Angewandte Halbleiterphysik

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1 Agewadte Halbleiterhysik orlesug für das Witersemester 006/007 Marti Kam Techische Physik, Uiversität Würzburg

2 1. Halbleiter Materialie 1.1 lemete ud erbiduge Periodesystem mit relevate lemete lemethalbleiter: Si, Ge, C (iamat) Biäre erbidugshalbleiter: I/I III/ II/I I/I SiC GaAs CdS PbS SiGe AlAs CsSe PbTe IP CsTe GaP ZS GaSb ZSe IAs Zte GaN IN III/ erbidugshalbleiter Biäre erbiduge: GaAs, IP, GaSb,... Teräre erbiduge: I x Ga 1-x As, Al x Ga 1-x As,... Quateräre erbiduge: I x Ga 1-x As y P 1-y, (*III, *), I x Al y Ga 1-x-y As (3*III, 1*) Quateräre erbiduge erlaube istelle vo Gitterkostate ud Badlücke ( Freiheitsgrade) - 1-

3 Welches Halbleitermaterial für welche Awedug? Si: itegrierte Schaltkreise (CPU, RAM), erstärker, Gleichrichter,.. GaP, AlP: sichtbare Ls GaAs: IR- Laser, Hochfrequeztrasistore (Hady) IP: Höchstfrequeztechik, otoelektroische Bauelemete für die Nachrichtetechik GaN, SiC: Hochtemeraturud Hochleistugselektroik Sichtbares Licht 0.8 µm Si 1.3 µm 1.5 µm Badlücke ud Gitterkostate vo techologisch relevate Halbleiter. Licht mit Welleläge vo 1.3 ud 1.5 µm wird für Glasfaserkommuikatio verwedet. - -

4 1. Kristallstrukture, reziroker Raum, erste Brillouizoe ifaches kubisches Gitter Simle cubic (sc) i Atom ro lemetarzelle Azahl der ächste Nachbar: 6 Kubisch raumzetriertes Gitter Body cetered cubic (bcc) Zwei Atome ro lemetarzelle Azahl der ächste Nachbar: 8 Kubisch flächezetriertes Gitter Face cetered cubic (fcc) ier Atome ro lemetarzelle Azahl der ächste Nachbar: 1-3-

5 iamat-struktur (C, Si, Ge) Besteht aus zwei fcc-utergitter, die um (a/4, a/4, a/4) gegeeiader verschobe sid. Jedes Atom hat vier tetraederförmig ageordete Biduge zu seiem ächste Nachbar. Zikblede Struktur (GaAs, GaP, IP, ) Besteht aus zwei fcc-utergitter aus uterschiedliche Atomsorte (z.b. Ga ud As), die um (a/4, a/4, a/4) gegeeiader verschobe sid. Jedes Atom hat vier tetraederförmig ageordete Biduge zu seiem ächste Nachbar. - 4-

6 - - 5 Wurzit Struktur (CdSe, ZSe) Reziroker Raum Jeder Pukt im Ortsraum ka als Liearkombiatio der drei Basisvektore des Kristallgitters dargestellt werde: 3 1 a z ya xa r r r r r + + ie Basisvektore des reziroke Raums bestimme sich durch: ) ( a a a a a b r r r r r r π ) ( a a a a a b r r r r r r π ) ( a a a a a b r r r r r r π s gilt die Beziehug: ij i b j a πδ r r

7 Kostruktio der erste Brillouizoe Kristallgitter mit rechteckiger lemetarzelle Gitter im reziroke Raum ie erste Brilloui Zoe kostruiert ma als Wiger-Seitz Zelle im reziroke Raum. Als Wiger-Seitz Zelle bezeichet ma die durch die Mittelsekrechte auf de erbidugsliie zu de ächste Nachbar eigeschlossee Fläche. - 6-

8 Symmetrieukte i der erste Brilloui Zoe Kostruktio bei dreidimesioale Gitter aalog zum zweidimesioale Gitter ifach kubisches Gitter Simle cubic (sc) Kubisch raumzetriertes Gitter Body cetered cubic (bcc) Kubisch flächezetriertes Gitter Face cetered cubic (fcc) - 7-

9 1.3 Millersche Idizes orschrift zur rmittlug der Millerscher Idizes: 1) Fide die Schittukte der bee mit de drei kartesische Koordiateachse i ielfache der Gitterkostate. ) Nimm die reziroke Werte dieser Zahle ud reduziere sie auf die kleiste drei Zahle, wobei die Zahleverhältisse gleich bleibe. 3) Schließe das Resultat i Klammer (hkl) als die Miller-Idizes für eie eizele bee. Kovetioe (hkl) Millersche Idizes für eie eizele bee {hkl} bee mit äquivaleter Symmetrie z.b. (100), (010) oder (00-1) [hkl] Kristallrichtug, [100]-Richtug ist sekrecht auf (100)-bee <hkl> Richtuge mit äquivaleter Symmetrie - 8-

10 . Badstrukture.1. tstehug vo Badstrukture ie tstehug vo Badstrukture ka ma auf verschiedee Arte erkläre. ie beide gägigste Modelle sid: 1. Überlagerug vo Atomorbitale ie Orbitale der Atome i eiem Festkörer überlager sich. urch die Wechselwirkug mit de beachbarte Atome werde aus de scharfe ergieiveaus der isolierte Atome ergiebäder.. lektro i eriodischem Potetial (Wellebild) Hier betrachtet ma ei lektro als eie Welle, die sich i eiem eriodische Potetial ausbreitet. urch das Potetial ädert sich die isersio des lektros, es kommt zu Bildug vo ergiebäder ud Badlücke. Nebe der eraschaulichug vo Badstrukture köe beide Modelle auch zur Berechug vo ergiebäder verwedet werde. Bei Rechuge ach dem erste Modell (Überlagerug vo Atomorbitale) sricht ma vo tight bidig erfahre, Rechuge im Wellebild werde als lae wave exasio (twicklug ach ebee Welle) bezeichet. Überlagerug vo Atomorbitale Orbitale zweier Na-Atome im Abstad vo 3.7 Å. ie 3s Orbitale besitzte de grösste Überla. ie Überlagerug der Atomorbitale führt zur Bildug vo bidede ud ati-bidede Orbitale

11 Biduge im Si Kristall. Jedes Si-Atom besitzt vier Biduge i Tetraederkofiguratio zu de ächste Nachbar. ergiezustäde als Fuktio des Atomabstads. Bei Aäherug der Atome salte die scharfe atomare ergieiveaus i Bäder auf. Im Gleichgewichtsabstad (Gitterkostate vo 5.43 A) sid die Zustäde i komlett mit lektroe besetztes alezbad ud ei leeres Leitugsbad aufgesalte

12 .. Materie uter hohe rücke Bei extrem hohe rücke werde alle lemete zum Halbleiter bzw. metallisch, da sich der Abstad der Atomkere verkleiert ud damit der Überla der Wellefuktioe immer grösser wird. rücke vo über eiem Mbar ka ma relativ eifach mit iamat- Stemelzelle erreiche. Schmatischer Aufbau ud Bild eier iamat-stemelzelle Bei eier Querschittsflächer vo.5*10-5 cm erreicht ma bei eier Kraft vo 50 N (5 kg) eie ruck vo 1 Mbar. Widerstad eier Xeorobe bei T3 K. Bei eiem ruck vo 33 Ga (0.33 Mbar) fällt der Widerstad ud mehrere Grösseorduge, die Probe wird metallisch

13 Widerstad vo Sauerstoff als Fuktio vo ruck ud Temeratur Bei kleie rücke vo 55 GPa ist Sauerstoff ei Halbleiter, der Widerstad sikt mit steigeder Temeratur. ies ist auf die thermische Aregug vo Ladugsträger über die Badlücke zurückzuführe. Bei höherem ruck wird die Badlücke immer kleier, der erlauf des Widerstades mit der Temeratur immer flacher. Bei eiem ruck vo 115 GPa wird Sauerstoff zum Metall, der Widerstad sikt bei kleiere Temerature

14 .3 Badstrukture vo techologisch relevate Halbleiter Badstrukture für Ge, Si ud GaAs Idirekte Halbleiter (Ge, Si): Leitugsbadmiimum liegt icht beim gleiche k-ektor wie alezbadmaximum irekte Halbleiter (GaAs, IP): Leitugsbadmiimum liegt beim gleiche k-ektor wie alezbadmaximum ffiziete Lichtemissio (L, Halbleiterlaser) ur mit direkte Halbleiter möglich, da beim idirekte Halbleiter zusätzlich Phoo zur Imulserhaltug erforderlich ist. Bauteile mit Lichtabsortio (Photodiode, Solarzelle) köe mit idirekte Halbleiter realisiert werde

15 I der Nähe der Badmiima ud maxima ka ma die isersio durch eie arabolische Zusammehag zwische ergie ud Imuls aäher. ( k) h k m eff Für eie ideale Kristall ka ma die gesamte Wechselwirkug der Ladugsträger mit dem Kristallgitter durch eie effektive Masse m eff ausdrücke. Je leichter die Ladugsträger, desto stärker ist das Bad gekrümmt. ereifachte Badstruktur eies direkte Halbleiters mit alezbad, leichtem (lh), schwerem (hh) ud abgesalteem (SO) alezbad. ie Bäder estehe durch die Wechselwirkug der äussere s ud Atomorbitale. Aus de vier Orbitale s, x, y ud z etstehe durch Liearkombiatio das Leitugsbad ud die drei alezbäder. Für verschwidede Si-Bah Kolug wäre die drei Lochbäder für k0 etartet, die Si-Bah Kolug führt zur Absaltug eies alezbades

16 .4 Aisotroie der effektive Masse ie effektive Masse hat im allgemeie Fall Tesorcharacter: m ij h k ki k ( ) j 1 Fläche kostater ergie im k-raum i der Nähe des Leitugsbadmiimums für Ge, Si ud GaAs. a der Tesor der effektive Masse symmetrisch ist ( k) ( k), sid die ki k j k Fläche kostater ergie Kugel oder llisoide. urch eie Hautachsetrasformatio ka der Tesor der effektive Masse auf iagoalform gebracht werde. Je grösser die Halbachse des llisoids i eier bestimmte Richtug, desto kleier ist die effektive Masse. GaAs: isotroe Masse Ge, Si: aisotroe Masse, trasversale Masse m t ud logitudiale Masse m l sid verschiede k j i Ge Si GaAs lektroe m t 1,64 0,98 m l 0,08 0,19 0,067 Löcher m hh 0,8 0,49 0,45 m lh 0,044 0,16 0,

17 .5 Temeraturabhägigkeit der Badlücke Gitterkostate ädert sich mit der Temeratur > Äderug der Badlücke Badlücke vo Ge, Si ud GaAs als Fuktio der Temeratur T Ge Si GaAs 0 K 0,743 e 1,17 e 1,519 e 300 K 0,66 e 1,1 e 1,4 e

18 3. Ladugsträgerstatistik, Besetzugsdichte 3.1. Fermi irac erteilug lektroe ud Löcher sid Fermioe (Si ½) > Pauli Prizi: Nur ei Teilche ro Zustad, Fermi-irac erteilugsfuktio 1 f ( ) 1+ ex kt F Liegt die Fermieergie F ierhalb eies Bades (bei Metalle), so sid bei T0K alle Zustäde bis F bestzt ud alle eergetisch höherliegee Zustäde leer. ie Fermiverteilug weicht ur ierhalb eier Breite vo kt um F eeswert vo 0 bzw. 1 ab. aher sid ur lektroe i der Nähe der Fermieergie sid für die Physik vo Metalle relevat (Wärmekaazität, Stromtrasort, Suraleitug, ). Bei Halbleiter liegt F ormalerweise i der Badlücke. I diesem Fall ka ma für - F > 3kT folgede Näherug mache: F f ( ) ex Boltzmastatistik kt Warum? Zustäde sid ur mit geriger Wahrscheilichkeit bestzt, daher ist Pauli-Prizi icht mehr relevat. Aaloge Näherug für Bose-istei erteilug erdüte Systeme verliere ihre Quatecharakter 3. Zustadsdichte Wir betrachte eie otetialfreie, würfelförmige Kaste mit Kateläge L ud olume L 3, der mit Ladugsträge gefüllt ist. ie Wellefuktioe der Teilche müsse eriodische Radbediguge erfülle, d.h. Ψ (x+l, y, z) Ψ (x, y, z) ud aalog für die adere Koordiate. Lösuge der Schrödigergleichug sid daher: Ψ ( x, y, z) Ce mit k x πm/l, m 1,, 3, ud aalog für k y ud k z ie Zustäde im k-raum liege daher äquidistat, jeder Zustad beasrucht ei olume vo k (π/l) ik x x e ik y y e ik z z

19 erteilug der Zustäde im reziroke Raum (k-rraum) a die Lösuge der Schrödigergleichug ebee Welle sid, gilt für die isersio die quadratische Beziehug: r ( k ) h k m Zur Berechug vieler igeschafte des Halbleiters (Stromdichte, Wärmekaazität,..) muss ma über alle vorhadee Zustäde itegriere. Ma möchte aber kei mehrdimesioales Itegral im k-raum löse, soder ur über die ergie itegriere. Wir müsse daher die kostate Zustadsdichte im k-raum ((k) (L/π) 3 ) i eie vo der ergie abhägige Zustadsdichte () umreche. azu betrachte wir eie Kugel im k-raum mit Radius k max. Jeder Zustad ka doelt besetzt sei (Si u ud Si dow), die Azahl der Zustäde i der Kugel ist daher: N k < k a die Zustäde im k-raum sehr dicht liege, ka die Summe durch ei Itegral ersetzt werde: 1 N k k < k r max max d Mit de folgede Beziehuge ka ma substituiere: dk 3 m 4πk dk, k h ud 3 k 1 1/ dk m / h

20 ud erhält < < max max ) ( d d m m L N h h π π Für die Zustadsdiche ergibt sich daher: m 3/ 1 ) ( h π xistiere erst ab eier bestimmte ergie Zustäde (z.b. ab C im Leitugsbad), so gilt für die Zustadsdichte: C m 3/ 1 ) ( h π 3.3. Ladugsträgerdichte Nu köe wir die Ladugsträgerdiche im Halbleiter bereche: Für lektroe gilt: C d f ) ( ) ( isetze vo () ud f() liefert: + C F c e d kt m ex / h π Ma bekommt als Lösug: kt F N C F C 1/ π mit 3/ h m kt N e C π ud dem Fermi-irac Itegral + 0 1/ 1/ ) ex( 1 ) ( x t dt t x F

21 Fermi-irac Itegral aus Fuktio vo η F Für x < -3 ka ma folgede Näherug des Itegrals verwede: Für die lektroedichte ergibt sich damit: ( π F1 / x) ex( x) ud aalog für Löcher: NC ex C kt F, mit N ex N F kt πmhkt h 3 / Problem: F ist och ubekat

22 3.4 igeleitug Neutralitätsbedigug: i (Itrisische Ladugsträgerdichte) araus ergibt sich: i iese Beziehug wird als Massewirkugsgesetz bezeichet ud gilt auch für dotierte Halbleiter. araus folgt für das Quadrat der itrisische Ladugsträgerdichte: i NCN ex kt Ga ud damit für die ichte der Ladugsträger: Ga i NC N ex kt Aus der Neutralitätsbedigug ka durch Rückeisetze F bestimmt werde: F F C C N kt l N 3 4 C m h kt l me a die effektive Masse der Löcher grösser sid als die der lektroe liegt die Fermieergie beim itrisische Halbleiter immer leicht oberhalb der Mitte der Badlücke. a die Zustadsdichte der Löcher grösser als die der lektroe ist, wäre bei die Lage der Fermieergie geau i der Mitte der Badlücke die ichte der Löcher grösser als die der lektroe. as leichte errutsche der Fermieergie über die Mitte der Badlücke ach obe gleicht die höhere Zustadsdichte der Löcher aus, so dass im itrisische Halbleiter die gleiche ichte vo lektroe ud Löcher vorhade ist

23 3.5. otierte Halbleiter ergetische Lage vo Fremdatome im Si Kristall ie Zahle gebe de Abstad zur ächste Badkate i me a. Für die otierug vo Bauelemete werde Bor, Phoshor ud Arse verwedet. Gold bildet i Si eie tiefe Störstelle, d.h. das Goldatom fägt Ladugsträger ei ud verschlechtert dadurch drastisch die igeschafte vo Bauelemete. Zudem besitzt Gold i Si eie grosse iffusioskostate, d.h. we ma irgedwo Gold im Si Prozess hat, ist es bald überall. ergetische Lage vo Fremdatome im GaAs Kristall Techologisch relevate Materialie zur otierug sid Beryllium, Kohlestoff, Zik ud Silizium. Wird Si auf eiem Ga Gitterlatz eigebaut, so wirkt es als oator, auf eiem As Platz als Akzetor. Normalerweise wird Si als oator eigebaut. - -

24 3.6. Ladugsträgerdichte im dotierte Halbleiter Itrisicher Halbleiter lektroe- ud Löcherkozetratio sid gleich, die Fermieergie liegt i der Nähe der Mitte der Badlücke. dotierter Halbleiter Uterhalb des Leitugsbades befide sich die oatorzustäde bei der ergie. Ist c - d vo der Grösseordug kt, so sid die oatore ioisiert ud die Kozetratio der lektroe im Leitugsbad esricht der Kozetratio der oatore. ie Fermieergie verschiebt sich i Richtug Leitugsbadkate. a das Produkt aus lektro- ud Löcherdichte kostat ist (Massewirkugsgesetz), geht die Löcherdicht stark zurück. ie lektroe sid i diesem Fall Majoritätladugsträger, die Löcher Mioritätladugsträger

25 dotierter Halbleiter Uterhalb des Leitugsbades befide sich Akzetorzustäde bei der ergie A. ie Fermieergie verschiebt sich i diesem Fall i Richtug alezbadkate. Löcher sid u Majoritätladugsträger, lektroe Mioritätladugsträger. Berechug der Ladugsträgerdichte s gilt weiterhi das Massewirkugsgesetz i ie otierug eies Halbleiters ist aalog zur Mischug vo Wasser mit Säure oder Lauge, auch hier köe die Kozetratioe der verschiedee Substaze durch ei Massewirkugsgesetz beschriebe werde. I reiem Wasser ist die Kozetratio vo OH - ud H 3 O + Ioe gleich gross (10-7 mol/l). Fügt ma u Säure oder Base hizu (estricht der otierug beim Halbleiter), so erhöht ma die Kozetratio vo OH - (Base) oder H 3 O + (Säure). as Produkt aus de Kozetratioe vo OH - ud H 3 O + Ioe bleibt jedoch kostat (10-14 mol /l ). es weitere gilt Ladugseutralität: N - A + N + + ie Kozetratio der ioiserte Akzetore ud lektroe muss geau so gross sei wie die Kozetratio vo ioisierte oatore ud Löcher. Betrachte wir zuächst eie -dotierte Halbleiter, i diesem Fall gilt für die Ladugseutralität: N + + Für ud köe wir die obe gewoee Ausdrücke eisetze, für N + gilt: N + N 1+ ex F kt ist die eergetische Lage des oatoriveaus

26 ie Lage der Fermieergie ka jetzt grahisch als Schittukt der Kurve vo N + + ud bestimmt werde: Kozetratio vo ioisierte oatore, lektroe ud Löcher als Fuktio der Lage der Fermieergie Für die Ladugsträgerdiche ergibt sich folgeder Temeraturverlauf: - 5 -

27 Für tiefe Temerature (freeze-out regio) ist ur ei Teil der oatore ioisiert. Für T->0 geht auch die Ladugsträgerdiche gege 0. Für mittlere Temerature (extrisic regio) sid alle oatore ioisert ud die Ladugsträgerdiche ist über eie weite Temeraturbereich kostat. I diesem Bereich möchte ma ormalerweise seie Bauelemete betreibe. Für hohe Temerature werde mehr ud mehr Ladugsträger durch thermische Aregug über die Badlücke erzeugt. Ist dere Azahl grösser als die der durch otierug erzeugte Ladugsträger, so ist ma im itrisische Bereich. 3.7 Temeraturabhägigkeit der Fermieergie im dotierte Halbleiter Lage der Fermieergie i Si als Fuktio der Temeratur für verschiedee otierkozetratioe. Lage der Fermieergie i GaAs als Fuktio der Temeratur für verschiedee otierkozetratioe. Je schwächer der Halbleiter dotiert ist, desto scheller überwiegt die igeleitug ud die Fermieergie verschiebt sich i Richtug Mitte der Badlücke. I beide - 6 -

28 Abbilduge ist auch die temeraturabhägigkeit der Badlücke berücksichtigt. Bei steigeder Temeratur wird die Badlücke kleier, daher bewege sich Leitugs- ud alebad aufeiader zu tartete Halbleiter oator ud Akzetoriveaus als Fuktio der otierkozetratio Für kleie otierkozetratioee (<10 16 cm -3 ) köe die oator- ud Akzetoratome uabhägig betrachtet werde. Bei steigeder Kozetratio führt die Wechselwirkug zwische de oator- oder Akzetoratome zur Ausbildug vo eigee Bäder (oator- bzw. Akzetorbad). Je grösser die Kozetratio, desto breiter werde diese Bäder. Überlae die oatorbzw. Akzetorbäder mit dem Leitugs- bzw. alezbad, so sricht ma vo eiem etartete Halbleiter. ie Fermieergie liegt i diesem Fall i eiem der Bäder. er Halbleiter bleibt daher selbst bei T0K leitfähig, wird also i gewisser Hisicht zum Metall. tartete Halbleiter werde vor allem als Kotaktschichte i Metall/Halbleiterübergäge verwedet

29 4. Ladugsträgertrasort - Traort durch elektrische ud magetische Felder > riftstrom - Traort duch iffusio > iffusiosstrom 4.1. Naives Modell rude Modell - lektroe werde duch elektrisches Feld beschleuigt - Stoss mit Gitteratom -> ergieverlust, Umlekug ieses eifache Modell ist falsch, de für ei erfektes Kristallgitter steckt die gesamte Wechselwirkug zwische de Ladugsträger ud dem Gitter i der Badstruktur bzw. der effektive Masse. Stösse der lektroe mit dem Kristallgitter fide daher icht statt. 4.. Ladugsträger i erfekte Kristalle T 0K, keie Gitterfehler (keie otierug!), keie Wechselwirkug zwische Ladugsträger Gegebe ist Badstruktur (k) Beschreibug des Teilches als Welleaket mit Gruegeschwidigkeit v g d v r g 1 r h dk (k) Für kleie k: r k r h ( k ) m eff r r hk vg m eff -π/a π/a k - 8 -

30 Beschleuigte Bewegug ergieübertrag ro Zeiteiheit: r r r 1 d 1) d F vgdt F r dt h dk d r ) d r dk dk r r d k F Aus 1) ud ) > dt h Beschleuigug: r a r r r dv d 1 d 1 d dk F d r r r dt dt h dk h dk dt h dk r F m eff ie effektive Masse m eff (m * i der Abbildug) ist icht kostat, soder vo k abhägig: m eff h d r dk 1 ie Gruegeschwidigkeit geht am Rad der Brillouizoe gege Null ud die effektive Masse wird egativ! Begrüdug: Welle für kleie k (grosse Welleläge): > Mittelug über viele Gittereriode, effektive Masse kostat Welle für k am Rad der Brillouizoe (Welleläge vergleichbar mit Gittereriode): Reflektio der Welle am Kristallgitter > stehede Welle, v g 0-9 -

31 4.3. Ladugträger i reale Kristalle as uter 4.1 beschriebee rude Modell ka mit ischräkuge verwedet werde, we ma damit icht die Streuug vo Ladugsträger a Gitteratome, soder Streuug a - Gitterschwiguge (Phooe) - oatore, Akzetore - Ladugsträger - Kristallfehler - Legierugsfluktuatioe i teräre ud quateräre Halbleiter beschreibt Thermische Geschwidigkeit Mittlere thermische Geschwidigkeit: 1 3 mv th kt 3kT v th m Für Si bei 300 K ist die mittlere thermische Geschwidigkeit v 10 7 cm/s10 5 m/s Mittlere freie Wegläge: m, Streuzeit ca s 4.3. riftgeschwidigkeit

32 - Für kleie Feldstärke (<10 3 /m): v rift (qτ c /m eff ) - Für grosse Feldstärke (>10 4 /m): v rift cost cm/s I Si ud Ge ist die maximale Geschwidigkeit durch missio vo Phooe beschräkt. I GaAs hat die riftgeschwidigkeit ei Maximum bei eier gewisse Feldstärke ud fällt da wieder ab. er Grud liegt i der Besetzug eies zweite Badmiimums ( uer valley i [111] Richtug). ie effektive Masse i diesem Miimum ist wesetlich grösser als die effektive Masse am Γ-Pukt, daher immt die riftgeschwidigkeit wieder ab. e daraus resultierede egative differetielle Widerstad ka ma zur rzeugug vo hochfrequete Schwiguge utze. lektroe erreiche höhere Geschwidigkeite als Löcher, daher werde bei Hochfrequeztrasistore immer lektroe als Ladugsträger verwedet. ie erreichbare maximale Geschwidigkeite erlaube eie erste (grobe) Abschätzug der Schaltzeite vo Trasistore. Bei eiem Feldeffektrasistor mit eier Gatebreite L braucht das lektro die Zeit t L/v max zum Passiere des Gates. Für v max 10 7 cm/s ud L 100 m ergibt sich eie Trasferzeit vo 1s (1THz Grezfrequez). Natürlich ist die Schaltzeit vo Trasistore och vo viele adere Faktore abhägig Beweglichkeit ie Beziehug zwische der riftgeschwidigkeit der Ladugsträger ud dem elektrische Feld wird Beweglichkeit geat. Für lektroe: v -µ mit µ eτ /m Für Löcher: v µ mit µ eτ /m τ, ist die mittlere Streuzeit: 1 τ 1 i τ, i, τ sid die Streuzeite der verschiedee Streurozesse (Streuug a ioiserte Störstelle, i, Streuug a Gitterschwiguge,.)

33 Beweglichkeit vo lektroe als Fuktio der Temeratur für verschiedee otierkozetratioe. Für hohe Temerature domiiert Streuug a Gitterschwiguge (Phooe), für tiefe Temerature Streuug a ioisierte Störstelle (oatore ud Akzetore)

34 Beweglichkeite vo Ladugsträger i Ge, Si ud GaAs als Fuktio der otierkozetratio Beweglichkeite vo lektroe ud Löcher bei T 300 K i iheite vo cm /s Material lektroe Löcher iamat Si Ge ISb IAs IP GaAs GaSb PbS SiC

35 Leitfähigkeit Zur erküfug der makroskoisch messbare Leitfähigkeit σ mit de mikroskoische Grösse der Beweglichkeit µ ud Ladugsträgerkozetratio betrachte wir eie Quader mit Querschittsfläche A, durch de ei Strom I fliesst. Im olume zwische x ud x+ x befide sich N * x*a Ladugsträger mit der Gesamtladug Q q** x*a iese Ladugsträger durchquere i der Zeit t x /v rift de Bereich zwische x ud x+ x. er Strom ist somit I Q/ t q**a*v rift ud die Stromdiche j I/A qv rift Mit v rift µ ergibt sich eie Gesamtstromdichte (lektroe ud Löcher): J j + j e(µ + µ ) σ. ie Leitfähigkeit ist somit σ e(µ + µ ) Aus Messuge der Leifähigkeit ka ma keie Rückschlüsse auf die Art der Ladugsträger, ihre Kozetratio ud Beweglichkeit mache. Für eie kleie Ladugsträgerdichte ergibt sich i Kombiatio mit eier hohe Beweglichkeit die gleiche Leitfähigkeit wie bei eier grosse Ladugsträgerdiche ud kleier Beweglichkeit. Zur Bestimmug vo Ladugsträgerdiche ud Beweglichkeit braucht ma daher ebe der Leitfähigkeit midestes eie zusätzliche Messgrösse

36 Temeraturabhägigkeit der Leitfähigkeit bei verschiedee otierkozetratioe - Für tiefe Temerature ud otieruge bis 5*10 17 cm -3 immt die Leitfähigkeit mit steigeder Temeratur zu, da mehr ud mehr oatore ioisert werde. Für T0K wird die Probe zum Isolator, da kei oator mehr ioisiert ist ( Ausfriere der Ladugsträger) - Für sehr hohe otierkozetratioe ist der Halbleiter etartet. a die Fermieergie im Leitugsbad liegt, bleibt der Halbleiter selbst bei tiefe Temerature leitfähig. - Bei höhere Temerature ab 100 K sid alle oatore ioisiert ud die Ladugsträgerdichte ist kostat. Bei steigeder Temeratur sikt i diesem Bereich die Leitfahigkeit, da Streurozesses a Gitterschwiguge zuehme. - Für kleie otierkozetratioe (1.75*10 14 cm -3 ) begit ab 300 K der itrisische Bereicht, d.h. die Kozetratio der durch thermische Aregug über die Badlücke erzeugte Ladugsträger wird vergleichbar mit der otierkozetratio. urch die steigede Ladugsträgerdichte immt auch die Leitfähigkeit wieder mit der Temeratur zu. ie gestrichelte Kurve stellt die Leitfähigkeit bei igeleitug (keie otierug) dar. Mit steigeder otierkozetratio verschiebt sich der Übergag vom extriische (Ladugsträger aus otierug überwiege) zum itrisische (Ladugsträger durch thermische Aregug überwiege) Bereich zu immer höhere Temerature. Aus de Steiguge der Kurve für sehr kleie ud sehr grosse Temerature ka der Abstad des oatoriveaus vo der Badkate bzw. die Grösse der Badlücke bestimmt werde

37 4.3.5 Sezifischer Widerstad Sezifischer Widerstad vo ud dotierte Halbleiter als Fuktio der otierkozetratio. er Widerstad vo -Halbleiter ist bei gleicher otierkozetratio immer höher als der vo -Halbleiter, da die Beweglichkeit der lektroe grösser als die Beweglichkeit der Löcher ist. Für kleie otierkozetratioe ist die Beweglichkeit kostat, die Kurve werde daher zu Gerade. Für höhere otierkozetratio hägt die Beweglichkeit vo der otierkozetratio ab, daher werde weiche die Kurve vo eiem gerade erlauf ab

38 Mathematische Nebebemerkug zur Herleitug i Pukt 4.: d er Term r k ist der Gradiet der ergie im k-raum ud ei ektor mit de dk folgede Komoete: d r dk d dkx d dk y d dkz k d er Term r ist eie Matrix mit folgede Komoete: dk d d d dk dk xdk y dkxdk x z d d d d r dk dk ydkx dk dk ydkz y d d d dkzdkx dkzdk y dkz

39 4.3. Hall ffekt Wir betrachte eie Halbleiterrobe der Läge l, Breite b ud Höhe h. I Lägsrichtug wird die Probe vo eiem Strom I durchflosse, sekrecht zur Probeoberfläche liegt ei Magetfeld B a. r r r ie Ladugsträger werde durch die Loretzkraft F L q( v B) abgelekt. Trage lektroe ud Löcher zum Strom bei, so werde sie i die gleiche Richtug abgelekt. urch die Asammlug der Ladugsträger a eier Seite der Probe baut sich ei elektrisches Querfeld ( H Hallfeld) auf, das der Loretzkraft etgegegesetzt ist. A de Seitefläche der Probe ka jetzt eie Hallsaug U H abgegriffe werde. as Hallfeld hat für lektroeud Löcherleitug etgegegestztes orzeiche, was eie Idetifizierug der Ladugsträgersorte ermöglicht. Für de Fall, dass das Magetfeld, die Stromrichtug ud das Hallfeld sekrecht zueiader stehe, besteht folgeder Zusammehag: H R H jb (R H Hallwiderstad, j-stromdichte). Nach lägerer Rechug ergibt sich für de Hallwiderstad: R H r e µ µ r b ( µ µ ) e ( b ) µ b µ er Koeffiziet r ist das erhältiss des Mittelwerts der Streuzeitquadrate zum Quadrat des Mittelwerts der Streuzeit: r τ τ s ergebe sich folgede Werte für tyische Streumechaisme: Thermische Streuug (Phooe): r 1.18 Streuug a Störstelle: r 1.93 Streuug i Metalle ud etartete Halbleiter: r

40 Für de Fall, dass ur eie Sorte Ladugsträger zum Strom beiträgt, ergibt sich für de Hallwiderstad: r R H e lektroe r R H e Löcher Aus dem orzeiche des Hallwiderstades ka also auf die Ladugsträgersorte geschlosse werde. Gleichzeitig erhält ma die Ladugsträgerdichte. Zusamme mit eier Messug des Lägswiderstads ka da die Beweglichkeit der Ladugsträger bestimmt werde Iversiosukt Uter bestimmte Bediguge ka der Hallwiderstad gleich Null werde. Aus R H 0 folgt: µ µ µ 0 > µ a die Beweglichkeit vo lektroe grösser ist als die vo Löcher ist der Quotiet der Beweglichkeite grösser als 1, daher muss die Löcherdichte am Iversiosukt grösser als die lektroedichte sei > Iversio der Hallsaug ur i -dotierte Halbleite 4.4. iffusio iffusiosgleichuge Wir betrachte eie Bereich im Halbleiter mit icht kostater Ladugsträgerdichte (x). ie Uterschiede i der Ladugsträgerdichte führe zu eiem iffusiosstrom, de wir im Folgede bereche wolle. azu ehme wir a, dass sich vo de am Ort x befidliche Teilche ierhalb der Streuzeit die Hälfe um eie mittlere freie Wegläge ach liks ud die adere Hälfte um eie mittlere freie Wegläge ach rechts bewegt

41 er Netto-Teilchestrom a der Stelle x besteht also aus der ifferez des Teilchestroms vo liks ud vo rechts. Teilchestrom vo liks: f l ½ (-l) v th Teilchestrom vo rechts: f r ½ (l) v th er Nettostrom a der Stelle x wird daher: f f l f r ie freie Wegläge l soll klei gege die Lägeskala der Kozetratiosäderug sei, daher köe wir für (x) eie lieare twicklug asetze: d ( l) (0) + l ud dx ( l) (0) l d dx er gesamte Teilchefluss wird daher: f f d d fl fr ( l) vth ( l) vth (0) l (0) + l v dx dx d 1. Ficksches Gesetz dx th v th l d dx d dx ist die iffusioskostate l v th Zusamme mit der Kotiuitätsgleichug f t x ergibt sich das zweite Ficksche Gesetz: t x (Partielle ifferetialgleichug zweiter Ordug) 4.4. istei Beziehuge Wir betrache die iffusio vo Teilche i eier imesio. Aus der mittlere thermische Geschwidigkeit eτ ud der Beweglichkeit µ m folgt mit lv th *τ : 1 1 mv th kt kt kt vth l vthτ τ µ m e amit gilt für die iffusioskostate vo lektroe ud Löcher: kt µ e ud µ kt istei Beziehuge e

42 4.5 Badverlauf im elektrische Feld Für die Behadlug vo Halbleiterbauelemete beötige wir eie Zusammehag zwische dem elektrische Feld, dem Potetial ud dem Badverlauf. azu betrachte wir eie Halbleiterrobe der Läge L, a die eie Saug U agelegt wird. I der Probe ist das elektrische Feld kostat ud das Potetial hat eie lieare erlauf. dφ dx ie Ladugsträger i de Bäder erhalte durch das Potetial zusätzliche ergie, es gilt: v (x) v0 - eφ(x) i (x) i0 - eφ(x) v (x) v0 - eφ(x) wobei c0 ud v0 die alez- ud Leitugsbadkate im Halbleiter ohe elektrisches Feld sid. i0 ist die Fermieergie des itrisische Halbleiters. Ist der erlauf vo i im Halbleiter bekat, so ka ma daraus das elektrische Feld bereche: 1 di e dx es Weitere möchte wir die (ortsabhägige) Ladugsträgerkozetratio durch die Fermieergie ud die Fermieergie des itrisische Halbleiters ausdrücke

43 ie Kozetratio der Löcher ist gegebe durch: N ex F kt Für eie itrisische Halbleiter gilt: i N ex i kt amit köe wir die erste Gleichug umforme: N ex F kt i ex kt F N ex i kt i i ex kt F amit erhalte wir (mit exliziter Ortsabhägigkeit der Grösse) für die Kozetratio der Löcher: ( x) ud für lektroe: ( x) i i i ( x) ex kt ex F F ( x) ( x) i ( x) kt Für F i erhält ma wir erwartet i, bzw. i. ie räumliche Äderug der Ladugsträgerdichte ka ma u durch die Äderug der Fermieergie ausdrücke: Für Löcher: d dx d dx i i ex kt F di dx i kt i ex kt F d dx F i kt i ex kt F d dx kt di dx d dx F ud lektroe: d dx kt d dx F di dx - 4 -

44 5. PN Übergag er Übergag ist der Grudbaustei für viele Halbleiterbauelemets: - Gleichrichter, Photodiode, Solarzelle, Ls, Halbleiterlaser - Trasistore, Thyristore, Triacs, Betrachte wir zuächst ei ud ei dotiertes Stück Halbleitermaterial. Im Material liegt das Fermiiveau ahe bei der alezbadkate, Löcher sid Majoritätsladugsträger ud lektroe Mioritätsladugsträger. Im Material liegt das Fermiiveau i der Nähe der Leitugsbadkate, lektroe sid Majoritäts- ud Löcher Mioritätsladugsträger. Werde u die beide Halbleiterstücke i Kotakt gebracht, so fliesst aufgrud des Kozetratiosuterschiedes ei iffusiosstrom vo Löcher vo der auf die Seite ud ei lektroestrom vo der auf die Seite. ieser Ladugsträgerstrom führt zur Ausbildug eier Raumladugszoe ud eier Potetialdifferez zwische der ud Seite. Mit steigeder Potetialdifferez begit ei dem iffusiosstrom etgegegesetzter riftstrom zu fliesse. Sobald rift- ud iffusiosstrom gleich gross sid, befidet sich der Übergag im Gleichgewicht. ie Potetialdifferez zwische der ud Seite wird mit bi (built-i voltage) bezeichet. Strom-Saugskeliie eier iode Theme bei der Behadlug des Übergags: - Übergag im thermische Gleichgewicht, Potetiale, rift- ud iffusiosstrom - Übergag mit agelegter Saug, urchlass- ud Serr-Richtug - Serrschicht- ud iffusioskaazität - urchbruchverhalte

45 Liste der verwedete Symbole: Ladugsträgerkozetratioe Majoritätsladugsträger 0 Kozetratio der Löcher auf der -Seite im thermische Gleichgewicht 0 Kozetratio der lektroe auf der -Seite im thermische Gleichgewicht Mioritätsladugsträger 0 Kozetratio der lektroe auf der -Seite im thermische Gleichgewicht 0 Kozetratio der Löcher auf der -Seite im thermische Gleichgewicht Kozetratio der lektroe auf der -Seite (kei Gleichgewicht) Kozetratio der Löcher auf der -Seite (kei Gleichgewicht) i Ladugsträgerkozetratio im itrisische Halbleiter N A - Akzetorkozetratio auf der - Seite N - oatorkozetratio auf der - Seite F - Fermieergie, im thermische Gleichgewicht über de gesamte Halbleiter kostat, bei agelegter Saug ortsabhägig i - Fermieergie des itrisische Halbleiters (ortsabhägig) elektrisches Feld Potetial bi Potetialdifferez zwische ud Seite im thermische Gleichgewicht ρ - Ladugsdichte ε ε r ε 0 - Produkt aus relativer ielektrizitätskostate ud ielektrizitätskostate des akuums -x Rad der Raumladugszoe auf der -Seite x Rad der Raumladugszoe auf der -Seite W x + x Breite der Raumladugszoe C s Serrschichtkaazität

46 5.. Übergag im thermische Gleichgewicht otierug: -Seite 0 N A, 0 N i A -Seite 0 N, 0 N i Ladugsträgerdichte Für de Fall eier äussere Saug (U>0) weiche die Mioritätsladugsträgerdichte vo de Gleichgewichtswerte 0 ud 0 ab. Ladugsverteilug ie Fläche uter de Kurve etsricht der Ladug ud ist auf der ud Seite ist. Auf der höher dotierte Seite (hier Seite) ist die Raumladugszoe düer, aber die Ladugsträgerkozetratio höher. lektrisches Feld urch die Ladugstreug i der Raumladugszoe bildet sich ei elektrisches Feld aus. Potetial ie Potetialdifferez zwische der ud Seite wird mit bi bezeichet

47 5.3. rift- ud iffusiosstrom Löcherstrom: j j ( rift) + j ( iffusio) 0 > j eµ e d dx as elektrische Feld ka ma aus der Ortsableitug der itrisische Fermieergie erhalte ud die iffusioskostate aus dem iffusiosstrom mittels der istei Beziehuge elimiiere: 1 di d j eµ ktµ e dx dx d di ( x) df ( x) Mit i ex(( i ( x) F ( x)) / kt) ud daraus dx kt dx dx df j µ 0 > d F 0 > F cost. dx dx folgt: lektroestrom: j j ( rift) + j ( iffusio) 0 e d j eµ + e dx df j µ 0 > F cost. dx e e ie Fermieeergie ist im thermische Gleichgewicht im gaze Halbleiter kostat. 5.4 Abruter Übergag s gilt die Poissiogleichug: d d ρ e ( N N ) A + dx dx ε ε Für die Bereich ausserhalb der Raumladugszoe (x < -x ud x < x ) gilt Ladugseutralität, d.h. N - N A +- 0 d ud damit 0 dx a keie äussere Saug aliegt, ist das elektrische Feld im Bereich ausserhalb der Raumladugszoe gleich Null ud das Potetial kostat. er Bezugsukt des Potetials wird so gewählt, dass es i der Mitte der Raumladugszoe gleich Null ist

48 Seite (N A 0, >> ) (( ) kt ) N A i ex i F / Seite (N 0, >> ) ( ( ) kt ) N i ex i F / 1 kt N A ( i F ) l e e i 1 kt N ( i F ) l e e i as eigebaute Potetial wird damit: bi kt e N l N A i Berechug der elektrische Feldstärke ud des Potetialverlaufs i der Raumladugszoe (-x < x < x ): d dx en A ε für -x < x < 0, d dx en ε für 0 < x < x lektrische Feldstärke x d en A en A ( x) dx ( x + x ) dx ε ε x en A ( x) m x für -x < x < 0 ε en ( x) m + x für 0 < x < x ε en x en Ax mit m ε ε igebautes Potetial bi x en A ( x) dx ( x) dx ( x) dx x ε x 0 x x 0 en + ε x 1 m W Aus W x + x ud Ax N x N (Gesamtladug i der Raumladugszoe ist Null) folgt: x bi N W N + N ud N A x N N W damit wird + e A N N N + N A A W ud daraus erhält ma die Breite der Raumladugszoe W: ε A W ε 1 e N A + 1 N bi

49 5.5 Liearer Übergag Beim lieare Übergag hat die otierug eie lieare erlauf mit dem otiergradiete a. ie Gleichug für das Potetial wird somit: d ea x für -x < x < x dx ε lektrische Feldstärke d ( x) dx x x ea ( x) m + x ε mit x x W/ folgt: eax eaw ε 8ε m ea ea dx ( x ε ε x igebautes Potetial 3 eaw bi 1ε amit wird die Breite der Raumladugszoe: ) W ε ea 3 1 bi as Potetial zwische ud Seite ist weiterhi über die otierkozetratioe gegebe: bi kt e N N kt a( W / ) a( W / ) l A l i e i kt aw l e i Aus de beide letzte Gleichuge köe W ud bi bestimmt werde

50 5.6 Strom-Saugscharakteristik des Übergags I Flussolug werde Mioritätsladugsträger über die Raumladugszoe auf die Gegeseite ijiziert (z.b. lektroe i de -Bereich) Stromfluss immt mit zuehmeder Saug F zu I Serrolug deht sich die RLZ aus Stromfluss immt ab mit zuehmeder Saug R ie Mioritätsladugsträger sid i der Nähe der Raumladugszoe icht mehr im thermische Gleichgewicht, i Flussolug herrscht ei Überschuss, i Serrolug ei Magel. ie Berechug der Ladugsträgerdichte i Abhägigkeit vo der Lage der Fermieergie ist daher icht mehr möglich. Ma ka für lektroe ud Löcher allerdigs zwei getrete Fermieergie eiführe (die Ladugsträger sid uter sich im Gleichgewicht), wir wähle im folgede aber eie adere Weg

51 Zur Berechug der ideale iodekeliie mache wir folgede Aahme: - Abruter -Übergag - Ladugsträgerdichte a de Zoegreze gegebe über die Potetialdifferez - Niedrigijektio (Mioritätsträgerdichte klei gegeüber Majoritätsträgerdichte) - Keie Ladugsträgerrekombiatio ud -geeratio ierhalb der RLZ Trägerdichte am Rade der RLZ ie Potetialdifferez zwische ud Seite ka als Fuktio der Mioritäts- ud Majoritätsladugsträgerdichte dargestellt werde. Uter Beutzug der folgede Beziehuge: N A N 0, 0, erhält ma für bi : i 0, N kt N AN kt kt bi l l l e e e i 0 0 i i 0, 00 i ud N A i araus folgt umgekehrt für die Ladugsträgerdichte: ebi ebi 0 0 ex, bzw. 0 0 ex kt kt Beim Alege eier extere Saug äder sich die Ladugsträgerdichte zu: e( ex bi U kt ext ) Im folgede ehme wir Niedrigijektio a. ie Löcherdichte, die i die -Seite ijiziert wird, sei viel kleier als die ichte der lektroe auf der -Seite (aalog für die -Seite). ie Majoritätsladugsträgerdichte äder sich daher icht: ud 0 0 Für de Überschuss a Mioritätsladugsträger bekommt ma u: e( bi U ext ) ebi 0 ex 0 ud daraus mit 0 0 ex kt kt eu ext 0 0 ex 1 -Seite kt eu ext 0 0 ex 1 -Seite kt

52 We die Kotakte weit vo der Raumladugszoe etfert sid, so wird die Überschussladugsträgerdichte durch Rekombiatio mit de Majoritätsladugsträger abgebaut ( lage iode ). Aus der Kotiuitäts- ud iffusiosgleichug erhält ma: d 0 0 dx τ er zweite Term beschreibt die Rekombiatiosrate, mit der der Überschuss a Ladugsträger abgebaut wird. Im thermische Gleichgewicht 0 0 verschwidet der Rekombiatiosterm. Als Lösug der ifferetialgleichug ergibt sich: eu ext x x x) 0 ex 1 ex, mit der Rekombiatiosläge L kt τ L ( 0 Geauso für die lektroe: eu ext ( x) 0 0 ex kt x + x 1 ex L Ladugsträger- ud Stromdichte

53 Nu bereche wird de Stromfluss a de Greze der Raumladugszoe. Am Rad der RLZ gibt es kei elektrische Feld (ur ierhalb der RLZ), daher ist der Stromfluss durch die iffusiosstromdichte bestimmt: Auf der -Seite: Auf der -Seite: d e 0 eu ext j ( x) e ex 1 dx x L kt d e 0 eu ext j( x ) e ex 1 dx L kt x ie Gesamtstromdichte wird damit: eu ext j j ( x) + j( x ) jsex 1 mit kt 0 0 j + s e L L Hier wird die Aahme verwedet, dass ierhalb der RLZ keie Ladugsträger erzeugt oder verichtet werde, asoste köte wir icht die Stromdichte a zwei verschiedee Stelle (liks ud rechts der RLZ) zur Gesamtstromdichte addiere. Alterativ ka ma schreibe: L L, τ L τ ud damit 0 L 0 j s e + τ τ j s ist die Serrstromdichte der iode (für hohe egative Sauge geht der xoetialterm gege Null ud der Ausdruck für die Stromdichte wird zu j -j s. Für hohe Ströme i urchlassrichtug wird die Kelie zu: j eu jsex kt ext 1 j s eu ex kt ext I logarithmischer Auftragug erwartet ma daher eie Gerade: U ext log j log js + kt mit der TemeratursaugU U T (ca. 5 m bei RT) T e Für reale iode führt ma de Idealitätsfaktor η ei ud setzt folgede Ausdruck für die Keliie a: U ext log j log js + ηu T - 5 -

54 5.6.1 Strom Saugskeliie eier ideale iode

55 5.6. Strom Saugskeliie eier reale iode Für kleie Sauge ist der iodestrom durch eie reale iode höher als durch eie ideale iode, da durch Rekombiatio i der Raumladugszoe ei zusätzlicher Strom fliesst. Für mittlere Sauge ud Ströme folgt die Keliie recht gut dem erhalte der ideale iode. Bei höhere Ströme ist die Aahme der Niedrigijektio icht mehr gegebe: ie Majoritätsladugsträgerdichte wird durch Rekombiatio mit de ijizierte Mioritätsladugsträger vermidert, dadurch sikt der Stromfluss ab. Bei sehr hohe Ströme komme schliesslich die Zuleitugswiderstäde i Siel ud führe zu eier weitere Begrezug des Stroms

56 5.6.3 Serrschichtkaazität ie Breite der Raumladugszoe hägt vo der Grösse der extere Saug U ext ab: W ε N A + N e N N A ( U ) bi ext rhöht ma die extere Saug um du, so verbreitert sich die Raumladugszoe um dw ud die geseicherte Ladug um dq. ie Serrschichtkaazität der iode dq ergibt sich damit zu C S. du Abruter Übergag ie Serrschichtkaazität (mit der iodefläche A) ist: C S A ε W A eε N AN N + N A bi 1 U ext iseitig abruter Übergag (N A >>N ) I diesem Fall ist die Serrschichtkaazität: C S A ε W A eε bi N U ext Liearer Übergag C S A 3 eaε 1 U 1 bi ext

57 Aweduge 1. Bestimmug der otierkozetratio Bei der eiseitig abrute iode ist 1 Auftragug vo Cs 1 C s 1 A ( bi U eεn gege die extere Saug liefert also eie Gerade. Aus der Steigug ka die otierkozetatio der schwach dotierte Seite bestimmt werde, aus dem Achseabschitt die Kotaktsaug bi (ud damit die otierug der hoch dotierte Seite). ext ) ie erallgemeierug dieses erfahres ist die C Profilierug, bei der die otierkozetratio i Abhägigkeit vom Ort bestimmt werde ka.. isatz als aractor (variable reactor) urch die Äderug der Serrschichtkaazität ka ma die Frequez eies Oszillators (z.b. eies LC Schwigkreises) abstimme (CO-voltage cotrolled oscillator)

58 5.7. urchbruch vo iode Thermischer urchbruch er Serrstrom ist temeraturabhägig: I S P Aei + τ P N τ N A mit i G NC N ex kt ie domiate Temeraturabhägigkeit ist durch de xoetialfaktor i der itrisische Ladugsträgerdichte gegebe, daher: G I S ex kt Bei kostatem Wärmewiderstad ist die Temeratur roortioal zur Leistug PUI. Auftragug vo Serrkeliie ud Leistugshyerbel bei eier kostate Temeratur. ie tatsächliche Keliie ergibt sich aus de Schittukte. thermischer urchbruch ach Überschreite vo U u

59 5.7. Zeer-ffekt Bei hohe Serrsauge köe lektroe vom alezbad direkt is Leitugsbad tuel. Stromfluss durch Tueleffekt Hierbei wird die iode icht thermisch zerstört. er Zeer-ffekt ist abhägig vo der Temeratur, da der Badabstad temeraturabhägig ist. er Zeereffekt setzt bei Ge bzw. Si ab ca /cm ei. ie urchbruchsaug immt mit T ab, da bei höhere Temerature die Badlücke kleier wird. Zeerdiode werde als Saugsreferez oder Saugsbegrezer eigesetzt

60 Tuel durch eie dreieckige Barriere (Fowler-Nordheim Tuel) ie Berechug der Tuelwahrscheilichkeit erfolgt mit der Schrödigergleichug: h d Ψ + ( x) Ψ Ψ m dx bzw. d Ψ dx m( ( x) ) Ψ h WKB Näherug (Wetzel, Kramers, Brilloui): Ψ ( x + dx) Ψ( x)ex( kdx) mit für Ausbreitug vo liks ach rechts. k m( ( x) ) h ie Näherug ist exakt für de Fall eies kostate Potetials. Ist (x)- < 0, so wird k rei imagiär ud die Lösug der Schrödigergleichug sid ebee Welle (freies Teilche). Ist (x)- > 0, so ist k reel ud die Wellefukio kligt exoetiell ab (idrige des Teilches i eie Barriere). ie Näherug ist gerechtfertigt, we sich die otetielle ergie h (x) über die Strecke s ur gerigfügig ädert (für ei freies Teilche m( ( x) ) bedeutes dies, dass die Welleläge der ebee Welle klei ist gegeüber der Strecke, auf der sich das Potetial wesetlich ädert). Mit der Näherug ka ma u schreibe: L m( ( x) ) Ψ( L) Ψ(0)ex dx h 0 x Für ei dreieckiges Potetial ist ( x ) e φ B 1 L mit der Barrierehöhe eφ B ie Tuelwahrscheilichkeit berechet sich u zu: * L Ψ( L) Ψ ( L) m x Θ ex Ψ Ψ eφb 1 dx * (0) (0) h L 0 Ud damit: 4 Θ ex 3 3/ em B h φ mit dem elektrische Feld φb. L Für das Tuel über die Raumladugszoe eier iode ergibt sich somit: 4 Θ ex 3 eh 3/ m G, wobei das elektrische Feld i der Raumladugszoe ist

61 5.7.3 Lawiedurchbruch Lawieeffekt durch Ladugsträgermultilikatio lektro-lochaar-rzeugug durch Stossioisatio (vergleichbar eier Gasetladug). Rückkolug führt zu lawieartigem urchbruch. er Lawieeffekt beötigt weite Raumladugszoe (z.b. i eier PIN iode) ud hohe Feldstärke. ie urchbruchssaug ist temeraturabhägigig wege der Temeraturabhägigkeit der mittlere freie Wegläge (Phooestreuug). ie urchbruchsaug immt mit T zu, da bei kürzerer freier Wegläge eie höhere Feldstärke zur Ladugsgeeratio otwedig ist

62 Ladugsträger - Geeratiosrate: Gα v + α v mit α, α als Ioisatioskoeffiziete Lawieeffekt abhägig vo der otierug, da Weite der RLZ sich ädert. Niedrige otierug: Hohe otierug: Lawieeffekt Zeer-ffekt

63 5.8 Temeratureffekte ie Keliie eier iode ist vo der Temeratur abhägig eu a) exlizit über de xoetialfaktor ex kt 0 0 b) imlizit über Sättigugsstrom j + s e L L i i 3/ g isetze vo 0, 0 ud ( ) N N c kt i 1 ex liefert A kt 3 g j + c kt s e i ( ) ex L N A L N kt ie iffusioskostate, ud Rekombiatiosläge L, sid zwar auch vo der Temeratur abhägig, domiat ist hier allerdig ur der ifluss der xoetialfaktore. js 3 ie Äderug vo j s mit der Temeratur wird damit zu + T T kt ie relative Äderug der Sättigugsstromdichte mit der Temeratur ist: js 1 3 G + T j T kt s ies ist gleichzeitig die Abhägigkeit des Serrstroms vo der Temeratur. kt I urchlassrichtug ka ma für Sauge U >> die Keliie durch e eu j js ex aroximiere. Ma erhält für die Temeraturabhägigkeit: kt G j s j T js eu eu eu ex js ex T kt kt kt U cost. ud für die relative Temeraturabhägigkeit: j T 1 j U cost. js T 1 j s eu kt 3 G eu T kt Aalog erhält ma für die Äderug der Saug (bei kostater Stromdichte) mit der Temeratur: U T j cost. G / e U T er Wert ist egativ, d.h. bei steigeder Temeratur beötigt ma weiger Saug, um eie bestimmte Strom durch die iode zu erziele

64 Keliie eier Si-iode bei verschiedee Temerature Temeraturkoeffiziet der Sättigugsstromdichte bei RT: Ge: Si: js T js T 1 1 j s 0.11K 1 1 j s 0.17K Temeraturkoeffiziet der iodesaug bei RT U T j cost. -1 bis -3 m/k

65 5.9 Ladugsseicherug ud iffusioskaazität urch die Ijektio vo Mioritätsladugsträger i die eutrale Zoe esteht ei lokaler Ladugsträgerüberschuss. -Überschussladug: ( 0 Q ea ) dx Q Q x eu x x ea 0 ex 1ex kt x L eu eal 0ex 1 kt dx e 0 eu I Zusammehag mit der Ijektiosstromdichte j ( x ) ex 1 ergibt sich L kt AL Q j ( x ) Aτ j ( x ) Aalog erhält ma für die -Überschussladug auf der -Seite: Q Aτ j x ) ( Beim eiseitig abrute -Übergag ist ur eie der Überschussladuge relevat. Für N A >> N ist z.b. j >>j, ud damit auch Q >> Q. urch die Seicherug der Ladugsträger tritt eie zusätzliche Kaazität auf, die iffusioskaazität C d. Für de obe ageomme Fall des eiseitig abrute Übergags ist ie iffusioskaazität wird damit: C d Ae L kt 0 eu ex kt C d dq du ie iffusioskaazität tritt ur i Flussolug relevat. I diesem Fall ist sie viel grösser als die Serrschichtkaazität, d.h. die Kaazität eier iode i Flussolug ist durch die iffusioskaazität gegebe, die Kaazität eier iode i Serrolug durch die Serrschichtkaazität

66 5.10 Zeitverhalte Beim Umschalte vo Fluss- auf Serrolug muss zuächst der Überschuss vo Mioritätsladugsträger i der iode abgebaut werde. ie iode serrt daher icht istata, soder erst ach eier gewisse Zeit. Schaltug zum Test eier iode i Fluss- ud Serrolug. Zum Widerstad R trage auch itere Widerstäde i der iode (Kotakt- ud Seriewiderstäde) bei. er Schalter werde zum Zeitukt tt 0 umgelegt. Ideale iode Strom geht beim Umolug der Saug sofort auf Null Reale iode Nach dem Umole fliesst zuächst ei (grosser) Serrstrom I R. ie iode serrt erst, we der Überschuss vo Mioritätsladugsträger abgebaut ist. Bei eiem eiseitig abrute Übergag mit N A >> N ist die geseicherte Ladug im - Bereich bei Flussolug mit Strom I F : Q Aτ j τ I F ie grobe Abschätzug für die Abkligzeit ist damit: t off Q F τ mit I R I R I I R U R R

67 5.11 Keliie realer iode U Reale iodekeliie: I I S ex 1 ηut kt Temeratursaug (T300K): U T 5. 8m e Idealitätsfaktor η1 Serrstrom I s Aei + τ N τ N A für η1 as offesichtliche isetze des Stromes bei eier bestimmte Saug U S (Schwellesaug) liegt a der lieare Auftragug der Keliie. I eier logarithmische Auftragug ergebe sich Gerade. ie uterschiedliche Keliie für uterschiedliche Materialsysteme (Ge, Si, GaAs) ergebe sich durch die verschiedee itrisische Ladugsträgerdichte i. Je grösser die Badlücke des Halbleiters, desto kleier ist i ud damit auch j s ud I s. Um de gleiche Strom zu erreiche beötigt ma daher eie grössere Saug

68 Bauforme Ge-Golddrahtdiode: urch erschweiße eies Golddrahtes mit Ge-Oberfläche ud idiffusio vo Au + im Gold gelöste otierstoffe etsteht -Übergag. Si-Flächediode: Herstellug vergleichbar zu Golddrahtdiode. Al (Grue-III-lemet) diet als otierstoff ud als Metallkotakt. Si-Plaardiode: I eiem Fester der Oxidoberfläche wird ei otierstoff eilegiert, z.b. Bor für. ie Borkozetratio muss höher sei als die -otierug des Materials. Si-Leistugsdiode: Großflächige idiffusio vo Bor

69 6. Schottky-iode 6.1 Metall Halbleiter Kotakte Metall ud Halbleiter vor Kotakt: Gleiches akuumiveau Im Metall sid alle Zustäde bis zur Fermieergie F besetzt. Um ei lektro vo der Fermikate aus dem Metall zu etfere ist die Austrittsarbeit eφ M erforderlich. Auch für de Halbleiter ist die Austritssarbeit eφ S als Abstad vo der Fermieergie zum akuumiveau defiiert. ie lektroeaffiität des Halbleiters eχ ist der Abstad des Leitugsbades zum akuumiveau. Brigt ma Metall ud Halbleiter i Kotakt, so stellt sich eie kostate Fermieergie ei. Zwische Metall ud Halbleiter etsteht die Schottky Barriere. -Halbleiter Für eie -Halbleiter ist die Barrierhöhe die ifferez aus der Austrittsarbeit des Metals φ M ud der lektroeaffiität des Halbleiters χ (siehe Abbildug): Φ B Φ M χ

70 -Halbleiter Für die Barrierhöhe gilt i diesem Fall: G Φ B ( Φ M χ) e ie Summe der Barrierehöhe eies ud Halbleiters ist gleich der Badlücke: e ( Φ + Φ ) B B G Bei Schottky-Kotakte auf -Si ud -GaAs immt die Barrierehöhe mit zuehmeder Austrittsarbeit der Metalle systematisch zu. ie Abhägigkeit ist i Realität jedoch schwächer als theoretisch ageomme. ies liegt a Oberflächezustäde a der Metall- Halbleitergrezfläche. urch diese Oberflächezustäde wird die Fermieergie i der Mitte der Badlücke gehalte. Für GaAs erwartet ma daher Barriere im Bereich vo 0.7 ( G 1.4 e), was gut mit de exerimetelle ate überistimmt

71 Priziiell wird die Barrierehöhe für -Ty Halbleiter uterschätzt ud für -Ty überschätzt. s gilt jedoch immer: G e(φ Β + Φ Β ). Geau wie beim Übergag etsteht auch beim Metall-Halbleiterkotakt ei Kotaktotetial. ieses ist gegebe durch: bi bi C F Φ M χ -Halbleiter e C F χ Φ M + -Halbleiter e Wir möchte u die Kotaktotetiale i Abhägigkeit vo der otierkozetratio des Halbleiters darstelle. azu ehme wir a, dass die oatore (Akzetore) vollstädig ioiert sid, d.h. für eie -Halbleiter gelte N ud für eie -Halbleiter N A. Weiterhi ist: C F N C F NC ex, daraus: ex ud somit: kt N kt Somit ergibt sich für die Kotaktotetiale: C C e F kt N l e N C bi Φ M kt N C kt NC χ l Φ B l -Halbleiter e N e N bi G kt N kt N χ Φ + Φ M l B l -Halbleiter e e N A e N A

72 6. Ladugsträgerdichte, Potetial, elektrisches Feld ie Berechug obiger Grösse erfolgt aalog zum eiseitig abrute Übergag. Im folgede ehme wir eie Übergag zwische eiem -dotierte Halbleiter ud eiem Metall a. Ladugsdichte lektrisches Feld Im Halbleiter etsteht eie Raumladugszoe mit der Ladugsdichte en ud der Breite x d. Im Metall wird eie Siegelladug Q M iduziert. Potetial as elektrische Feld a der Grezfläche zwische Metall ud Halbleiter ist daher gegebe durch: en x d max ε en er Feldverlauf ist liear ud gegebe durch: ( x) ( xd x) ε Itegratio über liefert de Potetialverlauf: en φ ( x) ( xd ( xd x) ) für 0 < x < x d ε en xd φ( x ) bi für x > x d ε amit ergibt sich für die Breite der Raumladugszoe: x d ε ε bi ohe extere Saug bzw. xd ( bi U ext ) mit exterer Saug en en

73 6.3 Fluss- ud Serrolug Metall -Halbleiter Metall -Halbleiter Keie extere Saug (thermisches Gleichgewicht) Flussolug Serrolug Für die Ladugsträger i der Schottkydiode gibt es zwei Möglichkeite, vom Halbleiter i das Metall zu gelage: a) über die Barriere (thermioische missio) b) durch die Barriere (Tueleffekt) a) Thermioische missio Wir betrache zuächst de Stromfluss über die Barriere i eiem Metall -Halbleiter Übergag. Aufgrud der thermische erteilug der Ladugsträger besitzte eiige vo ihe geüged ergie, um über die Barriere zu gelage. ie Berechug der ichte der Ladugsträger mit geüged grosser ergie erfolgt aalog zur Berechug der Ladugsträgerdichte i de Bäder, ur mit adere Itegratiosgreze (ud der Aahme, dass eφ B >>3kT ist, da ka ma die Fermi- durch eie Boltzmaverteilug ersetze): e F + eφ B ( ) f ( ) dx N C eφ ex kt B Ohe äussere Saug ist die Stromdichte vom Metall i de Halbleiter geauso gross wie die Stromdichte vom Halbleiter i das Metall