Mathematik. Leistungskurs. Beispielaufgabe A 1. Auswahlverfahren: Hessisches Kultusministerium. Landesabitur 2007 Beispielaufgaben.

Transkript

1 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung Taschenrechner keine

2 Beispielaufgaben 005_M-LK_A I. Thema und Aufgabenstellung Analysis Aufgaben Für jede reelle Zahl t ist eine Funktionenschar f t gegeben durch t + ln( x) f t ( x) = ; x > 0 x a. Weisen Sie nach, dass f t Null-, Extrem- und Wendestellen besitzt. Untersuchen Sie auch das Verhalten für x 0 und x und zeichnen Sie den Graphen f für 0< x 5. (LE $= cm) Bestimmung einer besonderen Kurve: b. Erklären Sie, was in den Schritten bis 3 im 4 3 nebenstehenden Kasten berechnet wird. Was beschreibt y in Zeile 3? Für g t ( x) = x + tx ist der Punkt Übertragen Sie die Rechnung auf den Punkt t t Tiefpunkt. ( ) t t e e der Funktionenschar f t (x) und interpretieren Sie das Ergebnis.. x = t c. Die Funktion f t, die x -Achse und die zur y -. t = x 3 Achse parallele Gerade durch den Hochpunkt von f t umschließen eine endliche Fläche. 3. y = ( x) = x Bestimmen Sie deren Inhalt und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. d. Lässt man den Graphen f (siehe a) im Intervall [e -, h] um die x -Achse rotieren, so entsteht ein Rotationskörper, der einer Rotweinkaraffe ähnelt. Man kann jetzt das Volumen der Karaffe in Abhängigkeit zur Füllhöhe h berechnen. Möchte man zu einem gegebenen Volumen V dieser Karaffe die Füllhöhe h bestimmen, so gelangt man nach einigen Umformungsschritten zu folgender Gleichung: V z z + 6z + 0 = ( + 4,78) e (mit z = ln(h) ) π Diese Gleichung ist mit den herkömmlichen Mitteln algebraisch nicht lösbar. Erläutern Sie, wie man zumindest näherungsweise für z eine Lösung bestimmen könnte. Begründen Sie, dass es nicht für jeden Wert von V eine Lösung geben kann.

3 Beispielaufgaben 005_M-LK_A Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen Zielsetzung: Im Wesentlichen ist diese Aufgabe an traditionellen Fragestellungen orientiert. Sie erfordert einen sicheren Umgang mit den Kalkülen der Analysis. Dabei müssen gefundene Ergebnisse interpretiert und Rechenwege erläutert werden. Da die Kenntnis des Begriffs der Ortskurve nicht vorausgesetzt werden kann, soll dies im Aufgabenteil b) zunächst an einem Beispiel erläutert und dann auf die eigentliche Funktion übertragen werden. Im weiteren Verlauf der Aufgabe wird erwartet, dass man Lösungsansätze entwickelt, wenn herkömmliche Rechenroutinen nicht zum gewünschten Erfolg führen. III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung Erwartete Lösungen I II III Bemerkungen a. Nullstellenberechnung, Bedingungen (z. B. f ( x N ) = 0 ) 7 0 Standardstoff formulieren. Die entstehenden Gleichungen lösen. des Analysisunterrichtes, si- Extrema u. Wendepunkte: Bedingungen in Gleichungen cherer Umgang fassen (z. B. für Extrema f t ( xe ) = 0 f t ( xe ) 0 ), entstehende Gleichungen lösen, Bedingungen überprüfen. Es scharen mit Kurven- gibt nur Hochpunkte und keine Tiefpunkte. Asymptoten als Grenzwert formulieren. Ableitungen: t ln( x) ln( x) + t 3 f t ( x) =, f ( x) t =, 3 x x 6t 6ln( x) f t ( x) = 4 x Nullstelle N ( e / 0) ; Extrema H ( e / e ) t t t t Wendestellen: Wt ( e 3 / e ) 3 3 t t t Asymptoten: Die x-achse ist Asymptote für x. Für x 0 folgt, dass die y-achse Asymptote ist. 3

4 Beispielaufgaben 005_M-LK_A b. Die x-koordinate des Tiefpunktes wird nach t aufgelöst und mit dieser Umformung der Parameter t aus der y-koordinate eliminiert. Alle Tiefpunkte der Schar liegen daher auf dem Graphen von y aus Zeile 3 (Fachbegriff: Ortskurve). Übertragung auf das Beispiel: ln x x = e t t=-lnx; y = e y =. x Die Hochpunkte der Schar liegen auf einer Hyperbel. c. Richtiges Formulieren des gesuchten Integrals mit e t e t f ( x) dx = A. Ermittlung der passenden Stammfunktion t durch z. B. partielle Integration. Flächenberechnung: A = e t e t t + ln( x) ( ) dx = [ t ln( x) + (ln( x)) ] x e t e t =. Das Ergebnis ist vom gewählten Parameter unabhängig. d. Interpretiert man die einzelnen Seiten der Gleichung als V z Funktionen [ n( z) = z + 6z + 0 ; t ( z) = ( + 4,78) e ] π und zeichnet deren Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem, kann man über den Schnittpunkt der Kurven eine Lösung finden. Ist V 4, 78 π, so gibt es keine Lösung. Der Graph von t(z) verläuft dann nämlich auf bzw. unterhalb der x-achse, n(z) aber weiterhin immer oberhalb der x-achse. 5 Erkennen der 3 angegebenen Umformungsschritte bzw. Ergebnisse und ihre Interpretation. Ortskurve erkennen. 7 Anwendung der partiellen Integration. Σ 40 7 Im Ergebnis taucht der Parameter t nicht mehr auf. 5 Erläuterung einer Lösungsstrategie. Vom angegebenen Lösungsweg abweichende, aber dennoch zum Ziel führende Lösungen, sind als gleichwertig anzusehen. 4

5 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung Taschenrechner keine

6 Beispielaufgaben 005_M-LK_A I. Thema und Aufgabenstellung Analysis Aufgaben Zu jedem k > 0 ist eine Funktion f k gegeben durch k t k t k t k t f (t) = 80e e = 80e (e ; t R k 3 3 ) a. Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der t-achse, die Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie die Asymptoten des Graphen von f k. b. Begründen Sie, dass der folgende Graph zu f 0,5 gehört. c. Die t-achse und der Graph von f k begrenzen eine bis ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen Sie die Gleichung der zur t-achse senkrechten Geraden g, die diese Fläche in zwei Teilflächen einteilt, sodass der Inhalt der linken Teilfläche dreimal so groß ist wie der Inhalt der rechten Teilfläche. d. Der Graph von f 0,5 (siehe Aufgabenteil b) zeigt den Verlauf einer Schädlingspopulation in einem Wald während der Bekämpfung mit einem Pestizid, beginnend bei t = 0 und endend zu der Zeit t, ab der keine Schädlinge im Wald mehr vorhanden sind. Dabei gilt Folgendes:

7 Beispielaufgaben 005_M-LK_A Einheit der Funktionswerte =ˆ 000 Schädlinge Einheit der t-werte = Tag ˆ d. Beschreiben Sie kurz den Verlauf der Population in dem Intervall [t ; t ]. Gehen Sie dabei auf die Größe und auf die Wachstumsgeschwindigkeit der Schädlingspopulation ein. d. 8 Stunden bevor die Population am stärksten wuchs, wurde das Pestizid über dem Wald versprüht. Bestimmen Sie den Zeitpunkt und die Anzahl der Schädlinge zu diesem Zeitpunkt. d3. Jeder Schädling vertilgt pro Tag 3 cm Blattfläche. Wie viel Blattfläche wurde von den Schädlingen insgesamt gefressen? 3

8 Beispielaufgaben 005_M-LK_A Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen Zielsetzung Die Aufgabenteile a und b gehen auf die klassischen Untersuchungsmethoden für Funktionen am Beispiel einer Schar von Exponentialfunktionen ein. Aufgabenteil c beinhaltet ein komplexeres Flächeninhaltsproblem, was eine strukturierte Lösungsstrategie erfordert. Neben den üblichen Integrationsmethoden werden vor allem Fertigkeiten im Umgang mit Exponentialgleichungen benötigt. Im Aufgabenteil d wird eine Modellierung eines Anwendungsbeispiels (Beschreibung eines Populationswachstums) aufgegriffen. Dabei geht es im Wesentlichen um die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsgröße und um die des Integrals als verallgemeinertes Größenprodukt. III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung Erwartete Lösungen I II III Bemerkungen a. - Schnittpunkte mit der t-achse: (Bed.: f(t) = 0), Nullstellen bei ln(40) N k ( 0) k - Ableitungen: f (t) = 80k e k f (t) = 80k k f (t) = 80k k 3 k t e e k t k t 3 k e k k 3 k t e e ln(40) t k = k = k e k t k t = k k t - Extrempunkte: Notwendige Bed. für Extrempunkte: ln(0) f k (t) = 0 t k = k Hinreichende Bed. führt auf: ln(0) H k (,4800) k - Wendepunkte: Notwendige Bed. für Wendepunkte: ln(60) f k (t) = 0 t k = k Hinreichende Bed. führt auf: ln(60) W k (, 3600 ) k - Asymptoten: lim f (t) =, lim f (t) = 0 k t + t k (80 e k t 3 e k t (80 Die t-achse ist Asymptote für t. Für t + besitzt f k keine Asymptote. 4 3 ) e k t ) 7 7 Klassische Methoden der Funktionsuntersuchung Wird die Berechnung mit einem konkreten Wert für k durchgeführt, sind Teilpunkte zu geben 4

9 Beispielaufgaben 005_M-LK_A b. Die wesentlichen Eigenschaften sollen hier für k = 0,5 mithilfe von Teil a für die Begründung des Graphen herangezogen werden. c. Strategie:. Bestimmung des Flächeninhalts der bis ins Unendliche reichenden Fläche A k. Bestimmung des Flächeninhalts der Fläche A 3. Bestimmung der Grenze t * zu.: Ansatz: A k = A k ln 40 k lim f k a a = lim a (t)dt = ln(40) k e = lim a k k zu.: A = = A 4 k zu 3.: Ansatz: A 400 k a f k a (t) dt 80 e lim k k a e (t)dt = k k k t k a e + = 6 k e + 6 k k t e 3 k 9600 k ln 40 * * k k t k t = f k = * t * ln(0) * =, t k t = ln(360) k ln 40 k a 400 k Da nur die erste Gerade die angegebene Fläche teilt, lautet ln(0) die Gleichung für g : t = k d. Die Populationsgröße ist zu Beginn sehr klein und nimmt. bis zum Hochpunkt zu. Die Wachstumsgeschwindigkeit steigt ebenfalls, jedoch nur bis zum Wendepunkt. Ab dem Wendepunkt wird das Wachstum geringer, ehe es ab dem Hochpunkt sogar negativ wird, d. h. die Populationsgröße nimmt wieder ab. Nach ca. Tagen ist sie auf Null zurückgegangen, d. h. es sind keine Schädlinge mehr vorhan- den. 5 3 Der Graph bestätigt die in a gewonnenen Ergebnisse und hilft für die Umsetzung der Lösungsstrategie bei Teil c. Die Hälfte der zu vergebenden Punktzahl sollte bei diesem Aufgabenteil auf die Erläuterung der Strategie und die Ansätze verteilt werden. Lösung durch Substitution * k t z = e 5

10 Beispielaufgaben 005_M-LK_A d. 8 Stunden entsprechen einem ¾ Tag. Die Population wuchs am stärksten beim Wendepunkt. ln(60) 3 tˆ = 7, 439 f 0, 5 (tˆ) 73 4 Das Pestizid wurde etwa nach 7 Tagen und 0,5 Stunden versprüht. Die Anzahl der Schädlinge betrug zu diesem Zeitpunkt etwa,73 Millionen. ln(40) d 3. A = cm f 0,5 (t)dt = cm 0 Die insgesamt gefressene Blattfläche der Schädlinge betrug etwa 5700 m. 3 Σ

11 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A 3 Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung GTR keine

12 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 3 I. Thema und Aufgabenstellung Analysis Aufgaben e a. Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = x ( e + ) Lassen Sie den Graphen von f plotten und übertragen Sie ihn in ein geeignetes Koordinatensystem auf Papier. Beweisen Sie die vermutete Symmetrieeigenschaft von f. x e Zeigen Sie, dass F mit F( x) = eine Stammfunktion von f ist und berechnen Sie x ( e + ) den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der x-achse im Intervall [-,3,3]. Begründen Sie folgenden Grenzwert: t A = lim f ( x )dx = t t b. Skizzieren Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graphen der Gaußschen phi- 0,5x Funktion φ mit ϕ( x) = e. π Vergleichen Sie die Graphen der beiden Funktionen f und φ miteinander, indem Sie mindestens zwei wesentliche Übereinstimmungen und zwei wichtige Unterschiede auffinden und rechnerisch begründen. c. Beide Graphen sind Glockenkurven. Durch Streckung und Stauchung lässt sich der Graph von f dem von φ anpassen. Führen Sie dies durch und geben Sie einen Term für die Näherungsfunktion f an. Als Maß für die Güte der Anpassung wird das Integral I(k) = ( ϕ ( x) f ( x) )dx vorgeschlagen. Mit einer geeigneten Näherung für f erhält man nebenstehende Werte: x k k k 3 I 0,087 0,038 0,036 Nehmen Sie Stellung zu diesem Gütemaß und machen Sie Verbesserungsvorschläge (die Sie mit Rechnungen begründen sollen).

13 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 3 Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen Zielsetzung In der Aufgabe geht es darum, zwei verschiedene Glockenkurven zu vergleichen und die eine an die andere anzupassen. In Teil a wird die erste Glockenkurve näher untersucht. In Teil b soll diese Funktion mit der Gaußschen ϕ-funktion verglichen und in Teil c an diese angepasst werden. Abschließend muss die Güte der Anpassung diskutiert werden. III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung a. Erwartete Lösung I II III Bemerkungen Zeichnung Achsensymmetrie zur y-achse x x x x e e e e f ( x) = = = = f (x) x x x x (e + ) (e + ) e ( + e ) Untersuchung einer komplexeren Funktion auf ausgewählte Eigenschaften hin Die Ableitung der Funktion F ergibt den Funktionsterm von f. x x x x x e ( e + ) ( e ) e e F ( x) = = x 4( e + ) ( e + ),3 x e Flächeninhalt: dx 0, 57 x (e + ),3 Uneigentliches Integral: x t t e t e A lim f (t)dt lim lim = = = = t t t t (e ) t ( e ) t weil lim e = 0 t 6 9 Stammfunktion Flächeninhalt Uneigentliches Integral 3

14 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 3 b. Übereinstimmungen: Graphen achsensymm. zur y-achse Hochpunkt bei x=0, x-achse Asymptote Fläche unter den Graphen beträgt Flächeneinheit Unterschiede: phi-funktion hat höheren Hochpunkt H f = (0 0,5), H ϕ (0 0,4) Wendepunkte von ϕ bei x = ±, von f bei x W, = ln(± 3 ) ±,3 Flächeninhalt unter Graph stärker um Achse konzentriert, ϕ(x)dx 0,68 und f (x)dx 0,46 z.b. auch der Inhalt der Fläche unter den Graphen zwischen den beiden Wendepunkten (bei der ϕ-funktion entspricht das der σ-umgebung) ist bei f kleiner: ln(+ ϕ ( x) dx = 0,68 und f ( x) dx = ln( c. Graph von f muss in Richtung der y-achse gestreckt werden, 3) 3) 3 3 = 0, hier muss auf Kenntnisse über die Gaußsche ϕ-funktion zurückgegriffen werden bewusst offene Formulierung; je zwei wesentliche Übereinstimmungen bzw. Unterschiede müssen selbstständig ausgewählt werden andere Eigenschaften sind entsprechend zu werten Dieser Vorgang der zweifachen Abbildung mit Streckung und Stauchung ist bei der Herleitung der Normalverteilung üblich. Streckfaktor 0,4/0,5 =,6 dann Stauchung in Richtung der x-achse notwendig, damit Flächeninhalt bleibt, muss da x in f(x) linear - der gleiche Faktor verwendet werden 4

15 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 3 Integralbegriff im Anwendungszusammenhang f =,6 f (,6 x) nach Augenmaß liegt gute Anpassung vor Die berechneten Werte für k =,, 3 geben den orientierten Flächeninhalt der von beiden Graphen eingeschlossenen Fläche an. Da I() < I() und I() > I(3) ist, müssen sich beide Graphen in [, 3] mindestens einmal schneiden. Das wird durch Rechnung auch bestätigt (Schnittstelle bei x,74) Daher könnte bei diesem Maß der Wert von I(k) für k sich auch Null nähern, obwohl die Graphen gar nicht nahe beieinander liegen. Ein Maß, das dieses Nachteil vermeidet, ist das Integral des Betrags der Differenz beider Funktionen Ι(k) = k k Hier erhält man die Werte ϕ ( x) f ( x) dx k 3 Ι(k) , Σ

16 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A 4 Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung GTR oder CAS keine

17 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 4 I. Thema und Aufgabenstellung Analysis Aufgaben Nach der Fällung einer 00 Jahre alten Rotbuche wurde anhand der Jahresringe der Stammdurchmesser bestimmt. Die folgende Tabelle gibt einen Auszug aus den Messdaten: Alter in Jahren Durchmesser in Metern a. Zeichnen Sie die Messpunkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Skizzieren Sie eine Kurve, die auch den weiteren Verlauf des Durchmessers prognostizieren könnte, und beschreiben Sie den Wachstumsprozess in Worten. Modellieren Sie die Entwicklung des Durchmessers während der ersten 75 Jahre als exponentielles Wachstum. In welcher Zeitspanne verdoppelt sich die Dicke des Baumes nach Ihrem Modell? Beurteilen Sie dieses Modell. 5 b. Die Funktion d(x) = für x [0;00] 0.05 x 00 e + 4 ist ein weiteres Modell, um das Wachstum des Baumdurchmessers zu beschreiben. Zu welchem Zeitpunkt hatte nach diesem Modell der Baum eine Dicke von m? Wann wächst der Baum nach diesem Modell am schnellsten und wie schnell wächst er dann? c. Max hat ein anderes Modell gewählt: Eine kubische Regression führt doch zu einem wesentlich einfacheren Funktionstyp: n(x) = -, x 3 +, x + 9, x +,04 0 -, Damit erhalte ich folgende Tabellenwerte - gerundet auf zwei Nachkommastellen und die sind doch nicht schlechter als die Werte von Funktion d. x n(x) d(x) Vergleichen Sie die beiden Anpassungen. Welche ist besser? Geben Sie eine quantitative und qualitative Begründung.

18 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 4 d. Durch Untersuchungsergebnisse an weiteren Buchen hat man festgestellt, dass sich allgemein das Wachstum der Durchmesser durch die folgende Funktion beschreiben lässt: 5 d p (x) = 0.05 x p e + 4 Betrachten Sie für verschiedene Werte für p den jeweiligen Graphen. Welchen Einfluss übt der Faktor p auf den Verlauf des Graphen aus? Wie verändert sich demnach das Wachstum des Baumdurchmessers in Abhängigkeit von p? 3

19 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 4 Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen Zielsetzung Schwerpunkt ist die mathematische Modellierung eines Wachstumsprozesses. Zunächst soll das Modell eines exponentiellen Wachstums erstellt und kritisch bewertet werden. Ein zweites, verbessertes Modell erlaubt die Bearbeitung spezieller Fragestellungen. Eine qualitative und quantitative Beurteilung der Passungsgüte sowie eine Parametervariation schließen die Aufgabe ab. III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung a Erwartete Lösungen I II III Bezug zum Lehrplan / Bemerkungen Der Durchmesser wächst zunächst langsam, dann 7 5 Neben dem Modellbildungsprozess zwischen dem 50. und 00.Jahr schneller. Danach und dessen Beurteilung je älter der Baum wird, desto langsamer. Die maximale werden Methoden der Differen- Dicke liegt laut den Messdaten wohl knapp zialrechnung eingesetzt. über,6 m. Hier: Grafische Darstellung und Interpretation von Daten. Die Rechnungen können mit oder ohne Rechner ausgeführt werden.. Es sind verschiedene Ausgangswerte denkbar, z. B.: f (x)=0.05 (,045) x (. und 3. Punkt) oder Verwenden der Regressionsmoduls für Exponentialfunktionen. Man erhält bei 4 Punkten: f (x) = 0,068,036 x Verdopplung des Durchmessers: Bei f : nach 6.6 Jahren Bei f : nach Jahren Das Modell kann lediglich für die ersten Jahre herangezogen werden, ansonsten ist die Modellierung unrealistisch. 4

20 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 4 b 3 4 Eine vorangegangene Behandlung von logistischem Wachstum im Unterricht ist nicht notwendig. c Dies ist ein deutlich besseres Modell, was für den gesamten Zeitraum brauchbar ist. Aus der Gleichung d(t) = ergibt sich t 9,03; d. h., nach ca. 9 Jahren hat der Baum einen Durchmesser von m. Der Graph hat einen Wendepunkt bei (40 ln(5) 0.65), demnach wächst der Baum nach ca Jahren am schnellsten. Die Wachstumsrate im 65. Jahr ergibt sich aus d (64) = 0,056, also ca.,6 cm in diesem Jahr. Ein optischer Vergleich der beiden Funktionen: Anwendung von Methoden der Differenzialrechnung, Berechnung des Wendepunktes und von Änderungsraten Beurteilung der Passungsgüte Um einen quantitativen Vergleich durchführen zu können, muss ein Gütemaß eingeführt werden, z. B. die Summe der Abweichungen der beiden Funktionen von den Messwerten. Dabei sind die Beträge zu wählen. Hier wurden Abweichungsquadrate gebildet: Die Aufsummierung ergibt mit 0.06für d(x) einen kleineren Wert als 0.8 für n(x). d(x) passt demnach besser. Zudem fällt der Graph von n(x) nach 00 Jahren wieder ab. Dieses Modell passt demnach nicht für langfristige Prognosen. 5

21 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 4 d Durch p wird der Wendepunkt horizontal verschoben, Anfangswert und Sättigungswert bleiben gleich. Der Faktor p beeinflusst also lediglich den Zeitpunkt, wann der Durchmesser den Wachstumsschub macht. Hier z. B.: die Graphen für p=50 und p=80. 3 Betrachtung einer Kurvenschar, Variation des Parameters und Interpretation im Aufgabenkontext. Der Parameter p könnte als biologischer Faktor gedeutet werden

22 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A 5 Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung CAS keine

23 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 5 I. Thema und Aufgabenstellung Analysis Aufgaben e a. Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = x. ( e + ) Lassen Sie den Graphen von f plotten und übertragen Sie ihn in ein geeignetes Koordinatensystem auf Papier. Beweisen Sie die vermutete Symmetrieeigenschaft von f. Berechnen Sie die Wendepunkte und bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-achse im Intervall zwischen den Wendestellen. t A = lim f ( x )dx = Begründen Sie folgenden Grenzwert: t. t b. Skizzieren Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graphen der Gaußschen phi- 0,5x Funktion φ mit ϕ(x) = e. π Vergleichen Sie die Graphen der beiden Funktionen f und φ miteinander, indem Sie mindestens zwei wesentliche Übereinstimmungen und zwei wichtige Unterschiede auffinden und rechnerisch begründen. c. Beide Graphen sind Glockenkurven. Durch Streckung und Stauchung lässt sich der Graph von f dem von φ anpassen. Führen Sie dies durch und geben Sie einen Term für die Näherungsfunktion f an. x Als Maß für die Güte der Anpassung wird das Integral I(k) = vorgeschlagen. Mit einer geeigneten Näherung. k k ( ϕ( x) f( x) )dx für f erhält man nebenstehende Werte: k 3 I 0,087 0,038 0,036 Nehmen Sie Stellung zu diesem Gütemaß und machen Sie Verbesserungsvorschläge (die Sie mit Rechnungen begründen sollen).

24 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 5 Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen Zielsetzung In der Aufgabe geht es darum, zwei verschiedene Glockenkurven zu vergleichen und die eine an die andere anzupassen. In Teil a wird die erste Glockenkurve näher untersucht. In Teil b soll diese Funktion mit der Gaußschen ϕ-funktion verglichen und in Teil c an diese angepasst werden. Abschließend muss die Güte der Anpassung diskutiert werden. III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung a. Erwartete Lösung I II III Bemerkungen Zeichnung Achsensymmetrie zur y-achse x e e e e händisch : f ( x) = = = = f (x) x x x x (e + ) (e + ) e ( + e ) x x x Untersuchung einer komplexeren Funktion auf ausgewählte Eigenschaften hin oder mit CAS: Wendepunkte e (e 4e + ) f (x)=0 und f (x) 0, f ''(x) = x 4 (e + ) Wendestellen x W, = ln(± 3 ); f(x W, ) = 6 also W (-,3 0,7), W (,3 0,7) x x x Flächeninhalt: ln(+ 3) x e 3 dx = 0,578 x (e + ) 3 ln( 3) Uneigentliches Integral: Stammfunktion Uneigentliches Integral 3

25 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 5 b. t t e t e A lim f (t)dt lim lim = = = = t t t t (e ) t ( e ) t weil lim e = 0 t 6 9 Grenzwertberechnung mit CAS wird nicht bepunktet, BE, wenn nur mit speziellen großen Werten t gerechnet Übereinstimmungen: Graphen achsensymm. zur y-achse Hochpunkt bei x=0, x-achse Asymptote Fläche unter den Graphen beträgt Flächeneinheit Unterschiede: phi-funktion hat höheren Hochpunkt H f = (0 0,5), H ϕ (0 0,4) Wendepunkte von ϕ bei x = ±, von f bei x W, = ln(± 3 ) ±,3 Flächeninhalt unter Graph stärker um Achse konzentriert, ϕ(x)dx 0,68 und f (x)dx 0,46 z.b. auch der Inhalt der Fläche unter den Graphen zwischen den beiden Wendepunkten (bei der ϕ-funktion entspricht das der σ-umgebung) ist bei f kleiner: ln(+ ϕ ( x) dx = 0,68 und f ( x) dx = ln( 3) 3) 3 3 = 0, hier muss auf Kenntnisse über die Gausssche ϕ-funktion zurückgegriffen werden bewusst offene Formulierung; je zwei wesentliche Übereinstimmungen bzw. Unterschiede müssen selbstständig ausgewählt werden andere Eigenschaften sind entsprechend zu werten 4

26 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 5 c. Graph von f muss in Richtung der y-achse gestreckt werden, Streckfaktor 0,4/0,5 =,6 dann Stauchung in Richtung der x-achse notwendig, damit Flächeninhalt bleibt, muss da x in f(x) linear - der gleiche Faktor verwendet werden f =,6 f (,6 x) nach Augenmaß liegt gute Anpassung vor Die berechneten Werte für k =,, 3 geben den orientierten Flächeninhalt der von beiden Graphen eingeschlossenen Fläche an. Da I() < I() und I() > I(3) ist, müssen sich beide Graphen in [, 3] mindestens einmal schneiden. Das wird durch Rechnung auch bestätigt (Schnittstelle bei x,74) Daher könnte bei diesem Maß der Wert von I(k) für k sich auch Null nähern, obwohl die Graphen gar nicht nahe beieinander liegen. Ein Maß, das dieses Nachteil vermeidet, ist das Integral des Betrags der Differenz beider Funktionen Ι(k) = k k ϕ ( x) f ( x) dx Hier erhält man k 3 die Werte 6 5 Ι(k) ,0558 Σ Dieser Vorgang der zweifachen Abbildung mit Streckung und Stauchung ist bei der Herleitung der Normalverteilung üblich. Integralbegriff im Anwendungszusammenhang TI erlaubt keine Berechnung des Grenzwerts k bei der ϕ- Funktion, (Derive sehr wohl), 5

27 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A 6 Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung TR, GTR oder CAS keine

28 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 6 I. Thema und Aufgabenstellung Lineare Algebra / Analytische Aufgaben a. Die Eckpunkte A( 0), B( - ), C(- - 0) und D(- ) bilden einen räumlichen Körper. Zeichnen Sie diese Punkte in ein der Vorgabe entsprechendes Koordinatensystem ein. b. Zeigen Sie, dass dieser Körper ein regelmäßiges Tetraeder ist. Erläutern Sie Ihre Überlegungen bei der Lösung. c. Zeigen Sie, dass die Punkte A, C und D in der Ebene E mit der Gleichung E : x x + x3 = 0 liegen. Berechnen Sie den Schnittpunkt dieser Ebene mit derjenigen Geraden, die durch den Punkt B geht und die senkrecht auf der Ebene E steht. Welchen Abstand hat der Punkt B von der gegenüberliegenden Tetraederfläche? d. (Diese Teilaufgabe ist nur dann zu bearbeiten, falls in II die Lehrplanvariante Fortführung der Analytischen Geometrie im Unterricht behandelt wurde.) Auf der --Ebene liegt auf dem Punkt P(0-0 0) eine Kugel mit dem Radius r=. Diese rollt nun geradlinig auf dieser Ebene auf den Ursprung des Koordinatensystems zu, bis sie die von den Eckpunkten A, B und C gebildete Seitenfläche F des Tetraeders berührt. Bestimmen Sie für diese Endlage der Kugel die Koordinaten des Kugelmittelpunktes M und des Berührpunktes G der Kugel mit der Seitenfläche F des Tetraeders.

29 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 6 e. (Diese Teilaufgabe ist nur dann zu bearbeiten, falls in II die Lehrplanvariante Matrizen und lineare Abbildungen im Unterricht behandelt wurde.) 3 Eine Abbildung α : R R 3 heißt lineare Abbildung, wenn α die Linearitätseigenschaften (L) α( x r + y r ) = α( x r ) + α( y r ) r r und (L) α ( r x ) = r α ( x) erfüllt. Begründen Sie mit einer kurzen Rechnung, dass bei einer solchen Abbildung der Nullpunkt fest bleibt, d. h. α (0) = 0 ist. r r Symmetrieabbildungen des Tetraeders sind Abbildungen, bei denen die Bilder der vier Eckpunkte wieder vier Eckpunkte des Tetraeders sind, z. B. eine Abbildung, bei der die Punkte A und C fest bleiben und die Punkte B und D vertauscht werden. Geben Sie alle Symmetrieabbildungen des Tetraeders an, die gleichzeitig lineare Abbildungen sind. Beschreiben Sie die Abbildungen anschaulich und geben Sie die zugehörigen Matrizen an. 3

30 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 6 Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen Zielsetzung: Die Aufgabe erfordert neben einer gut ausgebildeten Raumanschauung und der Fähigkeit, Körper geeignet in einem räumlichen Koordinatensystem darzustellen, eine sichere Anwendung der analytischen Methoden der Vektorgeometrie auf konkrete Körper. Bei der Lösung des Problems ist ein ständiger Wechsel zwischen den Darstellungsebenen (grafisch und symbolisch) erforderlich, was ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen voraussetzt. Im Teil d bzw. Teil e der Aufgabe wird alternativ (je nach Lehrplanvariante) der Einbezug eines Parameters (rollende Kugel) unumgänglich und es soll die Beherrschung von Verfahren zur Beschreibung von Kugeln und Ebenen nachgewiesen werden oder es müssen Matrizen im Zusammenhang mit geometrischen Abbildungen betrachtet werden, wobei die angegebene Definition von Symmetrieabbildungen aufgegriffen und verarbeitet werden muss. III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung a. D Erwartete Lösungen B Anf.- Bereich I II III Bezug zum Lehrplan/ Bemerkungen Zeichnerische Darstellung von räumlichen Gebilden. C Die räumliche Lage muss eindeutig zu erkennen sein. b. Nachweis, dass 0 r r r r r r b a = = b c = 0 = c a = = 0 0 ur r ur r ur r = d a = 0 = d c = = d b = = 0 = 4+ 4 = A 3 Lagebeziehung von Punkten und Geraden im Raum. Die Entscheidung, welche der Linien vorne und hinten sind, erfordert eigenständige Ü- berlegungen Abstandsbestimmungen zwischen Punkten können zur Beantwortung der Frage herangezogen werden, müssen aber selbstständig erschlossen werden. und die entsprechenden Erläuterungen 4

31 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 6 c. Punkte A, C und D in gegebene Ebenengleichung einsetzen und verifizieren oder Gleichung der Ebene E in Parameterform aufstellen: r E : x = + r + s 0 mit der Koordinatengleichung E : x x + x3 = 0. Schnittpunkte der 0 0 r Geraden g : x = + s, die durch B geht und deren Richtungsvektor senkrecht ist zur Ebene E mit der Ebene E S( ). Für den Abstand der Punkte d. o d e r a l t e r n t i v T e i l e. S und B erhält man d(s, B)= Gleichung der von Punkt P(0-0 0) auf den Ursprung zu s rollenden Kugel ist ur k : x s. Sie rollt auf die = 0 r Ebene F mit F : x = + r + s 0 0 (in Koordinatenform F : x x x = 0) zu. Wenn die Kugel k die Ebene F berührt, gilt für diesen besonderen Mittelpunkt M, dass d(m,f)= Aus der Rechnung folgt M( ) und für den Berührpunkt G( ) Umgang mit Koordinaten- und Parameterform von Ebenen und Geraden, Orthogonalität und Abstandsbestimmung. Lagebeziehungen zwischen Kugel und Ebene sind mittels geeigneter Gleichungen für Kugel (mit Mittelpunktsparameter) und Berührebene F zu ermitteln und die Punkte M und G zu bestimmen

32 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 6 e. o d e r a l t e r n t i v T e i l d. r r α(0) = α(0 0) r = 0 α(0) r = 0 Anschauliche Beschreibung der Abbildungen und Angabe der 4 Matrizen E = 0 0 D = S = 0 0 S = Σ Matrizen als lineare Abbildungen Anwendungen von Matrizen in der Geometrie 6

33 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A 7 Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung Taschenrechner keine

34 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 7 I. Thema und Aufgabenstellung Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgaben Eine quadratische Pyramide (Grundkante 4 und Höhe 6) steht neben einer Stufe. 3. Achse. Achse. Achse Die Sonne scheint und wirft einen Schatten der Pyramide auf der Stufe. Die Richtung der 0.75 Sonnenstrahlen ist v r =.5. a. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Spitze, die den Richtungsvektor v r hat (Sonnenstrahl durch die Spitze der Pyramide). Zeigen Sie, dass die Punkte P = 8 und Q = 3 auf dieser Geraden liegen, und erklären Sie, wie man mit 0 Hilfe des Punktes Q entscheiden kann, welche Pyramidenflächen in der Sonne liegen.

35 Beispielaufgaben 005_M-LK_A b. Die Punkte 4 und 4 liegen auf dem Schattenrand. Zeichnen Sie den Schatten 0 der Pyramide, nachdem Sie die noch fehlenden Punkte berechnet haben. Erläutern Sie Ihren Lösungsweg. c. Beschreiben Sie, wie man den Winkel berechnen kann, unter dem die Sonnenstrahlen auf eine Pyramidenfläche auftreffen. Bestimmen Sie diesen Winkel für eine der beiden Pyramidenflächen, die in der Sonne liegen. d. Die Darstellung eines räumlichen Objekts auf dem Bildschirm ist eine lineare Abbildung des 3D-Raums in den D-Raum. Im Bild unten ist eine lineare Abbildung des zweidimensionalen Raums dargestellt. Bestimmen Sie die zugehörige Matrix und erläutern Sie Ihre Überlegungen. 3

36 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 7 Material 4

37 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 7 Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen Zielsetzung Die Aufgabe orientiert sich an den Leitideen Räumliches Strukturieren/Koordinatisieren und Modellieren. Die Aufgabe überprüft die Fähigkeit, sich in ein räumliches Problem hinein zu denken und dieses zu strukturieren. Bei der Lösung des Problems ist ein ständiger Wechsel zwischen den Darstellungsebenen (grafisch und symbolisch) erforderlich, was ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen voraussetzt. Es wird die Darstellung der Situation auf einem Blatt eingefordert. Diese verlangt konzentriertes Arbeiten und präzise Zeichnungen. Bezug zum Lehrplan Die üblichen Verfahren zur Untersuchung von Geraden und Ebenen (Punkt-Richtungsform und Koordinatengleichung), der Normalenvektor, das Skalarprodukt und die Berechnung von Längen und Winkeln ( II) werden benötigt. Die offene Aufgabenstellung an einem realen Objekt ermöglicht unterschiedliche Lösungswege, die aber zum gleichen Ergebnis führen. Im letzten Teil wird die Matrix der zugrunde liegenden linearen Abbildung ermittelt ( II *). III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung Erwartete Lösungen I II III Bezug zum Lehrplan a. Zunächst müssen die Daten (Koordinaten der Pyramidenpunkte und Abmessungen der Stufe) der Zeichnung entnommen und die entsprechenden Punkte definiert werden. Die Gleichung der Gerade durch die Spitze wird ermittelt und nachgeprüft, dass die Punkte P und Q auf der Geraden liegen. Vektoren Parameterdarstellung einer Geraden Lagebeziehung von Punkt und Gerade Mit dem Lineal lässt sich begründen, dass die Dreiecke P3P4S und PP4S in der Sonne liegen. b. Um den Schatten zeichnen zu können, müssen die Schnittpunkte mit den Kanten berechnet werden. Dazu wird die Ebene, die durch den Sonnenstrahl SP und die Pyramidenkante SP3 gebildet wird betrachtet und ihre Gleichung in Punkt-Richtungsform bestimmt. Die Stufenkanten werden durch einfache Gleichungen (z.b.x = -4 und x3=) beschrieben. 4 0 Parameterdarstellung einer Ebene 5

38 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 7 Die Schnittpunkte der Stufenkanten mit der Ebene werden berechnet und gezeichnet. 3 Die übrigen Punkte 4 und 4 werden als 0 Schnittpunkte der Stufenkanten mit der durch SP und der Pyramidenkante SP aufgespannten Ebene berechnet und eingezeichnet. Lagebeziehung von Geraden und einer Ebene Parameterdarstellung einer Ebene Lagebeziehung von Geraden und einer Ebene c. Die Schüler müssen erkennen, dass z. B. die Fläche P3P4S in der Sonne liegt. Sie beschreiben das Verfahren der Winkelberechnung. Um den Winkel zu berechnen, wird zunächst ein Normalenvektor der Ebene bestimmt, der nach innen gerichtet ist. Mit diesem Vektor und dem Richtungsvektor v der Sonnenstrahlen wird der eingeschlossene Winkel berechnet (5.9 ). Der gesuchte Winkel ist dann 74. Skalarprodukt Orthogonalität von Vektoren Winkel zwischen zwei Vektoren d. Die Sch. entnehmen zu zwei beliebigen Punkten die zugehörigen Bildpunkte aus der Zeichnung (z.b. zu (,0) gehört der Bildpunkt (-,0.5) und zu (3,5) der Punkt (-3,-3.5) und berechnen durch Matrizenmultiplikation oder durch Lösen eines LGS die Werte der zugehörigen Abbildungsmatrix Interpretation der Lösung Matrix und Matrizenprodukt Anwendung in der Geometrie

39 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A 8 Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung Taschenrechner oder CAS keine

40 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 8 I. Thema und Aufgabenstellung Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgaben Eine quadratische Pyramide (Grundkante 4 und Höhe 6) steht neben einer Stufe. 3. Achse. Achse. Achse Die Sonne scheint und wirft einen Schatten der Pyramide auf der Stufe. Die Richtung der 0.75 Sonnenstrahlen ist v r =.5. a. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Spitze, die den Richtungsvektor v r hat (Sonnenstrahl durch die Spitze der Pyramide). Zeigen Sie, dass die Punkte P = 8 und Q = 3 auf dieser Geraden liegen, und erklären Sie, wie man mit 0 Hilfe des Punktes Q entscheiden kann, welche Pyramidenflächen in der Sonne liegen.

41 Beispielaufgaben 005_M-LK_A b. Die Punkte 4 und 4 liegen auf dem Schattenrand. Zeichnen Sie den Schatten 0 der Pyramide, nachdem Sie die noch fehlenden Punkte berechnet haben. Erläutern Sie Ihren Lösungsweg. c. Beschreiben Sie, wie man den Winkel berechnen kann, unter dem die Sonnenstrahlen auf eine Pyramidenfläche auftreffen. Bestimmen Sie diesen Winkel für eine der beiden Pyramidenflächen, die in der Sonne liegen. d. In die Pyramide wird eine möglichst große Halbkugel einbeschrieben. Deren flache Seite liegt in der x -x -Ebene. Berechnen Sie den Radius der Kugel, geben Sie die Koordinaten eines Berührpunktes an und erläutern Sie Ihren Lösungsweg. 3

42 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 8 Material 4

43 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 8 Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen Zielsetzung Die Aufgabe orientiert sich an den Leitideen Räumliches Strukturieren/Koordinatisieren und Modellieren. Die Aufgabe überprüft die Fähigkeit, sich in ein räumliches Problem hinein zu denken und dieses zu strukturieren. Bei der Lösung des Problems ist ein ständiger Wechsel zwischen den Darstellungsebenen (grafisch und symbolisch) erforderlich, was ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen voraussetzt. Es wird die Darstellung der Situation auf einem Blatt eingefordert. Diese verlangt konzentriertes Arbeiten und präzise Zeichnungen. Bezug zum Lehrplan Die üblichen Verfahren zur Untersuchung von Geraden und Ebenen (Punkt-Richtungsform und Koordinatengleichung), der Normalenvektor, das Skalarprodukt und die Berechnung von Längen und Winkeln ( II) werden benötigt. Die offene Aufgabenstellung an einem realen Objekt ermöglicht unterschiedliche Lösungswege, die aber zum gleichen Ergebnis führen. Im letzten Teil wird die Lagebeziehung zwischen Kugel und Ebene untersucht (II**). III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung Erwartete Lösungen I II III Bezug zum Lehrplan a. Zunächst müssen die Daten (Koordinaten der Pyramidenpunkte und Abmessungen der Stufe) der Zeichnung entnommen und die entsprechenden Punkte definiert werden. Die Gleichung der Gerade durch die Spitze wird ermittelt und nachgeprüft, dass die Punkte P und Q auf der Geraden liegen. Vektoren Parameterdarstellung einer Geraden Lagebeziehung von Punkt und Gerade Mit dem Lineal lässt sich begründen, dass die Dreiecke P3P4S und PP4S in der Sonne liegen. b. Um den Schatten zeichnen zu können, müssen die Schnittpunkte mit den Kanten berechnet werden. Dazu wird die Ebene, die durch den Sonnenstrahl SP und die Pyramidenkante SP3 gebildet wird betrachtet und ihre Gleichung in Punkt-Richtungsform bestimmt. Die Stufenkanten werden durch einfache Gleichungen (z. B.x = -4 und x 3 =) beschrieben. 4 0 Parameterdarstellung einer Ebene Lagebeziehung von Geraden und einer Ebene 5

44 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 8 Die Schnittpunkte der Stufenkanten mit der Ebene werden berechnet und gezeichnet. 3 Die übrigen Punkte 4 und 4 werden als 0 Schnittpunkte der Stufenkanten mit der durch SP und der Pyramidenkante SP aufgespannten Ebene berechnet und eingezeichnet. Parameterdarstellung einer Ebene Lagebeziehung von Geraden und einer Ebene c. Die Schüler müssen erkennen, dass z. B. die Fläche P3P4S in der Sonne liegt. Sie beschreiben das Verfahren der Winkelberechnung. Um den Winkel zu berechnen, wird zunächst ein Normalenvektor der Ebene bestimmt, der nach innen gerichtet ist. Mit diesem Vektor und dem Richtungsvektor v der Sonnenstrahlen wird der eingeschlossene Winkel berechnet (5.9 ). Der gesuchte Winkel ist dann Skalarprodukt Orthogonalität von Vektoren Winkel zwischen zwei Vektoren d. Die Sch. erkennen, dass der Mittelpunkt der Kugel im Punkt M = liegt und dass die Gerade durch diesen 0 Punkt und den Berührpunkt senkrecht auf der Fläche steht. Mit der Geraden durch M und Richtungsvektor n wird der Schnittpunkt T mit der Pyramidenfläche berechnet. 0 4 Interpretation der Lösung Lagebeziehung zwischen Kugel und Ebene Abstandsberechnung Der Abstand von T und M liefert den gesuchten Radius. 6

45 Beispielaufgaben 005_M-LK_A

46 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A 9 Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung CAS keine

47 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 9 I. Thema und Aufgabenstellung Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgaben Eine quadratische Pyramide (Grundkante 4 und Höhe 6) steht neben einer Treppe. (Siehe Anlage ) Die Sonne scheint und wirft einen Schatten der Pyramide auf der Treppe. Die Richtung der 0.75 Sonnenstrahlen ist v r =.5. a. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Spitze, die den Richtungsvektor v r hat (Sonnenstrahl durch die Spitze der Pyramide). Zeigen Sie, dass die Punkte P = 8 und Q = 3 auf dieser Geraden liegen und erklären Sie, wie man mit 0 Hilfe des Punktes Q entscheiden kann, welche Pyramidenflächen in der Sonne liegen. b. Zeichnen Sie den Schatten der Pyramide und berechnen Sie dazu notwendige Punkte. Erläutern Sie Ihren Lösungsweg. c. Beschreiben Sie, wie man den Winkel, unter dem die Sonnenstrahlen auf eine Pyramidenfläche auftreffen, berechnen kann. Bestimmen Sie diesen Winkel für eine der beiden Pyramidenflächen, die in der Sonne liegen. d. Die Darstellung eines räumlichen Objekts auf dem Bildschirm ist eine lineare Abbildung des 3D-Raums in den D-Raum. Im Bild unten ist eine lineare Abbildung des zweidimensionalen Raums dargestellt. Bestimmen Sie die zugehörige Matrix und erläutern Sie Ihre Überlegungen.

48 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 9 Material 3

49 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 9 Material 4

50 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 9 Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen Zielsetzung Die Aufgabe orientiert sich an den Leitideen Räumliches Strukturieren/Koordinatisieren und Modellieren. Die Aufgabe überprüft die Fähigkeit, sich in ein räumliches Problem hinein zu denken und dieses zu strukturieren. Bei der Lösung des Problems ist ein ständiger Wechsel zwischen den Darstellungsebenen (grafisch und symbolisch) erforderlich, was ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen voraussetzt. Es wird die Darstellung der Situation auf einem Blatt eingefordert. Diese verlangt konzentriertes Arbeiten und präzise Zeichnungen. Die Darstellung der Situation mit dem CAS als Projektion des dreidimensionalen Raums in den zweidimensionalen Raum sollten die Schüler kennen und sie sollten mit Matrizen zur Beschreibung linearer Abbildungen vertraut sein. Bezug zum Lehrplan Die üblichen Verfahren zur Untersuchung von Geraden und Ebenen (Punkt-Richtungsform und Koordinatengleichung), der Normalenvektor, das Skalarprodukt und die Berechnung von Längen und Winkeln ( II) werden benötigt. Die offene Aufgabenstellung an einem realen Objekt ermöglicht unterschiedliche Lösungswege, die aber zum gleichen Ergebnis führen. Die Darstellung der Körper im - dimensionalen Raum wird als lineare Abbildung gedeutet, und es werden Matrizen ( II *) genutzt. Für die umfangreichen Berechnungen ist die Nutzung eines CAS sinnvoll. III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung Erwartete Lösungen I II III Bezug zum Lehrplan a. Zunächst müssen die Daten (Koordinaten der Pyramidenpunkte und Abmessungen der Treppe) der Zeichnung entnommen und die entsprechenden Punkte definiert werden. Vektoren Die Gleichung der Gerade durch die Spitze wird ermittelt und nachgeprüft, dass die Punkte P und Q auf der Geraden liegen. Parameterdarstellung einer Geraden Lagebeziehung von Punkt und Gerade Mit dem Lineal lässt sich begründen, dass die Dreiecke BCS und CDS in der Sonne liegen

51 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 9 b. Um den Schatten zeichnen zu können, müssen die Schnittpunkte mit den Kanten berechnet werden. Dazu wird die Ebene, die durch den Sonnenstrahl SP und die Kante SB gebildet wird, betrachtet und ihre Gleichung in Punkt-Richtungsform bestimmt. Die Kanten werden durch einfache Gleichungen (z. B. y = -.5 und z = ) beschrieben. Die Schnittpunkte der Kanten mit der Ebene werden berechnet und gezeichnet. Die übrigen Punkte werden als Schnittpunkte der Kanten mit der durch SP und der Kante SD aufgespannten Ebene berechnet und eingezeichnet. Parameterdarstellung einer Ebene Lagebeziehung von Geraden und einer Ebene c. Die Schüler haben erkannt, dass z. B. die Fläche BCS in der Sonne liegt. Sie beschreiben das Verfahren der Winkelberechnung. Um den Winkel zu berechnen, wird zunächst ein Normalenvektor der Ebene bestimmt, der nach innen gerichtet ist. Mit diesem Vektor und dem Richtungsvektor v der Sonnenstrahlen wird der eingeschlossene Winkel berechnet (5.9 ). Der gesuchte Winkel ist dann Skalarprodukt Orthogonalität von Vektoren Winkel zwischen zwei Vektoren Interpretation der Lösung d. Die Sch. entnehmen zu zwei beliebigen Punkten die zugehörigen Bildpunkte aus der Zeichnung (z.b. zu (,0) gehört der Bildpunkt (-,0.5) und zu (3,5) der Punkt (-3,-3.5) und berechnen durch Matrizenmultiplikation oder durch Lösen eines LGS die Werte der zugehörigen Abbildungsmatrix. 0 3 Matrix und Matrizenprodukt Anwendung in der Geometrie

52 Hessisches Kultusministerium Landesabitur 007 Beispielaufgaben Mathematik Leistungskurs Beispielaufgabe A 0 Auswahlverfahren: siehe Hinweise Einlese- und Auswahlzeit: Bearbeitungszeit: 30 Minuten 40 Minuten (für die Gesamtprüfung) Erlaubte Hilfsmittel: Sonstige Hinweise: Übliche Formelsammlung TR und Binomialverteilung, GTR oder CAS keine

53 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 0 I. Thema und Aufgabenstellung Stochastik Aufgaben a. In einer Gruppe von 30 Personen sind 0 Wählerinnen und Wähler der Partei ABC und 0 Wähler und Wählerinnen der Partei XYZ. Es werden für Interviews 5 Personen zufällig ausgewählt. a. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden nur Wählerinnen und Wähler der Partei XYZ ausgewählt? a. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangen genau Wählerinnen oder Wähler der Partei ABC in die Stichprobe? Erläutern Sie Ihren Lösungsweg. b. Eine zufällig ausgewählte Person aus der Bevölkerung gibt ihre Stimme mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,3 der Partei ABC. b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 00 befragten Wählern mehr als 60 und weniger als 78 ihre Stimme einer anderen Partei geben? b. Für Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten bei großen Stichproben hat die Gaußsche φ-funktion eine wichtige Bedeutung. Beschreiben Sie den Zusammenhang einer Binomialverteilung und der Gaußschen φ-funktion. Bestimmen Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Anzahl der ABC-Wähler bei 00 befragten Wählern mehr als 66 beträgt. c. Die Umfrageergebnisse der Partei XYZ lagen bisher bei 54 %. Die Strategen im Wahlkampfbüro vermuten, dass nach einer Werbekampagne der Wähleranteil größer geworden ist. Entwickeln Sie einen Hypothesentest für einen Stichprobenumfang von 50, mit dem die Vermutung des Wahlkampfbüros bei einem Signifikanzniveau von 0 % untersucht werden kann. Erläutern Sie an diesem Beispiel die möglichen Fehler bei der Entscheidung. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler. Art, wenn der Wähleranteil nach der Werbekampagne tatsächlich 60 % beträgt. Welchen Einfluss hat der Stichprobenumfang auf die Größe des Fehlers. Art?

54 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 0 Korrektur- und Bewertungshinweise - nicht für den Prüfungsteilnehmer bestimmt - II. Erläuterungen III. Lösungshinweise / IV. Bewertung und Beurteilung Erwartete Lösungen I II III Bemerkungen a. Es handelt sich um ungeordnete Stichproben. Sei X die Zufallsvariable, die angibt wie viele Personen der Partei XYZ ausgewählt werden. günstige Kombinationen: 5 aus 0 mögliche Kombinationen: 5 aus 30 a. P ( X a. P ( X = 5) = = 3) = ,088 = 0,88% 0,3600 = 36,00% Aus der Gruppe der 0 WählerInnen der Partei XYZ werden (ungeordnet) 3 Personen ausgewählt und entsprechend Personen aus den 0 WählerInnen der Partei ABC, was auf verschiedene Arten möglich ist. Entsprechend handelt es sich bei dem Term im Nenner um die Anzahl der ungeordneten Stichproben vom Umfang 5 aus einer Gesamtheit von 30 Personen. Da alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind, ergibt der Quotient die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 5 b. Sei Y die Anzahl derer, die ihre Stimme der Partei ABC geben und X die Anzahl derer, die ihre Stimme einer anderen Partei geben. b. CAS-Version: P(60 < X = 93,46% < 78) = 77 k= ,7 k k 0,3 00 k 0,9346 Kombinatorische Zählprobleme, ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen. Auch andere Lösungswege (z. B. Baumdiagramm) sind möglich Zusätzlich Produktregel Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Auch andere Lösungswege (z. B. Baumdiagramm) sind möglich Zufallsgröße Bernoullikette, Binomialverteilung, Summenfunktion TR-Version: P 60 < X < 78) = F (77) F ( 00;0,7 00;0, 7 (60) ( 0,0479) ( 0,9790) = 0,93 = 93,% 3 3

55 Beispielaufgaben 005_M-LK_A 0 b. Eine Binomialverteilung kann durch Verschiebung des Erwartungswertes µ an die Stelle 0, durch Stauchung in x- Richtung um den Faktor σ und gleichzeitige Streckung in y- Richtung mit dem gleichen Faktor flächengleich transformiert werden. Für genügend große Werte von n und eine Varianz von mehr als 9 wird das so entstandene Schaubild gut durch den Graphen der Gaußschen φ-funktion genähert. E( Y ) = µ = n p = 00 0,3 = 630 σ = V ( Y ) = n p ( p) = 44 = Damit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit: 66+ 0,5 µ P ( Y 66) = P( Y 66) Φ( ) = Φ(,5) - 0,933 = 0,0668 = 6,68% c. Die Hypothese H lautet: Der Wähleranteil ist größer als 54 %. H: p>0,54 Die Nullhypothese H 0 lautet: Der Wähleranteil beträgt nach wie vor 54 %. H 0 : p=0,54 Bestimmt wird der Ablehnungsbereich A für H 0 unter der Annahme, dass p=0,54 gilt. E( X ) = µ = n p = 50 0,54 = 8 σ = V ( X ) = n p ( p) = P ( X g ) < 0, P( X g ) > 0,9 > r r Näherung durch Gaußsche Summenfunktion: gr + 0,5 µ gr 0,5 µ Φ ) > 0,9 >,86 g ( σ σ r g r 90 Α = {90; 9;...; 50} σ 50 0,54 0,46 6,04 > 89,3 Bei einem Stichprobenergebnis von 90 oder mehr Wähler- Innen der Partei XYZ wird H 0 verworfen. Der Fehler. Art beträgt dabei weniger als 0 %. Wenn die Nullhypothese beibehalten wird, kann man einen Fehler. Art machen, nämlich dann, wenn der Wähleranteil wirklich größer geworden ist, man dies jedoch nicht erkannt hat. Die Größe des Fehlers. Art kann nur angegeben werden, wenn der wahre Wähleranteil p bekannt ist. Fehler. Art bei p =0,60: 5 Zusammenhang zwischen Binomialverteilung und Normalverteilung Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Normalverteilung Entwickeln eines Hypothesentests (einseitig) Fehler beim Testen, Fehler. Art und Fehler. Art Berechnung des Fehlers. Art 4