Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen

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1 Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung Auflage Übungsaufgaben zu Kapitel 8 [Text eingeben]

2 Aufgaben zu Abschnitt 8.2: Aufgabe 8.2.1: a) Eine Meinungsumfrage ergibt bei 400 repräsentativ Befragten in Hessen eine Anzahl von 80 Ja-Antworten. Bestimmen Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Anteil der Ja-Sager in Hessen, jeweils zum Konfidenzniveau 90%, 95% und 99%. b) Ein zweiseitiges Konfidenzintervall für einen Anteilswert soll einen Schätzfehler von ±0,5% gewährleisten, bei einem Konfidenzniveau von 95%. Wie groß muss die untersuchte Stichprobe mindestens sein, wenn i) über den zu schätzenden Anteilswert nichts bekannt ist; ii) bekannt ist, dass der zu schätzende Anteilswert rund 60% beträgt; iii) bekannt ist, dass der zu schätzende Anteilswert rund 20% beträgt? Aufgabe 8.2.2: Es kursiert die Faustregel: 30% der erwachsenen Bevölkerung wissen nicht, wie viel 30% bedeutet. a) Gesetzt den Fall, die Regel stimmt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich dann in einer zufälligen Auswahl von 10 Personen mehr als drei Personen, die tatsächlich nicht wissen, wie viel 30% sind? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer zufällig ausgewählten Gruppe von 100 Personen mehr als 30 zu finden, die nicht Bescheid wissen? b) Ausgehend von einer Stichprobe aus 250 erwachsenen Personen untersucht ein demoskopisches Institut, wie hoch nun der Anteil derjenigen wirklich ist, die nicht wissen, wie viel 30% sind. Es will für diesen Anteil eine zweiseitige Intervallschätzung angeben, zum Irrtumsniveau α = 5%. Welche Grenzen hat dieses Intervall, wenn 32,5% der Befragten den Wert 30% nicht korrekt einschätzen können? c) Wie viele Personen müssten repräsentativ befragt werden, wenn der Schätzfehler aus Teil b) auf ±1% begrenzt bleiben soll (sowohl ohne Vorinformation, als auch unter der Annahme, dass der gesuchte Schätzwert bei rund 30% liegt)? Aufgabe 8.2.3: Im Rahmen eines Studienprojekts sollen zehn studentische Arbeitsgruppen jeweils eine Schätzung vornehmen, welcher Anteil von Studenten bereit wäre, bereits während des Studiums eine Berufsunfähigkeitsversicherung abzuschließen, wenn dafür ein ermäßigter Einstiegstarif angeboten würde. Jede Gruppe befragt jeweils 100 zufällig ausgewählte Studenten ihres Fachbereichs. Davon äußern sich die folgenden Studentenzahlen in den jeweiligen Stichproben positiv zur Frage: 27; 26; 31; 27; 25; 34; 31; 23; 20; 29 a) Ermitteln Sie jeweils zum Sicherheitsniveau α = 90% für jede Arbeitsgruppe auf der Grundlage ihres Befragungsergebnisses das Konfidenzintervall. Der Fachbereich hat insgesamt ca Studenten. b) Wie beurteilen Sie die Ergebnisse der Arbeitsgruppen, wenn der gesuchte Anteilswert tatsächlich 28% beträgt? Aufgabe 8.2.4: a) Als Versicherungsunternehmen wollen Sie herausfinden, welches Marktpotenzial Ihr neuer Pflegerententarif haben könnte. Eine Befragung von 875 repräsentativ ausgewählten Personen Ihrer in ganz Deutschland anzutreffenden Zielgruppe ergibt 91 positive Antworten. Wie groß ist dann der Prozentsatz abschlussbereiter Kunden maximal, wenn Sie zum Konfidenzniveau 95% schätzen wollen? b) Wie viele Personen müssten repräsentativ befragt werden, wenn der Schätzfehler aus Teil a) auf 1% begrenzt bleiben soll (sowohl ohne Vorinformation, als auch unter der Annahme, dass der gesuchte Schätzwert bei rund 10% liegt)?

3 Aufgabe 8.2.5: a) Ein großer Schadenversicherer lässt ein unabhängiges Institut seiner Kunden befragen, die im vergangenen Jahr einen Schaden gemeldet haben. Von diesen geben 230 zu, die Schadenhöhe manipuliert zu haben, um ihre Entschädigungssumme zu erhöhen. Von welchem Prozentsatz manipulationswilliger Kunden muss der Versicherer mindestens ausgehen, wenn die Schätzung zum Konfidenzniveau 90% erfolgen soll? b) Wie viele Personen müssten repräsentativ befragt werden, wenn der Schätzfehler aus Teil a) auf 1% begrenzt bleiben soll (sowohl ohne Vorinformation, als auch unter der Annahme, dass der gesuchte Schätzwert bei rund 25% liegt)? c) Was ist das grundsätzliche Problem bei dieser Art von Fragestellung? Aufgabe 8.2.6: a) Eine linksgerichtete britische Tageszeitung gibt eine Untersuchung in Auftrag, wie hoch der Anteil der Briten höchstens einzuschätzen ist, die einen Beitritt Großbritanniens zur Euro-Zone ablehnen. Die Schätzung soll zum Niveau 95% erfolgen. 688 von Befragten lehnen einen Betritt ab. Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall. b) Eine rechtsgerichtete Tageszeitung beauftragt ein anderes Befragungsinstitut mit einer Untersuchung zum selben Thema. Geschätzt werden soll ebenfalls zum Niveau 95% der Mindestanteil der Euro-Skeptiker. Diesmal äußern sich 795 von Befragten zu einem Beitritt negativ. Bestimmen Sie auch hierzu ein Konfidenzintervall. c) Wie ist das Ergebnis zu beurteilen?

4 Aufgaben zu Abschnitt 8.3: Aufgabe 8.3.1: Aus einer Grundgesamtheit mit Mittelwert μ = 80 und Standardabweichung σ = 20 eines untersuchten Merkmals X wird eine Stichprobe der Größe n = 100 entnommen. Der Umfang N der Grundgesamtheit sei so groß, dass die Bedingung als erfüllt n < 0,05 N angenommen werden kann. a) Wie lauten Erwartungswert und Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts X? Wie ist der Stichprobenmittelwert in Abhängigkeit vom Verteilungstyp von X bei Stichproben der Größe n = 100 verteilt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Stichprobenmittelwert in einem Intervall der maximalen Breite ±2 um den exakten Wert 80 realisiert? Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit bei einem Intervall der Breite ±4? Aufgabe 8.3.2: Die Zufallsvariable T werde durch eine t-verteilung mit 10 Freiheitsgraden beschrieben. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P(X 2,228) b) P(X < 2,764) c) P(1,812 X < 3,169) d) P( 1,812 < X < 1,812) Aufgabe 8.3.3: Das Merkmal X werde in einer sehr großen Grundgesamtheit betrachtet, aus der eine Stichprobe entnommen wird. Berechnen Sie jeweils zum Konfidenzniveau 1 α = 99% ein zentrales (zweiseitiges) Konfidenzintervall für den Parameter μ des Merkmals, indem Sie nur die gegebene Information verwenden. a) Es sei X normalverteilt mit Standardabweichung σ = 3. Aus der Stichprobe des Umfangs n = 16 ergibt sich ein Stichprobenmittelwert x = 13. b) Es sei X normalverteilt mit Standardabweichung σ = 4. Aus der Stichprobe des Umfangs n = 64 ergibt sich ein Stichprobenmittelwert x = 12. c) Es sei X normalverteilt. Aus der Stichprobe des Umfangs n = 16 ergeben sich ein Stichprobenmittelwert x = 13 und eine Stichprobenstreuung σˆ = 3,2. d) Es sei X normalverteilt. Aus der Stichprobe des Umfangs n = 64 ergeben sich ein Stichprobenmittelwert x = 12 und eine Stichprobenstreuung σˆ = 3,6. e) Es sei X normalverteilt. Die Stichprobe liefert die Messwerte f) Aus der Stichprobe des Umfangs n = 16 ergeben sich ein Stichprobenmittelwert x = 13 und eine Stichprobenstreuung σˆ = 3,2. g) Aus der Stichprobe des Umfangs n = 64 ergeben sich ein Stichprobenmittelwert x = 12 und eine Stichprobenstreuung σˆ = 3,6. Aufgabe 8.3.4: Ein Sachversicherer möchte expandieren und sondiert den ländlichen Raum eines Nachbarlandes. Für die Kalkulation eines Hausrattarifs soll u. a. anhand der aktuellen Kriminalstatistik ein Höchstwert für die Diebstahlhäufigkeit geschätzt werden. Anhand von 25 Kleinstädten ergibt sich eine durchschnittliche Anzahl von Diebstählen von 277 auf Einwohner pro Jahr. Die Diebstahlverteilung zeigt ein annähernd normales (glockenförmiges) Profil; aus mehrjährigen Vergleichsbetrachtungen ist die Standardabweichung bekannt und beträgt 85 Fälle von Diebstahl pro Einwohner und Jahr. a) Berechnen Sie anhand dieser Information Schätzungen für den gesuchten Höchstwert bzw. entsprechende einseitige Konfidenzintervalle zu den Niveaus 1 α = 90%, 95% und 99%. b) Wie würden sich die Schätzungen bei unbekannter Standardabweichung qualitativ ändern? Führen Sie die Schätzung durch, wobei Sie eine aus der Stichprobe der 25 Städte geschätzte Standardabweichung σˆ 88 unterstellen können.

5 Aufgabe 8.3.5: Ein Kfz-Versicherer misst anhand der Rechnungen aus 40 verschiedenen Werkstätten einen Durchschnittspreis von für eine bestimmte Reparaturleistung. Die Standardabweichung für den Preis wird anhand der 40 Belege mit 768 angegeben. a) Wie lautet das zentrale 90%-Konfidenzintervall für die durchschnittlichen Reparaturkosten in einer beliebigen Werkstatt? b) Wie viele Werkstattrechnungen müssten bei gleichem Konfidenzniveau wie in Teil a) in die Stichprobe einbezogen werden, um einen Schätzfehler von nicht mehr als ±80 zu gewährleisten? Aufgabe 8.3.6: In einem Segment amerikanischer Privatbanken wurde der durchschnittliche jährliche Bruttogewinn pro Mitarbeiter für einige repräsentativ ausgewählte Banken zu 72,7 56,5 35,2 52,6 65,9 40,6 37,8 44,3 66,1 33,7 38,0 38,3 63,5 34,2 37,3 30,6 65,9 34,9 45,6 27,8 51,0 43,8 38,4 35,8 39,6 43,3 38,0 26,8 40,3 32,3 39,5 31,8 33,4 27,7 32,0 65,9 51,5 52,6 44,3 57,8 32,4 34,6 Tausend Dollar (T$) ermittelt. Aus früheren Untersuchungen sei bekannt, dass die Standardabweichung des durchschnittlichen Bruttogewinns Dollar beträgt. a) Man bestimme ein 90%-Konfidenzintervall, aus dem sich eine Untergrenze für den mittleren Jahresgewinn pro Mitarbeiter im betrachteten Bankensegment ergibt. b) Wie ist im Lichte dieser Schätzung in einer Bank ein tatsächlicher Wert von weniger als Dollar für den mittleren Jahresgewinn pro Mitarbeiter zu beurteilen? Aufgabe 8.3.7: 50 Kunden einer Bankfiliale beurteilen die Qualität Ihres Kundenberaters auf einer Skala von 0 (sehr schlechte Beratung) bis 10 (ausgezeichnete Beratung) wie folgt: a) Bestimmen Sie ein zentrales 95%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Qualitätsnote unter allen Filialkunden. b) Wie viele Kunden müsste man befragen, um den Schätzfehler der Durchschnittsbewertung auf ±0,2 Punkte zu begrenzen.

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