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1 Versuch E 1: PHASENVERSCHIEBUNG IM WECHSELSTROMKREIS Stichworte: Elektronenstrahloszillograph Komplexer Widerstand einer Spule und eines Kondensators Kirchhoffsche Gesetze Gleichungen für induktiven und kapazitiven Widerstand Zeigerdiagramm Schein-, Wirk- und Blindwiderstand 2004/2005

2 Seite 2 E 1 Grundlagen: In einem Stromkreis, bestehend aus Wechselspannungsquelle U, Ohmschem Widerstand R, einer Spule der Induktivität L und einem Kondensator der Kapazität C, fließt ein Wechselstrom I I 0 sin t, 2 T, wobei T die Periodendauer des Wechselstroms ist. Spule, Widerstand und Kapazität sind in Serie mit der Spannungsquelle geschaltet (siehe Abb. 1). Abb. 1 Nach der Kirchhoffschen Regel gilt (Summe der erzeugenden Spannungen = Summe der im Kreis abfallenden Spannungen): U G U L U R U C U R R # I RI 0 sin t U C 1 C P Idt 1C # I 0 cos t X C I 0 cos t (1) U L L di dt L # I 0 cos t X L # I 0 cos t X C und X L werden als kapazitiver bzw. induktiver Blindwiderstand bezeichnet. In einem Blindwiderstand wird im zeitlichen Mittel keine Leistung umgesetzt.

3 Seite 3 E 1 Für die Gesamtspannung U G gilt dann U G I 0 [ R sin t ( L 1 C )cos t ] (2) Aus (1) ergibt sich, daß an der Spule der Strom der Spannung um T/4 (Phasenwinkel - %/2) nacheilt, während an dem Kondensator der Strom der Spannung um T/4 (Phasenwinkel + %/2) vorauseilt. (Beachten Sie die Vorzeichen in (1)). Wechselstrom und -spannung und ihre relative Phase werden zweckmäßig in einem sogenannten Zeigerdiagramm dargestellt. Dabei werden U und I durch gegen den Uhrzeigersinn in einer Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit 7 rotierende Zeiger repräsentiert. Die Länge der Zeiger entspricht den Amplituden von Strom bzw. Spannung, der Winkel zwischen den Zeigern entspricht der relativen Phase. Abb. 2 zeigt die Momentaufnahme eines solchen Zeigerdiagramms für den Fall einer verlustfreien Induktivität. Die Zeiger können als graphische Darstellung komplexer Zahlen aufgefaßt werden U U 0 exp i ( t Q ), I I 0 exp i ( t ) wobei Realteil oder Imaginärteil von U' und I' (R e U' = U 0 sin (7 t + Q)) den Vorgang beschreiben. Der Realteil entspricht der Projektion von U' auf die waagerechte Achse in Abb. 2: Abb. 2 Ähnlich lassen sich auch die zeitunabhängigen Wechselstromwiderstände in einem Zeigerdiagramm mit einem nicht rotierenden Zeiger darstellen. Die Zeigerlänge entspricht dem Quotienten U 0 /I 0. Der Ohmsche Widerstand liegt auf der positiven waagerechten Achse, kapazitiver und induktiver Widerstand liegen auf der negativen bzw. positiven senkrechten Achse, entsprechend der relativen Phasenverschiebung der Spannung an Kapazität, Induktivität und Ohmschem Widerstand.

4 Seite 4 E 1 Aus einem solchen Diagramm lassen sich der resultierende Gesamtwiderstand Z (Scheinwiderstand oder Impedanz) durch einfache Vektoraddition und der Phasenwinkel 1 Z bestimmen. In Abb. 3 ist das Zeigerdiagramm für die Serienschaltung eines Kondensators der Kapazität C und eines Ohmschen Widerstandes R gezeigt. Abb. 3 Es ergibt sich Z R 2 1 C 2 ; Z arctan 1 CR Für den Fall der Parallelschaltung läßt sich ein entsprechendes Diagramm für die Leitwerte I 0 /U 0 erstellen.

5 Seite 5 E 1 Durchführung des Versuchs: Der Versuch besteht aus Transformator, verlustbehafteter Spule, Voltmeter, Amperemeter und einem 2-Kanal-Oszillographen. Es müssen jeweils alle Einzelspannungen und die Gesamtspannung bestimmt werden, dazu wird der Strom mit dem gelben Meßgerät (hat als einziges eine Einstellung für Wechselstrommessung) und die Phase mit dem EO gemessen. Die Masseanschlüsse des EO müssen unbedingt zusammengeschaltet werden, da sonst ein Kurzschluß über die im EO verbundenen Massen entsteht. Dies kann zum Durchbrennen der Sicherung im gelben Meßgerät führen (Ersatzsicherung beim Betreuer). Durch den Trafo und seine Nichtlinearitäten (Hysterese des Eisenkerns u. ä.) kann ein verzerrter Sinus entstehen, der an einigen Einzelspannungen besonders hervortritt (Fourier-Zerlegung in Sinuswellen und Frequenzabhängigkeit von X L und X C ). Dies zeigt Tiefpaß-, Hochpaßcharakter. Phasenwinkelbestimmung: Zu messen ist der Winkel zwischen U R I Ges und U Ges, indem beide Signale gleichzeitig (chopped) am EO angezeigt werden. Q Ges Abstand der Nulldurchgänge von I Ges zu U Ges Abstand zweier Nulldurchgänge von U Ges # 180( Der Innenwiderstand der Spulen wird mit der Widerstandsmessung des gelben Meßgerätes bestimmt (geschieht mit Gleichstrom).

6 Seite 6 E 1 Aufgabe 1 Bestimmen Sie durch Messung des Gesamtstroms I G, der Gesamtspannung U G und der Einzelspannungen an den einzelnen Komponenten die Kapazität, Induktivität und die Widerstände in den folgenden Wechselstromkreisen: a) Serienschaltung von Ohmschem Widerstand R und Kondensator C (Abb. 4) mit R, C = C 1 R, C = C 2 Abb. 4 b) Serienschaltung von Ohmschem Widerstand R und Induktivität L (Abb. 5). Beachten Sie dabei, daß die Induktivität auch einen Ohmschen Widerstandsbeitrag liefert, der ebenfalls zu bestimmen ist, mit R, L = L 1 R, L = L 2 Abb. 5

7 Seite 7 E 1 c) Serienschaltung von Ohmschem Widerstand R, Kapazität C und Induktivität L (Abb.6) - für die Induktivität gilt der gleiche Hinweis wie in b) - mit C 1, L 1 R, C = C 1, L = L 1 Abb. 6 Aufgabe 2 Stellen Sie die bestimmten Größen in den entsprechenden Zeigerdiagrammen dar. Aufgabe 3 Bestimmen Sie den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung für die drei verschiedenen Fälle. Hinweis: Benutzen Sie für den Versuch den 6 V-Ausgang des Transformators. Beachten Sie, daß am Elektronenstrahl-Oszillographen die Spannung Spitze - Spitze (V SS ) und beim Voltmeter ein Effektivwert gemessen wird. Fehlerrechnung/-betrachtung!

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