Aufgabensammlung. Bank I

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1 Aufgabensammlung Bank I Inhaltsverzeichnis Portfolio-Selection... Kapitalmarktgleichgewicht und Unternehmensbewertung... 4 Kreditvertragstheorie Arbeitseinsatzkontrolle Nichttriviale Risikoallokation Verständnisfragen... 4

2 Portfolio-Selection Seite Portfolio-Selection 990/I Aufgabe In einer Welt, in der die von Neumann-Morgenstern-Nutzenaxiomatik uneingeschränkt gültig ist, betrachten wir einen Anleger, dessen Nutzenfunktion (V) folgende Form hat: V(W) = c - e W a wobei w = normalverteiltes Endvermögen in t = c = beliebige Konstante a = 0,0 a) Wie kann die oben beschriebene Nutzenfunktion derart transformiert werden, daß sie als Argumente ausschließlich den Erwartungswert des Endvermögens in t = () und die Varianz des Endvermögens in t = ( ) enthält, ohne dabei die optimalen Entscheidungen zu verändern? Bezeichnen Sie diese transformierte Funktion als Präferenzfunktion ((, )) und führen Sie alle notwendigen Schritte dieser Transformation durch! Statt einer Rechnung genügt auch eine verbale Beschreibung der einzelnen Transformationsschritte. (6 Punkte) b) Wie hoch ist die Grenzrate der Substitution zwischen und? Zeichnen Sie die aus dieser Präferenzfunktion resultierenden Indifferenzkurven (mindestens ) in ein, - Koordinatensystem maßstabsgetreu ein. Nehmen Sie dabei für an, daß.000 Einheiten einem cm entsprechen, während bei dieses Verhältnis 0: beträgt. Tragen Sie auch die korrekten Achsenbeschriftungen ein! (4 Punkte) c) Hängen die Entscheidungen über riskante Anlagen vom Anfangsvermögen ab, wenn ein Investor die hier vorgegebene Nutzenfunktion hat? Begründung? ( Punkte) Lösung: a) Erwartungswerttheorem: W W a EVW ( ) c e e dx Dichte der Normalverteilung den konstanten c-term können wir vernachlässigen, so daß das Integral über den e-term bleibt. Dort führen wir eine quadratische Ergänzung im Exponenten durch: W W a e e e In Verbindung mit W a a a ist dies konstanter Faktor die Dichte einer Normalverteilung mit E(W) = - ; Var(W) =

3 Portfolio-Selection Seite 3 wiederum kann wegen der Tatsache, daß das Integral über die Dichte = ist, der konstante Faktor aus dem Integral herausgenommen werden und es bleibt: EVW ( ) ce a a Dieser Ausdruck kann nun monoton transformiert werden, so daß bleibt:, a b) d d = a = / 5 tan = = c) Wegen der implizierten konstanten, absoluten Risikoaversion hängen die Entscheidungen nicht vom Anfangsvermögen ab. 996/I Aufgabe 3 Ein Investor mit einem Anfangsvermögen von DM hat die Möglichkeit, dieses Vermögen in drei Wertpapieren mit folgenden Kenndaten zu investieren: p 0 e WP WP WP wobei p 0 = Kurs zum Zeitpunkt t = 0 e = Erwartungswert des Kurses in t = = Kovarianzmatrix mit den Elementen ij Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix - angegeben:

4 Portfolio-Selection Seite Unterstellen Sie, daß Wertpapiere beliebig teilbar sind. a) Betrachten Sie zunächst nur WP und WP3. Ermitteln Sie für ein Portfolio dieser beiden Wertpapiere unabhängig von der in der Kovarianzmatrix vorgegebenen Kovarianz das Varianzminimum unter der Annahme, daß für den Korrelationskoeffizient 3 = - gilt. Geben Sie die Höhe von Varianz und Erwartungswert sowie die entsprechenden Stückzahlen 3 von WP und WP3 an! (0 Punkte) b) Stellen Sie ausgehend von den Angaben aus Teilaufgabe a) in einem Schaubild alle möglichen Kombinationen von Varianz und Erwartungswert des aus den Wertpapieren und 3 bestehenden Portfolios dar; dabei seien keine Leerverkäufe zulässig. Wie ändert sich Ihre Zeichnung, wenn 3 = gilt? (6 Punkte) c) Nehmen Sie nun an, daß neben den drei Wertpapieren mit den eingangs tabellierten Kenndaten noch die Möglichkeit der sicheren Marktanlage mit einer Verzinsung von 0 % existiert. Der Investor möchte den Erwartungswert seines Endvermögens auf DM festlegen. Welche Zusammensetzung hat unter dieser Bedingung sein risikoeffizientes Portfolio? Geben Sie die Stückzahlen der Wertpapiere, die Höhe der sicheren Anlage und die Varianz an! (4 Punkte) a und der Risikoaversionsparameter a. Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die Wertpapierstückzahlen und die Höhe der sicheren Anlage! ( Punkte) d) Für einen Investor gilt die Präferenzfunktion der Form, e) Am Markt existieren 50 Investoren des Typs aus Teilaufgabe d). Daneben existieren weitere 50 Investoren für die der Risikoaversionsparameter a gilt. Wie hoch ist die Risikoaversion des Marktes? Welchen Marktanteil hält ein Investor, wenn sein Risikoaversionsparameter jenem aus Teilaufgabe d) entspricht? (6 Punkte) Lösung: a) x 3 = / 5 ; x = 35 5 / 7 ; = ,07; = ,78

5 Portfolio-Selection Seite 5 b) WP = = - / 3 WP / , / 3 c) x 50 0 ; P ' = ; s. A.= (Kredit) d) Optimierungsbedingung: Steigung des effizienten Randes = Steigung der Indifferenzkurve effizienter Rand: = 0, ( ) Indifferenzkurve: = ( - ) a = ; = ,6; x 35 0 ; s. A.= (Kredit) e) Risikoaversion des Marktes: a M = a a M k k Marktanteil = a M a k a k = : Marktanteil = 0,34848 % (a k = : Marktanteil = 0,38585 %) 8.600

6 Portfolio-Selection Seite 6 996/II (. Teil) Ein Investor mit einem Anfangsvermögen von DM kann ausschließlich zwischen drei riskanten Wertpapieren mit folgenden Daten wählen: p 0 e WP WP, ,5-0 WP ,5 wobei: p 0 = Kurs zum Zeitpunkt t = 0 e = Erwartungswert des Kurses in t = = Kovarianzmatrix mit den Elementen ij Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix - angegeben: 0085, 005, 00, 005, 0, 0, 00, 0, 06, Unterstellen Sie, daß am Markt Leerverkäufe zulässig und die Wertpapiere beliebig teilbar sind. a) Betrachten Sie zunächst nur WP und WP3. Ermitteln Sie für ein Portfolio dieser beiden Wertpapiere unabhängig von der in der Kovarianzmatrix vorgegebenen Kovarianz das Varianzminimum unter der Annahme, daß für den Korrelationskoeffizient 3 jeweils alternativ / 3 und - beträgt. Geben Sie jeweils die Höhe von Varianz und Erwartungswert sowie die entsprechenden Stückzahlen von x und x 3 an! (Runden Sie Ihre Endergebnisse auf jeweils zwei Nachkommastellen!) Veranschaulichen Sie graphisch in der - -Ebene die Menge der möglichen Portfoliokombinationen, die sich für die beiden Fälle mit unterschiedlichem Korrelationskoeffizienten 3 ergeben. Machen Sie dabei die exakten Koordinaten für das jeweilige Varianzminimum sowie für jene Punkte kenntlich, bei denen ausschließlich in eines der beiden Wertpapiere investiert wird. Kennzeichnen Sie jenen Teil der möglichen Portfoliokombinationen, die auch effizient sind (effizienter Rand), wenn man Risikoaversion beim Investor unterstellt. Wie ändert sich Ihr Schaubild, wenn Leerverkäufe nicht zugelassen sind? (0 Punkte) b) Ermitteln Sie das varianzminimale Portfolio und geben Sie neben den Stückzahlen auch den Erwartungswert und die Varianz dieses Portfolios an! (0 Punkte) c) Welcher funktionale Zusammenhang gilt zwischen Erwartungswert und Varianz des Endvermögens entlang des effizienten Randes im 3-Wertpapier-Fall ohne sichere Anlage? Ermitteln Sie die exakte Gleichung! (5 Punkte)

7 Portfolio-Selection Seite 7 d) Beschreiben Sie verbal und zeichnerisch in der - -Ebene, wie ein risikoscheuer Investor mit einer Präferenzfunktion, im Fall ohne sichere Anlage sein optimales Portfolio findet! Wie lauten die Bedingungen erster Ordnung, die im Optimum erfüllt sein müssen? ( Punkte) a mit a. Ermitteln Sie ausgehend von Teilaufgabe c) den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios! Mit welchen Stückzahlen gehen die einzelnen Wertpapiere in das optimale Portfolio ein? ( Punkte) e) Ein Investor hat die Präferenzfunktion, f) Erläutern Sie verbal und anhand einer Skizze in der - -Ebene, wie man im 3- Wertpapier-Fall den effizienten Rand konstruieren kann, wenn keine sichere Anlage existiert! Es kommt dabei nur auf den qualitativen Gehalt der Skizze an. Achten Sie allerdings darauf, daß die Korrelationskoeffizienten der Wertpapiere von verschieden sind! ( Punkte) g) Beschreiben Sie wiederum verbal und zeichnerisch, wie sich der Verlauf des effizienten Randes aus Teilaufgabe f) ändert, wenn es eine Leerverkaufsbeschränkung in zwei von Ihnen frei zu wählenden Wertpapieren gibt. Machen Sie insbesondere jene Punkte kenntlich, in denen die Leerverkaufsbeschränkung zu wirken beginnen! (9 Punkte) h) Neben den riskanten Investitionsmöglichkeiten hat der Anleger jetzt die Alternative, sein Vermögen in eine sichere Anlage, die 0 % p. a. bringt, zu investieren. Der Investor möchte jetzt einen Erwartungswert des Endvermögens von 8.40 DM erzielen. Ermitteln Sie das entsprechende risikoeffiziente Portfolio. Geben Sie die Stückzahlen der Wertpapiere, den Betrag der sicheren Anlage und die Varianz des Portfolios an! ( Punkte) i) Erläutern Sie Inhalt und Voraussetzungen des Tobin schen Separationstheorems! Welche Konsequenzen ergeben sich aus diesem Theorem für die Portfoliostruktur von Investoren mit homogenen Erwartungen? Welches Theorem tritt an die Stelle des Tobin schen Separationstheorems, wenn keine sichere Anlage existiert? Wann kann es bei fehlen einer sicheren Anlage vorteilhaft sein, Geld wegzuwerfen? Wie verändert sich der effiziente Rand, wenn Geld wegwerfen eine zulässige Form der Geldanlage darstellt? Welche Investoren werden von der Möglichkeit, Geld wegzuwerfen, gegebenenfalls Gebrauch machen? (8 Punkte) Lösung: a) Cov( ~ e ; ~ e für 3 = - : Cov( ~ e ; ~ e 3 0 7, 5 = -,47449 für 3 = / 3 : Cov( ~ e ; ~ e 3 / 3 0 7, 5 = 4,08489 Für Cov( ~ e ; ~ e 3 Min = 0x + 7,5x 3 + (-,47449) x x 3. NB: = 5x + 5x 3

8 Portfolio-Selection Seite 8 x = 96-0,x 3 d dx 3 = -8(96-0,x 3 ) + 5x , ,797959x 3 = 0! 6,397959x 3 = 9.68,4898 x 3 = 364,3649; x = 3,70; = 0; = 8.433,746 Für Cov( ~ e ; ~ e 3 Min = 0x + 7,5x 3 + 4,08489 x x 3 d dx 3 = -8(96-0,x 3 ) + 5x , ,659863x 3 = 0! 3,334x 3 = - 48,89877 x 3 = - 3,66; x = 96,734; =.75.30,6; = 8.86,535 nur WP 3: x 3 =.480 nur WP : x = 96 = = 8.88 = = alles in WP 3 alles in WP , = , ,54 3 = / 3 effizienter Rand ist der rechte aufsteigende Ast der Parabel. Falls Leerverkaufsverbote existieren, endet er in dem Punkt, in dem alles in WP 3 fließt. b) x min min 095, 95 W. p, p p , 74 33, 330, e p.. p p W W min p p

9 Portfolio-Selection Seite 9 c) = ( - min ) + min TPF e e p e W 954, , , 9 = 64,34783 TPF W p e e' e 7400., 89 d) = 64,34783( ) effizienter Rand alles in WP alles in WP 3 alles in WP Indifferenzkurve optimales Portfolio 0 80 Bedingung. Ordnung: Steigungen von IK und effizienten Rand müssen gleich sein verbal: gesucht ist die IK, die am weitesten rechts außen liegt und gerade noch den effizienten Rand tangiert je weiter rechts außen, desto höherer Nutzen e) effizienter Rand: = ( - min ) + min aus Teilaufgabe c): = 64,34783( ) Gleichsetzen: d d a = 64,34783( ) = 64,34783( ) = 8.99 =

10 Portfolio-Selection Seite 0 x eff ( W0 UV) p( W0 VW) e UW V U e' e mit: V p' e W p' p = 46, f) vgl. d); effizienter Rand ist der vom Varianzminimum aufsteigende Ast der umhüllenden (fetten) Parabel verbal:.) Punkte bestimmen, wo alles in ein WP fließt.) Kombinationen zweier WP s bestimmen 3.) umhüllende Parabel bestimmen (tangiert Parabeln aus der Kombination zweier Wertpapiere) g) Leerverkäufe wirken dann, wenn -WP-Parabel über den Punkt hinausgeht, in dem alles in ein WP fließt bzw. wenn umhüllende Parabel über den Berührpunkt mit den inneren Parabeln hinausgeht. h) P x ' mit P = - (+i)w x 0, , 0, 05, 5 50 ; 50 P ' = ; s. A.= i) Bei vollkommenen Kapitalmarkt und homogenen Erwartungen hält jeder Investor ein Portfolio aus unsicheren Wertpapieren, welches er mit der sicheren Anlage mischt. Die Zusammensetzung des Portfolios aus unsicheren Wertpapieren ist unabhängig vom Grad der Risikoaversion eines einzelnen Investors und entspricht dem Marktportfolio. Voraussetzung: Normalverteilung der Aktienkurse oder Akteure haben Nutzenfunktionen mit identischen linearen Risikotoleranzen. Bei Nichtexistenz einer sicheren Anlage gilt das -Fonds-Theorem von Cass/Stiglitz. Dies besagt, dass jedes effiziente Portfolio durch Mischung von zwei effizienten Portfolios (z. B. dem Tangential- und dem varianzminimalen Portfolio) erreicht werden kann. Tangentialportfolio varianzminimales Portfolio

11 Portfolio-Selection Seite Bei sehr starker Risikoaversion kann Geld wegwerfen vorteilhaft sein, wenn der Nutzenzuwachs durch höheren Erwartungswert vom negativen Einfluß der höheren Varianz überkompensiert wird Erwartungswert bleibt zwar niedrig, dafür aber Varianz auch. 997/II Aufgabe 3 Ein Investor mit einem Anfangsvermögen von DM kann ausschließlich zwischen drei riskanten Wertpapieren mit folgenden Daten wählen: p 0 e WP WP WP wobei: p 0 = Kurs zum Zeitpunkt t = 0 e = Erwartungswert des Kurses in t = = Kovarianzmatrix mit den Elementen ij Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix - angegeben: Unterstellen Sie, daß am Markt Leerverkäufe zulässig und die Wertpapiere beliebig teilbar sind. a) Ermitteln Sie das varianzminimale Portfolio und geben Sie neben den Stückzahlen auch den Erwartungswert und die Varianz dieses Portfolios an! (0 Punkte) b) Welcher funktionale Zusammenhang gilt zwischen Erwartungswert und Varianz des Endvermögens entlang des effizienten Randes im 3-Wertpapier-Fall ohne sichere Anlage? Ermitteln Sie die exakte Gleichung! (5 Punkte) c) Skizzieren Sie in der - -Ebene, wie ein risikoscheuer Investor mit einer Präferenzfunk-, im Fall ohne sichere Anlage sein optimales Portfolio findet! (5 Punkte) tion d) Neben den riskanten Investitionsmöglichkeiten hat der Anleger jetzt die Alternative, sein Vermögen in eine sichere Anlage, die zwischen t = 0 und t = eine Verzinsung von 0 % bringt, zu investieren. Der Investor möchte jetzt einen Erwartungswert des Endvermögens von DM erzielen. Ermitteln Sie das entsprechende risikoeffiziente Portfolio. Geben Sie die Stückzahlen der Wertpapiere, den Betrag der sicheren Anlage und die Varianz des Portfolios an! ( Punkte)

12 Portfolio-Selection Seite e) Jetzt existiert ein gespaltener Kapitalmarkt, an dem Mittel zu 0 % angelegt werden können, Kredite aber 0 % kosten. Beschreiben Sie anhand einer qualitativen Skizze den Verlauf des effizienten Randes. Welches Portfolio realisiert der Investor aus Teilaufgabe d) jetzt? (6 Punkte) Lösung: 98 a) x min 6, min min b) = ( - min ) + min 64.46,56 ; , 75 TPF TPF = 3,7578( ) d) x 96 ; 4 = ; s. A.= e),w,w keine Änderung des optimalen Portfolios, da kein Kredit aufgenommen wird. 998/II Aufgabe Ein Investor mit einer Präferenzfunktion der Form a Anfangsvermögen von DM. Am Markt werden folgende Wertpapiere gehandelt: p i e i WP WP (, ) hat ein

13 Portfolio-Selection Seite 3 wobei folgende Notation gilt: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = e i Ee~ i cov e ~, ~ = Kovarianzmatrix mit den Elementen Unterstellen Sie, daß Wertpapiere beliebig teilbar und Leerverkäufe zulässig sind. a) Welches Portfolio realisiert der Investor, wenn sein Risikoaversionsparameter a den Wert annimmt? Ermitteln Sie Erwartungswert und Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! (5 Punkte) b) Jetzt existiert ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Zinssatz von 0 %. Der Investor ist nach gründlichen Überlegungen zu dem Entschluß gekommen, 90 % seines Anfangsvermögens in die zwei unsicheren Wertpapiere und die restlichen 0 % in eine sichere Anlage zu investieren. Welchen Risikoaversionsparameter a müßte dieser Investor haben, damit dieses Portfolio gleichzeitig sein optimales Portfolio darstellt? Achten Sie darauf, daß ihre einzelnen Rechenschritte nachvollziehbar dargestellt werden! (3 Punkte) c) Gehen Sie nunmehr davon aus, daß am Kapitalmarkt Kredite zu 0% aufgenommen werden können, sichere Geldanlagen aber nur 0% abwerfen. Zeigen sie anhand einer Skizze, wie der effiziente Rand verlaufen muß und wie ein Investor, der eine Präferenzfunktion des eingangs angegebenen Typs besitzt, sein optimales Portfolio für den Fall findet, daß er a) hierfür einen Kredit aufnehmen muß oder b) daß er einen Teil seines Vermögens in die sichere Anlage investiert! (0 Punkte) i e j Lösung: a) x = ; x = 0.00 ; = 5 Mio. ; = alles in WP: = ; = 00 Mio = ; = 7,5 Mio.; x =.600; x = 300 = Varianzminimum b) 00 = x + x x = 00 - x Min = 5x + 30x + 0 x x d = 50x dx! 0x = 44; x = = = 30 x * =.30; x * = 360; * = ; * = 5, Mio. = 5,8 a 7.400

14 Portfolio-Selection Seite 4 999/I Aufgabe 3 Ein Investor mit einem Anfangsvermögen von DM hat die Möglichkeit, dieses Vermögen in drei Wertpapieren mit folgenden Kenndaten zu investieren: p i e i WP WP WP wobei p i = Kurs des Wertpapiers i zum Zeitpunkt t = 0 e i = Erwartungswert des Kurses des Wertpapiers i in t = = Kovarianzmatrix mit den Elementen ij Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix - angegeben: Unterstellen Sie, daß Wertpapiere beliebig teilbar sind. a) Betrachten Sie zunächst nur WP und WP 3. Ermitteln Sie für ein Portfolio dieser beiden Wertpapiere unabhängig von der in der Kovarianzmatrix vorgegebenen Kovarianz das Varianzminimum unter der Annahme, daß für den Korrelationskoeffizient 3 = 0 gilt. Geben Sie die Höhe von Varianz und Erwartungswert sowie die entsprechenden Stückzahlen von WP und WP 3 an! (8 Punkte) b) Stellen Sie ausgehend von den Angaben aus Teilaufgabe a) in einem Schaubild alle möglichen Kombinationen von Varianz und Erwartungswert des aus den Wertpapieren und 3 bestehenden Portfolios dar; dabei seien für WP keine Leerverkäufe zulässig. Wie ändert sich Ihre Zeichnung, wenn 3 = - gilt? (5 Punkte) a mit a. Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios für den Fall mit 3 Wertpapieren! Mit welchen Stückzahlen gehen die einzelnen Wertpapiere in das optimale Portfolio ein? (8 Punkte) c) Ein Investor hat die Präferenzfunktion, d) Was besagt das Zwei-Fonds-Theorem? Geben Sie die zahlenmäßig konkretisierte Struktur zweier aus den drei Wertpapieren des Beispiels zusammengestellter Fonds an, für die das Theorem gilt! (7 Punkte)

15 Portfolio-Selection Seite 5 Lösung: a) x 3 =.87; x =.664; = ; = c).00 x min.00 ; ; min min ,4 ; ,4 TPF TPF =,667( ) opt ; opt = x.00 eff = /I Aufgabe Ein Investor mit einer Präferenzfunktion der Form (, ) a hat ein Anfangsvermögen in Höhe von DM. Am Markt werden folgende 3 Wertpapiere gehandelt: p i e i WP 4 7,5 3 3 WP WP , wobei folgende Notation gilt: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = e i Ee~ i cov e ~, ~ = Kovarianzmatrix mit den Elementen Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix - angegeben: i e j

16 Portfolio-Selection Seite 6 Unterstellen Sie, daß Wertpapiere beliebig teilbar und Leerverkäufe zulässig sind. a) Welches Portfolio realisiert der Investor, wenn sein Risikoaversionsparameter a den Wert annimmt? Ermitteln Sie Erwartungswert und Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! (8 Punkte) b) Ermitteln Sie die entsprechenden Werte aus Teilaufgabe a) unter der Annahme, daß ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Zinssatz von 0 % existiert. Geben Sie außerdem die Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarktes an. (0 Punkte) c) Welchen Risikoparameter müßte ein Investor haben, damit er den Kapitalmarkt bei gleichem Zinssatz nicht in Anspruch nimmt? ( Punkte) d) Welches Portfolio realisiert der Anleger aus Aufgabe b), wenn sein Anfangsvermögen nur noch DM beträgt? Wie hoch ist die Inanspruchnahme des Kapitalmarktes? Wie läßt sich Ihr Ergebnis begründen? (8 Punkte) Lösung: a) ( ) = / a = = x b) 8, = 30.47, = x sichere Anlage = c) a = / d) Der Betrag der sicheren Anlage verringert sich um das verminderte Eigenkapital. Mit DM Anfangsvermögen nimmt der Investor somit einen Kredit von.648 DM auf. Die Wertpapierstückzahlen ändern sich nicht.

17 Portfolio-Selection Seite 7 000/II Aufgabe Ein Investor mit einer Präferenzfunktion der Form Anfangsvermögen in Höhe von 3 DM. Am Markt werden folgende 3 Wertpapiere gehandelt: (, ) a hat ein p i e i WP WP WP 3 3 3, wobei folgende Notation gilt: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = e i Ee~ i cov e ~, ~ = Kovarianzmatrix mit den Elementen Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix - angegeben: Unterstellen Sie, daß Wertpapiere beliebig teilbar und Leerverkäufe zulässig sind. Betrachtet wird ein Investor, dessen Risikoaversionsparameter a den Wert annimmt. 00 i e j a) Ermitteln Sie für den Fall ohne sichere Anlage- bzw. Verschuldungsmöglichkeit Erwartungswert und Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen. (8 Punkte) b) Es existiere nunmehr ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Zinssatz von 0 %. Geben Sie auch für diesen Fall Erwartungswert, Varianz und Wertpapierstückzahlen des optimalen Portfolios an. Geben Sie außerdem die Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarktes an. (0 Punkte) c) Nun liege ein gespaltener Kapitalmarkt mit i Haben = 0% und i Soll = 5% vor. (i) Erläutern Sie anhand einer Skizze, wie in diesem Fall der effiziente Rand verläuft, und geben Sie dabei insbesondere auch Erwartungswert µ und Varianz der Tangentialportfolios jeweils für i Haben = 0% (vgl. dazu Teilaufgabe a) bzw. b)) und i Soll = 5% an. (0 Punkte) (ii) Auf welchem Teil des effizienten Randes muss aufgrund Ihrer Lösungen zu den

18 Portfolio-Selection Seite 8 Teilaufgaben a) und b) das optimale Portfolio des Investors liegen und was lässt sich deshalb über die Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarktes aussagen? Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Wertpapierstückzahlen des optimalen Portfolios des Investors. (0 Punkte) Lösung: a) µ = 338,8; = 83.33,36; x = (65,98; 30,4;,88) b) µ = 359,4; = 6.36,89; x = (85,063; 33,48; 34,937) M = W - x p = -77,355 < 0 Kredit c) i) µ TPF/5% = 337,0; TPF/5% = µ TPF/0% = 333; TPF/0% = ii) aus a): ohne sichere Anlage: µ = 338, nicht zulässig aus b): i = 0% M < 0 nicht zulässig Lösung liegt auf 5% - Parabel; µ < 337; M < 0 Bedingung: d /dµ = /a µ = 34,853; = x = (70,633; 3,39; 5,83) M = W - x p = -8,874 00/I Aufgabe Unterstellt sei im Folgenden immer ein Anfangsvermögen in Höhe von DM. Am Markt werden bei beliebiger Teilbarkeit folgende 3 Wertpapiere gehandelt: p i e i WP WP WP wobei folgende Notation gilt: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = e i Ee~ i cov e ~, ~ = Kovarianzmatrix mit den Elementen i e j

19 Portfolio-Selection Seite 9 a) Zunächst werden nur die Wertpapiere und betrachtet. Ermitteln Sie das varianzminimale Portfolio und geben Sie die Höhe von Erwartungswert und Varianz des Endvermögens sowie die entsprechenden Stückzahlen an. (8 Punkte) b) Welcher funktionale Zusammenhang besteht bei Aufgabe a) zwischen Erwartungswert und Varianz entlang des effizienten Randes? Stellen Sie den effizienten Rand in einem Schaubild dar, wobei keine Leerverkäufe zulässig sein sollen. Geben Sie die Koordinaten aller relevanten Punkte an. (6 Punkte) c) Ermitteln Sie ausgehend von Aufgabe a), welches Portfolio ein Investor mit einer Präferenzfunktion der Form (, ) a realisiert, wenn der Risikoaversionsparameter a den Wert annimmt. Geben Sie Erwartungswert, Varianz sowie die 000 entsprechenden Stückzahlen an. Leerverkäufe seien nicht zulässig. (6 Punkte) d) Nun wird der 3 Wertpapier-Fall betrachtet. Ermitteln Sie im Fall ohne sichere Anlagebzw. Verschuldungsmöglichkeit für einen Investor mit einer Präferenzfunktion der Form (, ) a, dessen Risikoaversionsparameter a den Wert annimmt, 000 Erwartungswert und Varianz des optimalen Portfolios sowie die zugehörigen Wertpapierstückzahlen. Hinweis. Die inverse Kovarianzmatrix - lautet: e) Es wird weiterhin der 3 Wertpapier-Fall betrachtet, wobei nunmehr ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Zinssatz von 0 % existiert. Geben Sie für einen Investor, der einen Erwartungswert in Höhe von erzielen möchte, Varianz und Wertpapierstückzahlen des entsprechenden Portfolios an. Geben Sie außerdem die Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarktes an. Lösung: a) x min = W 8000 p p p 6000 σ min = 40 Mio μ min = b) σ = 0,65 (μ ) Alles in WP: σ = 400 Mio μ =

20 Portfolio-Selection Seite 0 Alles in WP: σ = 00 Mio μ = c) Ableitung des effizienten Randes in μ = (alles in WP) = < /a = Ableitung der Indifferenzkurve. Also: Wegen Leerverkaufsbeschränkung alles in WP x = 0000 σ = 00 Mio μ = d) eσ - p = 7460 pσ - p = 550 eσ - e = 0848 σ = 0,03887 (μ ,37) ,57 Im Optimum: μ = 86 78,5 σ = ,3 x = 747, ,4 38, 8505 e) σ = 0000 = 498,73 667,5 x = 09,738 86,43 344,569 S = 73 08,63 00/II Aufgabe 4 Ein Investor mit der Präferenzfunktion (, ) Risikoaversionsparameter a verfügt über ein Anfangsvermögen von.500. Am 50 Markt werden zwei Wertpapiere mit folgenden Kenndaten gehandelt: p i e i WP WP a und dem

21 Portfolio-Selection Seite wobei folgende Notation gilt: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = e i Ee~ i cov e ~, ~ = Kovarianzmatrix mit den Elementen Unterstellen Sie, dass die Wertpapiere beliebig teilbar sind. Leerverkäufe seien am Markt nicht zulässig. Achtung! Sämtliche Teilaufgaben sind ohne Zuhilfenahme der Matrizenrechnung zu lösen! a) Welches Portfolio realisiert der Investor? Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Stückzahlen! (5 Punkte) b) Verdeutlichen Sie anhand einer Skizze, wie der Investor aus Teilaufgabe a) sein optimales Portfolio findet! (3 Punkte) c) Nun bietet sich dem Investor zusätzlich die Möglichkeit, den Kapitalmarkt in Anspruch zu nehmen. Der sichere Zins auf dem vollkommenen Kapitalmarkt beträgt 0 %. Welcher Anteil des Anfangsvermögens fließt bei der Zusammenstellung des optimalen Portfolios in die zwei unsicheren Wertpapiere? Welcher Betrag wird am Kapitalmarkt angelegt? (5 Punkte) d) Auf welchen Wert muss der Zinssatz mindestens fallen, damit der Investor kein Geld mehr in die sichere Anlage investiert? Veranschaulichen Sie Ihren Lösungsweg in der Skizze aus Teilaufgabe b)! (5 Punkte) i e j Lösung: a) opt = opt = x = 8 x = 48 b) Grafik c) opt = Ein Anteil von 88,8% des Anfangsvermögens wird in die Wertpapiere investiert. Anlage von.500 am KM. d) i 8 %

22 Portfolio-Selection Seite 00/I Aufgabe Ein Investor mit der Präferenzfunktion (, ) a verfügt über ein Anfangsvermögen von DM (kein Schrott!). Am Markt werden zwei Wertpapiere mit folgenden Kenndaten gehandelt: p i e i WP WP Wobei folgende Notation gilt: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = e i Ee~ i cov e ~, ~ = Kovarianzmatrix mit den Elementen Unterstellen Sie, dass die Wertpapiere beliebig teilbar und Leerverkäufe zulässig sind. Sämtliche Teilaufgaben sind ohne Zuhilfenahme der Matrizenrechnung zu lösen! a) Berechnen Sie, welchen Wert der Risikoaversionsparameter a annehmen muss, damit das Portfolio mit dem Erwartungswert von DM (kein Schrott!) für den Investor das optimale Portfolio darstellt! Ermitteln Sie die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Stückzahlen! (5 Punkte) b) Nun bietet sich dem Investor zusätzlich die Möglichkeit, den Kapitalmarkt in Anspruch zu nehmen. Sichere Anlagen verzinsen sich mit 0%. Kredite können zu 0% aufgenommen werden. Der Erwartungswert des Tangentialportfolios für i Haben = 0% beträgt DM (kein Schrott!). i e j Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz des Tangentialportfolios für den Zinssatz i Soll = 0%. Berechnen Sie das optimale Portfolio, wenn Erwartungswert und die Varianz an. a gilt. Geben Sie den 00 Verdeutlichen Sie anhand einer Skizze den Verlauf des effizienten Randes. Kennzeichnen Sie dabei insbesondere die Lage des varianzminimalen Portfolios, der Tangentialportfolios sowie des optimalen Portfolios. (8 Punkte) c) Wie würde die optimale Anlagestrategie des Investors aus Teilaufgabe b) lauten, wenn der Korrelationskoeffizient = - beträgt. Begründung! (0 Punkte)

23 Portfolio-Selection Seite 3 d) Gehen Sie davon aus, dass die Erwartungswerte der Wertpapiere normalverteilt sind. Halten Sie die Nutzenfunktion, die der oben angegebenen Präferenzfunktion unter dieser Bedingung zugrunde liegen muß, für plausibel? Begründen Sie Ihre Antwort! (5 Punkte) 00/II Aufgabe l Ein Investor mit der Präferenzfunktion (, ) a verfügt über ein Anfangsvermögen von.000 GE. Am Markt werden zwei Wertpapiere mit folgenden Kenndaten gehandelt: Dabei gilt folgende Notation: pi e; a WP WP p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t=0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t= e E ~ i e i = Kovarianzmatrix mit den Elementen Cov (ẽ, ẽ ) Unterstellen Sie, dass am Markt Leerverkäufe zulässig und die Wertpapiere beliebig teilbar sind. Sämtliche Teilaufgaben sind ohne Zuhilfenahme der Matrizenrechnung zu lösen! a) Berechnen Sie für den Fall ohne sichere Anlage das optimale Portfolio, falls der Risikoaversionsparameter den Wert 00 annimmt! Geben Sie den Erwartungswert und die a Varianz sowie die entsprechenden Stückzahlen von WP und WP an! ( 5 Punkte) b) Nun bietet sich dem Investor zusätzlich die Möglichkeit, Geld im Sparstrumpf aufzubewahren. Ermitteln Sie, welchen Wert der Risikoaversionsparameter a annehmen muss, damit für den Investor das Portfolio mit einem Erwartungswert von 450 GE das optimale Portfolio darstellt. Geben Sie die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Stückzahlen an. Verdeutlichen Sie Ihre Lösung anhand einer Zeichnung. (0 Punkte) c) Nehmen Sie nun unabhängig von der in der Kovarianzmatrix angegebenen Kovarianz an, dass der Korrelationskoeffizient p = beträgt. Berechnen Sie das varianzminimale Portfolio sowie die Gleichung des effizienten Randes. Verdeutlichen Sie den Verlauf des effizienten Randes anhand einer Grafik. (8 Punkte) d) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz des varianzminimalen Portfolios aus Teilaufgabe c), falls Leerverkäufe nicht zulässig sind (5 Punkte)

24 Portfolio-Selection Seite 4 003/II Aufgabe Ein Investor mit einem Anfangsvermögen von.000 DM hat die Möglichkeit, dieses Vermögen in drei Wertpapiere mit folgenden Kenndaten zu investieren: Po e WP 4,5 7 5,5 3 - WP 5 7, WP3,35 - -,5 wobei po = Kurs zum Zeitpunkt t = 0 e = Erwartungswert des Kurses in t = = Kovarianzmatrix mit den Elementen ij Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix angegeben: Unterstellen Sie, dass Wertpapiere beliebig teilbar und Leerverkäufe zulässig sind. a) Welcher funktionale Zusammenhang gilt zwischen Erwartungswert und Varianz des Endvermögens entlang des effizienten Randes, falls keine sichere Anlage existiert? Ermitteln Sie die exakte Gleichung! (0 Punkte) a mit a Ermitteln. Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios! Mit welchen Stückzahlen gehen die einzelnen Wertpapiere in das optimale Portfolio ein? ( Punkte) b) Ein Investor hat die Präferenzfunktion, c) Nehmen Sie nun an, dass neben den drei Wertpapieren mit den eingangs tabellierten Kenndaten noch die Möglichkeit der sicheren Marktanlage mit einer Verzinsung von 5 % existiert. Der Investor möchte den Erwartungswert seines Endvermögens auf DM festlegen. Welche Zusammensetzung hat unter dieser Bedingung sein risikoeffizientes Portfolio? Geben Sie die Stückzahlen der Wertpapiere, die Höhe der sicheren Anlage und die Varianz an! Welchen Risikoaversionsparameter a müsste ein Investor mit einer Präferenzfunktion der Form, a haben, damit dieses Portfolio sein optimales Portfolio darstellt? (3 Punkte) d) Jetzt existiert ein gespaltener Kapitalmarkt, an dem Mittel zu 0 % angelegt werden können, Kredite aber 5 % kosten. Beschreiben Sie anhand einer qualitativen Skizze den Ver-

25 Portfolio-Selection Seite 5 lauf des effizienten Randes. Welches Portfolio realisiert der Investor aus Teilaufgabe c) jetzt? (5 Punkte) e) Beschreiben Sie verbal (ohne zahlenmäßige Rechnung), wie in Teilaufgabe b) bei der Ermittlung der Lösung vorzugehen wäre, wenn Leerverkäufe nicht zulässig wären. (4 Punkte) f) Am Markt existieren 00 Investoren des Typs aus Teilaufgabe c). Daneben existieren weitere 50 Investoren für die der Risikoaversionsparameter a gilt. Wie hoch ist die Risikoaversion des Marktes? Welchen Anteil des Marktportfolios hält ein Investor, wenn sein Risikoaversionsparameter jenem aus Teilaufgabe c) entspricht? (4 Punkte) 004/I Aufgabe Ein nutzenmaximierender Akteur mit der Präferenzfunktion (, ) a verfügt in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt über Eigenkapital in Höhe von 500 Goldmark (GM), das er für eine Periode anlegen möchte. Der Risikoaversionsparameter a des Investors hat den Wert a=. 350 Am Markt werden zwei riskante Wertpapiere A i mit i, gehandelt, die in t=0 in beliebiger Stückelung an der Börse erworben werden können. Finanzanalysten prognostizieren für die Aktie A i die im folgenden Tableau angegebenen Parameter der Verteilungsfunktion des normalverteilten Aktienkurses in t=. p i e i A A Es gilt folgende Notation: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t=0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t= e E ~ i e i = Kovarianzmatrix mit den Elementen Cov (ẽ, ẽ ) Gehen Sie davon aus, dass Leerverkaufspositionen in den risikotragenden Finanzaktiva A und A zulässig sind. Bitte beachten Sie: Alle Teilaufgaben sind ohne Rückgriff auf die Matrizenrechnung zu beantworten! a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der effizienten Kombinationen der riskanten Wertpapiere A und A im μ-σ²-koordinatensystem! Geben Sie die Koordinaten sowie die Stückzahlen im Varianzminimum an! Die Variable μ bezeichnet den Erwartungswert des Endvermögens in t=, σ² dessen Varianz. (8 Punkte)

26 Portfolio-Selection Seite 6 b) Verdeutlichen Sie den Verlauf der Ortslinie aller risikoeffizienten Wertpapiermischungen in einer Graphik! Markieren Sie darin auch die Menge aller überhaupt möglichen A /A - Kombinationen! (5 Punkte) c) Ermitteln Sie die optimale Anlagestrategie des Investors! Berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Varianz seines optimal gemischten Portfolios! Geben Sie die Stückzahlen von A i im Investitionsoptimum an! Welche Nutzeneinbuße würde der Akteur erleiden, wenn Leerverkäufe der riskanten Finanzaktiva verboten wären? Veranschaulichen Sie diese Situation in der Graphik aus Teilaufgabe b)! ( Punkte) d) Neben den beiden Aktien steht dem Investor jetzt eine weitere Anlagemöglichkeit zur Verfügung. Am vollkommenen Kapitalmarkt wird ein risikofreier Zerobond gehandelt, der ebenso wie A und A leerverkauft werden kann. Welche Investitionspolitik sollte der betrachtete Akteurverfolgen, wenn dieses sichere Wertpapier im Planungszeitraum eine Rendite von 0 % abwirft? Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz sowie die Stückzahlen der Aktien A i im optimalen Portfolio. Geben Sie außerdem an, in welchem Umfang der Akteur den riskanten Wertpapieren die sichere Anlage beimischen sollte (Kapitalmarktposition)! Welche Nutzenminderung hätte der Investor hinzunehmen, wenn Leerverkäufe von Aktien verboten wären? (0 Punkte) e) Inwiefern weist die in Bezug auf die Aktienkursentwicklung unterstellte Verteilungsannahme eine unrealistische Eigenschaft auf? ( Punkt) f) Erläutern Sie verbal, ob durch geeignete Mischung der beiden riskanten Wertpapiere ein risikoloses Portfolio zusammengestellt werden könnte, falls der Korrelationskoeffizient den Wert = + hätte und Leerverkäufe zulässig sind. ( Punkte) 005/II Aufgabe Ein Investor mit einer Präferenzfunktion der Form (, ) a verfügt über ein Anfangsvermögen in Höhe von 86 Silbermünzen. Am Markt werden die folgenden drei Wertpapiere gehandelt, in die er sein Vermögen investieren kann: p i e i WP WP WP Es gilt folgende Notation: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = e i Ee~ i cov e ~, ~ = Kovarianzmatrix mit den Elementen i e j

27 Portfolio-Selection Seite 7 Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix - angegeben: 0,045-0,05-0,005-0,05 0,05 0,05-0,005 0,05 0,3 Gehen Sie davon aus, dass Wertpapiere beliebig teilbar und Leerverkäufe zulässig sind. Der Risikoaversionsparameter a des Investors beträgt a =. 00 a) Welche Anlageentscheidung wird der Investor unter den bisher genannten Voraussetzungen treffen? Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! (8 Punkte) b) Lösen Sie das Entscheidungsproblem des Investors unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass am Kapitalmarkt neben den drei riskanten Wertpapieren ein risikofreier Zerobond gehandelt wird, der sich über die Planungsperiode des Investors mit 0% verzinst. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! Geben Sie außerdem die Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarktes an! ( Punkte) c) Veranschaulichen Sie anhand einer qualitativen Skizze den Verlauf des effizienten Randes für den Fall eines gespaltenen Kapitalmarkts, d.h. eines Kapitalmarkts mit unterschiedlichem Soll- und Habenzins! Beschreiben Sie außerdem zeichnerisch und verbal, wie sich der Verlauf des effizienten Randes darstellt, wenn es eine Leerverkaufsbeschränkung in zwei von Ihnen frei zu wählenden Wertpapieren gibt! Achten Sie auf eine vollständige Beschriftung Ihrer Zeichnung! (6 Punkte) d) Erläutern Sie die Aussage des Tobin schen Separationstheorems! Welche Konsequenzen ergeben sich aus diesem Theorem für die Portfoliostruktur von Investoren mit homogenen Erwartungen? Welches Theorem tritt an die Stelle des Tobin schen Separationstheorems, wenn am Markt ausschließlich risikobehaftete Wertpapiere gehandelt werden? Konkretisieren Sie das in diesem Fall einschlägige Theorem im Hinblick auf die Struktur der effizienten Wertpapierportfolios! (6 Punkte) e) Am Kapitalmarkt agieren 50 Investoren mit einem individuellen Risikoaversionsparameter a = /00 und 40 Investoren mit a = /50. Berechnen Sie die Risikoaversion des Marktes! Welchen Bruchteil des Marktportfolios hält jeder einzelne Investor? Lösung : a) 4,5( 907,) 63 b) ER μ opt = 9,906; σ opt = 573,764 Stückzahlen im Optimum: x = 0,63; x = 9,; x 3 =,64 ER,50( 897,60)

28 Portfolio-Selection Seite 8 Stückzahlen im Optimum: x = ; x = 0; x 3 = 4 Sichere Anlage: = -44 opt = 93,60; σ opt = /II Aufgabe Ein Investor mit einer Präferenzfunktion der Form (, ) a verfügt über ein Anfangsvermögen in Höhe von.800 Silbermünzen. Am Markt werden die folgenden drei Wertpapiere gehandelt, in die er sein Vermögen investieren kann: p i e i WP WP WP Es gilt folgende Notation: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = e i Ee~ i cov e ~, ~ = Kovarianzmatrix mit den Elementen Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix - angegeben: 0,035 0,0075-0,04 0,0075 0, ,08-0,04-0,08 0,6 Gehen Sie davon aus, dass Wertpapiere beliebig teilbar und Leerverkäufe zulässig sind. i e j Der Risikoaversionsparameter a des Investors beträgt a = 000. a) Welche Anlageentscheidung wird der Investor unter den bisher genannten Voraussetzungen treffen? Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! (6 Punkte) b) Lösen Sie das Entscheidungsproblem des Investors unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass am Kapitalmarkt neben den drei riskanten Wertpapieren ein risikofreier Zerobond gehandelt wird, der sich über die Planungsperiode des Investors mit 5% verzinst. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! Geben Sie außerdem die Höhe der

29 Portfolio-Selection Seite 9 Inanspruchnahme des Kapitalmarkts an! (0 Punkte) c) Gehen Sie nun von einem gespaltenen Kapitalmarkt mit differenzierten Zinssätzen für sichere Geldanlagen in Höhe von i Haben = 5% und für sichere Kredite in Höhe von i Soll = 30% aus! Auf welchem Abschnitt des effizienten Randes liegt jetzt das Investitionsoptimum? Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz sowie die Wertpapierstückzahlen des optimalen Portfolios des Investors! In welchem Umfang nimmt der Investor den Kapitalmarkt in Anspruch? Beschreiben Sie die Struktur des optimalen Portfolios verbal! Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Koordinaten der beiden Tangentialportfolios für i Haben und i Soll. Geben Sie die Definitionsbereiche der verschiedenen Abschnitte des effizienten Randes an und prüfen Sie dann, für welchen Abschnitt des effizienten Randes sich eine im Definitionsbereich liegende Lösung für das optimale Portfolio des Investors ergibt. Berücksichtigen Sie dabei auch die Ergebnisse der vorangegangenen Teilaufgaben! (6 Punkte) d) Veranschaulichen Sie anhand einer qualitativen Skizze den Verlauf des effizienten Randes für den Fall des gespaltenen Kapitalmarkts aus Teilaufgabe c), d.h. eines Kapitalmarkts mit unterschiedlichem Soll- und Habenzins! Achten Sie auf eine vollständige Beschriftung Ihrer Zeichnung! Kennzeichnen Sie dabei insbesondere die Lage des varianzminimalen Portfolios, der Tangentialportfolios sowie des optimalen Portfolios! (6 Punkte) Lösung: a) 3-WP-Fall ohne sichere Anlage ER: 0( 385) ER opt =.485; opt = Stückzahlen im Optimum: x = 4,50; x = -8,75; x 3 = 7,50 b) ER,565(.50) Stückzahlen im Optimum: x = 0; x = -0; x 3 = 0 Sichere Anlage: = opt =.890; opt = c) i = 5%; tan =.40 i = 30%; tan =.460 Somit: Optimum muss auf Sollzinsparabelabschnitt liegen ER 6,5(.340) opt =.500; opt =

30 Portfolio-Selection Seite 30 Stückzahlen im Optimum: x = 40; x = -0; x 3 = 40 Kreditaufnahme: = /I Aufgabe Ein nutzenmaximierender Akteur mit der Präferenzfunktion (, ) a verfügt in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt über Eigenkapital in Höhe von 5 Goldmark (GM), das er für eine Periode anlegen möchte. Der Risikoaversionsparameter a des Investors hat den Wert a. Am Markt werden zwei riskante Wertpapiere A i mit i, gehandelt, die in t=0 544 in beliebiger Stückelung an der Börse erworben werden können. Gehen Sie davon aus, dass Leerverkaufspositionen in den risikotragenden Finanzaktiva A und A verboten sind. Finanzanalysten prognostizieren für die Aktie A i die im folgenden Tableau angegebenen Parameter der Verteilungsfunktion des normalverteilten Aktienkurses in t=. p i e i A A Es gilt folgende Notation: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t=0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t= e E ~ i e i = Kovarianzmatrix mit den Elementen Cov (ẽ, ẽ ) Beachten Sie: Alle Teilaufgaben sind ohne Rückgriff auf die Matrizenrechnung zu beantworten! a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der effizienten Kombinationen der riskanten Wertpapiere A und A im μ-σ²-koordinatensystem! Geben Sie die Koordinaten sowie die Stückzahlen im Varianzminimum an! Die Variable μ bezeichnet den Erwartungswert des Endvermögens in t=, σ² dessen Varianz. (6 Punkte) b) Verdeutlichen Sie den Verlauf der Ortslinie aller risikoeffizienten Wertpapiermischungen in einer Graphik! Markieren und beschriften Sie alle relevanten Punkte! (4 Punkte) c) Ermitteln Sie die optimale Anlagestrategie des Investors! Berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Varianz seines optimal gemischten Portfolios! Geben Sie die Stückzahlen von A i im Investitionsoptimum an! Welche Nutzensteigerung könnte der Akteur erzielen, wenn Leerverkäufe der riskanten Finanzaktiva zulässig wären? Veranschaulichen Sie diese Situation in der Graphik aus Teilaufgabe b)! (8 Punkte) d) Neben den beiden Aktien steht dem Investor jetzt eine weitere Anlagemöglichkeit zur Verfügung. Am vollkommenen Kapitalmarkt wird ein risikofreier Zero-Bond gehandelt,

31 Portfolio-Selection Seite 3 der ebenso wie A und A leerverkauft werden kann und im Planungszeitraum eine Rendite von 0 % abwirft. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz sowie die Stückzahlen der Aktien A i im optimalen Portfolio! Geben Sie außerdem an, in welchem Umfang der Akteur den riskanten Wertpapieren die sichere Anlage beimischen sollte (Kapitalmarktposition)! ( Punkte) e) Auf welchen Wert müsste der Zinssatz auf dem vollkommenen Kapitalmarkt mindestens steigen, damit der Investor keinen Kredit mehr aufnimmt? Erläutern Sie Ihren Lösungsweg! (0 Punkte) f) Erläutern Sie die Aussage des Tobin schen Separationstheorems! Welche Konsequenzen ergeben sich aus diesem Theorem für die Portfoliostruktur von Investoren mit homogenen Erwartungen? Welches Theorem tritt an die Stelle des Tobin schen Separationstheorems, wenn am Markt ausschließlich risikobehaftete Wertpapiere gehandelt werden? (5 Punkte) g) Inwiefern führt die Präferenzfunktion (, ) a zu aus empirischer Sicht unplausiblen Ergebnissen? (3 Punkte) 007/II Aufgabe Ein Investor mit einer Präferenzfunktion der Form (, ) a verfügt über ein Anfangsvermögen in Höhe von 7.00 Silbermünzen. Am Markt werden die folgenden drei Wertpapiere gehandelt, in die er sein Vermögen investieren kann.gehen Sie davon aus, dass die Wertpapiere beliebig teilbar sind. p i e i WP WP WP Es gilt folgende Notation: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ i = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = e i Ee~ i cov e ~, ~ = Kovarianzmatrix mit den Elementen Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix - angegeben: i e j 9,75 0,75 4,5 40 0,75 3,75,5 4,5,5 7

32 Portfolio-Selection Seite 3 Der Risikoaversionsparameter a des Investors beträgt a = a) Welche Anlageentscheidung wird der Investor treffen, wenn Leerverkäufe erlaubt sind? Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! Hinweis: Der Koeffizient des quadratischen Glieds in der Gleichung für den effizienten Rand ist eine ganze Zahl. Runden Sie deshalb (nur!) diesen Koeffizienten auf eine ganze Zahl, falls Sie in den Zwischenschritten Ihrer Rechnung zu wenige Nachkommastellen mitgenommen haben und die gesuchte ganze Zahl deshalb knapp verfehlt wird! (6 Punkte) b) Gehen Sie nun davon aus, dass Leerverkäufe verboten sind. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen unter der Annahme, dass Leerverkäufe der Aktien nicht zulässig sind. Begründen Sie Ihre Vorgehensweise graphisch und verbal! Welche Nutzeneinbuße erleidet der Akteur durch die Einführung des Leerverkaufsverbots? (6 Punkte) c) Neben den drei riskanten Wertpapieren wird am Kapitalmarkt ein risikofreier, beliebig teilbarer Zerobond gehandelt, der sich über die Planungsperiode des Investors mit 5% verzinst. Im Unterschied zu den Aktien sind Leerverkäufe des Zerobonds erlaubt. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! Geben Sie außerdem an, in welchem Umfang der Akteur den riskanten Wertpapieren die sichere Anlage beimischen sollte (Kapitalmarktposition)! (0 Punkte) d) Welche Portfoliostruktur realisiert der Anleger in Teilaufgabe c), wenn sein Anfangsvermögen aufgrund einer überraschenden Erbschaft nunmehr Silbermünzen beträgt? In welchem Umfang greift der Investor auf den risikolosen Zerobond zurück? Begründen Sie das Ergebnis! Nennen Sie das einschlägige Theorem! (6 Punkte) 008/I Aufgabe Ein Investor mit einer Präferenzfunktion der FormΦ, verfügt über ein Anfangsvermögen in Höhe von Silbermünzen. Am Markt werden die folgenden drei Wertpapiere gehandelt, in die er sein Vermögen investieren kann: p i e i WP WP WP Es gilt folgende Notation: p i = Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = 0 e ~ = stochastischer Kurs der Aktie i zum Zeitpunkt t = i

33 Portfolio-Selection Seite 33 e E ~ i e i = Kovarianzmatrix mit den Elementen cov e ~, ~ Da sich die Lösung der folgenden Teilaufgaben durch die Anwendung der Vektor- und Matrizenrechnung erheblich vereinfacht, wird nachstehend die inverse Kovarianzmatrix angegeben:,5 3,5,5 4,5 9 3,5 9 9 Gehen Sie davon aus, dass alle Wertpapiere beliebig teilbar und Leerverkäufe zulässig sind. i e j Der Risikoaversionsparameter a des Investors beträgt. a) Welche Anlageentscheidung wird der Investor unter den bisher genannten Voraussetzungen treffen? Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimal gemischten Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! (6 Punkte) b) Lösen Sie das Entscheidungsproblem des Investors unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass am Kapitalmarkt neben den drei riskanten Wertpapieren ein risikofreier Zerobond gehandelt wird, der sich über die Planungsperiode des Investors mit 5% verzinst. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des optimalen Portfolios sowie die dazugehörigen Wertpapierstückzahlen! Geben Sie außerdem die Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarkts an! (0 Punkte) c) Gehen Sie nun von einem gespaltenen Kapitalmarkt mit differenzierten Zinssätzen für sichere Geldanlagen in Höhe von i Haben = 5% und für sichere Kredite in Höhe von i Soll = 0% aus! Auf welchem Abschnitt des effizienten Randes liegt jetzt das Investitionsoptimum? Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz sowie die Wertpapierstückzahlen des optimalen Portfolios des Investors! In welchem Umfang nimmt der Investor den Kapitalmarkt in Anspruch? Beachten Sie folgenden Hinweis! Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Erwartungswert-Koordinaten der beiden Tangentialportfolios für i Haben und i Soll. Geben Sie die Definitionsbereiche der verschiedenen Abschnitte des effizienten Randes an und prüfen Sie dann, für welchen Abschnitt des effizienten Randes sich eine im Definitionsbereich liegende Lösung für das optimale Portfolio des Investors ergibt. Berücksichtigen Sie dabei auch die Ergebnisse der vorangegangenen Teilaufgaben! (6 Punkte) d) Veranschaulichen Sie anhand einer qualitativen Skizze den Verlauf des effizienten Randes für den Fall des gespaltenen Kapitalmarkts aus Teilaufgabe c), d.h. eines Kapitalmarkts mit unterschiedlichem Soll- und Habenzins! Achten Sie auf eine vollständige Beschriftung Ihrer Zeichnung! Kennzeichnen Sie dabei insbesondere die Lage des varianzminimalen Portfolios, der Tangentialportfolios sowie des optimalen Portfolios! (6 Punkte)