effektives Verfahren ~ Algorithmus (Al Chwarismi) Regelsystem, Methode, Rezept, Gebrauchsanleitung Programm (griech. προγραφω, vor-schreiben)

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1 effektive Verfahren Ein Verfahren ist effektiv, wenn es für jeden Fall, der in einem zuvor abgegrenzten Bereich von eindeutigen Unterscheidungen auftreten kann, eine eindeutige und ausführbare Handlungsanweisung bereithält. effektives Verfahren ~ Algorithmus (Al Chwarismi) Regelsystem, Methode, Rezept, Gebrauchsanleitung Programm (griech. προγραφω, vor-schreiben) Programm: eine geplante Reihenfolge von Ereignissen z.b. Euklidischer Algorithmus (größter gemeinsamer Teiler) Begriffsanalyse von Algorithmus : 3 Bestimmungsstücke 1) ein System von Regeln 2) ein diskreter Prozess, der zu vorgegebenen Eingangswerten (deterministisch) Folgen von Zwischenergebnissen erzeugt 3) eine Abbildung (Verhaltensfunktion), die eine Zuordnung zwischen Eingangs- und (End-)Ergebniswerten herstellt CHURCH-TURING-These (1936): Jedes effektive Verfahren kann als Tabelle einer TM beschrieben werden. K.A.Fröschl 2001 OH 02.1

2 Interpretation (Form und Sinn) was macht die TM M.TM? Festlegung einer Interpretation der Bandinschriften ist erforderlich; jedoch: Interpretationen einer TM sind Sache der Umgebung, nicht der TM selbst etwa: unäre Zahldarstellung entspricht einer (Zähl-)Einheit (Leerzeichen) ist Trennzeichen M.TM multipliziert! genauer: die math. definierte Multiplikation bestimmt eine Verhaltensfunktion, die je zwei Zahlen (Faktoren) eine dritte Zahl (Produkt) zuordnet; diese Verhaltensfunktion wird durch M.TM effektiv simuliert: sprich: die Multiplikation ist ein Modell für M.TM drei Schritte: Kopieren eines (Zähl-)Zeichens Buchhaltung im zweiten Faktor Buchhaltung im ersten Faktor für jede Kombination eines (Zähl-)Zeichens im ersten mit einem (Zähl-)Zeichen im zweiten Faktor wird ein (Zähl-) Zeichen des Produkts auf das Band geschrieben bzw. kopiert K.A.Fröschl 2001 OH 02.2

3 Kopiervorgang Beispiel-Alphabet: 4 Zeichen,, A, B Startzustand: die Umgebung setzt eines der drei Zeichen, A oder B auf das Band mit diesem einzigen Feld (Leseposition in Zustand 1) Ziel: Kopie des Zeichens rechts von einem Trennzeichen, Rückkehr der TM zur Ausgangsposition K.A.Fröschl 2001 OH 02.3

4 Buchhaltung im zweiten Faktor Spur-Ausschnitt einer Multiplikation 3 4 K.A.Fröschl 2001 OH 02.4

5 Buchhaltung im ersten Faktor vollzieht sich völlig analog auf äußerer Ebene Zustände werden in einer Zyklenstruktur durchlaufen: unterste Ebene der Zyklen: Verweilen im selben Zustand höhere Ebenen: Abfolge von Zuständen bzw. Zustandsfolgen K.A.Fröschl 2001 OH 02.5

6 Module, Zusammenfassung Modularisierung von TMn: TMn lassen sich zusammenschalten, indem die Kontrolle von einer gerufenen TM nicht an die Umgebung, sondern an eine rufende TM zurückgegeben wird (Verknüpfung der Modul-TMn über bestimmte Zustände) wesentlich: auf dem Band einer TM geschieht nichts weiter als Lesen, Schreiben und Aufsuchen des Nachbarfelds alle Leistungsfähigkeit der TM ist in die spezifische Gesetzlichkeit ihrer Zustandsübergänge (Zuordnung von Werten zu Argumenten) gepackt Programmieren : Entwurf einer bestimmten TM zu einer geg. Verhaltensfunktion Programmiersprache: Ausdrucksmittel zur Darstellung von TM-Tabellen wohlgeformte Ausdrücke über festem Alphabet (sog. formale Sprache) keine Programmiersprache ist ausdrucksstärker (aber u.u. weniger umständlich!) als die Sprache zur Programmierung der TM K.A.Fröschl 2001 OH 02.6

7 Hausübung was macht die nachfolgend beschriebene TM, wenn sie in ihrem Zustand 1 auf dem ersten Zeichen eines -Blocks auf ihrem Band gestartet wird? K.A.Fröschl 2001 OH 02.7

8 Universelle TURING-Maschine die vereinbarte Notations- und Arbeitskonvention legt ein effektives Verfahren zur Abarbeitung von TM-Tabellen fest m.a.w., die allgemeine Gültigkeit der CHURCH-TURING-These vorausgesetzt, existiert eine TM, die dieses Verfahren simuliert diese TM heißt UTM (universelle TM); die UTM kann jede o-tm (auch sich selbst!) in ihrem Verhalten imitieren prinzipieller Aufbau einer UTM (Skizze): Codierung der Argument/Werte-Paare so, dass die o- TM-Tabelle auf das Band der UTM geschrieben werden kann das jeweilige Argument der o-tm muss auf dem Band der UTM vorgemerkt werden ( Arbeitsspeicher ) außerdem enthält das Band der UTM auch noch die Inschrift des Bands der o-tm ( Input ) prinzipieller Ablauf einer UTM: Makro-Züge : für jedes Argument im Arbeitsspeicher Extraktion des dem Argument (der o-tm) zugeordneten Werts der o-tm-tabelle Modifikation der Inschrift des o-tm-bands gemäß extrahiertem Wert Aktualisierung des Arbeitsspeichers (der UTM) konkrete Computer: beschränkte Realisierungen der UTM K.A.Fröschl 2001 OH 02.8

9 Leistungsfähigkeit der UTM kann eine verlangte Transformation von Eingangswerten in Ergebnisse durch eine TM ausgeführt werden, so heißt diese Transformation TURING-Berechnung; die Zuordnung bzw. Funktion ist (TURING-) berechenbar unbeschadet der CHUCH-TURING-These lässt sich zeigen: nicht jede formulierbare Funktion ist berechenbar ( busy beaver ) Spezialfall: Halte-Problem (Entscheidbarkeit) Tragweite: es gibt eine Reihe von Ansätzen zur Charakterisierung effektiver Verfahren (bzw. von Berechenbarkeit), etwa Gleichungskalkül (Herbrand) partiell-rekursive Funktionen (Herbrand/Gödel, Kleene) λ-kalkül (Church, Kleene) Normal-Systeme (Post) Normalalgrithmen (Markov) logische Schemata von Algorithmen (Ljapunov) Graphenschemata (Péter, Kaloujnine) es lässt sich zeigen: alle diese Ansätze sind ineinander überführbar, also äquivalent stützt die CHURCH-TURING-These! Konklusio: nur wenige Funktionen sind berechenbar! K.A.Fröschl 2001 OH 02.9

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