Wie man leicht erkennen kann, steigt die Anzahl notwendiger Versuche zur Basis 2 bei jeder Modellerweiterung um einen weiteren Faktor.

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1 Ziel Prinzip Bestimmung der relevanten Einflussgrößen und Effekte unabhängiger Eingangsvariablen auf das Ergebnis eines Produktes oder Prozess mit einem Minimum an Versuchsaufwand. DoE (Design of Experiment) ist eine Methodik zur Planung und Analyse von Versuchen um mit einem Minimum an Aufwand und Versuchen die wichtigsten Einflussfaktoren bzw. Inputs auf ein Funktionsergebnis zu ermitteln. Dabei werden die Inputparameter in dem zu untersuchenden Versuchsraum gezielt variiert und gleichzeitig die Veränderung des Funktionsergebnisses derart gemessen, dass der Zusammenhang zwischen Input(s) und Ergebnis mathematisch exakt bestimmt werden kann. Jede Produktfunktion lässt sich generisch darstellen, als ein System mit Eingangsgrößen (Inputs X 1, X 2,, X n ) und einer Ausgangsgröße Y (siehe Abbildung1). Mithilfe der statistischen Versuchsplanung werden die Eingangsfaktoren (Inputs) in unterschiedlichen Einstellungen (Faktorebenen) derart miteinander kombiniert, dass die Effekte der Faktoren selbst (Haupteffekte) und die Effekte der Wechselwirkungen zwischen Faktoren (Wechselwirkungseffekte) vollständig und mathematisch exakt ermittelt werden können. Abbildung 1 (generische Darstellung ) Die Art der Faktoren, das antizipierte Faktormodell (linear bzw. nicht linear) sowie die Anzahl der Versuche entscheiden hierbei über die zu wählende Versuchsstrategie. Bei angenommenem linearen Verhalten für die Faktoren auf das Funktionsergebnis bilden die 2 K faktoriellen Versuche einen einfachen Einstieg, wobei die zu untersuchenden Inputs/Faktoren hierbei auf zwei Extremwertstufen variiert werden. K steht hier für die Gesamtzahl der am Versuch beteiligten Faktoren, 2 K ergibt die hierfür notwendige Anzahl von Versuchen an. Wie man leicht erkennen kann, steigt die Anzahl notwendiger Versuche zur Basis 2 bei jeder Modellerweiterung um einen weiteren Faktor. (siehe Abbildung 2, Zusammenhang Anzahl Faktoren und Anzahl Versuche)

2 Abbildung 2 (Versuchsdurchläufe = Runs) Bei vollfaktoriellen Versuchsplänen auf zwei Faktorstufen sind alle Hauptauswirkungen und Wechselwirkungen der Faktoren exakt bestimmbar. Zwischen den zwei Faktorstufen wird lineares Faktorverhalten angenommen. Die Modellbildung und statistische Ermittlung der Effekte ist gemäß Abbildung 3. Abbildung 3 Dies entspricht einem 2-stufigen Versuchsplan mit zwei Faktoren, wie in Abbildung 4 dargestellt.

3 Abbildung 4: Versuchsplan mit 2 Faktoren in 2 Faktorstufen Für den Fall, dass das lineare Faktorverhalten nicht angenommen werden kann, arbeitet man in einer weiteren Versuchsanordnung zu den bereits variierten Faktorstufen der Versuchskonfiguration mit einem zusätzlichen Zentralpunkt zur Erkennung linear/nichtlinear. Abbildung 5: Versuchsplan mit 2 Faktoren in 2 Faktorstufen mit Zentralpunkt Stellt man ein nichtlineares Verhalten der Faktorebenen fest, so erweitert man den Versuchsplan von 2 auf mindestens 3 Faktorebenen zur Bestimmung desjenigen (derjenigen) Faktors/Faktoren, welche das nichtlineare Verhalten (quadratisch, kubisch, etc.) bestimmen.

4 Abbildung 6: Versuchsplan mit 2 Faktoren in 3 Faktorebenen. Die Bestimmung der Modellanteile erfolgt durch statistische Vergleiche der hohen und niedrigen Faktorstufen, wobei die nachfolgenden Abbildungen 7 und 8 die Modelle für eine 2 3 faktorielle Versuchsanordung mit Angabe der Faktorebenen zeigt. Der Zentralpunkt (rot) prüft hierbei die Annahme des linearen Verhaltens der Faktoren zwischen der niedrigen Stufe und der hohen Stufe. Abbildung 7: Modell für 3 Faktoren in jeweils 2 Ebenen zur Versuchsplanung Die dabei gewählten Faktorebenen werden in Ihrer niedrigen Stufe mit -1 und in Ihrer hohen Stufe mit +1 gekennzeichnet. (vgl. Abbildung 8)

5 Die Zuordnung der Faktorebenen und Faktorstufen geschieht derart, dass mithilfe einer minimalen Anzahl an Versuchen ein Maximum an Kenntnis bzgl. des Verhaltens der Faktoren (einzeln und miteinander) erreicht wird. Wie in Abbildung 8 erläutert, werden bei drei Faktoren auf zwei Stufen insgesamt acht Versuchskombinationen zur Identifikation aller Effekte benötigt. (Kombinationsstufen der 3 Faktoren in Abbildung 8 grün gekennzeichnet) Abbildung 8: Einstellungen der Faktorebenen für 3 Faktoren (A,B,C) zur statistischen Ermittlung der Hauptauswirkungen und aller 2-fach und 3-fach Wechselwirkungen zwischen den Faktoren mittels 8 Versuchsanordnungen. Wie man erkennen kann, wird als statistische Versuchsreihe lediglich der in Abbildung 8 grün gekennzeichnete Bereich der Faktoreinstellungen durchgeführt, alle anderen Kombinationen sind statistisch aus diesen acht Versuchen direkt bestimmbar (weißer Bereich der Faktoreinstellungen auf den Ebenen). Durch Vergleiche der Mittelwerte und der Variation des Ergebnisses zwischen den Faktorstufen lassen sich somit alle Haupteffekte der Faktoren sowie potentielle Wechselwirkungen ermitteln.

6 Abbildung 9: Bestimmung des Haupteffektes (für Faktor A) Die Effektbestimmung der Haupteffekte sowie der Wechselwirkungen zwischen den Faktoren wird i.a. mithilfe statistischer Analyseprogramme (z.b. Minitab) ermittelt. Abbildung 10: Darstellung der Haupteffekte für die Faktoren A,B,C

7 Abbildung 11: Darstellung der Wechselwirkungen zwischen Faktoren Bei parallel verlaufenden Linien findet keine Wechselwirkung statt, andernfalls beeinflussen sich die Faktoren wechselseitig. Wird bei der statistischen Auswertung festgestellt, dass das Faktorverhalten nicht linear ist, so wird die Analyse mithilfe der Response Surface Methode (RSM) analysiert, welche auch in der Lage ist Modelle höherer Ordnung (z.b. quadratisch) zu analysieren. Abbildung 12: Darstellung des Response-Surface Plots für nichtlineares Verhalten der Faktoren Temperatur und Druck auf die Ergebnisvariable Ausbeute Die statistische Analyse ermittelt hierbei alle Koeffizienten der geprüften

8 Modelle wobei hierdurch der exakte mathematische Zusammenhang zwischen den unabhängigen Faktoren (X 1, X 2,., X n ) auf das Funktionsergebnis (Y) bestimmt werden kann. Vorgehensweise 1. Auswahl der Parameter für ein Experiment Die Auswahl der im Versuch berücksichtigten Parameter ist entscheidend für den Erfolg. Werden wichtige Parameter im Versuch nicht berücksichtigt, so lässt sich die im Versuch beobachtete Streuung nicht ausreichend erklären und es muß nach weiteren Einflussgrößen gesucht werden. 2. Festlegung der Parameterebenen Die Einstellungen für die Parameterstufen (-1 für niedrige Stufe und +1 für hohe Stufe) sollten möglichst weit auseinanderliegend voneinander gewählt werden ohne das die Funktion nicht mehr ausführbar ist oder Ergebnisse nicht mehr gemessen werden können. Es sollten jedoch keine Einstellungen vorgenommen werden, welche in der Praxis nicht auch eingestellt würden. 3. Aufstellung des Versuchsplans Der Versuchsplan wird im Allgemeinen mithilfe von statistischer Planungssoftware erstellt, welcher die Faktoren orthogonal zueinander positioniert zur Bestimmung aller Effekte. 4. Versuchsdurchführung Die Versuche werden in der von der DoE-Struktur vorgeschlagenen Reihenfolge durchgeführt und die Versuchsergebnisse mit hinreichender Genauigkeit gemessen. (vgl. Abbildung 8, grüner Teil der Matrixanordnung). Zur Minimierung des Einflusses externer Störvariablen werden die Versuchsdurchläufe nach Identifikation und Festlegung der Faktorstufen in zufälliger Reihenfolge angeordnet (randomisiert). 5. Analyse der Versuchsergebnisse Die Analyse erfolgt mithilfe statistischer Varianzanalyse mit dem Ziel der Koeffizientenbestimmung für alle signifikanten Faktoranteile der Haupt- und Wechselwirkungseffekte. Eine Modellreduzierung sollte solange erfolgen, bis einzig die statistisch signifikanten Anteile zur Ergebnisstreuung vorhanden sind. 6. Bestimmung des Zusammenhangs Y=f(x n ) Bei genügend hohem Anteil der erklärbaren Streuung des Funktionsergebnisses durch die unabhängigen Faktoren bilden die signifikanten Koeffizienten der Streuungsanteile die exakte mathematische Formel für die Funktion.

9 Nutzen und Ergebnisse Mit DoE gewonnene Informationen über die Zusammenhänge zwischen Inputs und Output sind (statistisch) abgesichert und die Effekte der Inputvariablen (Faktoren) lassen sich mathematisch exakt quantifizieren. Wechselwirkungen zwischen Faktoren und Nichtlinearitäten können erkannt werden und zur Optimierung des Funktionsergebnisses nutzbar gemacht werden Nachteile und Risiken Falsche Wahl der Faktorebenen (zu eng, zu weit) können die prinzipielle Messbarkeit der Versuchsergebnisse erschweren. Bei zu kleinen Stichprobengrößen sind die Aussagekräftigkeit der ermittelten Versuchsergebnisse fragwürdig. Daher sollte man die Versuchsanordnungen zur Sicherheit mehrfach bestimmen/messen. Bei einer großen Anzahl von Einzelfaktoren für eine Funktionsermittlung wird der Aufwand zur Durchführung von Versuchen sehr aufwendig. Diesem Umstand begegnet man in allgemeinen mithilfe teilfaktorieller Versuchspläne Werden während der Analyse von DoE-Versuchen die Modelle nicht reduziert kann es zu Fehlinterpretationen der Versuchsergebnisse kommen Notwendiger Input Vorbereitungen und Voraussetzungen Alle identifizierten kritischen Faktoren aus den Qualitätshäusern QFD (HoQ1, HoQ2, HoQ3) mit Ihren jeweiligen Zielwerten Statistisch ermittelte Kennwerte für Mittelwert und Standardabweichung für jeden relevanten Faktor basierend auf Messungen aus Laborversuchen, Prototypenbau oder Herstellmustern. Die statistischen Messungen müssen eine adequate Stichprobengröße aufweisen. Kenntnis der Ermittlung von statistischen Kennwerten (Mittelwert, Standardabweichung, Defectsper-Unit, Hypothesentests, Varianzanalysen) Kenntnis der linearen und nichtlinearen Modelle für statistische Versuchsreihen Training/Kenntnis in der Planung und Umsetzung von statistischen Versuchsreihen DoE Funktionale Dekomposition der Wirkkette(n) der Produktfunktionen

10 Hilfsmittel (Werkzeuge) Statistische Analysesoftware (z.b. Minitab, Statsoft, etc.) Fähige Messsysteme Beteiligte Mitarbeiter aus den Bereichen - Entwicklung (R&D) - Versuchsaufbau / Testfeld - Qualitätswesen (QM) - Fertigung (IE) Literatur Eberhard Scheffler: und -auswertung. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1997 Wilhelm Kleppmann: Versuchsplanung. Produkte und Prozesse optimieren. 7. Auflage Hanser Verlag München, 2011 Holger Wilker: Systemoptimierung in der Praxis. Leitfaden zur statistischen Versuchsauswertung. Books on Demand GmbH, Norderstedt 2006 Bernd Klein: Versuchsplanung - DoE. Einführung in die Taguchi/Shainin- Methodik. Hanser Verlag München 2007, S. Lunau: Design for Six Sigma Toolset, Springer Verlag Berlin 2006

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