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1 TECHISCHE UIVERSITÄT MÜCHE Zentrum Mathematik PRF. R.R. JÜRGE RICHTER-GEBERT, VAESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 003/004) Aufgabenblatt 1 (4. ktober 003) Aufgabe 1. Ein voller Schaltkreis. Präsenzaufgaben A B F C T T E R G ie obige Zeichnung stellt einen Schaltkreis dar. Schaltkreise haben Eingabedrähte (A,B,C) und Ausgabedrähte (F,G), an denen jeweils Spannung (1) oder keine Spannung (0) anliegen kann. azwischen gibt es elementare Bausteine (, R, T), die mit Spannungen rechnen : X Y T(X) (X, Y ) R(X, Y ) Versuchen Sie, die Funktionsweise des Schaltkreises anhand einer Tabelle zu verstehen. A B C E F G LÖSUG: er Schaltkreis dieser Aufgabe ist ein Volladdierer. ie Teilschaltkreise in den gestrichelten Kästen sind Halbaddierer. er Volladdierer addiert die Bits A, B, C. as Ergebnis ist die Binärzahl A + B + C = (G F). A B C E F G

2 Aufgabe. er optimale Bauer. Ein Agrarökonom besitzt 0 Hektar Land und einen Stall für 10 Kühe. Er kann im Jahr 400 Arbeitsstunden aufwenden. Für eine Kuh benötigt er pro Jahr 0,5 Hektar Land und 00 Arbeitsstunden. er Anbau von 1 Hektar Weizen erfordert pro Jahr 100 Arbeitsstunden. Im Jahr erzielt er einen Gewinn von 350 Euro pro Kuh und von 60 Euro pro Hektar Weizen. Mit wie vielen Kühen und mit wieviel Hektar Weizen läßt sich der höchste Gewinn erzielen? LÖSUG: Wir bezeichnen mit x 1 die Anzahl der Kühe und mit x die angebauten Hektar Weizen. Wir wollen zunächst x 1 und x als reelle Zahlen ansehen, was nicht unrealistisch ist, da man die Kühe schließlich auch wiegen kann. a Für die möglichen Paare (x 1, x ) gibt es die folgenden Restriktionen: x 1 0 (1) x 0 () x 1 10 (3) 0, 5x 1 + x 0 (4) 00x x 400. (5) In der rechtsstehenden Zeichnung ist die Menge der gültigen Paare dargestellt. er erzielbare Gewinn ist bestimmt durch den Wert der Funktion f(x 1, x ) := 350x x. Zu jeder Zahl α R betrachten wir die Menge X α := {(x, y) : f(x 1, x ) = α}, die eine Gerade ist. Läßt man α von 0 aus ansteigen, so ist der Punkt p der letzte gültige Punkt. ort erzielt der Agrarökonom den maximalen Gewinn. er Punkt p ist die Lösung des linearen Gleichungssystems 0, 5x 1 + x = 0 00x x = 400, das ist p = ( 8 3, ) und somit f(p) = 3 = 5786, un stellt sich natürlich die Frage, was einem diese Lösung sagt: Z.B. könnte man sie als zwei ausgewachsene Kühe und ein Kalb auffassen. Andererseits könnte man diese Lösung auch als Startpunkt nehmen, um eine exakte ganzzahlige Lösung zu finden, indem man die hier vorgestellte Methodik variiert. a Wenn Mathematik bzw. Informatik in anderen Gebieten angewendet werden soll, hat man immer das Problem der Modellbildung. b dieses Modell wirklich angemessen ist, hängt stark vom Bauer ab. Ein Bauer, der Kühe für einen Schlachthof produziert, ist sicher mit unserer Modellwahl einverstanden. Ein Bauer, der Milchkühe hält sicher nicht, aber vielleicht hilft dennoch der vorgestelle Lösungsweg. Aufgabe 3. er Stammbaum einer rone. Jede männliche Biene (rone) wird asexuell von einer weiblichen Biene (Königin) produziert. ie Eltern einer Königin bestehen dagegen aus einer rone und einer Königin. Wie viele Groß-eltern, Groß-Groß-eltern, Groß-Groß-Großeltern,..., besitzt eine rone? Wie viele davon sind Königinnen, wie viele davon ronen? LÖSUG: atürlich gibt es kein erstes Aufgabenblatt ohne FIBACCI-Zahlen! ie 0-te FIBACCI-Zahl ist definiert als F 0 := 0, die erste als F 1 := 1, und alle folgenden rekursiv durch F n := F n 1 + F n. n F n Es ist günstig, sich den Stammbaum einer rone aufzumalen:

3 a sieht man, daß es eine Großmutter und einen Großvater, sowie zwei Groß-Großmütter und einen Groß-Großvater gibt. Mit M n sei die Anzahl der n-ten Großmütter bezeichnet, mit V n die Anzahl der n-ten Großväter und mit E n die Anzahl der n-ten Großeltern. Es ist M 1 = V 1 = 1, M =, V = 1 und E n = M n + V n. esweiteren gilt nach Voraussetzung M n = M n 1 + V n 1 und V n = M n 1. Also M n = M n 1 + V n 1 = M n 1 + M n, V n = M n 1 = M n + M n 3 = V n 1 + V n, E n = M n + V n = M n 1 + M n + V n 1 + V n = E n 1 + E n, d.h. die FIBACCI-Zahlen kommen hier gleich dreimal vor. Es ist nämlich M n = F n+1, V n = F n und E n = F n+. Aufgabe 4. as Binär-, ezimal-, und Hexadezimalsystem. 1. Wandeln Sie die folgenden ualzahlen in ezimalzahlen um: a.) b.) Addieren Sie im ualsystem: a.) b.) Wandeln Sie die folgenden Hexadezimalzahlen in Binärzahlen um: a.) 3F b.) 1A LÖSUG: 1. Es ist a.) ( ) = = = 147, b.) ( ) = = = Es gilt 13 = ( ), 17 = ( ), 19 = (010011) und 45 = (101101). Addition ergibt a.) b.) Hier ist zu beachten, daß im Hexadezimalsystem die Buchstaben A F für die Zahlen stehen. a.) Wir haben (3F) 16 = ( ), b.) und (1A) 16 = ( ). Hausaufgaben Aufgabe 5. Zu spät. Zwei Personen verabreden sich lose zwischen 14 und 15 Uhr am Eingang des lympiastadions. Jede wartet maximal 0 Minuten auf die andere. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich die beiden tatsächlich treffen, wenn sie völlig zufällig und unabhängig voneinander zwischen 14 und 15 Uhr dort eintreffen? LÖSUG: y ie zufälligen Ankunftszeiten werden mit x und y bezeichnet. Sie nehmen Werte im Intervall [0, 60] an. ie Personen treffen sich genau dann, wenn die Ungleichung x y 0 gilt. ie Situation läßt sich graphisch darstellen: ie Personen treffen sich, wenn der Punkt (x, y) im grauen Streifen des Quadrates liegt. ie Wahrscheinlichkeit eines Treffens ist somit der Flächeninhalt des grauen Streifens dividiert durch den Flächeninhalt des Quadrats, also = 5 9. x

4 Aufgabe 6. Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen. as folgende lineare Gleichungssystem hängt von den Parametern α R und β R ab. Für welche α, β ist das Gleichungssystem lösbar? Welche interessanten Effekte treten dabei auf? 3x y +( 1 α)z = β x +3y +( 1 α)z = β x y +(3 + 3α)z = 6 +3β LÖSUG: Gegeben ist das lineare Gleichungssystem: Zyklische Vertauschung: 1, 3, 3 1 3x y + ( 1 α)z = β x + 3y + ( 1 α)z = β 3x y + ( 1 α)z = β x + 3y + ( 1 α)z = β Addition der 3-fachen 1. Zeile zur. Zeile, Addition der ( 1)-fachen 1. Zeile zur 3. Zeile Addition der 1-fachen. Zeile zur 3. Zeile un ergibt sich eine Fallunterscheidung: 4y + (8 + 8α)z = β 4y + ( 4 4α)z = 4 4β 4y + (8 + 8α)z = β (4 + 4α)z = 1 + 4β α 1 : as Gleichungssystem ist eindeutig lösbar (sogar unabhängig von der Wahl von β). ie Lösung ist z = 1 + 4β 4 + 4α = 3 + β 1 + α y = ( + α)z (4 + β) = (6 + β) (4 + β) = x = y + (3 + 3α)z (6 + 3β) = + (9 + 3β) (6 + 3β) = 1 α = 1 : Wenn β 3 ist, bedeutet die 3. Zeile nichts anderes als 0 z 0, was nicht sein kein und das Gleichungssystem ist dann nicht lösbar. Wenn hingegen β = 3 ist, bedeutet die 3. Zeile 0 z = 0, d.h. z kann beliebig gewählt werden. ann ist y = 4 + β = und x y = 6 + 3β = 3. ie Lösungsmenge ist {(x, y, z) R 3 : z R, x = 1, y = }.

5 Aufgabe 7. as reieck der Legionäre. Beantworten Sie Asterix Frage. der gehen Sie gleich einen Schritt weiter: Wie viele Römer sind es, wenn Asterix n von ihnen in der reiecksformation sieht? LÖSUG: Wenn Asterix 1 Römer von der Seite sieht, dann sind in der reiecksformation = 78 Römer. Allgemein gilt die Gleichung (n 1)+n = n(n+1). iese Gleichung leiten wir auf zwei verschiedene Weisen her: mit dem Trick des Schülers GAUSS: Man faßt jeweils die i-te Zahl und die (n i + 1)-te Zahl zusammen, was i + n i + 1 = n + 1 ergibt, z.b = 13, + 11 = 13,..., = 13, 11 + = 13, = 13. ies aufaddiert ergibt n(n + 1). un haben wir aber jede Zahl genau zweimal addiert, so daß anschließend noch mit dividiert werden muß. mit vollständiger Induktion: ie Gleichung ist für n = 1 offensichtlich korrekt. Angenommen die Gleichung ist für die Zahlen 1,, 3,..., n 1 korrekt, dann gilt unter anderem (n 1) = (n 1)n. Wenn man bei nun auf beiden Seiten die Zahl n addiert, erhählt man das Gewünschte: (n 1) + n = (n 1)n + n = n(n+1).

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