinearen Funktionen In dieser Vorlesung wird nur die Nullstellenberechnung reeller Funktionen einer reellen Variablen f : R R betrachtet. Man nennt die Nullstellen

Mehr

Nichtlineare Gleichungen

Nichtlineare Gleichungen Nichtlineare Gleichungen Ein wichtiges Problem in der Praxis ist die Bestimmung einer Lösung ξ der Gleichung f(x) =, () d.h. das Aufsuchen einer Nullstelle ξ einer (nicht notwendig linearen) Funktion f.

Mehr

6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme

6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme 6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme 6.1 Nullstellen reeller Funktionen Bemerkung 6.1 (Problemstellung) geg.: f C[a, b] ges.: x [a, b] mit f(x ) = 0 Lösungstheorie f linear

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung Armin Farmani Anosheh (afarmani@mail.uni-mannheim.de) 3.Mai 2016 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Einleitung In diesem Vortrag geht es

Mehr

3 Nichtlineare Gleichungssysteme

3 Nichtlineare Gleichungssysteme 3 Nichtlineare Gleichungsssteme 3.1 Eine Gleichung in einer Unbekannten Problemstellung: Gegeben sei die stetige Funktion f(). Gesucht ist die Lösung der Gleichung f() = 0. f() f() a) f ( ) 0 b) f ( )

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

18.4 Das Newton-Verfahren

18.4 Das Newton-Verfahren 18.4 Das Newton-Verfahren Ziel: Wir suchen die Nullstellen einer Funktion f : D R n, D R n : f(x) = 0 Wir kennen bereits die Fixpunktiteration x k+1 := Φ(x k ) mit Startwert x 0 und Iterationsvorschrift

Mehr

Kapitel 5. Lösung nichtlinearer Gleichungen

Kapitel 5. Lösung nichtlinearer Gleichungen Kapitel 5. Lösung nichtlinearer Gleichungen 5.1 Nullstellen reeller Funktionen, Newton-Verfahren 5.2 Das Konvergenzverhalten iterativer Verfahren 5.3 Methode der sukzessiven Approximation 5.4 Das Newton-Verfahren

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion

Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion Für eine Näherungsberechnung von Nullstellen einer reellen Funktion f(x) : R R benutzt man das Newton-Verfahren: x (n+1) = x (n) f(x (n) )/f (x (n) ). Das Newton-Verfahren

Mehr

Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme

Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme I Nichtlineare Gleichungssysteme I. Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlichen I.2 I.3 Newton-Verfahren Kapitel I (UebersichtKapI) 3 Bisektionsverfahren

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

Kap. 6: Iterative Lösung von Gleichungssystemen

Kap. 6: Iterative Lösung von Gleichungssystemen Kap. 6: Iterative Lösung von Gleichungssystemen 6.1 Einleitung In vielen Anwendungen sind Gleichungssysteme zu lösen, in denen die Unbekannten nichtlinear auftreten. Beispiel: Der Betrag der Gravitationskraft

Mehr

Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie. - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz

Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie. - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz WS 2009/10 Universität Freiburg Dieses Vorlesungsskript ist auf der Basis von Vorlesungen

Mehr

5 Interpolation und Approximation

5 Interpolation und Approximation 5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

2. Geben Sie für das Jacobi-Verfahren eine scharfe a-priori Abschätzung für den Fehler. x (10) x p

2. Geben Sie für das Jacobi-Verfahren eine scharfe a-priori Abschätzung für den Fehler. x (10) x p Wiederholungsaufgaben Algorithmische Mathematik Sommersemester Prof. Dr. Beuchler Markus Burkow Übungsaufgaben Aufgabe. (Jacobi-Verfahren) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax b = für A =, b = 3.

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

GMA. Grundlagen Mathematik und Analysis. Nullstellen und Fixpunkte Reelle Funktionen 3. Christian Cenker Gabriele Uchida

GMA. Grundlagen Mathematik und Analysis. Nullstellen und Fixpunkte Reelle Funktionen 3. Christian Cenker Gabriele Uchida GMA Grundlagen Mathematik und Analysis Reelle Funktionen 3 Christian Cenker Gabriele Uchida Data Analytics and Computing Nullstellen cos log : 0, 0,? 1 Fixpunkte Beispiel 1 Beispiel 2 1 0 0 und 1 1sin,?

Mehr

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2.

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) = (0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,...) gilt Rekursion erzeugende Funktion f n2 = f n f n (n 0), f 0 = 0, f = f(z) = f n z n = z z z 2 Partialbruchzerlegung mit φ

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen f(x 0 ) x 0 Graph einer stetigen Funktion. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 127 Häufungspunkt und Abschluss.

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Kapitel 16 : Differentialrechnung

Kapitel 16 : Differentialrechnung Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme Nichtlineare Gleichungen oder Gleichungssysteme müssen in vielen Anwendungen der Mathematik gelöst werden. Typischerweise werden die Lösungen nichtlinearer Gleichungen

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt

Mehr

1 Konvexe Funktionen. 1.1 Definition. 1.2 Bedingung 1.Ordnung. Konvexität und Operationen, die die Konvexität bewahren Seite 1

1 Konvexe Funktionen. 1.1 Definition. 1.2 Bedingung 1.Ordnung. Konvexität und Operationen, die die Konvexität bewahren Seite 1 Konvexität und Operationen, die die Konvexität bewahren Seite 1 1 Konvexe Funktionen 1.1 Definition Eine Funktion f heißt konvex, wenn domf eine konvexe Menge ist und x,y domf und 0 θ 1: f(θx + (1 θ)y)

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

Übungen zur Numerischen Mathematik 2 Sommersemester 2014. Übungsblatt 13

Übungen zur Numerischen Mathematik 2 Sommersemester 2014. Übungsblatt 13 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Prof. Dr. Dres. h.c. Hans Georg Bock Dr. Christian Kirches Dipl.-Phys. Simon Lenz Übungen zur Numerischen Mathematik 2 Sommersemester

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungssysteme Problem: Für vorgegebene Abbildung f : D R n R n finde R n mit oder ausführlicher f() = 0 (21) f 1 ( 1,, n ) = 0, f n ( 1,, n ) = 0 Einerseits führt die mathematische

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

Lösung der Prüfung Sommer 2009

Lösung der Prüfung Sommer 2009 Prof. D. Salamon Analysis I/II D-MATH, D-PHYS, D-CHAB ETH Zürich. Juni 9 Lösung der Prüfung Sommer 9. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: (a) (b) Hinweis: Regel von de l Hospital. ( ( )) lim n n cos n lim

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall 4. Lösung einer Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Homogene Differentialgleichungen y'' + a y' + b y = 0 (**) Ansatz: y = e µx, also y' = µ e µx und y'' = µ e µx eingesetzt

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Algorithmen und deren Programmierung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Definition Algorithmus Ein Algorithmus ist eine präzise formulierte Handlungsanweisung zur Lösung einer gleichartigen

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04

Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04 Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04 Linearisierung 1 K. Taubert LINEARISIERUNG und das VERHALTEN

Mehr

Numerisches Lösen von Gleichungen

Numerisches Lösen von Gleichungen Numerisches Gesucht ist eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Das sverfahren ist eine numerische Methode zur Bestimmung einer Nullstelle. Es basiert auf dem Zwischenwertsatz: Satz (1.1.1) Zwischenwertsatz:

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universität München WS /3 Institut für Informatik Prof Dr Hans-Joachim Bungartz Dipl-Inf Christoph Riesinger Dipl-Inf Dipl-Math Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren Programmieraufgabe: Polnominterpolation,

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte

Mehr

Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem

Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem Inauguraldissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Mathematisch Naturwissenschaftlichen

Mehr

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN

TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner

Mehr

Lösungen zu Mathematik I/II

Lösungen zu Mathematik I/II Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Iterative Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen

Iterative Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen Kapitel 5 Iterative Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssstemen 5.1 Iterationsverfahren zur Lösung einer reellen nichtlinearen Gleichung Es sei g() eine im Intervall I definierte reellwertige

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01 Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die

Mehr

Numerisches Programmieren, Übungen

Numerisches Programmieren, Übungen Technische Universität München SS 2012 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Alexander Breuer Dipl.-Math. Dipl.-Inf. Jürgen Bräckle Dr.-Ing. Markus

Mehr

Kapitel 5 KONVERGENZ

Kapitel 5 KONVERGENZ Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz

Mehr

Numerische Ableitung

Numerische Ableitung Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:

Mehr

GFS im Fach Mathematik. Florian Rieger Kl.12

GFS im Fach Mathematik. Florian Rieger Kl.12 file:///d /Refs/_To%20Do/12_09_04/NewtonVerfahren(1).html 27.02.2003 GFS im Fach Mathematik Florian Rieger Kl.12 1. Problemstellung NewtonApproximation Schon bei Polynomen dritter Ordnung versagen alle

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

SS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert.

SS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 Probeklausur Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. Fragen Sei (X, d) ein metrischer Raum. Beantworten Sie die nachfolgenden

Mehr