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1 R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird nicht nur für anspruchsvolle statistische Analysen, sondern auch für ganz einfache Berechnungen verwendet. Um beispielsweise den Ausdruck 1 3( ) 2 zu berechnen, tippt man den Befehl 5 3*(1/5)^2 unmittelbar nach dem Prompt (Eingabeaufforderung) ein und drückt Enter. R führt den Befehl aus, zeigt das Ergebnis (samt Counter) > [1] 4.32 an und wartet auf den nächsten Befehl. Die Nützlichkeit des Counters erkennt man spätestens dann, wenn eine größere Anzahl von Werten ausgegeben wird. 1

2 ZUWEISUNGEN Mit Hilfe des Zuweisungspfeils kann man das Ergebnis einer Berechnung für eine spätere Weiterverwendung speichern, Der Zuweisungspfeil wird mit den beiden Zeichen und gebildet. <- Durch die Eingabe der Zuweisung < - x <- 3/4 veranlassen wir R, zuerst den Ausdruck 3/4 zu berechnen und dann das Ergebnis in einem R-Objekt mit dem von uns gewählten Namen x abzuspeichern. R zeigt das Ergebnis erst an, wenn wir den Namen dieses R-Objekts eingeben. x <- 3/4 x [1]

3 VEKTOREN Im Folgenden berechnen wir die Quadrate der Zahlen 1 bis 5 und speichern die Ergebnisse in den R-Objekten Q1 bis Q5. Q1 <- 1^2; Q2 <- 2^2; Q3 <- 3^2; Q4 <- 4^2; Q5 <- 5^2 (Wenn man mehrere R-Befehle in eine Zeile schreibt, muss man sie durch Strichpunkte trennen.) Die Verkettung (concatenation) der R-Objekte Q1 bis Q5 ermöglicht uns, alle Quadrate auf einmal anzuzeigen. c(q1,q2,q3,q4,q5) [1] Wir können natürlich auch ein R-Objekt erzeugen, das alle fünf Quadrate enthält. Q <- c(q1,q2,q3,q4,q5) Q [1] Q ist ein Vektor der Länge 5. Dieser Vektor kann auf verschiedene Arten erzeugt werden: (i) Q <- c(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2) (ii) Q <- c(1,2,3,4,5)^2 (iii) Q <- (1:5)^2 1:5 ist eine Abkürzung für c(1,2,3,4,5). 3

4 ERZEUGEN VON ZUFALLSZAHLEN MIT R Die Zufallsvariable Augenzahl beschreibt den Ausgang eines komplexen Experiments (Würfeln) mit nur einer einzigen numerischen Zahl. Es sind nur die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6 möglich. Jeder dieser Werte hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Diese Zufallsvariable besitzt eine diskrete Gleichverteilung. 100 Realisierungen der Zufallsvariablen Augenzahl erhält man entweder real, durch 100-maliges Würfeln, oder durch die Erzeugung von 100 Zufallszahlen, etwa mit der freien Software R. Übung: Erzeugen von gleichverteilten Zufallszahlen mit R Befehl: sample(1:6,size=100,replace=true) Ergebnis: [1] [26] [51] [76] Argumente der R-Funktion sample: 1:6 Vektor mit den Elementen 1, 2, 3, 4, 5, 6 size=100 Spezifikation des Stichprobenumfangs replace=true Erlauben von Wiederholungen (ohne Wiederholungen maximal size=6 ) 4

5 Übung: Erzeugen von Lottozahlen sample(1:45,size=6,replace=false) [1] Argumente der R-Funktion sample: 1:45 Vektor mit den Elementen 1, 2, 3,, 43, 44, 45 size=6 Spezifikation des Stichprobenumfangs replace=false Ausschluss von Wiederholungen 5

6 DIE KATEGORIALE VERTEILUNG Es sei X eine Zufallsvariable, die die Werte 1, 2, 3 mit den Wahrscheinlichkeiten annimmt. W(X=1)=0.6, W(X=2)=0.3, W(X=3)=0.1 Es sind zwar nur endlich viele verschiedene Werte möglich, diese sind aber nicht alle gleich wahrscheinlich. Diese Zufallsvariable besitzt keine diskrete Gleichverteilung, sondern eine kategoriale Verteilung. Übung: Erzeugen von kategorial verteilten Zufallszahlen sample(1:3,size=50,replace=true,prob=c(0.6,0.3,0.1)) [1] [26] Argumente der R-Funktion sample: 1:3 Vektor mit den Elementen 1, 2, 3 ( Kurz-Schreibweise für c(1,2,3) ) size=50 Spezifikation des Stichprobenumfangs replace=true Erlauben von Wiederholungen prob=c(0.6,0.3,0.1) Spezifikation der Wahrscheinlichkeiten Kürzer: sample(1:3,s=50,r=t,p=c(0.6,0.3,0.1)) 6

7 ABSOLUTE UND RELATIVE HÄUFIGKEITEN Mit Hilfe der R-Funktion table können wir feststellen, welche Werte in einer Stichprobe vorkommen und wie oft diese Werte auftreten. Beispiel: Erste Stichprobe vom Umfang 10: s1 <- sample(1:3,s=10,r=t,p=c(0.6,0.3,0.1)); s1 [1] table(s1) s Werte: Absolute Häufigkeiten: Relative Haüfigkeiten: 6/10=0.6 4/10=0.4 0/10=0 Zweite Stichprobe vom Umfang 10: s2 <- sample(1:3,s=10,r=t,p=c(0.6,0.3,0.1)); s2 [1] table(s2) s Werte: Absolute Häufigkeiten: Relative Häufigkeiten: 5/10=0.5 3/10=0.3 2/10=0.2 7

8 DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN Wir lassen nun den Stichprobenumfang wachsen. s.10 <- sample(1:3,s=10,r=t,p=c(0.6,0.3,0.1)); s.10 [1] table(s.10) s s.100 <- sample(1:3,s=100,r=t,p=c(0.6,0.3,0.1)); s.100 [1] [31] [61] [91] table(s.100) s s.1000 <- sample(1:3,s=1000,r=t,p=c(0.6,0.3,0.1)) table(s.1000) s Werte Relative Häufigkeiten Wahrscheinlichkeiten s=10 s=100 s=

9 Mit wachsendem Stichprobenumfang nähern sich die relativen Häufigkeiten den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an. Wenn, wie fast immer in der Praxis, die theoretischen Wahrscheinlichkeiten unbekannt sind, dafür aber eine Stichprobe verfügbar ist, dann liegt es nahe, die unbekannten Wahrscheinlichkeiten durch die relativen Häufigkeiten zu schätzen. 9

10 DER ERWARTUNGSWERT Bringen wir den Befehl sample(1:3,size=10,replace=true,prob=c(0.6,0.3,0.1)) sechs mal zur Ausführung, so erhalten wir sechs Stichproben vom Umfang n=10: Der Mittelwert der ersten Stichprobe ist = = Die restlichen fünf Mittelwerte sind 1.6, 1.5, 1.9, 1.7 und 1.3. Im Idealfall treten die Werte 1, 2 und 3 genau entsprechend ihren Wahrscheinlichkeiten 0.6, 0.3 bzw. 0.1 auf. Bei n=10 wären das 6 Einsen, 3 Zweien und eine Drei. Den Mittelwert einer solchen idealen Stichprobe nennen wir Erwartungswert. Er lässt sich auch schreiben als Summe aller möglichen Werte multpliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten: = 1 ( )+2 ( ) = 1 P(X=1)+2 P(X=2)+3 P(X=3) 10

11 SCHÄTZUNG DES ERWARTUNGSWERTS Den Erwartungswert der Zufallsvariablen Augenzahl, erhalten wir (i) exakt als Summe aller möglichen Werte multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten, 1 P(X=1)+2 P(X=2)+ +6 P(X=6) = = (2+ +6) 6 1 = 3.5, (ii) approximativ als Mittelwert einer Zufallsstichprobe, mean(sample(1:6,size=10,replace=true)) [1] 3 mean(sample(1:6,size=10,replace=true)) [1] 4.7 mean(sample(1:6,size=10,replace=true)) [1] 4 mean(sample(1:6,size=100,replace=true)) [1] 3.54 mean(sample(1:6,size=100,replace=true)) [1] 3.68 mean(sample(1:6,size=100,replace=true)) [1] 3.62 Die Approximation ist verlässlicher, wenn der Stichprobenumfang größer ist. 11

12 DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN FÜR DEN MITTELWERT EINER STICHPROBE Mit wachsendem Stichprobenumfang konvergiert der Stichprobenmittelwert gegen den Erwartungswert. Beispiel: Diskrete Gleichverteilung (mit möglichen Werten 1, 2, 3, 4, 5, 6) mean(sample(1:6,size=10,replace=true)) [1] 3.3 mean(sample(1:6,size=100,replace=true)) [1] 3.26 mean(sample(1:6,size=1000,replace=true)) [1] mean(sample(1:6,size=10000,replace=true)) [1] mean(sample(1:6,size=100000,replace=true)) [1] mean(sample(1:6,size= ,replace=true)) [1] mean(sample(1:6,size= ,replace=true)) [1] M Der Mittelwert einer Stichprobe vom Umfang n=10,000,000 liegt schon sehr nah beim Erwartungswert 3.5 dieser diskreten Gleichverteilung. 12

13 SIMULATIONSEXPERIMENTE Es ist plausibel, dass bei einer erwarteten Augenzahl von 3.5 der Erwartungswert der Summe von zwei Augenzahlen 7 ist. Wir können das auf zwei verschiedene Arten überprüfen. (i) Exakte Berechnung des Erwartungswertes: Die Summe kann nur Werte zwischen 2 (bei zwei Einsen) und 12 (bei zwei Sechsen) annehmen. Summen Möglichkeiten Wahrscheinlichkeiten 2 1 1/ / /36 M M M / Erwartungswert = = 7 36 (ii) Approximation mit Hilfe eines Simulationsexperiments: Zahl1 <- sample(1:6,size=20,replace=true); Zahl1 [1] Zahl2 <- sample(1:6,size=20,replace=true); Zahl2 [1] Summe <- ZahlZahl2; Summe [1] mean(summe) [1]

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$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

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