Bericht zur Prüfung im Oktober 2012 über Mathematik der Personenversicherung (Grundwissen)

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1 EUTSCHE TUVEEIIGUG e.v. Berich zur rüfug i Okober über Mheik der ersoeversicherug Grudwisse Jürge Srobe ö 3.. wurde i ö die zweie rüfug über Mheik der ersoeversicherug Grudwisse ch der rüfugsordug der V i isges 68 Teieherie ud Teieher durchgeführ. s Besehe dieser rüfug is eie owedige Vorussezug, u die Migiedschf i der V erwerbe zu köe. 79 e ud Herre hbe die rüfugskusur besde. ie rüfug besd us eier dreisüdige usur, i der 7 ufgbe gese wre. U die usur zu besehe, usse ideses 4 uke vo 6 ögiche uke erreich werde. ie erforderiche Serbefe sowie eie Foresug Brwerfore zur Lebesversicherugsheik wurde zur Verfügug gese. ufgbe uke Für de Leisugsbrwer eier ch r der Lebesversicherug beriebee rkeversicherug ohe Überrgugswer so gezeig werde: Es gib vo der usscheideordug ubhgige Were,, so dss G ω, bei sei die Whrscheiichkei, dss ed, der i er eigeree is, i er us de Besd usscheide durch Tod oder Soro. Beweise Sie dies i fogede Schrie: Gebe Sie eie Fore für die Were. b We Sie i die richige Fore gefude hbe, uss ω sei. Beweise Sie, dss diese Geichug für die vo Ihe defiiere Were gi.

2 c Gebe Sie eie Fore für die Were,. Tip: Überege Sie, weche Leisugsbrwer ei Versicherer fiziere uss, der i er usscheide. d Beweise Sie die Geichug G. ufgbe uke Eie -hrige Fru h bisher de Trif für bue Leisuge ud de Trif S für siore Leisuge versicher. Sie wechse i de eisugsschwchere Trif für bue ud siore Leisuge. Fogede Were sid bek: Wer\Trif S 7,83 8, 7,398 Δ i % 6,3 6,3 6,3 i,,, Jhresbeirge b oich 36,78 4, 394,7 b oich 44,3 98,9? gesezicher 4,4 9,8? uschg isikozuschg,7 8,79? Wecher eue Mosbeirg ergib sich? b Wie bereche sich der eue geseziche uschg? c Wie bereche sich der eue isikozuschg, wobei die Vorgehesweise dereige bei eier Beirgspssug espreche so? ufgbe 3 7 uke Ei 6- hriger M des Geburshrggs 9 schieße gege eie Eibeirg vo. eie u Jhre ufgeschobee eeversicherug b, dere ee ebesgich hrich vorschüssig zu zhe sid. Eie Leisug bei Tod whred der ufschubzei is ich versicher, ds vorhdee eckugskpi f so i Todesf der Versicheregeeischf zu. ie Versicherug beihe ei piwhrech ch Ede der ufschubzei. Fogede ose sid zu berücksichige: 4 des Eibeirgs, eiig zu Versicherugsbegi, % der Jhresree, hrich vorschüssig für edes Jhr der eeufzei,

3 β - ose ud - ose whred der ufschubzei werde ich erhobe. Bereche Sie die Jhresree, wobei ei Uiserif i echugszis,7% Ui zuwede is i. eweis uf die usreichede rie bezoge uf Bsis der Serbefe V 4, wobei die usreichede rie für de M ud die usreichede rie für die Fru bezeiche. b Beschreibe Sie ohe echug, wie sich die fogede rechiche speke i kokree F uf die Bidug der eckugsrückseuge uswirke: - iszuszreserve geß eckugsrückseugsverordug eckv - Bewerugsreserve geß 3VVG - Midesrückkufswer geß 69 VVG ufgbe 4 7 uke Für eie geische piversicherug über. seie fogede e vorgegebe: ds Eiriser 4, Lufzei ud Beirgszhugsduer berge Jhre, Höhe der uiebre bschusskose: 4 roie der Beirgssue. ie i der Tfe V 8 T-Mer i eie is vo,7% ud fogede osesyse β 3% vo hriche Bruobeirg,, der Versicherugssue,, der Versicherugssue berechee hriche Bruoprie B berg ch der VVG-efor sich die ückkufswere der eckugsrückseug orieiere, die sich bei geichßiger Vereiug der geseze bschusskose uf die erse Verrgshre ergebe, bereche der kur des Versicherugsuerehes ders s i Seir i de Äuivezprizip eie eue eferezbeirg B W, der bei de Brwervergeich bei sos uverdere Größe vo eie osebrwer der Ges B für die uiebre bschusskose usgeh see des sos übiche : Weres B. Is dieser für die Berechug der höhere ückkufswere ßgebiche Beirg W B höher oder iedriger s B? b M bereche W B epizi bei de gegebee osesze. c er kur verwede zur Berechug der für de ückkufswer ßgebiche eckugsrückseuge diese Beirg B W. Ergebe sich d höhere oder iedrigere eckugsrückseuge s die ch ore Sche berechee geziere eckugsrückseuge V für >? : I diese ufgbeei is ur eie begrüdee uiive wor gefrg, es sid keie epizie Berechuge geforder!. 3

4 ufgbe 6 uke Gegebe seie die Serbewhrscheiichkeie 7,4 ud 7,. Bereche Sie die Whrscheiichkei, dss ei 7 hriger zwische de er 7, ud 7, sirb uer de fogede Vorussezuge: Geichßige Vereiug der Todesfe eies ers, d.h. für < < b Hyperboischer sz, d.h. für < <. - - Hiweis: I beide Teie beche, dss, p 7 ich i, p 7, übereisi. ufgbe 6 uke Sie sid kur der ieseisugs- GbH ud ersee die versicherugsheische Guche für die uiebre esiosverpfichuge der Geseschf. ie Geseschf beöig zu Bizsichg 3.. Guche für die Hdes- ud für die Seuerbiz. Eruer Sie die weseiche Uerschiede zwische der hdesbiziee ud seueriche Bewerug der uiebre esiosverpfichuge. Eruer Sie hd der esprechede foreßige rseuge der rie die Uerschiede i der riebesiug bei seueriche Teiwerverfhre, de odifiziere Teiwerverfhre ch Egbroks ud de Gegewrswerverfhre. 3 ie ieseisugs- GbH h fesgese, dss bei de Mirbeier i eier uiebre esioszusge eie sigifike bweichug zwische der zh der Ividisierugsfe ud de Ividisierugswhrscheiichkeie der ichfe G beseh. us diese Grud beufrg die ieseisugs- GbH Sie, bei der hdesrechiche Bewerug der esiosverpfichuge die Ividisierugswhrscheiichkeie uf % der Were i de ichfe G zu reduziere. Weiere usscheidewhrscheiichkeie soe ch Vorseug der ieseisugs- GbH ich odifizier werde. Wru is ei soches Vorgehe i Mode der ichfe G kriisch zu sehe? Begrüde Sie Ihre uffssug uch ies foreßiger rseug des i epeioriu vorgesee Modezusehgs i de ichfe. b Gebe Sie eie ögiche Modifikio der ichfe G, bei der eierseis der ufrg der ieseisugs- GbH erfü wird d.h. Modifikio der Ividisierugswhrscheiichkeie uf % der ichfewere ud dererseis der reeve Modezusehg der ichfe G erhe beib. 4

5 ufgbe 7 uke ie Fir Sekedecke GbH h ihre Beschfige uiebre esioszusge erei. Gewhr werde ee bei Ividi ud Erreiche der ersgreze. ie Höhe der Ivide- ud ersree berg oich 3,. ch voedee ieshre erhöh sich die eewrschf u weiere, für edes weiere voedee ieshr bis uf höchses, oich ch isges 3 voedee ieshre. s fese ersgreze is die Voedug des. Lebeshres vorgesehe. Bei eebezug vor der fese ersgreze wird die ersree für ede Mo des vorzeiige eebezuges u,4 % ihres Berges gekürz. Wie ue die Fore für de seueriche Teiwer ch 6 bs. 3 ESG zu 3.. für de wrer Heiz öer, geb , der.3.99 bei der Fir eigeree is ud ds die obe beschriebee esioszusge erhie? Bei der Teiwerberechug so ds esioser 63 i sz gebrch werde. b Schze Sie de prozeue uwchs des seueriche Teiwers zu 3..4 uer der he, dss Herr öer zu diese eipuk kiv is ud die esioszusge uverder forbeseh..

6 6 Lösugsvorschge zu ufgbe zu, wobei ω sei. zu b ω zu c, v zu d, v v v v bei wurde beuz, dss ω zu ufgbe zu Mi " Tiefersufug! erh s Spezif der rieberechug geß hg I, B der kuiosverordug uer Berücksichigug zweier usggsrife

7 b b S S Δ Δ S S b b b b b b Δ Δ Δ S b S. ch Eiseze der hewere erh b 394,7,937 7,83,937 8, 36,78 44,3 4, 98,9,937 7,398,937 7,398, 394,7, 36,78, 4,,937 7, ,7,8 7,,73,93 37,7 / 6,6 36,4. zu b er eue geseziche uschg berg % des eue Mosbeirgs, so 36,4, 3,64. zu c er Ges- isikozuschg wird espreched der Äderug des Mosbeirgs ugereche: b b b S S 36,4,7 8,79 3,9. 44,3 98,9 zu ufgbe 3 zu Sowoh bei Frue s uch Mer wird bei Geburshr 9 eie ersverschiebug vo 3 Jhre berücksichig. Es gi: 7

8 8.6,66, 9, ,848 9.,96,,96,,96,,96, Ui y y Ui y y bzw eriver sz:.6,66, 7,848, ,9,,96.84, ,9. 9, ,848. 9, ,848,96, y y i geichseze bzw bzw zu b - ie iszuszreserve erhöh die zu seede eckugsrückseuge ur, fs der eferezzis uer de echugszis ieg. I voriegede F is der echugszis,7%, so dss i bsehbrer ei keie iszuszreserve zu bide is. - ie Bewerugsreserve werde grudszich ur recherisch zugeorde, es erfog keie Erhöhug der eckugsrückseug. Eie ueiug ud di Erhöhug der eckugsrückseug erfog bei eeversicheruge bei eeübergg ch Jhre 3 bs.3 Sz VVG. - ie forderuge de Midesrückkufswer führe hier ich zu höhere eckugsrückseuge, d die bschusskose durch de Eibeirg sofor verdie

9 werde. I kokree F würde der usschuss eier Todesfeisug whred der ufschubzei zu eier Uwdug i eie priefreie Versicherug führe geß 69 bs. Sz VVG. zu ufgbe 4 zu er Bruobeirg B der geische piversicherug wird ch der fogede Äuivezgeichug: S B S β B bereche. B : : : : B für posiive ise < gi, is uch : : W ud di gi offebr B < B. < B zu b Bei de hier kokre voriegede e ergib sich W B zu: W : B S B S B : : β. : : ,9 67,69 Wege 4,879.. ud : 4847,93 4 B B 789,76 is dher 38, : M bereche ferer: ,9 493,93 6,3... sowie für i,7%: 4 : 4847,93 4 d,, ud di erh d: B S d β B : : : : W B : d. 6, ,366, , , ,6378 ud dieser Wer is i der T keier s B 493,36. 9

10 zu c Wei sich u eckugsrückseuge ch de erweiere Äuivezprizip s ifferez des Brweres der zuküfige Versicherugseisuge ius de Brwer der zuküfige W rie bereche, fog wege der Ugeichug B < B sofor, dss die i de W eferezbeirg B berechee eckugsrückseug ews größer s die kssische geziere eckugsrückseug V is, isbesodere für >. : zu ufgbe I beide ufgbeeie p gi: p oder, 7, 7, 7, 7, 7 -, 7, 7, 7 p - 7 7, 7, 7 oder p - p p - p p, 7, 7 7,, 7, 7,, 7 3 Ferer gi bei Verwedug der sze ud, 3 96, 4 - p p bzw. p. 7, 7, 7,, 7, p, 7 Mi de uerisch eifchse sz erh kokre: zu, 4, 96, -,, 44, 7 zu b,, 4,,, 4 -, 96, 7 - -,, 4 - -,,, 4 -, 48, 96, 64, 447

11 zu ufgbe 6 zu Weseiche Uerschiede zwische der hdesbiziee ud der seueriche Bewerug uiebrer esiosverpfichuge sid: ifferezierugserk Hdesbiz ugrude iegede HGB 46, 49, 3 ud Besiuge Seughe des IW S HF 8 ud S HF 3 echugszis urchschiicher Mrkzissz der verggee siebe Geschfshre espreched der esufzei der Verpfichuge Fizierugsverfhre roeced Ui Credi Mehode oder odifizieres Teiwerverfhre Tredhe üfige dyische Ewickuge sid eizubeziehe Fukuio Weiere Besoderheie Is epizi bei der Bewerug zu berücksichige Vorhdees eckugsveröge i.s. vo 46 HGB is zu sdiere Seuerbiz ESG 6 ud ichiie ud Äußeruge der Fizverwug z.b. 6 ES echugszisfuß vo 6 % vorgeschriebe Seueriches Teiwerverfhre üfige Erhöhuge sid ur eizubeziehe, we sie de Grude ud der Höhe ch fessehe usche Berücksichigug über Mideser 7 / 8 / 3 Jhre chhoverbo, sreges Schrifforgebo, Sdierugsverbo zu ie rie des seueriche Teiwerverfhres ud des Gegewrswerverfhres ue: er Uerschied zwische de Gegewrswerverfhre ud de seueriche Teiwerverfhre ieg i Fizierugsbegi. Bei Gegewrswer esprich der Fizierugsbegi de er bei usgeereiug oder derug, bei seueriche Teiwerverfhre higege de Begi des Wirschfshres des Eiris. ie rie bei odifiziere Teiwerverfhre ch Egbroks ue:

12 I die Eriug der rie des odifiziere Teiweres fieß di ds Wisse ei, dss i der ei zwische Fizierugsbegi ud Bizsichg 3.. keie Versorgugsfe eigeree sid. Bei seueriche Teiwerverfhre higege werde uch die us Sich des Fizierugsbegis ögiche Versorgugsfe zwische Fizierugsbegi ud Bizsichg berücksichig. zu 3 I Mode der ichfe G gi die i epeioriu vorgesee. osisezgeichug: i beseh ei eeerer usehg zwische de eizee usscheidewhrscheiichkeie. Eie Modifikio der Ividisierugswhrscheiichkeie der ichfe G führ ufgrud der osisezgeichug soi zu eie pssugsbedrf bei ideses eier weiere usscheidewhrscheiichkei. Eie isoiere Modifikio der Ividisierugswhrscheiichkeie - wie vo der ieseisugs GbH gep - führ higege zu eie Modebruch ud is di kriisch zu sehe. Eie Mögichkei für eie odekofore Modifikio der ichfe wre es, die Ividisierugswhrscheiichkeie der ichfe ufrgsgeß uf % zu reduziere ud d die i Hife der. osisezgeichug eu zu besie. Es sid edoch uch weiere Modifikioe dekbr. erkug: I Mode der ichfe G besehe zwische de usscheidewhrscheiichkeie der eizee Geerioe weiere Modezusehge, die i Fe eier Modifikio zu beche sid. erdigs wurde diese usehge ich i he des Grudwisses esiosversicherugsheik behde. zu ufgbe 7 zu s versicherugsechische er 3.. berg Jhre, ds Eiriser versicherugsechisches er..99 berg 3 Jhre. Bis zur ersgreze 63 werde 33 voe ieshre erreich, ds Begier für die Besiug des Leisugsvekors berg Jhre. ie Fore ue:

13 i 3, 63-3,63-3 i i i < < ,4% 63 ud i i i i < 4 < ,4% 63 i zu b ie bgeufee uer berug Jhre. ch der herugsfore V V,3 ergib sich ei Schzwer zu 3..4 vo 3 %,3,3 6,%. er Schzwer für de uwchs berg 6, %. 3