DIPLOMARBEIT. Grundlagen der Strömungssimulation. -einfache Beispiele unter ANSYS- -experimentelle Validierung- Amre EL-Kaddousi Matrikel-Nr.

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1 DIPLOMARBEIT -einfahe Beispiele unter ANSYS- -- Matrikel-Nr.:35074 Matrikel-Nr.:350804

2 FH Düsseldorf, Kameier, Josef-Gokeln-Str. 9, D Düsseldorf Thema einer Diplomarbeit für Herrn Amre El-Kaddousi Matrikel-Nr und Strömungstehnik und Akustik Fahbereih 4 Mashinenbau und Verfahrenstehnik Josef-Gokeln-Str Düsseldorf Phone (011) Fax (011) Frank.Kameier@fh-duesseldorf.de Düsseldorf, den Herrn Husam El-Kaddousi Matrikel-Nr Numerishe Verfahren zur Simulation von Strömungen finden heute in allen tehnishen Bereihen eine zunehmende praktishe Bedeutung. Überprüft werden soll im Rahmen der Diplomarbeit, ob Berehnungen einfaher strömungstehnisher Vorgänge mit dem FEM- Programm ANSYS und seinem Strömungslöser FLOTRAN einer analytishen Berehnung nahe kommen. Es sollen Testfälle ausgewählt und erprobt werden, um qualitativ und quantitativ einfah mit theoretishen Berehnungen vergleihen zu können. Ein übershaubares numerishes Experiment soll ausgewählt und hinsihtlih der Tauglihkeit für Shulungszweke überprüft werden. Eine für Shulungszweke geeignete Dokumentation ist zu erstellen, die im Rahmen der Praktika Strömungstehnik der FH-Düsseldorf eingesetzt werden kann. Für Auswertungen und Analysen der Strömungsdaten stehen die Softwarepakete Matlab und ANSYS mit FLOTRAN zur Verfügung. Die Bearbeitung der Diplomarbeit soll in folgenden Shritten erfolgen: Erarbeitung eines Projektzeitplans, Einarbeitung in die Literatur zur Strömungssimulation und Internetreherhe zu Strömungssimulationsverfahren, Diskussion von einfahen und komplexeren Turbulenzmodellen, Zusammenstellung geeigneter Strömungsfälle in analytisher, numerisher und experimenteller Form, Bewertung von - und 3-dimensionalen Berehnungen, Erstellung einer Bedienungsanleitung für FLOTRAN unter ANSYS, Zusammenstellung eines ersten Entwurfs für ein Laborskript.

3 Inhaltsverzeihnis Inhaltsverzeihnis Einleitung Thema der Diplomarbeit Vorwort... 4 Grundlagen der Strömungslehre Kontinuum Stationäre und instationäre Strömungen Die Dihte und die thermishe Zustandsgleihung Die Shallgeshwindigkeit Die Mah-Zahl Kompressible und inkompressible Strömungen Bilanzgleihungen Kontinuitätsgleihung Impulssatz (Navier-Stokes) Die theoretishe Betrahtung der Hagen-Poiseuille-Strömung Die Hagen-Poiseuille-Strömung in einem Rohr mit Kreisquershnitt Die Hagen-Poiseuille-Strömung in einem Kanal mit Rehtekquershnitt Gerade Rohrströmung Numerishe Berehnung der Hagen-Poiseuille-Strömung mit der FEM-Software ANSYS Einleitung Theoretishe Umsetzung (Medium = Luft) Analytishe Berehnung-unendlih breiter Kanal (-D Modell) Bestimmung de Ersatzdurhmesser D E Bestimmung der Einlauflänge laut Tietjens Theoretishe Überlegung der Ergebnisse mit Matlab Numerishe Berehnung Ergebnisse aus FLOTRAN Strömungsgeshwindigkeit in x-rihtung Strömungsgeshwindigkeit in y-rihtung Drukentwiklung über die Kanallänge Auswertung Tabellen und Diagramme Diskussion Einbauten Diffusor Numerishe Berehnung einer Diffusorströmung mit der FEM-Software ANSYS Einleitung Numerishe Versuhsdurhführung Theoretishe Umsetzung (Medium = Luft) Numerishe Berehnung Auswertung Berehnung gemäß Stromfadentheorie, λ = Auswertung Optimierung der numerishen Ergebnisse

4 Optimierung der Netzgenerierung (Diskretisierung) am Beispiel Diffusor Einleitung Auswertung Optimale Iterationszahl am Beispiel Diffusor Einleitung Auswertung Ablösungsbehaftete Diffusorströmung Theoretishe Überlegung mit einem Diffusoröffnungswinkel von β = Numerishe Berehnung Auswertung Zusammenfassung der Ergebnisse Experimentelle Validierung der Diffusorströmung Experiment Beshreibung der Versuhsanlage Einlaufdüse Drukmessstellen an den Rohren mittels Ringkanäle Diffusor Radialventilator und Elektromotor Verwendete Messgeräte und Software Theoretishe Umsetzung (Medium = Luft) Numerishe Berehnung Auswertung Berehnung der Abweihungen Diskussion der Ergebnisse Krümmer Vergleih der in Ansys vorhandenen Turbulenzmodelle mit dem Experiment Einleitung Reynolds gemittelte Navier Stokes Gleihungen (RANS) Testfall 1 gerades Rohr Auswertung Testfall Krümmer Auswertung Testfall 3 Krümmer mit Vorgabe Enke und Ends als Randbedingung Auswertung Experimentelle Validierung der Krümmerströmung Einleitung Experiment Beshreibung der Versuhsanlage Krümmer Theoretishe Umsetzung (Medium = Luft) Numerishe Berehnung Auswertung Berehnung der Abweihungen Diskussion der Ergebnisse Ringkammer Messblende Experimentelle Validierung der Ringkammer - Messblende Einleitung... 11

5 Besonderheiten der DINEN ISO5167 Durhflussmessung von Fluiden mit Drosselgeräten in voll durhströmten Leitungen mit Kreisquershnitt Experiment Theoretishe Umsetzung (Medium = Luft) Numerishe Berehnung Auswertung Zusammenfassung Literaturverzeihnis Anhang Bedienungsanleitung für das Softwarepaket FLOTRAN von Ansys

6 1 Einleitung 1.1 Thema der Diplomarbeit 1. Vorwort Numerishe Simulationen finden in den ingenieurwissenshaftlihen Bereihen immer mehr an Bedeutung, da sih die Leistungsfähigkeit bei gleihzeitiger Verbesserung der Softwarebedienung sih stetig steigert. Die im Rahmen der vorliegenden Arbeit angewandte FEM-Software Ansys kann Berehnungen im Bereih der Strukturmehanik, Thermodynamik und Strömungssimulation, unter einer einheitlih zu bedienenden Oberflähe, durhführen. Die Wirtshaftlihkeit der numerishen Berehnung gegenüber zeit- und kostenaufwendigen Versuhen hat sih daher erheblih erhöht. Diese Diplomarbeit beshäftigt sih mit der numerishen Simulation im Bereih der Strömungstehnik. Hierzu wird das Tool FLOTRAN erprobt, das zum FEM-Programm ANSYS 6.1 gehört. Die erste Zielsetzung dieser Arbeit ist, eigenständig und ohne einshlägige Erfahrung mit FEM- Berehnungen die Anwendung der Software zu erlernen. Dies erstrekt sih von der Geometrieerzeugung, Vernetzung, der sinnvollen Aufbringung von Randbedingungen auf das zu berehnende Strömungsfeld, bis hin zur Berehnung selbst und der anshließenden Darstellung der Ergebnisse. Die somit erreihten Kenntnisse sollen dokumentiert und zu einer Bedienungsanleitung zusammengeführt werden. Die Bedienungsanleitung beinhaltet nur Beshreibungen für die in dieser Arbeit behandelten Beispiele. Sie soll für Shulungszweke an der FH Düsseldorf, im Rahmen des Praktikums Strömungstehnik in den Bahelor Studiengängen des Fahbereihes, genutzt werden. Über die elementare Bedienung von FLOTRAN hinaus behandelt die vorliegende Arbeit die Auswertung und Deutung der numerishen Ergebnisse. Hierzu dienen vergleihsweise einfahe Strömungsfälle mit quasi bekannten Lösungen wie die Hagen Poiseuille Strömung (laminare Rohrströmung), die Durhströmung von Diffusoren und Krümmern sowie die Messblende nah DIN EN ISO Zur Validierung der numerishen Ergebnisse werden analytishe oder semi empirishe Lösungen aus der Literatur und eigene experimentelle Ergebnisse herangezogen. Hierzu soll im Labor für Strömungstehnik eigens eine Rohrleitungsmessstreke aufgebaut und verwendet werden, um über vershiedene Rohrquershnitte integral gemessener Drüke mit den numerishen Ergebnissen zu vergleihen. Die Messdatenerfassung wie die Verrehnung der Messgrößen erfolgen mit Dasylab, Exel und Matlab. 4

7 Da die behandelten Strömungen durhweg nur das Medium Luft berüksihtigen, handelt es sih bei den tehnish relevanten Beispielen stets um turbulente Strömungen. Die besondere Herausforderung besteht in der Untersuhung untershiedliher Turbulenzmodelle des Softwarepakets FLOTRAN. Diskretisierungseinflüsse sowie Iterationsverläufe werden diskutiert. Gitterverfeinerungen an ausgewählten Geometrien kommen zum Einsatz. Grundlagen der Strömungslehre.1 Kontinuum Ein Kontinuum (lat. Continuum: "Das Zusammenhängende", Plural Kontinua) ist ein Objekt, welhes seine Form nur so ändern kann, dass keine Risse, Brühe oder ähnlihes entstehen. Zwei benahbarte Punkte eines Kontinuums bleiben auh nah der Deformation benahbart. In der Physik - soweit sie alltäglihe Erfahrungen beshreibt - werden viele Stoffe als Kontinua angesehen, beispielsweise Wasser oder Luft. Aus diesem Modell lassen sih viele bewährte Gesetze ableiten. Diese versagen jedoh, wenn wir sehr kleine Abmessungen oder niedrige Drüke untersuhen. Luft besteht dann aus Molekülen mit leerem Raum dazwishen. Betrahten wir immer kleinere Abmessungen, gelangen wir shließlih zu den Atombestandteilen Protonen, Neutronen und Elektronen mit völlig anderen Gesetzen als in der Kontinuumsphysik. Ein ähnlihes Versagen der Alltagsphysik erleben wir, wenn es um sehr große Abmessungen (Astronomie) oder um sehr hohe Geshwindigkeiten (Lihtgeshwindigkeit) geht. In der Tehnishen Strömungslehre kann man, von wenigen Ausnahmen abgesehen, davon absehen, dass Fluide aus Molekülen bestehen. Man benutzt vielmehr die sogenannte Kontinuumshypothese, die besagt, dass die Masse stetig über das Volumen verteilt ist. Nur so sind Limesbildungen möglih, bei denen das Volumenelement V auf Null zusammengezogen wird. Die Dihte ρ ist z. B. wie folgt definiert ( m : Masse in V ). m ρ = lim Gl. 1 V 0 V (Quelle Tehnishe Strömungslehre Böswirth/3/004/S.). Stationäre und instationäre Strömungen Wenn im Strömungsfeld die Geshwindigkeit, der Druk p, die Dihte ρ und die Zähigkeit η von der Zeit unabhängig sind, ist die Strömung stationär. Stationäre Strömung = zeitunabhängige Strömung = 0 t 5

8 Sind, p, ρ und η von der Zeit abhängig, liegt eine instationäre Strömung vor. Instationäre Strömung = zeitabhängige Strömung 0 t.3 Die Dihte und die thermishe Zustandsgleihung Die Dihte eines Stoffes beshreibt die Masse pro Volumen. Sie ist abhängig von dem Druk, Temperatur und der Stoffeigenshaft. Eine Beshreibung zwishen der Dihte und anderen thermodynamishen Größen gibt die thermishe Zustandsgleihung wieder. Für ideale Gase gilt: p ρ = Gl. R T p Druk(Pa) R spezifishe Gaskonstante T Temperatur(K) Die spezifishe Gaskonstante hat für untershiedlihe Gase einen anderen Wert. Die universelle Gaskonstante hat einen konstanten Wert von: J R = 87 kg K.4 Die Shallgeshwindigkeit Shall entsteht aus kleinen Drukshwankungen. Die Shallgeshwindigkeit wird definiert als dp a = Gl. 3 dρ Für ideale Gase nimmt die Gleihung 4 die Form: a = κ R T Gl. 4 wobei κ die Isentropenkonstante darstellt. Für Luft hat sie den Wertκ =

9 .5 Die Mah-Zahl Das Verhältnis zwishen der Strömungsgeshwindigkeit und der Shallgeshwindigkeit a wird als Mah-Zahl Ma bezeihnet. Ma = Gl. 5 a Strömungen werden nah der Mah-Zahl untershieden mit: Ma<1 Untershallströmung Ma>1 Übershallströmung Bei einer Übershallströmung (Ma>1) kann ein Verdihtungsstoß auftreten und dieser die Strömung in eine Untershall-Strömung (Ma<1) überführen..6 Kompressible und inkompressible Strömungen Eine Strömung wird als inkompressibel bezeihnet, wenn sih die Dihte niht ändert. Die Strömungen von Flüssigkeiten sind also inkompressibel. Selbstverständlih kann eine Flüssigkeit bei hohen Druk- und Temperatur - Änderungen auh eine Dihte - Änderung zur folge haben. Bei Gasen können Dihteänderungen vorkommen. Aber die Gasströmungen können auh als inkompressibel betrahtet werden, wenn die Dihteänderungen sehr klein sind. Das entsheidende Kriterium dafür ist die Mah-Zahl. Die Kompressibilitätseffekte nehmen mit der Mah-Zahl ab. Für Ma 0.3 können auh Strömungen von Gasen (Luft) als inkompressibel behandelt werden. ρ = onst In diesem Fall kann eine mittlere Dihte aus dem mittleren Druk und der mittleren Temperatur ausgerehnet werden und diese mittlere Dihte als konstant für die ganze Strömung angesehen werden. 7

10 .7 Bilanzgleihungen Als Bilanzgleihung bezeihnet man eine Gleihung, deren zeitlihe Änderung einer extensiven Größe gleih einer anderen extensiven Größe ist. In der Strömungslehre sind dies vier Grundgleihungen: die Bilanzgleihung für die Masse (Kontinuitätsgleihung): die zeitlihe Änderung der Masse eines materiellen Volumens ist null. die Bilanzgleihung für den Impuls (Navier-Stokes-Gleihung): die zeitlihe Änderung des Impulses eines materiellen Volumens ist gleih der am Volumen angreifenden äußeren Kraft. die Bilanzgleihung für den Drehimpuls (Drehimpulssatz): die zeitlihe Änderung des Drehimpulses eines materiellen Volumens ist gleih dem am Volumen angreifenden Drehmoment. die Bilanzgleihung für die Energie (Energiesatz): die zeitlihe Änderung der inneren und der kinetishen Energie eines materiellen Volumens ist gleih der durh die äußeren Kräfte zugeführten Leistung und der Wärmezufuhr..7.1 Kontinuitätsgleihung Der Satz zur Erhaltung der Masse führt zur Kontinuitätsgleihung. Sie lautet bei inkompressibelen eindimensionalen Strömungen : V = A = onst. Gl. 6 Für kompressible eindimensionale Strömungen lautet die Kontinuitätsgleihung: m = ρ A = V ρ Gl. 7 da es bei kompressiblen Fluiden zu Dihteänderungen kommt. Dies wird hier aber niht weiter behandelt. Da die Strömungsberehnungen immer komplexer werden und die numerishen Berehnungsverfahren immer mehr an Bedeutung finden, soll die Kontinuitätsgleihung für eine zwei- bzw. dreidimensionale Strömung aufgestellt werden. Hierzu wird ein infinitesimal kleines Kontrollvolumen (Bild 1) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem x, y, z betrahtet. Zum besseren Verständnis wird vorerst eine zweidimensionale Durhströmung des Kontrollvolumens hergeleitet. Die Strömung soll weiter inkompressibel und stationär sein. 8

11 Bild 1: Das infinitesimale kleine Kontrollvolumen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem x, y, z. Durh die Flähe A x = b dy tritt ein Volumenstrom V x = x Ax in das System ein; durh die Flähe A y = b dx entsprehend V y = y Ay. Wenn keine Materie innerhalb des Kontrollvolumens entseht oder vershwindet, so muss die Summe dieser Volumenströme durh die Summe der gegenüberliegenden Kontrollflähen wieder austreten. Somit lautet die Volumenbilanz für eine zweidimensionale inkompressible Strömung: x A + A = ( + d ) A + ( + d ) A Gl. 8 x y y x x x y y y Durh Umformung lautet die Gleihung 8: ( d ) A + ( + d ) A = 0 x + x x x y y y y d x A x + d y A y = 0 d x dy b + d y dx b = 0 x x y + y = 0 für zweidimensionale Strömungen. Für dreidimensionale Strömungen lässt sih diese Gleihung leiht ergänzen zu: x x y + y z + z = 0 oder auh div = 0. 9

12 Impulssatz (Navier-Stokes) Impuls wird durh drei Wege transportiert. Durh Konvektion, Diffusion und zusätzlih über Druk. Die Diffusion- und der Drukterm sind in den Spannungen enthalten. Die Shubspannungen haben nur diffusive Anteile (Reibung). Die Normalspannungen haben einen Drukanteil und einen Diffusionsanteil (Reibungs- bzw. Viskositätsanteil). Die diffusiven Flüsse sind die Spannungen mit negativen Vorzeihen. Das negative Vorzeihen ist selbstverständlih, weil der diffusive Impulsfluß in die Rihtung stattfindet, in der der Impuls (Geshwindigkeit, Druk) abnimmt, d.h. die Gradienten von der Geshwindigkeit bzw. des Drukes negativ sind. Der Impuls ist eine vektorielle Größe d.h. er hat eine Rihtung. Deshalb müssen Impulsbilanzen in allen Koordinatenrihtungen erstellt werden. Konvektion: Transport durh die Strömung selbst. Diffusion : Transport durh die Eigenbewegungen der Moleküle. Die Navier-Stokes Gleihung lautet in differenzieller Form: D ρ = ρ f grad _ p + η Gl. 9 Dt Eulershe Bewegungsgleihung Volumenkräfte; Hydrostatik = 0 ; ρ g h = p Reibungsterm; Oberflähenkraft Druk+Shub Zu Beginn wird die Gleihung durh die Dihte ρ dividiert und der konvektive Anteil der Gleihung betrahtet: D Dt = partielle Ableitung t Teil Die Gleihung beinhaltet niht nur den konvektiven Anteil sondern auh eine lokale Beshleunigung (instationär): 10

13 + grad t _ konvektive Beshleunigung lokale Beshleunigung Lokale Beshleunigung eine zeitabhängige Beshleunigung. Konvektive Beshleunigung von Ort zu Ort liegt Änderung vor. Durh Umformung der Gleihung und durh Ersetzen der dynamishen Viskosität mit ν ρ η = lautet die Gleihung: 1 j i i i j i j i x x p f x t + = + ν ρ Die Gleihung für die x-rihtung lautet für i=x und j= x y z somit: = z y x x p f z y x t x x x x x z x y x x x ν ρ Analog lässt sih die Gleihung für die y-rihtung und z-rihtung darstellen. Die Shwerkraft wird vernahlässigt, diese Annahme ist in vielen tehnishen Strömungen gerehtfertigt: 0 1 = z y x x p z y x t x x x x z x y x x x ν ρ.8 Die theoretishe Betrahtung der Hagen-Poiseuille-Strömung.8.1 Die Hagen-Poiseuille-Strömung in einem Rohr mit Kreisquershnitt Die Hagen-Poiseuille-Strömung ist eine theoretish exakt berehenbare laminare Strömung. Sie soll hier herangezogen werden, um die analytishe Berehnung mit einem in Ansys erstellten D-Modell zu vergleihen. Aber vorerst wird hier die Theorie der Hagen-Poiseuille- Strömung erörtert. 11

14 Man betrahtet bei der Hagen-Poiseuille-Strömung einen senkrehten Shnitt durh ein Rohr, wobei in dieser Darstellung niht sihtbar ist, ob es sih um ein Rohr mit Kreisquershnitt oder mit rehtekigen Quershnitt handelt, worauf im Laufe dieser Arbeit eingegangen wird. Bild : Das Kräftegleihgewiht in einem Fluidteilhen. Bei der theoretishen Betrahtung der Hagen-Poiseuille-Strömung wird von dem Kräftegleihgewiht an einem Fluidteilhen ausgegangen. In Bild sind Drüke und Shubspannungen eingetragen, die über die zugehörigen Flähen in Kräfte umgerehnet werden können. Diese Flähen werden nun formuliert und das Kräftegleihgewiht aufgestellt. A s = π r Stirnflähe Zylinder r A M = π r dx Mantelflähe Zylinder Radius Zylinder Es wird hier von einem zylinderförmigen Element ausgegangen, da hier ein Rohr mit Kreisquershnitt betrahtet wird. Ein Kräftegleihgewiht ergibt: F dp = 0 = p As p + dx As + τ AM dx dp π r p p dx + τ π r dx dx r dp τ = Gl. 10 dx 1

15 Da hier davon ausgegangen wird das es sih um ein newtonshes Fluid handelt, wird zur weiteren Betrahtung der Newtonshe Shubspannungsansatz für die Formulierung der Shubspannung verwendet. du τ = η Gl. 11 dr u ist die Geshwindigkeit in Strömungsrihtung. Aus Gleihung 10 und Gleihung 11 ergibt sih: r dp dx = η du dr du = r dp dr η dx Gl. 1 Die Integration der Gleihung 1 ergibt eine Darstellung der Strömungsgeshwindigkeit über den Rohrradius. Bei der Rohrströmung wird davon ausgegangen, dass der Druk über einen dp Quershnitt konstant ist, damit ist der Drukgradient keine Funktion des Rohrradius und dx wird vor das Integral gezogen: 1 dp 1 dp u = du = r dr = r + C η dx 4 η dx Für die Integrationskonstante lässt sih eine Randbedingung aufstellen. An der Rohrwand ist infolge der Wandhaftung die Strömungsgeshwindigkeit gleih Null: u(r=r)=0 R C = 4 η dp dx Das Strömungsprofil lässt sih nun wie folgt shreiben: u( r) = R dp 1 4 η dx r R Gl. 13 Aus dieser Gleihung ist zu erkennen das das Strömungsprofil eine parabolishe Form haben muss, vgl. Bild 3. Des Weiteren ist der Drukgradient negativ, was bedeutet, dass der Druk in Strömungsrihtung abnimmt. 13

16 Bild 3: Das parabolishe Strömungsprofil. Die mittlere Strömungsgeshwindigkeit lässt sih bestimmen, indem man das Volumen unter dem räumlihen Paraboloid berehnet und die Höhe eines Zylinders mit dem Radius R bestimmt, welher das gleihe Volumen einnimmt. Eine weitere, praxisgerehtere Methode ist es jedoh, über den Volumenstrom zu bestimmen. Dabei geht man davon aus, dass der Volumenstrom auf jedem Radius, also durh jeden Ring, konstant ist. Damit ist die infinitesimale Größe die Flähe eines Ringes da. da = π r dr die infinitesimale Ringflähe = V _ A = dv der Volumenstrom nah der Kontinuitätsgleihung R R R 3 R dp r R dp r = π r 1 dr = π r dr dx R 4 η 4 η dx R V dr R dp R = π 4 η dx 4 R 4 R R dp R = π 4 η dx 4 4 R π dp V = 8 η dx Gl. 14 Gemäß Gleihung 14 ergibt sih die mittlere Geshwindigkeit wie folgt: _ V = = A 4 R π dp 1 R dp = 8 η dx R π 8 η dx Gl. 15 Das Verhältnis der maximalen Geshwindigkeit im Strömungsprofil zur Durhshnittsgeshwindigkeit: 14

17 u( r = 0) = R dp η dx R R dp 8 η dx _ = Gl. 16 Diese Erkenntnis ist bedeutend für die Auswertung der Ergebnisse in FLOTRAN. Bei der Vereinfahung einer Rohrströmung auf eine zweidimensionale Geometrie kann niht ohne weiteres die oben aufgeführte Gleihung verwendet werden. Da das Modell in Ansys nur zweidimensionale Daten enthält und die Randbedingungen an dieses Modell angepasst sind, ist eine Betrahtung einer dreidimensionalen Rohrströmung niht ohne weiteres möglih, es fehlen die Randbedingungen, die z.b. bei der obigen Ermittlung des Volumenstroms durh die Integration über die Quershnittsflähe berüksihtigt wurden. An den Rohrwänden ringsum ist die Geshwindigkeit Null, dies wird bei der oben aufgeführten Berehnung mit berüksihtigt. Dies lässt den Shluss zu, dass die zweidimensionale Betrahtung einer Rohrströmung in FLOTRAN zunähst nur auf die Strömung in einem rehtekigen Rohr mit unendlih großer Breite (im Idealfall) eingehen kann, weil über die Randbedingungen senkreht zur Betrahtungsebene keine Angaben gemaht werden können. Für eine dreidimensionale Strömung ist es also erforderlih, das Modell auh dreidimensional zu gestalten..8. Die Hagen-Poiseuille-Strömung in einem Kanal mit Rehtekquershnitt Eine Möglihkeit einer zweidimensionalen Betrahtung bietet die Anwendung der Navier- Stokes- und Kontinuitätsgleihung. Die Navier-Stokes-Gleihung lautet: D Dt = p + η ρ ρ f grad _ und in Indexshreibweise: i ρ t + j x i j = ρ f i p x i + η i x j Die Kontinuitätsgleihung: p + ρ div = 0 t 15

18 es wird ein stationäres Verhalten vorausgesetzt, so dass die zeitlihe Ableitung gleih Null ist. In Indexshreibweise ergibt sih dann folgender Ausdruk: = 0 i i x. Zur besseren Übersiht werden die Gleihungen ausgeshrieben. Des weiteren wird das Koordinatensystem festgelegt. Die x-rihtung ist die Strömungsrihtung, die y-rihtung weist in die Betrahtungsebene hinein, und somit zeigt die z-koordinate nah oben, also entgegen der Erdbeshleunigung. Letzteres gibt an, dass die Erdbeshleunigung g mit einem negativen Vorzeihen eingeht. = z y x grad Gradient z y x + + = Laplae-Operator + + = z y x div z y x Divergenz Navier-Stokes-Gleihungen in x-, y- und z-rihtung: N.S.x: = z y x x p z y x t x x x x z x y x x x η ρ ρ ρ N.S.y: = z y x y p z y x t y y y y z y y y x y η ρ ρ ρ N.S.z: ( ) = z y x z p g z y x t z z z z z z y z x z η ρ ρ ρ 16

19 Kontinuitätsgleihung : = z y x z y x Da nun ein zweidimensionales Problem betrahtet werden soll, ist das Modell so auszulegen, dass die dritte Koordinatenkomponente, hier die y-komponente, niht mehr ins Gewiht fällt. 1) Es wird eine stationäre und inkompressible Strömung angenommen. ) Es ist ersihtlih, dass bei einem unendlih breiten Kanal in dieser Rihtung keine bedeutsamen Änderungen erfolgen. Die Veränderungen in Wandnähe finden also unendlih weit entfernt von der Betrahtungsstelle statt, so das sie eine untergeordnete Rolle spielen. 3) Es wird der Einfluss der Erdbeshleunigung vernahlässigt, da es sih hier um geringe Massen handelt (Luft). 4) Die Betrahtung hat das Ziel, das sih einstellende Geshwindigkeitsprofil rehnerish zu ermitteln, also wird ein vollentwikeltes Profil vorausgesetzt, was wiederum heißt, dass sih das Geshwindigkeitsprofil ab dem Betrahtungspunkt an niht mehr ändert. Nah 1) sind alle zeitlihen Ableitungen gleih Null: 0 1 = t Nah ) fallen alle Änderungen in y-rihtung heraus, damit gilt: 0 1 = y Nah 3) fällt der Vektor f weg. Nah 4) gilt, dass alle Änderungen der Geshwindigkeit in x-rihtung abgeshlossen sind: 0 1 = x und das damit auh das Zuströmen von Fluidteilhen aus der Wandnähe in die Mitte beendet ist: 0, 0 = = y z Noh mal die Navier-Stokes-Gleihungen zur Verdeutlihung: N.S.x: = z y x x p z y x t x x x x z x y x x x η ρ ρ ρ N.S.y: = z y x x p z y x t y y y y z y y y x y η ρ ρ ρ N.S.z: ( ) = z y x x p g z y x t z z z z z z y z x z η ρ ρ ρ

20 Kontinuitätsgleihung : x x y z + + = 0 y z Es bleibt folgendes aus N.S.x übrig: p x p 0 = + η = η x z x z x Des Weiteren folgt aus der Vereinfahung N.S.y, das die Drukänderung senkreht zur Strömungsrihtung in der vollentwikelten Strömung gleih Null sein muss. Damit ist der Druk allein eine Funktion von x, die Geshwindigkeit in x-rihtung ist alleine von der z- Koordinate abhängig. Man shreibt nun gerade d s, weil die Größen nur noh von einer Variablen abhängen. dp dx = η d x dz Es soll ein Geshwindigkeitsprofil beshrieben werden, also muss eine Formulierung x (z) formuliert werden. Dazu wird die Gleihung nah d x aufgelöst und zweimal integriert. Der Drukgradient kann als konstant angesehen werden, weil über z integriert wird und p keine Funktion von z ist. Nah der ersten Integration: 1 dp d x = z dz + C η dx 1 Nah der zweiten Integration: 1 dp z x = + C1 z + C Gl. 17 η dx Zur Bestimmung der Integrationskonstanten sind zwei Randbedingungen nötig. Die erste wird durh die Wandhaftung vorgegeben, wonah die Geshwindigkeit an der Wand infolge der Haftung gleih Null ist. Die zweite Randbedingung ist aufgrund der Symmetrie des Geshwindigkeitsprofils zur Mittelahse gegeben. Die Geshwindigkeit nimmt von der Wand zur Mitte her zu, also gibt es in der Mitte einen Maximalwert. Mit anderen Worten, die erste Ableitung der Geshwindigkeit nah der z-koordinate ist in der Mitte (z=0) Null. h RB1: z = x = 0 18

21 dx RB: z = 0 = 0 dx = 0 dz Setzt man RB in die Gleihung 17 ergibt sih C = dp h Für C ergibt sih aus Gleihung 17 mit RB1: C = η dx 8 Shließlih erhält man für die Geshwindigkeit in x-rihtung: x 1 dp z 1 dp h = + Gl. 18 η dx η dx 8 1 dp h x ( z) = z Gl. 19 η dx In Gleihung 19 ist zu beahten, das der Drukgradient negativ ist, wie oben beshrieben. Die mittlere Geshwindigkeit erhält man indem man die Gleihung 19 einmal integriert und durh die Kanalhöhe teilt: h ( z) x h h h 1 dp h = z dz = h dx η 0 1 dp z η dx h 1 dz = η dp dx 3 z 3 h z h 0 1 dp = h 1 η dx 3 = 1 1 η dp dx h d Die Maximalgeshwindigkeit liegt bei z=0 vor, da dort die Ableitung x Null ist. dz x 1 dp h 1 dp ( z 0) = = x,max = 0 = h dx η 8 η dx Das Verhältnis der maximalen Geshwindigkeit zur mittleren lautet hier: 19

22 x,max = 1 dp h 8 η dx 1 dp h 1 η dx = 3 Gl. 0 Im Vergleih zum Ergebnis im runden Rohr ist die maximale Geshwindigkeit in der ebenen Strömung kleiner. Für eine zweidimensionale Simulation in FLOTRAN ist das letzte Ergebnis maßgebend und zu einem Vergleih heranzuziehen. 3 Gerade Rohrströmung 3.1 Numerishe Berehnung der Hagen-Poiseuille-Strömung mit der FEM-Software ANSYS Einleitung In diesem Kapitel wird die Strömung durh ein Rohr mit rundem Quershnitt behandelt. Zunähst wird einer der grundlegenden Eigenshaften der Rohrströmung gezeigt. Diese Eigenshaft ist die Tatsahe, dass in Rohrströmungen zwei vershiedene Strömungsformen auftreten können, die man laminar und turbulent nennt. Die laminare Rohrströmung nennt man Hagen-Poiseuille-Strömung. Bei dieser Strömungsform bewegen sih die Fluidteilhen mit untershiedlihen Geshwindigkeiten auf zur Rohrahse parallelen Stromlinien, ohne sih zu vermishen. Man spriht hier auh von einer Shihtströmung. Die Drukverteilung bei einer laminaren Rohrströmung wird als gleihmäßige Drukverteilung über den Rohrdurhmesser angenommen. Im Folgenden wird die Berehnung der Hagen-Poiseuille-Strömung mit Ansys betrahtet. Da diese Strömung auh analytish berehenbar ist, wie in Kapitel.8 beshrieben, ist eine Verifizierung der Ergebnisse möglih. Es können so Einstellungen unter Ansys und die Genauigkeit der Ergebnisse überprüft werden Theoretishe Umsetzung (Medium = Luft) Analytishe Berehnung-unendlih breiter Kanal (-D Modell) Eine laminare Strömung liegt vor wenn folgendes gilt: 0 < Re 300(3000) Für eine Rohrströmung mit Kreisquershnitt gilt: 0

23 D Re = Gl. 1 ν Bei einer vorgegebnen Reynoldszahl von 600, einem Durhmesser von 0.3m und einem ν von m 5 s, ergibt sih eine mittlere Geshwindigkeit von: 5 m s m = = m s In diesem Fall soll aber ein Kanal mit rehekigem Quershnitt berehnet werden, dessen Breite b unendlih groß ist. Deshalb kann die Gleihung 1 niht ohne weiteres angewandt werden. Laut Literatur /3/ wird für dieses Problem ein Faktor ϕ eingeführt (vgl. Tab 1), der das Verhältnis der Kanalhöhe zur Kanal breite berüksihtigt. Hier liegt ein unendlih breiter Kanal mit einer definierten Höhe h vor. Es ergibt sih für ϕ (vgl. Tab 1) h/b ϕ Tab 1: h ϕ = 1.5, da gegen Null konvergiert. b Bestimmung de Ersatzdurhmesser D E Des Weiteren gibt die Literatur bei niht kreisförmigen Quershnitt vor, wie ein Ersatzdurhmesser D E zu berehnen ist. Dieser Durhmesser wird anstelle des Kreisdurhmesser D in die Gleihung 1 eingesetzt und errehnet sih wie folgt: D E A = 4 Gl. U A = durhströmte Quershnittsflähe U = benetzter Umfang Im behandelten Fall ist die Kanalbreite b unendlih groß, so dass sih ein unbestimmter Ausdruk der Form ergibt. 1

24 4 b h b h D E = = ( b + h) b + h Dieser Ausdruk ist von der Form und lässt sih mit der Methode nah L Hospital bestimmen: f ( x) lim x g( x) f '( x) = lim Gl. 3 x g'( x) Angewandt ergibt dies: b h h lim = lim = b + h b 1+ h h h b 1+ Für die vorgegebene Kanalhöhe von 0.3m ergibt sih somit ein Ersatzdurhmesser von 0.46m. Bei beibehaltener Geshwindigkeit m = errehnet sih die Reynoldszahl wie folgt: s m m Re = s 5 m s = 94 Damit ist die Strömung wie gewünsht laminar Bestimmung der Einlauflänge laut Tietjens Die Länge von 30m ergibt sih aus der übershlägigen Betrahtung der Einlauflänge, die nötig ist, bis die Strömung voll entwikelt ist. gemäß Gleihung 30 gilt nah Tietjens: L E = 0.06 Re D Gl. 4 L E = m = 5. 6m Um siher zu gehen, dass sih die Strömung vollständig ausbildet, wird eine Einlauflänge von 30m gewählt.