Tag der letzten Fachprüfung des Rigorosums: 15. Dezember Univ.-Prof. Dr. Peter Kleinschmidt

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2 Tg dr ltztn Fchprüfung ds Rgorosums: 15. Dzmbr 1999 Erstgutchtr: Unv.-Prof. Dr. Hns Zglr Zwtgutchtr: Unv.-Prof. Dr. Ptr Klnschmdt

3 Inhltsvrzchns 1 EINFÜHRUNG PROJEKTE UND PROJEKTPLANUNG Projkt Projktplnung BEHANDELTES THEMA UND GANG DER UNTERSUCHUNG PROBLEMBESCHREIBUNG PLANUNGSSITUATION: GRUNDSÄTZLICHE BEGRIFFE UND DEFINITIONEN Rssourcn Vorgäng Ablufbzhungn Bzhungn zwschn zw Vorgängn Bzhungn dr Vorgäng zur Umwlt ds Projkts Mhrr Ablufbzhungn zwschn dn glchn Bzugsztpunktn MODELLIERUNG VON PROJEKTABLAUFSTRUKTUREN AUF BASIS VON NETZWERKEN DAS TERMINPLANUNGSPROBLEM Chrktrsrung ds Trmnplnungsproblms Trmnplnung für ggbn Durchführungsmod Trmnplnung für unbstmmt Durchführungsmod DAS RESSOURCENPLANUNGSPROBLEM Chrktrsrung ds Rssourcnplnungsproblms Komplxtät ds Rssourcnplnungsproblms...61

4 2.5 OPTIMALITÄTSKRITERIEN Tchnsch orntrt Zlkrtrn Ökonomsch orntrt Zlkrtrn LITERATURÜBERSICHT ZUM RESSOURCENPLANUNGSPROBLEM EXAKTE VERFAHREN HEURISTISCHE VERFAHREN Unvollständg xkt Vrfhrn Vrfhrn bsrnd uf dm Konzpt dsjunktvr Pfl Vrfhrn bsrnd uf lokln Suchstrtgn Prortätsrglbsrt Vrfhrn Schmt zur Rssourcnplngnrrung Prortätsrgln HEURISTISCHE RESSOURCENPLANUNG GRUNDIDEEN GRUNDTYPEN DER PRIORITÄTSREGELBASIERTEN HEURISTIKEN Grundtp I Vrfhrn Rgln für d Vrfhrn vom Grundtp I Rgln zur Bstmmung dr Durchführungsmod Prortätsrgln Grundtp II Vrfhrn Rgln für d Vrfhrn vom Grundtp II Prortätsrgln Rgln zur Bstmmung dr Durchführungsmod...121

5 4.2.3 Grundtp III Vrfhrn Smultnrgln für d Vrfhrn vom Grundtp III EINPLANUNGSSCHEMATA ZUR RESSOURCENPLANGENERIERUNG Spzfsch Gmnsmktn dr Enplnungsschmt Prllls Enplnungsschm Srlls Enplnungsschm Modfzrts srlls Enplnungsschm EXPERIMENTELLE ANALYSE TESTINSTANZEN ERGEBNISSE DER EXPERIMENTELLEN ANALYSE Vrfhrnsgrundtpn und Enplnungsschmt Prortätsrgln Rgln zur Bstmmung ds Durchführungsmodus Smultnrgln Enzlhurstkn Lufztn Zusmmnfssung dr Anls LITERATURVERZEICHNIS NOTATIONEN...197

6 1 1 Enführung In nhzu lln mttlrn bs großn Untrnhmn wrdn Projkt zur Lösung komplxr, tls ntrdszplnärr Problm durchgführt 1. Mn knn durchus sgn, dß sch ds Projktmngmnt mttlrwl ls Orgnstonsform nbn dr hrrchschn Struktur ns Untrnhmns tblrt ht. Häufg wrd s db zur Lösung von Aufgbn vrwndt, wlch nn hohn Grd n Nurtgkt und Komplxtät ufwsn, d trdtonll Lnnorgnstonn hr uf lngfrstg Zlstzungn und Aufgbn usgrchtt snd. Solch m Rhmn ns Projkts bhndltn Problm könnn n dr Rgl ncht ntutv glöst wrdn. S bdürfn nr sstmtschn Plnung, um ds Rsko von Fhlntschdungn zu vrrngrn. Ds Projktmngmnt btt Mthodn und Vrfhrn zur Orgnston, Plnung, Übrwchung und Sturung ns solchn Projkts 2. D Vrwndung von Mthodn ds Projktmngmnts st hut n dr wsntlchn Vorusstzungn, Effznz und Innovtonsfähgkt von Untrnhmn zu stgrn, um sch m ntrntonln Wttbwrb zu bhuptn. Durch dn Enstz von Projktplnungsmthodn könnn durchschnttlch Ensprungn n Höh von tw 15% rzlt wrdn 3. Dm stht n durchschnttlchr Antl dr Plnungskostn n dn Projktkostn von crc 0,1% - 4% ggnübr 4. Problm dr Ablufplnung snd dhr st mhrrn Jhrzhntn vrstärkt uch n dr thortschn Btrchtung m Rhmn ds Oprtons Rsrch häufg bhndlt Thmn. 1 Altrntv wrd für n Projkt m folgndn uch dr Bgrff Vorhbn vrwndt. 2 Vgl. z.b. Schrödr (1970), S. 31 ff., Schmtz/Wndhusn (1986), S. 1 ff., Rnz (1994), S. 1 ff., Ltk (1995), S. 15 ff. 3 Vgl. Altrogg (1996), S. 6 f. 4 Vgl. Altrogg (1996), S. 6 f.

7 2 Ds Arbt btrchtt d Plnung ns Vorhbns mt komplxr Ablufstruktur 5 für dn Fll, dß d Enzlvorgäng 6 ds Projkts n vrschdnn Durchführungsmod usgführt wrdn könnn 7 und d zur Durchführung ds Vorhbns bnötgtn Rssourcn 8 nur bgrnzt zur Vrfügung sthn 9. Zur Lösung ds btrchttn Rssourcnplnungsproblms für ds Plnungsstuton sthn noch kn ggntn Algorthmn zur Vrfügung 10. In dsm Kptl wrdn zunächst d zntrln Bgrff dsr Arbt, nämlch Projkt und Projktplnung, rläutrt. D chrktrstschn Mrkml von Projktn wrdn dskutrt und d nzlnn Tlschrtt dr Projktplnung drglgt. Im zwtn Abschntt wrd ds Thm dsr Arbt bschrbn und dr Gng dr Untrsuchung rläutrt. 5 En Ablufstruktur wrd ls komplx bzchnt, wnn Mndst- und Höchstbstndsbdngungn zu brückschtgn snd. Wst s dggn nur Mndstbstndsbzhungn uf, so bzchnt mn s ls nfch Ablufstruktur, vgl. Abschntt Altrntv wrdn m folgndn uch d Bgrff Vorgng, Akton, Aktvtät odr Tlprozß vrwndt. 7 Dsr Fll wrd m folgndn uch ls Mhrmodus-Fll bzchnt. Im Ggnstz dzu sthn Projkt, drn Vorgäng nur jwls nm Durchführungsmodus ufwsn. Dsr Fll wrd ls Enmodus-Fll bzchnt. 8 Altrntv wrdn m folgndn uch d Bgrff Kpztätn odr Enstzmttl vrwndt. 9 D bhndlt Plnungsstuton wrd n Abschntt 2.1 dtllrt drgstllt. 10 Ds Rssourcnplnungsproblm wrd n Abschntt 2.4 drgstllt.

8 3 1.1 Projkt und Projktplnung Projkt Dr Projktbgrff wrd n dr Ltrtur häufg ls bknnt vorusgstzt, kurz ls nmlg Lstungsrstllung dklrrt odr nfch n Form von chrktrstschn Bspln rläutrt. En llgmngültg Dfnton ht sch dggn bshr noch ncht durchgstzt. Von fst lln Autorn, d nähr uf dn Projktbgrff nghn, wrdn jdoch d folgndn chrktrstschn Mrkml zur dduktvn Dfnton gnnnt 11. Zunächst ht jds Vorhbn ds Zl, n bstmmt Aufgb zu rfülln. Ds muß klr dfnrt und hnschtlch hrr Erfüllung zum Projktnd vrfzrbr sn. En solch Zlstllung stllt bsplsws d Hrstllung ns Schguts, ds Erbrngn nr Dnstlstung odr d Erfüllung nr ndrn Schufgb dr. Zur Durchführung ds Projkts wrdn Vrbruchsgütr, Btrbsmttl und Arbtskräft ngstzt. Hrb müssn jdoch vrschdn Bgrnzungn ztlchr, räumlchr, schlchr, fnnzllr, prsonllr odr ndrr Art brückschtgt wrdn. Bsplsws sthn häufg d zur Durchführung dr Vorgäng bnötgtn Rssourcn nur n bgrnztm Umfng zur Vrfügung. Auch knn s vorkommn, dß ds Vorhbn zu nm bstmmtn Trmn bndt sn muß. En wtrs Krtrum st d Enmlgkt ns Projkts. Dsbzüglch btonn ng Autorn d Enmlgkt dr btrffndn Lstungsrstllung ls chrktrstschs Mrkml 12, währnd ndr d wdrholt Durchführung ncht usschlßn, sondrn ldglch nmlg Bdngungn bzüglch ds spzfschn Vollzugs vrlngn Vgl. z.b. Rnz (1994), S. 3 ff., Schwrz (1994), S. 19 f., Ltk (1995), S. 16 f. 12 Vgl. z.b. Schr (1978), S. 5, Spnnr (1981), S Vgl. z.b. Gwld u.. (1972), S. 10, Wll u.. (1972), S. 16, Altrogg (1996), S. 1.

9 4 Offnschtlch st wohl d zwt Schtws zu bvorzugn, d ncht nzushn st, wrum d rnut Erstllung nr Lstung, bsplsws dr Bu nr Fbrk odr ns Krftwrks, untr gnz nun Bdngungn ncht ls Projkt nzushn und mt Hlf dr m Rhmn ds Projktmngmnts vrwndtn Mthodn zu btrchtn sn soll. B dr Dfnton ds Projktbgrffs wrd mst uch n hoh Komplxtät dr Vorhbn ls knnzchnnds Mrkml gnnnt. Dr Grd dr Komplxtät ns btrchttn Projkts knn db nhnd mhrrr Egnschftn chrktrsrt wrdn 14. Enn großn Enfluß ht zunächst d Anzhl dr zur Zlrfüllung durchzuführndn Enzlvorgäng 15. En ndrs Mrkml st d Anzhl dr zu bchtndn Abhänggktn zwschn dn nzlnn Tätgktn. Auch d Nurtgkt ns Vorhbns, sn Bdutung für ds Untrnhmn sow ds Rsko ns Vrfhlns ds Projktzls stlln Enflußgrößn für d Projktkomplxtät dr. Schlßlch wst n Projkt mst uch n hoh orgnstorsch Komplxtät uf, d n dr Rgl vl vrschdn Stlln ns odr sogr mhrrr Untrnhmn b dr Lstungsrstllung koordnrt wrdn müssn. Bsondrs häufg wrdn Forschungs- und Entwcklungsprojkt, Invsttons- odr Orgnstonsvorhbn durchgführt, jdoch snd ds ncht d nzgn Anwndungsbrch. Oft gnnnt Bspl snd d Entwcklung nur Produkt, tw ns Flugzugs odr ns phrmzutschn Produkts, Vorhbn ds Anlgnbus odr ds Hoch- und Tfbus, Instndhltungsprojkt, tw b Krnkrftwrkn, Produktnführungn, Entwcklung und Instllton nur Informtonssstm, Konzpton und Enführung von Orgnstonsändrungn odr uch Wltrummssonn. 14 Vgl. z.b. Schrödr (1970), S. 17 ff., Rnz (1994), S. 9 ff. 15 In dr Prxs könnn j nch Projktgröß und Dtllrungsgrd bs zu mhrr tusnd Vorgäng uftrtn. Lut nr Stud von Wslwsk bsplsws wsn 27 von 53 untrsuchtn Projktn mhr ls 1000 Vorgäng uf, n btrchtts Rumfhrtprojkt wurd sogr n 7000 Enzlktvtätn zrlgt, vgl. Wslwsk (1977).

10 Projktplnung D Projktplnung bfßt sch m Rhmn ds Projktmngmnts mt dr Durchführungsplnung ns Vorhbns untr Brückschtgung llr snr chrktrstschn Bsondrhtn. Schwrz dfnrt Projktplnung ls d gdnklch Vorwgnhm dr Projktrlsrung n nm Projktmodll zum Zwck nr optmln Erfüllung dr n nm Projkt nthltnn Aufgb 16. Als Ergbns rhält mn nn Projktpln, dr ls Sollvorgb für d Durchführung ds Vorhbns dnt. Zur Knnzchnung dr Optmltät ns Projktplns muß wtrhn n Zlsstm vorggbn sn 17. Prnzpll bstht dr Projktplnungsprozß us dn Phsn Projktbschrbung, Projktnls, Strukturplnung sow Vollzugsplnung, wlch nchnndr bgrbtt wrdn müssn. D Projktbschrbung bnhltt n dtllrt Anls dr Aufgbnstllung sow d Abgrnzung ds Projktumfngs. Auch muß dr gwünscht Fnhtsgrd dr Plnung bstmmt und ggbnnflls ds Vorhbn n Tlprojkt untrtlt wrdn. Wtrhn wrdn b dr Projktbschrbung d Orgnstonsstrukturn sow d Komptnzn dr Btlgtn fstglgt 18. Häufg fndn ds Informtonn Ndrschlg n dr Erstllung ns Pflchtnhfts ls Grundlg dr wtrn Projktplnung und Projktdurchführung. 16 Vgl. Schwrz (1978). 17 Wr btrchtn d Projktplnung n dsr Arbt usschlßlch ls Optmrungsplnung, b dr mn vrsucht, dnjngn Projktpln zu rrbtn, wlchr n vorggbns Zlsstm optml rfüllt. Im Ggnstz dzu stht d Ermttlungsplnung, wlch d Rssourcnplnung, Kostnplnung sow Fnnzplnung uf n rn Zuordnung dr bnötgtn Kpztätsbdrf, Kostn, Ennhmn und Ausgbn n d ntsprchndn Ztpunkt uf Grundlg ns gwähltn Trmnplns rduzrt. Zur Optmrungsplnung und Ermttlungsplnung vgl. z.b. Wslwsk (1975), S. 116 ff., Krznr (1979), S. 367 ff., Zglr (1986), S. 10 ff. 18 Vgl. Rnz (1994), S. 138 ff., Ltk (1995), S. 69 ff.

11 6 Im Anschluß n d Projktbschrbung rfolgt n dtllrt Projktnls. Ds untrsucht ds Vorhbn hnschtlch snr Struktur, snr Ablufbdngungn, dm Bdrf n Zt, Kpztätn und Mtrl sow dn zu rwrtndn Kostn. D nzlnn Anlsn solltn so snchron w möglch durchgführt wrdn, d sch d Tlbrch ggnstg bnflussn 19. Zur Anls dr Struktur ns Projkts wrd s n nzln Bstndtl zrlgt und zur übrschtlchn Drstllung n nm Projktstrukturpln bgbldt. D Aufgldrung rfolgt db übr mhrr Ebnn, zunächst n groß Tlufgbn und dnn mmr tfrgrfnd, bs dr gwünscht Fnhtsgrd rrcht und dr gsmt Projktbluf n nzln dfnrt Tlufgbn, sognnnt Vorgäng, untrtlt st 20. D Dtllrung dr Tlufgbn m Rhmn dr Strukturnls knn prnzpll blbg wt gtrbn wrdn. Mt stgndm Fnhtsgrd rhöht sch hrb dr Aufwnd für Plnung und Kontroll, währnd dr Aufwnd für Korrkturmßnhmn und ds Rsko von Trmnübrschrtungn snkn. Es st jdoch ncht möglch, nn optmln Dtllrungsgrd rchnrsch zu bstmmn. Mn muß sch vlmhr sukzssv n hn hrntstn 21. D Vrknüpfungn zwschn dn rmttltn Tlufgbn, lso Rhnfolg- und Abstndsbdngungn, wlch tw ufgrund tchnologschr, orgnstorschr odr rchtlchr Gründ nghltn wrdn müssn, wrdn nun m Rhmn dr Ablufnls rmttlt. Mt Hlf dsr Informtonn wrd dnn n Ablufpln rstllt, wlchr d zur Projktdurchführung uszuführndn Tätgktn sow drn Vrknüpfungn ufzgt. D Ztnls bwrtt zunächst d währnd dr Ablufnls rmttltn Bzhungn ztlch und klärt vntull zu bchtnd Trmnvorgbn. Wtrhn bstmmt s dn Ztbdrf für d Durchführung dr nzlnn Vorgäng. Db wrdn sch n dr Rgl 19 Vgl. Zglr (1986), S Vgl. Rnz (1994), S. 37 ff. 21 Vgl. Küppr u.. (1975), S. 72.

12 7 für n Tätgkt mhrr vrschdn Durchführungsmöglchktn rgbn, tw ufgrund vrschdnr zur Vrfügung sthndr Tchnologn. Für jd Möglchkt dr Vrrchtung nr Tätgkt, m folgndn Durchführungsmodus gnnnt, wrd sch dnn jwls n gnr Ztbdrf rgbn. D Bwrtungn dr Vorgngsdurn und dr ztlchn Vrknüpfungn könnn ntwdr nhnd von Ztbdrfsufzchnungn us dr Vrgngnht odr ufgrund subjktvr Schätzungn fstglgt wrdn 22. D Kpztätsnls und d Mtrlbdrfsnls dnn dr Ermttlung dr b dr Projktdurchführung vrwndtn Produktonsfktorn bzüglch dr bnötgtn Qultät und Qunttät. Jdr Tätgkt knn n bstmmtr Bdrf n Kpztätn und Mtrln zugwsn wrdn, wlchr wdrum vom gwähltn Durchführungsmodus bhängt. Aus dsm Grund solltn Ztnls, Kpztätsnls und Mtrlbdrfsnls smultn durchgführt wrdn. Im Rhmn dr Kostnnls snd d durch d Durchführung ds Projkts vrurschtn Kostn zu burtln. Ds umfssn Kostn, d durch d Vorgäng vrurscht wrdn, bsplsws durch dn Bdrf n Mtrln odr d Vrwndung von Rssourcn, sow vorgngsunbhängg nfllnd Kostn, bsplsws Vrwltungskostn. An d Projktnls schlßt sch d Strukturplnung n. In dsr Plnungsphs wrdn d rmttltn Dtn n nm sognnntn Strukturmodll bgbldt. Dss soll ds Projkt möglchst strukturtru und zwckmäßg m Hnblck uf d gwählt Plnungsufgb bbldn, d s ls Bss für d nschlßnd Vollzugsplnung dnt. Häufg wrdn hrzu Strukturmodll vrwndt, wlch uf lnrn Modlln odr Ntzwrkn bsrn. D Vollzugsplnung schlßlch stllt dn ssntlln Tl dr gsmtn Projktplnung dr. Zl st s, nn Pln zu rrbtn, uf dssn Grundlg ds Projkt durchgführt 22 Vgl. Küppr u.. (1975), S. 95.

13 8 wrdn knn. D Vollzugsplnung umfßt d Aspkt dr Ztplnung 23, Kpztätsplnung 24, Kostnplnung und Fnnzplnung. Im Rhmn dr Trmnplnung wrdn ll wsntlchn Informtonn übr d ztlchn Ablufmöglchktn ds Projkts rmttlt. Db wrdn Ztplän rrbtt, wlch dn grundsätzlchn Entschdungssplrum für d Enplnung dr zu vrrchtndn Tätgktn ufzgn. Ds bstmmn frühstmöglch und spätstmöglch Trmn für dn Bgnn odr ds End ns jdn Vorgngs. Wtrhn wrdn ztlch Frhtsgrd rmttlt, wlch b dr Projktdurchführung m Fll uftrtndr Störungn usgnutzt wrdn könnn. Kpztätsplnung, Kostnplnung und Fnnzplnung rmttln schlßlch Bdrfsplän für Kpztätn, Prsonl und Mtrl sow Kostn- und Fnnzplän. Aufgrund dr Intrdpndnzn zwschn dn nzlnn Plnungsbrchn st grundsätzlch n Smultnplnung nzustrbn. Allrdngs stllt sch dss n dr Prxs ls äußrst komplxs Problm hrus, so dß n dr Rgl d Tlbrch nzln ngplnt wrdn. D Kpztätsplnung stllt db dn m häufgstn untrsuchtn Tlbrch dr Vollzugsplnung dr. Konnt m Vrluf dr Vollzugsplnung kn hnschtlch dr ztlchn und kpztvn Bdngungn zulässgr Projktblufpln rmttlt wrdn, so müssn d Plnungsphsn dr Projktnls, dr Strukturplnung und dr Vollzugsplnung rnut durchlufn wrdn. B dr Projktnls müssn db d Rhmnbdngungn rnut untrsucht und flls möglch rlxrt wrdn. D nzlnn Tätgktn könnn hnschtlch hrr Durchführungsmöglchktn n wtrn Anpssungskombntonn untrsucht wrdn. Auch könnn möglchrws nzln Mndstbstndsbwrtungn vrklnrt odr Höchstbstndsbwrtungn vrgrößrt wrdn. Schlßlch knn mn vrsuchn, dr 23 Altrntv wrd m folgndn uch dr Bgrff Trmnplnung vrwndt. 24 Altrntv wrdn m folgndn uch d Bgrff Rssourcnplnung odr Enstzmttlplnung vrwndt.

14 9 Projktdurchführung zusätzlch Rssourcn zuzuordnn, bsplsws durch Übrstundn odr Sondrschchtn.

15 Bhndlts Thm und Gng dr Untrsuchung Ds Thm dsr Arbt st d Rssourcnplnung ns Projkts. Aufgb dsr Plnung st s, für n btrchtts Vorhbn nn zulässgn Projktblufpln zu ntwckln, wlchr d vorggbnn Ablufbdngungn brückschtgt und zu knr Übrschrtung dr Kpztätsgrnzn führt. Dr Bgrff ds Projkts sow d nzlnn Schrtt dr Projktplnung wurdn brts zuvor drgstllt. Im zwtn Kptl dsr Arbt wrd zunächst d zugrundglgt Plnungsstuton drgstllt. Es wrdn Vorhbn btrchtt, drn Vorgäng jwls n mhrrn Mod usgführt wrdn könnn. Wtrhn wsn d untrsuchtn Projkt komplx Ablufstrukturn uf. Bd Chrktrstk snd n dr Prxs häufg zu bobchtn und dhr für d Projktplnung rlvnt. In dr Ltrtur wrd ds Problm jdoch n dr Rgl nur vrnfcht btrchtt, so dß drzt kn Vrfhrn bknnt snd, wlch d bschrbn Projktplnungsstuton brbtn könnn 25. Zudm wrd n dr Rgl ngnommn, dß zwschn jwls zw Vorgängn n Ablufbzhung 26 nur zwschn drn Anfngsztpunktn odr dm Endztpunkt ds rstn und dm Anfngsztpunkt ds zwtn Vorgngs uftrtn könnn 27. D jdoch für dn btrchttn Mhrmodus-Fll ufgrund dr zunächst unbstmmtn Vorgngsdurn ncht ll Abluffolgn glchwrtg uf n Folg bgbldt wrdn könnn, wrdn n dsr Arbt xplzt ll Ablufbdngungn brückschtgt. D ds Rssourcnplnungsproblm n snr llgmnn Ausprägung xtrm schwr lösbr st, wrd b dr Such nch nm Lösungsvrfhrn m folgndn vrnfchnd 25 Vgl. d Übrscht bknntr Lösungsvrfhrn n Kptl Altrntv wrdn für Ablufbzhungn uch d Bgrff Anordnungsbzhung, Abstndsbzhung odr Rhnfolgbzhung vrwndt. 27 Zur Abbldung llr vr möglchn Kombntonn von Ablufbzhungn uf n nzg für dn Enmodus-Fll vgl. Brtusch u.. (1988).

16 11 ngnommn, dß ldglch n rnurbr Rssourc zur Projktdurchführung zur Vrfügung stht 28. Nch dr Bschrbung dr zugrundglgtn Plnungsstuton wrd d m Rhmn dr Projktplnung häufg vrwndt Modllrung dr Ablufstruktur ns Vorhbns mt Hlf von Ntzwrkn drgstllt. In dsr Arbt wrd db n llgmns Ntzplnmodll vrwndt, mt dssn Hlf ll uftrtndn Ablufbzhungn bgbldt wrdn könnn. Nch dr Dfnton ds Trmnplnungsproblms und ds Rssourcnplnungsproblms wrd schlßlch noch uf d zur Durchführung dr Kpztätsplnung bnötgtn Optmltätskrtrn nggngn. Es wrdn bknnt tchnsch und ökonomsch orntrt Zlfunktonn drgstllt. Ds drtt Kptl dsr Arbt gbt n Übrscht übr brts us dr Ltrtur bknnt Vrfhrn zur Lösung ds Rssourcnplnungsproblms. Im vrtn Abschntt wrdn vrschdn hurstsch Vrfhrn zur Lösung ds btrchttn Problms vorgstllt. All ds Hurstkn stlln prortätsrglbsrt Kontrktonsvrfhrn dr. Exkt Vrfhrn wrdn dggn ncht ntwcklt, d ds ufgrund dr Komplxtät ds Problms ncht n dr Lg snd, n ngmssnr Zt Lösungn für größr Projkt zu gnrrn 29. Prortätsrglbsrt Vrfhrn stlln hut d m häufgstn vrwndtn Hurstkn zur Lösung ds Rssourcnplnungsproblms dr. S snd mst ntutv vrständlch und ufgrund hrs rltv grngn Rchnufwnds uch n dr Lg, für größr Projkt n Lösung zu gnrrn. En bsondr Bdutung kommt hnn bzüglch jüngrr Ansätz zur hurstschn Lösung ds btrchttn Problms mt Hlf von Mult-Pss 28 Zur Dfnton dr vrschdnn Rssourcntpn vgl. Abschntt Zu xktn und hurstschn Ansätzn vgl. Kptl 3.

17 12 Vrfhrn sow Vrfhrn uf Bss loklr Such zu 30. Mult-Pss Vrfhrn bruhn druf, mt Hlf nr prortätsrglbsrtn Hurstk mhrr vrschdn Rssourcnplän durch Vrton dr Prortätsrgln bzhungsws zufällgs Bnflussn dr Prortätswrt zu gnrrn, von dnn drjng mt dm bstn Zlfunktonswrt gwählt wrd. Nur lokl Suchvrfhrn bsrn uf prortätsrglbsrtn Hurstkn, drn Prortätswrt mt Hlf ggntr Mthodn, w bsplsws Smultd Annlng odr Tbu Srch, zufällg vrändrt wrdn. Für d Qultät sowohl dr Mult-Pss ls uch dr lokln Suchvrfhrn st d gwählt Bsshurstk von großr Bdutung. En ndrr Enstzbrch für prortätsrglbsrt Hurstkn st d Gnrrung nr Anfngslösung, wlch von vln xktn Vrfhrn zunächst bnötgt wrd. Db wrd n gut Anfngslösung n dr Rgl zu nr strkn Lufztvrkürzung dr xktn Vrfhrn m Vrglch zu nr schlchtn Strtlösung führn. Für d prortätsrglbsrtn Vrfhrn wrdn dr Lösungsgrundtpn ntwcklt, wlch sch n dr Art dr Zuwsung ds Durchführungsmodus sow dr Enplnungsprortät ns Vorgngs untrschdn. Jdr dsr dr Tpn knn blbg mt nm dr dr vorgstlltn Enplnungsschmt kombnrt wrdn, nämlch dn bknntn prllln und srlln Schmt sow nr modfzrtn Vrson ds srlln Schms. Durch Auswhl nr ggntn Prortätsrgl sow nr Rgl zur Bstmmung dr Durchführungsmod dr Aktvtätn rgbt sch dnn n konkrt Hurstk zur Lösung ds Rssourcnplnungsproblms. D ntwckltn Vrfhrn wrdn m fünftn Kptl dsr Arbt nr xprmntlln Anls untrzogn. Db wrd uch dr Enfluß vrschdnr Optmltätskrtrn uf d Qultät dr vorgstlltn Hurstkn untrsucht. Btrchtt wrd zum nn d klsssch Mnmrung dr Projktdur, zum ndrn d Mnmrung dr gsmtn durch d Projktdurchführung vrurschtn Kostn für zw vorggbn Kostnstutonn. 30 Vgl. Kolsch (1996).

18 13 2 Problmbschrbung Für ds n dsr Arbt untrsucht Rssourcnplnungsproblm wrdn n dr Ltrtur vrschdn Plnungsmodll zugrundglgt 31. In dr Rgl wrdn db hnschtlch dr Plnungsstuton n snr llgmnn Ausprägung bstmmt Prmtr ngschränkt, um d Komplxtät ds Rssourcnplnungsproblms zu rduzrn. Häufg wrd bsplsws vorusgstzt, dß ds btrchtt Projkt n nfch Ablufstruktur ufwst. Vlfch wrd uch ds Auftrtn mhrrr Durchführungsmöglchktn ns Vorgngs vrnchlässgt odr, w uch n dsr Arbt, d Exstnz ldglch nr nzgn Rssourc mt übr d Projktdur konstntr Rssourcnvrfügbrkt ngnommn. Andr Sondrfäll ds Rssourcnplnungsproblms wrdn sogr n dr Ltrtur ls gnständg Problm untrsucht, bsplsws Job Shop und Flow Shop Schdulng 32. Eng Autorn hbn sch uch mt dr smultnn Plnung mhrrr Projkt bschäftgt 33. Dr rst Tl dss Kptls chrktrsrt nun d n dsr Arbt zugrundglgt Plnungsstuton. B dr Bschrbung dsr Stuton wrdn nur d für dn Schvrhlt rlvntn Elmnt und drn Egnschftn sow d rlvntn Bzhungn zwschn dn Elmntn und drn Egnschftn brückschtgt. Ds Drstllung ns brts ufbrttn und von lln Nbnsächlchktn und für d Problmlösung ncht rlvntn Aspktn brngtn Ausschntts dr Wrklchkt bzchnt mn ls mprschs Sstm 34. Es wrd vrbl und smbolsch bschrbn und lgt dm Rssourcnplnungsproblm zugrund. 31 Enn Übrblck übr vrschdn Plnungsmodll btn z.b. Domschk/Drxl (1991), Bruckr u.. (1999). 32 Vgl. z.b. Sprchr (1994), S. 10 ff. 33 Vgl. z.b. Prtskr u.. (1969), Kurtulus/Dvs (1982), Dumond/Mbrt (1988), Lwrnc/Morton (1993), Sprnz/Vrclls (1993), Mncrd u.. (1994). 34 Vgl. Dnklbch (1973).

19 14 D Abbldung ds mprschn Sstms mt Hlf von Strukturmodlln uf Bss von Ntzwrkn wrd m zwtn Abschntt drgstllt. Dr drtt Tl dss Kptls bschrbt zunächst ds Trmnplnungsproblm. D n dsr Arbt vorgstlltn prortätsrglbsrtn Hurstkn zur Lösung ds Rssourcnplnungsproblms stzn b hrr Anwndung Ergbnss us dr Trmnplnung vorus. Anschlßnd wrd uf d Bhndlung ds Problms b fstglgtn und b unbstmmtn Durchführungsmod nggngn. Im vrtn Abschntt wrd ds gntlch Rssourcnplnungsproblm dfnrt und dssn mthmtsch Komplxtät bschrbn. B dr Rssourcnplnung ls Optmrungsplnung bnötgt mn zur Evlurung dr Qultät vrschdnr Rssourcnplän stndrdsrt Krtrn, sognnnt Optmltätskrtrn. Vrschdn tchnsch und ökonomsch orntrt Zlkrtrn wrdn m fünftn Tl dss Kptls drgstllt.

20 Plnungsstuton: Grundsätzlch Bgrff und Dfntonn Wurd n Projkt zuvor noch ls großs Vorhbn mt dfnrtr Aufgbnstllung und hohr Komplxtät bschrbn, so soll n dsr Stll d dr bhndltn Rssourcnplnung zugrundlgnd Projktplnungsstuton nghndr chrktrsrt wrdn. D Grundbgrff b dsr Bschrbung snd db d Rssourcn, d Vorgäng, d Ablufbzhungn sow ds Optmltätskrtrum 35. D rstn dr Bgrff solln nun nähr rläutrt wrdn. Dn Optmltätskrtrn st nch dr Chrktrsrung ds gntlchn Rssourcnplnungsproblms n gnr Abschntt gwdmt 36. Im folgndn glt d Annhm, dß ll bnötgtn Dtn vrfügbr und gnzzhlg snd. Ds stllt kn Bnträchtgung dr Übrführbrkt dr Rltät n ds mprsch Sstm dr, d d Enhtn fr gwählt wrdn könnn und b hnrchnd kln gwähltr Enht ll Größn, bsplsws Vorgngsdur odr Kpztätsbdrf, ls gnzzhlg Größn bwrtt wrdn könnn Rssourcn Zur Durchführung ns Projkts wrdn Rssourcn bnötgt. Insgsmt sthn R Ν + vrschdn Kpztätstpn zur Vrfügung, um ds btrchtt Vorhbn durchzuführn 37. Jdr Enstzmttltp r, r=1(1)r, wrd durch sn Fähgktn bzhungsws d von hm zu vrrchtndn Aufgbn chrktrsrt. Bspl für vrschdn Rssourcntpn snd Arbtr untrschdlchr Ausbldungsrchtungn, 35 Vgl. Slownsk u.. (1994), Kolsch (1995), S Vgl. Abschntt In dsr Arbt wrd d Mng dr ntürlchn Zhln mt Ν { 0,1,2,... } ntürlchn Zhln mt = { 1,2,3,... } Ν + bzchnt. 0 =, d Mng dr postvn

21 16 tw Schlossr odr Murr, und Mschnn vrschdnr Funktonn, tw Drhmschnn odr Fräsmschnn. Jd Kpztätsrt stht währnd dr Durchführung ds Projkts n nr bstmmtn Qunttät zur Vrfügung 38. Hrb könnn zw vrschdn Blstungsgrnzn chrktrsrt wrdn. Zum nn wst jdr Rssourcntp r, r=1(1)r, n von dr 39 Prod t= ]t 1; t] bhängg Blstungsgrnz pro Prod KrPr (t) Ν0 uf, zum ndrn knn mn für jd Enstzmttlrt n kumulrt Mxmlvrfügbrkt pro Projkt K rpro Ν + untrschdn 40. Wnn bsplsws zur Durchführung ns Strßnbuprojkts n nr Prod mxml n gwss Anzhl n Trmschnn zur Vrfügung stht, so stllt ds n prodnbzogn Blstungsgrnz dr Rssourcnrt Trmschnn dr. En währnd dss Projkts mxml zur Vrfügung sthnd Mng Tr dggn wrd ls projktbhängg Blstungsgrnz ds Vrbruchsguts Tr vrstndn. Abhängg von dn Ggbnhtn bzüglch dr Rssourcnvrfügbrktn könnn dr Ktgorn n Rssourcn untrschdn wrdn 41. Üblchrws wrdn ds ls rnurbr, ncht rnurbr und dopplt bschränkt Kpztätn bzchnt In dsr Arbt wrdn nur d quntttvn Rssourcnmöglchktn btrchtt. Es wrd dvon usggngn, dß d zur Durchführung ds Projkts bnötgtn qulttvn Bdngungn durch d Rssourcn rfüllt wrdn. 39 Untr nr Prod vrstht mn d gwählt Ztuntrtlung, j nch Dtllrungsgrd könnn ds Stundn, Schchtn, Tg odr uch Wochn sn. Währnd nr Prod ändrn sch wdr d Rssourcnvrfügbrktn noch d Rssourcnblstungn. D Ztnht st db für ll uftrtndn Ztgrößn dntsch zu wähln. 40 Durch d Abbldung dr Rssourcnvrfügbrkt ls ztbhängg Funkton knn glchbdutnd uch d Ztchs klndrsrt wrdn. Ddurch rgbt sch bsplsws d Möglchkt, uch rbtsfr Tg b dr Rssourcnplnung zu brückschtgn. Explzt bhndlt wurd d Klndrsrung z.b. von Zhn (1992). 41 Vgl. z.b. Sprchr (1994), S. 1 f., Kolsch (1995), S. 7 f.

22 17 Untr nr rnurbrn Rssourc vrstht mn db n Kpztätsrt, wlch unbhängg von dr Projktdur n jdr Prod t n bstmmt ndlch groß, nchtngtv und n mndstns nr Prod postv mxml prodnbzogn Vrfügbrkt K rpr (t) ufwst. Dr möglch Gsmtvrbruch n dsr Rssourc währnd dr gsmtn Projktdur st jdoch unbgrnzt, so dß K = glt. D durch nn Rssourcnpln bstmmt Anzhl dr n dr Prod t zur Durchführung ds Projkts bnötgtn Enhtn r Pr o k rt n dr Rssourc r drf d prodnbzogn Vrfügbrkt K rpr (t) n knr Prod t übrschrtn, wnn ds Projkt durchführbr sn soll. Ncht rnurbr Kpztätn dggn snd ldglch n Bzug uf d gsmt Projktdur bschränkt. Für d Vrwndung nnrhlb nr Prod st dggn kn Obrgrnz vorggbn. D Vrfügbrktsknnwrt vrhltn sch dhr umgkhrt zu jnn rnurbrr Rssourcn, währnd K r Pr o wst nun nn ndlch großn postvn Wrt uf, K rpr (t) = ngstzt wrdn knn. Snnvollrws muß jdoch K rpr (t) = K r Pr o gltn. B dr plnrschn Btrchtung ns Projkts st s llrdngs rrlvnt, ob K rpr (t) = odr K rpr (t) = K r Pr o ngstzt wrd, d ohnhn mmr d Enhltung bdr Rssourcnvrfügbrktsschrnkn bchtt wrdn muß. Dr Gsmtbdrf n nr ncht rnurbrn Rssourc ls Summ ds sch us nm Rssourcnpln rgbndn prodnbzognn Bdrfs übr d gsmt Projktdur t P rt t= t P + 1 k drf lso d Vrfügbrkt K r Pr o ncht übrschrtn, wnn dr Kpztätspln durchführbr sn soll. Db rpräsntrn Projktnd 43. t P dn Projktbgnn und t P ds 42 En möglch Erwtrung dr bschrbnn Plnungsstuton stllt uch d Enführung tlws rnurbrr Rssourcn dr. Ds stlln n Kombnton us rnurbrn und ncht rnurbrn Rssourcn dr. Ihr Vrfügbrkt st jwls übr n bstmmt Plnungsdur, wlch mhrr Prodn umfßt, hnwg bschränkt, vgl. Kolsch/Pdmn (1997). 43 Vgl. Abschntt

23 18 Dopplt bschränkt Enstzmttl schlßlch wsn sowohl prodnbzogn ls uch projktbzogn n bschränkt Vrfügbrkt uf. K und K rpr (t) nhmn lso ndlch groß Wrt n. Snnvollrws knn mn jdoch nur dnn von nr dopplt bschränktn Rssourc rdn, wnn für mndstns n Prod t K rpr (t) < K r Pr o glt. r Pro Wr btrchtn n dsr Arbt nschränknd nur noch d Exstnz ns rnurbrn Rssourcntps. D somt R=1 glt, wrd dr Indx r m folgndn wgglssn. Wtrhn soll d prodnbzogn Rssourcnvrfügbrkt nn übr d gsmt Projktdur konstntn, prodnunbhänggn Wrt Rssourcntp glt w bschrbn dhr nchfolgnd unbrückschtgt. K Pr o K Pr = constnt ufwsn. Für dn rnurbrn =, d projktbzogn Vrfügbrkt blbt Vorgäng D zur Errchung ds vorggbnn Projktzls m Vrluf ds Vorhbns durchzuführndn Tätgktn wrdn ls Vorgäng bzchnt. Schwrz dfnrt Vorgäng ls n ztrfordrnds Gschhn nnrhlb ns Projkts mt dfnrbrm Anfng und End, b dm m llgmnn Arbtskräft, Nutzungsgütr und / odr Vrbruchsgütr bnsprucht wrdn 44. En Projkt bstht us I Ν + Enzlvorgängn. En solch Aktvtät knn bsplsws d Vrrchtung ns Arbtsgngs odr n Trnsportvorgng sn. Um ds Projkt rfolgrch zu bndn, muß jdr Vorgng gnu nml usgführt wrdn 45. Db sthn für d Durchführung jds Vorgngs, =1(1)I, jwls M Ν + 44 Vgl. Schwrz (1978). 45 Im Ggnstz hrzu st b vrschdnn stochstschn Ansätzn zur Projktplnung d Mng llr Vorgäng zwr bknnt, s müssn br ncht unbdngt ll Vorgäng durchgführt wrdn. Auch könnn Vorgäng vntull mhrfch usgführt wrdn. Ds Ansätz gnn sch vor llm b Forschungs- und Entwcklungsvorhbn, für d d hr btrchttn dtrmnstschn Modll wngr ggnt snd, vgl. z.b. Küppr u.. (1975), S. 298 ff., Elmghrb (1977), S. 321 ff.

24 19 Durchführungsmod zur Vrfügung 46. Jdr Modus m, m = 1(1) M, stht db für n ndr Art dr Ausführung ds Vorgngs, wob dr Erfolg nr Aktvtät unbhängg vom gwähltn Modus st. In dr Prxs st s oft möglch, Vorgäng n vrschdnn Anpssungskombntonn zu vrrchtn, bsplsws durch d Vrton von Mschnnntnstätn odr d Vrwndung vrschdnr Frtgungsmthodn. Dr gwählt Durchführungsmodus { 1,..., } m ds Vorgngs lgt d nzustznd M Produktonsfktorkombnton fst. Ddurch wdrum wrdn d postv Vorgngsdur D m Ν +, lso d Ztspnn, wlch zur Durchführung ds Vorgngs bnötgt wrd, und dr konstnt, postv Rssourcnbdrf k Ν + bstmmt 47. Sowohl d Dur ls uch dr Rssourcnbdrf ns Vorgngs snd db lln bhängg vom gwähltn Durchführungsmodus, ncht jdoch tw vom Ausführungsztrum 48. W obn bschrbn wrd wtrhn ngnommn, dß Dur und Rssourcnbdrf ds Vorgngs hnrchnd gnu ls nwrtg Größ gschätzt wrdn könnn und knn stochstschn Schwnkungn untrlgn. Dr Plnung wrdn lso dtrmnstsch Vorgngsgrößn zugrundglgt 49. m 46 En möglch Erwtrung ds bschrbnn Modlls brückschtgt Abhänggktn dr Durchführungsmod mhrrr Vorgäng. All zu vrrchtndn Aktvtätn snd db n dsjunkt Mngn ufgtlt, wob ll Vorgäng nr Mng m glchn Modus usgführt wrdn müssn, vgl. Slwsk u.. (1997). 47 Btrchtt mn mhrr Rssourcn, so st ntsprchnd mt jdm Durchführungsmodus n bstmmtr konstntr, nchtngtvr Bdrf k m r n jdr Rssourc r, r=1(1)r, vrbundn. Db st dr Rssourcnbdrf ns Vorgngs n jdm snr Durchführungsmod für mndstns nn Kpztätstp postv. 48 En möglch Erwtrung dss Modlls stllt d xplzt Erfssung von Rüstztn dr. Solltn b nm Projkt mhrr Vorgäng dn glchn Rüstprozß ufwsn, so muß b ufnndrfolgndr Enplnung solchr Aktvtätn nur nml grüstt wrdn. Ddurch st d gsmt Vorgngsdur uch bhängg von dr Enplnungsrhnfolg mhrrr Vorgäng, vgl. Kolsch (1995), S. 31 ff. 49 Im Ggnstz hrzu wrdn n dn zuvor rwähntn stochstschn Ansätzn zur Projktplnung tlws stochstsch Vorgngsdurn brückschtgt, vgl. z.b. Elmghrb (1977), S. 228 ff.

25 20 D Fordrung ns konstntn Rssourcnbdrfs dr Vorgäng währnd hrr Ausführung stllt kn Enschränkung dr, d Tätgktn mt schwnkndm Rssourcnbdrf m Rhmn dr Strukturnls n dr Ws n Tlvorgäng zrlgt wrdn könnn, dß d Enstzmttlnfordrungn ncht vrrn. Ds Tlvorgäng snd dnn j nch Lg dr Umständ mt ggntn Abstndsbdngungn zu vrknüpfn 50. Ist für jdn Durchführungsmodus Rssourcnbdrf m st ds Projkt ncht durchführbr 51. m, m = 1(1) M, ns Vorgngs { 1,..., I} dr k größr ls d prodnbzogn Rssourcnvrfügbrkt K Pr, so Sobld n Vorgng bgonnn wurd, drf r ncht mhr untrbrochn wrdn, sondrn muß bs zu snm End vrrchtt wrdn 52. Auch ds stllt kn wtr Enschränkung dr, d Aktvtätn, wlch n bstmmtn Stlln ds Durchführungsprozsss untrbrchbr snd, n dr Strukturnls wdrum n mhrr Tlvorgäng zu 50 In dr Rgl wrd mn zwschn dm Endztpunkt ds rstn und dm Anfngsztpunkt ds zwtn Tlvorgngs n ztlch Mndstbstndsbdngung und n ztlch Höchstbstndsbdngung, jwls dr Dur null, nfügn. Zu dn ztlchn Bzhungn vgl. Abschntt Für Projkt mt ncht rnurbrn Rssourcntpn muß wtrhn dr Gsmtrssourcnvrbruch ( k ) D ns Vorgngs für mndstns nn Durchführungsmodus klnr odr glch K Pr o sn, m m dmt ds Projkt durchführbr sn knn. Dmt n Vorhbn mt mhrrn Rssourcn lösbr sn knn, muß jdr Vorgng mndstns nn Modus ufwsn, wlchr glchztg d Bdngungn für d prodnbzogn ls uch d projktbzognn Rssourcngrnzn rfüllt. 52 In dr Ltrtur wrdn uch Plnungsmodll btrchtt, wlch untrbrchbr Vorgäng xplzt untrsuchn, vgl. z.b. Slownsk (1980), Slownsk (1981), Slownsk (1989), Dmulmstr/Hrroln (1996).

26 21 untrtln und ds Tlvorgäng dnn mt ntsprchndn Ablufbdngungn zu vrknüpfn snd 53. Vrbundn mt jdm Vorgng, =1(1)I, snd zw usgzchnt Bzugsztpunkt, nämlch sn Anfngsztpunkt t und sn Endztpunkt t 54. In Abhänggkt vom gwähltn Durchführungsmodus m glt db für jdn Vorgng + m, m Ν + (1) t D = t, m { 1,...,M }, = 1(1) I D Ablufbzhungn Bzhungn zwschn zw Vorgängn Aufgrund tchnologschr, orgnstorschr, rchtlchr odr ndrr Gründ bsthn oft zwschn nzlnn Vorgängn Ablufbdngungn, wlch b dr Durchführung ds Projkts nghltn wrdn müssn. Ds ztlchn Bzhungn bsthn db jwls zwschn zw Bzugsztpunktn, d ndutg dfnrbr sn müssn. In dsr Arbt wrdn nur d Anfngs- und Endztpunkt dr Vorgäng sow dr Projktbgnn und 53 J nch Lg dr Umständ muß mn zwschn dm Endztpunkt ds ztlch vorglgrtn Tlvorgngs und dm Strtztpunkt ds ztlch nchglgrtn Tlvorgngs nn Mndstbstnd dr Dur null und nn Höchstbstnd nfügn. Zu dn ztlchn Bzhungn vgl. Abschntt Dr Anfngs- bzw. Endztpunkt ns Vorgngs wrd durch d Ztspnn zwschn dm Nullpunkt dr modllntrnn Ztskl, wlchr n dr Rgl uf dn Projktbgnn gstzt wrd, und dm Ztpunkt ds Bgnns bzw. Abschlusss ds Vorgngs fstglgt.

27 22 ds Projktnd ls Bzugsztpunkt brückschtgt 55, 56. Eng Autorn hbn dnbn sognnnt Mlnstn dfnrt, wlch mrknt, b dr Plnung xplzt zu brückschtgnd Ergnss drstlln 57. En Ergns mrkrt db nn bstmmtn Zustnd nnrhlb ds Projkts, bsplsws dn Abschluß ns Tlprojkts. Im wtrn Vrluf dsr Arbt wrdn jdoch kn Mlnstn brückschtgt. Am häufgstn trtt n dr Rltät n ztlch Mndstbstndsbzhung zwschn zw Vorgängn uf 58. Db könnn ll vr möglchn Kombntonn zwschn dn Bzugsztpunktn uftrtn. Bstht zwschn zw Vorgängn und j n ztlch Bzhung drgstlt, dß Vorgng j frühstns n bstmmt Ztspnn nch Abschluß ds Vorgngs bgonnn wrdn drf, so st zwschn dn Bzugsztpunktn t und t j n nchtngtvr Mndstbstnd mt dr Bwrtung c j nzuhltn. Ds Bdngung läßt sch formulrn zu (2) t j j t c, (, j) R, cj Ν0, wob R d Mng llr Vorgngspr (, j) { 1,...,I} { 1,...,I}, j, drstllt, für d zwschn dm Endztpunkt ds Vorgngs und dm Anfngsztpunkt ds Vorgngs j n Mndstbstndsbzhung bstht. 55 Hndlt s sch b nm Bzugsztpunkt ncht um dn Anfngs- odr Endztpunkt ns Vorgngs odr ds Projkts, so muß d zughörg Abstndsbzhung übrführt wrdn n n Ablufbdngung bsrnd uf dm Bzugsztpunkt, wlchr d ztlch Lg ds prmärn Bzugsztpunkts fstlgt. Hndlt s sch dggn b nm Bzugsztpunkt um dn Bgnn odr dn Abschluß ns Tlvorgngs, so st s uch möglch, dn Vorgng n zw Aktvtätn zu untrtln und ds bdn mt ggntn Abstndsbzhungn zu vrbndn, vgl. Zglr (1986), S. 25 f. 56 Zur Bschrbung dr Ablufbzhungn sow drn formlr Drstllung vgl. Zglr (1986), S. 20 ff. 57 Vgl. z.b. Schwrz (1978).

28 23 En ztlch Bzhung dsr Form wrd ls Abstndsbzhung, dr Prmtr c j ls Bwrtung dr Abstndsbzhung bzchnt. In dr glchn Ws könnn nun uch Mndstbstndsbzhungn zwschn dn Anfngsztpunktn, Anfngs- und Endztpunkt sow dn Endztpunktn dr bdn Vorgäng formulrt wrdn: Vorgng j drf frühstns c j Ztnhtn nch Bgnn ds Vorgngs bgnnn: (3) t j j t c, (, j) R, cj Ν0. D Mng R nthält db ll Vorgngspr (, j) { 1,...,I} { 1,...,I}, j, b dnn n Mndstbstndsbdngung zwschn dn Anfngsztpunktn von Vorgng und Vorgng j nzuhltn st. Vorgng j drf frühstns c j Ztnhtn nch Bgnn ds Vorgngs bndt sn: (4) t j j t c, (, j) R, cj Ν0. All Vorgngspr (, j) { 1,...,I} { 1,...,I}, j, für d n Mndstbstnd zwschn dm Anfngsztpunkt von Vorgng und dm Endztpunkt von Vorgng j zu brückschtgn st, snd n dr Mng R nthltn. Vorgng j drf frühstns c j Ztnhtn nch End ds Vorgngs bndt sn: (5) t j j t c, (, j) R, cj Ν0. D Mng R nthält ll Vorgngspr (, j) { 1,...,I} { 1,...,I}, j, für d zwschn dn Endztpunktn dr Vorgäng und j n Mndstbstnd nzuhltn st. 58 Lut nr mprschn Untrsuchung von Hn snd m Mschnnbu b 87% llr ztlchn Bzhungn Mndstbständ zu brückschtgn, vgl. Hn (1969), S. 17.

29 24 Zw Bmrkungn sn n dsr Stll noch ngfügt. Zum nn sollt mn sch bwußt sn, dß n ztlchr Mndstbstnd n ndutg Rhnfolg zwschn dn bdn Bzugsztpunktn mplzrt. Es knn llrdngs vorkommn, dß d bdn Vorgäng ztlch übrlppnd usführbr snd, bsplsws wnn d ztlch Bwrtung c j ns Anfng-Anfng-Mndstbstnds klnr st ls d Vorgngsdur D m von Vorgng m gwähltn Modus m. Zum zwtn könnn ll Bzhungn, d hr mt Hlf dr frühstns nch Formulrung chrktrsrt wurdn, uch ls spätstns vor Bzhung usgdrückt wrdn. Bsplsws knn d Mndstbstndsbdngung dr Form t j t c j ntwdr formulrt wrdn ls Vorgngs j drf frühstns c j Ztnhtn nch Bgnn ds Vorgngs bgnnn odr ls Vorgng muß spätstns c j Ztnhtn vor Bgnn ds Vorgngs j bgonnn hbn. En Mndstbstnd soll lso n knr Ws n ztlch Fxrung ds nn odr ndrn Bzugsztpunkts usdrückn, sondrn ldglch d ztlch Lg dr bdn Ztpunkt zunndr bschrbn. Wlch dr bdn Formulrungn gwählt wrd, hängt m Enzlfll von dr Kusltät n dr Rltät b. Auf d Projktplnung ht ds jdoch knn Enfluß. Wtrhn soll fstglgt wrdn, dß b m Rhmn dr Rssourcnplnung n dsr Arbt btrchttn Projktn kn gschlossnn Folgn (,,...,, ) ν untrschdlchr Vorgäng uftrtn, für d zwschn jwls zw ufnndrfolgnd Vorgäng n Mndstbstndsbzhung dr Formn (2) - (5) zu brückschtgn st. Ds Vorusstzung lgt n dr Funktonsws dr zur prortätsrglbsrtn Rssourcnplnung vrwndtn Enplnungsschmt bgründt. B dsn knn n Vorgng j rst nch dr Enplnung llr ndrn Aktvtätn, für d n Mndstbstnd dr Form β j β j t t c,, β {,}, nzuhltn st, rfolgn 59. Bm Auftrtn nr solchn Vorgngsfolg könnt dnn d Enplnung mt knr dr Aktvtätn bgonnn und somt uch kn zulässgr Ablufpln rmttlt wrdn. 59 D Funktonsws dr Enplnungsschmt wrd n Abschntt 4.3 bschrbn.

30 25 B Vorlgn nr ztlchn Mndstbstndsbzhung zwschn zw Vorgängn knn s grundsätzlch vorkommn, dß dr Ztbstnd zwschn dn bdn Vorgängn blbg groß wrd. Häufg trtn jdoch n dr Rltät Umständ uf, wlch d Enhltung nr Höchstztspnn zwschn dn bdn btrffndn Bzugsztpunktn fordrn 60. Anlog zu dn ztlchn Mndstbständn könnn nun vr möglch Fäll n Höchstbstndsbdngungn formulrt wrdn: Vorgng j muß spätstns c j Ztnhtn nch End ds Vorgngs bgonnn hbn: (6) t j j t c, (, j) R, c j Ν +. D Mng R nthält db ll Vorgngspr (, j) { 1,...,I} { 1,...,I}, j, für d zwschn dm Endztpunkt von Vorgng und dm Anfngsztpunkt von Vorgng j n Höchstbstnd nzuhltn st. Vorgng j muß spätstns c j Ztnhtn nch Bgnn ds Vorgngs bgonnn hbn: (7) t j j t c, (, j) R, c j Ν +. All Vorgngspr (, j) { 1,...,I} { 1,...,I}, j, für d n solchr Höchstbstnd zwschn dn Anfngsztpunktn dr Vorgäng und j nzuhltn st, snd n dr Mng R zusmmngfßt. Vorgng j muß spätstns c j Ztnhtn nch Bgnn ds Vorgngs bndt sn: (8) t j j t c, (, j) R, c j Ν Lut nr mprschn Untrsuchung von Hn snd m Mschnnbu b 41% llr ztlchn Bzhungn Höchstbständ zu brückschtgn, vgl. Hn (1969), S. 17.

31 D Mng 26 R nthält ll Vorgngspr (, j) { 1,...,I} { 1,...,I}, j, für d n Höchstbstnd zwschn dm Anfngsztpunkt von Vorgng und dm Endztpunkt von Vorgng j nzuhltn st. Vorgng j muß spätstns c j Ztnhtn nch End ds Vorgngs bndt sn: (9) t j j t c, (, j) R, c j Ν +. All Vorgngspr (, j) { 1,...,I} { 1,...,I}, j, für d n solchr Höchstbstnd zwschn dn Endztpunktn dr Vorgäng und j zu brückschtgn st, snd n dr Mng R nthltn. Auch hr sn zw kurz Anmrkungn ngfügt. Im Ggnstz zu dn Mndstbständn mplzrn Höchstbständ kn ztlch Rhnfolg wdr dr Vorgäng noch dr Bzugsztpunkt. So st d ztlch Bzhung Vorgng j muß spätstns 10 Ztnhtn nch End ds Vorgngs bgonnn hbn rfüllt, wnn ntwdr Vorgng j 10 Ztnhtn nch End ds Vorgngs bgnnt, Vorgngs j lso nch Vorgng brbtt wrd, Vorgng j und Vorgng ztglch bgonnn und durchgführt wrdn, odr Vorgng j 10 Ztnhtn vor Bgnn von Vorgng bndt st, Vorgng j lso vor Vorgng durchgführt wrd. Zwtns knn mn nlog zu dn ztlchn Mndstbständn ll spätstns nch Bzhungn ltrntv uch ls frühstns vor Bzhungn formulrn.

32 27 Nbn dn sobn bschrbnn ztlchn Mndstbständn und Höchstbständn wrdn n dsr Arbt kn wtrn ztlchn Bzhungn zwschn zw odr mhrrn Vorgängn brückschtgt Bzhungn dr Vorgäng zur Umwlt ds Projkts Nbn dn Vrknüpfungn zwschn zw Vorgängn durch Mndstbständ odr Höchstbständ snd uch Bzhungn zwschn dn Vorgängn und dr Umwlt ds Projkts zu brückschtgn. Dzu wrdn zw usgzchnt Ztpunkt dfnrt, nämlch dr Projktbgnn t P und ds Projktnd t P. Es wrd fstglgt, dß dr Projktbgnn uf nr modllntrnn Ztskl dn Ztpunkt (10) t P = 0 drstllt 62. Anlog zu dn ztlchn Bzhungn zwschn Bzugsztpunktn zwr Vorgäng trtn uch Bzhungn zwschn dm Projktbgnn und dn Vorgängn, zwschn dm 61 Zglr bhndlt zusätzlch ltrntv Rhnfolgbdngungn, sognnnt dsjunktv Bzhungn sow Bündlbdngungn. Altrntv Rhnfolgbzhungn zwschn mhrrn Vorgängn trtn n dr Vrntn uf. Im rstn Fll dürfn mhrr Vorgäng n blbgr Rhnfolg, jdoch nmls zw von hnn glchztg durchgführt wrdn. B dr zwtn Vrnt stht n Vorgng n dsjunktvr Bzhung zu nr Anzhl ndrr Vorgäng, wlch jdoch untrnndr ncht dsjunktv vrknüpft snd. Schlßlch könnn noch dsjunktv Bzhungn dr Form uftrtn, dß n Vorgng ntwdr vor odr nch dr Ausführung nr Anzhl ndrr Aktvtätn ngplnt wrdn knn, jdoch n zwschn zwn dsr Vorgäng. Bündlbdngungn schlßlch sgn us, dß n Vorgng frühstns dnn bgonnn wrdn knn, wnn n blbgr Vorgng nr bstmmtn Vorgngsmng bgschlossn wurd, wlch wdrum untrnndr kn vorggbn Rhnfolg ufwsn. Zu dsjunktvn Bzhungn und Bündlbdngungn vgl. Zglr (1986), S. 41 ff. 62 Gnrll könnn uch ndr Fstlgungn rfolgn, bsplsws, dß ds Projkt ncht vor dm Nullpunkt dr modllntrnn Ztskl bgonnn wrdn knn. Ds würd durch d Bzhung t P 0 bgbldt wrdn.

33 28 Projktnd und dn Vorgängn sow zwschn Projktbgnn und Projktnd uf 63. Zunächst wrdn durch dn Projktbgnn d frühstmöglchn Enplnungsmöglchktn dr Anfngsztpunkt llr Vorgäng bgrnzt, d kn Vorgng vor dm Projktbgnn bgonnn wrdn drf. Ds Bzhung knn für ll Vorgäng mt dr Unglchung (11) P t t, =1(1)I, bschrbn wrdn. Anlog knn ds Projkt ncht bndt wrdn, bvor ll Vorgäng usgführt wordn snd. Dhr glt für ll Vorgäng d Unglchung (12) t P t, =1(1)I. Zusätzlch zu dsn slbstvrständlchn Ablufbdngungn könnn br uch Mndstodr Höchstbständ zwschn dm Projktbgnn und Anfngs- odr Endztpunktn nzlnr Vorgäng bsthn. Anlog zur Drstllung dr Mndst- und Höchstbständ zwschn zw Vorgängn könnn d Abstndsbzhungn zwschn dm Projktbgnn und bstmmtn Vorgängn durch d Unglchungn (13) t P P t c, R PA, c P Ν +, (14) t P P t c, R PA, c P Ν +, (15) t P P t c, R PA, P Ν + c und 63 Zusätzlch könnn für jdn Bzugsztpunkt zu brückschtgnd klndrbhängg Trmnuntrgrnzn und Trmnobrgrnzn bstmmt wrdn. Ds stlln Mndstbständ bzw. Höchstbständ zwschn dm Nullpunkt dr modllntrnn Ztskl und dm ntsprchndn Bzugsztpunkt dr. D b dr n dsr Arbt zugrundglgtn Plnungsstuton dr Projktbgnn uf dn Nullpunkt fxrt st, könnn ds Trmnuntrgrnzn und Trmnobrgrnzn jdoch glchwrtg uch durch Mndstbständ bzw. Höchstbständ zwschn dm Projktbgnn und dm btrffndn Bzugsztpunkt bgbldt wrdn. Zu Trmnuntrgrnzn und Trmnobrgrnzn vgl. Zglr (1986), S. 101 ff.

34 29 (16) t P P t c, R PA, c P Ν + drgstllt wrdn. Entsprchnd dzu könnn Mndst- und Höchstbstndsbzhungn zwschn bstmmtn Vorgängn und dm Projktnd folgndrmßn drgstllt wrdn: (17) t P P t c, R PE, c P Ν +. (18) t P P t c, R PE, c P Ν +. (19) t P P t c, R PE, c P Ν +. (20) t P P t c, R PE, c P Ν +. Anlog zu dn Mngn R PE, R PE, R PE, PE R,..., R bnhltn d Mngn R djngn Vorgäng { 1,..., I} dr Artn (13) - (20) nzuhltn snd. Db nthält d Mng R PA, R PA, R PA, R PA,, für d Abstndsbzhungn PA R ll Vorgäng { 1,..., I} und dm Anfngsztpunkt ds Vorgngs nzuhltn st., b dnn n Mndstbstnd zwschn dm Projktbgnn PA R ll Vorgäng { 1,..., I} und dm Endztpunkt ds Vorgngs nzuhltn st., b dnn n Mndstbstnd zwschn dm Projktbgnn PA R ll Vorgäng { 1,..., I} und dm Anfngsztpunkt ds Vorgngs nzuhltn st., b dnn n Höchstbstnd zwschn dm Projktbgnn PA R ll Vorgäng { 1,..., I} und dm Endztpunkt ds Vorgngs nzuhltn st., b dnn n Höchstbstnd zwschn dm Projktbgnn PE R ll Vorgäng { 1,..., I}, b dnn n Mndstbstnd zwschn dm Anfngsztpunkt ds Vorgngs und dm Projktnd nzuhltn st.

35 PE R ll Vorgäng { 1,..., I} 30 ds Vorgngs und dm Projktnd nzuhltn st., b dnn n Mndstbstnd zwschn dm Endztpunkt PE R ll Vorgäng { 1,..., I}, b dnn n Höchstbstnd zwschn dm Anfngsztpunkt ds Vorgngs und dm Projktnd nzuhltn st. PE R ll Vorgäng { 1,..., I} ds Vorgngs und dm Projktnd nzuhltn st., b dnn n Höchstbstnd zwschn dm Endztpunkt Nbn dn sobn drgstlltn Bzhungn zwschn dm Bzugsztpunkt ns Vorgngs und dm Projktbgnn odr dm Projktnd knn uch n Höchstbstndsbdngung zwschn Projktbgnn und Projktnd, lso n nzuhltnd Projkthöchstdur bgbldt wrdn. Ds wrd durch d Unglchung (21) t t P c PP, c P PP Ν +, flls n solch Projkthöchstdur vorggbn st, wdrggbn. In dsr Arbt soll gltn, dß ll Bwrtungn β uv c, u, v { P,1,..., I},, β {,}, u v, von Höchstbstndsbdngungn dr Form t β v t u c β uv, d zwschn zw Bzugsztpunktn t u und β t v nzuhltn snd, postv snd. Sollt nml n β Höchstbstnd mt dr Bwrtung c uv = 0 zu brückschtgn sn, so knn ds Bzhung glchbdutnd durch nn ntggngstztn Mndstbstnd dr Form u β v β vu β t t c mt dr Bwrtung c vu = 0 bgbldt wrdn. Ds Vorusstzung stllt wdrum d Funktonsfähgkt dr b dr prortätsrglbsrtn Rssourcnplnung vrwndtn Enplnungsschmt schr.

36 Mhrr Ablufbzhungn zwschn dn glchn Bzugsztpunktn 31 In dr Rltät knn s vorkommn, dß zwschn zw Bzugsztpunktn t u und t β v, u, v { P,1,..., I},, β {,}, u v, glchztg mhrr ztlch Bzhungn dr obn rläutrtn Tpn uftrtn. Bsplsws knn s vorkommn, dß n Vorgng j us tchnschn Gründn frühstns 5 Ztnhtn nch Abschluß ns ndrn Vorgngs bgnnn knn und glchztg us rchtlchn Gründn frühstns 10 Ztnhtn nch Abschluß jns Vorgngs bgnnn drf. In dsr Arbt solln jdoch m folgndn nur noch jwls n Mndst- und n Höchstbstndsbzhung zwschn zw Bzugsztpunktn gstttt sn 64. Db wrd mmr d domnrnd ztlch Bzhung bbhltn. Ddurch wrd d spätr Btrchtung m Rhmn dr Rssourcnplnung rlchtrt und von für d Rssourcnplnung rrlvntn Aspktn bfrt. Solltn n 2 Mndstbstndsbzhungn zwschn zw Bzugsztpunktn t u und t β v, u,v { P,1,...,I},, β {, }, u v, xstrn mt dn Bwrtungn c µ, µ = 1(1) n, so β uv wrd m folgndn nur noch d Mndstbstndsbzhung β uv = mx µ= 1(1)n { c β µ } c brückschtgt. uv β v u β uv t t c mt Solltn n 2 Höchstbstndsbzhungn zwschn zw Bzugsztpunktn t u und t β v, u, v { P,1,..., I},, β {,}, u v, xstrn mt dn Bwrtungn c µ, µ = 1(1) n, so β uv wrd m folgndn nur noch d Höchstbstndsbzhung β uv = mn µ= 1(1)n { c µ } β uv c brückschtgt. β v u β uv t t c mt 64 Zglr wst usdrücklch drufhn, dß ddurch d Strukturtru zwschn Rltät und mprschn Sstm vrltzt wrd und n Informtonsvrlust uftrtt, vgl. Zglr (1986), S. 49.

37 32 Wtrhn soll n dsr Stll vrnbrt wrdn, dß b glchztgm Vorlgn nr Mndstbstndsbdngung mt dr Bwrtung β uv c, u, v { P,1,..., I},, β {,}, u v, zwschn zw Bzugsztpunktn t u und β t v dr Form β v u β uv t t c und nr ggngrchttn Höchstbstndsbdngung zwschn dn Bzugspunktn t β v und t u dr Form u β v β vu t t c nur rstr Mndstbstndsbdngung brückschtgt wrdn soll, d s d ntggngrchtt Höchstbstndsbzhung domnrt. Ds st klr rschtlch, d glchztg us dr Mndstbstndsbdngung β v u β uv t t c und us dr Höchstbstndsbdngung u β v β vu t t c odr umgstllt β v u β vu t t c nzuhltn snd und sowohl β c uv ls uch β c vu lut Vrnbrung nchtngtv snd. D nun zwschn zw Bzugspunktn t u und β v t, u, v { P,1,..., I},, β {,}, u v, jwls höchstns n Mnml- und n Mxmlbstndsbdngung zu brückschtgn snd, nthltn d Mngn d Mngn PA R,..., R,..., PE R jds Vorgngspr (, j) { 1,...,I} { 1,...,I} R jdn Vorgng { 1,..., I} und jwls mxml nml. Aus dsm Grund knn n dsr Arbt uf d Vrwndung von Multmngn vrzchtt wrdn 65. Allrdngs snd ds Mngn ncht dsjunkt, d zwschn zw Bzugsztpunktn mhrr Abstndsbzhungn dr Artn (2) - (9) bzhungsws (13) - (20) bsthn könnn. Wtrhn s n dsr Stll noch ngmrkt, dß b glchztgm Vorhndnsn ns ztlchn Mndstbstnds dr Art β v u β uv t t c,, v { P,1,..., I} u,, β {,}, u v, und ns ztlchn Höchstbstnds dr Art β v u β uv t t c zwschn zw Bzugsztpunktn t u und t β v d Bdngung Ablufstruktur logsch konsstnt st. β uv β uv c c gltn muß, dmt d 65 Solln jdoch uch mhrfch uftrtnd Abstndsbdngungn zwschn dn glchn Bzugsztpunktn xplzt modllrt wrdn, so müssn Multmngn vrwndt wrdn, vgl. Zglr (1986), S. 110 ff.

38 Modllrung von Projktblufstrukturn uf Bss von Ntzwrkn Zur Abbldung dr Ablufstruktur ns Projkts könnn vrschdn Artn formlr Modll vrwndt wrdn. Untr nm Modll vrstht mn hrb n vrnfchts Bld ns Ausschntts dr Wrklchkt, ds d gdnklch Durchdrngung komplxr Schvrhlt rmöglchn soll 66. Es muß dm mprschn Sstm, ds s bbldt, strukturglch odr strukturähnlch sn, dmt Rückschlüss vom Modll uf d Wrklchkt gzogn wrdn könnn 67. Bsondrs häufg wrdn n dr Ltrtur Strukturmodll uf Bss von lnrn Modlln odr Ntzwrkn formulrt. En lnrs Modll stllt n Sstm smultn zu rfüllndr Glchungn und Unglchungn dr. En gmäß dr n Abschntt 2.1 bschrbnn Plnungsstuton vorggbn Projktblufstruktur wurd lso brts durch d Bzhungn (1) - (21) ls lnrs Modll formulrt. D zwt häufg vrwndt Möglchkt zur Modllrung von Projktblufstrukturn stlln Ntzwrk dr, wlch uf dr Grphnthor bsrn 68. Untr nm Ntzwrk vrstht mn n Tupl (22) N = (V,E ), c wlchs us nr Mng V von Elmntn und nr Mng gnzzhlgn Zhl j c bwrttn, gordntn Prn (, j), c ) ( V V, Ζ) E c von mt nr ( j, bstht 69. D 66 Vgl. Zglr (1986), S. 20. Zu wtrn Dfntonn ds Modllbgrffs vgl. z.b. Dnklbch (1973), Vfhus (1982), S. 66 ff. 67 Vgl. Dnklbch (1973), Bmbrg/Connbrg (1996), S. 12 ff. 68 Vgl. z.b. Numnn (1987), S. 6 ff., Numnn/Morlock (1993), S. 176 ff., Domschk/Drxl (1995), S. 57 ff.

39 34 Elmnt V wrdn db ls Knotn bzchnt. D Elmnt (, j),c j ) Ec hßn bwrtt Pfl und bschrbn d Bzhungn zwschn dn Knotn und j. D Bwrtung j c ns Pfls (, j),c j ) Ec Bzhung zwschn dn Knotn und j. wrd ls sn Läng bzchnt und bwrtt d Um n Projktblufstruktur mt Hlf von Ntzwrkn drzustlln, bdnt mn sch vrschdnr Mthodn, d untr dm Bgrff Ntzplntchnk zusmmngfßt snd 70. Zunächst knn mn sognnnt Vorgngspflntzplän vrwndn. Ds ghn uf d 1956/1957 ntwcklt Crtcl Pth Mthod zurück und wrdn dhr häufg ls CPM- Ntzplän bzchnt. Db wrdn d Vorgäng ds Projkts ls Pfl bgbldt, wob dr Pflschft dm Vorgngsnfng und d Sptz dm Vorgngsnd ntsprcht. En Knotn knn ls n Ergns m Projktbluf ntrprtrt wrdn. Es trtt n, wnn ll zu dsm Ergns führndn Vorgäng bgschlossn snd. Mndstbständ wrdn ls zusätzlch nzufügnd Schnvorgäng drgstllt. En schwrwgndr Nchtl dr Vorgngspflntzplän st d fhlnd Möglchkt, ztlch Mxmlbstndsbdngungn drzustlln. S snd dhr nur ggnt für Projkt mt nfchr Ablufstruktur, b dnn ds ncht uftrtn. D zwt grundsätzlch Drstllungsmöglchkt snd Vorgngsknotnntzplän. B dsn wrdn d Vorgäng odr d Anfngs- odr Endztpunkt dr Vorgäng uf dn Knotn ds Ntzwrks bgbldt, währnd d bwrttn Pfl d ztlchn Ablufbdngungn wdrgbn. So stlln b dr Mtr Potntl Mthod (MPM) d Knotn d Anfngsztpunkt dr Vorgäng und Pfl d Ablufbdngungn dr. In dr grphschn Drstllung könnn wtr wsntlch Dtn w Vorgngsdur odr Rssourcnbdrf n dn Knotn bgbldt wrdn. D mstn ntwckltn Vorgngsknotnntzplän hbn dn Nchtl, nur n Art von Abstndsbzhungn 69 Allgmn knn mn uch n rllzhlg Pflbwrtung dfnrn, ufgrund dr n Abschntt 2.1 gtroffnn Annhm wrdn n dsr Arbt jdoch nur gnz Zhln zugordnt. D Mng dr gnzzhlgn Zhln wrd db mt = {..., 2, 1,0,1,2,... } Ζ bzchnt. 70 Vgl. z.b. Wll u.. (1972), S. 35 ff., Schwrz (1983), S. 35 ff., Numnn (1987b), S. 168 ff., Numnn/Morlock (1993), S. 226 ff., Rchrt (1994), S. 3 ff., Schwrz (1994), S. 11 ff.

40 35 bzubldn. D MPM brückschtgt bsplsws nur Bzhungn zwschn dn Anfngsztpunktn dr Vorgäng. Andr Ablufbdngungn müssn dmntsprchnd übr d Glchung t m + D = t ngpßt wrdn. Ddurch könnn bstmmt ztlch Abstndsbzhungn ncht strukturtru wdrggbn wrdn. Ds ht nsbsondr zur Folg, dß d Konsqunzn von Vorgngsdurvrändrungn ncht unmttlbr, sondrn nur mt Hlf zusätzlchr Informtonn rschtlch snd. Dsr Arbt lgt n llgmns Ntzplnmodll zugrund 71. Db wrd jdm Bzugsztpunkt, lso dn Anfngs- und Endztpunktn dr Vorgäng sow dm Projktbgnn und dm Projktnd n Knotn zugordnt 72. D Mng dr Bzugsztpunkt dr Projktblufstruktur läßt sch lso durch d Knotnmng { t, t, t,..., t,t, t } P 1 1 I I P V = bschrbn. D ztlchn Bzhungn zwschn dn Bzugsztpunktn wrdn durch d grchttn, bwrttn Pfl ds Ntzwrks wdrggbn. D Rchtung sow d Bwrtung dr Pfl hängn db von dr bgbldtn ztlchn Ablufbzhung b. Ist zwschn zw Bzugsztpunktn t u und β t v, t u, t β v V, n Mndstbstnd n Höh von c β uv Ztnhtn nzuhltn, so wrd ds durch nn Pfl vom Knotn t u zum Knotn t β v mt dr Bwrtung β d.h. s glt ( tu,tv),cuv ) Ec β zwschn dn Bzugsztpunktn t u und t β v, Knotn t β v zum Knotn t u dr Bwrtung β c uv bgbldt,. Ist n Mxmlbstnd n Höh von c β uv Ztnhtn t u, β uv t β v V, nzuhltn, so st dr Pfl vom c nzufügn. Es glt ( tv,t u ), c β uv Ec β. D Bzhung t m + D = t (1) knn äquvlnt uch durch d bdn Unglchungn 71 Vgl. Zglr (1986), S. 137 ff. 72 Vrwndt mn n Modll, b dm dr Projktbgnn ncht ntsprchnd dr Bzhung t P = 0 fstglgt wrd, so bnötgt mn zusätzlch nn Knotn, wlchr dn Nullpunkt uf dr modllntrnn Ztskl rpräsntrt.

3.1 Definition, Einheitsvektoren, Komponenten, Rechenregeln, Vektorraum

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