Adaptive Finite Elemente Simulationen Software-Entwicklung Anwendung Analyse

Transkript

1 Software-Entwicklung Anwendung Analyse Institut für Mathematik Universität Augsburg 1. TopMath-Workshop Iffeldorf Januar 2005

2 Inhalt Einführung in adaptive Finite Elemente Methoden Adaptive Diskretisierungen Effizienz adaptiver Methoden Design adaptiver Finite Elemente Software Flexibilität Effizienz Zwei Anwendungsprobleme Frequenzanalyse von Schneidetönen Industrielle Kristallzüchtung Analyse adaptiver Finite Elemente Methoden Konvergenz adaptiver Methoden

3 Anwendungsgebiete Anwendungsgebiete CFD: Inkompressible Strömungen Geometrische Probleme Freie Randwertprobleme

4 Adaptive Diskretisierungen Adaptive Diskretisierungen Stationäre Probleme: Adaptive Finite Elemente Diskretisierung. Triangulierung in 2d und 3d (Dreiecke/Tetraeder). Verwendung verschiedener Finite Elemente Räume. Adaptierte lokal verfeinerte Gitter. Instationäre Probleme: Adaptive Finite Elemente im Ort kombiniert mit passender Zeitdiskretisierung. Euler-Diskretisierung, Crank-Nicholson, Zwischenschritt-Verfahren etc. Linearisierung nichtlinearer Probleme über altem Zeitschritt. Orts- und Zeitschrittweitenadaption.

5 Adaptive Diskretisierungen Ziel adaptiver Methoden Zu einer gegebenen Toleranz konstruiere eine Folge von Gittern und Zeitschrittweiten, so dass einerseits der Fehler zwischen exakter und diskreter Lösung kleiner ist als die gegebene Toleranz, andererseits der Rechenaufwand minimiert wird. Adaptive Strategie: Verwende Rechengitter, die so grob wie möglich sind, aber hochauflösend in ausgewählten Teilgebieten. Anpassung der Zeitschrittweite an das zeitliche Verhalten der Lösung.

6 Adaptive Diskretisierungen Flussdiagram für einen adaptiven Löser Start mit Grobgitter Adaptiere Startgitter Assemblieren und Lösen (Visualisierung) Fehlerschätzung Gitterumbau Zeitschritt k Gitter- und Zeitschrittadaption (beginnend mit altem Gitter) k := k+1 Stop Stop Stationäre Probleme. Instationäre Probleme.

7 Adaptive Diskretisierungen Module adaptiver Finite Elemente Software Löser für das diskrete Problem. A posteriori Fehlerschätzer Verläßliche Fehlerschranke berechnet aus diskreter Lösung und Daten; Elementbeiträge werden als lokale Fehlerindikatoren verwendet. Markierungsstrategien Auswahl von Elementen zur Verfeinerung/Vergröberung; Adaption der Zeitschrittweite. Gittermodifikations-Algorithmen Lokale Verfeinerung/Vergröberung der ausgewählten Elemente; Datentransfer während der Gittermodifikationen.

8 Effizienz adaptiver Methoden Beispiel für ein stationäres Problem zoom to [-1.000,1.000]x[-1.000,1.000] zoom to [-0.001,0.001]x[-0.001,0.001] Gitter < 2000 Knoten Zoom: ( 10 3, 10 3 ) 2 zoom to [-0.000,0.000]x[-0.000,0.000] zoom to [-0.000,0.000]x[-0.000,0.000] Singularität r 0.1 Konvergenz adaptiver FEM. [Morin, Nochetto, Siebert] Zoom: ( 10 6, 10 6 ) 2 Zoom: ( 10 9, 10 9 ) 2

9 Inhalt AFEM Einfu hrung AFEM Software AFEM Anwendung AFEM Analyse Effizienz adaptiver Methoden Beispiel: Adaptive Gitter fu r ein instationa res Problem Phasenu bergang fest flu ssig unter Einfluss von Konvektion. [Boschert, Schmidt, Siebert]

10 Design adaptiver FE Software Design adaptiver Finite Elemente Software Adaptive multi Level finite element toolbox using Bisectioning refinement and Error control by Residual Techniques for scientific Applications (c) by Alfred Schmidt and zusammen mit Claus-Justus Heine, Daniel Köster und Oliver Kriessl. Ziel: Flexible und effiziente adaptive Finite Elemente Software Flexibilität: Probleme und Diskretisierungen. Effizienz I: CPU Zeit. Effizienz II: Implementierungszeit.

11 Flexibilität Flexibilität Basis für eine große Klasse von Problemen: CFD, freie Randwertprobleme, geometrische Probleme, Strukturmechanik,... Flexible Wahl von Diskretisierungen: Höhere Ordnung; Verschiedene Finite Elemente Räume auf gleichem Gitter; Einfaches Hinzufügen neuer Finite Elemente Räume;... Nicht-Standard Anwendungen: Zeitabhängige Gebiete; (Parametrische) Diskretisierung von Hyperflächen,......

12 Effizienz Effizienz I: CPU-Zeit Optimierung der verwendeten Freiheitsgrade: Gitteradaption durch lokale Verfeinerung/Vergröberung; Höhere Ordnung Diskretisierung. Effizienter Datenzugriff auf unstrukturierten Gittern: Vektorielle Speicherung von Koeffizientenvektoren;... Schneller Aufbau und Lösung der diskreten Probleme: Effiziente Assemblierungsroutinen, unabhängig von den Ansatzfunktionen; Krylov-Raum Methoden (CG, BiCGStab, GMRES,... ); Hierarchische Vorkonditionierung (HB, BPX,... ); Mehrgitter Methoden;...

13 Effizienz Effizienz II: Implementierungszeit Programmentwicklung nur in 1d und 2d auf uniformem Gitter mit linearen Ansatzfunktionen. f = -6.0, estimate = Ergibt adaptiven Löser mit höherer Ordnung in 3d! Realisiert durch Verwaltung technischer Details: Gitter mit lokalen Verfeinerungsroutinen; Ansatzfunktionen mit Gittertransferoperatoren; Integrations- und Assemblierungsroutinen; Adaptive Methoden.

14 Frequenzanalyse von Schneidetönen Frequenzanalyse von Schneidetönen Reines CFD Phänomen: keine Akustik, kein Resonator. Viskose Strömung: Reynoldszahl zwischen 100 und Näherungsweise inkompressibel: kleine Mach Zahl. Modell: 2d inkompressible Navier-Stokes Gleichungen ρ( t v + [ v] v) η v + p = 0 in Ω, t > 0, + Anfangs- und Randbedingungen. Start Video div v = 0 in Ω, t > 0

15 Frequenzanalyse von Schneidetönen Adaptive Simulationen Stark singuläre Lösung; extreme Randschichten. Für die Frequenzanalyse sind lange Simulationsläufe erforderlich. Typisches adaptives Gitter mit Zoom zum Labium. Simulationen ohne Adaptivität nicht durchführbar.

16 Frequenzanalyse von Schneidetönen Zusammenhang zwischen Frequenz f und Abstand w Skalierungsgesetz: f w n, theoretische Annahme n 3 2 ; Zunächst numerisches Ergebnis n 1, dann experimentelle Überprüfung n 1; Übereinstimmung von Experiment und Simulation innerhalb 10%. w f [Hz] f [Hz] m/s sim m/s sim m/s sim 8.75 m/s sim 7.00 m/s sim 5.25 m/s sim w [mm] m/s exp m/s exp 9.77 m/s exp 7.92 m/s exp 6.20 m/s exp 4.67 m/s exp 3.38 m/s exp w [mm] Frequenzen f über Abstand w aus Simulation und Experiment. [Bamberger, Bänsch, Siebert]

17 Inhalt AFEM Einfu hrung AFEM Software AFEM Anwendung AFEM Analyse Industrielle Kristallzu chtung Industrielle Kristallzu chtung Lo ser fu r Phasenu bergang flu ssig fest + CFD in 2d, 2.5d und 3d.

18 Industrielle Kristallzüchtung Vertikales Bridgman Verfahren 1000 C heater 1 (1140 C) ampoule crystal/melt 800 C Gezüchteter Kristall (Firma AIM, Heilbronn) heater 2 (840 C) furnace insulation 600 C 400 C 200 C 1. Globale Simulation der Temperaturverteilung im Züchtungsofen. 2. Lokale Simulation des Phasenübergangs unter dem Einfluss der Konvektion in der Ampulle.

19 Industrielle Kristallzüchtung Mathematisches Modell für die lokale Simulation 1. Stefan Problem mit Konvektion Temperatur ϑ Energiedichte u 2. Inkompressible Navier-Stokes Gleichungen (in Boussinesq-Approximation) Geschwindigkeit v Druck p Schmelze Ω l (t) Kristall Ω s (t) Phasengrenze Gravitation Navier-Stokes Gleichungen gelten nur in der flüssigen Phase!

20 Industrielle Kristallzüchtung Verbesserung der industriellen Kristallzüchtung quartz-tube quartz-rod nucleation ampoule ampoule mounting nucleation Der ursprüngliche Ampullenhalter führt zu unerwünschtem Nukleationsort. Der modifizierte Ampullenhalter führt zur Nukleation in der Spitze. Bessere Qualität und damit höhere industrielle Ausbeute! [Boschert, Schmidt, Siebert]

21 Einführung Analyse adaptiver Methoden Adaptiver Zyklus Lösen Fehlerschätzung Markierung Verfeinerung Frage: Welche Elemente sind zu verfeinern? Ziel: Zu gegebener Toleranz τ > 0 konstruiere ein Gitter S k mit diskreter Lösung u k, so dass 1. u u k = τ, 2. die Anzahl der verwendeten Freiheitsgrade so klein wie möglich ist. Restringierte Optimierung ergibt semi-heuristisch: d. h. es gilt [Babuška,Rheinboldt] auf optimalen Gitter ist der Fehler gleichverteilt, u u k S = const. für alle Elemente S S k.

22 Einführung Berechenbare Fehlerschranken Fehlerschätzer Problem: Tatsächlicher globaler Fehler u u k und lokaler Fehler u u k S nicht bekannt. Idee: Ersetze den Fehler durch eine berechenbare Fehlerschranke E k mit ( ) 1/2 E k = E k (u k, Daten) = S S k E 2 S und versuche die Fehlerindikatoren E S gleichzuverteilen. Strategie: Markiere Elemente S mit großem Fehlerindikator E S zum Verfeinern. Gleichverteilungsstrategie: limit := tol/ S k if E S > limit mark S for refinement Maximum Strategie: (ν [0, 1)) limit := ν max E S if E S > limit mark S for refinement

23 Beispiel Fehlerschätzer Beispiel Fehlerschätzer: u = f in Ω, u = 0 auf Ω Schwache Formulierung: u H 1 0 (Ω) : u, v Ω = f, v Ω v H 1 0 (Ω). Diskretes Problem: V k H 1 0 (Ω) FE-Raum über Triangulierung S k. u k V k : u k, v k Ω = f, v k Ω v k V k. Fehlerdarstellung über das Residuum durch diskrete Lösung und Daten: u u k = sup R k, v := sup (u u k ), v Ω v =1 v =1 = sup f, v Ω u k, v Ω v =1 = sup f, v I k v Ω u k, (v I k v) Ω v =1 = sup f + u k, v I k v S [ ν u k ], v I k v γ v =1 S S k γ Γ k

24 Verlässlichkeit und Effizienz Fehlerschätzer: Verlässlichkeit und Effizienz Lokale Fehlerindikatoren: ES 2 := h 2 S f + u k 2 L + h 2(S) S [ ν u k ] 2 L. 2( S Ω) Obere Schranke Verlässlichkeit: [Babuška,Rheinboldt], [Verfürth], [Eriksson,Johnson],... ( ) 1/2 u u k E k (S k ) := C. S S k E 2 S Untere Schranke Effizienz: [Verfürth] E S C ( u u k ωs + osc (f, ω S ) ) mit der Datenoszillation osc (f, ω S ) := h k (f f k ) L2(ω S ).

25 Konvergenz adaptiver Methoden Konvergenz adaptiver Methoden Frage: Führen adaptive Methoden zu besseren diskreten Lösungen? D. h. gilt für eine Folge von Gittern S 0, S 1,... u u k+1 α u u k mit festem α (0, 1)? In der Praxis: ja! Aber für lange Zeit, kein mathematischer Beweis... Für V k V k+1 H0 1 (Ω) ergibt die Orthogonalität des Fehlers u u k+1 2 = u u k 2 u k+1 u k 2 und damit u u k+1 α u u k 1 α 2 u u k u k+1 u k.

26 Konvergenz adaptiver Methoden Fixed Portion Marking Prinzipielle Idee: Der Fehleranteil der markierten Elemente muss ein fester Teil des Gesamtfehlers sein. Kann in der Praxis nur via Fehlerschätzer realisiert werden! Benötigte Zutaten: 1. Obere Schranke für den tatsächlichen Fehler: u u k C E k (S k ). 2. Lokale untere Schranke für die Fehlerreduktion: E S C ( u k u k+1 ωs + osc (f, ω S )). 3. Fixed Portion Marking: Wähle Ŝk S k mit θ E k (S k ) E k (Ŝk) und θ osc (f, S k ) osc (f, Ŝk) 4. Verfeinerung aller Elemente S Ŝk.

27 Konvergenz adaptiver Methoden Konvergenzresultat Ein adaptiver Algorithmus mit obigem Fixed Portion Marking erzeugt eine Folge von (adaptiven) Triangulierungen S k und diskreten Lösungen u k mit u u k C 0 α k für ein 0 < α < 1 [Morin, Nochetto, Siebert] basierend auf [Dörfler]. Beweisidee: Die Orthogonalität des Fehlers u u k+1 2 = u u k 2 u k+1 u k 2 zusammen mit der oberen Schranke für den Fehler u u k, der unteren Schranke für die Fehlerreduktion u k+1 u k und dem Fixed Portion Marking ergibt nach Verfeinerung aller Elemente in Ŝk u u k+1 α ( u u k + osc (f, S k 1 )). Induktion über k ergibt dann die Behauptung.