FEM-gestützte Ableitung von Magnetkreismodellen für elektromagnetische Aktoren

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1 FEM-gestützte Ableitung von Magnetkreismodellen für elektromagnetische Aktoren Peter Schneider Fraunhofer-Institut für Integrierte Schaltungen, Außenstelle EAS Dresden Zeunerstr. 38, Dresden, Summary: Electromagnetic actuators, e.g. solenoid valves or relays, are widely used technical systems. In the system design process models of electromagnetic actuators on different levels of abstraction are needed. For the development and optimization of an actuator very exact FEM simulations are necessary. Simplified models of all system components must be implemented for simulations of the entire system. The focus of such a system level simulation is on the investigation of the interactions of the different modules. An approach is introduced, how to derive models for system simulators like SABER or ELDO from FEM simulation results. Based on magnetic field calculations with ANSYS the partitioning of the structure is performed. Using the behavioural description language of the system simulator simplified models of the system are implemented. In the paper the application of the approach is demonstrated on examples. The steps from the execution of the FEM calculations, the postprocessing of simulation results and the model creation are shown. Keywords: electromagnetic actuator, relay, system simulation, FEM based model generation, network models 1

2 1 Einleitung Aktoren mit elektromagnetischem Wirkprinzip, wie z.b. Magnetventile oder Relais, werden in vielen technischen Systemen als Stellglieder eingesetzt. Für Simulationen beim Systementwurf werden Modelle elektromagnetischer Aktoren auf unterschiedlichen Abstraktionsniveaus benötigt. Während für die Entwicklung und Optimierung des Aktorelementes meist sehr genaue Berechnungen, z.b. mit der Methode der Finiten Elemente (FEM) [Zie-91], nötig sind, müssen für Gesamtsystemsimulationen, bei denen die Untersuchung des Zusammenspiels der verschiedenen Baugruppen im Vordergrund steht, vereinfachte Modelle aller Systemkomponenten bereitgestellt werden. Nachfolgend werden Möglichkeiten vorgestellt, mit denen Modelle des magnetischen Kreises elektromagnetischer Aktoren für Systemsimulatoren wie SABER [SAB-98] oder ELDO [ELD-98] abgeleitet werden können. Ausgehend von geometrischen Überlegungen oder von Ergebnissen von Magnetfeldberechnungen mit ANSYS wird die Struktur partitioniert und mit Hilfe der Verhaltensbeschreibungssprache des Systemsimulators in vereinfachte Modelle umgesetzt. An Beispielen wird die Vorgehensweise für die unterschiedlichen Ansätze demonstriert. 2 Möglichkeiten zur Berechnung des Verhaltens magnetischer Systeme Zur Berechnung elektromagnetischer Felder existieren verschiedene Möglichkeiten. In Abhängigkeit von der Komplexität der Geometrie und dem Untersuchungsziel muß die entsprechende Analysemethode ausgewählt werden. Tabelle 1 gibt einen Überblick über verfügbare Lösungsverfahren. Verfahren Diskretisierung Geometrieabbildung Nichtlinearitäten Berechnungsaufwand hauptsächliche Einsatzgebiete FEM sehr flexibel möglich hoch beliebige Geometrien, begrenzte Feldausdehnung FDM unflexibel möglich hoch einfache Geometrien BEM sehr flexibel schwierig hoch beliebige Geometrien, Fernfeldberechnungen, Wellenausbreitung in verlustbehafteten Medien Magnetische Netzwerke spezielle Geometrien möglich sehr niedrig nicht zu komplizierte Geometrien, Systemsimulationen analytische Methoden (z.b. konforme Abbildung) m 1 m 2 q q einfache Geometrien mit Einschränkungen möglich niedrig einfache Geometrien, lineare Materialien Momentenmethode sehr flexibel möglich hoch beliebige Geometrien, Antennen, Wellenausbreitung in verlustfreien Medien Tabelle 1: Verfahren zur Berechnung elektromagnetischer Felder [Kos-94], [KEQ-94], [Bel-97] Neben der prinzipiellen Anwendbarkeit auf die Lösung spezieller Problemstellungen kommt dem Berechnungsaufwand für das jeweilige Verfahren besondere Bedeutung zu, insbesondere dann, wenn vom Komponentenentwurf zum Teil- und Gesamtsystementwurf übergangen wird und Simulationen des Gesamtsystems notwendig werden. 3 Einbeziehung magnetischer Teilsysteme in die Gesamtsystemsimulation Systeme, in denen elektromagnetische Aktoren typischerweise eingesetzt werden, sind durch das Zusammenwirken von nichtelektrischen Teilsystemen (Mechanik, Magnetik, Hydraulik,...) und elektrischen Baugruppen (analoge Elektronik, digitale Steuerungen) gekennzeichnet. Für all diese Teilsysteme (physikalische Domänen) stehen angepaßte Simulationswerkzeuge bereit. Für Simulationen beim Entwurf und der Optimierung elektromagnetischer Aktoren werden hauptsächlich FEM und BEM (Boundary Elemente Methode), für einfachere Geometrien auch FDM (Finite Differenzen Methode) eingesetzt. Zur Simulation von analoger und digitaler Elektronik stehen Schaltungssimulatoren wie SABER und ELDO zur Verfügung, die durch ihre Verhaltensbeschreibungssprachen MAST und 2

3 HDL-A (zukünftig VHDL-AMS [VHDLA]) die Einbeziehung von nichtelektrischen Teilsystemen (Magnetik, Mechanik,...) gut unterstützen. Beim Gesamtsystementwurf müssen die verschiedenen Teilsysteme (Mechanik, Magnetik, Elektronik) in ihrem Zusammenspiel untersucht und optimiert werden. Für diese Gesamtsystemsimulation gibt es folgende Möglichkeiten: - Simulatorkopplung Die Berechnung der einzelnen Teilsysteme erfolgt simultan mit dem jeweils dafür spezialisierten Simulator. Über eine Koppelsoftware tauschen die Simulatoren Zwischenergebnisse aus, die im jeweils anderen Simulator als externe Anregung genutzt werden. - Modellierung für einen Simulator Die Gesamtsystemsimulation erfolgt innerhalb eines Simulators. Voraussetzung dafür sind Modelle aller Teilsysteme für das jeweils genutzte Tool. Nachfolgend wird auf die Ableitung von Magnetkreismodellen für die Gesamtsystemsimulation mit Schaltungs- und Systemsimulatoren wie z.b. SABER oder ELDO eingegangen. 4 Magnetische Netzwerke In Anlehnung an die Größen des elektrischen Feldes und die für elektrische Netzwerke geltenden Kirchhoffschen Sätze lassen sich für das magnetische Feld die analogen Gesetzmäßigkeiten BdA = 0 Φ zu = Φ ab (1) A und 0 Hdl = Θ = V mag (2) für die Modellierung ausnutzen [Phi-91], [KEQ-94]. Der magnetische Fluß Φ wird dabei für die Netzwerkelemente als Flußgröße, die Durchflutung Θ als Differenzgröße angenommen. Die Verknüpfung von magnetischem Fluß und Durchflutung ist durch den magnetischen Widerstand Θ R mag = --- (3) Φ gegeben. Allgemein gilt für den magnetischen Widerstand eines Bereiches der Länge l mit räumlich konstantem µ und konstantem Querschnitt A: l R mag = (4) µ A Bei gegebener Durchflutung Θ = Hds = w i (5) spule ergibt sich also für den magnetischen Fluß einer Anordnung aus Spule und ferromagnetischem Kreis: w I Φ = R (6) magges Für die Permeabilität der ferromagnetischen Anteile des Magnetkreises muß in der Regel von einem nichtlinearen Zusammenhang µ ( B) ausgegangen werden. Dieser läßt sich unter Vernachlässigung von Hystereseffekten z.b. aus der Kommutierungskurve [Phi-91] magnetischer Werkstoffe bestimmen. In Abhängigkeit von der Geometrie des Eisenkreises und der Höhe der im magnetische Kreis erreichten Flußdichte kann es notwendig sein, auch Flußanteile außerhalb des Eisenkreises zu berücksichtigen. Dieser Streufluß kann für sehr einfache Geometrien im Verhältnis zum Gesamtfluß als Streufaktor σ angegeben werden [KEQ-94]. Für die Bestimmung des Streuflusses komplizierterer Anordnungen reicht dieser Ansatz oftmals nicht aus. In diesen Fällen muß durch geschickte Zerlegung des den Eisenkreis umgebenden Luftraums eine geeignete Topologie des magnetischen Netzwerkes abgeleitet werden. 5 Ableitung von Netzwerkmodellen für magnetische Netzwerke Grundsätzlich ist festzustellen, daß die Modellierung und Simulation magnetischer Kreise durch magnetische Netzwerke nahezu immer mit geringerer Genauigkeit verbunden ist, als z.b. die Berechnung mit der Methode der finiten Elemente. Hauptgründe dafür sind: - die Diskretisierung eines magnetischen Netzwerkes ist in der Regel relativ grob, - Übergang von vektoriellen Feldgrößen (magnetische Potentiale, Feldstärke, Flußdichte) zu skalaren Größen (Fluß und Durchflutung), - es sind oft Vereinfachungen bei der Nachbildung der Geometrie erforderlich, - bei nichtlinearen Materialien wirkt sich die räumlich veränderliche Flußdichte auch auf die Permeabilität der ferromagnetischen Anteile des Magnetkreises aus. 3

4 Trotz dieser Einschränkungen sind magnetische Netzwerke vor allem wegen des sehr geringen Berechnungsaufwandes ein für viele Anwendungsfälle geeignetes Mittel, magnetische Systemkomponenten in Systemsimulationen einzubeziehen. 5.1 Ableitung magnetischer Netzwerke auf Basis von Näherungsformeln für einfache geometrische Körper Einfache magnetische Kreise können durch Zerlegung in geometrische Grundkörper, für die über Näherungsformeln die magnetischen Widerstände berechnet werden, modelliert werden [KEQ-94]. Eisenbereiche Luftspalte Durchflutungsquellen Komplexere Geometrien Bild 1: Grundelemente für magnetische Netzwerke Neben Grundelementen für Eisen- und Luftbereiche mit einfacher Geometrie sowie Durchflutungsquellen sind ebenfalls Modelle für komplizierter aufgebaute Teile des Systems notwendig (Bild 1). Diese können entweder aus einfachen Grundelementen zusammengesetzt oder müssen gesondert modelliert werden. Bild 2 verdeutlicht die Vorgehensweise für die Aufteilung des Luftraums an zylindrischen und quaderförmigen Polpaaren. In [KEQ-94] sind Formeln für die magnetischen Widerstände der Teilkörper, wie sie bei den in Bild 2 dargestellten Zerlegungen auftreten, angegeben. Φ 1 Φ 2 Φ 1 Φ 2 Φ3 Φ 4 Φ 3 Bild 2: Aufteilung des Luftraumes an Polpaaren unterschiedlicher Geometrie Für die Modellierung der Luftanteile magnetischer Kreise muß zwischen Luftbereichen mit konstanter und mit veränderlicher Geometrie unterschieden werden. Als Luftbereiche mit konstanter Geometrie können z.b. Löcher und Durchbrüche im Eisenkreis oder auch die Luftbereiche zwischen gegenüberliegenden Bereichen des Magnetkreises angesehen werden. Luftbereiche veränderlicher Geometrie sind z.b. Luftspalte von Schützen, Klappankerrelais oder Elektromagneten, bei denen Kraftwirkungen an den Grenzflächen zwischen Eisen und Luft funktionsbestimmend sind, d.h. bei denen die Magnetkraft zu einer Verringerung der Luftspaltlänge und damit zu einer Verringerung der magnetischen Feldenergie führt. Für die Netzwerkmodellierung magnetischer Kreise können die Kraftwirkungen über die Maxwellscher Zugkraftformel [Phi-91] berücksichtigt werden. Für elektromagnetische Aktoren (z.b. Relais), die oftmals sehr komplizierte Geometrien aufweisen, ist die beschriebene Vorgehensweise nur bedingt anwendbar. 5.2 Ableitung magnetischer Netzwerke aus FEM-Simulationsergebnissen Ein anderer Ansatz für die Ableitung von Netzwerkmodellen für magnetische Systeme ist die Ermittlung der Netzwerkstruktur und der Parameterwerte der Netzwerkelemente auf Basis von FEM-Simulationen des magnetischen Kreises. Dabei wird durch Auswertung der während der FEM-Simulation berechneten Werte für die magnetische Feldstärke und die magnetische Flußdichte eine Unterteilung der Geometrie vorgenommen, ein Ersatznetzwerk konstruiert und für die Schaltelemente des Netzwerkes (magnetische Widerstände) die Werte ermittelt. Grundsätzlich kann dabei wie folgt vorgegangen werden: Aufbau des FEM-Modells Das magnetische System wird wie für jede FEM-Analyse aufbereitet (Solid Modeling, Vernetzung, Festlegung von Randbedingungen und Lasten). Durchführung der statischen Analyse(n) Für dieses Modell wird im Fall linearen Materialverhaltens für eine bestimmte Anregung (Durchflutung) 4

5 eine statische Magnetfeldberechnung durchgeführt. Sind nichtlineare Materialeigenschaften zu berücksichtigen, müssen mehrere Analysen mit jeweils unterschiedlichen Anregungen (Durchflutungen) durchgeführt werden. Φ r11 Φ r14 Φ r13 Φ r21 Φ r11 Φ r13 Φ r21 Φ r23 Φ r24 Φ r23 Φ r14 Φ r12 Φ r24 Φ r22 Bild 3: Φ r12 y z x Φ r22 Flußanteile eines räumlichen Bereichs (ohne Anteile in z-richtung) Ableitung der Netzstruktur aus den Simulationsergebnissen Anhand der Ergebnisse der Analysen werden Bereiche mit näherungsweise konstantem magnetischen Fluß ermittelt. Die zwischen diesen Bereichen auftretenden Flußdifferenzen repräsentieren den Streufluß des Magnetkreises. Für einen räumlichen Bereich im Magnetkreis ergeben sich also die im Bild 3 dargestellten Flußanteile: der im Eisen geführte Fluß ( Φ r11 und Φ r12 ) und der Streuflußanteil ( Φ r13 und Φ r14 ). Die Summe der Flußanteile für einen räumlichen Bereich muß Null betragen. Diese Analogie zum Knotensatz bei elektrischen Netzwerken (vgl. Abschnitt 4) wird zur Unterteilung in magnetische Widerstände genutzt. Abstrahiert man vom räumlichen Bereich zum Knoten des Ersatznetzwerkes, so repräsentieren die Ströme (Flußgrößen) der an diesen Knoten angeschlossenen Netzwerkelemente die Flußanteile, die die Berandung des räumlichen Bereiches durchsetzen (Bild 3 rechts). Die Ermittlung der Bereiche homogener Feldverteilung kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Bei 2D-Problemen steht in ANSYS die Darstellung der Feldlinien zur Verfügung, mit deren Hilfe sich relativ einfach die gesuchten Bereiche ermitteln lassen. Die Austrittspunkte von Feldlinien aus dem Eisen in die Luft legen die Bereichsgrenzen fest, an denen Knoten für das magnetische Netzwerk eingefügt werden. Durch die Anzahl der angezeigten Feldlinien läßt sich Anzahl der magnetischen Widerstände und damit auch die Genauigkeit des Netzwerkmodells beeinflussen. Eine weitere Möglichkeit besteht in der Auswertung der berechneten Flußdichtewerte im Magnetkreis. Durch geeignete Schnitte durch das Modell und die Anzeige der Flußdichtewerte lassen sich Bereiche mit homogener Feldverteilung detektieren. Über die Anzeige von Vektorplots können die Flußwege für die Streuflußanteile grob lokalisiert werden. Durch Auswertung der Flußanteile durch die Randflächen räumlicher Bereiche läßt sich diese Unterteilung präzisieren und das entsprechende Ersatznetzwerk ableiten. Ermittlung der magnetischen Widerstände Durch Flächenintegration der Flußdichtewerte Φ A = BdA A läßt sich der magnetischen Fluß im jeweiligen Bereich und nach V nm Hds s der magnetische Spannungsabfall zwischen den durch Netzwerkknoten repräsentierten Punkten im Magnetkreis bestimmen. Dazu werden die in ANSYS verfügbaren Pfadoperationen [ANS-98] verwendet. Im Eisen werden dazu in den Gebieten, die durch magnetische Widerstände nachgebildet werden, rechtwinklig zum Verlauf der Feldlinien Pfade definiert und durch Integration der Normalkomponente der magnetischen Flußdichte der Fluß bestimmt. Für die Streuflußanteile liegen die Pfade auf den Grenzflächen Luft - Eisen. Zur Bestimmung des magnetischen Spannungsabfalls werden zwischen den durch Netzwerkknoten repräsentierten Punkten im Modell ebenfalls Pfade definiert und das Wegintegral der Tangentialkomponente der magnetische Feldstärke bestimmt. Für lineare Materialeigenschaften ergibt sich der magnetische Widerstand nach Gl. (3). Bei nichtlinearen Materialeigenschaften sind aus den Ergebnissen mehrerer Simulationen mit unterschiedlicher Durchflutung die Fluß- und Spannungswerte zu bestimmen. Für die Werte der magnetischen Widerstände ergibt sich: R ( Θ) maga = V AB ( Θ) = Φ A ( Θ) Die auf diese Weise für die verschiedenen Durchflutungen gewonnenen diskreten Werte werden als (7) (8) (9) 5

6 Stützstellen für die Approximation der nichtlinearen Kennlinien des magnetischen Widerstandes verwendet. 6 Modellierung eines einfachen Magnetkreises Am Beispiel eines einfachen Magnetkreises (Bild 4 links) werden nachfolgend die in Abschnitt 5.1 und Abschnitt 5.2 beschriebenen Ansätze gegenübergestellt. Das System besteht aus einem Eisenkreis ( µ rel =2000) mit zwei Luftspalten ( µ rel =1), der durch eine Spule (Windungszahl n=250, Strom i=50 ma) angeregt wird. Zu ermitteln sind die Flußwerte für die verschiedenen Abschnitte des Eisenkreises und in den Luftspalten. Als Referenz dienten in beiden Fällen die Ergebnisse einer statischen Analyse mit ANSYS. 6.1 Modellableitung nach geometrischen Gesichtspunkten Zunächst wurde ein einfaches magnetisches Netzwerk durch die Aufteilung des Magnetkreises unter geometrischen Gesichtspunkten abgeleitet. Der Fehler, der bei dieser Vorgehensweise in Kauf genommen werden muß, ist umso geringer, je höher die Permeabilität des ferromagnetischen Materials des Kreises ist. Bild 4 Mitte zeigt eine mögliche Aufteilung des Eisenkreises, Bild 4 rechts das dazugehörige einfache Netzwerkmodell. Bild 4: Eisenkreis Spule Luftspalte Magnetkreismodell - geometrische Ableitung Für die einzelnen Bereiche des Magnetkreises wird von konstantem Querschnitt A und einer mittleren Länge l des Bereiches ausgegangen. Mit diesen Werten lassen sich nach Gl. (4) die magnetischen Widerstände berechnen und die Modelle für den Netzwerksimulator parametrisieren. In Tabelle 2 sind die Werte für den magnetischen Fluß in den durch die magnetischen Widerstände repräsentierten Bereichen den Ergebnissen einer FEM-Simulation des Systems gegenübergestellt R mag01 Rmag09 R mag02 R mag08 R mag03 R mag10 R mag11 R mag12 R mag07 R mag04 R mag05 R mag06 Bereich FEM [Wb] Netzwerk [Wb] relative Abweichung [%] Bereich FEM [Wb] Netzwerk [Wb] relative Abweichung [%] 1 3,64E-01 3,34E ,70E-01 2,63E ,57E-01 3,34E ,76E-01 3,34E ,65E-01 2,63E ,82E-01 3,34E ,28E-01 1,31E ,77E-01 1,42E ,16E-01 1,31E ,24E-01 1,42E ,29E-01 1,31E ,89E-01 1,42E Tabelle 2: Ergebnisse für das Netzwerk nach Bild 4 Die bei dieser Vorgehensweise auftretenden Fehler sind z.t. erheblich und schränken die Anwendbarkeit auf Fälle ein, in denen eine grobe Nachbildung prinzipieller Effekte im Magnetkreis ausreichend ist. 6.2 Modellableitung aus FEM-Simulationsergebnissen Um eine feinere Unterteilung der Geometrie zu erreichen, wurde für die Festlegung der Netzwerktopologie das Ergebnis einer statischen FEM-Analyse herangezogen. Wie in Abschnitt 6.2 beschrieben, wurde aus dem Feldlinienbild (Bild 5 links) das Ersatznetzwerk (Bild 5 rechts) abgeleitet. In Tabelle 3 sind die Werte für die magnetische Flußdichte jeweils für die FEM-Rechnung und die Berechnung des magnetische Netzwerkes gegenübergestellt. Die Werte für den magnetischen Fluß entsprechen den jeweiligen Flußwerten der in Klammern angegebenen magnetischen Widerstände. Die Ergebnisse zeigen, daß sich durch das auf Basis der FEM-Rechnung abgeleitete Modell deutlich geringere Abweichungen als beim Modell aus Abschnitt 6.1 ergeben. Eine weitere Verbesserung kann durch eine noch feinere Unterteilung der Struktur erreicht werden. 6

7 R mag02 R mag03 R mag04 R mag20 R mag05 R mag21 R mag06 Rmag29 R mag22 R mag32 R mag33 R mag07 R mag34 R mag01 R mag30 R mag23 R mag31 R mag08 R mag35 R mag24 R mag19 R mag25 R mag09 R mag28 R mag18 R mag26 R mag10 R mag16 R mag12 R mag11 R mag17 R mag15 R mag14 R mag13 Rmag27 R mag36 Bild 5: Magnetkreismodell - Ableitung aus Feldlinienbild Bereich (Rmag) FEM [Wb] Netzwerk [Wb] relative Abweichung [%] Bereich (Rmag) FEM [Wb] Netzwerk [Wb] relative Abweichung [%] 1 (01) E E (11) E E (02) E E (13) E E (04) E E (17) E E (05) E E (20) E E (07) E E (23) E E (09) E E (26) E E Tabelle 3: Ergebnisse für das Netzwerk nach Bild 5 7 Modellierung von Mikrorelais Die in Abschnitt 5.1 und Abschnitt 5.2 vorgestellten Ansätze werden bei der Modellierung elektromagnetischer Aktoren angewendet. In Bild 6 ist das FEM-Modell eines Mikrorelais dargestellt, für das Systemsimulationen durchgeführt werden sollen. Dabei stand die Nachbildung prinzipieller Effekte (Anzug und Abfall) am Relais im Vordergrund. Bild 6: Modell des Eisenkreises FEM-Modell eines Mikrorelais Luftraumvernetzung In der ersten Arbeitsetappe wurde für die Modellierung nach dem in Abschnitt 5.1 beschriebenen Weg vorgegangen [ScS-99]. Nach geometrischen Gesichtspunkten wurde ein einfaches magnetisches Netzwerk (Bild 7 links) konstruiert, welches in der Lage war, die prinzipiellen Effekte am Relais nachzubilden. Dazu gehörten sowohl die nichtlinearen Materialeigenschaften als auch die Kraftwirkungen auf den Anker des Relais. In Bild 7 rechts sind Ergebnisse der Simulation eines Anzugvorgangs für das Relais dargestellt. Deutlich erkennbar sind die nichtlinearen Änderungen der magnetische Flußdichte und die durch die Endstufe der Ansteuerschaltung hervorgerufenen Spitzen im Verlauf des Spulenstroms des Relais zum Zeitpunkt des Anzugs. Für weiterführende Untersuchungen am Relais werden derzeit Netzwerkmodelle auf Basis von FEM-Simulationen gemäß Abschnitt 6.2 erstellt. 7

8 Y1 Y3 Y4 Y101 Breite des Luftspalts Y16 Vmag Y5 Y102 Y2 Y13 Y12 Y11 Y9 Y6 Y7 Y8 Spulenstrom Spannung Y17 Y10 Flußdichte im Luftspalt Bild 7: magnetisches Netzwerkmodell des Relais - Simulationsergebnisse 8 Zusammenfassung Magnetische Netzwerke sind eine praktikable Möglichkeit, magnetische Systeme in die Gesamtsystemsimulation mit Schaltungssimulatoren einzubeziehen, wenn keine sehr hohen Anforderungen an die Genauigkeit gestellt werden. Für sehr präzise Untersuchungen des Zusammenspiels im Gesamtsystem können Simulatorkopplungen [CGS-95] verwendet werden. Es wurde ein Ansatz vorgestellt, bei dem durch Auswertung der Ergebnisse von FEM-Analysen die Topologie des magnetischen Netzwerkes festgelegt und die Parameter der Schaltelemente bestimmt werden können. Gegenüber der herkömmlichen Zerlegung magnetischer Kreise nach geometrischen Gesichtspunkten läßt sich mit dem vorgestellten Ansatz eine deutlich höhere Genauigkeit erreichen. Das liegt an der feineren, geometrieabhängigen Zerlegung in magnetische Widerstände und der besseren Berücksichtigung des Streuflusses. Der Ansatz ist sowohl für die Ableitung von linearen und nichtlinearen Netzwerken für 2D-Probleme als auch für 3D-Probleme geeignet, wobei die Auswertung der Ergebnisse im Dreidimensionalen deutlich aufwendiger ist. Für Magnetkreise mit nichtlinearem Materialverhalten ist die Durchführung und Auswertung mehrerer FEM-Simulationen mit unterschiedlichen Anregungen notwendig. Die vorgestellten Arbeiten wurden im Rahmen des DFG-Sonderforschungsbereichs 358 Automatisierter Systementwurf und im BMBF-Verbundvorhaben SIMKOS - Simulation komplexer Systeme unter Einbeziehung intelligenter Komponenten durchgeführt. 9 Literatur [ANS-98] ANSYS Analysis Guide, ANSYS Inc., 1998 [Bel-97] Belmans, R. et. al.: Computer-Aided Design in Magnetics. Course Notes, Katholieke Universiteit Leuven, 1997 [CGS-95] Clauß, C.; Gruschwitz, R.; Schwarz, P.; Wünsche, S.: Simulation mikrosystemtechnischer Aufgaben mit gekoppelten Simulatoren. Proc. 2. Fachtagung Mikrosystemtechnik, Chemnitz, 16./17. Oktober 1995, [ELD-98] ELDO User's Manual Software, Software Version v4.7_1.1, May 1998 [GoG-00] Gollee, R.; Gerlach, G.: A FEM Based Network Approach for the Simulation of Miniaturized Electromagnetic Devices. Proc. 3. Workshop System Design Automation, Rathen, 13./14. März 2000, S [KEQ-94] Kallenbach, E.; Eick, R.; Quendt, P.: Elektromagnete. Teubner, Stuttgart, 1994 [Kos-94] Kost, A.: Numerische Methoden in der Berechnung elektromagnetischer Felder. Springer, Berlin, 1994 [Phi-91] Philippow, E.: Taschenbuch Elektrotechnik, Band 1, Verlag Technik, Berlin, 1981 [Ros-99] Roschke, T.: Entwurf geregelter elektromagnetischer Antriebe für Luftschütze. Dissertation, Technische Universität Dresden, 1999 [SAB-98] Saber Documentation, Release 4.3, Analogy Inc., Beaverton, [ScS-99] Schäfer, E.; Schneider, P.: Modellierung und Simulation von Mikrorelais. Proc. 7. Workshop Methoden- und Werkzeugentwicklung für den Mikrosystementwurf, Paderborn, 21./22. Januar 1999 [SiF-96] Silvester, P.; Ferrari, R.: Finite elements for electrical engineers. Cambridge University Press, 1996 [VHDLA] VHDL-AMS. Homepage IEEE Working Group: [Zie-91] Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L.: The Finite Element Method. McGraw-Hill, New York 1989 and