Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik

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1 Numerisce Simulation in der Luft- und Raumfarttecnik Dr. Felix Jägle, Prof. Dr. Claus-Dieter Munz (IAG) Universität Stuttgart Pfaffenwaldring, Stuttgart

2 Inalt der eutigen Vorlesung. Konvergenz. Validierung anand von Testproblemen 3. Diskretisierung des Recengebiets (Gitter)

3 Konvergenz Äquivalenzteorem von Lax: Konsistenz + Stabilität = Konvergenz Lokaler Diskretisierungsfeler in einer Iteration wird klein, wenn die Raumscrittweite klein wird. Dieser Feler wäcst im Laufe der Iterationen nict beliebig an. Wenn Raum- und Zeitscrittweite gegen Null geen, strebt die numerisce Lösung gegen die exakte Lösung.

4 Konvergenz Feler in jedem Zeitscritt wird beliebig klein wenn die Raumdiskretisierung fein genug ist: Konsistenz Approximationsfeler + Anfangslösung Approximierte PDGl. (im Raum) Lösung Endresultat t+ t Der kleine in jedem Zeitscritt gemacte Feler wird wärend der Zeititeration nict verstärkt: Stabilität Wenn beides erfüllt: Das Endergebnis wird beliebig genau, wenn Zeit- und Raumdiskretisierung fein genug sind: Konvergenz

5 Konvergenz e = v Lösung des Näerungsverfarens: n u n Beide zum Zeitpunkt n t diskretisierte exakte Lösung: z.b. punktweise Auswertung (Differenzenverfaren) ( u n ( u ) = u( x oder: Integraler Mittelwert der exakten Lösung über x n ) i i = x n i x i + u x i ) n ( x ) dx Das Verfaren ist konvergent, wenn e C p Dabei ist p die Konvergenzordnung. ist eine noc zu definierende Norm.

6 Konvergenz Häufig verwendete Normen: p-normen: e p N = x i= p ( e ) i p e e Maximumsnorm: x e e ) = max ( i [, N ] i e e

7 Konvergenz Praktisces Vorgeen zur Bestimmung der Konvergenzordnung:.) Wiederolen der Recnung mit untersciedlicen Gittern Exakte Lösung.) Bestimmung der Felernorm für jede Recnung, z.b.: Feineres Gitter x x e = x N ( u( xi ) vi ) i= = Exakte Lösung x (Setzt voraus, dass eine exakte Lösung bekannt ist!) L

8 Konvergenz 3.) Auftragen des Felers über der Gitterweite 4.) Ablesen der Ordnung in doppelt logaritmiscer Auftragung e Feineres Gitter e L x L x e C p ( ) = log( C) p log( ) log + e

9 Konvergenz Praktisce Metoden zur Bestimmung der Ordnung aben ire Grenzen: e 0 Für ser grobe Gitter gibt es noc kein klares Konvergenzveralten erst im sog. asymptotiscen Bereic! L x Teoretisce Konvergenzordnung wird nur für inreicend glatte Lösungen erreict. Probleme mit Unstetigkeiten werden immer zu einer niedrigeren Konvergenzordnung füren. e O( x O( x) ) e O( x ) O( x) L x L x

10 Konvergenz Die Ordnung ist nict Alles: e O( x ) Verfaren zweiter Ordnung wäre ier erst bei ser feinen Gittern überlegen! O( x) L x Für die praxis relevante Gitter

11 Konvergenz In der Praxis werden Simulationen zu Problemstellungen durcgefürt, deren Lösung noc nict bekannt ist! Trotzdem möcte man eine Aussage über die Qualität eralten. Globale Größe der Simulation z.b: Widerstandsbeiwert eines Profils, Maximaltemperatur einer Turbinenscaufel Ricardson Extrapolation: f exakt Scätzung der exakten Lösung durc den Vergleic zweier Lösungen auf untersciedlicen Gittern Anname: Asymptotisces Veralten e C p f f exakt C p f f exakt C p r = f f exakt f r f r p = p f f f Feineres Gitter f exakt Konvergenzordnung p des Verfarens muss bekannt sein!

12 Konvergenz Scätzung der Konvergenzordnung durc den Vergleic dreier Lösungen Anname: Asymptotisces Veralten f e C p f p f3 f exakt C3 p f f exakt C 3 r = = 0 f f p f f exakt C r p = f f 3 f f p = f3 log f log ( r) f f

13 Validierung anand von Testproblemen Validierung einer Simulationsmetode Auswal eines geeigneten Testfalls Aus der Literatur Mit Anderweitigem Zugang zu Resultaten Vergleic mit Ergebnissen aus einem Experiment (Möglicst genau bekannte Randbedingungen und wenig felerbeaftete Messmetoden) Ziel: Vergleic mit der Realität Quantitative Bestimmung von Felern Vergleic mit Ergebnissen aus einer Referenzsimulation (Basierend auf einem matematiscen Modell mit wenig Vereinfacenden Annamen) Ziel: Bewertung von Modellen/Vereinfacungen Identifikation von Felerquellen Quantitative Bestimmung von Felern Vergleic mit den Ergebnissen eines änlicen Simulationsprogramms (Gleice/änlice Modelle und numerisce Verfaren) Ziel: Ausscluss von Programmierfelern Vergleic mit dem etablierten Stand der Tecnik

14 Validierung anand von Testproblemen (fiktive) Problemstellung: Lärmerzeugung durc einen Farwerksscact im Landeanflug soll untersuct werden. Frage: Ist das in der Firma verwendete CFDtool geeignet dieses Problem zu untersucen?

15 Validierung anand von Testproblemen Druckspektren: Gescwindigkeitsprofile: Geeignete Vergleicsgrößen Im Text: Verweis auf einen veröffentlicten experimentellen Datensatz

16 Validierung anand von Testproblemen ) Auswal eines Testfalls, der dem Farwerksscact im Landeanflug am näcsten kommt ) Aufsetzen einer Simulation, die den im Experiment verwendeten Randbedingungen entsprict 3) Extraieren der Vergleicsgrößen (Gescwindigkeitsprofile, Druckspektren) Notwendiger Recenaufwand akzeptabel? Genauigkeit ausreicend in den relevanten Größen? Sind die Simulationsergebnisse aus der Veröffentlicung besser? Lont es sic, deren Metoden zu verwenden?

17 Diskretisierung des Recengebiets i,j+ Perfekt für solce Geometrien: i,j+ i,j i+,j i+,j Differenzenverfaren funktionieren nur auf kartesiscen Gittern: Jeder Knoten kann durc die Indizes i,j (in D) eindeutig identifiziert werden. Weniger perfekt für solce Geometrien:

18 Diskretisierung des Recengebietes Acsenparallel: Randangepasst Unstrukturiert

19 Randangepasste Gitter Pysikalisces Gebiet Logisces Gebiet y η Ω ( x, y) η( x, y) Ω' x y η Ω x(, η) y(, η) Ω' x

20 Randangepasste Gitter Randangepasste Gitter Randangepasste Gitter Randangepasste Gitter Wie ändern sic die Gleicungen, wenn sie in den pysikaliscen Koordinaten x,y formuliert sind, aber auf η, gelöst werden sollen? = η η η u u y y x x y u x u ), ( η x ), ( η y In der DGl (pys. Gebiet) Im code (logisces Gebiet) Meist nict bekannt! x u x u x u + = η η y u y u y u + = η η Kettenregel = y u x u y x y x u u η η η = η η η η y x y x y y x x Meist nict bekannt!

21 Randangepasste Gitter O-Gitter C-Gitter Natstellen spezielle Bedingungen für die Handabung benacbarter Knoten notwendig

22 Block-strukturierte Gitter Idee: Zerlegung in merere Blöcke, die jeweils besser an die Ränder angepasst werden können Zusatzbedingungen für die Natstelle Geometrien (z.b. mit Ecken) können nict mersinnvoll verformt werden Block Block

23 Block-strukturierte Gitter Beispiel: Verdicterstufe

24 Vergleic Strukturiert/unstrukturiert

25 Unstrukturierte Gitter Pointer Knoten Element Knoten Element Pointer Element Knoten Element Knoten Knoten Knoten 3 Knoten

26 4 3 7 Unstrukturierte Gitter Liste der Kanten und deren Definition (wictig z.b. zur Flussberecnung bei den finiten Volumen) Glob. Kante Knoten Knoten Element Kante Element Kante

27 Elementtypen Hexaeder Dreiecksprisma Tetraeder Pyramide

28 Hybride Gitter Kombination versciedener Elementtypen in einem Gitter. Wal der Typen bedingt durc Geometrie und Pysik

29 Anpassung des Gitters an die Pysik Beispiel: Kanalströmung turbulente Grenzscict Bilder: Melissa Green, Princeton

30 Anpassung des Gitters an die Pysik Beispiel: Einlassventil eines Verbrennungsmotors Bilder: B. Enaux, CERFACS

31 Anpassung des Gitters an die Pysik Beispiel: Verdictungsstoß in der transsoniscen Strömung um ein Flügelprofil

32 Anpassung des Gitters an die Pysik Adaptive Gitterverfeinerung Beispiel aus der Struktursimulation Grobes Ausgangsgitter Spannungsverteilung In Regionen mit oer Spannung werden Gitterzellen unterteilt Bessere Approximation an den entsceidenden Stellen Bilder: Autodesk

33 Anpassung des Verfarens an die Pysik In bestimmten Regionen (z.b. mit starken Gradienten) wird ein Verfaren öerer Ordnung verwendet

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