8. Abtastung. Kontinuierliches Signal: Signalspektrum: Abgetastetes Signal: ( t) Abtastfunktion: 1 f a. Spektrum der Abtastfunktion:

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1 Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie 8. Absun Koninuierliches Sinl: u() Sinlspekrum: U() Abesees Sinl: ( ) = u( ) ( ) u Absunkion: + n= ( ) = δ ( n ) Spekrum der Absunkion: + n= Spekrum des beseen u ( ) = u( ) ( ) Sinls: A ( ) = δ ( n ) mi U ( ) = U ( ) A( ) 1 = (Absrequenz) + ( ) = U ( n n= U ) u () U ( ) () A () u ( ) U ( ) 44

2 Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie Überbsun: > 2 U () - Unerbsun: < 2 U () Alisspekrum - 2 Bsisbndsinl ( ) Alissinl ( - ) Alissinl: Durch Unerbsun ri im Bsisbnd eine sörende Überlerun durch ds 1. Oberwellenspekrum u (Bndüberlppun). Mn sprich uch von Rücklun des Sinlspekrums in sich selbs. Ds Sörspekrum, ds sich innerhlb der ursprünlichen Bsisbndbreie überler, nenn mn Alisspekrum bzw. Alissinl. Ein unerbesees Sinl is dmi irreversibel esör. 45

3 Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie Absheorem: 2 bzw Es sind mindesens zwei Absperioden pro Sinlperiode erorderlich Grenze des Absheorems: = 2 bzw. = 2 1 = 2 Es sind enu zwei Absperioden pro Sinlperiode vorhnden. Die Grenze des Absheorems is prkisch nich nuzbr, d ein Sinl mi eine rückelee Linie bei - verursch, die ween =2 ueinnder lieen. Je nch Phsenle der Absrequenz ddieren sich diese beiden Frequenzkomponenen oder löschen sich us. Dies läss sich einch im Zeibereich zeien: Phsenle : Phsenle π: 46

4 Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie Vermeidun von Alis: Reles Voriler: Durch Einsz eines Vorilers knn Alis vermieden bzw. in der Ampliude edämp werden. Idel wäre ein Voriler mi recheckörmiem Frequenzn und einer Grenzrequenz von ½ (Nyquisrequenz). Dies bewirk, dss sich ds Bsisbnd mi dem durch die Absun ensehenden 1. Oberwellenspekrum erde berühr, ber nich überlpp. Ein Voriler mi relisierbrem Frequenzn beeinluss ds Sinlspekrum vor der Absun so, dss nch der Absun bei einer ineressierenden Frequenz 1 die Dämpun des Nuzsinls und die Dämpun des n der leichen Selle vorlieenden Alissinls erenn beeinluss wird (siehe olende Grik). U () Breies Einnssinlspekrum - /2 H () Vorilerrequenzn H ( 1 ) H ( - 1) 1 /2-1 U () Absspekrum U ( ) Nuz 1 U ( ) Alis 1 1 /2-1 47

5 Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie Dämpun von Oberwellen: Am Ende einer zeidiskreen Verrbeiunskee (i.. diil) muss ds besee Sinl wieder ls koninuierliche Funkion dresell werden. Dies wird durch ein Nchiler relisier, ds lle Oberwellenspekren unerdrücken muss. Ein ideles Nchiler weis einen recheckörmien Frequenzn mi Grenzrequenz ½ (Nyquisrequenz) u, ensprich lso direk dem idelen Voriler. Ideles Nchiler: Die beknne Impulsnwor eines idelen iepss läss sich bei einnsseiier Impulsole ewiche überlern (Superposiionsprinzip). Diese zeiliche Drsellun der idelen Nchilerun ensprich einer soennnen inererenzreien Überlerun. Die Nulldurchäne lieen exk u den Nchbrimpulsen und sören sich somi nich. Einzelimpuls LP Moduliere Impulsole LP Anmerkun: Die inererenzreie Überlerun erib sich nur bei einem idelen iepss der Grenzrequenz P =½ (Nyquisrequenz). Die erse Nullselle lie dnn im Absnd 1/(2 P )= vom Mximum. Is die Filerrenzrequenz kleiner, wird ds ursprünliche Sinl (Bsisbnd) zunehmend beeinluss. Die resulierende Funkion verläu dnn nich mehr exk durch die Abswere. 48

6 Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie Reles Nchiler: Ein reles Nchiler mi weicherer Flnke dämp sowohl die Oberwellenspekren ls uch noch einen eil des Bsisbndes. Je nch Whl der Grenzrequenz knn dbei noch resliches Alissinl unerdrück werden. Dies muss ber mi reduzierer Bsisbndbreie erku werden. Im olenden Beispiel is ein Nchilerrequenzn dresell, dessen Flnke symmerisch zur Nyquisrequenz dimensionier wurde. U () Absspekrum /2 H () Nchilerrequenzn /2 U () Resulierendes Bsisbndspekrum /2 49

7 Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie Einluß der Hleunkion: In der Prxis werden die Abswere nich durch die Impulsläche von Dircimpulsen repräsenier, sondern von Recheckimpulsen der Breie und der Ampliude des ensprechenden Absweres u(n). Die Impulsläche is dnn wieder dem Abswer proporionl. Eine Absun mi olender Hleunkion bezeichne mn ls Smple nd Hold oder kurz S&H. Dircörmie Absun: u ( ) Impulsläche.u(2 ) u () Absun mi Hleunkion: Impulsläche.u(2 ) u*( ) u(2 ) Spekrler Einluss: Mhemisch läss sich der Übern von der dircörmien Absun zur Drsellun mi Hleunkion ls Flun der modulieren Impulsole u () mi einem einzelnen Recheckimpuls der Breie und Impulsläche 1 beschreiben. u * ( ) = u ( ) 1 rec( ) U * ( ) = U ( ) si( π ) 5

8 Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie Nchilerwirkun der Hleunkion: U () si( π) 2 U * () 4 db /2 2 Die Hleunkion bewirk eine iepssilerun mi si-örmiem Frequenzn des beseen Sinls. Ddurch werden wie durch ein Nchiler die Oberwellenbänder edämp. Insbesondere die Absrequenz und ihre nzzhlien Vielchen verschwinden vollsändi (Nullsellen der si-funkion). Ncheili is die bereis im Nuzbnd einsezende Dämpun, die bei der Nyquisrequenz 4 db berä. Dies muss. durch eine Kompensionsschlun korriier werden (leiche Frequenznnhebun, z.b. hiner einem Diil/Anlo-Wndler). 51

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