Lineare Strukturgleichungsmodelle (LISREL) Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA)

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1 Interdisziplinäres Seminar Lineare Strukturgleichungsmodelle (LISREL) Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) WS 2008/ Julia Schiele und Lucie Wink Dozenten: Prof. Dr. Bühner, Prof. Dr. Küchenhoff

2 1 Einführung /35

3 Einführung: LISREL LISREL: Linear Structural Relationships Allgemeines Modell zur Analyse eines Systems linearer Strukturgleichungen Jöreskog (1973) und Sörbom LISREL besteht aus Software: AMOS (SPSS), Pro Calis (SAS), Pakte LISREL, SEM (R) Strukturgleichungsmodelle kombinieren Ideen der Faktorenanalyse (in den Messmodellen) mit den Methoden der (im Strukturmodell). 3/35

4 Einführung Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten als Erweiterung der multiplen Korrelations- und Regressionsanalyse nur manifeste Variablen (z.b. Items), keine latenten Variablen zu prüfendes Modell wird vom Anwender vorgegeben Modell enthält Beziehungen zwischen manifesten Variablen, deren Pfade ermittelt werden direkter Effekt: zwischen Variablen indirekter Effekt: über vermittelnde Variablen (Mediator) totaler Effekt: Summe aller direkten und indirekten Effekte 4/35

5 Einführung Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten Pfade stehen für einen gerichteten Zusammenhang & stellen i.d.r. partielle standardisierte Regressionsgewichte dar Korrelationen bzw. Kovarianzen Boxen stehen für manifeste Variablen 5/35

6 Einschub: lineare Regression Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten einfaches lineares Regressionsmodell Y i = β 0 + x 1 β 1 + ε i i = 1,..., n Annahmen: E(ε i ) = 0 Var(ε i ) = σ 2 {ε i i = 1,..., n} stoch. unabhängig ε i normalverteilt 6/35

7 Einschub: lineare Regression Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten multiples lineares Regressionsmodell Y i = β 0 + x 1i β x pi β p + ε i i = 1,..., n Annahmen: E(ε i ) = 0 E(ε) = 0 Var(ε i ) = σ 2 {ε i i = 1,..., n} stoch. unabhängig Var(ε) = σ 2 I ε i und ε normalverteilt 7/35

8 Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten Unterschiede zwischen Regressions- & : kausalanalytisches Modell, lässt Zusammenhänge zwischen unabhängigen Variablen zu Regressionsanalyse: unabhängige Variablen wirken auf abhängige Variablen Regressionsanalyse als Spezialfall der 8/35

9 Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten Nachteile der Regressionsanalyse oftmals als einziges Ziel hohes Bestimmtheitsmaß R 2 Gefahren: Scheinkorrelationen, Multikollinearität Vorteile der mehr theoretisches Vorverständnis benötigt Komplexitätszunahme Voraussetzungen für kausale Zusammenhänge additive & lineare Beziehungen zwischen beteiligten Variablen Residuen müssen normalverteilt sein 9/35

10 Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Scheinkorrelationen: statistisch gemessener Zusammenhang zw. zwei Variablen, welcher nur auftritt, weil die Variablen systematisch von einer dritten Variablen abhängen. Multikollinearität: wechselseitige Abhängigkeit von unabhängigen Variablen in einem statistischen Modell 10/35

11 Berechnung der Pfadkoeffizienten Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten Pfadkoeffizienten entsprechen ˆβ (partielle Regressionsgewichte) Berechnung der Pfade (direkte Effekte) über Korrelationen, siehe Bsp. r XY =.2 r XY = a a=.2 r XZ =.4 r XZ = b + (a c) b=.323 r YZ =.45 r YZ = c + (a b) c= /35

12 Berechnung der Pfadkoeffizienten Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten Berechnung der indirekten und totalen Effekte direkter Effekt ind. Effekt MS totaler Effekt MS a de,ms = β 1 =.2 a de,is = β 2 = = =.32 a de,mi = β 3 =.3 β 2 β 3 β 1 + (β 2 β 3 ) 12/35

13 Berechnung der Pfadkoeffizieten Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten im bivariaten Fall: Pfadkoeffizienten entsprechen Korrelationskoeffizienten Fehlerzahl i = β 0 + WieOftLesen β 1 + ε i > cor(cbind( Fehlerzahl, Geschlecht, WieOftLesen)) Fehlerzahl Geschlecht WieOftLesen Fehlerzahl WieOftLesen /35

14 Berechnung der Pfadkoeffizieten Einschub: lineare Regression Pfad- & und Regressionsanalyse Einschub: Scheinkorrelationen & Multikollinearität Berechnung der Pfadkoeffizienten > summary(lm(fz_s~wieoftlesen)) Call: lm(formula = FZ_s ~ WieOftLesen) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 1.453e e e-15 1 WieOftLesen 3.428e e e-06 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 178 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 178 DF, p-value: 2.466e-06 14/35

15 Lineares Strukturgleichungsmodell Messmodell Strukturmodell Lineare Strukturgleichungsmodelle korrelierte Fehler 15/35

16 Lineares Strukturgleichungsmodell Messmodell Strukturmodell Lineare Strukturgleichungsmodelle korrelierte Fehler y: beobachtbare abh. Variable x: beobachtbare unabh. Variable η: latente abh. Variable ξ: latente unabh. Variable ε: Fehlerterm der abh. Variable δ: Fehlerterm der unabh. Variable ζ: Fehlerterm im Strukturmodell Λ y : Ladungsmatrix (Regressionsparameter der Reg von y auf η) Λ x : Ladungsmatrix (Regressionsparameter der Reg von x auf ξ) 16/35

17 Messmodell Einführung Messmodell Strukturmodell Lineare Strukturgleichungsmodelle korrelierte Fehler Ein Messmodell spezifiziert, welche Items von welchen latenten Variablen beeinflusst werden. Modell Annahmen E(ε) = 0, x = Λ x ξ + ε zentrierte Werte (x i x) bzw. z-standardisierte Werte x i x wodurch der Intercept entfällt; mit S = P (xi x) 2 n 1 S, 17/35

18 Messmodell Einführung Messmodell Strukturmodell Lineare Strukturgleichungsmodelle korrelierte Fehler Korrelation zw. x 1 und x 2 auf gemeinsame latente Variable (Faktor) zurückgeführt. Fehlerterme ε i stehen für den nicht durch latente Variable erklärten Varianzanteil. 18/35

19 Strukturmodell Einführung Messmodell Strukturmodell Lineare Strukturgleichungsmodelle korrelierte Fehler Ein Strukturmodell spezifiziert die Beziehungen der latenten Variablen untereinander. Modell η = γ ξ + ζ 19/35

20 Lineare Strukturgleichungsmodelle Messmodell Strukturmodell Lineare Strukturgleichungsmodelle korrelierte Fehler Lineare Strukturgleichungsmodelle implizieren eine spezifische Zusammenhangsstruktur zwischen den beobachteten Variablen. Schätzung der Modellparameter soll diese implizite Struktur mit der beobachteten Kovarianzstruktur in Übereinstimmung bringen. 20/35

21 korrelierte Fehler Einführung Messmodell Strukturmodell Lineare Strukturgleichungsmodelle korrelierte Fehler In Strukturgleichungsmodellen ist es möglich, zwischen Residuen von latenten und manifesten Variablen Zusammenhänge zuzulassen. 21/35

22 korrelierte Fehler Einführung Messmodell Strukturmodell Lineare Strukturgleichungsmodelle korrelierte Fehler Bsp : Cov(δ 3, δ 5 ) zulassen (x 3 ) und (x 5 ) korrelieren höher ξ 3 als neue latente Variable hinzufügen erklärt inhaltlich Gemeinsames 22/35

23 Einführung Unteridentifikation gerade identifiziert Überidentifikation Metrik Um ein Modell zu identifizieren, muss gegeben sein: 1 Die Anzahl der Parameter, die in einem Modell geschätzt werden können, hängt von der Menge an empirischen Informationen ab, die für die Analyse zur Verfügung stehen. Wenn alle Parameter geschätzt werden können, ist das Modell identifiziert. Empirische Grundlage der Schätzungen sind die Varianzen und Kovarianzen der beobachtbaren Variablen. t-rule für die Anzahl der Parameter n(n + 1) 2 2 Jede latente Variable und jede Fehlervarianz muss eine Metrik aufweisen. 23/35

24 Unteridentifikation Einführung Unteridentifikation gerade identifiziert Überidentifikation Metrik Wenn ein Modell mehr zu schätzende Parameter besitzt als beobachtete Korrelationen/Kovarianzen, dann ist es unteridentifiziert. es gibt viele mögliche Lösungen für die Parameterschätzung keine eindeutige Schätzung möglich (df < 0) Bsp. a + b = 6 wobei a und b zu schätzen sind, 6 ist die beobachtete Variable. Nicht eindeutig lösbar, denn z.b = 6 und = 6 etc. Weitere beobachtete Variable hinzufügen z.b. a = b = 6 b = 4 24/35

25 Gerade identifizierte Modelle Unteridentifikation gerade identifiziert Überidentifikation Metrik Wenn ein Modell genau so viele zu schätzende Parameter besitzt wie beobachtete Korrelationen/Kovarianzen, dann ist es gerade identifiziert. eine eindeutige Lösung (df = 0) Bsp. a + b = 6 und 2a + b = 10 a = 6 b 2(6 b) + b = b + b = 10 b = 2 und a = 4 25/35

26 Überidentifikation Einführung Unteridentifikation gerade identifiziert Überidentifikation Metrik Wenn ein Modell weniger zu schätzende Parameter besitzt als beobachtete Korrelationen/Kovarianzen, dann ist es überidentifiziert. nur näherungsweise Parameterschätzung (df > 0) Modellprüfung durch Test möglich Bsp. a + b = 6, 2a + b = 10 und 3a + b = 12 Keine eindeutige Lösung, sondern nur Abschätzung a = 3 und b = 3.3 mit Fehler von (1. Gleichung), (2.Gleichung) und (3. Gleichung) 26/35

27 Metrik Einführung Unteridentifikation gerade identifiziert Überidentifikation Metrik 1 durch Referenzvariable: Ladung einer manifesten auf eine latente Variable gleich 1 setzen, dabei Referenzvariable bester Indikator für latente Variable oder hohe Reliabilität. 2 Da Fehlervariable latent, Pfad auf manifeste Variable auf 1 setzen. 3 Varianz der latenten Variable auf 1 setzen Signifikanz der Ladungen ermittelbar und Cov = Korr, da standardisiert. nächste Woche mehr! 27/35

28 Grundstruktur der EFA & CFA Grundstruktur der EFA & CFA Nachteile Explorative Faktorenanalyse CFA - Modell Richtlinien Zusammenhang zw. beobeobachteter Kovarianzmatrix & Modellparametern explorative Faktorenanalyse konfirmatorische Faktorenanalyse 28/35

29 Nachteile Explorative Faktorenanalyse Grundstruktur der EFA & CFA Nachteile Explorative Faktorenanalyse CFA - Modell Richtlinien Zusammenhang zw. beobeobachteter Kovarianzmatrix & Modellparametern Faktorenauswahlkriterium über Eigenwert > 1 Ladungen 0 erlaubt keine korrelierten Störterme Datenreduzierung wird angestrebt Konfirmatorische Faktorenanalyse überwindet diese Probleme Festlegung eines theoretischen Modells 29/35

30 CFA - Modell Einführung Grundstruktur der EFA & CFA Nachteile Explorative Faktorenanalyse CFA - Modell Richtlinien Zusammenhang zw. beobeobachteter Kovarianzmatrix & Modellparametern Zur Überprüfung des Modells auf seine Güte, d.h. auf seine Übereinstimmung mit der empirischen Kovarianzmatrix durch Modelltest Modell Annahmen E(δ) = 0 und E(ξδ ) = 0 Cov(ξ, δ) = 0 x = Λ x ξ + δ δ = s + e mit s: Varianz und e: nicht spezifizierter Störterm Die Ladungen können als Regressionskoeffizienten betrachtet werden. Wenn sich ξ um eine Einheit ändert, ändert sich x um den Faktor λ (bei festem δ). 30/35

31 Richtlinien Einführung Grundstruktur der EFA & CFA Nachteile Explorative Faktorenanalyse CFA - Modell Richtlinien Zusammenhang zw. beobeobachteter Kovarianzmatrix & Modellparametern allgemein mindestens 3 Items pro latente Variable Stichprobengröße n = 200 statistisch Beziehungen zw. Variablen linear Additivität der Effekte metrische Variablen Daten durch Erwartungswerte, Varianzen & Kovarianzen erklärt 31/35

32 Grundstruktur der EFA & CFA Nachteile Explorative Faktorenanalyse CFA - Modell Richtlinien Zusammenhang zw. beobeobachteter Kovarianzmatrix & Modellparametern Zusammenhang zw. beob. Kovarianzmatrix & Parametern Sobald ein Modell spezifiziert ist, können durch die beobachteten Varianzen und Kovarianzen die Modellparameter geschätzt werden. Cov(x, ξ) = E(xx ) = E[(Λ x ξ + δ)(ξλ x + δ) ] = Λ x ΦΛ x + Θ δ Φ = Cov(ξ, ξ) Kovarianzmatrix zw. latenten Variablen Θ δ = Cov(δ, δ) Kovarianzmatrix zw. Störtermen nächste Schritte (wie bei LISREL) Parameterschätzung (siehe nächste Woche) Modelltest prüft, ob die berechnete Kovarianzmatrix von der beobachteten signifikant abweicht (siehe übernächste Woche) 32/35

33 Einführung Schritte der Modellierung einer CFA LISREL: lineares Strukturgleichungsmodell Messmodell: latente Variable durch Items Strukturmodell: Beziehungen zwischen latenten Variablen CFA überprüft Modell 33/35

34 Schritte der Modellierung einer CFA Schritte der Modellierung einer CFA 1 Aufstellen eines Strukturgleichungsmodell gemäß Hypothesen 2 Erheben der Daten 3 Berechnen der Varianz-/Kovarianzmatrix aus den Daten 4 Schätzung der Modellparameter 5 Beurteilung des Modells bzw. Vergleich mit Alternativmodell 6 ggf. Modellmodifikation 34/35

35 Einführung Bühner, M. (2004). Einführung in die Test- und Fragebogenkonstruktion. München: Pearson. Bühner, M. (2006). Einführung in die Test- und Fragebogenkonstruktion. München: Pearson. Bollen, KA. (1989). Structuralequationswithlatent variables. New York: Wiley. Leonhart, R. (2003). Lehrbuch Statistik: Einstieg und Vertiefung. Bern: Verlag Hans Huber. Howitt, D. & Cramer, D. (2005). Introduction to Statistics in Psychology. Pearson Prentice Hall. 35/35