Einfacher loop-shaping Entwurf
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- Fanny Thomas
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1 Intitut für Sytemtheorie technicher Prozee Univerität Stuttgart Prof. Dr.-Ing. F. Allgöwer Regelungtechnik I Loophaping-Entwurf t Einfacher loop-haping Entwurf Der gechloene Krei oll die folgenden Anforderungen erfüllen: Stabilität gute Führung-/Störverhalten kleine bleibende Regelabweichung Da Einchwingverhalten oll chnell genug ein, d.h. die Bandbreite oll groß genug ein Robutheit der Stabilität Der Regler K() oll o entworfen ein, daß diee Anforderungen erfüllt ind. Im Eingrößenfall enthält da Bode-Diagramm de offenen Kreie G () = G()K() alle Informationen über den gechloenen Krei. D.h. e genügt, die Übertragungfunktion G()K() o zu formen, daß die gewünchten Anforderungen erfüllt ind. Im folgenden wird gezeigt, wie die Übertragungfunktion de offenen Kreie auehen muß, damit K() G() Abb. : Offener Krei (durchgezogene Linien) und gechloener Krei (getrichelte Linien). die genannten Anforderungen erfüllt werden. Anchließend unteruchen wir, wie die Parameter eine PI-Regler gewählt werden müen, um diee Form der Übertragungfunktion de offenen Kreie zu erreichen. Da man den Amplituden- und Phaengang de offenen Kreie geeignet formt, nennt man diee Vorgehenweie (open) loop-haping. Stabilität Die Stabilität de gechloene Kreie kann mit Hilfe de Nyquit-Kriterium au der Ortkurve oder dem Bode-Diagramm de offenen Kreie abgeleen werden. Beipiel. In Abbildung 2 ei voraugeetzt, daß die ungeregelte Strecke G() tabil it. Au dem Nyquitkriterium erkennt man, daß der gechloene Krei intabil geworden it, da die Phaendrehung Im Re G(jω)K(jω) Abb. 2: Ortkurve eine intabilen gechloenen Kreie (G(), K() tabil).
2 bezüglich de kritichen Punkte (, ) φ = 2π und omit von null verchieden it. Im Bode-Diagramm läßt ich die Stabilität folgendermaßen ableen: It die ungeregelte Strecke tabil, o it der gechloene Krei tabil, wenn bei der Phae φ = π die Amplitude kleiner al it. Der Regler K() muß omit o bechaffen ein, daß an der Durchtrittfrequenz die Phae größer al π it. Bleibende Regelabweichung Die bleibende Regelabweichung wird klein ein, wenn G(jω)K(jω) für kleine Frequenzen gilt. Bandbreite Die Bandbreite ω B de gechloenen Kreie it ungefähr gleich der Durchtrittfrequenz ω D de offenen Kreie. Die kann man ich wie folgt veranchaulichen. Im SISO-Fall entpricht der komplementären Senitivitätfunktion der Audruck Robute Stabilität GK +GK. Man überlegt ich leicht: GK + GK GK GK GK + GK Die Robutheit der Eigenchaft Stabilität kann über die Phaen- und Amplitudenreerve beeinflußt werden. Die Phaenreerve γ R it der Winkel, bei dem der Frequenzgang den Einheitkrei chneidet, d.h. G K = (im Bode-Diagramm leicht ablebar). Die Phaenreerve gibt an, um wieviel die Phae der echten Strecke von der Phae de Modell differieren kann, damit trotzdem Stabilität gewährleitet bleibt. Die Amplitudenreerve a R = A R it der Faktor, durch den ich die Vertärkung der realen Strecke Im γ R A R Re G K Abb. 3: Veranchaulichung der Amplituden- und Phaenreerve im Nyquitdiagramm. vom Modell untercheiden kann, ohne daß da Sytem intabil wird (Abbildung 3). Entwurfvorgang Die Anforderungen an den gechloenen Krei können alo durch Anforderungen an den Verlauf de Amplituden- und Phaengang de offenen Kreie formuliert werden. Wie betimmt man aber einen Regler K() o, daß der offene Krei G K dieen Anforderungen genügt? Im Eingrößenfall it die recht einfach. Die (frequenzweie) Multiplikation von G() und K() entpricht einer Addition der Amplituden und Phaen von G() und K() im doppellogarithmichen Bodediagramm für jede Frequenz. Wir müen alo nur anhand der getellten Anforderungen überlegen, bei welchen Frequenzen welche Amplitude und 2
3 Phae de Regler benötigt wird, um den gewünchten Verlauf von G K im Bodediagramm zu erreichen. Die Schwierigkeit bei dieer Vorgehenweie beteht darin, daß Amplitude und Phae von K() nicht unabhängig voneinander gewählt werden können. Im folgenden oll die typiche Vorgehenweie am Beipiel de Entwurf eine P- bzw. PI-Regler für eine Beipieltrecke demontriert werden. Beipiel 2. Wir wollen einen Regler für da folgende Sytem G() entwerfen: G() = ( +.5)( + )( + 5) Die Abbildungen 4 und 5 zeigen Bode-Diagramm und Ortkurve der ungeregelten Strecke. () A Abb. 4: Verlauf der Amplitude von G() in db (linke Bild) und der Phae von G() in Grad (rechte Bild)..5.5 Im Re Abb. 5: Ortkurve von G(). P-Regler K P () = K P (2) Die Ortkurve beteht nur au einem Punkt auf der reellen Ache bei K P. Der Amplitudengang beteht au einer Parallelen zur ω-ache im Abtand log K P von der db-linie. Die Phae it für alle ω gleich null. Man hat nur einen Parameter K P um den Verlauf von G K im Bode-Diagramm zu beeinfluen. PI-Regler K P I () = K P + K I = K + KI K P + T P = K I P (3) Hier tehen zwei Parameter, K P und T I, zum loop-haping zur Verfügung. Auch hier ei wieder da prinzipielle Bode-Diagramm eine PI-Regler dargetellt (Abbildung 6). Der Vertärkungfaktor K P de PI-Regler bewirkt auchließlich eine Verchiebung de Amplitudengange nach oben bzw. nach unten, ohne die Phae zu verändern. Der Parameter T I verändert die Form de Bode-Diagramm. Wie man au dem Phaengang de PI-Regler entnehmen kann, bewirkt er für Frequenzen größer al T I keine Phaendrehung mehr. Der Vorteil der PI-Parametrierung mit K P und T I gegenüber der Parametrierung mit K P und K I it, daß man die Eckfrequenz und die Vertärkung für große Frequenzen unabhängig voneinander eintellen kann. Wir betrachten nun im folgenden den gechloenen Regelkrei und tellen folgende Forderungen. 3
4 5 A Abb. 6: Verlauf der Amplitude eine PI-Regler in db (linke Bild) und einer Phae in Grad (rechte Bild) (K p = und T I = 2 ). keine bleibende Regelabweichung (durch I-Anteil trukturell erfüllt) Beipielhaft fordern wir, daß die Bandbreite de gechloenen Kreie doppelt o groß ein oll wie die de offenen Kreie. D.h. die Durchtrittfrequenz oll ω D = 2 ec ein. Diee Bedingung wird über den Reglerparameter K P erfüllt. Stabilität, nominell und robut (Phaenreerve 6 ). Diee Bedingung wird durch geeignete Wahl von K P und T I erfüllt. Offener Krei mit P-Regler Den einen Freiheitgrad de P-Regler benützen wir, um die Durchtrittfrequenz fetzulegen. Der P- Regler verchiebt die Amplitude um den Betrag log K P. D.h. K P betimmt man, indem beim offenen Krei die Amplitude bei der gewünchten Durchtrittfrequenz abgeleen wird (Ampl{ω D }). Hier beträgt der Wert 5dB, wa.58 entpricht. Darau ergibt ich K P zu K P =.58.7 ( =5dB). Die Phae wird dadurch nicht verändert. Wie au Abbildung 7 zu entnehmen it, hat der offene Krei mit dem P-Regler K() =.7 tatächlich eine Durchtrittfrequenz von etwa ω D = 2 ec (getrichelte Linie). Die Phae beträgt bei der Durchtrittfrequenz = 5. Darau folgt, daß der gechloene Krei nominell tabil it. Die Phaenreerve it etwa 3 Grad. Wir fordern aber eine Phaenreerve A Abb. 7: Verlauf der Amplitude der offenen Strecke mit P-Regler in db (linke Bild) und der Phae in Grad (rechte Bild). von 6 Grad. Außerdem müen wir mit bleibender Regelabweichung bei Führung- und Störprüngen rechnen, da die Amplitude nicht ehr groß für kleine Frequenzen it. Damit erfüllt dieer Regler die getellten Anforderungen nicht. Offener Krei mit PI-Regler Die Forderung nach verchwindender bleibender Regelabweichung läßt ich mit einem PI-Regler erfüllen. Für die Vertärkung K P de PI-Regler wählen wir ebenfall K P =.7, um die gewünchte Durchtrittfrequenz zu erzielen. Die Eckfrequenz T I wird o klein gewählt, daß der Regler keine negative 4
5 A Abb. 8: Verlauf der Amplitude der offenen Strecke mit PI-Regler (Gleichung (4) in db (linke Bild) und der Phae in Grad (rechte Bild). Phaendrehung im Bereich der Durchtrittfrequenz hat, um die Stabilitäteigenchaften und Phaenreerve nicht zu verchlechtern. Hier wählen wir T I =.. Damit ergibt ich K() =.7 +. Die Ortkurve hat den in Abbildung dargetellten Verlauf. (4) Die Amplitudenreerve beträgt nach A Abb. 9: Verlauf der Amplitude eine lag-elemente mit v = und w = in db (linke Bild) und der Phae in Grad (rechte Bild). Im Re Abb. : Ortkurve de offenen Kreie mit PI-Regler (Gleichung (4)). Abbildung a r =.3 3. Die Phaenreerve beträgt nach wie vor ca. 3. Mit einem PI-Regler läßt ich alo die gewünchte Phaenreerve von 6 nicht erreichen. 5
6 Offener Krei mit PI-Regler und lead-lag-netzwerk Ein etwa aufwendigerer Entwurf, der weitere Entwurffreiheitgrade eröffnet, it mit og. Lead- bzw. Lag-Elementen (lead-lag-netzwerk) möglich. lag-element (Phaenabenkende Korrekturglied) Ein lag-element it ein PPT -Glied, da die Amplitude oberhalb gewier Frequenzen abenkt ohne die Phae für diee Frequenzen zu verändern: Q() = v + vw + w v > (5) Abbildung 9 zeigt da Bodediagramm eine typichen lag-elemente. Man beachte, daß die Phae für große Frequenzen gleich null it. Lag-Elemente wendet man für Frequenzen unterhalb der Durchtrittfrequenz an, um die Amplitude im Bereich der Durchtrittfrequenz abzuenken, ohne dort die Phae abzuenken. Man kann alo auf diee Weie die Vertärkung erhöhen bei gleichzeitigem Beibehalten der Phaenreerve. lead-element (Phaenanhebende Korrekturglied) Ein lead-element it ein PDT -Glied, da die Phae in einem betimmten Frequenzbereich anhebt, ohne die Amplitude in dieem Bereich zu beeinfluen. Q() = v + w + vw v > (6) Lead-Elemente wendet man im Bereich der Durchtrittfrequenz an, um die Phaenreerve zu vergrößern, ohne die Vertärkung zu verändern. Abbildung zeigt da Bodediagramm eine typichen lead A Abb. : Verlauf der Amplitude eine lead-elemente mit v = und w = in db (linke Bild) und der Phae in Grad (rechte Bild). Elemente. Man erkennt, daß bei der Frequenz ω = 2 die Amplitude noch ehr klein it, aber die Phae bereit relativ große (poitive) Werte hat. In unerem Beipiel kann man die Phaenreerve durch Verwenden eine Lead-Elemente (mit v = und w = 5) Q() = + 5 (7) + 5 erhöhen. Die Phaenreerve teigt dadurch auf etwa 5 Grad, wie au den nachfolgenden Diagrammen entnommen werden kann. Die Ortkurve hat den in Abbildung 3 dargetellten Verlauf. Wenn wir die Phaenreerve noch weiter erhöhen wollen, könnten wir die mit einem weiteren lead- Element erreichen. Die Wahl der Parameter von PI-Reglern und lead-lag-netzwerken wird im allgemeinen iterativ erfolgen: Anhand von Überlegungen für den aymptotichen Verlauf der Phae und Amplitude wird ein betimmter Satz von Reglerparametern gewählt. Mittel geeigneter Programme werden die exakten Bodediagramme dann berechnet und graphich augegeben. Anhand dieer Kurven wird der gewünchte Verlauf iterativ erreicht. 6
7 A [db] φ [ ] Abb. 2: Verlauf der Amplitude der offenen Strecke mit PI-Regler (Gleichung (4) und lead-element (Gleichung (7)) in db (linke Bild) und der Phae in Grad (rechte Bild). Im Re Abb. 3: Ortkurve de offenen Kreie mit PI-Regler (Gleichung (4)) und lead-element (Gleichung (7)). Die Anforderungen an die Regelgüte werden durch Formen von Amplitude und Phae de offenen Kreie nur näherungweie erfüllt. Man muß alo nach jedem open-loop-haping-entwurf überprüfen, ob die Anforderungen im gechloenen Krei erfüllt ind. Die gechieht durch Berechnen und Augeben der Bodediagramme z.b. für die Senitivität S und die komplementäre Senitivität T. Gegebenenfall ind weitere Iterationen nötig. Anchließend ollte durch Zeitbereichimulationen überprüft werden, ob die erzielten Eigenchaften im Frequenzbereich auch im Zeitbereich zum gewünchten Regelverhalten führt. Bei Nichterfüllen ind weitere Iterationchritte nötig. 7
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