Beispiel Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) ="

Transkript

1 Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;. P besteht nur aus Polstellen von f; 3. f : U\P C ist holomorph. Beispiel.. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich ist, ist q : C Ĉ definiert durch { /pz für p z 0, q z = für p z = 0, eine meromorphe Funktion auf C. Es ist übrigens üblich zu schreiben q z = /p z und an den nicht-definierten Stellen zu nehmen. Beispiel.3. Die Funktion z tan z ist meromorph auf C. Auch hier nimmt man, wenn cos z = 0. Eine Skizze der Funktionenlandschaft finden sie in Abbildung.. Beispiel.4. Die Funktion f : C Ĉ, definiert durch f z = { e z für z C \ {0}, für z = 0 ist nicht meromorph auf C. Wenn f einen Pol von Ordnung m in 0 hätte, dann würde lim z 0 z m f z existieren. Für alle m N + gilt jedoch lim x m f x =. x 0 Übrigens, auch wenn man f 0 = w für ein w C, statt f 0 =, definieren würde, wird f nicht meromorph bei 0. 3

2 . Nullstellen, Pole und ein Kurvenintegral 5. Juni 05 5 Korollar.6. Sei U C offen, sei f : U Ĉ meromorph und f 0. Dann gibt es für jedes w U eine Zahl r R +, ein k 0 Z und eine Folge {a k } k0 k Z C derart, dass a k0 0 und f z = a k z w k für z B r w \ {w}.. k=k 0 Das heißt, a k z w k konvergiert auf B r w, und k=0 für k 0 > 0 hat f eine Nullstelle von Ordnung k 0 in w; für k 0 < 0 hat f eine Polstelle von Ordnung k 0 = k 0 in w. Beweis. Wegen Lemma.5 gibt es r > 0 und holomorphen Funktionen f, f : B r w C mit f z = f z /f z. Dann ist f auf B r w als Potenzreihe zu schreiben: f z = m=m 0 b m z w m bei der wir m 0 die kleinstmögliche Zahl in N nehmen derart, dass b m0 0. Dann gilt f z = m=m 0 b m z w m = z w m 0 m=m 0 b m z w m m 0. Für die Funktion g z = m=m 0 b m z w m m 0 gilt g w 0 und daher ist z /g z holomorph in einer Umgebung B r w. Es folgt, dass f z = z w m f 0 z g z. Weil z f z /g z holomorph ist auf B r w mit r = min {r, r }, kann man diese Funktion als Potenzreihe auf B r w schreiben und wenn man dann durch z w m 0 dividiert, folgt.. Lemma.7. Sei U C offen. Wenn f, g : U C meromorphe Funktionen sind mit g 0, dann sind f + g, f g, f.g und f/g meromorphe Funktionen auf U. Der Beweis ist fast direkt und wird dem Leser überlassen. Bemerkung.7.. Wenn f, g : C Ĉ meromorphe Funktionen sind, ist f g : C Ĉ im Allgemeinen nicht meromorph und auch nicht zu ergänzen zu einer meromorphen Funktion. Das Standardbeispiel ist f z = e z und g z =. Die Funktionen f und g z sind meromorph auf C; die Funktion f g jedoch nicht.. Nullstellen, Pole und ein Kurvenintegral Sei U C offen, und sei Γ das Bild einer linksherum laufenden differenzierbaren Jordan- Kurve γ. Nehmen wir an, dass Γ und sein Innengebiet in U liegen. Sei f meromorph auf U und derart, dass f weder Nullstellen noch Polstellen auf Γ hat. Wir schreiben dann # N f, Γ = die Zahl der Nullstellen von f innerhalb von Γ, # P f, Γ = die Zahl der Polstellen von f innerhalb von Γ,

3 6 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen Abbildung.: U, Γ und die Richtung von γ wobei diese Zahl inklusive Multiplizität gezählt wird. Die Multiplizität einer n-fachen Nullstelle in n; die Multiplizität eines Pols von Ordnung m ist m. Im nächsten Beispiel sieht man nochmals wie dies gemeint ist. Beispiel.8. Die Funktion gz = z z+iz 5 4 sinz z+ z ist meromorph und man findet i ist eine Nullstelle mit Multiplizität ; ii i ist eine Nullstelle mit Multiplizität ; iii 5 ist eine Nullstelle mit Multiplizität 4; iv 0 ist eine Nullstelle mit Multiplizität : sin z z = z 6 z3 + O z 5 z = z 3 z + O z 4 ; v ist eine Polstelle mit Multiplizität. Also gilt # N g, B 0 = + + = 4 und # P g, B 0 =. Die Nullstelle 5 liegt außerhalb B 0. Lemma.9. Seien f und Γ wie oben und sei γ eine Parametrisierung von Γ. Dann gilt # N f, Γ # P f, Γ = ˆ f z dz.. πi fz Beweis. Sei m Z und w U. Lokal hat man fz = k=m α k z w k mit α m 0. Wenn m > 0, dann ist w eine Nullstelle von f mit Ordnung m. Wenn m < 0, dann ist w eine Polstelle von f der Ordnung m. Es gilt für m 0, dass f z fz = k=m kα k z w k k=m α k z w k = z w hz, γ wobei hz = k=0 k + m α k+m z w k k=0 α k+m z w k eine in einer Umgebung von w holomorphe Funktion ist. Weiter gilt hw = mα m α m = m.

4 8 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen und es folgt, dass hθ, z weder eine Nullstelle noch eine Polstelle auf Γ hat. Denn hätte hθ, z eine Nullstelle w Γ, dann liefert fw = fw hθ, w < fw den Widerspruch. Hätte hθ, z eine Polstelle w Γ, dann findet man einen Widerspruch durch = fw hθ, w < fw <. Also ist die Funktion A : [0, ] R durch A θ := ˆ πi γ h θ, z hθ, z dz mit h θ, z = hθ, z für jedes θ [0, ] wohldefiniert. Weil z h θ, z und hθ, z keine Null- oder Polstellen für z Γ haben, ist θ A θ sogar stetig auf [0, ]. Und weil ˆ h θ, z πi hθ, z dz = # Nhθ,, Γ # P hθ,, Γ nur ganze Zahlen als Wert annimmt, folgt, dass γ θ # N hθ,, Γ # P hθ,, Γ konstant ist. Das besagt genau, dass.4 erfüllt ist..3 Partialbruchentwicklung In der Analysis Vorlesung haben Sie gesehen, dass man rationale Funktionen in Partialbrüche zerlegen kann. Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome. Zerlegen in Partialbrüche heißt, dass es für jedes paar Polynome p und q ein Polynom p und komplexe Zahlen c k,l gibt derart, dass p z q z = p z + l k qz k =0 l= mit l k die Multiplizität der Nullstelle z k von q. Zum Beispiel gilt: z 5 3z 4 + 5z 3 3z + 4z z 4 4z 3 + 5z 4z + 4 = z + 3 i 5 50 z i c k,l z z k l.5 = z5 3z 4 + 5z 3 3z + 4z z + z = + 3 i z + i z + 5 z. Wenn man in.5 die Polynome p und q ersetzt durch holomorphe Funktionen, bekommt man meromorphe Funktionen. Kann man bei einer meromorphen Funktion etwas machen mit Partialbruchzerlegung? Eine meromorphe Funktion h ist holomorph mit möglicher Ausnahme von möglichst unendlich, aber höchstens abzählbar vielen Polstellen z k. Bei so einer Polstelle kann man h wie folgt schreiben hz = l= m α k z z k l + gz,

5 .3 Partialbruchentwicklung 5. Juni 05 9 wobei g eine in einer Umgebung von z k holomorphe Funktion ist und m ist die Ordnung des Pols. Man nennt l= m α l z z k l.6 den Hauptteil von h an der Stelle z k. Übrigens, da die Parameter m N + und α l C im Allgemeinen für jede Polstelle unterschiedlich sind, müsste man eigentlich m k und α l,k schreiben. Die Polstellen z k mit den Hauptteilen nennt man die Hauptteilverteilung von h: { } α l,k z z k l l= m k k= Die zentrale Frage, die wir nun betrachten, ist, ob man zu vorgegebenen Hauptteilen bei Polstellen ohne Häufungspunkte immer eine meromorphe Funktion finden kann, die genau diese Polstellen hat. Wenn U C beschränkt ist, ist die Frage leicht zu lösen. Für beschränktes U gibt es höchstens endlich viele Polstellen, und man summiert die Hauptteile. Bei unbeschränkten Gebieten, wie zum Beispiel ganz C, ist die Frage weniger einfach. Wenn man erneut einfach die Hauptteile addiert, kann man nicht garantieren, dass diese Summe konvergiert. Bevor wir uns an eine Konstruktion wagen, die unendlich viele Terme enthalten muss, müssen wir uns also eine Art von Konvergenz überlegen. Eine Schwierigkeit dabei bilden die Polstellen. Wie kann man Konvergenz einer Funktionenfolge definieren, wenn diese Funktionen an einigen Stellen den Wert haben? In der folgenden Definition wird verwendet, dass die Polstellen einer meromorphen Funktion keine Häufungspunkte haben und es deshalb nur endlich viele auf einem Kompaktum geben kann. Man kann zum Beispiel die Polstellen nach absoluter Größe anordnen z z... und wie folgt versuchen zu summieren: h z = k= l= m k α k,l z z k l..7 Nehmen wir an, dass z n > R, dann hätten wir für z k=n l= m k α k,l z z k l auf B R 0 keine Polstellen und könnten auf B R 0 die gleichmäßige Konvergenz dieser Folge betrachten. Wir werden noch sehen, dass die rechte Seite in.7 oft nicht konvergiert, im Grunde jedoch ist diese Idee nicht schlecht. Wenn wir die Hauptteile mit einem geschickten Polynom ergänzen, kann man die Konvergenz erlangen. Diese Art von Konvergenz wird in der folgenden Definition festgelegt. Definition.. Sei U C offen { und sei {f l : U C} l= eine Folge meromorpher l } Funktionen. Man sagt, dass die Folge kompakt konvergiert auf U, wenn es k= f k für jede kompakte Teilmenge K U ein l K gibt, so dass gilt: l= für l l K sind die Funktionen f l holomorph auf K, { l } m=l K f m konvergiert gleichmäßig auf K. l=

6 0 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen Bemerkung... Eine Funktionenfolge {g l } l= konvergiert gleichmäßig auf K, wenn es g : K C gibt, mit Anders gesagt, wenn ε > 0 l ε N z K : l l ε g l z gz < ε..8 lim g l g L l K = 0, wobei g l g L K = sup { g lz gz ; z K}. Bemerkung... Wenn eine Funktionenfolge gleichmäßig Cauchy ist auf K, dann ist sie auch gleichmäßig konvergent auf K. Gleichmäßig Cauchy bedeutet, dass für die Funktionenfolge gilt ε > 0 l ε N z K : k, l l ε g l z g k z < ε..9 In dem Fall kann man g auf K definieren durch gz = lim l g l z. Die Folge {g l } l= konvergiert gleichmäßig gegen g. Das sieht man wie folgt. Sei ε > 0. Man nehme l ε/ wie in.9 und k z l ε/ derart, dass g kz z gz < ε. Für l > l ε/ folgt dann, dass g l z gz g l z g kz z + g kz z gz < ε + ε = ε. Wenn die g l in.9 stetig sind, dann ist auch g stetig. Auch dies kann man einfach nachvollziehen. Sei ε > 0 und nehme l ε/4 in.8. Für k > l ε/4 folgt gw gz gw g k w + g k w g k z + g k z gz 4 ε + g kw g k z + 4 ε. Weil g k stetig ist, gibt es δ > 0 derart, dass g k w g k z < ε für w z < δ. Theorem. Mittag-Leffler. Sei {z k } k= eine Folge paarweise verschiedener komplexer Zahlen ohne Häufungspunkt. Wir dürfen annehmen, dass 0 < z z.... Sei m k Z, α k,l C und setze f k z = l=m k α k,l z z k l.. Wenn es ganze Funktionen g k gibt derart, dass { m } f k g k k= m N.0 kompakt konvergiert für m, dann ist F, definiert durch F z := f k g k z, k= eine meromorphe Funktion auf C mit der gewünschten Hauptteilverteilung.. Nimmt man für g k das Taylorpolynom zu f k in 0 mit hinreichend hohem Grad, dann ist.0 kompakt konvergent.

7 .3 Partialbruchentwicklung 5. Juni 05 Bemerkung... Weil {z k } k= keinen Häufungspunkt hat, kann man nach Größe des Betrags ordnen. Wir haben angenommen, dass 0 < z. Das darf man ohne Verlust der Allgemeinheit. Wenn z = 0, kann man um z z verschieben. Beweis. Nehmen wir an, dass.0 kompakt konvergiert. Es reicht, wenn wir zeigen, dass F auf jeder kompakten Menge K C die gewünschte Hauptteilverteilung hat. Aus der Annahme folgt, dass es k K gibt, so dass k=k K f k g k gleichmäßig konvergiert auf K. Weil die Funktionen f k holomorph sind auf K, ist auch k=k K f k g k holomorph auf K. Die Tatsache, dass eine konvergente Folge von holomorphen Funktionen zu einer holomorphen Funktion konvergiert, folgt mit Hilfe des Integralsatzes von Cauchy. Denn Korollar 5.7 zeigt, dass für h k holomorph auf B R z 0 mit R > r gilt h n k z = n! πi w z 0 =r h k w w z n+ dw. Dann folgt, dass wenn h k gleichmäßig konvergiert auf B R z 0, auch h n k konvergiert auf B r z 0. Dann kann man h := lim k h k als Potenzreihe schreiben auf B r z 0 und somit ist auch h holomorph. Die Hauptteilverteilung auf K ist nun endlich und enthält genau die gewünschten Hauptteile f k. Weil die Polstellen keinen Häufungspunkt haben, gibt es für jedes R R + höchstens endlich viele mit z k R. Setzt man r k = z k, dann folgt lim k r k =. Die Taylorreihe für f k konvergiert fur z < r k und man kann ein Taylorpolynom finden derart, dass f k z g k z < k für z B r k /0. Sei nun K eine kompakte Menge und sei k K derart, dass K B rkk /0. Für k k K ist f k g k holomorph auf K, und es gilt f k z g k z f k z g k z = für K. k k K+ k=k K k=k K k=k K So konvergiert k=k K f k g k gleichmäßig auf K. Wenn es zwei Lösungen einer Hauptteilverteilung gibt, sagen wir f und f, dann hat f f nur hebbare Singularitäten und das bedeutet, dass fz fz für z {z k } hz := lim fz fz. für z = z k z z k eine holomorphe Funktion ist. Theorem.3 Partialbruchzerlegung. Sei f eine meromorphe Funktion auf C mit Polstellen 0 = z 0 < z z... ohne Häufungsstelle und mit Hauptteilverteilung {f l } l=0.. Dann gibt es {l k } k=0 N derart, dass gz = f 0 z + f k z T lk z. k= kompakt konvergiert. Hier ist T lk z das Taylorpolynom zu f k in 0 vom Grad l k.

8 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen. Wenn gz = f 0 z + fk z z.3 T lk kompakt konvergiert, dann gibt es eine ganze Funktion h derart, dass k= fz = hz + gz. Bemerkung.3.. Ohne Verlust der Allgemeinheit haben wir 0 als Polstelle genommen, denn man kann immer verschieben. Der Term f 0 enthält genau diesen Hauptteil. Beweis. Jede meromorphe Funktion f kann nur Polstellen ohne Häufungspunkte haben. In der Nähe einer Polstelle hat f ein eindeutiges Hauptteil. Also hat f eine eindeutige Hauptteilverteilung. Der Satz von Mittag-Leffler liefert eine meromorphe Funktion g wie in.. Jede Funktion g, wie in.3, hat die gleiche Hauptteilverteilung. Betrachtet man zwei meromorphe Funktionen f und f mit gleicher Hauptteilverteilung {f k } k=0, dann liefert. die ganze Funktion h. Wenn f eine meromorphe Funktion auf C ist, dann ist auch die Hauptteilverteilung {f k } k=0 festgelegt. Man kann nicht wie bei einer rationalen Funktion r sagen, dass es ein Polynom p gibt so, dass m r z = p z + f k z, denn für die Konvergenz muss man möglicherweise kompensieren durch Taylorpolynome von f l. Man findet jedoch, dass man eine meromorphe Funktion f wie folgt entwickeln kann. Es gibt eine holomorphe Funktion h so, dass f z = h z + k=0 f k z T lk z, k=0 mit T lk geschickt gewählte Polynome. Beispiel.4. Wenn wir als Hauptteilverteilung { } z n n Z fz = z + z n + n n Z\{0} haben wollen, dann ist eine passende meromorphe Funktion. Sei K B R 0. Dann gilt:. Für n n 0 := [R + ] ist z z n + n. für z K gilt n N mit n n 0 = n N mit n n 0 z n n + z n n z holomorph auf K; n N mit n n 0 m=n 0 4R m < z n + n = 4R n 0 <.

9 .4 Beispiele einiger Partialbruchentwicklungen 5. Juni 05 3 { Beispiel.5. Wenn z + z n+mi n,m Z n,m 0,0 } n,m Z die Hauptteilverteilung ist, dann ist z n + mi + n + mi + z n + im.4 kompakt konvergent und liefert also eine passende meromorphe Funktion. Man kann sich fragen, ob der Ausdruck z + z n + mi + n + mi n,m Z n,m 0,0.5 kompakt konvergent ist. Diese Frage ist nicht einfach zu beantworten. Absolut konvergent auf kompakten Mengen ist diese Reihe jedoch nicht. Die Frage, ob eine Reihe absolute konvergent ist, ist meistens einfacher. Für.4 berechnet man z n + m i + n + m i + z n + i m = z n + m i z n + m i. Für z in eine kompakte Menge gilt z n + m i z n + m i = O n + m i 3 für n + m i, und man kann die Summe mit einem Integral vergleichen: ˆ n + m i 3 3 dxdy = π x + iy n,m Z n,m 0,0 x,y > ˆ r= rdr <. r3 Man kann sich selber überlegen, was mit gemeint ist. Ähnlich kann man auch zeigen, dass.5 nicht absolut konvergent ist..4 Beispiele einiger Partialbruchentwicklungen Proposition.6. Für z C gilt: sin z = z nπ..6 Beweis. Weil die Funktion z / sin z Polstellen in nπ hat und weil in einer Umgebung von nπ gilt sin z = n z nπ + O z nπ, gilt auch sin z = z nπ + O z nπ = = z nπ + O z nπ

10 4 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen und sin z = + O z nπ z nπ = Deshalb hat / sin z die Hauptteilverteilung { } z nπ. n Z z nπ + O. Sei K kompakt und n 0 N so gewählt, dass K B n0 π/0. Dann gilt für z K und n n 0, dass z nπ nπ z nπ n 0 π/ n π und Also ist Leffler, dass g mit z nπ z nπ n n 0 n π. n n 0 4 kompakt konvergent, und man findet mit dem Satz von Mittag- gz = z nπ eine meromorphe Funktion ist mit gleicher Hauptteilverteilung wie z / sin z. Der Satz zur Partialbruchzerlegung besagt, dass hz = sin z z nπ.7 eine ganze Funktion ist nach Fortsetzung durch die Grenzwerte an der Stellen nπ. Wir müssen noch zeigen, dass h gleich 0 ist und schauen uns h aus.7 genauer an. Weil beide Terme in der rechten Seite von.7 periodisch sind in der reellen Richtung, ist h periodisch: hz + kπ = h z für z C. Dann ist h auch beschränkt auf R + i [a, b]. Außerdem gilt, dass h gegen 0 konvergiert in den imaginären Richtungen. Für den ersten Term gilt: sin z = i e ix e y e ix e y = = n=n x+ 4 e ix e y e ix e y 4 e y e y 0 für y..8 Für die Abschätzung des zweiten Terms und für y π setzen wir n x = [x/π]. Es gilt z nπ z nπ = x nπ + y n n x π + y + n y + x n n x + π + y 3 y + ˆ π t + y dt = 3 y + y 0 für y..9

11 .4 Beispiele einiger Partialbruchentwicklungen 5. Juni 05 5 Dann gilt hx + iy sin z + z nπ 0 für y..0 Also h ist beschränkt und aus dem Satz von Liouville folgt, dass h konstant ist. Wegen der Abschätzung in.0 folgt sogar h = 0. Proposition.7. Für z C gilt: π = sin πz z n, n Z π = cos πz n Z z + n, π cot πz = z + n Z\{0} π tan πz = n Z π = sin πz z + π sin πz π cos πz π cos πz z n + n, z n + n + n Z\{0} n=, n z n + n = z + n z z n, = π + n z + n + n Z = π + n n + n=0 z n +, n +, + n + Der Beweis der ersten Formel folgt aus Proposition.6. Die übrigen Beweise werden dem Leser überlassen. Bemerkung.7.. Die zweite Formel aus Proposition.7 liefert für z = 0: π π = = cos 0 n = 4 n Die sechste Formel liefert für z = : n Z = π π = sin = + n π = + 4 n+ n= 4 n n + n n= = = n=..

12 6 5. Juni 05 Woche, Funktionen und Polstellen

Lösungen zur Klausur Funktionentheorie I SS 2005

Lösungen zur Klausur Funktionentheorie I SS 2005 Universität Karlsruhe 29 September 25 Mathematisches Institut I Prof Dr M von Renteln Dr C Kaiser Aufgabe en zur Klausur Funktionentheorie I SS 25 Sei S die Möbiustransformation, die durch S(z) = i i z

Mehr

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis

Mehr

Kapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen

Kapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen Kapitel 7 Funktionentheorie In diesem Kapitel geht es meistens um Funktionen, die auf einem Gebiet G C definiert sind und komplexe Werte annehmen. Nach Lust, Laune und Bedarf wird C mit R identifiziert,

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

eine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte.

eine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte. Analysis, Woche 5 Folgen und Konvergenz A 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz Eine Folge in R ist eine Abbildung von N nach R und wird meistens dargestellt durch {x n } n=0, {x n} n N oder {x 0, x, x 2,...

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6. MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 0 Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt (3

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Doppel-periodische Funktionen und die Weierstraßsche -Funktion. 1 Doppelt-periodische Funktionen

Doppel-periodische Funktionen und die Weierstraßsche -Funktion. 1 Doppelt-periodische Funktionen Doppel-periodische Funktionen und die Weierstraßsche -Funktion Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie, 30.03.2009 Stefanie Kessler Die komplexen Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen ermöglichen

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 11

Musterlösung zu Übungsblatt 11 Prof. R. Pandharipande J. Schmitt, C. Schießl Funktionentheorie 2. Dezember 16 HS 2016 Musterlösung zu Übungsblatt 11 Aufgabe 1. Sei U C offen und a U. Seien f, g : U {a} folgende Formeln zur Berechnung

Mehr

13. Abzählen von Null- und Polstellen

13. Abzählen von Null- und Polstellen 13. Abzählen von Null- und Polstellen 77 13. Abzählen von Null- und Polstellen Als weitere Anwendung des Residuensatzes wollen wir nun sehen, wie man ot au einache Art berechnen kann, wie viele Null- bzw.

Mehr

Die Weierstraßsche Funktion

Die Weierstraßsche Funktion Die Weierstraßsche Funktion Nicolas Weisskopf 7. September 0 Zusammenfassung In dieser Arbeit führen wir die Weierstraßsche Funktion ein und untersuchen einige ihrer Eigenschaften. Wir zeigen, dass jede

Mehr

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat. Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften

Mehr

Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C

Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen 9 Stetigkeit von Funktionen Definition 9.1 : Sei D R oder C und f : D R, C. f stetig in a D : ε > 0 δ > 0 mit f(z) f(a) < ε für alle z D, z a < δ. f stetig auf D : f stetig in jedem Punkt a D. f(a) ε a

Mehr

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen In dieser Zusammenfassung werden die für uns wichtigsten Eigenschaften der komplexen und reellen Exponentialfunktion sowie der Winkelfunktionen

Mehr

SS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert.

SS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 Probeklausur Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. Fragen Sei (X, d) ein metrischer Raum. Beantworten Sie die nachfolgenden

Mehr

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen: Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere

Mehr

Harmonische und Holomorphe Funktionen

Harmonische und Holomorphe Funktionen Harmonische und Holomorphe Funktionen Jonathan Bischoff LMU München illertal am 14.12.2014 Jonathan Bischoff Harmonische und Holomorphe Funktionen 1/14 Definition harmonische Funktion Sei G R 2 ein Gebiet.

Mehr

Kapitel 5 KONVERGENZ

Kapitel 5 KONVERGENZ Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz

Mehr

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n, f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug

Mehr

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert 4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Wachstumsverhalten ganzer Funktionen. Inhaltsverzeichnis

Wachstumsverhalten ganzer Funktionen. Inhaltsverzeichnis Wachstumsverhalten ganzer Funktionen Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie, 11.6.212 Simon Langer Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Wachstumsverhalten ganzer Funktionen 3 3 Ganze Funktionen endlicher

Mehr

Copyright, Page 1 of 5 Stetigkeit in

Copyright, Page 1 of 5 Stetigkeit in www.mathematik-netz.de Copyright, Page 1 of 5 Stetigkeit in Definition: (Stetigkeit) Sei ad, wobei D ist. Sei f eine Abbildung aus Abb(D,B) mit B und B. (i) f heißt stetig im Punkt a, wenn es zu jeder

Mehr

sin(e z +z 2 ). tan der

sin(e z +z 2 ). tan der Das Testat besteht aus einer festgesetzten Zahl von Entscheidungsfragen des folgenden Typs: Zu finden ist die schärfste der folgenden drei Holomorphieeigenschaften, die eine Funktion haben kann: Holomorphie

Mehr

Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. z z + m 1 f(z +m+1) = ( 1)m 1

Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. z z + m 1 f(z +m+1) = ( 1)m 1 23 3 Die Γ-Funktion Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. f(n) = (n )! für n N. Das wird durch die Funktionalgleichung erreicht. Bemerkungen. f(z + ) =

Mehr

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es

Mehr

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92 Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : Ê Ê systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester

Mehr

KAPITEL 2. Folgen und Reihen

KAPITEL 2. Folgen und Reihen KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).

Mehr

6 Komplexe Integration

6 Komplexe Integration 6 Komplexe Integration Ziel: Berechne für komplexe Funktion f : D W C Integral der Form f(z)dz =? wobei D C ein Weg im Definitionsbereich von f. Fragen: Wie ist ein solches komplexes Integral sinnvollerweise

Mehr

Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs

Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 Hilfskräfte: A. Weiß, W. Thumann 6.3.29 NWF I - Mathematik Universität Regensburg Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Die folgenden

Mehr

4 Die Hauptsätze über holomorphe Funktionen

4 Die Hauptsätze über holomorphe Funktionen $Id: holo.tex,v 1.7 2012/06/08 07:55:28 hk Exp hk $ 4 Die Hauptsätze über holomorphe Funktionen 4.2 Identitätssatz und erste Folgerungen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der wichtigsten Eigenschaften

Mehr

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i 3 Kompaktheit In der Analysis I zeigt man, dass stetige Funktionen f : [a, b] R auf abgeschlossenen, beschränkten Intervallen [a, b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind und dass sie ihr Supremum und

Mehr

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

1 Reihen von Zahlen. Inhalt:

1 Reihen von Zahlen. Inhalt: 5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Kapitel I. Holomorphe Funktionen. 1 Potenzreihen

Kapitel I. Holomorphe Funktionen. 1 Potenzreihen Kapitel I Holomorphe Funktionen Potenzreihen Definition. Sei f a (z) = c n (z a) n eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a. Die Zahl R := sup{r 0 z C, so daß f a (z) konvergent und r = z a ist.} heißt

Mehr

Kompaktheit und Überdeckungen. 1 Überdeckungskompaktheit

Kompaktheit und Überdeckungen. 1 Überdeckungskompaktheit Vortrag zum Proseminar zur Analysis, 17.05.2010 Min Ge, Niklas Fischer In diesem Vortrag werden die Eigenschaften von kompakten, metrischen Räumen vertieft. Unser Ziel ist es Techniken zu erlernen, um

Mehr

Analysis IV, SS 2012 Freitag $Id: residuum.tex,v /06/29 17:27:57 hk Exp $

Analysis IV, SS 2012 Freitag $Id: residuum.tex,v /06/29 17:27:57 hk Exp $ $Id: residuum.tex,v.6 202/06/29 7:27:57 hk Exp $ 6 Der Residuenkalkül 6. Der Residuensatz Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den Begriff des Residuums einer holomorphen Funktion f : U C in einer isolierten

Mehr

Fraktale Geometrie: Julia Mengen

Fraktale Geometrie: Julia Mengen Fraktale Geometrie: Julia Mengen Gunnar Völkel 1. Februar 007 Zusammenfassung Diese Ausarbeitung ist als Stoffsammlung für das Seminar Fraktale Geometrie im Wintersemester 006/007 an der Universität Ulm

Mehr

konvergent falls Sei eine allgemeine ("gutmütige") Funktion. Frage: kann man sie in der Nähe des Punktes darstellen mittels einer Potenzreihe in

konvergent falls Sei eine allgemeine (gutmütige) Funktion. Frage: kann man sie in der Nähe des Punktes darstellen mittels einer Potenzreihe in C5 Funktionen: Reihenentwicklungen C5.1 Taylorreihen Brook Taylor (1685-1731) (Analysis-Vorlesung: Konvergenz von Reihen und Folgen) Grundlegende Frage: Wann / unter welchen Voraussetzungen lässt sich

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 19. Metrische Räume

Mathematik I. Vorlesung 19. Metrische Räume Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 19 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors

Mehr

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 25. Der große Umordnungssatz

Mathematik I. Vorlesung 25. Der große Umordnungssatz Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 5 Der große Umordnungssatz Satz 5.1. (Großer Umordnungssatz) Es sei a i, i I, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe

Mehr

Die Weierstaÿ'sche -Funktion

Die Weierstaÿ'sche -Funktion Die Weierstaÿ'sche -Funktion Kapitel : Konstruktion Motivation: Ziel dieses Kapitels ist es ein möglichst einfaches Beispiel für eine elliptische Funktion zu nden.wir wissen bereits, dass keine elliptische

Mehr

f : C C, z f(z) = zz komplex differenzierbar? Gibt es ein Gebiet G so dass f G analytisch ist?

f : C C, z f(z) = zz komplex differenzierbar? Gibt es ein Gebiet G so dass f G analytisch ist? Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gmx.de Klausurvorbereitung - Lösungsvorschläge- Funktionentheorie Hier eine kleine Sammlung von Klausurvorbereitungsaufgaben vom Sommersemester 008 aus der Vorlesung

Mehr

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9.2 Konvergenz von Reihen 9.5 Monotoniekriterium für Reihen 9.6 Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen 9.9 Rechenregeln für konvergente Reihen 9.10 Absolute

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen

Mehr

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die 3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch

Mehr

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt

Mehr

Geometrische Mannigfaltigkeiten

Geometrische Mannigfaltigkeiten Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie

Mehr

PD Dr. R. Schätzle 9.4.2001 Dr. A. Karlsson. Funktionentheorie II SS 2001

PD Dr. R. Schätzle 9.4.2001 Dr. A. Karlsson. Funktionentheorie II SS 2001 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle 9.4.2001 Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS 2001 1.Übung AUFGABE 1: Zeigen Sie, daß die Riemannschen Flächen CI und D := {z CI z < 1 } mit

Mehr

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Mathematisches Seminar Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen von Dipl.-Math. Joscha Prochno Dipl.-Math. Dennis

Mehr

Komplexe Analysis und Geometrie

Komplexe Analysis und Geometrie Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Reine Mathematik Komplexe Analysis und Geometrie Dozent: Hsch.-Doz. PhD. Kim A. Frøyshov SS 2004, WS 2004/05, SS 2005 Stand: März 2006 Komplexe Analysis und

Mehr

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.11 2012/06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen,

Mehr

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Ulrich Loup 24.03.2006 Prüfungsstoff: Alegebra I, Analysis IV, Graphentheorie I Prüfer: Prof. Dr. Wilhelm Plesken Protokollant: Dipl.

Mehr

Identitätssatz für Potenzreihen

Identitätssatz für Potenzreihen Identitätssatz für Potenzreihen Satz 3.56 Seien f (z) = a n z n und g(z) = b n z n zwei Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien R f > 0 und R g > 0. Gilt f (z) = g(z) für alle z mit 0 z < min{r f,

Mehr

x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω

x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω 5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,

Mehr

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

EINFÜHRUNG IN DIE KOMPLEXE ANALYSIS

EINFÜHRUNG IN DIE KOMPLEXE ANALYSIS EINFÜHRUNG IN DIE KOMPLEXE ANALYSIS WERNER MÜLLER Sommersemester 205 Inhaltsverzeichnis 0. Die komplexen Zahlen 3. Holomorphe Funktionen 6 2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 9 3. Potenzreihen

Mehr

Kapitel 6 REIHEN. Fassung vom 21. April Claude Portenier ANALYSIS 99

Kapitel 6 REIHEN. Fassung vom 21. April Claude Portenier ANALYSIS 99 Kapitel 6 REIHEN Fassung vom 2 April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 99 6 Der Begri der Reihe 6 Der Begri der Reihe DEFINITION Sei (z l ) l2n eine Folge in C Die Folge (s k ) k2n in C de niert durch s k

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester

Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester Christian Nawroth, Erstellt mit L A TEX 23. Mai 2002 Inhaltsverzeichnis 1 Vollständige Induktion 2 1.1 Das Prinzip der Vollstandigen Induktion................

Mehr

Analysis I. Vorlesung 16. Funktionenfolgen

Analysis I. Vorlesung 16. Funktionenfolgen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015 Analysis I Vorlesung 16 Funktionenfolgen Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion

Mehr

FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN

FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN FUNKTIONENTHEORIE - ZUSÄTZLICHE LERNMATERIALIEN JOSEF TEICHMANN 1. Ein motivierendes Beispiel aus der Anwendung Das SABR-Modell spielt in der Modellierung von stochastischer Volatilität eine herausragende

Mehr

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch

Mehr

Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten

Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seminar Analysis III (SoSe 203) Pascal Niehus - Vortrag vom 27.05.203 - Kontaktdaten: Name: Studiengang: Fächer: E-Mail: Pascal Niehus BfP Mathematik, Physik

Mehr

Kapitel 7 STETIGKEIT

Kapitel 7 STETIGKEIT Kapitel 7 STETIGKEIT Fassung vom 8. Juni 2002 Claude Portenier ANALYSIS 29 7. Der Begri Stetigkeit 7. Der Begri Stetigkeit DEFINITION I.a. sagt man, daßeine Abbildung von einer Menge X in K n, wobei K

Mehr

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,

Mehr

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ

Mehr

5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen

5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen 5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir eine Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich anwenden läßt, wenn sich alle Koeffizienten

Mehr

Übungen Ingenieurmathematik

Übungen Ingenieurmathematik Übungen Ingenieurmathematik 1. Übungsblatt: Komplexe Zahlen Aufgabe 1 Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen: a) z =(3+i)+(5 7i), b) z =(3 i)(5 7i), c) z =( 3+i)( 3+ 3 i),

Mehr

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen 4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die

Mehr

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Konvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung

Konvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung Konvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Prof Dr Picard, gehalten von Helena Malinowski In vorhergehenden Vorträgen und dazugehörigen

Mehr

Mathematik für Anwender II

Mathematik für Anwender II Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Mathematik für Anwender II Vorlesung 32 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines

Mehr

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen

Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N

Mehr

7 Stetige Funktionen. Grenzwerte

7 Stetige Funktionen. Grenzwerte 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte 7.1 Stetigkeit Deinition: Eine Funktion : D heißt stetig im Punkt x D, wenn es zu jedem ein gibt derart, daß gilt: x x ür alle x D mit x x. Deinition: : D heißt Lipschitz-s

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun

Mehr

Konvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff

Konvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff Abschnitt 4 Konvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff In metrischen Räumen kann man topologische Begriffe wie Stetigkeit, Abschluss, Kompaktheit auch mit Hilfe von Konvergenz von Folgen charakterisieren.

Mehr

Die komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.

Die komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C. Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines

Mehr