Brandenburgische Technische Universität Cottbus. Fakultät für Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik Lehrstuhl Grafische Systeme.

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1 Bandenbugische Technische Univesität Cottbus Fakultät fü Mathematik, atuwissenschaften und Infomatik Lehstuhl Gafische Systeme Diplomabeit Umsetzung eines vollautomatisieten Objektefassungs- Systems übe Methoden phasengestützte Steifenpojektion und Photogammetie Vefasse: Mathias Habejahn 7..6 Studiengang: Infomatik Est-Gutachte: Pof. D. Winfied Kuth Zweit-Gutachte: D. Matin Scheele (DLR) Beteue: Dipl.-Phys.Thomas Mangoldt

2 Eidesstattliche Ekläung Hiemit ekläe ich an Eides Statt, dass ich die voliegende Abeit selbstständig und ohne unelaubte femde Hilfe angefetigt, andee als die angegebenen Quelle und Hilfsmittel nicht benutzt und die den Quellen wötlich ode inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. Cottbus, den 5. Oktobe 6

3 Danksagung Mein Dank gebüht in este Linie dem Lehstuhl Gafische System, besondes Pof. D. Winfied Kuth und meinem Beteue Dipl.-Phys. Thomas Mangoldt, welche fü jede noch so tivial scheinende Fagestellung jedezeit zu Vefügung standen und wetvolle Hilfestellungen gaben. Des weiteen danke ich hiemit Dipl.-Ing. Fank Henze vom Lehstuhl fü Vemessungskunde, de mich insbesondee bei fachspezifischen Poblematiken beeitwillig untestützte. Zu gute Letzt gilt mein Dankeswot meine Familie, meine Mutte und meinem Vate, die mi übe all die Jahe im außeodentlichem Maße den Rücken feihielt und bestäkend zu Seite stand.

4 Einleitung Motivation...3. Übeblick de Abeit...4 Obeflächenmessung von äumlichen Objekten Übeblick...5. Steifenpojektionsvefahen Refeenzbild-Binäisieung Gay-Code-Vefahen Phase-Shift-Vefahen....3 Photogammetie Innee Oientieung Äußee Oientieung Phasogammetie Pinzip de Selbstkalibieung Selbstkalibieung Bündelblockausgleich Ausgleichungsvefahen Mathematisches Modell des Bündelblockausgleiches äheungswet-beschaffung Relative Oientieung Koplanaitätsbedingung Beechnung Genauigkeit Absolute Oientieung De Vowätsschnitt Beechnung Aufbau und Funktionsweise de Messappaatu Aufbau Funktionsweise Mess / Auswetungs-Softwae Scan 3D Pogammstuktu Pogammablauf Ein- und Ausgaben...43

5 6. Aufnahme-Pozess Intene Bildauflösungen Dynamische Mess-Sequenz-Estellung Umsetzung de Geäte-Unabhängigkeit Auswetungs-Pozess Mess-Bild-Auswetung Refeenz-Bild-Estellung Objektfeistellung Gay-Code-Bild-Estellung Phase-Shift-Bild-Estellung Tiangulations-Bild-Estellung Kalibieung de Messgeäte Initialisieung des Bündelblockausgleiches Skaliebakeit de Messeinichtung (KK, MK) Geneieung von Bündeln Geneieung von Statweten Bündelblockausgleich Beechnung de Objektkoodinaten Bedienung von Scan 3D Ansichten-Steueung Menü-Steueung Installationshinweise Diskussion de Egebnisse Beispiel-Messung Mess-Konfiguation Aufnahme-Bilde Bild-Auswetung Kalibieungs-Egebnisse Poblemeöteung Test de elativen Oientieung Test de Bündelblockausgleichung Messwet-Betachtung Vebesseungs-Ansätze Fazit Quellenvezeichnis...7 Anhang A Abbildungsvezeichnis...9 Anhang A Gleichungsvezeichnis... Anhang A3 Tabellenvezeichnis...3 Anhang B Kalibieungs-Potokoll de Beispiel-Messung...4

6 Einleitung. Motivation Heute gebäuchliche 3D-Messvefahen, basieend auf Steifenpojektion, Gay-Code- Pojektion ode photogammetischen Messmethoden, messen die gewünschten äumlichen Objektkoodinaten auf indiekte Weise. Um die fehlende 3. Dimension wiede zu ekonstuieen, gehen neben den gemessenen Bildpunkten, Pixelweten ode Phasenweten auch sogenannte System-Paamete (innee und äußee Oientieung de Messgeäte) in die Koodinatenbeechnung mit ein. Diese System-Paamete müssen nomaleweise in eine Kalibieungs-Pozedu vo ode nach dem eigentlichen Messvogang bestimmt weden. Dazu weden zum Beispiel am Messobjekt manuell festgelegte Ziele (matching points) von festgelegten Positionen aus vemessen, um die späteen Messdaten eindeutig einzuodnen und bei Mehpositionsaufnahmen die einzelnen Teilansichten (Punktwolken) zu eine Gesamtansicht zu veeinen. Die achteile liegen auf de Hand: - asches Ansteigen de benötigten Passmaken bei göße wedenden Objekten - Eingiff in die Physis des Messobjektes - zeitaufwändige und benutzeunfeundliche Messvogang (nicht automatisieba) - Anfälligkeit gegenübe äußeen Einflüssen (zeitinstabil) - kostenintensive Päzisionsgeäte Die Photogammetie bietet nun eine Teillösung de genannten Pobleme an. Duch die Vemessung eines Objektes aus mindestens zwei veschiedenen Ansichten ehält man po Objektpunkt edundante, zusätzliche Messwete. Duch diesen Infomationszugewinn ist man nun in de Lage, wähend des Messvoganges neben den eigentlichen Objektkoodinaten noch zusätzlich die System-Paamete, übe Methoden des Bündelausgleiches, mitzubestimmen. Dies füht zu eine automatisieten Selbstkalibieung des Systems. Die Zeitstabilität äußee Stöungsfaktoen muss nun nu noch innehalb de einzelnen Messabschnitte, fü die veschiedene System-Paamete voliegen, gewähleistet weden. Ebenso kann auf aufwändige Kalibieungsstategien und kostspieliges Kalibieungsinventa vezichtet weden. Es besteht jedoch weitehin die otwendigkeit des zeitintensiven und inteaktiven Eingiffes beim Anbingen von Passmaken am Messobjekt, um die aus veschiedenen Messansichten gewonnen Daten dem jeweiligen Objektpunkt zuzuodnen [Luh3]. Das Faunhofe-Institut fü Angewandte Optik und Feinmechanik entwickelte nun ein Vefahen, welches Methoden de phasengestützten Steifenpojektion und de Photogammetie veeint und zudem auf das Pinzip de vituellen Passmaken zuückgeift (Phasogammetie). Eine Kalibiekamea, welche ihe Ausichtung wähend des gesamten Messvoganges zum Messobjekt nicht veändet, legt automatisch vituelle Passmaken auf dem Objekt an, die als Ausgangspunkt fü die Selbstkalibieung dienen. Ein manuelle Vegabe und anschließendes Zuodnen von Passmaken ist nun nicht meh nötig, sonden wid vollautomatisch duch eine Softwae übenommen. Diese Abeit geift nun den Ansatz de Phasogammetie auf und vesucht diesen in die Paxis zu übefühen. Dabei wuden folgende Zielsetzungen vefolgt: 3

7 - vollautomatisiete Aufnahme- und Auswetungspozess - Realisieung beliebig zweckmäßige Messaufbauten - beühungslose Inteaktion mit dem Messobjekt wähend de Messung - Vewendung von Amateu-Messgeäten (Kameas, Pojekto) - Unabhängigkeit de zu entwickelnden Softwae von den Messgeäten - poblemlose Skalieung de am Mess-Pozess beteiligten Kameas - Implementieung eines flexiblen Bündelbockausgleich-Moduls mit automatisiete Statwetbeschaffung. Übeblick de Abeit Die Kapitel bis 4 stellen die theoetischen Voabeit und Kapitel 5 bis 8 den paktischen Anteil diese Abeit vo. Kapitel gibt einen kuzen Übeblick übe gängige Vefahen de aktiven Musteekennung. Es wid dagestellt, wie die Phasogammetie Methoden de Steifenpojektion und de Photogammetie veeint, und eine Abgenzung de dei Gundbegiffe vogenommen. Kapitel 3 beschäftigt sich intensive mit de Selbstkalibieung. Die mathematischen Gundlagen des Bündelausgleiches weden eläutet und de Bezug zu Phasogammetie hegestellt. Im Kapitel 4 weden die in diese Abeit eingesetzten Vefahen zu Bestimmung de Statwete fü den Bündelblockausgleich vogestellt. Kapitel 5 bescheibt die vewendete Messeinichtung, deen Komponenten und den geneellen Messablauf. Im Kapitel 6 wid die Steueungs- und Auswetungs-Softwae Scan 3D eingefüht (Pogammstuktu, Funktionsumfang, Bedienung). Die Diskussion de Auswetungs-Egebnisse und eine anschließende Eöteung de auftetenden Pobleme behandelt das Kapitel 7. Des Weiteen wid ein kuze Ausblick auf weitee, mögliche Entwicklungsstufen von Scan 3D gegeben. Das 8. Kapitel schließt die Abeit mit eine Zusammenfassung ab. 4

8 Obeflächenmessung von äumlichen Objekten. Übeblick De heutige Stand de Technik elaubt es, innehalb eines kuzen Zeitaumes mit beühungslosen optischen Vefahen goße Datenmengen zu efassen. Punktwolken mit mehen hundettausend Punkten zu ezeugen, ist längst nicht meh nu hochmodenen, wohnzimmegoßen Messappaatuen übelassen. Selbst mit vehältnismäßig einfachen und kostengünstigen Lösungsvaianten lassen sich nun schon hevoagende Egebnisse ezielen. Dies ist vo allem de asanten Entwicklung de Technik zu vedanken. Besondes auf den Gebieten de digitalen Photogafie, de Rechenleistung und de Speicheentwicklung wuden in den letzten Jahen goße Spünge gemacht. Dies bietet natülich auch Voteile fü eine so echenintensive Disziplin wie die ahbeeichsphotogammetie. Bei den beühungslosen 3D-Abtastvefahen spielen besondes Vefahen mit Licht als Infomationstäge eine goße Rolle. Man kann Messpinzipien, die auf de Basis von Lichtwellen abeiten, in folgende dei Kategoien unteteilen [Luh]:. Tiangulationsvefahen: - Photogammetie (Einbild, Steeo- und Mehbildauswetung), Winkelmesssysteme (Theodolithmesssysteme), Stuktuiete Beleuchtung (Lichtschnitt, Steifenpojektion, Gay-Code-Pojektion, Phasenmessung, Moiee-Vefahen), Fokusvefahen, Schattieungsvefahen etc.. Intefeometie: - Optisch kohäente Laufzeitmessung, Hologafie, Speckle-Intefeometie, Kohäenz- Rada 3. Laufzeitmessung: - Entfenungsmessung mit optische Modulationslaufzeitbestimmung (Lase-Scanning), Puls-Modulation 5

9 Beühungslose D-, D- und 3D-Messvefahen Mikowellen λ = mm Lichtwellen λ =.5... µm Ultaschallwellen λ =.... mm Tiangulation Intefeometie Laufzeitmessung Schattieungsvefahen Fokussieungsvefahen Stuktuiete Beleuchtung Lase-Scanning Photogammetie Theodolitmessvefahen Lase-Tacking Abbildung -: beühungslose Messvefahen [Luh] S.7 Diese Abeit wid sich hauptsächlich mit tiangulationsbasieten Vefahen, wie de Steifenpojektion und de Photogammetie, beschäftigen (siehe Abbildung -).. Steifenpojektionsvefahen Man kann das Steifenpojektionsvefahen als Weiteentwicklung de Pojektion von Lichtstahlen (Punkte) und de Pojektion von einzelnen Lichtebenen (Linien) ansehen. Wo bei de Pojektion von Lichtstahlen von einem Kameastandpunkt noch eine Vielzahl an Bildaufnahmen nötig waen, um ein Objekt zu vemessen, benötigt die Steifenpojektion im günstigsten Falle oft nu noch eine einzige Aufnahme fü den gleichen Efolg. Die einfachste Mess-Konstellation fü ein Steifenmesssystem besteht aus einem Steifenpojekto und eine Matixkamea. Diese Sensokopf vemisst nun von veschiedenen Blickpunkten aus das Objekt, um gegebenenfalls eine Rundumsicht zu ehalten. Zu Beechnung de Tiefeninfomation des Objektes wid das Pinzip de Tiangulation (siehe Abbildung -) heangezogen. Abbildung -: Pinzip de Tiangulation [Wil] S.3 6

10 Sind de Abstand, die Basis, zwischen A und B (Pojekto, Kamea), sowie die Winkel α und β gegeben, so lässt sich de Abstand von O (Objekt) zu Stecke AB wie folgt beechnen: e b = tanα e b = tan β e e b = b + b = + tanα tan β tanα tan β e = b tanα + tan β Gleichung -: Tiangulation zu Basis Die Entfenung des Objektpunktes O entwede zu A (c ) ode B (c ) bestimmt sich dann folgendemaßen: e c = bzw. sinα c = e sin β Gleichung -: Abstand Objektpunkt zum Messgeät Anschließend bildet man mit dem zugehöigen Bildpunkt de Kameamatix und de Kameakonstante des beteffenden Messgeätes den äumlichen Richtungsvekto zum Objektpunkt O. ach eine omieung von wid de Vekto mit de entspechenden Entfenungsangabe c multipliziet und man ehält den Objektpunktvekto mit dem Messgeät als Modellkoodinatenuspung. Um das Objekt komplett zu vemessen, weden zu jedem mit de Matixkamea efassten Objektbildpunkt (Pixel) die passenden Winkel α und β und nach Gleichung - die Objektkoodinaten, bezogen auf das Messgeät, bestimmt. Dieses Vefahen bezeichnet man als Lichtschnitt. Steifenpojektionsvefahen vewenden veschiedene Lichtmuste, die auf das Objekt pojiziet weden. Dabei vesuchen alle Muste (Gay-Code, Phase-Shift, Line-Shift) eine möglichst hohe Zuodnungsdichte zwischen den pojizieten (invese Bildkoodinaten) und den aufgezeichneten Mustepunkten (Matix-Koodinaten) zu eeichen, um eine Tiangulation duchfühen zu können. Je göße diese Zuodnungsdichte ist, um so meh Objektpunkte können tianguliet weden. 7

11 Abbildung -3: Pinzip de Steifenpojektion mit Beispielen [Wil] S. 3 In de Paxis gestaltet sich die Tiangulation folgendemaßen: Wie in Abbildung -3 zu sehen ist, egibt jede unte einem bestimmten Winkel α auf das Objekt pojiziete Lichtstahl einen Punkt an eine bestimmten Stelle auf de Bildebene de Kameamatix (Matix-Bildpunkt). Aus de Position p dieses Punktes zu Bildmitte de Bildebene, de Kenntnis übe den Winkel γ de Kamea zu Basis b und de Kameakonstanten f (f Bennweite) lässt sich de Winkel β auf folgende At beechnen: β = 8 γ actan ( p f ) Gleichung -3: Winkelbeechnung Basisvekto zu Objektvekto Analog ist die Vogehensweise beim Steifenpojekto. u fü einen Bildpunkt de Kameamatix, de genau einem Punkt (invese Bildpunkt) des pojizieten Mustes zugeodnet weden kann, ist es möglich, einen Pojektionswinkel α zu bestimmen. Die Beechnung des Abstandes e zu Basis b efolgt dann übe das oben genannte Tiangulationsvefahen (Gleichung -). Wie nun oben ewähnt stellt sich, andes als bei de Pojektion von nu einem Punkt ode eine Lichtlinie po Aufnahme, bei de gleichzeitigen Pojektion mehee Lichtlinien (Steifen) das Poblem de eindeutigen Zuodnung. Da man nicht imme gewähleisten kann, alle pojizieten Steifen auch mit de Kamea zu efassen (Vedeckung, schlechte Oientieung zum Pojekto), scheidet ein einfaches Abzählen zu Bestimmung des aktuellen Steifens als Methode aus. Abhilfe schafft hie de sogenannte Codiete Lichtansatz [Wil]. Hiebei weden nacheinande veschiedene Steifenmuste auf das Objekt pojiziet und jeweils mit de Kamea aufgezeichnet. Die veschiedenen Ebenen de Steifenmuste bilden zusammen einen Code, de dem entspechenden Objektbildpunkt zugeodnet weden kann (Bildpunkt-Invetieung). So egibt sich po Matix-Bildpunkt ein Vekto mit binäen Weten. Je nachdem ob de entspechende Matix-Bildpunkt bei eine Steifenmusteebenen- Pojektion innehalb ode außehalb eines Steifens liegt, wid dem Vekto de Wet ode hinzugefügt. Diese Vogehensweise wid nun fü jede Kameaposition und jeden Matix- Bildpunkt duchgefüht. Jede Matix-Bildpunkt besitzt anschließend einen binäen Vekto n i B = b, b, K, b (Codewot), dessen einzelne Wete (Bits) b genau dem Steifen-Status [ ] 8

12 de jeweiligen Pojektion entspechen. Man spicht dahe von einem Pojektions- und Empfangswot. Weden die Pojektionsmuste mit unteschiedlichen Pojektionswöten aus einem n-stelligen Code codiet, kann die einem Matix-Bildpunkt entspechende Lichtebene anhand des Empfangswotes eindeutig zugeodnet weden. Bei n pojizieten Ebenen können so bis zu n veschiedene Codewöte ezeugt weden. Ein beispielhaftes Codieungsschema mit dei Pojektionsebenen befindet sich in Tabelle -: Lichtebene Pojektionsmuste Pojektionsmuste Pojektionsmuste 3 Tabelle -: Pojektionsebenen bei Binäcode ach jede Pojektion wid ein Bild aufgenommen und binäisiet. Das Empfangswot in einem Matix-Pixel (u,v) setzt sich aus den Bits de einzelnen Pojektionen zusammen. Duch die nun duch dieses Codewot bestimmbae Lage des Steifens und die Pojektoposition kann de invese Bildpunkt de Pojekto-Bildmatix bestimmt weden. Zusammen mit dem zugehöigen Matix-Bildpunkt de aufzeichnenden Kamea kann die Abstandsbestimmung des Objektpunktes auf dem Messobjekt mittels Tiangulation duchgefüht weden... Refeenzbild-Binäisieung Ein Poblem stellt die Binäisieung des gemessenen Gauwetes po Matix-Bildpunkt da. Man kann keinen einheitlichen Schwellwet heanziehen, um jeweils zu entscheiden, ob fü einen Bildpunkt de gemessene Gauwet geade noch zu einem aktiven (hellen) Steifen gehöt ode nicht. Die Objektobefläche weist häufig unteschiedliche Reflektionseigenschaften auf. Hinzu kommt, dass häufig bestimmte Objektelemente duch Vedeckung ode Schattenwuf einen von de Pojektions-Beleuchtung unabhängigen Gauwet-Intensitätsvelauf besitzen. Es stellt sich also die Fage nach einem obusten Binäisieungsvefahen. Ein weit vebeitete Ansatz abeitet mit de Hinzunahme eines Refeenzbildes. Dieses Refeenzbild wid jeweils fü jede Kameaposition estellt. Vo de eigentlichen Messung wid die gesamte Messszene einmal bei volle Beleuchtung und einmal bei abgeschaltete Beleuchtung aufgenommen. Aus den beiden Aufnahmen wid fü jeden Matix-Bildpunkt de Kamea ein Intensitäts-Mittelwet (Refeenzwet) gebildet. Wüden sich dann die beiden Intensitätswete fü einen Bildpunkt nu unwesentlich voneinande untescheiden, so kann man diesen Objektpunkt als im Schatten befindlich ode nicht pojiziet betachten. Fü die folgenden Aufnahme- und Ausweteschitte ist e somit nicht meh von Inteesse. Fühzeitig ist damit eine Ausdünnung hinsichtlich nicht-elevante Messdaten möglich. Fü die estlichen Bildpunkte dient nun de Refeenzwet s (u,v) des Refeenzbildes als Schwellwet fü die Binäisieung. ach de Pojektion eine Ebene efolgt die Binäisieung in einem Matix-Bildpunkt b (u,v) mit seinem gemessenem Gauwet g (u,v) dann duch: 9

13 b k ( u, v) = g( u, v) s( u, v) g( u, v) < s( u, v) Gleichung -4: Binäisieung des gemessenen Pixel-Gauwetes Da fü jeden Matix-Bildpunkt ein sepaate Schwellwet existiet, weden duch die Binäisieung auch Mateialeigenschaften wie Reflektion ode Obeflächenbeschaffenheit, die sich fü jeden Objektpunkt untescheiden können, beücksichtigt. Auch die diese Abeit zugunde liegende Softwae Scan 3D geift auf ein, im Vegleich zum oben beschiebenen, leicht modifizietes Refeenzbild-Vefahen als Schwellwetgebe zuück... Gay-Code-Vefahen In de Regel wid als Codieungsvefahen in de binäcodieten Lichtschnitttechnik de Gay- Code vewendet (siehe Abbildung -4). De Gay-Code wid als einschittige Code bezeichnet. Dies bedeutet, dass zwei aufeinandefolgende Codewote sich nu an eine Stelle (Bit) voneinande untescheiden. Das hat den Voteil, dass, falls duch einen Messfehle (Unschäfe de Kamea ode des Pojektos, optische Stöungen) eine Pojektionsebene veschoben aufgenommen wid, das daaus esultieende Empfangswot in de Reihenfolge nu um eine Stelle zum eellen Empfangswot veschoben ist. Falls beispielsweise in Tabelle - das Pojektionsmuste nu um eine Stelle nach echts veschoben aufgenommen wid, so lautet das Empfangswot fü die 4. Lichtebene [,,]. Im Pojektionswot jedoch steht das Codewot [,,] fü die. Lichtebene. De Binäisieungsfehle betägt somit vie Schitte, was bei de späteen Tiangulation zu staken Vezeungen füht. Abbildung -4: Gay-Code Pojektion mit 7 Pojektionsebenen [Luh] S.48 Das Gay-Code-Vefahen toleiet Veschiebungen einzelne Codewöte besse, falls es sich nu um eine fehlehafte Bit-Veschiebung handelt. Das fehlehafte Empfangswot entspicht dann einem achba-empfangswot, was nu eine im Vegleich leichte Vezeung

14 zu Folge hat. Dies eklät die Populaität des Gay-Codes bei codieten Lichtschnitt- Vefahen. De n-stellige Gay-Code G n ist ekusiv definiet. Ausgehend vom Initial-Code G mit den beiden Wöten und (Lichtsteifen ein und aus) egibt sich de k-te Code G k aus seinem Vogänge G k- mit eine vogestellten und aus G k- in umgekehte Reihenfolge mit eine vogestellten : Abbildung -5: ekusive Aufbau de Gay-Code-Ebenen [Wil] S.6 n Zwischen dem k-ten Codewot [ b, b, K, b ] n [ g, g,, g ] K des Gay-Codes G n besteht die Beziehung: des Binäcodes B n und dem k-ten Codewot i b = g + g g n mit: b = g und g + i i i = b b i = Kn Gleichung -5: Gay-Code Aufbau Übe diese Beziehung kann aus dem Empfangswot des Gay-Codes das entspechende Codewot des Binäcodes bestimmt weden, das de pojizieten Steifennumme entspicht. Pojektionswinkel und Empfangswinkel sind somit bestimmba und de Objektpunkt kann tianguliet weden...3 Phase-Shift-Vefahen Totz seine Beliebtheit und Stabilität besitzt de Gay-Code nu ein ungenügendes Auflösungsvemögen. Bei eine ewünschten hoizontalen Abtast-Punktdichte von n Punkten weden lg(n) Pojektionsebenen benötigt. So können bei 7 Pojektionsebenen maximal 8 Objektpunkte in Abtastungsbeite efasst weden, da man nu einen invesen Bildpunkt po pojizieten Steifen genau zuodnen kann. Dahe wid in den meisten Fällen, so auch in

15 diese Abeit, das Gay-Code-Vefahen um eines de aus de Intefeometie bekannten Vefahen eweitet, das sogenannte Phase-Shift-Vefahen. Hiebei kann im Gegensatz zum Gay-Code-Vefahen diekt mit den gemessenen Intensitätsweten geabeitet weden. Pojiziet weden mehee Bilde (meist vie), die einen sinusfömigen Intensitätsvelauf dastellen (Abbildung -6). Da die aufeinandefolgenden Bilde jeweils in ihem Kuvenvelauf um eine konstante Gadzahl (bei vie Bilden 9 ) veschoben sind, spicht man vom Phasen-Schieben. un stellt sich die Fage, waum nicht ein Phasenbild zu Bestimmung des jeweiligen Phasenwetes po Objektbildpunkt genügt. Eineseits weden duch Mittelwetbildung de vie Wete po Bildpunkt eventuelle Messfehle in einem de vie Messwete abgedämpft. Andeeseits, da die Sinus-Funktion nicht eineindeutig ist, wid zu koekten Phasenwetbestimmung mindestens noch ein weitee phasenveschobene Wet benötigt, um den zugehöigen Sinus-Quadanten bestimmen zu können. Abbildung -6: vie Pojektionsmuste beim Phase-Shift: jeweils um 9 veschoben [Wil] S.7 De Intensitätsvelauf entlang de Steifenstuktu lässt sich wie folgt bescheiben: I ( x) = I ( + k cos( dq( x) )) mit I : Hintegundintensität k : Kontast dq(x) : Phasenlage innehalb eine Peiode Bei einem 4e-Phasenshift mit eine Phasenveschiebung von jeweils 9 ehält man somit folgende vie Gleichungen: I I I I 3 4 ( x) = I ( + k cos( dq( x) + )) = I ( + k cos( dq( x) )) ( x) = I ( + k cos( dq( x) + 9 )) = I ( + k sin( dq( x) )) ( x) = I ( + k cos( dq( x) + 8 )) = I ( + k cos( dq( x) )) ( x) = I ( + k cos( dq( x) + 7 )) = I ( + k sin( dq( x) )) Gleichung -6: Intensitätsvelauf beim 4e-Phasenshift Subtahiet man I 4 (x) von I (x) und I 3 (x) von I (x), so egibt sich aus Division:

16 I ( x) I ( x) I 4 ( x) I ( x) 3 = I I k cos( dq( x)) k sin( dq( x)) = tan( dq( x)) Gleichung -7: Intensitätsvelauf beim 4e-Phasenshift (zusammengefasst) Fü die gesuchte Phasenlage ehält man schließlich: I dq( x) = actan I ( x) I ( x) I 4 3 ( x) ( x) Gleichung -8: Umechnung Phasen-Intensitäten in Bogenmaß Diese Rechenopeationen efolgen fü jeden Matix-Bildpunkt. Die Leistungsfähigkeit hängt auch bei diesem Vefahen von den Reflektionseigenschaften de Objektobefläche ab. In de Regel weden homogene, diffus eflektieende Obeflächen voausgesetzt. Spiegelungen und Glanzeffekte müssen duch Päpaation de Obefläche (mit weißem Pulve bestäuben) und geeignete Umgebungsbeleuchtung vemieden weden. Zum gößten Poblem beim Phase-Shift-Vefahen zählt die Ezeugung eines kontinuielichen Sinus-Mustes mit einem Pojekto. Dies kann zum Einen duch ein gezieltes Unschafstellen des Pojektos efolgen. achteil hiebei ist, dass die eingestellte Unschäfe nu in einem bestimmten Abstand zum Pojekto den ewünschten Effekt ezielt. Vaiiet das Objekt in seinem Abstand stak zum Pojekto, so wid das Phase-Shift-Muste nu teilweise exakt auf das Objekt sinusfömig abgebildet (Tiefenschäfe). Eine weitee Möglichkeit zu Ezeugung sinusfömige Muste mit astebasieten Pojektoen ist das Anbingen optische Tiefpassfilte vo dem Pojekto. Da dies nu in eine Steifenichtung möglich ist, ist keine Keuzpojektion meh möglich, die z.b. fü photogammetische Vefahen, wie in diese Abeit, notwendig ist [Boe]. Das kontinuielich messende Phase-Shift-Vefahen wid nun wie oben angedeutet meist als Eweiteung des disket messenden Gay-Code-Vefahens benutzt, um Subpixelgenauigkeit zu elangen. Da das Phase-Shift-Vefahen nu in einem Beeich zwischen -π und +π eindeutig ist, wid die Wellenlänge de Sinus-Kuve nach de doppelten Beite eines Steifens de vohe duchgefühten Gay-Code-Pojektion bemessen. In diese Abeit entspicht die pojiziete Sinus-Welle genau de viefachen Beite eines Steifens, um eine bessee Auflösung de pojizieten Kuve zu ehalten..3 Photogammetie Die oben genannten Vefahen de Steifenpojektionstechnik beuhen alle auf de Kenntnis de Oientieungsdaten de beteiligten Messgeäte (Pojekto, Kamea). Die Poblematik liegt auf de Hand. Aufwändige Kalibieungsoutinen müssen vo ode wähend de Messung duchgefüht weden, um diese Daten zu emitteln. Übe Methoden de Photogammetie ist es nun möglich, alle am Messvogang beteiligten Objekte, inklusive des zu efassenden Objektes, mathematisch geschlossen in Fom de Kollineaitätsgleichungen abzubilden. Gundlage de Photogammetie ist die zentalpespektivische Abbildung. Fom und Lage des Objektes weden übe die Rekonstuktion von Stahlenbündeln emittelt, wobei jede Bildpunkt P zusammen mit dem Pojektionszentum O eine Raumichtung des entspechenden Stahls zum Objektpunkt P festlegt (Abbildung -7). 3

17 Sind die eale Abbildungsgeometie in de Kamea (innee Oientieung) und ihe Lage im übegeodneten Koodinatensystem (äußee Oientieung) bekannt, kann jede Bildstahl im 3D-Raum beschieben weden. Aus dem Schnitt in einem Objektpunkt von mindestens zwei koespondieenden (homologen), äumlich veschiedenen Bildstahlen lässt sich diese Objektpunkt deidimensional bestimmen. In de Paxis bedeutet dies, dass von mindestens zwei veschiedenen Pespektiven ein Objektpunkt betachtet weden muss. Abbildung -7: photogammetisches Messpinzip [Luh] S.8.3. Innee Oientieung Die Paamete de inneen Oientieung bescheiben die innee Geometie de Messkamea, sowie Abweichungen vom mathematischen Modell de Zentalpespektive. Ausgegangen wid vom Modell de Lochkamea (Abbildung -8). Dabei wid die Kamea als äumliches System betachtet, das aus de ebenen Bildfläche (Film, Bildsenso-Matix) und dem davo angebachten Objektiv mit dem Pojektionszentum besteht. Die innee Oientieung bescheibt nun die Lage dieses Pojektionszentums zu Bildebene de Messkamea. Abbildung -8: Innee Oientieung (Lochkamea-Modell) [Luh] S.9 Die wichtigsten Kenngößen de inneen Oientieung, die mit in die Kollineaitätsgleichungen eingehen, sind: 4

18 Kameakonstante c : Abstand des Pojektionszentums zu Bildebene; bei eine unendlichen Fokussieung entspicht c de Bennweite. Bildhauptpunkt H : Lotfußpunkt des Pojektionszentums zum Bildkoodinatensystem (x,y ); häufig gleich de Bildmitte Paamete de Abbildungsfehle : Funktionen ode Paamete, die Abweichungen vom zentalpespektivischen Modell bescheiben (z.b. Radialvezeung, Tangentialvezeung) Im omalfall weicht eine fü die Messung nutzbae Kamea vom Gundmodell de Lochkamea ab. De Einsatz zusätzliche Objektive, instabile Kameaaufbauten ode eine nicht senkecht zu optischen Achse stehenden Bildebene efoden individuelle Kalibieungen. Bei Amateu-Kameas weisen so zum Beispiel die Linsen oftmals ehebliche Abbildungsfehle auf..3. Äußee Oientieung Die sechs Paamete de äußeen Oientieung legen die äumliche Lage de Messkamea im übegeodneten Koodinatensystem fest. Übe dei äumliche Rotationen (ω, ϕ, κ) und dei Tanslationen (,, Z ) wid das Bildkoodinatensystem in das übegeodnete Koodinatensystem abgebildet (siehe Abbildung -9). Abbildung -9: Äußee Oientieung [Luh] S. 35 Die äumliche Lage des Bildkoodinatensystems des bildaufzeichnenden Geätes wid duch den Vekto = (,,Z ) zum Pojektionszentum O definiet. Die äumliche Dehung wid 5

19 duch eine Dehmatix R = Rω. Rϕ. Rκ definiet, welche duch die dei Dehwinkel ω, ϕ und κ um die Koodinatenachsen des übegeodneten Koodinatensystems dagestellt weden kann. Die in das übegeodnete Koodinatensystem tansfeieten Koodinaten = (,,Z) des gesuchten Objektpunktes P können übe den Otsvekto und dem Vekto * vom Bildkoodinatenuspung zum Objektpunkt hegeleitet weden: = + Gleichung -9: Zusammenhang Objektpunkt-Vekto im MKS und WKS Da de Vekto * nicht diekt bestimmba ist, wid e übe den in de gleichen Richtung liegenden Bildvekto x = (x,y,z ) bestimmt, nachdem diese mit de Dehmatix und einem Maßstabsfakto m in das übegeodneten Koodinatensystem tansfomiet wude (z = -c): = m R x Gleichung -: Gleichsetzen von Vekto * Daaus folgt fü den Objektpunkt-Vekto : + m R x = Gleichung -: Esetzung von Vekto * Duch Umkehung von Gleichung - und zusätzliche Eweiteung um den Bildhauptpunkt H (x,y ) = x und einen Koektutem x = ( x, y ) fü die Bildkoodinaten folgt: x ( ) x x = / m R Gleichung -: Eweiteung um Bildhauptpunkt und Koektutem Duch Einsetzen von Gleichung - und Gleichung - in Gleichung - wid de Maßstabsfakto m eliminiet, und es folgen die Kollineaitätsgleichungen: 6

20 x y = x = y + z 3 + z 3 ( ( ( ( ) + ) + 3 ) + ) + 3 ( ( ( ( ) + ) + Gleichung -3: Kollineaitätsgleichungen 3 33 ) + ) ( Z Z ( Z Z ( Z Z ( Z Z ) + x ) ) + y ) Die Kollineaitätsgleichungen (Gleichung -3) bescheiben den mathematischen Zusammenhang de zentalpespektivischen Abbildung unte Einbeziehung de Bildkoodinaten (x,y ), de Objektpunktkoodinaten (,,Z), de inneen ( x, y,x,y,c) sowie äußeen Oientieung (ω,ϕ,κ,,,z ) des Bildes. Sie weden als die Gundlagen de Photogammetie bezeichnet, da sie Ausgangspunkt de wichtigsten Anwendungen de Photogammetie wie Vowätsschnitt, Rückwätsschnitt und des Bündelausgleiches sind. Pinzipiell ehält man übe die Zentalpojektion zwischen einem Objektpunkt, dem Pojektionszentum de Kamea und dem Objektbildpunkt zuest nu eine Richtungsinfomation. Auf diesem Bildstahl könnten sich noch unzählige andee Objektpunkte befinden. Zu Bestimmung de Objekt-Koodinaten fehlt somit die Länge. Est wenn de Objektpunkt mit einem weiteen geometischen Element zum Schnitt gebacht weden kann, z.b. mit eine weiteen Raumgeaden aus eine andeen Pespektive, liegen genügend Infomationen vo, den Punkt im Raum absolut zu bestimmen. Jedes beteiligte Bild spannt übe dessen gemessene Bildpunkte (homologe Bildpunkte) übe sein Pojektionszentum ein äumliches Stahlenbündel zu den Objektpunkten auf (Abbildung -7). Veknüpft man sämtliche von veschiedenen Positionen aus aufgenommen Bilden entstammende Stahlenbündel übe ihe homologen Objektpunkte (Veknüpfungspunkte), so entsteht ein dichtes etz von zusammenhängenden Raumstahlen, das bei geeignete Aufnahmekonfiguation (zum Beispiel goße Winkel zwischen den Bündelstahlen) eine hohe geometische Stabilität aufweist. Als homologe Bildpunkte weden Bildpunkte veschiedene Bildansichten bezeichnet, die den gleichen Objektpunkt abbilden. Mit de Methode de Bündeltiangulation (Bündelausgleich) lassen sich übe diesen geometischen Zusammenhang, mittels übebestimmte Ausgleichsechnung, die Oientieungswete de beteiligten Kameas und die zu messenden Objektpunkte bestimmen (Selbstkalibieung siehe Abschnitt 3) [Luh]..4 Phasogammetie Die Phasogammetie ist ein am Faunhofe-Institut in Jena (Institut fü Angewandte Optik und Feinmechanik) entwickeltes 3D-Mess-Vefahen. Wie aus dem amen schon hevogeht, stellt sie eine mathematisch geschlossene Veschmelzung de Methodiken de Photogammetie und de aktiven Mustepojektion da. Man vewendet hiebei einen Messaufbau, bei dem auf das Objekt von mindestens zwei veschiedenen Positionen Steifenmuste (Gay-Code und Phase-Shift) pojiziet weden. Die Steifenmuste weden hoizontal und anschließend, um 9 gedeht, vetikal pojiziet. Duch diese Pojektionsat können po Matix-Bildpunkt de Kamea dem Pojekto zwei Koodinatenwete (hoizontal und vetikal) zugeodnet weden (übliche Steifenpojektion nu eine). Somit kann de Pojekto als invese Kamea betachtet weden, auf den die gleichen photogammetischen Methoden (Koodinatenbeechnung, Kalibieung) angewendet weden können wie auf eine Messkamea. Zu Koodinatenbestimmung des Objektes gehen nun nu noch die vom Pojekto abhängigen Oientieungswete mit ein, was bei geometisch stabil aufgebauten Pojektoen zu hevoagenden Messegebnissen füht. 7

21 Eine de Kameas bleibt wähend des gesamten Messvoganges otsfest zum Objekt. Ihe Bildpunkte dienen dahe als vituelle homologe Punkte, die die Gundlage fü spätee photogammetische Auswetungen bilden. Man spicht hiebei von de Kalibiekamea, da ihe eigenen diekten Matix-Bildpunkte nu fü die Zuodnung de von ih von veschiedenen Positionen aus aufgezeichneten invesen Bildpunkte des Pojektos dienen. Die innee und äußee Oientieung diese Kalibiekamea ist dahe fü die weitee Auswetung nicht von Belang. Abbildung - veanschaulicht das geometische Aufnahmemodell de Phasogammetie, ausgehend von eine otsfesten Kalibiekamea und zwei Pojektopositionen. Da mit dem Phase-Shift-Vefahen geabeitet wid, ehält man po Objektpunkt übe einen vituellen homologen Matix-Bildpunkt (x,y ) de Kamea vie Phasenkoodinaten. Diese gemessenen Phasenwete (δx (i),δy (i) ) definieen zusammen mit ihem Pojektionszenten (O p (i) ) äumliche Stahlenbündel, die wie die Stahlenbündel de Photogammetie zu Koodinatenbeechnung und System-Kalibieung heangezogen weden können. Abbildung -: geometisches Aufnahmemodell de Phasogammetie [Luh] S.483 Die Veeinigung de Steifenpojektion und de Photogammetie efolgt mathematisch übe die aus de Photogammetie stammenden Kollineaitätsgleichungen (Gleichung -3). Dabei weden in den Gleichungen die üblichen Bildkoodinaten (x,y ) de Kamea duch die den Pojekto bescheibenden Phasenkoodinaten (δx (i),δy (i) ) und die Bildhauptpunkt- Koodinaten de Kamea duch die den Hauptpunkt des Pojekto-Pojektions-Matix bescheibenden Phasenkoodinaten (δx (i),δy (i) ) esetzt. Zu Übefühung in eine Längeneinheit weden die Phasenwete mit λ / π multipliziet (λ Gittekonstante im Pojekto). Damit egibt sich aus den Kollineaitätsgleichungen de Photogammetie: 8

22 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i y i i i i i i i i y i y i x i i i i i i i i x i x d Z Z Z Z c d Z Z Z Z c δ λ π δ δ δ λ π δ δ = = Gleichung -4: Kollineaitätsgleichungen mit Phasenkoodinten [Luh] S. 484 mit i : Index fü die Pojektoposition dδx,y (i) : Vezeichniskoektutem Da in die Kollineaitätsgleichungen (Gleichung -4) nu die Phasenwete (invesen Bildkoodinaten) des Pojektos eingehen, ohne Einbeziehung de Kamea-Paamete, spicht man auch von eine phasenwet-basieten Photogammetie. Den Aufnahme- und Auswetepozess zeigt Abbildung -: Steifenpojektion aus mindestens Richtungen mit jeweils um 9 gedehten Muste-Sequenzen Bildaufnahme Phasenwetbestimmung (Pojektokoodinaten = Phasenkoodinaten) Bündelausgleich Sensopaamete (Pojekto) 3D-Koodinaten des Gesamtobjektes Abbildung -: Aufnahme- und Auswetepozess de Phasogammetie Die Phasogammetie ist duch diese Messstategie in de Lage, die Kollineaitätsgleichungen übezubestimmen. Das heißt, duch Ausgleichsechnung mit meheen homologen Veknüpfungspunkten weden zuest die Systempaamete (innee und äußee Oientieung des Pojektos) und anschließend die Objektkoodinaten bestimmt. Diese Vogang wid als Selbstkalibieung bezeichnet. Zu Rundumvemessung von Objekten lassen sich phasogammetische Systeme auch zum etzwek eweiten, indem z.b. mehee Kalibiekameas otsfest um das Objekt positioniet weden und ein ode mehee Pojektoen das Objekt solange von allen Ansichten vemessen, bis jede Objektpunkt mindestens zweimal efasst wude. Phasogammetische Messsysteme zeichnen sich dahe duch folgende Punkte aus:

23 - aufgund de Simultankalibieung unempfindliche gegen äußee Einflüsse wie Tempeatuschwankungen und Vibationen - aufwändige Kalibieungspozeduen und kostenintensive Kalibieungstechnik entfallen - System wid vollständig duch den Pojekto beschieben; kein Einfluss de Kamea- Paamete (wenige Fehlequellen) - keine manuelle Inteaktion mit dem Objekt (Passmaken) duch das Modell de vituellen Passpunkte - Ganzköpe-Vemessungen übe automatisiete Rundumvemessung möglich - elative Messgenauigkeit von bis zu : [KH3]

24 3 Pinzip de Selbstkalibieung 3. Selbstkalibieung Wie man den Kollineaitätsgleichungen (Gleichung -3) entnehmen kann, egeben sich bei bekannten Oientieungsweten dei unbekannte Wete, die gesuchten Koodinatenwete, po Objektpunkt. Man muss demnach mindestens dei Gleichungen po Objektpunkt aufstellen, um das Gleichungssystem nach den Koodinaten aufzulösen. Diese Ansatz wid in de üblichen Steifenpojektion vefolgt (dei Wete: ein indiekte Pojektowet, zwei diekte Kameawete). Wenn nun diese Oientieungswete nicht voliegen, lässt sich das Lösungssystem nicht eindeutig bestimmen. Im Abschnitt zu Phasogammetie wude das Pinzip de invesen Kamea vogestellt. Duch eine Rotation de Pojektion ehält man einen vieten, linea unabhängigen Koodinaten-Wet po Objektpunkt. Diese entscheidende viete übeschüssige Messwet füht zu eine Übebestimmung de Kollineaitätsgleichungen. Mit Hilfe des Ausgleichungssatzes ist es nun möglich, duch Hinzunahme mehee Messpunkte (jeweils vie Gleichungen), ein lineaisietes omalgleichungssystem aufzustellen, welches die gesuchten Oientieungspaamete liefet. Weden im Rahmen diese Ausgleichsechnung nu zuvo gemessene Bildkoodinaten (zum Beispiel Phasenkoodinaten bei de Phasogammetie) eingesetzt, so spicht man von Selbstkalibieung. Vo ode wähend (online) de Messung kann somit die Kalibieung des Systems efolgen, mit anschließende Objektkoodinatenbestimmung. Wid ein Objektpunkt von meh als zwei Positionen duch den Pojekto und die Kamea efasst, lässt sich die Anzahl de homologen Bildpunkte po Bündel und die Redundanz noch weite ehöhen und somit die Messgenauigkeit steigen. Das Modell, das die veschiedenen Ansichten (Stahlenbündel) auf ein Objektpunkt mathematisch in Fom de Kollineaitätsgleichungen veeint, mit dem Ziel de Koodinatenund Oientieungsbestimmung, ist de Bündelblockausgleich (Bündeltiangulation). 3. Bündelblockausgleich Die echneische Veknüpfung de Stahlenbündel efolgt mit Hilfe homologe Bildpunkte. De Bezug zu einem übegeodneten Objektkoodinatensystem kann duch eine minimale Anzahl diese homologen Punkte hegestellt weden, so dass gößee passpunktlose Räume duch Mehbildvebände übebückt weden können (besondes Luftbildphotogammetie). Die wichtigste Bedingung fü die Veknüpfung de Stahlenbündel ist das möglichst optimale Schneiden veschiedene Stahlenbündel in gemeinsamen homologen Punkten (Abbildung 3-).

25 Abbildung 3-: Schnitt von Stahlenbündeln [Luh] S.66 Wie im Abschnitt zu Selbstkalibieung beschieben, weden nun in einem übebestimmten Gleichungssystem 3D-Objektkoodinaten, Oientieungspaamete de Bilde und weitee Modellpaamete duch Ausgleichung beechnet. Da alle gemessenen Gößen und unbekannten Paamete in einem simultanen Beechnungsvogang beücksichtigt weden, ist de Bündelblockausgleich das genaueste und leistungsfähigste Vefahen zu Punktbestimmung und Bildoientieung in de Photogammetie. Die Hauptaufgaben des Bündelblockausgleiches umfassen folgende Punkte: - Lösung goße omalgleichungssysteme (bis einige tausend Unbekannte) - Beschaffung von äheungsweten de Unbekannten (zu Lineaisieung des Gleichungssystems) - Aufdeckung und Elimination gobe Datenfehle In de Paxis untescheidet man zwei getennt entwickelte Anwendungsbeeiche: zum Einen den Bündelblockausgleich in de Luftbildphotogammetie und zum Andeen die ahbeeichsphotogammetie. Abbildung 3- stellt den Datenfluss de Bündeltiangulation da. Eingabewete sind voangig die gemessenen Bildkoodinaten. Zusätzliche Infomationen zum Objektaum (gemessene Stecken, Winkel, Punkte) können ebenso beücksichtigt weden und dienen de Maßstabsdefinition und de Lage des Objektkoodinatensystems. Zu Lineaisieung de Gleichungssysteme müssen äheungswete fü alle unbekannten Paamete mit angegeben weden. Diese können z.b. fü einfache Messaufbauten aus Planungsdaten ode Aufbauskizzen entnommen weden. Bei komplexeen Aufbauten weden die äheungswete duch iteative Vefahen bestimmt (siehe Abschnitt 4). Egebnisse des Bündelblockausgleiches sind vo allem die Objektkoodinaten und die Oientieungspaamete de Aufnahmebilde.

26 EIGABE gemessene Bildkoodinaten Passpunkte (homolge Punkte) äheungswete de Unbekannten BERECHUG Blockbündelausgleichung Vebesseung de Bildkoodinaten Äußee Oientieung AUSGABE 3D-Koodinaten de Objektpunkte Innee Oientieung Statistik Fehleanalyse Abbildung 3-: Datenfluss de Bündeltiangulation [Luh] S Ausgleichungsvefahen Ausgleichungsvefahen kommen dann zum Einsatz, wenn aus eine bestimmten Anzahl beobachtete (gemessene) Gößen eine bestimmte Anzahl unbekannte Gößen bestimmt weden sollen, wobei die Paamete in einem funktionalen Zusammenhang stehen. Falls die Zahl de gegebenen beobachteten Gößen die de Unbekannten übesteigt, so kann im Allgemeinen keine eindeutige Lösung meh emittelt weden. Man spicht in diesem Fall von einem übebestimmten Gleichungssystem. Die Lösung efolgt in eine Ausgleichs- Schätzung, welche vesucht innehalb von funktionalen und stochastischen Modellen die optimalen Lösungs-Paamete zu emitteln. Funktionales Modell: Die gegebenen Beobachtungs-Paamete (z.b. Bildpunkte) weden duch den Beobachtungsvekto L zusammengefasst: ( L, L, ) T L =, K L n Gleichung 3-: Beobachtungsvekto L De Unbekanntenvekto fasst die Wete de unbekannten, gesuchten Paamete zusammen: (,, ) T =, K u Gleichung 3-: Unbekanntenvekto 3

27 Fü die Lösbakeit des Ausgleichungspoblems muss die Anzahl n de Beobachtungen L mindestens genauso goß wie die Anzahl u de Unbekannten sein. Das funktionale Modell bescheibt den funktionalen Zusammenhang zwischen den wahen Weten de Beobachtungen L ~ und de Unbekannten ~, de duch den Funktionenvekto ϕ beschieben wid: L = ϕ ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ϕ ϕ = M ~ ( ) ϕ n ~ Gleichung 3-3: funktionales Modell Da aufgund von Messunsicheheiten die wahen (exakten) Wete nicht bekannt sind, weden de Beobachtungsvekto L duch die Vebesseungen v zum Vekto Lˆ und de Unbekanntenvekto duch die geschätzten (ausgeglichenen) Unbekannten ˆ esetzt. Hieaus egeben sich die Vebesseungsgleichungen: Lˆ = L + v = ϕ ( ˆ ) Gleichung 3-4: Vebesseungsgleichungen Die geschätzten Unbekannten lassen sich duch äheungswete weite zelegen in: = + xˆ Gleichung 3-5: Vebesseungen xˆ Es sind nun nu noch die Diffeenz-Betäge xˆ zu bestimmen. Übe die äheungswete lassen sich jetzt übe den funktionalen Zusammenhang (Gleichung 3-3) auch fü die Beobachtungen äheungswete emitteln L ( ) = ϕ, die abgezogen von den beobachteten Weten L die geküzten Beobachtungen liefen: l = L L Gleichung 3-6: geküzte Beobachtungen l 4

28 5 Die geküzten Beobachtungen sind ein Indikato fü die Güte de äheungswete. Je kleine die om von l, desto besse passen die Beobachtungen und äheungswete de Unbekannten übe das funktionale Modell zusammen. Bei hineichend kleinen Weten von xˆ (hineichend genaue äheungswete) können die Vebesseungsgleichungen duch eine Reihenentwicklung nach TALOR an den äheungsweten von beschieben weden, die nach dem esten Glied abgebochen wid: ( ) ( ) ( ) ( ) x L v L ˆ ˆ + = + = + ϕ ϕ ϕ Gleichung 3-7: TALOR-Reihenentwicklung an Die Lineaisieung des Gleichungssystems wid mittels de Diffeentialquotienten in de Designmatix A vollzogen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = =, u n n n u u u n A ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ L M O M M L L Gleichung 3-8: Designmatix A Hieaus esultieen die lineaisieten Vebesseungsgleichungen:,,,,, ˆ ˆ u u n n n n x A v l l = + = Gleichung 3-9: lineaisiete Vebesseungsgleichungen Die in de Matix A zwecks Lineaisieung mit äheungsweten (Statweten) beechneten Diffeentialquotienten bescheiben den funktionalen Zusammenhang zwischen den geküzten Beobachtungen l und den auszugleichenden (zu vebessenden) Unbekannten xˆ [Luh]. Das stochastische Modell bescheibt die Wahscheinlichkeitsveteilung de Beobachtungen übe eine Kovaianzmatix. Somit lassen sich die Beobachtungen diffeenziet gewichten, um den Ausgleichungspozess zu beeinflussen. Fü diese Abeit hat das stochastische Modell geinge Bedeutung, da hie einfachhalbe von eine Wahscheinlichkeits-Gleichveteilung de Beobachtungen ausgegangen wid.

29 Ausgleichung nach vemittelnden Beobachtungen: In diesem Ausgleichungs-Modell weden die Vebesseungen xˆ de Unbekannten so bestimmt, dass die Quadatsumme de Messabweichungen (Residuum) de Beobachtungen minimal wid und somit die theoetisch exakten Wete mit den gemessen Weten bestmöglich übeeinstimmen (Methode de kleinsten Quadate). Das funktionale Modell entspicht dem von Gleichung 3-9. Falls Statwete alle beteiligten Unbekannten vohanden und die Designmatix A, sowie de Vekto de geküzten Beobachtungen l aufgestellt sind, kann zu Bestimmung de Unbekannten xˆ das folgende Rechenschema eingesetzt weden. Bei de Ausfühung wid auf die stochastische Komponente vezichtet:. Aufstellen de omalgleichungen: xˆ n = u, u u, u u, u, = A u, n T u, n u, T n = A A n, u l n, u, Gleichung 3-: omalgleichungen. Auflösung de omalgleichungen: xˆ = u, u, u n u, T = A u, n A n, u A T u, n l n, 3. Vebesseungen emitteln: v = A xˆ l n, n, u u, n, 4. Beobachtungen ausgleichen: lˆ = n, Lˆ = n, l + n, L+ n, v n, v n, 5. Unbekanntenvekto vebessen: ˆ = + xˆ u, u, u, 6. Schlusspobe duchfühen (optional): Lˆ = ϕ ˆ n, u, 6

30 Da beim Bündelblockausgleich nu gobe äheungswete fü die unbekannten Gößen zu ewaten sind, lässt sich das Ausgleichungssystem nu iteativ lösen. Hiebei weden die in Schitt 5 vebesseten äheungswete eine Iteation k solange wiedeum als Statwete fü die nächste Ausgleichungs-Iteation k+ eingesetzt, bis die L-om de Unbekanntenzuschläge einen Genzwet untescheitet: k + = k + xˆ k Gleichung 3-: Unbekannten-Vebesseung eine Iteation k 3.. Mathematisches Modell des Bündelblockausgleiches De voige Abschnitt hat gezeigt: Falls zu Bestimmung eine gegebenen Anzahl von Unbekannten u meh Beobachtungen n voliegen, welche zueinande funktional veknüpft sind, so bietet sich als Lösung dieses übebestimmten Gleichungssystem ein Ausgleichungsvefahen an. Dies ist de Fall beim Bündelblockausgleich. Den funktionalen Zusammenhang zwischen den Beobachtungen (Bildkoodinaten) und den Unbekannten (innee und äußee Oientieung de Ansichten und Objektkoodinaten) bescheiben dabei die Kollineaitätsgleichungen (Gleichung -3). Die Kollineaitätsgleichungen, welche das mathematische Modell de Bündeltiangulation bilden, können nach Lineaisieung an äheungsweten diekt als Vebesseungsgleichungen nach kleinsten Quadaten vewendet weden. Zu Übebestimmung de Kollineaitätsgleichungen weden die Bildkoodinaten de beobachteten homologen Bildpunkte betachtet. Hiebei egibt eine Bildkoodinate jeweils fü den Odinaten- und Abszissen-Wet eine Vebesseungsgleichung: n = n Bildpunkte Gleichung 3-: Anzahl de Beobachtungen Die Anzahl de Unbekannten des Ausgleichungssystems kann wie folgt bestimmt weden: u = u ÄO n Ansichten + u IO n Kameas + u OP n Objektpunkte mit u ÄO : Anzahl de Paamete de äußeen Oientieung u IO : Anzahl de Paamete de inneen Oientieung u OP : Anzahl de Paamete eines Objektpunktes Gleichung 3-3: Anzahl de Unbekannten 7

31 8 Als Funktion de Beobachtungen weden folgende Unbekannte iteativ duch Ausgleichung nach vemittelnden Beobachtungen bestimmt: deidimensionale Objektkoodinaten ( i, i, Z i ) äußee Oientieung ( j, j, Z j, ω j, ϕ j, κ j) innee Oientieung (x k, y k, c k ) mit i: Punktindex j: Bildindex k: Kameaindex Mit Hilfe von äheungsweten de unbekannten Paamete weden die nicht-lineaen Kollineaitätsgleichungen nach TALOR lineaisiet: Substituiet man in den Kollineaitätsgleichungen die Zähle mit k, bzw. k und den enne mit, y k z y y x k z x x + + = + + = Gleichung 3-4: Substituieung de Kollineaitätsgleichungen [Luh] S.4 so weden die Diffeentialquotienten wie folgt gebildet: fü die äußee Oientieung: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] k z x k k k z x Z Z Z Z k z x k z Z x k z x k z x = + = = = = = cos sin cos κ κ κ κ ϕ ϖ

32 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] k z y k k k z y Z Z Z Z k z y k z Z y k z y k z y = = = = = = sin sin cos κ κ κ κ ϕ ϖ Gleichung 3-5: Diffeentialquotienten äußee Oientieung [Luh] S.4 fü die innee Oientieung: k c x x x = = k c y y y = = Gleichung 3-6: Diffeentialquotienten innee Oientieung [Luh] S.7 fü die Objektkoodinaten: ( ) ( ) ( ) k z Z x k z x k z x = = = ( ) ( ) ( ) k z Z y k z y k z y = = = Gleichung 3-7: Diffeentialquotienten Objektkoodinaten [Luh] S.7 Die geküzten Beobachtungen l des funktionalen Modells (Gleichung 3-9) egeben sich ebenfalls aus den Kollineaitätsgleichungen. Fü jede Vebesseungsgleichung wid dabei die aus den äheungsweten beechnete Bildkoodinate von de zugehöigen beobachteten Bildkoodinate subtahiet. Mit Hilfe diese Diffeentialquotienten und äheungswete fü jeden Paamete kann die Designmatix A aufgestellt weden. Zusammen mit den geküzten Beobachtungen l wid nach dem Rechenschema aus Abschnitt 3.. die Ausgleichsechnung duchgefüht und die vebesseten Unbekannten emittelt.

33 4 äheungswet-beschaffung Wie schon im voigen Abschnitt ewähnt, benötigt man fü die Lineaisieung de Kollineaitätsgleichungen und dem Bündelblockausgleich äheungswete fü alle an de Ausgleichung beteiligten Unbekannten. Hiebei wid davon ausgegangen, dass die innee Oientieung de Messkamea(s) und des Pojektos hineichend genau bekannt sind. Somit vebleibt nu noch die Bestimmung de Statwete fü die äußeen Oientieungen und die Koodinaten de Veknüpfungspunkte. 4. Relative Oientieung Das Pinzip de elativen Oientieung wid im Pogamm Scan 3D heangezogen, um äheungswete fü die äußee Oientieung de Pojekto- und Messkamea-Positionen zu ehalten. Diese äheungswete wiedeum weden vom anschließenden Bündelblockausgleich als Statwete benötigt. Hiebei findet das Vefahen des Folgebildanschlusses (elative Oientieung eines abhängigen Bildpaaes) Vewendung. De Vollständigkeit halbe sei noch auf das Vefahen de elativen Oientieung eines unabhängigen Bildpaaes hingewiesen, wobei die -Achse des Modellkoodinatensystems des linken Bildes gleich dem Basis-Vekto zum echten Bild definiet wid. De elative Oientieung bescheibt die äumliche Tanslation und Rotation eines Bildes elativ zu seinem Steeopatne in einem gemeinsamen Modellkoodinatensystem. Sie ist de este Schitt de zweistufigen Oientieung eines Steeobildpaaes. Im zweiten Schitt, de absoluten Oientieung, wid das bei de elativen Oientieung bestimmte Modellkoodinatensystem (MKS) in ein übegeodnetes Weltkoodinatensystem (WKS), inklusive Maßstabsanpassung, tansfomiet. Anschaulich beschieben wid beim Folgebildanschluss ein lokales deidimensionales MKS xyz in das Pojektionszentum des esten (linken) Bildes gelegt und paallel zu dessen Bildkoodinatensystem ausgeichtet (siehe unten): Abbildung 4-: elative Oientieung eines abhängigen Bildpaaes [Luh] S. 5 De Bildmittelpunkt des linken Bildes wid zum Uspung des MKS beide Bilde definiet, womit alle äußeen Oientieungs-Wete (Tanslationen und Rotationen) gleich ull sind. Das zweite Bild wid nun äumlich dazu mit den üblichen dei Tanslationen und dei Rotationen oientiet. 3

34 gegebene Paamete gesuchte Paamete x = ω = x = b x ω y = ϕ = y = b y ϕ z = κ = z = b z κ Tabelle 4-: gesuchte und gegebene Gößen de elativen Oientieung Gesucht ist also de äumliche Basisvekto b ( b [ b, b, b ] = ) zwischen den beiden Pojektionszenten O und O. Dem MKS kann ein beliebige Maßstab zugeodnet weden, da bei de elativen Oientieung nu die gegenseitige Oientieung de beiden Bilde zueinande beschieben wid. Hiefü wid eine de dei Komponenten des Basisvektos auf einen beliebigen konstanten Wet gesetzt (häufig b x =). Somit vebleiben nu noch fünf unbekannte Elemente (b y, b z, ω, ϕ, κ ) zu Bestimmung de elativen Oientieung (siehe Tabelle 4-) [Luh]. x y z 4.. Koplanaitätsbedingung Die elative Oientieung basiet auf de Koplanaitätsbedingung. Sie sagt aus, dass ein Objektpunkt P und die duch die Pojektionszenten O und O velaufenden Bildpunktvektoen und dieses Objektpunktes in eine Ebene liegen müssen. Man spicht hiebei von de Ken- ode Epipolaebene. Im Falle von zwei konvegenten Aufnahmen velaufen die Schnittgeaden (Epipolalinien) de Epipolaebene mit den Bildebenen schäg duch die Bilde. Im Falle des Steeonomalfalles liegen die Epipolalinien paallel zu - Achse de Bildebenen. Aus einem homologen Bildpunktpaa lässt sich jeweils eine Bedingungsgleichung aufstellen. Da fünf äußee Oientieungspaamete gesucht sind, weden fü die Lösung dieses auf de Koplanaitätsbedingung basieenden Gleichungssystems mindestens fünf homologe Bildpunktpaae benötigt. Ausdücken lässt sich die Koplanaitätsbedingung duch das Spatpodukt de dei die Epipolaebene aufspannenden Vektoen b,,. u wenn sich die Bildpunkt-Vektoen exakt im Objektpunkt P schneiden, wid das so gebildete Spatpodukt (Volumen) zu ull: ( b ) b,, = = Gleichung 4-: Koplanaitätsbedingung (Spatvolumen) Diese Gleichung lässt sich wiedeum auch als Deteminante de Matix, bestehend aus den dei Epipolaebenen-Vektoen b,,, ausdücken: = b b y z x y z x y z = Gleichung 4-: Koplanaitätsbedingung (in Deteminanten-Fom) 3

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