Bericht zur Prüfung im Mai 2006 über Bausparmathematik (Grundwissen)

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1 Bericht zur Prüfung im Mai 2006 über Bausparmathematik (Grundwissen) Hans Laux (Kornwestheim) Am 6. Mai 2006 fand in Köln die Prüfung über das Grundwissen der Bausparmathematik statt. Der Klausur unterzogen sich 123 Teilnehmer, von denen 106 die Prüfung bestanden haben. Die Klausur umfasste vier Aufgaben, für die maximal die jeweils angegebene Zahl von Punkten, insgesamt 90 Punkte, erzielbar waren. Die Klausur war auf 90 Minuten ausgelegt und galt als bestanden, wenn 40 Punkte erreicht wurden. Hilfsmittel waren außer einem Taschenrechner nicht zugelassen. 1. Aufgabe (21 Punkte) Ein Bausparer führt nach demselben Tarif, der ein 50%iges Mindestsparguthaben aufweist und u.a. auch unproportionale Teilungen zulässt, zwei Bausparverträge mit folgenden Merkmalen: Bauspar- Bauspar- Bauspar- Habensalden- Bewertungsvertrag (BV) summe (BS) guthaben (BG) summe (HSS) zahl (BZ) C C C A ,000 B ,000 Die Bausparkasse wendet die Habensaldenmethode an (bei Bewertungsstichtagen an den Kalenderquartalsenden und dem Bewertungszahlfaktor BZF = 1) und spricht Zuteilungen bis auf weiteres zu einem Quartalsende 3 Monate nach Erreichen der Mindestbewertungszahl M BZ = 6 und des tariflichen Mindestsparguthabens aus. Der Bausparer benötigt ein Quartal nach dem nächsten Bewertungsstichtag Bausparvertrags-Finanzierungsmittel in Höhe von C. Schlagen Sie eine optimale Vertragsgestaltung vor, bei der bezogen auf die Vertragsdaten vor den Vertragsänderungen weder Geld (BG) noch Zeit-mal- Geld (BZ) verschenkt wird und der Vertrag A voll in den Finanzierungs-Bausparvertrag eingeht. Welche Bausparverträge C1 und C2 führt der Bausparer nach den erforderlichen Vertragsänderungen? Optimal ist hier eine Vertragsgestaltung, die nach Zusammenlegung teils geänderter Verträge zu einem Finanzierungsvertrag C1 mit BS(C1) = C, BG(C1) = C und BZ(C1) = 6 führt. Aus folgt BZ(C1) = HSS(C1) BS(C1) = HSS(C1) = 6 (1.1) HSS(C1) = (1.2) Da der Vertrag A voll in die Finanzierung einfließen soll, fehlen an dem Bausparvertrag C1 noch ein Teilvertrag B1, dessen Hauptmerkmale durch Differenzbildung hergeleitet werden können und der aus einer unproportionalen Teilung hervorgeht, eben in B1 und den 721

2 Restvertrag B2. Nach der Teilung sind die Verträge A und B1 zum Finanzierungsvertrag C1 zusammenzulegen. Die Vertragsänderungen gehen aus der nachstehenden Übersicht hervor: BV BS BG HSS BZ C C C C ,000 A ,000 B ,333 B ,000 B2 = C ,500 Die unproportionale Teilung entspricht der hierfür geltenden Regel, dass die HSS im gleichen Verhältnis wie die BG aufzuteilen sind. Von beiden Größen entfallen je 2/3 auf B1. Die BZ errechnet sich nicht durch Addition oder Subtraktion, sondern analog der Formel (1.1). Der Bausparer hält nach der Neugestaltung den Finanzierungsvertrag C1 und den wesentlich schwächer entwickelten Restvertrag C2. 2. Aufgabe (14 Punkte) Schildern Sie in Stichworten, was Sie über die Vorfinanzierung, auch Vorausdarlehen (VD) genannt, im Bausparen wissen. Das VD ist ein auf der Basis eines Bausparvertrages (BV) gewährter vorzeitiger Kredit bis zur Höhe von dessen Bausparsumme (BS). Dazu bedarf es eines gesonderten Vertrages zwischen Darlehensgeber und -nehmer, da die ABB den Anspruch auf den vorzeitigen Kredit nicht einräumen (können). Kreditgeber ist entweder die Bausparkasse oder ein anderes Kreditinstitut, das in der Regel mit der Bausparkasse zusammenarbeitet. Im Unterschied zum Zwischendarlehen (ZD) weist der BV im Zeitpunkt der Vorfinanzierung noch nicht das tarifliche Mindestsparguthaben (MG) auf. Das erfordert im allgemeinen Sparbeiträge des Bausparers, die zu den VD-Zinsen hinzutreten. Eine Ausnahme von der Notwendigkeit, Sparbeiträge auf den Ablösungs-BV zahlen zu müssen, gilt dann, wenn das BG das MG so wenig unterschreitet, dass allein durch den Zuwachs des BG aus Guthabenzinsen in Kürze das MG erreicht wird. Jedes VD wandelt sich gegen Ende seiner Laufzeit, wenn das BG größer oder gleich dem MG ist, in ein ZD. Das VD ist (wie das ZD) ein gesamtfälliger Kredit (auch endfällig genannt), der nicht laufend getilgt, sondern nur verzinst werden muss. Das VD bzw. ZD wird durch die zugeteilte BS des der Finanzierung zugrunde liegenden BV abgelöst, d.h. in Höhe des Bausparguthabens (BG) getilgt und in Höhe des Bauspardarlehens (BD) umgeschuldet. Die Zahllast des Bausparers bis zur Zuteilung setzt sich also durchweg aus den VD-Zinsen und den Sparbeiträgen für den BV zusammen. Andererseits benötigt der Bausparer für ein bestimmtes eigentliches Darlehen (= Differenz zwischen BS und BG bei Finanzierungsbeginn) nur eine niedrigere BS als beim ZD. Wegen der durchschnittlich längeren Laufzeit der VD (im Vergleich mit den ZD) sind die Konditionen ceteris paribus oft ungünstiger als die für ZD. Ist Geldgeber des VD ein Kreditinstitut spricht man von Bankvorausdarlehen, die selbstverständlich aus Marktmitteln refinanziert und vom Darlehensnehmer auch marktabhängig zu bedienen sind. Eine Sofortfinanzierung liegt vor, wenn das VD zu einem neu abgeschlossenen BV gewährt wird. Bausparer präferieren VD von der Bausparkasse, allgemein gesagt, Finanzierungen aus einer Hand. Die Bausparkassen können zudem oft günstigere Konditionen für VD (und ZD) 722

3 bieten, weil sie der Refinanzierung Überschüsse der Zuteilungsmasse teilweise beimischen dürfen (ansonsten verwenden sie hierfür aufgenommene Fremdmittel und die noch nicht gebundenen Eigenmittel). 1 BsparkV regelt das Maximum der Refinanzierung von VD aus Zuteilungsmitteln. Darin sind VD nach der Laufzeit und dem Anteil an der Summe von vorzeitigen Krediten (ZD und VD) kontingentiert. Seit einigen Jahren lässt die Aufsichtsbehörde (BAFin) höhere Refinanzierungen von VD aus Zuteilungsmitteln zu als früher, und zwar gestützt auf 1 Abs. 4 BsparkV. 3. Aufgabe (25 Punkte) Es existieren bei den Bausparkassen X und Y Bausparverträge (BV) über eine Bausparsumme (BS) von je C, die beide zum ein Bausparguthaben (BG) von C und eine Bewertungszahl (BZ) von 150 aufweisen. Einheitlich sind die Quartalsenden Bewertungsstichtage und beträgt der Guthabenzinssatz 2% jährlich. Beim BV X, für den die BZ nach der Habensaldenmethode berechnet wird, beläuft sich zum die Habensaldensumme (HSS) auf C. Der BV Y, bei dem die Zinsenmethode der BZ-Berechnung angewendet wird, weist am eine Zinsensumme (ZS) von C auf. a) Mit welchen Bewertungszahlfaktoren müssen die zwei Bauspartarife ausgestattet sein, damit alle angegebenen Parameter Gültigkeit haben? b) Rechnen Sie die zwei Bausparkonten einschließlich der Bewertungszahlen vom ohne neue Sparbeiträge quartalsweise bis zum weiter. Zu a) Da BZ = 150 ist, müssen die Tarife Bewertungszahlfaktoren (BZF ) aufweisen, die folgenden Gleichungen erfüllen: BZF (X) HSS = 150 (3.1) BS bei der Habensaldenmethode und BZF (Y ) SGZ BS = 150 (3.2) bei der Zinsenmethode. Mithin ergeben sich numerisch und Zu b) BZF (X) = BZF (Y ) = = 40 (3.3) = (3.4) Die Bausparkonten weisen zu den Bewertungsstichtagen von bis folgende Werte auf: 723

4 Valuta BG ohne HSS Verdiente Zinsen- BZ(X) BZ(Y ) verd. Zinsen Zinsen summe C C C C , ,00 225, ,00 150,00 150, , ,00 225, ,00 168,00 172, , ,00 225, ,00 186,00 195, , ,00 225, ,00 204,00 217, , ,00 225, ,00 222,36 240,00 4. Aufgabe (30 Punkte) a) Wie verändert sich die Kassengleichung des statischen Beharrungszustandes von Ratensparern mit dem Vierteljahressparbeitrag A, wenn nicht alle zugeteilten Bausparer im Zeitpunkt s die Zuteilung sofort annehmen und sich die volle Bausparsumme (BS) auszahlen lassen, sondern Bausparer mit einem BS-Anteil von a(v ) im Zuteilungszeitpunkt s auf das Bauspardarlehen (BD) verzichten und nur das Bausparguthaben (BG) abrufen sowie ein weiterer Anteil von a(k) den Bausparvertrag nur mit A/2 bespart und ihn zur Zeit s kündigt. b) Für einen 2%/4,5%-Tarif ohne Darlehens- und Kontogebühren mit einem Darlehensanspruch in Höhe der Differenz zwischen BS und BG im Zeitpunkt der Zuteilungsannahme, ferner mit A = 1, 2% der BS und dem Quartalstilgungsbeitrag von 1,8% der BS spricht die Bausparkasse seit längerem die Zuteilungen nach 36 Quartalen aus. Sie ist dazu in der Lage, weil auf Dauer ein BS-Anteil a(v ) = 15% von Darlehensverzichten und a(k) = 25% von Kündigungen vorliegt. Wie hoch ist der Überschuss der Zuteilungsmasse im Verhältnis zu dem Gesamtbestand an BG? Zu a) Die Kassengleichung des statischen Beharrungszustandes ohne Kündigungen und Darlehensverzichte lautet SL = SBG = G(s) s A r 1 = t B D(0) q 1 = SBD = KL. (4.1) Daraus kann das unbekannte s, die mittlere Wartezeit des Tarifs durch ein Iterationsverfahren berechnet werden. Bei der mittleren Wartezeit stimmen Sparerleistung SL und Kassenleistung KL überein. Die Gleichung (4.1) ändert sich, wenn in dem Bausparkollektiv auf Dauer gleich hohe Kündigungen und Darlehensverzichte auftreten. Während für die darlehensnehmenden Bausparer, kurz mit D bezeichnet, weiterhin die Formel (4.1) gilt, erbringen die Darlehensverzichter die gleiche SL wie die D, nehmen aber keine KL in Anspruch, und die Kündiger nur eine (im Beispiel auf die Hälfte) reduzierte SL, kommen dadurch nicht zur Zuteilung und lassen sich bei Kündigung das Bausparguthaben zurückzahlen, ohne natürlich ein Bauspardarlehen beanspruchen zu können. Bezeichnet man die SL unter der Geltung von Kündigungen und Darlehensverzichten mit SL(K, V ) und analog die KL mit KL(K, V ), ferner die Sparintensität der Kündiger mit 724

5 s(k), so gilt: und SL(K, V ) = SBG [(1 a(k)) + a(k) s(k)] = SBG [1 a(k) (1 s(k))] (4.2) Aus der so erweiterten Kassengleichung KL(K, V ) = SBD [1 a(k) a(v )] (4.3) SL(K, V ) = KL(K, V ) (4.4) kann ebenfalls eine mittlere Wartezeit s errechnet werden, die wegen der wartezeitverkürzenden Momente der K und V kürzer ist als s. Zu b) Da im Beispielsfall die Sparzeit s mit 36 Quartalen vorgegeben ist, stimmen sowohl in (4.1) als auch in (4.4) linke und rechte Seite der Kassengleichung nicht überein. Ist die linke Seite größer als die rechte, verzeichnet die Zuteilungsmasse dauerhaft einen Überschuss. Im umgekehrten Fall besteht ein Defizit. Zur konkreten Lösung der Kassengleichungen bzw. zur Berechnung der Guthabensummen SBG und der Darlehenssummen SBD benötigt man zusätzlich die folgenden Gleichungen: für Ratensparer, G(s) = A rs 1 r 1 (4.5) D(0) = BS G(s) (4.6) bei einem Tarif mit Darlehensanspruch in Höhe der Differenz zwischen BS und BG und t = ln Q ln q (4.7) mit dem Zwischenwert B Q = B (q 1) D(0). (4.8) Zahlenmäßig zeigt sich für BS = 1 und s = 36 mit r = 1, 005, q = 1, 01125, A = 0, 012, B = 0, 018 und d = 0 folgendes Bild mit den wartezeitverkürzenden Faktoren aus a(v ) = 0, 15 und a(k) = 0, 25: 1, G(36) = 0, 012 = 0, 47200, 0, 005 (4.9) SL = SBG = 0, , 012 = 8, 000, 0, 005 (4.10) D(0) = 1 0, = 0, 52800, (4.11) Q = 0, 018 = 1, , 0, 018 0, , (4.12) t = ln(1, ) = 35, 7979, ln(1, 01125) (4.13) KL = SBD = 35, , 018 0, = 10, 343, 0, mit (4.14) 1 a(k) (1 s(k)) = 1 0, 25 0, 5 = 0, 875, (4.15) SL(K, V ) = 0, 875 8, 000 = 7, 000 und (4.16) KL(K, V ) = 0, 6 10, 343 = 6, 206. (4.17) 725

6 Der Überschuss der Zuteilungsmasse beläuft sich der absoluten Höhe nach auf SL(K, V ) KL(K, V ) = 7, 000 6, 206 = 0, 794, (4.18) d.h. relativ auf 0,794/7,000 = 11,34% sämtlicher BG, d.h. der SL(K, V ). (Im klassischen Kollektiv nach Gleichung (4.1) ohne K und V ist die Zuteilungsmasse defizitär, da die SBD = 10, 343 die SBG = 8, 000 um 2,343 oder 29,3% der SBG übersteigen.) 726