Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

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1 CURANDO UNIVERSITÄT ULM SCIENDO DOCENDO Elemetare Wahrscheilichkeitsrechug ud Statistik Uiversität Ulm Istitut für Stochastik Vorlesugsskript Prof. Dr. Volker Schmidt Stad: Witersemester 28/9 Ulm, im Februar 29

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Ihaltsverzeichis Eileitug 7. Was ist Stochastik? Typische Fragestelluge ud Ergebisse Beispiel Ereigisse ud Wahrscheilichkeite 9 2. Ereigisse als Mege Ereigissysteme Wahrscheilichkeitsmaße Defiitio ud elemetare Eigeschafte Weitere Eigeschafte vo Wahrscheilichkeitsmaße Edliche Wahrscheilichkeitsräume Laplacescher Wahrscheilichkeitsraum Eifache Uremodelle Geometrische Wahrscheilichkeite Bedigte Wahrscheilichkeite Defiitio ud Multiplikatiossatz Formel der totale Wahrscheilichkeit; Bayessche Formel Stochastische Uabhägigkeit Zufallsvariable ud Zufallsvektore Defiitio vo Zufallsvariable Verteilug ud Verteilugsfuktio Diskrete Zufallsvariable; Wahrscheilichkeitsfuktio Grudlegede Klasse diskreter Verteiluge Zusammefassug Verteilugsfuktio; absolutstetige Zufallsvariable Zufallsvektore Defiitio, Verteilug ud Verteilugsfuktio Eigeschafte multivariater Verteilugsfuktioe Weitere Beispiele vo Zufallsvektore Bedigte Wahrscheilichkeitsfuktio; bedigte Verteilug; bedigte Dichte Uabhägige Zufallsvariable Beispiele: Zufallsvektore mit uabhägige Kompoete Fuktioe vo Zufallsvektore Zusammegesetzte Abbilduge Lieare Trasformatio Quadrierug Summe, Produkt ud Quotiet vo uabhägige Zufallsvariable Uabhägigkeit zusammegesetzter Abbilduge

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 4 Weitere Charakteristike vo Zufallsvariable Erwartugswert Defiitio ud Berechugsformel Alterative Itegral Darstelluge Weitere Eigeschafte des Erwartugswertes Itegral Darstellug mittels Quatilfuktio Variaz ud höhere Momete Defiitio ud elemetare Eigeschafte Trasformatiossatz ud Berechugsformel Gemischte Momete Trasformatiossatz für Zufallsvektore Multiplikatiosformel ud Kovariaz Liearer Zusammehag vo Zufallsvariable Erwartugswertvektor ud Kovariazmatrix Ugleichuge für Momete ud Wahrscheilichkeite Ugleichuge vom L p Typ Jese Ugleichug Tschebyschew Ugleichug; Markow Ugleichug Kovergezarte ud Grezwertsätze Kovergezarte Defiitioe ud elemetare Eigeschafte Charakterisierug der Verteilugskovergez Kovergez zusammegesetzter Abbilduge; Satz vo Slutsky Gesetz der große Zahle Schwaches Gesetz der große Zahle Starkes Gesetz der große Zahle Awedugsbeispiele Zetraler Grezwertsatz Zetraler Grezwertsatz für Summe vo uabhägige Zufallsvariable Awedugsbeispiele Charakteristische Fuktioe Bediguge vo Lideberg ud Ljapuow

4 INHALTSVERZEICHNIS 4 6 Stichprobe ud Stichprobefuktioe Zufallsstichprobe Stichprobefuktioe Stichprobemittel Stichprobevariaz Beispiel: Normalverteilte Stichprobevariable Gammaverteilug ud χ 2 -Verteilug Uabhägigkeit ud Trasformatio vo Zufallsvektore Verteilug vo Stichprobemittel ud Stichprobevariaz t-verteilug Tabelle für Verteilugsfuktioe ud Quatile 55

5 Literatur H. Dehlig, B. Haupt Eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik Spriger Verlag, Berli 23 L. Dümbge Stochastik für Iformatiker Spriger Verlag, Berli 23 C. Hesse Agewadte Wahrscheilichkeitstheorie Vieweg Verlag, Brauschweig 23 H.-O. Georgii Stochastik Walter de Gruyter, Berli, New York 22 A. Irle Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik Teuber, Stuttgart, Leipzig, Wiesbade 2 J. Jacod ud P. Protter Probability essetials Spriger Verlag, Berli 23 A.F. Karr Probability Spriger Verlag, New York 993 U. Kregel Eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik Vieweg Verlag, Brauschweig 22 R. Meester Itroductio to Probability Theory Birkhäuser Verlag, Basel, Cambridge 23 S. Resick A probability path Birkhäuser Verlag, Basel 999 A.N. Shiryayev Probability Spriger Verlag, New York 996 deutsche Übersetzug: Wahrscheilichkeit Deutscher Verlag der Wisseschafte, Berli, 988.

6 Klassiker ud weitere Bücher zur Vertiefug des Stoffes H. Bauer Wahrscheilichkeitstheorie Verlag De Gruyter, Berli 99 P. Billigsley Probability ad Measure J. Wiley & Sos, New York 995 L. Breima Probability SIAM, Philadelphia, 993 W. Feller A itroductio to probability theory ad its applicatios. Vol I/II J. Wiley & Sos, New York 97/7 P. Gässler ud W. Stute Wahrscheilichkeitstheorie Spriger Verlag, Berli 977 O. Kalleberg Foudatios of moder probability Spriger Verlag, New York 2

7 EINLEITUNG 7 Eileitug. Was ist Stochastik? Der Begriff Stochastik stammt ursprüglich aus dem Griechische ud bedeutet dort: die Kust des geschickte Vermutes. Die mathematische Stochastik befasst sich mit der Beschreibug ud Utersuchug vo Ereigisse, zeitliche Etwickluge bzw. räumliche Strukture, die vom Zufall beeiflusst werde. Solche Ereigisse, Etwickluge bzw. Strukture werde oft durch Date dokumetiert, für dere Aalyse die Statistik ei Teilgebiet der Stochastik geeigete Methode bereitstellt..2 Typische Fragestelluge ud Ergebisse Zu de Aufgabe der Stochastik gehört die Bewertug vo Ereigisse, Etwickluge bzw. Strukture durch die Bestimmug ihrer Wahrscheilichkeit, die eie Maßzahl für die Chace ihres Eitretes ist. Das Phäome Zufall kommt i vielfältiger Weise i zahlreiche Bereiche des tägliche Lebes vor, z.b. bei der Vorhersage vo zuküftige Aktiekurse bzw. Zissätze, bei der Wettervorhersage, bei Würfel- bzw. Kartespiele, beim Zahlelotto, usw. Stochastische Modelle sid i viele Disziplie der Wisseschaft ei wichtiges Hilfsmittel, so i Iformatik ud Igeieurwisseschafte z.b. bei der Dimesioierug ud Leistugsaalyse vo Kommuikatios- ud Rechersysteme Physik, Chemie ud Materialwisseschafte z.b. bei der Strukturaalyse vo Werkstoffe, Utersuchug der Rauhheit vo techische Oberfläche Wirtschaftswisseschafte z.b. beim Risikomaagemet vo Versicheruge ud Bake, Aalyse vo Fiazmärkte Biologie ud Medizi z.b. bei der Bildaalyse zur Utersuchug mikroskopischer Gewebestrukture bzw. itrazellulärer Netzwerke Es ist üblich, die Stochastik i die folgede Teilgebiete zu uterteile: Wahrscheilichkeitsrechug Statistik stochastische Prozesse ud Felder z.b. Markov Modelle stochastische Simulatio z.b. Markov Chai Mote Carlo Typische Fragestelluge ud Ergebisse der Stochastik sid geschlossee Formel für die Wahrscheilichkeit vo Ereigisse, Etwickluge bzw. Strukture oftmals ur uter restriktive Modellaahme möglich Grezwertsätze Näherugslösuge, z.b. Gesetz der große Zahle, Zetraler Grezwertsatz Methode zur Schätzug ubekater Modellparameter; Tests hypothetischer Modellaahme Sigifikaztests Kopplug vo stochastischer Modellierug, statistischer Dateaalyse ud Computer-Simulatio

8 EINLEITUNG 8.3 Beispiel Betrachte Roulette Spiel mit 38 mögliche Ausgäge, ämlich 8 rote Felder, 8 schwarze Felder ud 2 grüe Felder. Betrachte Spieler, der auf Rot setzt. Er gewit Euro mit der Wahrscheilichkeit ud verliert Euro mit der Wahrscheilichkeit Sei u X der zufällige Gewi beim -te Spiel. Da gilt: P X 9 9, P X 9. Die Zufallsgröße X, X 2,... sid uabhägig ud idetisch verteilt. Betrachte Gesamtgewi S X +...+X aus de erste Spiele. Die Folge S, S 2,... wird Radom Walk bzw. zufällige Irrfahrt geat. Wie groß ist der erwartete Gewi E X Erwartugswert beim -te Spiel? Wie groß ist der erwartete Gesamtgewi E S aus de erste Spiele? Es gilt: E X E S E X E X Schwaches Gesetz der große Zahle Für große ist S ahe bei E X mit hoher Wahrscheilichkeit. Zetraler Grezwertsatz Für große lässt sich die Wahrscheilichkeit P a S E S b durch die Normalverteilug approximiere, wobei a, b R mit a < b beliebige, jedoch fest vorgegebee Tolerazgreze sid. Beachte De Begriffsbilduge Zufallsgröße, uabhägig, idetisch verteilt, für große, ahe bei E X, mit hoher Wahrscheilichkeit bzw. Normalverteilug liege mathematische Defiitioe zugrude. Sie gehöre zu de Grudbegriffe der Stochastik, die i de folgede Abschitte detailliert erläutert werde.

9 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 9 2 Ereigisse ud Wahrscheilichkeite 2. Ereigisse als Mege Wir modelliere Ereigisse als Mege. Dabei ist eie Mege eie Zusammefassug vo wohldefiierte ud uterscheidbare Dige Elemete zu eiem Gaze. Schreibweise Ω Grudmege, ω Elemet ω Ω: ω ist Elemet vo Ω ω / Ω: ω ist icht Elemet vo Ω A {a, b, c,...}: Die Mege A besteht aus de Elemete a, b, c,... A {ω : ω Ω, ω hat Eigeschaft E}: A besteht aus dejeige Elemete ω vo Ω, die die Eigeschaft E habe. Beispiel Ω N, A {2, 4, 6,...} { : N, ist durch 2 teilbar} Der Vergleich vo Ereigisse erfolgt durch de Vergleich der Mege, durch die die Ereigisse modelliert werde. Defiitio. A A 2 bedeutet, A ist Teilmege vo A 2, d.h., aus ω A folgt ω A 2 2. A A 2, falls A A 2 ud A 2 A. Betrachte Ereigisse, die bei eiem Zufallsexperimet z.b. Müzwurf, Werfe eies Würfels, Roulette Spiel, Erzeuge eier Pseudozufallszahl mit eiem Zufallszahlegeerator eitrete köe. Da ist Ω Mege aller mögliche Versuchsergebisse Grudmege, Grudgesamtheit, Merkmalraum, Stichproberaum; Ereigis Ω sicheres Ereigis tritt immer ei A, A 2 Ω: Ereigisse Teilmege vo Versuchsergebisse mit bestimmte Eigeschafte; {ω} Ω: Elemetarereigis ei eizeles Versuchsergebis; Ageomme: bei eiem Versuch wird das Ergebis ω erzielt. Da sage wir: Das Ereigis A tritt ei, falls ω A. Für A A 2 gilt: We A eitritt, da tritt auch A 2 ei. Beispiel eimaliges Würfel: Ω {, 2, 3, 4, 5, 6}; Elemetarereigisse {}, {2},..., {6}. Das Ereigis A {2} tritt geau da ei, we die Zahl 2 gewürfelt wird. Das Ereigis A 2 {2, 4, 6} tritt geau da ei, we eie gerade Zahl gewürfelt wird. Also gilt: A A 2, d.h., we A eitritt, da tritt auch A 2 ei. Defiitio Diejeige Teilmege vo Ω, die kei Elemet ethält, heißt leere Mege ud wird mit bezeichet. Beachte Das Ereigis tritt iemals ei ud wird deshalb umögliches Ereigis geat.

10 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 2.2 Ereigissysteme Aus gegebee Ereigisse A, A 2,... ka ma durch dere Verküpfug weitere Ereigisse bilde. Dies wird durch die folgede Megeoperatioe modelliert. Megeoperatioe ud ihre probabilistische Bedeutug. Vereiigugsmege A A 2 : Mege aller Elemete, die zu A oder A 2 gehöre. Ereigis A A 2 midestes eies der Ereigisse A oder A 2 tritt ei A i A A 2... Mege aller Elemete, die zu midestes eier der Mege A i gehöre. Ereigis A i midestes eies der Ereigisse A, A 2,... tritt ei 2. Schittmege A A 2 : Mege aller Elemete, die zu A ud A 2 gehöre Ereigis A A 2 beide Ereigisse A ud A 2 trete ei. Beachte: Zwei Ereigisse A, A 2 Ω mit A A 2 heiße uvereibar, d.h., sie köe icht gleichzeitig eitrete. A i A A 2...: Mege aller Elemete, die zu jeder der Mege A i gehöre. Ereigis A i sämtliche Ereigisse A, A 2,... trete ei 3. Differezmege A \ A 2 : Mege aller Elemete vo A, die icht zu A 2 gehöre. Spezialfall: A c Ω \ A Komplemet Ereigis A c Ereigis A tritt icht ei 4. Symmetrische Megedifferez A A 2 : Mege aller Elemete, die zu A oder A 2, jedoch icht zu beide gehöre. Beispiel Sei Ω {a, b, c, d}, A {a, b, c}, A 2 {b, d}. Da gilt A A 2 {a, b, c, d}; A A 2 {b}; A \ A 2 {a, c}; A c {d}; A A 2 {a, c, d}. Beachte Das Ereigis A A 2 tritt geau da ei, we A oder A 2 oder beide eitrete. Das Ereigis A A 2 tritt geau da ei, we A ud A 2 eitrete. Das Ereigis A \ A 2 tritt geau da ei, we A eitritt ud A 2 icht eitritt. Das Ereigis A A 2 tritt geau da ei, we A oder A 2 eitrete ud icht beide eitrete. Die Mege A, A 2,... Ω heiße paarweise disjukt, we A i A j für beliebige i j. Die Ereigisse A, A 2,... Ω heiße paarweise uvereibar, we A i A j für beliebige i j Lemma 2. Für beliebige Mege A, A 2 Ω gilt: A \ A 2 A A c 2, A A 2 A A 2 \ A A 2 A \ A 2 A 2 \ A. klar Beachte Jede beliebige Folge vo Mege A, A 2,... Ω ka ma i eie Folge vo paarweise disjukte Mege A, A 2,... überführe: Sei A A, A 2 A 2 \ A, A 3 A 3 \ A A 2,... Da gilt: A i A j für i j, ud A A

11 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN Weitere Eigeschafte Seie A, B, C Ω beliebige Teilmege. Da gelte Eideutigkeitsgesetze: A A, A, A Ω Ω, A Ω A allgemei: falls A B, da gilt A B A, A B B de Morgasche Gesetze: A B c A c B c, A B c A c B c Assoziativ Gesetze: A B C A B C, A B C A B C Distributiv Gesetze: A B C A B A C, A B C A B A C Es ist oft icht zweckmäßig, alle mögliche Teilmege vo Ω i die Modellierug eizubeziehe, soder ma betrachtet ur die Familie derjeige Teilmege vo Ω, dere Wahrscheilichkeite tatsächlich vo Iteresse sid. Diese Megefamilie soll jedoch abgeschlosse sei bezüglich der Operatioe,, \, was durch die folgede Begriffsbildug erreicht wird. Defiitio Eie ichtleere Familie F vo Teilmege vo Ω heißt Algebra, falls A A F A c F A2 A, A 2 F A A 2 F Beispiel Ω {a, b, c, d}, F {, {a}, {b, c, d}, Ω} ist eie Algebra, F 2 {, {a}, {b, c}, Ω} ist dagege keie Algebra. Lemma 2.2 Sei F eie Algebra ud A, A 2,..., A F. Da gilt., Ω F 2. A A 2 F 3. A \ A 2 F 4. A i F, A i F. Weil F icht leer ist, gibt es ei A F, A Ω. Also gilt A c F wege A bzw. A } {{ A } c F wege A2 bzw. }{{} Ω c F wege A. Ω 2. Außerdem ergibt sich aus de Gesetze vo de Morga, dass A A 2 A c A c 2 c F. 3. Auf ähliche Weise ergibt sich, dass A \ A 2 A A c 2 A c A 2 c F 4. Dies ergibt sich mit vollstädiger Iduktio aus A2 bzw. aus der zweite Teilaussage. Um Grezwerte bilde zu köe, ist es erforderlich, dass das Megesystem F icht ur abgeschlosse ist bezüglich Vereiigug bzw. Durchschitt vo edlich viele Mege, soder auch bezüglich Vereiigug bzw. Durchschitt vo abzählbar uedlich viele Mege. Dies wird durch die Hizuahme der folgede Bedigug erreicht. Defiitio A3 Eie Algebra F heißt σ Algebra, we zusätzlich gilt: A, A 2,... F A i F.

12 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 2 Beispiel eier Algebra, die keie σ Algebra ist Beachte Sei Ω N, ud sei F die Familie derjeige Teilmege A vo N, so dass etweder A oder A c ur edlich viele Elemete hat. Das Megesystem F ist eie Algebra, jedoch keie σ Algebra. Das Paar Ω, F heißt Messraum, falls F eie σ Algebra ist. Für jedes Ω ist die Potezmege P, d.h. die Familie aller Teilmege vo Ω, stets eie σ Algebra. We Ω edlich oder abzählbar uedlich ist, da ka F P gewählt werde. Bei icht abzählbarem Ω z.b. Ω R oder Ω [, ] muss eie kleiere σ Algebra betrachtet werde icht P. Außerdem beötige wir die folgede Begriffe zur Bildug vo Grezwerte. Defiitio Seie A, A, A 2,... Ω beliebige Teilmege vo Ω. Da heißt die Mege lim sup A : k k A {ω Ω : k k mit ω A } der Limes Superior der Folge {A }, ud lim if A : k k heißt der Limes Iferior der Folge {A }. A {ω Ω : k k mit ω A } Außerdem sagt ma, dass die Folge {A } gege die Mege A kovergiert, falls Def lim if A lim sup A A. 3 Schreibweise We die Folge {A } gege die Mege A kovergiert, d.h., we 3 gilt, da schreibe wir A lim A bzw. eifach A A. Lemma 2.3 Seie A, A, A 2,... Ω beliebige Teilmege vo Ω.. We A A 2..., da gilt A A : A. Schreibweise: A A 2. We A A 2..., da gilt A A : A. Schreibweise: A A Wir zeige ur die erste Teilaussage. Der der zweite Teilaussage ist aalog. Sei A A. Für jedes k gilt da k A A. Also ist lim sup A A. Adererseits gilt k A A k, d.h., lim if A k A k A Wahrscheilichkeitsmaße 2.3. Defiitio ud elemetare Eigeschafte Gegebe sei ei Messraum Ω, F. Betrachte eie Megefuktio, d.h. eie Abbildug P : F [, ], die jeder Mege A F eie Zahl P A [, ] zuordet. Da heißt P A Wahrscheilichkeit des Ereigisses A F.

13 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 3 Defiitio Axiome vo Kolmogorow Die Megefuktio P : F [, ] heißt Wahrscheilichkeitsmaß auf F, falls P P Ω Normiertheit P2 P A i P A i für paarweise disjukte A, A 2,... F σ-additivität We Ω, F ei Messraum ud P ei Wahrscheilichkeitsmaß auf F ist, da heißt das Tripel Ω, F, P Wahrscheilichkeitsraum. Theorem 2. Sei Ω, F, P ei Wahrscheilichkeitsraum ud A, A, A 2,... F. Da gilt. P A c P A 2. A A 2 P A P A 2 3. P A A 2 P A + P A 2 P A A 2 4. P A A 2 P A + P A 2. Es gilt P Ω P A A c P A A c... P A + P A c + P + P Hieraus folgt, dass P, d.h. P Ω P A + P A c. 2. Außerdem gilt P A 2 P A A 2 \ A P A A 2 \ A... P A + P A 2 \ A + P + P +... } {{ } } {{ } P A 2 P A 3. Weil P A \ B P A P B für A, B F mit A B vgl. de der Teilaussage 2 ud weil A A 2 A \ A A 2 A A 2 A 2 \ A A 2, gilt P A A 2 P A \ A A 2 A A 2 A 2 \ A A 2 P A \ A A 2 + P A A 2 + P A 2 \ A A 2 P A P A A 2 + P A A 2 + P A 2 P A A 2 P A + P A 2 P A A 2 P A + P A folgt umittelbar aus 3. Beachte Aus dem bzw. aus de Aussage vo Theorem 2. ergibt sich sofort, dass P,

14 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 4 P A i P A i für jede edliche Folge A,..., A F vo paarweise disjukte Mege, P A 2 \ A P A 2 P A, falls A A 2, P A i P A i für jede beliebige Folge A,..., A F. I Verallgemeierug der 3. Teilaussage vo Theorem 2. ergibt sich außerdem die folgede Siebformel. Korollar 2. Für jedes, 2,... ud jede Folge A,..., A F gilt P A i i k <...<k i P A k... A ki. 4 Iduktio Iduktiosafag: ist klar; für 2 ist 4 idetisch mit der 3. Teilaussage vo Theorem 2.. Iduktiosaahme: 4 gelte für ei 2. Iduktiosschritt: Wir zeige u, dass da 4 auch für + gilt. Ud zwar ist P + A i P A + \ A + A i A i P A + P A i A + + P A i Id.-aahme P A + + i i + k <...<k i i k <...<k i + P A k... A ki A + k <...<k i P A k... A ki. P A k... A ki Darüber hiaus ka ma mit Hilfe vo Theorem 2. zeige, dass Wahrscheilichkeitsmaße stetig sid bezüglich der mootoe Kovergez vo Mege. Korollar 2.2 Seie A, A 2,... F. Da gilt P A i lim i P A i, falls A A 2..., 5 ud P A i lim i P A i, falls A A

15 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 5 Sei A A Mit der zusätzliche Notatio A gilt da P A i P A i \ A i P A i \ A i lim P A i \ A i lim P A. Damit ist 5 bewiese. Der vo 6 ist aalog. Dabei ka die bereits gezeigte Formel 5 geutzt werde, we zu de Komplemete übergegage wird. Ud zwar gilt P A i P A c 5 i lim P A c i i lim i P A c i lim i P A i Weitere Eigeschafte vo Wahrscheilichkeitsmaße Die Subadditivität vo Wahrscheilichkeitsmaße, die i Teilaussage 4 vo Theorem 2. betrachtet wurde, gilt icht ur für zwei bzw. edlich viele Ereigisse, soder auch für Folge vo uedlich viele Ereigisse. Theorem 2.2 Sei Ω, F, P ei Wahrscheilichkeitsraum, ud A, A 2,... F seie beliebige Ereigisse. Da gilt P A i P A i. 7 Astelle der Folge {A } betrachte wir die Folge {A } vo paarweise disjukte Mege, wobei Da gilt P A i P A A \ A i. A i P A P A, wobei sich die letzte Ugleichug aus der Teilaussage 2 vo Theorem 2., d.h., aus der Mootoie vo Wahrscheilichkeitsmaße ergibt, de offebar gilt A A. Das folgede Korollar wird i der Literatur das Lemma vo Borel Catelli geat, vgl. auch Theorem 2.7. Korollar 2.3 Sei Ω, F, P ei Wahrscheilichkeitsraum ud A, A 2,... F eie beliebige Folge vo Ereigisse. Da gilt P lim sup A, 8 falls P A i <. 9

16 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 6 Aus Korollar 2.2 ud Theorem 2.2 ergibt sich, dass P lim sup A P 7 lim k ik k ik 6 A i lim P A i k ik P A i, wobei sich die letzte Gleichheit aus der Summierbarkeitsbedigug 9 ergibt. Wir diskutiere u de Zusammehag zwische der σ Additivität ud gewisse Stetigkeitseigeschafte vo Megefuktioe. Theorem 2.3 Sei Ω, F ei beliebiger Messraum, ud sei P : F [, ] eie beliebige additive Megefuktio, d.h. P A i P A i gelte für jede edliche Folge vo paarweise disjukte Mege A,..., A F. Außerdem gelte P Ω. Da sid die folgede Aussage äquivalet:. P ist σ additiv ud damit ei Wahrscheilichkeitsmaß, 2. P A P A, falls A A F, 3. P A P A, falls A A F, 4. P A, falls A. Wir führe eie zyklische, d.h., wir zeige, dass die folgede Implikatioe richtig sid: P sei σ-additiv, ud es gelte A A F. Die Behauptug ergibt sich da geauso wie im vo Korollar Es gelte A A F, d.h. isbesodere, dass A A. Hieraus folgt, dass A c A c F, wobei A c Ac. Also ergibt sich aus Teilaussage 2, dass P A P A c P A c P A Diese Implikatio gilt offesichtlich, weil die Teilaussage 4 ei Spezialfall vo Teilaussage 3 ist. 4.. Seie A, A 2,... F paarweise disjukte Mege. Da gilt A i für. Also ist P A i i+ P Additivität vo P Nullstetigkeit vo P A i A i i+ P A i + P P A i, i+ wobei sich die zweite Gleichheit aus der edliche Additivität vo P ergibt, die im Theorem vorausgesetzt wird. A i

17 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 7 Für Wahrscheilichkeitsmaße, d.h. für σ additive Megefuktioe lasse sich die i Theorem 2.3 betrachtete drei Stetigkeitseigeschafte wie folgt zu eier Stetigkeitseigeschaft zusammefasse. Theorem 2.4 Sei Ω, F, P ei Wahrscheilichkeitsraum, ud A, A, A 2,... F seie beliebige Ereigisse. Da gilt P A P A, falls A A. Um die Behauptug zu zeige, utze wir die folgede beide Ugleichuge: P lim if A lim if P A ud lim sup P A P lim sup A. 2 Dabei ergibt sich die Ugleichug aus Korollar 2.2 ud Theorem 2.2: P lim if A P k ik A i 5 lim P k Teilaussage 2 vo Theorem 2.2 Die Ugleichug 2 lässt sich auf aaloge Weise zeige. Weil ergibt sich u aus ud 2, dass A lim if ik A i lim if P A i k i k lim if k P A k. A lim sup A, lim sup P A P A lim if P A, ud damit, dass P A lim P A. 2.4 Edliche Wahrscheilichkeitsräume 2.4. Laplacescher Wahrscheilichkeitsraum Für jedes A Ω bezeiche A die Azahl der Elemete, die zu A gehöre. Es gelte Ω < ud damit auch A < für jedes A Ω. Ei Wahrscheilichkeitsraum Ω, F, P mit Ω < heißt edlicher Wahrscheilichkeitsraum. Defiitio Ei edlicher Wahrscheilichkeitsraum Ω, PΩ, P, bei dem alle Elemetarereigisse die gleiche Wahrscheilichkeit habe, d.h., P {ω} Ω, ω Ω, heißt Laplacescher Wahrscheilichkeitsraum.

18 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 8 Beachte Sei Ω, PΩ, P ei Laplacescher Wahrscheilichkeitsraum. Wege der σ-additivität vo Wahrscheilichkeitsmaße gilt da für jedes A Ω P A A Ω, de offebar gilt A ω A {ω} mit {ω} {ω } für ω ω ud somit P A P ω A {ω} P {ω} ω A ω A Ω A Ω. Die so gegebee Wahrscheilichkeit P A A / Ω heißt Laplacesche Wahrscheilichkeit vo A. Beispiel zweimaliges Würfel ω i, j i Augezahl beim. Wurf; j Augezahl beim 2. Wurf Ω {i, j : i, j 6}; Ω 36; F PΩ. Sei beispielsweise A {Gesamtaugezahl } {6, 6, 6, 5, 5, 6, 6, 4, 4, 6, 5, 5}. Da gilt A 6 ud somit P A Eifache Uremodelle Gegebe sei eie Ure mit N Objekte z.b. Kugel, die mit de Zahle, 2,..., N umeriert werde. Aus dieser Ure werde Objekte zufällig etomme. Ergebis des gesamte Losvorgages ist ei -Tupel i,..., i. Dabei gibt i j die Nummer des Objektes a, das bei der j-te Ziehug etomme wird. Wir betrachte vier verschiedee Arte vo Losvorgäge, die sich durch die folgede Auswahlarte ergebe: mit Zurücklege d.h., Mehrfachziehuge sid möglich ohe Zurücklege d.h., jedes Objekt ka maximal eimal gezoge werde mit Reihefolge d.h.,, 4, 2, 2, 4, ohe Reihefolge d.h.,, 4, 2, 2, 4, Sei D {, 2,..., N} die Mege der Objekte, die sich zu Begi des Zufallsexperimetes i der Ure befide. Die Grudmege Ω I Ω IV, die die vier verschiedee Arte vo Losvorgäge modelliere, habe die folgede Gestalt:. Auswahl mit Reihefolge ud mit Zurücklege ud somit Ω I N Ω I {ω ω,..., ω, ω i D für i,..., } D 2. Auswahl mit Reihefolge ud ohe Zurücklege. Ziehug: N Möglichkeite 2. Ziehug: N Möglichkeite.. -te Ziehug: N + Möglichkeite Ω II {ω ω,..., ω, ω i D, ω i ω j für i j} Also: Ω II N N... N + N! N! Wichtiger Spezialfall: N Permutatioe Ω II N!

19 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 9 3. Auswahl ohe Reihefolge ud ohe Zurücklege Ω III {ω ω,..., ω, ω i D, ω < ω 2 <... < ω } Also: Ω III Ω II! N! N!! N Biomialkoeffiziet 4. Auswahl ohe Reihefolge ud mit Zurücklege ud somit Ω IV N+ N+!! N! Auswahl vom Umfag aus {, 2,..., N} Ω IV {ω ω,..., ω, ω i D, ω ω 2... ω } mit Zurücklege Zusammefassug ohe Zurücklege mit Reihefolge Ω I N Ω II N! N! ohe Reihefolge Ω IV N+ mit Mehrfachbelegug uterscheidbare Marke Ω III N icht uterscheidbare Marke ohe Mehrfachbelegug Verteilug vo Marke auf N Zelle Beispiele. Wir werfe 4 idetische Würfel acheiader ud achte dabei auf die Reihefolge der erzielte Augezahle. Frage: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die vier Augezahle voeiader verschiede sid? Lösug: Laplacescher Wahrscheilichkeitsraum Auswahle mit Reihefolge ud Zurücklege Ω I 6 4 Azahl der mögliche Fälle A {Auswahle, bestehed aus 4 uterschiedliche Augezahle} Ω I A Azahl der güstige Fälle P A A Ω I Zahlelotto: 6 aus N 49 ohe Reihefolge ud ohe Zurücklege Frage: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, midestes 4 Richtige zu habe? Lösug: D {,..., 49}, Ω III 49 6, ΩIII {ω {ω,..., ω 6 }, ω i D, ω <... < ω 6 } A i {geau i Richtige}, P A 4 A 5 A 6? Weil A i A j i j, gilt P A 4 A 5 A 6 P A 4 + P A 5 + P A 6. Dabei ist A , A , A P A Beachte Dieses Beispiel ist ei Spezialfall der hypergeometrische Verteilug.

20 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 2 Hypergeometrische Verteilug Betrachte Ure mit N Objekte, wobei zwei Type vo Objekte vorhade seie, mit de Teilazahle S ud R z.b. S schwarze Kugel, R rote Kugel; N S + R Sei Azahl der isgesamt etommee Kugel; s Azahl der etommee schwarze Kugel Sei P s, ; S, N die Wahrscheilichkeit, s schwarze Kugel bei der Etahme vo Kugel zu ziehe. Da gilt P s, ; S, N S N S s s. N 2.5 Geometrische Wahrscheilichkeite Währed bei der Defiitio der Laplace sche Wahrscheilichkeite, vgl. Abschitt 2.4., Quotiete vo Azahle gebildet werde, betrachtet ma bei geometrische Wahrscheilichkeite Quotiete vo Flächeihalte bzw. Volumia. Beispiel Sei beispielsweise Ω [, ] 2 das Eiheitsquadrat i der euklidische Ebee R 2, ud sei F B[, ] 2 die Borel σ Algebra vo Teilmege des Eiheitsquadrates [, ] 2, d.h., B[, ] 2 ist die kleiste σ-algebra vo Teilmege vo [, ] 2, die alle Recktecke a, b a, b ethält; < a < b <, < a < b <. Schreibweise: B[, ] 2 σ {a, b a, b, < a < b <, < a < b < } } {{ } Erzeugersystem. Die geometrische Wahrscheilichkeit P A vo A B[, ] 2 ist da gegebe durch de Asatz P A A [, ] 2 A, wobei A de Flächeihalt geauer: de Wert des 2-dimesioale Lebesgue-Maßes vo A bezeichet. Eie allgemeiere Variate der Defiitio der geometrische Wahrscheilichkeit lautet wie folgt. Defiitio Sei d eie beliebige, jedoch fest vorgegebee atürliche Zahl, ud sei R d der d-dimesioale euklidische Raum. Weiter sei BR d die Borel-σ-Algebra auf R d, d.h., BR d σ {a, b... a d, b d, a i, b i R d, a i < b i }.

21 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 2 Sei Ω BR d eie beliebige Borelsche Teilmege i R d mit < Ω <, wobei Ω das d-dimesioale Volume geauer: de Wert des d dimesioale Lebesgue Maßes vo Ω bezeichet. Die Wahrscheilichkeit vo A BR d Ω ist da gegebe durch P A A Ω, 3 wobei BR d Ω die Spur σ Algebra der Borel Mege i Ω bezeichet. Das Tripel Ω, BR d Ω, P heißt da geometrischer Wahrscheilichkeitsraum. Beispiel Buffosches Nadelexperimet Das Buffosche Nadelexperimet ist eie Methode zur umerische Bestimmug der Zahl π, die auf stochastische Gesetzmäßigkeite beruht. Der Erfider ist Georges Louis Leclerc Comte de Buffo Algorithmische Versioe solcher Verfahre sid uter der Bezeichug Mote-Carlo-Simulatio bekat. Betrachte das System K {x, y : x, y {...,,,,...} R} R 2 vo parallele ud äquidistate vertikale Gerade i der euklidische Ebee R 2. Werfe eie Nadel d.h. eie Strecke mit der Läge willkürlich i die Ebee R 2, wobei mit willkürlich das folgede stochastische Modell gemeit ist. Betrachte die Größe s ud t, die die relative Lage der Nadel bezüglich des Geradesystems K beschreibe, wobei s der orthogoale Abstad des Nadelmittelpuktes zur ächste liksliegede Nachbargerade vo K ist, t der Wikel ist, de die Nadel zum Lot auf die Gerade vo K bildet. Betrachte de geometrische Wahrscheilichkeitsraum Ω, BR 2 Ω, P mit Ω [, ] [ π/2, π/2]. Bestimme die Wahrscheilichkeit des Ereigisses A Ω mit A {s, t Ω : < s < } 2 cos t {s, t Ω : } 2 cos t < s <, dass die Nadel eie der Gerade vo K scheidet. Es gilt P A P s, t Ω : < s < 2 cos t π π π/2 π/2 π/2 π/2 2 cos t dt + π/2 π π/2 2 cos t dt 2 π, + P s, t Ω : 2 cos t < s < cos t dt d.h., für die geometrische Wahrscheilichkeit des Ereigisses A, dass die Nadel eie der Gerade vo K scheidet, gilt P A 2 π. 4

22 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 22 Beachte Aus der Gleichug 4 ergibt sich eie Methode zur experimetelle Bestimmug der Zahl π, die auf dem sogeate Gesetz der große Zahle beruht, vgl. Abschitt Ud zwar werfe wir die Nadel -mal, wobei eie hireiched große atürliche Zahl sei sollte. Seie s, t,..., s, t die Ergebisse der durchgeführte Experimete. Betrachte die Fuktioswerte x xs, t,..., x xs, t mit, falls s < 2 xs, t cos t oder 2 cos t < s, sost, d.h., die Idikatore der Ereigisse, ob die Nadel beim jeweilige Wurf eie der Gerade vo K scheidet oder icht. Aus 4 ud aus dem starke Gesetz der große Zahle folgt da, dass das arithmetische Mittel y x i mit großer Wahrscheilichkeit eie gute Näherug der Zahl 2/π ist. Mit adere Worte: Für große ist 2/y mit großer Wahrscheilichkeit eie gute Näherug der Zahl π. Das folgede Beispiel soll deutlich mache, dass es ählich wie bei der Laplace sche Wahrscheilichkeit auch bei der geometrische Wahrscheilichkeit sehr wichtig ist, die Grudmege Ω geeiget zu wähle. Beispiel Bertradsches Paradoxo I de Kreis Bo, R 2 mit Mittelpukt im Nullpukt ud Radius Eis werde auf gut Glück eie Sehe gelegt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit des Ereigisses A, dass die Sehe läger als 3 ist wobei 3 die Seiteläge des eibeschriebee gleichseitige Dreiecks ist. Beachte: Das Problem ist ikorrekt gestellt ud erfordert zuächst eie Präzisierug, was geau mit der Sprechweise auf gut Glück gemeit ist. Modell : Der Mittelpukt der Sehe werde auf gut Glück i de Kreis Bo, gelegt. Mit Ω bo, ud A {ω Ω : ω <.5}, wobei ω die Läge des Vektors ω bezeichet, ergibt sich da die Wahrscheilichkeit P A A Ω π/4 π 4. Modell 2: Ei Edpukt der Sehe sei fest vorgegebe, ud der adere Edpukt werde auf gut Glück auf die Kreisliie Bo, gelegt. Mit Ω π/2, π/2 ud A {ω Ω : π/6 < ω < π/6} ergibt sich da die Wahrscheilichkeit P A A Ω π/3 π 3. Modell 3: Die Richtug der Sehe sei fest vorgegebe o.b.d.a. vertikal, ud der Mittelpukt der Sehe werde auf gut Glück i das Itervall, gelegt. Mit Ω, ud A {ω Ω :.5 < ω <.5}, ergibt sich da die Wahrscheilichkeit P A A Ω 2.

23 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN Bedigte Wahrscheilichkeite Sei Ω, F, P ei beliebiger Wahrscheilichkeitsraum Defiitio ud Multiplikatiossatz Häufig verfüge wir bei der Durchführug vo Experimete über Voriformatioe, die bei der Berechug vo Wahrscheilichkeite iteressiereder Ereigisse berücksichtigt werde solle. Bei mache Utersuchuge wird jedoch lediglich hypothetisch ageomme, dass eie bestimmte Voriformatio vorliegt, wobei da uter dieser hypothetische Aahme gerechet wird. Diese sogeate Bayessche Methodik wird im weitere Verlauf der Vorlesug och geauer diskutiert. Beispiele. Skatspiel Die Ketis der eigee Karte soll als Voriformatio über die Verteilug der übrige 22 Karte geutzt werde. Markiere die 32 Karte mit de Zahle, 2,..., 32. Betrachte Laplacesche Wahrscheilichkeitsraum, wobei Ω die Mege aller Permutatioe vo 32 Elemete ist N 32; mit Reihefolge ud ohe Zurücklege Gesucht sei die Wahrscheilichkeit des Ereigisses A 2 A 3, wobei A 2 {Spieler 2 hat x Asse}, A 3 {Spieler 3 hat y Asse}, uter der Bedigug, dass das Ereigis A {Spieler hat die Karte mit de Nummer k,..., k } eitritt. Lösugsasatz: Beziehe die Azahl der Permutatioe, bei dee A 2 A 3 eitritt, icht auf die Gesamtazahl 32! aller mögliche Permutatioe, soder lediglich auf diejeige Permutatioe, bei dee das Ereigis A eitritt. D.h., die gesuchte Wahrscheilichkeit ist die bedigte relative Häufigkeit A 2 A 3 A / A Dabei beutze wir die Schreibweise: 2. Uremodell P A 2 A 3 A A 2 A 3 A A ud ee diese Größe bedigte Wahrscheilichkeit des Ereigisses A 2 A 3 uter der Bedigug, dass das Ereigis A eitritt. Betrachte Ure mit N Objekte S schwarze, R rote Kugel, d.h. N S+R, vgl. Abschitt 3.2.2; 2 Objekte, 2 N, solle isgesamt ausgewählt werde ohe Zurücklege; Sei A das Ereigis, beim zweite Versuch schwarz zu ziehe, ud sei B das Ereigis, beim erste Versuch rot zu ziehe. Gesucht ist die bedigte Wahrscheilichkeit P A B, beim zweite Versuch schwarz zu ziehe, falls beim erste Versuch rot gezoge wird. Es gilt P A B A B B R S R S + RR S N. Dies führt zu der folgede allgemeiere Begriffsbildug.

24 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 24 Defiitio Seie A, B F beliebige Ereigisse mit P B >. Da heißt P A B P A B P B 5 die bedigte Wahrscheilichkeit vo A uter der Bedigug B. Beachte Die Defiitiosgleichug 5 ka i der Form P A B P BP A B geschriebe werde. Durch Iteratio dieser Überlegug ergibt sich der folgede Multiplikatiossatz. Theorem 2.5 Seie A, A 2,..., A F Ereigisse mit P A A 2... A >. Da gilt: P A A 2... A P A P A 2 A P A 3 A A 2... P A A A 2... A. 6 klar Beispiel Skatspiel Betrachte das Ereigis A i {Spieler i erhält geau ei As}; i, 2, 3. Gesucht ist die Wahrscheilichkeit P A A 2 A 3, dass jeder der drei Spieler geau ei As erhält? Lösug: Es gilt 28 9 P A , P A 2 A Hieraus ud aus 6 ergibt sich , P A 3 A A 2 P A A 2 A 3 P A P A 2 A P A 3 A A Formel der totale Wahrscheilichkeit; Bayessche Formel Bei der Berechug der Wahrscheilichkeit P A eies Ereigisses A F ist es machmal ützlich, die ubedigte Wahrscheilichkeit P A als gewichtete Summe vo bedigte Wahrscheilichkeite darzustelle. Hierfür ist es erforderlich, de Grudraum Ω wie folgt i messbare Teilmege zu zerlege. Defiitio Sei N eie beliebige atürliche Zahl, ud sei B, B 2,..., B F eie edliche Folge vo Ereigisse mit de Eigeschafte Z B i B j für i j, Z2 B i Ω, Z3 P B i > für alle i,...,. Da heißt B, B 2,..., B messbare Zerlegug vo Ω. Theorem 2.6 Sei A F ei beliebiges Ereigis ud B, B 2,..., B eie messbare Zerlegug vo Ω. Da gilt Formel der totale Wahrscheilichkeit P A P B j P A B j, 7 j

25 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 25 Bayessche Formel P B i A P B ip A B i P B j P A B j für jedes i,...,, wobei i 8 vorausgesetzt wird, dass P A >. j 8 Aus Z Z3 ud aus der Additivität des Wahrscheilichkeitsmaßes P ergibt sich, dass P A P A Ω P A P A B i P B i P A B i P B i B i P A B i P B i P A B i, wobei im letzte Schritt die Defiitiosgleichug 5 beutzt wird. Damit ist 7 bewiese. Aus 5 ud 7 ergibt sich u P B i A P B i A P B i P A B i P A j P B jp A B j. Beachte Die Aussage vo Theorem 2.6 bleibe gültig, we astelle eier Zerlegug vo Ω i edlich viele Teilmege eie uedliche Folge B, B 2,... F vo Ereigisse mit de Eigeschafte Z B i B j für i j, Z 2 B i Ω, Z 3 P B i > für alle i, 2,... betrachtet wird. Die Formel 7 ud 8 sid da lediglich wie folgt zu modifiziere: P A P B j P A B j, 9 j bzw. P B i A P B i P A B i j P B jp A B j 2 Beispiel für jedes i, 2,..., wobei i 2 ereut vorausgesetzt wird, dass P A >. Betrachte eie Fußballmaschaft, dere Siegeschace je Budesliga Spiel bei 75% liegt, falls ihr Kapitä i guter Form ist. We ihr Kapitä jedoch icht i guter Form ist, da betrage ihre Siegeschace ur 4%. Bei 7% aller Budesliga Spiele seier Maschaft sei der Kapitä i guter Form. Gesucht ist die Wahrscheilichkeit, dass. die Maschaft ei Budesliga Spiel gewit, 2. der Kapitä bei eiem Budesliga Spiel i guter Form ist, obwohl die Maschaft das Spiel icht gewit. Lösug: Zerlege de Grudraum Ω auf zwei verschiedee Weise i zwei Kompoete.

26 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 26 Sei A {Maschaft gewit Budesliga Spiel}, A c {Maschaft gewit Budesliga Spiel icht} bzw. B {Kapitä ist i guter Form}, B c {Kapitä ist icht i guter Form} Da gilt P A B.75, P A B c.4, P B.7 Aus 7 bzw. 8 ergibt sich u bzw. P A P A BP B + P A B c P B c P B A c P A c BP B P A c BP B + P A c B c P B c Stochastische Uabhägigkeit Der Begriff der stochastische Uabhägigkeit zweier Ereigisse A, B F ist mit der ituitive Vorstellug verbude, dass die bedigte Wahrscheilichkeit P A B des Ereigisses A uter der Bedigug B mit der ubedigte Wahrscheilichkeit P A vo A übereistimmt, d.h. P A B P A, wobei P B > vorausgesetzt wird. Es ist jedoch zweckmäßiger, die folgede äquivalete Gleichug P A B P AP B zu betrachte, weil durch sie auch der Fall P B erfasst wird. Defiitio Beachte. Die Ereigisse A, B F heiße uabhägig, falls P A B P AP B. 2. Sei A, A 2,..., A F eie beliebige Familie vo Ereigisse. Da sagt ma, dass A, A 2,..., A uabhägige Ereigisse sid, falls für jede Teilmege {i, i 2,..., i k } {, 2,..., } gilt: P A i A i2... A ik k P A ij. 2. Der Begriff der Uabhägigkeit wird auch für uedliche Familie vo Ereigisse beötigt. Ma sagt, dass A, A 2,... F uabhägige Ereigisse sid, falls für jede edliche Teilmege {i, i 2,..., i k } {, 2,..., } die Bedigug 2 erfüllt ist. 2. Das folgede Beispiel zeigt, dass die Uabhägigkeit vo Ereigis Paare A i, A i2 im allgemeie icht die vollstädige Uabhägigkeit der gesamte Folge A, A 2,..., A impliziert. j Beispiel Sei Ω, F, P gegebe durch Ω {, 2, 3, 4}, F PΩ, P {k} 4 für jedes k Ω. Sei A k {k, 4} für k, 2, 3. Da sieht ma leicht, dass. die Paare A, A 2 bzw. A 2, A 3 bzw. A, A 3 jeweils uabhägig sid, 2. die Ereigisse A, A 2, A 3 jedoch icht uabhägig sid.

27 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 27 De es gilt bzw. Jedoch P A i A i+ P {4} 4 P A A 3 P {4} 4 P A A 2 A 3 P {4} 4 P A i P A i P A P A P A P A 2 P A 3 8. für i, 2 Die folgede Ivariazeigeschaft uabhägiger Ereigisse bezüglich der Komplemetbildug wird im weitere Verlauf der Vorlesug mehrfach beötigt. Lemma 2.4 Sei A,..., A F eie beliebige Folge vo uabhägige Ereigisse. Da sid auch die Ereigisse A c,..., A c uabhägig. Wir betrachte ur de Fall 2. Da ergibt sich aus de allgemeie Recheregel für Wahrscheilichkeitsmaße vgl. Theorem 2. ud aus der Uabhägigkeit der Ereigisse A ud A 2, dass P A c P A c 2 P A P A 2 P A P A 2 + P A P A 2 P A P A 2 + P A A 2 P A A 2 P A A 2 c P A c A c 2. Für beliebiges 2 ergibt sich die Behauptug auf ähliche Weise mit vollstädiger Iduktio. I Ergäzug vo Korollar 2.3 köe wir u de zweite Teil des Lemmas vo Borel Catelli formuliere ud beweise. Theorem 2.7 Sei A, A 2,... F eie beliebige Folge vo uabhägige Ereigisse, so dass P A i. 22 Da gilt P lim sup A. 23 Für reelle Zahle α k,..., α k+l mit k, l, 2,... gilt bekatlich log α i α i, falls α i. Hieraus folgt, dass log k+l α k+l k k α bzw. k+l α exp k k+l k α.

28 2 EREIGNISSE UND WAHRSCHEINLICHKEITEN 28 Weil mit de Ereigisse A, A 2,... auch die Ereigisse A c, A c 2,... uabhägig sid vgl. Lemma 2.4, ergibt sich somit P k+l k A c k+l P A k k+l exp k P A. Aus 22 folgt, dass bei festem k die rechte Seite für l gege strebt. Hieraus ergibt sich mit Hilfe vo Korollar 2.2, dass P k Hieraus ergibt sich, dass A c Korollar 2.2 lim P k+l l k P lim sup A P A c lim exp l k k A c k+l k P k k P A. A c.

29 3 ZUFALLSVARIABLEN UND ZUFALLSVEKTOREN 29 3 Zufallsvariable ud Zufallsvektore 3. Defiitio vo Zufallsvariable Betrachte eie beliebige Wahrscheilichkeitsraum Ω, F, P ud ei beliebiges Elemet ω Ω, wobei wir so wie bisher {ω} als Elemetarereigis bzw. Versuchsergebis iterpretiere. Beachte Häufig iteressiert icht ω selbst, soder eie quatitative oder qualitative Kezahl Xω vo ω, d.h., wir betrachte die Abbildug ω Xω. Beispiele. Ω Mege vo Eitraguge i eiem Telefobuch ω Familieame, Xω Azahl der Buchstabe vo ω oder ω Telefoummer, Xω Azahl der Ziffer i ω 2. zweimaliges Würfel Ω {ω ω ; ω 2, ω i {,..., 6}} Augesumme ω Xω ω + ω 2 Sei A {ω : Xω } {6, 4, 5, 5, 4, 6} bzw. allgemeier A {ω : Xω k}, wobei k {2,..., 2}. Gesucht ist die Wahrscheilichkeit P A. Hierfür ist es erforderlich, dass A F. Allgemei muss also {ω : ω Ω, Xω k} F für jedes k 2,..., 2 gelte. Bei diesem Beispiel ist das gleichbedeuted mit {ω : ω Ω, Xω x} F für jedes x R. Das führt zu der folgede Begriffsbildug. Defiitio Sei Ω, F, P ei beliebiger Wahrscheilichkeitsraum. Die Abbildug X : Ω R heißt Zufallsvariable bzw. Zufallsgröße, falls {ω : ω Ω, Xω x} F x R. Beachte. Die Regularitätsbedigug wird Messbarkeit der Abbildug X bezüglich der σ Algebra F geat. 2. I viele Fälle iteressiert icht ur die Wahrscheilichkeit, dass die Werte Xω der Zufallsvariable X eie vorgegebee Schwellewert x icht überschreite, d.h., dass X Werte im Itervall B, x] aimmt. 3. Oftmals iteressiert auch die Wahrscheilichkeit, dass X Werte i eier allgemeiere Teilmege B R aimmt, wobei B beispielsweise die Vereiigug vo mehrere disjukte Itervalle sei ka. 4. Deshalb wird icht ur im Grudraum Ω, soder auch im Bildraum R ei System vo Teilmege vo R betrachtet, das abgeschlosse bezüglich der Megeoperatioe,, \ ist. 5. Dabei wird oft die Borel σ Algebra BR betrachtet, die defiiert ist als die kleiste σ Algebra vo Teilmege vo R, die alle offee Itervalle a, b ethält; < a < b <. D.h. BR σ {a, b, < a < b < } } {{ } Erzeugersystem 6. Isbesodere ethält BR auch alle halboffee bzw. abgeschlossee Itervalle, de es gilt a, b] a, b+ BR, [a, b a, b BR, [a, b] a, b+ BR. 7. Für jede abzählbare Teilmege C {x, x 2,... } vo R gilt C BR, de für jedes x R gilt {x} x, x + BR ud damit auch C {x i} BR.

30 3 ZUFALLSVARIABLEN UND ZUFALLSVEKTOREN Verteilug ud Verteilugsfuktio Die Regularitätsbedigug ka durch die folgede scheibar schärfere, i Wirklichkeit jedoch äquivalete Bedigug ersetzt werde. Theorem 3. Die Abbildug X : Ω R ist geau da eie Zufallsvariable, we {ω : ω Ω, Xω B} F B BR. 2 Offebar folgt aus 2. Es geügt also zu zeige, dass auch umgekehrt 2 aus folgt. Es gelte also die Zugehörigkeitsrelatio. Wir zeige zuerst, dass das Megesystem G {B : B BR, X B F} 3 eie σ-algebra ist, wobei X B {ω : ω Ω, Xω B} das Urbild vo B bezüglich der Abbildug X ist. Es ist klar, dass R G, weil X R Ω F. Außerdem gilt B c G für jedes B G, weil X B c X B c F. Aalog ergibt sich, dass B B 2 G für beliebige B, B 2 G, weil X B B 2 X B X B 2 F, bzw., dass B B 2... G für beliebige B, B 2,... G. Also ist das i 3 gegebee Megesystem eie σ-algebra. Darüber hiaus bedeutet die Bedigug, dass, x] G für jedes x R. Hieraus folgt, dass x,, x] c G ud, x, x ] G. Deshalb gilt a, b, b a, G für < a b <. Also gehört das Erzeugersystem {a, b, < a < b < } der Borel σ Algebra BR zu G. Dies bedeutet, dass BR G. Damit ist gezeigt, dass 2 aus folgt. Dies führt zu der folgede Begriffsbildug. Defiitio Beachte Sei Ω, F, P ei beliebiger Wahrscheilichkeitsraum, ud X : Ω R sei eie beliebige Zufallsvariable. Die Verteilug der Zufallsvariable X ist die Megefuktio P X : BR [, ] mit P X B P {ω : ω Ω, Xω B} B BR. 4. Die i 4 defiierte Megefuktio P X ist ei Wahrscheilichkeitsmaß auf dem Messraum R, BR, de P X ist ormiert, weil P X R P Ω, ud σ-additiv, weil für paarweise disjukte B, B 2,... BR P X B i P X B i P X B i P X B i P X B i. 2. Die Abbildug P P X et ma Maßtrasport vom Messraum Ω, F i de Messraum R, BR. Die folgede Kurzschreibweise ist üblich: P X B P {ω : ω Ω, Xω B} Speziell: P X x P {ω : ω Ω, Xω x} x R B BR

31 3 ZUFALLSVARIABLEN UND ZUFALLSVEKTOREN Diskrete Zufallsvariable; Wahrscheilichkeitsfuktio Wir betrachte i dieser Vorlesug zwei Grud Type vo Zufallsvariable: diskrete Zufallsvariable ud absolutstetige Zufallsvariable. Defiitio Die Zufallsvariable X bzw. ihre Verteilug heißt diskret, falls es eie abzählbare Teilmege C R gibt, so dass P X C. Beachte Der Begriff der absolutstetige Zufallsvariable wird später i Abschitt eigeführt. Wir erwähe jedoch scho jetzt ei wichtiges Uterscheidugsmerkmal:. diskrete Zufallsvariable habe eie abzählbare Wertebereich, z.b. we Ω X C mit C N, Z, Q R. Sei beispielsweise X Augesumme bei zweimaligem Würfel X : Ω {2, 3,..., 2} 2. absolutstetige Zufallsvariable habe eie überabzählbare Wertebereich, z.b. [a, b], [a,,, b], R z.b. Roulette mit drehbarem Zeiger ud kotiuierlicher Skala, wobei X Wert des Spiels Wikel des Zeigers, d.h. X : Ω [, 2π Defiitio Sei X eie diskrete Zufallsvariable, d.h., es gebe eie abzählbare Mege C {x, x 2,...}, so dass P X C. Da heißt die Folge p, p 2,... mit p k P X x k Wahrscheilichkeitsfuktio bzw. Zähldichte vo X. Beachte Beispiele. Für jede Wahrscheilichkeitsfuktio {p k } gilt offebar p k [, ] für jedes k, 2,... ud p k. 2. Die Verteilug eier diskrete Zufallsvariable X wird eideutig durch die Wahrscheilichkeitsfuktio {p k } bestimmt, de es gilt da für jedes B BR P X B P X B C P X {x i } P X {x i } p i. i:x i B i:x i B 3. Für jedes x k C heißt die Zahl p k P X x k Eizelwahrscheilichkeit vo X.. zweimaliges Würfel Sei X Summe der Augezahle beim zweimalige Würfel. Da gilt P X C mit C {2, 3,..., 2}, d.h. x k k +. Die Wahrscheilichkeitsfuktio vo X ist gegebe durch: i:x i B k x k p k Beroulli-Schema Eimaliger Müzwurf: Ω {, }, Wappe, Zahl maliger Müzwurf: Für i,..., setze wir Ω i {, }, wobei P i {ω i } 2 im Fall eier faire Müze bzw. allgemei P i {} a i ud P i {} a i. Bei idetische Versuchsbediguge ehme wir a, dass a a 2... a p, p [, ]. Uabhägige Versuche modelliere wir durch de Asatz Ω, F, P mit Ω Ω... Ω {ω ω,..., ω, ω i {, }}, wobei P das Produktmaß auf F ist, für das gilt: P {ω} P i {ω i }. F PΩ,

32 3 ZUFALLSVARIABLEN UND ZUFALLSVEKTOREN 32 Sei ω ω,..., ω Ω ei beliebiges Elemetarereigis. Da gilt P {ω} a j i:ω a i j:ω j Für ω Ω mit {i : ω i } k ud a a 2... a p gilt da isbesodere P {ω} p k p k. Deute als Erfolg ud als Misserfolg. Sei X Azahl der Erfolge bei Versuche. We a a 2... a p, da gilt P X k p k p k k,,...,. k Sprechweise: X ist biomialverteilt mit de Parameter ud p. Spezialfall: We, da sage wir, dass X Beroulli verteilt ist Grudlegede Klasse diskreter Verteiluge Zusammefassug. Hypergeometrische Verteilug Uremodell Betrachte Ure mit N Objekte S schwarze, R rote Kugel, d.h. N S + R; Objekte, N, solle isgesamt ausgewählt werde; X Azahl vo schwarze Kugel bei Etahme X : Ω {,,..., mi{, S}}, p k P X k Die hypergeometrische Verteilug hat 3 Parameter: N, S N, N; S N S k k N, k,,..., mi{s, } Berechug der Eizelwahrscheilichkeite p k ist schwierig, falls N ud S groß sid; Ausweg: Biomialverteilug liefert asymptotische Näherugsformel, falls N, S, S N 2. Biomialverteilug Beroulli Schema p S,N maliger Müzwurf; idetische Erfolgswahrscheilichkeite a... a p; X Azahl der Erfolge bei Versuche X : Ω {,,..., }, p k P X k p k p k, k k,,..., Für jedes k,,..., gilt S k N S k N p k p k, k

33 3 ZUFALLSVARIABLEN UND ZUFALLSVEKTOREN 33 falls N, S, S N S k N S k N p, de S,N S! k!s k!! k! k! S k N S! k!n S + k! N!!N! SS... S k + N SN S... N S + k + NN... N + N... S k + N k + } {{ } p k p k p k. k N S N k } {{ } p k... N S k + N + Die Biomialverteilug hat 2 Parameter: ud p Schreibweise: Bi, p; Berechug der Eizelwahrscheilichkeite p k ist schwierig, falls groß ud p klei oder ahe bei ist; Ausweg: Poisso Verteilug liefert asymptotische Näherugsformel, falls ud p mit p λ, so dass < λ <. 3. Poisso-Verteilug Gesetz der seltee Ereigisse Betrachte diskrete Zufallsvariable X : Ω {,,...}; die Eizelwahrscheilichkeite p k P X k seie gegebe durch p k λk k! e λ, k,,... ; < λ < Die Poisso Verteilug hat Parameter: λ Schreibweise: Poiλ; Gesetz der seltee Ereigisse: Für jedes k,,... gilt p k p k λk k k! e λ, falls ud p mit p λ, de p k p k! k k! k! pk p k k!... k + } {{ k } k! λk e λ. p k } {{ } λ k p p } {{ k } λ e λ 4. geometrische Verteilug Sei X die Azahl der Versuche bis zum erste Erfolg im Beroulli-Schema mit, d.h. X : Ω {, 2,...}; die Eizelwahrscheilichkeite p k P X k sid da gegebe durch p k p p k, k, 2,... ; Die geometrische Verteilug hat Parameter: p,.

34 3 ZUFALLSVARIABLEN UND ZUFALLSVEKTOREN Verteilugsfuktio; absolutstetige Zufallsvariable Sei Ω, F, P ei beliebiger Wahrscheilichkeitsraum ud X : Ω R eie beliebige Zufallsvariable. Defiitio Die Fuktio F X : R [, ] mit F X x P X x x R 5 heißt Verteilugsfuktio vo X, wobei F X x P X x P X, x] P X, x]. Wir diskutiere u zuächst eiige Eigeschafte vo Verteilugsfuktioe. Theorem 3.2 Sei X : Ω R eie beliebige Zufallsvariable ud F X : R [, ] ihre Verteilugsfuktio. Da gilt. Asymptotisches Verhalte im Uedliche: F X : lim F Xx, x F X : lim x F Xx, 6 2. Mootoie: F X x F X x + h x R ud h, 7 3. Rechtsstetigkeit: F X x ist rechtsseitig stetig, d.h. für jede Folge {h } mit h ud lim h gilt lim F Xx + h F X x x R. 8 Zu 2. Weil, x], x + h], ergibt sich aus Teilaussage 2 vo Theorem 2., dass F X x P X, x] P X, x + h] F X x + h. Zu. Wir zeige ur die erste Teilaussage vo 6. Wege der Mootoie vo F X köe wir o.b.d.a. aehme, dass x mooto gege kovergiert. Aus Korollar 2.2 ergibt sich da, dass lim F Xx lim P X, x] x x P X, x] x P X. Der der zweite Teilaussage vo 6 verläuft aalog. Zu 3. Ählich wie im vo Teilaussage ergibt sich aus Korollar 2.2, dass lim F Xx + h lim P X, x + h ] P X, x + h ] P X, x] F X x.