Versuch C2: Monte-Carlo Simulationen eines Ferromagneten im Rahmen des Ising-Modells

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1 Versuch C2: Monte-Carlo Smulatonen enes Ferromagneten m Rahmen des Isng-Modells 15. November Zelstellung Es glt de Temperatur des Phasenüberganges zwschen dem ferro- und paramagnetschen Verhalten enes Festkörpers anhand des Isng-Modells zu bestmmen. Des weteren snd Temperatur- und Magnetfeldenfluss sowe Gtterperodztät auf den (ant-)ferromagnetschen Festkörper mt dem glechen Modell qualtatv zu untersuchen. 2 Enführung 2.1 Festkörper m äußeren Magnetfeld Wr betrachten enen Festkörper, der aus Atomen mt ungepaarten Elektronen (typscherwese Übergangsmetallzentren) und daraus resulterenden lokalen Spns aufgebaut st. Das magnetsche Verhalten solcher Festkörper läßt sch anhand der Temperaturabhänggket der magnetschen Suszeptbltät χ M (T) n verschedene Klassen untertelen: Paramagnetsmus, Ferromagnetsmus, und Antferromagnetsmus. Paramagnetsmus: Her glt ene Abhänggket von: χ M (T) 1 T. (1) Antferromagnetsmus: Oberhalb ener krtschen Temperatur, der Néel-Temperatur, verhält sch de Substanz we en Paramagnet, unterhalb geht de magnetsche Suszeptbltät zurück und geht be T = 0 gegen 0. Ferromagnetsmus: Unterhalb ener krtschen Temperatur, der Cure-Temperatur, rchten sch de Spns parallel aus und de magnetsche Suszeptbltät stegt stark an. Auch ohne äußeres Magnetfeld erfolgt unterhalb von T C ene spontane Magnetserung. 2.2 Theoretsche Beschrebung des kollektven Magnetsmus De Wechselwrkung (WW) der Spns bestmmt maßgeblch de magnetsche Ordnung n Festkörpern. Dabe snd Dpol-Dpol-WW zwschen den magnetschen Momenten vel zu schwach (zwschen 10 4 und 10 3 ev), um quanttatv de Effekte magnetscher Ordnungen 1

2 zu beschreben. Velmehr beruht der Mechansmus auf der Austauschwechselwrkung das quantenmechansche Prnzp der Ununterschedbarket dentscher Telchen (also z.b. Elektronen). Es handelt sch um enen renen Quanteneffekt. Verenfacht kann de WW der Spns mt dem Hesenberg-Modell beschreben werden. Der Hamlton-Operatoren hat dabe de Form: Ĥ = ĤHB +ĤZ, (2) wobe der Hesenberg-Operator Ĥ HB = j J j S Sj (3) de Wechselwrkung verschedener Spnzentren und der Zeeman-Operator Ĥ Z = µ BB S (4) de Wechselwrkung der Spnzentren mt enem außeren magnetschen Feld B beschrebt. J j beschrebt de Austausch-Kopplung zwschen dem Spns S am Gtterplatz R und S j am Gtterplatz R j. Im enfachsten Fall des Hesenberg-Modells nmmt man nur enen Spn = 1/2 an jedem Gtterplatz an und geht von ener renen Abstandabhänggket der J j -Werte (d.h. J j = J j ) aus. Beschränkt man de Wechselwrkung weterhn nur auf den nächsten Nachbarn, so sprcht man vom Tght-Bndng : { J fürr J j =, R j nächste Nachbarn (5) 0 sonst Für J > 0 st ene parallele Ausrchtung der Spns energetsch begünstgt (Ferromagnetsmus), für J < 0 ene antparallele (Antferromagnetsmus). Be J = 0 sprcht von unabhänggen Spns, also von enem dealen paramagnetschem Verhalten. Ausgehend vom Hesenberg-Modell nmmt man m Isng-Modell an, dass de Spns nur entlang der z-rchtung ausgerchtet snd. Der Spnvektor am Zentrum kann somt nur de Enstellungen S = (0,0,S ) und S = (0,0, S ) annehmen. Da nur de S z -Komponente der Spnvektoren berückschtgt werden muß, erhält der Hamlton-Operator des Modells de Form: Ĥ = J j S z Sz j j } {{ } Ĥ Isng + µ BB S z. (6) De neue Form des Hesenberg-Operators wrd dabe auch als Isng-Operator bezechnet. Das Isng-Modell und alle genannten Näherung werden n desem Versuch zur Berechnung der Magnetserung und Energen der Modell-Festkörper benutzt. Während für zwedmensonale Festkörper nach dem Isng-Modell ene analytsche Bestmmung der krtschen Temperatur enes Phasenübergangs (von ener magnetschen Ordnung zu ener anderen) möglch st, kann deser n dre Dmensonen nur aus numerschen Smulatonen bestmmt werden. 2

3 Enschub: Bedeutung des Isng Modells für de Physkalsche Cheme 1 Das Isng Modell (manchmal auch Lenz Isng Modell genannt) wurde erstmals von Ernst Isng n sener Doktorarbet untersucht. Er beschränkte sch dabe auf das Problem der endmensonalen Spnkette, das er analytsch lösen konnte. 2 Bedauerlcherwese hat er für desen Fall kenen ferromagnetschen Phasenübergang gefunden. Lars Onsager gelang es 1944, das Isng Modell für den zwedmensonalen Fall analytsch zu lösen und enen Phasenübergang vorherzusagen. In dre Dmensonen st das Isngmodell bsher analytsch ncht lösbar. Man st auf numersche Verfahren angewesen (z. B. Monte Carlo Smulatonstechnken). Das st Gegenstand des vorlegenden Versuchs. De Beschränkung auf zwe Zustände legt es nahe, das Isng Modell auch auf andere Phasenübergänge anzuwenden. Als Bespele wären her der Phasenübergang flüssg gasförmg enes Enkomponentensystems oder de flüssg flüssg Entmschung m Zwekomponentensystem zu nennen. Den beden Zuständen Spn up und Spn down entsprechen de beden Dchten ρ lq und ρ vap. Das Analogon zur Cure Temperatur st dann de jewelge krtsche Temperatur. Der Magnetserung entsprcht de Dchtedfferenz Δρ=ρ l ρ v bzw. de Konzentratonsdfferenz Δx=x 1 x 2 der beden koexsterenden Phasen. Dese Größen bezechnet man auch als Ordnungsparameter des Phasenübergangs. De Lestung des Isng Modells legt nun darn, dass es das Verschwnden des Ordnungsparameters be Annäherung an den krtschen Punkt quanttatv rchtg vorhersagt. Es lefert glechsam de rchtge Form der Koexstenzkurve. In der Nähe enes krtschen Punkts gelten nämlch sogenannte krtsche Skalengesetzte der Form: M T T ρ ρ T T l v c x x T T 1 2 β c β c β Für den krtschen Exponenten erhält man aus numerschen Smulatonen des dredmensonalen Isng Modells β 0,325, den man auch m Experment msst (wohlgemerkt: derselbe Exponent für de Magnetserung, für Δρ und für Δx!). De klasssche van der Waals Zustandsglechung für reale Gase lefert den falschen Exponenten mt enem Wert von β=½. 1 sehe z. B.: S. G. Brush, Rev. Mod. Phys. 39 (1967) 883; W. Gebhardt, U. Krey, Phasenübergänge und krtsche Phänomene, Veweg, Braunschweg (1980). 2 augsburg.de/~harsch/germanca/chronologe/20jh/isng/s_ntr.html; E. Isng, Zetschr. f. Physk 31 (1925) 253; W. Lenz, Physk. Zetschr. 21 (1920) 613.

4 2.3 Numersche Smulatonen nach dem Monte-Carlo-Verfahren In der statstschen Physk möchte man häufg makroskopsche Größen enes aus velen Telchen bestehenden Systems beschreben. Für enen Isng-Magneten aus N Spns besteht der Phasenraum aus den 2 N möglchen Spnkonfguratonen, de sch als Vektoren x = (s 1,s 2,s 3, s N ) darstellen lassen. s st des z -Komponente des lokalen Spns am Zentrum und kann n der Isng-Näherung nur de Werte S und -S annehmen. Zu jedem deser Spnkonfguratonen x lassen sch de Energe E( x) nach: E( x) = x Ĥ x (7) und der Gesamtspn S ges ( x) bzw. de Magnetserung M( x) nach: S ges ( x) = S z bzw. M( x) = µ B S z (8) berechnen. Uns nteresseren be gegebener Temperatur T de Mttelwerte der Energe E T und der Magnetserung M T Thermschen Mttelwerte ener Observablen A können über dabe de Boltzmann-Vertelung bestmt werden: A T = p A = 1 ( exp E ) A. (9) q k B T Im Fall des Isng-Magneten snd also be ener gegebenen Temperatur T für alle möglchen Spnkonfguraton x de Boltzmann-Gewchtungen p x und de Zustandsumme q = ) ( exp E x k B zu bestmmen. Man erkennt, dass be Systemen mt großer Spnanzahl de exakte Berechnung der thermschen Mttelwerte n enem zetlch vernüftgen T Rahmen ncht mehr möglch st. Stattdessen versucht man se als statstsches Mttel aus ener deutlch kleneren Anzahl L an Spnkonfguratonen x l, l = 1,,L zu nähern. De enfachste Möglchket das Smple Samplng besteht darn, zufällg Spnkonfguratonen zu wählen und dese mt den entsprechenden Boltzmann-Faktoren aufzusummeren A( x) T A( x) T = L p xl A( x l ) Da de zufällge Auswahl an Spnkonfguratonen glechvertelt st, kann be klenen L ene sgnfkante Abwechung zum erwarteten thermschen Mttelwert auftreten. Kann nur en klenes L gewählt werden, st es effzenter das sogenannte Importance Samplng anzuwenden. De zufällge Auswahl ener Spnkonfguraton st ncht mehr glechvertelt, sondern mt sener Wahrschenlchket n der Boltzmann-Vertelung verknüpft. Ene solche Auswahl kann man über Markov-Ketten errechen. Dabe entschedet man, ob ene neue Spnkonfguraton berückschtgt wrd, gemäß folgender Regel: 1. x l se gegeben. Man erzeugt de Konfguraton x l+1 durch das Roteren enes zufällg gewählten Spns. 2. Man berechnet den Energeuntersched E zwschen x l und x l+1, sowe de Übergangswahrschenlchket: W( x l x l+1 ) = 3 l E exp( ) k B T (10) 1+exp( E k B ). T

5 3. Man generert ene Zufallszahl η zwschen 0 und 1. Falls W( x l x l+1 ) > η, wrd de Spnkonfguraton x l+1 berückschtgt, sonst verworfen. Für den Spezalfall T = 0 K wrd de Konfguraton x l+1 akzeptert, falls E l+1 glech oder nedrger st als E l. Als Folge der Anwendung der Markov-Ketten ergbt sch der gesuchte thermsche Mttelwert drekt aus der Mttelwertbldung der enzelnen berückschtgten A( x l ): A( x) = 1 L L A( x l ). l=1 3 Durchführung 3.1 Anmerkungen a.) Se benötgen zum Spechern der Daten enen USB-Stck. b.) Zur Durchführung der Monte-Carlo-Smulatonen wrd en Java-baserende Programm verwendet. De orgnale Verson deses Programms von J. Nebus st onlne unter zugänglch. De her nstallerte Verson wurde so modfzert, dass zusätzlch ene Ergebnsdate (smulat.dat) erzeugt wrd. In deser werden, begnnend mt dem 500. Smulatonsschrtt, aller 100 Schrtte de Werte: (Schrtt), T (Temperatur), J (Kopplg.), E (Energe), M z (Magnetserg.) n jewels ener Spalte abgespechert. Mt Hlfe deser Daten sollen de Phasenübergänge des Isng-Magneten analysert werden. 3.2 Qualtatve Untersuchungen Versuchsvorberetung & Programmstart Öffnen Se en Termnalfenster 1 durch Anklcken des Bldschrmsymbols n der unteren Menüleste. Wechseln Se n das Unterverzechns WS1011_C2: cd WS1011_C2 Erzeugen Se en Unterverzechns mt Ihrer Gruppennummer, z.b. Gruppe_X1 va 2 : mkdr Gruppe_X1 und wechseln Se n deses Unterverzechns durch den Befehl: cd Gruppe_X1 Aus desem Unterverzechns starten Se das Smulatonsprogramm mt dem Befehl: MonteCarlo Es öffnet sch en Fenster mt dem Ttel Monte Carlo Smulatons Achtung, Lnux st en case-senstve s Datensystem 4

6 Programmenstellungen für 2-dmensonalen Isng-Magneten Klcken Se nur enmal auf de Schaltfläche Change parameters. Es öffnet sch en zwetes Fenster mt dem Ttel: Set Model Parameters. In desem Fenster lassen sch de gewünschten Smulatonsbedngungen enstellen. Für enen Isng-Magneten stellen Se de folgenden Parameter en: Number of x lattce ponts: 20 Number of y lattce ponts: 20 Number of z lattce ponts: 1 Perodc X Boundares: en Perodc Y Boundares: en Perodc Z Boundares: aus Constraned to Z axs: en Equalze after Resets: en Wählen Se außerdem T = 100 K, ene prozentuale Temperaturernedrgung (Temperature Declne Percentage) von 1 und ene Kopplungskonstante (Interacton Strength) von J = 1. Änderungen der Parameter werden erst durch Anklcken der Schaltfläche Set These Parameters wrksam. Starten Se de Smulaton D-Isng-Magnet Beschreben Se hre Beobachtungen bezüglch der Änderung der Anordnung der Spns während der Smulaton. Wederholen Se das Absenken der Temperatur mehrfach, ndem Se de aktuelle Smulaton mt der Schaltfläche Stop anhalten, de ursprünglchen Enstellung über Set These Parameters wederherstellen, und schleßlch de Smulaton erneut starten (Start ). Beantworten Se für das Protokoll folgende Fragen: We verändert sch de Anordnung der Spns während der Abkühlung? We seht der Endzustand n Bezug auf Art und Anzahl der Phasen aus? Ist der Endzustand mmer glech? Enfluss des Magnetfeldes Führen Se mt den bshergen Enstellungen en Sere aus Smulatonen unter dem Enfluss verscheden starker als auch verscheden ausgerchteter Magnetfelder durch. Verglechen Se Verlauf und Ergebnsse der Smulatonen mt denen aus der Aufgabe Welchen Enfluss hat das Anlegen sowe de Rchtung enes Magnetfeldes auf de Smulaton? Enfluss der Kopplungskonstante Vareren Se de Kopplungskonstante J unter Bebehaltung aller bshergen Enstellungen. Kombneren Se sowohl postve und negatve als auch große und klene Kopplungskonstanten mt verschedenen Magnetfeldstärken (enschleßlch ken Magnetfeld). Worn besteht der Untersched zu den Ergebnssen aus und 3.2.2? Dskuteren Se besonders de Ergebnsse der negatven Kopplungskonstanten Smulaton von Spnfrustraton durch de Wahl verschedener Randbedngungen Hntergrund: Normalerwese beobachtet man Spnfrustraton be antferromagnetschen Kopplungen und trgonalen Gttern. Zu zwe antparallel ausgerchteten Spns, gbt es 5

7 enen drtten, der zu desen beden Spns glechzetg antparallel sen möchte. Da des ncht möglch st, kann er sch ncht entscheden, welche Rchtung er annehmen soll. Im Fall enes 2D-Isng-Antferromagnets n trgonalen Gttern braucht es zwe Spnbesetzungen, de zudem energetsch entartet snd, um de Spnfrustraton darzustellen. Auch für das kubsch-prmtve Gtter, dass n desem Versuch zur Anwendung kommt, lassen sch unter bestmmten Umständen Spnfrustratonen erzeugen. Dese snd gegeben, wenn en Spn von der glechen Anzahl paralleler und antparalleler Spns umgeben st. Unter desen Voraussetzungen trtt be Spnumkehr kene energetsche Veränderung m System auf. Der Algorthmus des Java-Applets erlaubt dann auch Spnveränderung be T = 0 K. Versuchen Se den Zustand ener Spnfrustraton unter Bebehaltung aller bshergen Enstellungen aber negatver Kopplungskonstante und ausgeschaltetem Magnetfeld zu fnden, ndem Se: de Gttergröße n X- und/oder Y-Rchtung zwschen ungeraden und geraden Werten vareren, und de perodschen Randbedngungen n X- und/oder Y-Rchtung en- und ausschalten. Zegen Se n ener Skzze (für das Protokoll) de Poston der Spnfrustraton m kubschprmtven Gtter. 3.3 Quanttatve Untersuchung des Phasenübergangs Vorberetung Stoppen Se de Smulaton und löschen Se de Date smul.dat mt dem Befehl n dem Termnalfenster: rm smul.dat Phasenübergang m zwedmensonalen Isng-Magneten Für desen Tel des Versuchs stellen Se de folgenden Parameter en: Number of x lattce ponts: 10 Number of y lattce ponts: 10 Number of z lattce ponts: 1 Perodc X Boundares: en Perodc Y Boundares: en Perodc Z Boundares: aus Temperature declne: aus Equalze after Resets: aus Beachten Se, dass der Phasenübergang aus ener geegneten Anzahl von Datenpaaren (Temperatur versus Magnetserung) gezechnet oder mt enem geegneten Programm gefttet werden soll. Da der Phasenübergang enen Sprung darstellt, st es ratsam erst über enen großen Temperaturberech mt großen Intervallen, z.b. 10 K, nach dem Phasenübergang zu suchen. Ist deser gefunden oder abgeschätzt, sollten m Sprungberech mndestens 10 Datenpaare bestmmt werden. Bezogen auf enen Sprungberech von z.b. 10 K, sollten somt Datenpaaren m Abstand von 1 K nach Beendgung der Untersuchung vorlegen. Weterhn sollten vor und nach dem Sprungberech jewels 3 bs 4 Datenpaare 6

8 vorhanden sen. Her snd große Intervalle für de graphsche Formgebung des Phasenübergangs vortelhaft. De thermsch gemttelte Magnetserung M z (T) wrd n desem Versuch durch das Importance Samplng bestmmt. Herfür st es ausrechend mt dem Java-Applet 20 Werte zu ener festgelegten Temperatur genereren zu lassen. Nach der Engabe ener Temperatur starten Se de Smulaton und warten jewels solange ab, bs dese 20 Werte n de Date smul.dat geschreben wurden. Da de Date permanent neu beschreben wrd, st en ständges Neuladen der Date n enem Edtor umständlch. Unter Lnux gbt es de Möglchket mt dem tal Befehl mmer das aktuelle Ende ener Date anzegen zu lassen. In desem Versuch sollen mmer de letzten 100 Zelen von smul.dat angezegt werden. Dazu geben Se nach dem Start der Smulaton n der Konsole en: tal -100f smul.dat Hnwes: De Ausgabe deses Befehls blockert de Konsole für wetere Engaben. Das Beenden deses tal Befehls erfolgt durch glechzetges Drücken von Strg und C. Wählen Se nun ene Kopplungskonstante zwschen J = 10 und 20 aus. Snd wetere Praktkumsgruppen anwesend, sprechen Se sch unterenander ab, sodass kene Doppelbestmmungen auftreten. Nach Beendgung aller Smulatonen zur gewählten Kopplungskonstante spechern Se de Date smul.dat unter enem neuen Namen ab; empfohlen st de egene Gruppennummer und den aktuellen J-Wert yy zu verwenden, d.h. Gruppe-X1_yyJ_2D.dat. Der Befehl lautet: mv smul.dat Gruppe-X1_yyJ_2D.dat Hnwes: Vergessen Se ncht de Bldung der Beträge aller M z vor der Mttelwertbldung. Sowohl de Mttelwertbldung, de graphsche Auftragung von M z (T) als Funkton der Temperatur, als auch de nchtlnearer Anpassungen (Ft) kann mt enem Tabellenkalkulatonsprogramm hrer Wahl durchgeführt werden. T c st dabe dem Wendepunkt der Ftfunkton glechzusetzen Abhänggket des Phasenübergangs von der Kopplungsstärke Wederholen Se Aufgabe für zwe wetere J-Werte zwschen 20 und 60. Snd wetere Praktkumsgruppen anwesend, sprechen Se sch unterenander ab, sodass kene Doppelbestmmungen auftreten. Beachten Se dass m Allgemenen größere Kopplungskonstanten höhere Cure-Temperaturen bewrken. Warum st das so? Verändern Se entsprechend Ihren Temperaturberech zur Suche nach dem Phasenübergang. Für das Protokoll werten Se btte auch de Daten zu den Kopplungskonstanten der anderen telnehmenden Praktkumsgruppe(n) 3 aus und tragen T c (J) als Funkton der Kopplungskonstante J auf. Dskuteren Se das Ergebns Phasenübergang m dredmensonalen Isng-Magneten Ermtteln Se für ene berets von Ihnen untersuchte Kopplungskonstante J den Phasenübergang enes 3D-Isng-Magneten. Bestmmen Se de Cure-Temperatur und verglechen 3 Falls kene weteren Praktkumsgruppen telnehmen, bekommen Se vom Assstenten wetere Datensätze. 7

9 Se dese mt dem 2D-Isng-Magneten. Dskuteren Se de Ursachen eventueller Unterschede. Folgende Parameter von Aufgabe snd zu verändern: Number of z lattce ponts: 4 Perodc Z Boundares: en 4 Lteratur Informeren Se sch zur Funktonswese des Isng-Smulators unter: Falls Se noch ncht mt Lnux/Unx-Systemen gearbetet haben, machen Se sch mt der Termnalbenutzung vertraut. Wetere Informaton zum Isng-Model erfahren Se unter: Detallerte Beschrebung zu Festkörpern m äußeren Magnetfeld und kollektvem Magnetsmus können Se nachschlagen n den Kapteln 10 und 12 des Buchs: Gerd Czycholl. Theoretsche Festkörperphysk - Von den klassschen Modellen zu modernen Forschungsthemen (Veweg Verlag, 2000). Grundlegendes zum Magnetsmus fnden Se unter: Horst Stöcker. Taschenbuch der Physk (Verlag Harr Deutsch, 2005), 5. Edton. Kaptel and