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1 Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Technische Betriebswirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Teilprüfung: Mathematik 1 (Modul) Termin: Februar 2004 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Name, Vorname Matrikelnummer Aufgabe Gesamt Note Punkte Soll: Ist: Hinweise: Lesen Sie zunächst alle Aufgaben durch. Vergewissern Sie sich, dass die Aufgabenstellung vollständig ist, Sie umfasst das Deckblatt und 4 Aufgabenblätter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer und kennzeichnen Sie jedes weitere Blatt zur Sicherheit mit Ihrem Namen (oben rechts). Für die Lösung ist auf den Aufgabenblättern Platz vorgesehen, die Rückseiten können dafür ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf eine konkretes (Seitennummer) der von der Prüfungsaufsicht zur Verfügung gestellten Zusatzblätter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf für die Lösungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Aus Ihrer Lösung einer Aufgabe muss der Lösungsweg erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner für komplexere Lösungsschritte verwenden, sollten Sie dies vermerken, z.b. Nullstelle / Gleichung... mit dem Taschenrechner bestimmt / gelöst ; 1

2 1. Herr A. benötigt dringend e. Er findet in der Tageszeitung auch schnell ein Angebot für kurzfristige Kredite. Es werden bei einer Bearbeitungsgebühr von 50 e Kredite in einer Höhe bis zu e angeboten, wobei für die Laufzeit von 3 Monaten nur 3% Zinsen zu zahlen sind. (a) Welchem effektiven Jahreszins entspricht dieses Angebot? (b) Würde er mit einem Bankkredit besser kommen, wenn der Bankkredit bei einem Disagio von 2% mit einem Jahreszins von 8% verzinst würde, er den Kredit aber ebenfalls nach 3 Monaten tilgen würde? (Wie hoch wäre dann der Effektivzins für diesen Kredit?) (c) Würde sich die Relation (welches Kreditangebot ist günstiger?) verändern, wenn die Kreditsumme höher oder niedriger ist? Wenn ja, welcher Kredit wird wann günstiger? (Begründung!) Hinweis: Rechnen Sie durchgängig nach der Zinseszins-Methode! 2

3 2. Herr B. spart zusätzlich zu seiner Rentenversicherung für seine Zeit als Rentner monatlich, jeweils zum Monatsende, 400 e auf einem mit 4% verzinsten Konto. Bis zum voraussichtlichen Eintritt ins Rentenalter kann er dies über insgesamt 20 Jahre tun. (a) Über welches Guthaben kann Herr B. am Tag des angenommenen Eintritts ins Rentenalter verfügen? (b) Wie ändert sich die verfügbare Summe, wenn er am Ende jeden Jahres (Sparjahr = Kalenderjahr) für den Urlaub e von dem Konto abhebt? (c) Wie viel könnte er von dem unter (a) berechneten Guthaben monatlich jeweils am Monatsanfang abheben, wenn das Geld 20 Jahre reichen soll? Hinweis: Falls Sie Aufgabe (a) nicht lösen konnten, gehen Sie für die Aufgaben (c) von einem Betrag in Höhe von e aus! 3

4 3. In der Diskussion um die Steuerreform wurde unter anderem von F. Merz vorgeschlagen, nur noch drei Steuersätze einzuführen. Für Verheiratete sind dies: 12% für das zu versteuernde Einkommen bis zu e, 24% für das zu versteuernde Einkommen von e bis zu e, 36% für das darüber hinaus zu versteuernde Einkommen Zusätzlich sollten e pro Kopf der Familie steuerfrei sein, d.h. diese zählen nicht zum zu versteuernden Einkommen. (a) Bestimmen Sie eine stückweise lineare Steuerfunktion S(x), die diesen Angaben entsprechend die Steuer S für ein Ehepaar mit 2 Kindern in Abhängigkeit vom Jahreseinkommen x der Familie bestimmt! (b) Ist diese Funktion differenzierbar und/oder stetig, und welche Wachstumseigenschaften hat sie? (c) Wie hoch wären bei einem Jahreseinkommen von e die Steuer und der Steuersatz (prozentual) für die Familie? 4

5 4. Ein 1-Produkt-Unternehmen arbeitet nach der Kostenfunktion K(x) = 5x 3 360x x , wobei die Produktionsmenge x in ME zu je Stück und die Kosten K in e angegeben werden. (a) Von welcher Produktionsmenge an ist die Kostenfunktion progressiv wachsend? (b) Bestimmen Sie die Produktionsmenge mit den minimalen stückbezogenen variablen Kosten k v (x)! Wie groß sind bei dieser Produktionsmenge die variablen Stückkosten und was bedeutet dieser Wert? (c) Bestimmen Sie die Produktionsmenge mit den minimalen stückbezogenen Kosten k(x)! Wie groß sind bei dieser Produktionsmenge die Stückkosten und was bedeutet dieser Wert? Hinweise: 1. Überlegen Sie für alle Funktionswerte, in welchen Einheiten diese angegeben werden! 2. Falls Sie Gleichungen höheren als zweiten Grades lösen müssen, benutzen Sie das Newton-Verfahren und beschreiben dabei mindestens eine Iteration ausführlich! 5

6 Lösungen 1. (a) i eff = % (b) ja, i eff = % (c) Der Effektivzins des Bankkredits ist unabhängig von der Kredithöhe, bei dem Zeitungsangebot sinkt der Effektivzins mit wachsender Kreditsumme (konstante Bearbeitungsgebühr). 2. (a) e (b) e e = e (c) e (bzw e, wenn man von e ausgeht) 0, 0 x x 3 480, < x (a) S(x) = 0.24x 9 600, < x x , < x < (b) stetig, nicht differenzierbar (bei x 1 = , x 2 = , x 3 = ), progressiv wachsend (monoton wachsend und konvex) (c) S(60 000) = 4 800, s(60 000) = 0.08 = 8% 4. (a) x S = 24, d.h. bei einer Produktionsmenge von mehr als Stück wachsen die Produktionskosten progressiv. (b) x m = 36, d.h. bei einer Produktionsmenge von Stück sind die variablen Stückkosten minimal, sie betragen 5.52 e/stück, dies ist die kurzfristige Preisuntergrenze. (k v (36) = 5 520) (c) x o = , d.h. bei einer Produktionsmenge von Stück sind die Stückkosten minimal, sie betragen 6.80 e/stück, dies ist die langfristige Preisuntergrenze. (k(39.134) = ) 6

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