Inhaltsverzeichnis. 4 Lagrange-Funktion und Dualität Lagrange-FunktionmitGleichheitsrestriktionen... 63

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1 1 Einleitung Optimierungstypen Motivation und Grundbegriffe der Optimierung Allgemeine Form des Optimierungsproblems Konvexität Optimierung ohne Restriktionen Eindimensionale Optimierung (Liniensuche) Einklammerung des Minimums Methode des goldenen Schnitts Polynominterpolation Unvollständige Liniensuche Mehrdimensionale Optimierung Nelder-Mead-Simplexverfahren Suchrichtungsmethoden Methoden 0-ter Ordnung Methoden 1-ter Ordnung Methode des steilsten Abstiegs Konjugierte Suchrichtungen Methode der konjugierten Gradienten (Methode nach FletcherundReeves) Methoden 2-ter Ordnung: Quasi-Newton-Methode SkalierungvonDesignvariablen Abbruchkriterien Optimierung mit Restriktionen Indirekte Methoden Externe Straffunktion Interne Straffunktion Erweiterte interne Straffunktion Die erweiterte Lagrange-Methode Erweiterte Lagrange-Methode für Gleichheitsrestriktionen Erweiterte Lagrange-Methode für Ungleichheitsrestriktionen Direkte Methoden Eindimensionale Optimierung mit Restriktionen EinklammerungdesMinimums Methode des goldenen Schnitts Polynominterpolation MehrdimensionaleOptimierungmitRestriktionen Kuhn-Tucker-Bedingungen Zoutendjiks Methode der zulässigen Richtungen Modifizierte Methode der zulässigen Richtungen StartenimunzulässigenBereich Die generalisierte Methode der reduzierten Gradienten Lagrange-Funktion und Dualität Lagrange-FunktionmitGleichheitsrestriktionen... 63

2 X Inhaltsverzeichnis 4.2 Lagrange-Funktion mit Gleichheits- und Ungleichheitsrestriktionen Sattelpunktseigenschaften Dualität Primale Methode Duale Methode Dualität bei separierbaren Problemen Optimalitätskriterienverfahren Das Prinzip vom voll beanspruchten Tragwerk Die adaptive biologische Wachstumsregel Optimalitätskriterien aus den Kuhn-Tucker-Bedingungen Approximationsverfahren Lokale Approximation LineareundquadratischeApproximation SequenziellelineareProgrammierung Sequenzielle quadratische Programmierung Successive Response Surface Method Reziproke Approximation CONLIN MMA(MethodofMovingAsymptotes) GlobaleApproximation LineareRegression Polynome BestimmungderRegressionsparameter SVD (Singular Value Decomposition) Die Moving-Least-Square-Methode Sequenzielle Antwortflächen-Methode Nichtlineare Regression Neuronale Netzwerke Bestimmung der Regressionsparameter Levenberg-Marquard-Methode Statistische Test- und Fehlerterme Interpolationen Kriging Radiale Basisfunktionen Versuchsplanung VollständigfaktorielleVersuchspläne Koshal Designs D-Optimale Versuchspläne Space Filling Designs VergleichderglobalenApproximationen Kopplung an FEM Strukturantworten und Formulierungen des Optimierungsproblems Bauteilsteifigkeit Spannungen Frequenzen Weitere Strukturantworten Sensitivitätsanalyse Finite Differenzen

3 XI Analytische und semi-analytische Sensitivitätsanalyse Die direkte Methode Die adjungierte Methode Programmsysteme zur Optimierung Programme mit integriertem Optimierungsalgorithmus Externe Optimierer Anwendung: Dimensionierung Wandstärkenoptimierung von Blechbauteilen einer Karosserie Optimierung einer Karosseriestruktur unter Einsatz von Blechen mit variabler Wandstärke Formoptimierung CAD-basierte Formoptimierung Anwendungsbeispiele Torsionsprofils einer Verbundlenker-Hinterachse Motorhalter FEM-Netz-basierte Formoptimierung FormoptimierungmitFormbasisvektoren Erzeugung von Formbasisvektoren über Lastfälle SHAPE Morphing Grundversion von Morphing Erweitere Version von Morphing Sickenoptimierung Diskussion der Vor- und Nachteile der Formoptimierung mit Formbasisvektoren Anwendungen Vorderachslenker Motorhalter Sickenoptimierung einer Ersatzradmulde DasCAO-Verfahren Wachstumssimulation mithilfe einer Wachstumsschicht Direkte Methode der Wachstumssimulation Berücksichtigung von geometrischen Restriktionen Das CAIO-Verfahren Diskussion der Vor- und Nachteile des CAO-Verfahrens Anwendungen BeispieleausderNatur Achsschenkel Differenzialkäfig Topologieoptimierung Mathematische Topologieoptimierung E-Modul Dichte-Relation Die Homogenisierungsmethode Der SIMP-Ansatz Optimierungsziele und Lösungsverfahren Minimierung der mittleren Nachgiebigkeit Dynamische Topologieoptimierung Duale Methode

4 XII Inhaltsverzeichnis Topologieoptimierung mit nachgezogener Lasteinleitung MathematischeundnumerischeProbleme Empirische Topologieoptimierung DasSKO-Verfahren TopShape Weitere empirische Optimierungsverfahren VergleichvonSKOundmathematischenVerfahren Anwendungen Akademische Beispiele Praktische Anwendungen Auffinden einer optimalen Lochanordnung Bestimmung einer optimalen Sickenanordnung Ermittelung von optimalen Merkmalen von Gussteilen Topologieoptimierung ohne Gussteilrestriktionen Topologieoptimierung mit Gussteilrestriktionen Designerstuhl Optimierung von Schweißpunkten Weitere Anwendungsbereiche Globale Optimierungsverfahren Multistart Globale Optimierungsverfahren aus dem Bereich der Bionik Evolutionäre Algorithmen Evolutionsstrategien (ES) GenetischeAlgorithmen(GA) Abschließende Bemerkungen zu den evolutionären Algorithmen Optimierung mit Teilchenschwärmen (Particle Swarm Optimization) SimulatedAnnealing Generelle Bemerkungen zu den stochastischen Optimierungsverfahren DerEGO-Algorithmus WürfelnaufdemComputer Globale Optimierungsstrategien Optimierungsstrategien Mehrzieloptimierung Zielgewichtung Methode der Abstandsfunktionen Restriktionsformulierung Pareto-Front Bestimmung über Versuchsplanung Pareto-basiertegenetischeAlgorithmen Multidisziplinäre Optimierung Bestimmung der wichtigsten Designvariablen und Reduktion der Variablen ReduktionvonVariablenüberSensitivitäten Lokale Sensitivitäten Globale Sensitivitätsanalyse Verfolgen von Sensitivitäten Reduktion von Variablen über eine stochastischen Analyse Lineares Regressionsmodell Varianzanalyse (ANOVA) Funktionale Varianzanalyse DiskreteVarianzanalyse

5 XIII 11.4 Robustheits- und Zuverlässigkeitsoptimierung Gegenüberstellung von Versuch und Simulation Statistische Grundlagen StochastischeAnalyse Monte-Carlo-Methode Latin Hypercube Sampling Die FOSM-Methode Lineares Regressionsmodell Variation der Eingangsstreuung Varianzanalyse Funktionale Varianzanalyse DiskreteVarianzanalyse Formulierungen des Optimierungsproblems Anwendungsbeispiele Robustheitsanalyse und Optimierung des Systems Fensterrahmen/Türdichtung Optimierung und Robustheitsuntersuchung einer Mehrlenkerhinterachse hinsichtlich des Rollgeräusches Literatur Sachwortverzeichnis...388

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