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1 TQU BUSINESS GMBH VOLLFAKTORIELLE VERSUCHSPLÄNE (GENERAL FULL FACTORIALS) Lernziele Sie können vollfaktorielle Versuchspläne auf und mehr Stufen erstellen. Sie kennen Haupteffekte und Wechselwirkungen als wichtiges Ergebnis eines Experimentes. Sie können Haupteffekte und Wechselwirkungen interpretieren und darstellen. Sie kennen die wesentlichen Begriffe zur statistischen Versuchsplanung. Sie können die schrittweise Analyse vollfaktorieller - und -Faktoren- Experimente durchführen, inkl. Modelldiagnose und Ergebnisprognose. Sie können einfache vollfaktorielle Versuchspläne erstellen.

2 TQU BUSINESS GMBH Mathematisches Modell bei zwei Faktoren Wir wollen folgende Fragen beantworten: Welchen Effekt haben eratur und Druck auf die Ausbeute? Hängt das Optimum von einer bestimmten Kombination von Faktoren ab (Wechselwirkung)? Mathematisches Modell yijk = μ + τi + β j + τβ ij + ε ijk Hypothesen H 0 : τ = τ =... = τ n = 0 H A : mindestens ein τ i 0 H 0 : β = β =... = β n = 0 H A : mindestens ein β j 0 H 0 : τ β ij = 0 für alle i / j H A : mindestens ein τ β ij 0 wobei: µ = Gesamtmittelwert = Effekt der i-ten Stufe des Faktors τ τ i β j = Effekt der j-ten Stufe des Faktors ß τβ ij = Effekt der τ i und β i Wechselwirkung ε ijk = Residuum (Reststreuung) y ijk = Antwort in der k-ten Realisierung auf der i-ten Stufe von τ und der j-ten Stufe von β 4 Berechnung von Haupt-Effekten: eratur In der unten nachfolgenden Tafel sehen wir zwei Faktoren, eratur und Druck. Die Output Variable ist Ausbeute (Yield). Druck Druck Der Effekt eines Faktors ist definiert als die mittlere Änderung des Output, die durch Umstellung dieses Faktors von Stufe auf Stufe erzeugt wird (unabhängig von der Einstellung des zweiten Faktors). Der Effekt der eratur (Haupteffekt) berechnet sich wie folgt: = = - = = Druck 0 40 Interpretation: Erhöhung der eratur von Stufe auf Stufe erzeugt einen Anstieg der Ausbeute um Einheiten.

3 TQU BUSINESS GMBH 5 Berechnung von Haupt-Effekten: Druck Druck Druck Der Effekt für den Faktor Druck berechnet sich : Druck = = ruck D Interpretation: Die Ausbeute steigt um Einheiten wenn der Druck von Stufe auf Stufe erhöht wird. In manchen Experimenten finden wir, dass der Effekt zwischen den Niveaus eines Faktors nicht derselbe ist für verschiedene Stufen der anderen Faktoren. In diesem Fall haben wir Wechselwirkungen (WW) zwischen den Faktoren. 6 Berechnung von Wechselwirkungs-Effekten Berechnung des Effekts der eratur in Anhängigkeit der Einstellung des Drucks: Druck Druck Auf dem ersten Niveau des Faktors Druck beträgt der Effekt für eratur: Druc ck 0 50 Druck : = 50 0 = 0 Auf dem zweiten Niveau des Faktors Druck beträgt der Effekt für eratur: Druck : = 40 = -8 Da der Effekt der eratur auf die Ausbeute vom Niveau des Drucks abhängt, liegt eine Wechselwirkung (WW) zwischen eratur und Druck vor.

4 TQU BUSINESS GMBH 4 7 Übung zu Wechselwirkungen Ziel: Eingabe einfacher faktorieller Daten in Minitab und Erzeugung eines Wechselwirkungsplots (Interactions Plots). Vorgehen: Geben Sie die Datensätze in Minitab ein und erstellen Sie die Interactions Plot. Versuchsdesign > Interactions Plot... Stat > ANOVA 8 Wechselwirkungs-Plots Interaction Plot (data means) for ERG Interaction Plot (data means) for ERG Mean 40 5 Mean Druck 0 Druck? Versuchsergebnisse ohne Versuchsergebnisse mit Wechselwirkung (parallele Linien) Wechselwirkung (gekreuzte Linien oder "Trompete") Interpretation von Wechselwirkungen (WW) Wechselwirkungsplots werden immer unter Gesichtspunkten analysiert: Was sind die besten Einstellungen für unseren Prozess? Gibt es robuste Situationen? Robuste Situationen sind u.u. sehr wertvoll um einen stabilen Prozess zu erhalten.

5 TQU BUSINESS GMBH 5 9 Haupteffekte und Wechselwirkungen Faktoren A und B Haupteffekte: A und B -fach Wechselwirkungen: A*B AB Faktoren: A, B und C Haupteffekte: A, B und C -fach Wechselwirkungen: A*B/A*C/B*C -fach Wechselwirkungen: A*B*C 4 Faktoren: A, B, C und D Haupteffekte: A, B, C und D -fach Wechselwirkungen: A*B/A*C/A*D/B*C/B*D/C*D -fach Wechselwirkungen: A*B*C/A*B*D/A*C*D/B*C*D 4-fach Wechselwirkungen: A*B*C*D 0 OFAT und Wechselwirkungen Nehmen wir an, wir führen eine one factor at a time-studie (OFAT) durch. Zunächst halten wir die eratur auf Stufe konstant und variieren den Druck. Wir befinden: Druck ist besser. Wir halten den Druck konstant t auf Stufe und stellen da für und Druck schon Ergebnisse vorliegen eratur auch auf Stufe. Druck 50 0 Druck 40 Versuche mit jeweils mehreren Messungen sind erforderlich: Run eins: /Druck Run zwei: /Druck Run drei: /Druck Ergebnis: Druck und ergeben das beste Ergebnis. In Summe haben wir zwar den Prozess verbessert, aber das Optimum haben wir nicht gefunden. Selbst wenn das Optimum durch Zufall gefunden wird, bleibt die Wechselwirkung zwischen den Faktoren unbekannt.

6 TQU BUSINESS GMBH 6 Übung: Designbestimmung Ziel: Wir erstellen aus den folgenden Angaben einen Versuchsplan. Inputs: Faltung: Stufen (tief / hoch) eratur : Stufen (tief/mittel/hoch) Feuchtigkeit : Stufen (tief/mittel/hoch) Replicates: n = (Wiederholung des gesamten Versuchsplans) Aufgaben:. Definieren Sie den faktoriellen Versuchsplan in k*k*k-termen und ermitteln Sie die Anzahl der Teilversuche.. Ermitteln Sie die Anzahl der Versuche für dieses Experiment.. Welches sind Sie die Haupteffekte und Wechselwirkungen? 4. Definieren Sie das mathematische Modell für dieses Experiment. 5. Erstellen Sie das Design zunächst von Hand. Beispiel mit drei Input-Faktoren Design-Nomenklatur * * vollfaktorieller Versuch mit Replikationen Anzahl Teilversuche * * = 8 Gesamtumfang Versuche * * * = 54 Main Effects und Wechselwirkungen Faltung eratur Feuchtigkeit Falt * Falt * Feucht * Feucht Falt * * Feucht Mathematisches Modell y = μ + τ + β + γ + τβ + τγ + βγ + τβγ + ε eratur Feuchtigkeit Faltung

7 TQU BUSINESS GMBH 7 Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design Erstellen von Versuchsdesigns in Minitab () Inputfaktoren: Faltung: tief/hoch eratur : tief/mittel/hoch Feuchtigkeit : tief/mittel/hoch Replikationen: n = General full factorial design mit Faktoren anwählen und auf Schaltfläche "Design 4 Unter Design die Faktoren und die entsprechende Anzahl Faktorstufen eingeben OK. Dann unter Factors die Faktorstufen angeben als codierte ( / / ) oder uncodierte Werte Erstellen von Versuchsdesigns in Minitab () Bei Texteingabe Data Type entsprechend anpassen! Vor der Design-Erzeugung unter Options die Zufallsreihenfolge ausschalten. Anmerkung: Im realen Experiment nach Möglichkeit die Zufallsreihenfolge benutzen.

8 TQU BUSINESS GMBH 8 5 Codierte und uncodierte Versuchsdesigns uncodierte Einheiten codierte Einheiten Stat > DOE > Factorial 6 Beispiel: Experiment mit zwei Faktoren Ziel: Ermittlung der Effekte von Druck und eratur auf die Ausbeute Output: Ausbeute eines chemischen Prozesses Inputs: eratur (niedrig/mittel/hoch); Druck (00/5/0) Design: ** ( Faktoren auf Stufen) mit Repetitionen (Wiederholungen) Datei: Ausbeute.mtw Überprüfung des Designs Stat > Tables > Descriptive Statistics... Categorial Variables Rows: Columns: Druck Associated Variables: Ausbeute Display: Data Das Design ist "balanced": Für jede Faktorstufenkombination liegen Messungen vor. Druck ,8 90, 89,6 89,6 90,0 0 89,8 8 89,5 89,9 89, 89,7 90,0 89,5 89,9 90, 89,8 90, 90, 89,5

9 TQU BUSINESS GMBH 9 7 Analyse statistischer Versuchspläne Berechnen Sie die Effekte der Inputfaktoren auf die Ausbeute des Prozesses. Stat > DOE > Analyse Factorial Design... Fits und Residuen Residual Plot > Four in one 8 Ergebnisse der Auswertung General Linear Model: Ausbeute versus ; Druck Factor Type Levels Values fixed ; ; Druck fixed 00; 5; 0 Analysis of Variance for Ausbeute, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P 0,0 0,0 0,5056 8,47 0,009 Druck 0, , ,889,59 0,000 *Druck 4 0, , ,07 0,97 0,470 Error 9 0,6000 0,6000 0,0778 Total 7,9778 S = 0, R-Sq = 87,67% R-Sq(adj) = 76,7% Wie interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf Haupteffekte und WW? Lässt sich das Modell weiter vereinfachen?

10 TQU BUSINESS GMBH 0 9 Graphische Darstellung der Ergebnisse Da die Haupteffekte signifikant sind, betrachten wir die Main Effects Plots unter: Stat > DOE > Factorial > Factorial Plots > Main Effects... > Setup Dasselbe Ergebnis liefert: Stat > ANOVA > Main Effects Plots... Main Effects Plot (data means) for Ausbeute 90. Druck 90.0 of Ausbeute Mean Graphische Darstellung der Ergebnisse Auch Interval Plots mit 95%-C.I. sind nützlich zur Untersuchung der Haupteffekte: Stat > ANOVA > Interval Plot... > With Groups (je für und Druck ) Interval Plot of Ausbeute vs 95% CI for the Mean Ausbeute Interval Plot of Ausbeute vs Druck 95% CI for the Mean Ausbeute Druck 0

11 TQU BUSINESS GMBH Residuen-Diagnostik Percent Stat > DOE > Factorial > Analyse > Graphs... > Four in one Residual Plots for Ausbeute Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values Residual Residual Fitted Value 4 Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data 0. Frequen ncy Residua al Residual Observation Order 6 8 Es sind keine ungewöhnlichen Muster in den Residuen erkennbar. Wir akzeptieren unser Modell daher als vernünftig. Es ist eine gute Beschreibung der Messwerte. Praktische Signifikanz: ε-square Welches ist die wichtigste Input Variable in diesem Experiment? Welche Konsequenzen hat dies für die Prozesskontrolle? Graph > Pie Chart... > Chart values from a table Pie Chart of AdjSS vs Source Category Den Error-Term in "andere" umbenennen. andere 7.6%.% Druck andere Druck 59.%

12 TQU BUSINESS GMBH Analyse von general full factorials ().Designmatrix und Datenformat Erstellen Sie die Designmatrix in Mintab. Dadurch kommt der Response (Output) automatisch in einer Spalte zu stehen. Die Zeilen bilden die jeweiligen Versuchs- einstellungen der Faktoren ab. Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design... > General full factorial.auswertung Das DoE-Menue wählt bei der Auswertung automatisch das General Linear Model aus dem ANOVA-Menue. Stat > DOE > Factorial > Analyse Factorial Design Wenn nur ein Messwert pro Teilversuch / Zelle vorliegt, muss anhand der Größe der Sums of Square der Faktoren abgeschätzt werden, welche Faktoren aufgrund ihres geringen Effekte kaum signifikant bzw. für die Praxis nicht relevant sind..modellvereinfachung Ausgehend vom vollständigen Modell entfernen Sie schrittweise alle nicht-signifikanten Terme. Entscheidungsgrundlage ist der p-wert. Schauen Sie sich aber auch die Effekte an, die in den Sums of Square der Faktoren (Abweichung des Gruppenmittelwerts vom Gesamtmittelwert) zum Ausdruck kommen. Reduzieren Sie das Modell schrittweise und starten Sie bei den Wechselwirkungen. 4 Analyse von general full factorials () 4.Residuendiagnostik Wenn nur noch signifikante Faktoren im Modell sind, rechnen Sie das vereinfachte Modell nochmals, speichern Fits und Residuen und erstellen den Residuen Plot. und führen Sie die Modelldiagnose durch. Stat > DOE > Factorial > Analyse Factorial Design > Graphs: Four in one Führen Sie anschließend die Modelldiagnose durch. 5. Graphische Darstellung der Haupt- und Wechselwirkungen Signifikante Hauptfaktoren werden nur dann mit dem Main Effect Plot dargestellt, wenn die Faktoren nicht in eine signifikante WW eingebunden sind. Signifikante Wechselwirkungen werden nur mit dem Interaction-Plot betrachtet (keine Main Effects Plots erstellen). Einzelwirkungen mit dem Main Effect-Plot. Stat > DOE > Factorial > Factorial Plots > Main Effects bzw. Interaction Oder: Stat > ANOVA > Main Effects Plot/Interactions Plots/Interval Plots

13 TQU BUSINESS GMBH 5 Analyse von general full factorials () 6. Erstellen des Pie Chart / Kuchendiagramm Kopieren Sie den relevanten Teil der ANOVA-Tafel (Source bis AdjSS) ins Worksheet und erzeugen Sie ein Kuchendiagramm (Pie Chart), in dem nur noch signifikante Effekte dargestellt sind. Nicht-signifikante Terme werden der Error-Term zugeordnet und in "andere" umbenannt. Graph > Pie Chart Ergebnisbestätigung Wiederholen Sie den Lauf mit den optimalen Einstellungen. WICHTIG!! 8. Praktische Schlussfolgerungen Formulieren Sie praktischen Schlussfolgerungen und Empfehlungen. 9. Umsetzung der Verbesserung bzw. Planung des nächsten Experiments 6 Übungsbeispiel Ziel: Analyse eines -Faktor Experiments mit signifikanter Wechselwirkung. Input Variablen: eratur (tief/mittel/hoch bzw. //) Katalysator-Konzentration (tief/mittel/hoch bzw. //) Output Variable: Ausbeute Kat 78,00 56,700 5,600 Datei: Ausbeute.mtw 84,500 57,700 64,900 65,900 67,000 67,000 89,600 65,900 6,800 8,400 79,00 54,600 69,000 76,00 64,900 85,500 7,00 6,800 77,00 75,00 58,700 80,00 88,600 7,00 74,00 76,00 7,00 87,600 8,400 67,000 85,500 80,00 6,800 Cell Contents Ausbeute: Data

14 TQU BUSINESS GMBH 4 7 Design definieren und Analyse durchführen Zuerst muss das Design in Minitab angelegt werden werden. Bei zwei Faktoren auf Stufen muss das Design General full factorial gewählt werden. Stat > DOE > Factorial > Define Custom Factorial Design > General full factorial General Linear Model: Ausbeute versus Kat; Factor Type Levels Values Faktoren, Kat fixed ; ; Levels fixed ; ; Analysis of Variance for Ausbeute, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Kat 560, 560, 80,5 7,55 0,00 77,7 77,7 858,86,5 0,000 Kat* 4 467,44 467,44 6,86,5 0,00 Error 7 00,50 00,50 7,09 Total 5 746,96 S = 6,0907 R-Sq = 7,7% R-Sq(adj) = 65,5% Alle Faktoren inkl. der Wechselwirkung sind signifikant (p-wert <5%). Damit können wir das Modell nicht weiter vereinfachen. 8 Diagnose der Residuen Stat > DOE > Analyse Factorial Design > Graphs... > Four in one Residual Plots for Ausbeute Normal Probability bilit Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values Percent 50 Residual Residual Fitted Value 80 8 Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data 0 Frequenc cy 4 Residua l Residual Observation Order 0 5 Keine Ungewöhnlichkeiten. Das Modell ist eine gute Beschreibung der Daten.

15 TQU BUSINESS GMBH 5 9 Graphische Untersuchung der Wechselwirkung Stat > DOE > Factorial > Factorial Plots... > Interaction Plot > Setup Interaction Plot (data means) for Ausbeute Kat 75 Mean Interpretieren Sie das Resultat im Hinblick auf die beste Einstellung und die zukünftige Prozesskontrolle / -steuerung. 0 Stat > ANOVA > Interval Plot... > With Groups Graph variables: Ausbeute Categorical variables: Kat Intervall-Plot: Darstellung der Wechselwirkung 00 Interval Plot of Ausbeute vs Kat; 95% CI for the Mean 90 Ausbeute Kat Eingabereihenfolge der Faktoren entscheidet über die graphische Darstellung Der Intervallplot zeigt den 95%-Konfidenzbereich der Messwerte. Die Intervalle überschneiden sich stark, es gibt keinen Unterschied in der Streuung der beiden favorisierten Einstellungen.

16 TQU BUSINESS GMBH 6 Ergebnisprognose Aus unseren Wechselwirkungsplots und den Fits können wir die optimalen Einstellungen für den Prozess ablesen. Optimale Einstellungen: Katalysator: hohe Konzentration eratur: mittlere Stufe Ergebnisprognose: μ = 8,5 σ = Wurzel (7,09) = 6, Analysis of Variance for Ausbeute, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Kat 560, 560, 80,5 7,55 0,00 77,7 77,7 858,86,5 0,000 Kat* 4 467,44 467,44 6,86,5 0,00 Error 7 00,50 00,50 7,09 Total 5 746,96 S = 6,0907 R-Sq = 7,7% R-Sq(adj) = 65,5% Praktische Signifikanz: ε-square Welcher Faktor (Input) ist am kritischsten für den Prozess? Graph > Pie Chart... Pie Chart of AdjSS vs Source andere 6.7% Kat 5.0% Category Kat Kat* andere Kat*.5% 45.8%

17 TQU BUSINESS GMBH 7 Übung mit drei Input-Faktoren Datei: Teppich.mtw Output: Färbbarkeit (je höher, desto besser) Inputs: Aufgaben: Faltung (auf Stufen),eratur und Feuchtigkeit (je auf Stufen); Repetitionen ( Versuchswiederholungen hintereinander) - Bestimmung der Effekte - Residuendiagnose - mathematisches Modell - praktische Signifikanz Schauen Sie sich die Daten an, um ein Gefühl für die Design-Matrix zu bekommen. 4 Analyse der Daten Wir starten mit dem vollständigen Modell, d.h. mit allen Haupteffekten und allen möglichen Wechselwirkungen. Stat > DOE > Analyse Factorial Design General Linear Model: Färbbarkeit versus Feuchtigkeit; Faltung;... Analysis of Variance for Färbbarkeit Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Feuchtigkeit 46,000 46,000 8,000 66,5 0,000 Faltung 50,074 50,074 50,074 5,8 0,000 eratur 6, 6, 0,667 9,86 0,000 Feucht*Falt 78,85 78,85 9,407,0 0,000 Feucht* 4 55,667 55,667 88,97 7, 0,000 Falt*,59,59 5,60,7 0,94 Feucht*Falt* 4 46,85 46,85,546,5 0,06 06 Error 6 8,000 8,000,78 Total 5 57, S =,8046 R-Sq = 9,% R-Sq(adj) = 87,0% Da die statistische Auswertung ein vollständig hierarchisches Modell verlangt, kann das Modell nicht weiter vereinfachen werden (-fach WW können nicht entfernt werden, wenn eine -fach WW signifikant ist).

18 TQU BUSINESS GMBH 8 5 Analyse der Wechselwirkung. Ordnung Um die -fach WW grafisch zu analysieren müssen wir jeweils ein Worksheet mit Faltung = und Faltung = erstellen und anschließend für jede Stufe von Faltung die -fach WW betrachten. Data > Split Worksheet... by variable: Faltung Stat > DOE > Factorial > Factorial Plot > Interaction Plot je für Faltung und Faltung Interaction Plot for Färbbarkeit / Falt = Interaction Plot for Färbbarkeit / Falt = Feuchtigkeit Feuchtigkeit.5.5 Mean 0.0 Mean eratur eratur? Nach welchen Kriterien untersuchen Sie die Wechselwirkungsplots?

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