Aufgabe 3. Signal Processing and Speech Communication Lab. Graz University of Technology

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1 Signal Processing and Speech Communication Lab. Graz University of Technology Aufgabe 3 Senden Sie die Hausübung bis spätestens per an Verwenden Sie MatrikelNummer1 MatrikelNummer2 als Betreff. Eine vollständige Abgabe besteht aus den von Ihnen erstellten Octave Dateien (*.m) und einem Simulationsprotokoll (PDF). Komprimieren Sie alle Dateien in eine zip-datei mit Dateinamen YourMatrNo YourColleaguesMatrNo.zip und hängen Sie diese an die an. Zusätzlich zur müssen Sie die ausgedruckten Simulationsprotokolle und die Lösungen für die analytischen Aufgaben in unseren Briefkasten in der Inffeldgasse 16c, Erdgeschoß, einwerfen (am Wochenende ist der Zugang zum Briefkasten nicht möglich). Drucken Sie dazu für jede Teilaufgabe den Angabezettel separat aus und klammern Sie ihn mit der jeweiligen Lösung/dem jeweiligen Simulationsprotokoll zusammen. Fügen Sie Ihre(n) Namen und Ihre Matrikelnummer(n) auf jedem Angabezettel ein. Wenn Sie Ihre analytischen Lösungen mittels L A TEX erstellen, können Sie bis zu zwei Bonuspunkte erhalten (einen pro analytisches Beispiel). Bei handschriftlichen Lösungen analytischer Beispiele bitten wir Sie, diese ordentlich, gut strukturiert und leserlich zu verfassen. Ansonsten werden fünf Punkte abgezogen.

2 Analytische Aufgabe 3.1 (8 Punkte) Die Impulsantwort eines linearen zeitinvarianten (LTI) Systems mit Eingangssignal x[n] und Ausgangssignal y[n] ist gegeben als ( π ) h r [n] = r n sin 2 n u[n], (1) wobei u[n] die Einheitssprungfunktion ist. (a) [1 Punkt(e)] Ist das durch h r [n] beschriebene System kausal? Finden Sie eine Bedingung für die Stabilität des Systems h r [n], für r C. (b) [2 Punkt(e)] Berechnen Sie H r (z), d.h. transformieren Sie h r [n] in die z-domäne. Die dürfen dabei die z-transformationspaare in unserer Formelsammlung benutzen. Geben Sie die Pole und alle (!) Nullstellen von H r (z) an. Zeichnen Sie das Pol-Nullstellendiagramm für r = 0.5. Bestätigt das Pol-Nullstellendiagramm Ihre Resultate bezüglich Stabilität und Kausalität aus Punkt a)? Welche Informationen brauchen Sie im Allgemeinen zusätzlich zu den Positionen der Pole und Nullstellen, um Stabilität und Kausalität festzustellen? (c) [1 Punkt(e)] Ist h r [n] die Impulsantwort eines minimalphasigen Systems? Begründen Sie Ihre Antwort. (d) [2 Punkt(e)] Berechnen Sie den Frequenzgang H r (e jθ ) und werten Sie ihn an den Frequenzen θ = 0 und θ = π/2 aus. Skizzieren Sie den Betragsfrequenzgang für r = 0.5, d.h. H 0.5 (e jθ ). Berechnen Sie den Phasengang H r (e jθ ). Ist das System für r = 0.5 linearphasig? Versuchen Sie den allgemeinen Ausdruck H r (e jθ ) für r = 1 zu vereinfachen, d.h. berechnen Sie H 1 (e jθ ). Was beobachten Sie? (e) [1 Punkt(e)] Finden Sie eine Differenzengleichung um das System h r [n] zu beschreiben. (f) [1 Punkt(e)] Nehmen Sie an, Sie wollen mit Hilfe des Systems h 1 [n] einen Sinuston erzeugen, der zum Zeitpunkt t = 0 eingeschalten wird. Definieren Sie ein Eingangssignal x[n] und eine Abtastfrequenz f s in Hz um ein Ausgangssignal y[n] mit einer Frequenz von f 1 in Hz zu erzeugen.

3 Analytische Aufgabe 3.2 (7 Punkte) (a) [2 Punkt(e)] Betrachten Sie ein kausales lineares zeitinvariantes (LTI) System mit einer reellwertigen Impulsantwort h α [n], ein Eingangssignal x[n], ein Ausgangssignal y α [n]. Betrachten Sie zudem ein zweites LTI System mit der Impulsantwort h β [n], ein Eingangssignal x β [n] und ein Ausgangssignal y β [n]. Das Eingangssignal des zweiten Systems ist das zeitinvertierte Ausgangssignal des ersten Systems, also x β [n] = y α [ n]. Nehmen Sie auch an, dass h α [n] = h β [n]. Bestimmen Sie ein Gesamt-LTI System mit Eingang x[n], Ausgang y[n] = y β [ n] und der Impulsantwort h[n]. Berechnen Sie die Impulsantwort h[n] und deren DTFT H(e jθ ). Auf welche Art und Weise steht das Betragsspektrum H(e jθ ) in Zusammenhang mit dem System H α (e jθ )? Was können Sie über das Phasenspektrum H(e jθ ) des Gesamtsystems sagen? Ist das Gesamtsystem kausal? (b) [3 Punkt(e)] Betrachten Sie ein LTI System mit Eingang x[n] und Ausgang y[n]; gegeben ist die Differenzengleichung 1 2 y[n 1] 9 y[n] + y[n + 1] = x[n]. 4 Erstellen Sie das Pol-Nullstellen Diagramm! Nennen Sie drei mögliche Konvergenzbereiche (Regions of Convergence [ROC]) und bestimmen Sie drei mögliche Impulsantworten. Geben Sie für jede Impulsantwort an, ob es sich um ein stabiles und/oder kausales System handelt. (c) [2 Punkt(e)] Gegeben ist ein zeitdiskretes kausales LTI System mit der Übertragungsfunktion ( z 1 )(1 6z 2 ). ( z 2 ) Ist das System stabil? Ermitteln Sie ein minimalphasige System H 1 (z) und ein Allpass-System H ap (z), sodass gilt H(z) = H ap (z)h 1 (z).

4 Matlab/Octave Aufgabe 3.3 (10 Punkte) (a) [2 Punkt(e)] Gegeben seien zwei kausale, lineare und zeitinvariante (LTI) Systeme durch folgende Differenzengleichungen: y[n] + p 2 y[n 2] = px[n 1], (2) y[n] + p 2 y[n 2] = px[n]. (3) mit p R und x[n], y[n] als Ein- und Ausgangsfolge. Sie wollen nun (2) und (3) mithilfe der Matlab/Octave Funktion y=filter(b,a,x) implementieren. Bestimmen Sie hierfür die Vektoren a und b in Abhängigkeit der Variable p für System (2) und (3). Setzen Sie im Folgenden p = 0.95 und berechnen Sie die Impulsantwort y[n] beider LTI-Systeme für x[n] = δ[n] mit 0 n < N 1 mit N = 32 mithilfe der filter Funktion. Plotten Sie die Ergebnisse mit Hilfe von stem und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit jenen von impz 1. Der Befehl hold on erlaubt ein überlappendes Zeichnen mehrerer Kurven. Welches LTI-System verzögert die Energie des Eingangspulses x[n] = δ[n] weniger? (b) [2 Punkt(e)] Berechnen Sie die Pole der Systeme (2) und (3) über die Funktion roots. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Pol-Nullstellen Diagramm, welches Sie anhand der Funktion zplane erhalten. Erkennen Sie alle Nullstellen von System (2)? Wenn nicht, wo befindet (befinden) sich die fehlende(n) Nullstelle(n)? Sind die Systeme minimalphasig? Begründen Sie Ihre Antwort. (c) [2 Punkt(e)] Berechnen Sie für beide Systeme H(e jθ ) auf N f /2 + 1 gleich verteilten Frequenz Abtastpunkten zwischen 0 θ π mit N f = 1024 unter Verwendung der Funktion freqz. Verwenden Sie subplot um Amplitude und Phase innerhalb eines Figures zu zeichnen. Überlagern Sie beide Systeme auf einer Achse und Beschriften Sie Ihre Kurven mittels legend. Kann das selbe Ergebnis (von freqz) auch über die Anwendung der FFT auf die Impulsantwort erreicht werden? Begründen Sie Ihre Antwort. Warum besteht keine Notwendigkeit des Plottens des Bereiches von π < θ < 2π? Beide Systeme besitzen die selbe Amplituden-Antwort. Angenommen, Sie hätten nur das Wissen über die Amplituden-Antworten und der Impulsantworten (Sie kennen nicht die Pol/Nullstellen der Systeme), treffen Sie eine Aussage über die Minimalphasigkeit von System (2). Tipp: Verwenden Sie Ihr Ergebnis der Verzögerung der Energie von Problem 3.3 a). (d) [1 Punkt(e)] Plotten Sie die Gruppenlaufzeit (group delays) von beiden Systemen (mit p = 0.95) in einem Figure mit getrennten Subplots. Verwenden Sie hierfür die Funktion grpdelay. Besitzen die Systeme eine lineare Phase? Erzeugen Sie ein neues Figure und plotten Sie abermals die Gruppenlaufzeit mit p = 1. Besitzen die Systeme eine lineare 2 Phase mit p = 1? 1 impz, zplane, grpdelay, butter, filtfilt sind hilfreiche Funktionen, enthalten in der Matlab Signal Processing Toolbox, bzw. Octave Signal Package (Installation über pkg install -forge signal) 2 Sollten Sie Octaves grpdelay benutzen, dann können Sie mögliche Unstetigkeitsstellen innerhalb des Plots ignorieren

5 (e) [1 Punkt(e)] Schreiben Sie eine Funktion y=myfiltfilt(b,a,x) welche das System des analytischen Problems 3.2 a) implementiert. Das System h α [n] ist spezifiziert für die Koeffizienten b und a und implementiert das System h α [n] mittels ya=filter(b,a,x). (f) [2 Punkt(e)] Entwerfen Sie einen Butterworth Tiefpass Filter der Ordnung N = 3 mittels [b,a]=butter(n,wc). Setzen Sie die Grenzfrequenz auf f c = 5Hz bei einer Abtastrate von f s = 100Hz. Berechnen Sie wc. Generieren Sie ein Sinus-Signal s mit einer Länge von einer Sekunde, der Frequenz f = 2.3Hz (bei einer Abtastfrequenz von f s = 100Hz) und einer Amplitude von eins. Erzeugen Sie anschließend ein verrauschtes Signal x=s+v durch Addition des Vektors v, welchen Sie über die Funktion randn erzeugen sollen. Skalieren Sie die Amplitude auf einen Signal-Rausch-Abstand von (ca.) 18dB. Wie wählen Sie den Skalierungsfaktor? Generieren Sie die Sequenzen yfilter, yfiltfilt und ymyfiltfilt durch Filtern von x über filter(b,a,x), filtfilt(b,a,x), beziehungsweise myfiltfilt(b,a,x) (von Aufgabe e)). Vergleichen Sie diese drei Signale zusammen mit s und x in einem gemeinsamen Plot. Verwenden Sie legend für die Beschriftung der fünf Signale. Beschriften Sie die Abszisse in Sekunden-Einheiten. Erklären Sie Ihren Plot, vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus 3.2 a).

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