Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN

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1 *UXQGODJHQGHU3K\VLN Vorlesung im Fachbereich VI der Universität Trier Fach: Geowissenschaften Sommersemester 2001 'R]HQW 'U.DUO0ROWHU 'LSORP3K\VLNHU )DFKKRFKVFKXOH7ULHU 7HO )D[ (0DLOPROWHU#IKWULHUGH,QIRV]XU9RUOHVXQJXQWHUKWWSZZZIKWULHUGHaPROWHUJGS Version: /LWHUDWXU 6WURSSH: 3K\VLN, Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN HULQJ0DUWLQ6WRKUHU: 3K\VLNI U,QJHQLHXUH, Springer, Berlin; VDI, 1999, ISBN DXO$7LSOHU: 3K\VLN, Spektrum Akademischer Verlag, 2000, ISBN *HUWKVHQ: 3K\VLN, Springer Verlag, 1999, ISBN %URQVWHLQ6HPHQGMDMHZ: 7DVFKHQEXFKGHU0DWKHPDWLN, Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN UJHQ(LFKOHU: 3K\VLN, Vieweg Verlag, 1993, ISBN DQV-3DXV: 3K\VLN, Hanser Verlag, 1995, ISBN ODXV:HOWQHU: 0DWKHPDWLNI U3K\VLNHU, Vieweg Verlag (nur noch als CD-ROM, ISBN , erhältlich!) 6WHSKHQ:ROIUDP: 7KH0DWKHPDWLFD%RRN, Cambridge University Press, 1999, ISBN

2 Elektrizität und Magnetismus (4) Magnetismus, magentostatisches Feld, Kräfte, Induktionsgesetz 0DJQHWLVPXV Å (LQOHLWXQJ Über die Wirkung magnetischer Felder haben wir eingangs bereits gesprochen. Wegen der Gleichartigkeit bestimmter Phänome (Abstoßung gleichnamiger magnetischer Pole und Anziehung entgegengesetzter Pole könnte man nun annehmen, das die Theorie des Magnetismus völlig analog zur Theorie der Elektrizität erläuft. Dies ist jedoch nicht so. Ein wesentlicher Unterschied zur Elektrostatik ist, dass es NHLQHPDJQHWLVFKHQ 0RQRSROH gibt! Dies führt dazu, dass magnetische Felder andere Eigenschaften besitzen als elektrostatische Felder. Aus Zeitgründen kann hier nur relativ Oberflächlich auf die Theorie des Magnetismus eingegangen werden. Es sollen nach einer kurzen Einführung daher im wesentlichen einige interessante Effekte und Phänomene dargestellt werden. Å 'DVPDJQHWRVWDWLVFKH)HOGLP9DNXXP Zerbricht man einen Stabmagneten, so besitzen beide Bruchstücke jweils wieder einen Nord- und einen Südpol, die elementare Quelle des magnetostatischen Feldes ist also ein magnetischer Dipol. Das magnetostatische Feld läßt sich daher nicht, wie beim elektrischen Feld, durch die Kraft auf eine magnetische Ladung bestimmen, sondern aus dem Drehmoment auf den magnetischen Dipol! 0 = P + [1] Dabei ist 0 das resultierende 'UHKPRPHQW, P das PDJQHWLVFKH'LSROPRPHQW und + die PDJQHWLVFKH)HOGVWlUNHgemessen in [ þþþþþ P $ ]. Alle drei Größen sind Vektoren (d.h. es sind gerichtete Größen)! Statt einer magnetischen Ladung, die es ja nicht gibt, definiert man eine magnetische Polstärke FP, als Gesamtheit der von einem magnetischen Pol ausgehenden Feldlinien. Das magnetische Dipolmoment P ergibt aus dem Produkt der Polstärke FP(magnetischer Fluß)und dem Verbindungsvektor O der beiden Pole zu P =F P O [2] Die Feldlinien eines magnetischen Dipols verlaufen wie die eines elektrischen Dipols, sie lassen sich mit Hilfe von Eisenspänen gut sichtbar machen.

3 Das Feld des magnetischen Dipols ist ebenfalls wirbelfrei, so dass es sich analog zum elektrostatischen Potential durch ein magnetostatisches Potential beschreiben läßt. j m Š = Å + ÇU P [3] Dies gilt allerdings nicht für alle zeitlich unveränderliche Magnetfelder, wie wir später noch sehen werden. Neben der magnetischen Feldstärke H verwendet man auch noch die magnetische Flußdichte % (auch PDJQHWLVFKH,QGXNWLRQ genannt) zur Beschreibung des magnetischen Feldes: % = m 0 + A Vs þþþþþþþ m 2 = TeslaE [4] mit der magnetischen Feldkonstanten m 0 = 1, A Vs þþþþþþþþ Am E [5] Der magnetische Fluß hängt wie folgt mit der Flußdichte zusammen: F m = Å % Ç A [6] Die Energiedichte des magnetischen Feldes ergibt sich schliesslich zu: w m = 1 þþþþ 2 % + [7] Å 0DJQHWLVFKHV)HOGHLQHVHOHNWULVFKHQ/HLWHUV Nicht nur magnetische Dipole sind die Ursache für magnetische Felder sondern auch bewegte elektrische Ladungen, also elektrische Ströme. Bereits 1820 wies Oersted nach, dass ein Leiter, der von einem konstanten Strom durchflossen wird, von einem magnetischen Feld umgeben ist, dessen Feldlinien konzentrische geschlossene Kreise um den Leiter bilden:

4 Die Richtung der Feldlinien ist durch die rechte Hand Regel gegeben: zeigt der Daumen in Richtung des Stroms, so zeigen die gekrümmten Finger in Richtung des magnetischen Feldes. Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld treten hier geschlossene Feldlinien auf, das magnetische Feld eines geraden Leiters ist ein TXHOOHQIUHLHV:LUEHOIHOG. Für einen unendlich langen Leiter erhält man nach dem BIOT-SAVARTschen Gesetz für den Betrag der magnetische Feldstärke: H = I þþþþþþþþþþ 2 pr [8] Bilden wir hier das Integral über einen geschlossen Weg um den Leiter, z.b. entlang einer Feldlinie, so erhalten wir: + du = Hds = 2 p I r þþþþþþþþ 2 p Å þþþþ 0 r Ça = I [9] Allgemein gilt das sogenannte Durchflutungsgesetz: + du = Å M Ç $, [10] mit der Stromdichte M und dem vektoriellen Flächenelement d$. In der folgenden Abbildung ist das Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule dargestellt: Im Innern einer langgedehnten Spule bildet sich ein homegenes Magnetfeld aus. Im Außenraum ist es in einiger Entfernung fast Null. Der Betrag der magnetischen Feldstärke im Innern ergibt sich zu:

5 H = NI þþþþþþþþ l [11 ] mit N als der Anzahl der Windungen und l als Länge der Spule. Die folgende Abbildung zeigt das Magnetfeld eines Kreisstroms: Å.UDIWZLUNXQJ]ZLVFKHQ6WURPXQG0DJQHWIHOG Auf einen stromdurchflossenen Leiter wirkt im magetischen Feld eine Kraft, die senkrecht zu I und zu H gerichtet ist (vgl. Abbildung 21): Hat der Leiter im Magnetfeld die Länge O, so ist der Betrag der Kraft: F = m 0 OIH [12]

6 Bilden Stromrichtung und Richtung des Feldes einen Winkel a, so gilt statt [64]: F = m 0 OIH sina [13] Da die Kraft eine gerichtete Größe ist, ist die allgemeine Formulierung: ) = m 0 O, + [14] Zwei parallele, stromdurchflossene Leiter üben durch ihr Magnetfeld gegenseitig eine Kraft aufeinander aus: Für die abgebildete Konfiguration ergibt sich die Kraft zu F = m 0 OI 2 H 1 = m 0 þþþþþþþþ 2 p I 1 I þþþþþþþþþþþ 2 O r [15] Diese Konfiguration dient zur Festlegung der Einheit der elektrischen Stromstärke: SDUDOOHOHXQHQGOLFKODQJH/HLWHUYRQYHUQDFKOlVVLJEDUHP4XHUVFKQLWWGLHHLQHQ$EVWDQGYRQPKDEHQ XQG]ZLVFKHQGHQHQGLHGXUFKGHQ6WURPPDJQHWLVFKKHUYRUJHUXIHQH.UDIWLP9DNXXPMHPGHU 'RSSHOOHLWXQJ - 1EHWUlJW

7 Å.UDIWDXIEHZHJWH/DGXQJHQ Wir haben oben gesehen, dass stromführende Leiter Kräfte aufeinander ausüben. Ursache für diese Kraft ist die Bewegung der Elektronen des einen Leiters im Magnetfeld des anderen Leiters. Allgemein gilt: Wenn eine Ladung q mit der Geschwindigkeit Y durch ein homogenes Magnetfeld % fliegt, erfährt sie die Kraft ) = q Y %, [16] die sogenannte Lorentz-Kraft. Das Kreuzprodukt bedeut, dass die Richtung der Kraft sowohl senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes als auch senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit ist. Wenn Y parallel zu % ist, verschwindet die Kraft. Stehen Y und % von vorneherein senkrecht zueinander, so gilt: F = qvb [17] Untersuchen wir die Bewegung einer Ladung, die sich senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld bewegt, etwas genauer: Die Kraft wirkt immer senkrecht zur Bewegung, damit findet keine Beschleunigung in Bewegungsrichtung statt, sondern ebenfalls senkrecht zur Bewegungsrichtung. Diese Merkmale sind charakteristisch für eine Kreisbewegung. Die Lorentz-Kraft wirkt als Zentripetalkraft, der die Zentrifugalkraft die Waage hält: mv 2 þþþþþþþþþ r = qvb [18] Das Teilchen bewegt sich mit einer Kreisfrequenz von: w = þþþþ v r = þþþþ q m B [19] Man bezeichnet diese auch als Larmor-Frequenz, sie spielt in der Atomphysik eine wichtige Rolle. Der Radius der Kreisbahn ist nach [71] einfach zu bestimmen: r = mv þþþþþþþþ qb [20] Kennt man die Energie der Ladungen, z.b. indem man sie die Spannung U durchlaufen läßt, so dass gilt: qu = 1 þþþþ 2 mv2 [21] kann man damit die Geschwindigkeit der Teilchen berechnen zu

8 2qU v = $%%%%%%%%%%%%%% þþþþþþþþþþþ. m [22 ] Zusammen mit Gleichung [20] läßt sich dann mit Hilfe der messbaren Größen U, B und r das Verhältnis von Ladung zu Masse der Teilchen bestimmen: q þþþþ m = 2U þþþþþþþþþþþ r 2 B 2 [23] é 'HU+DOO(IIHNW Man kann sich den Einfluß von Magnetfeldern auf bewegte Ladungen zu Nutze machen, um Magnetfelder zu messen: Ein Streifen aus leitendem Material mit der Breite b und der Dicke d wird von einem Strom I durchflossen. Ohne magnetisches Feld sind die gegenüberliegenden Punkte a und D auf gleichem Potential, so dass das Messgerät 8+ keinen Ausschlag zeigt. Befindet sich der Streifen in einem homogenen Magnetfeld, so misst man zwischen a und D die Hall- Spannung: U H = R H IB þþþþþþþþ d [24] Die Hall - Konstante R H hängt vom verwendetenmaterial ab und ist für eine Reihe von Materialen bekannt. Man kann Hall - Sonden mit recht kleinen Abmessungen bauen, so dass damit auch inhomogene Magnetfelder Stück für Stück durch Messen der jeweiligen Hall Spannung ausgemessen werden können.

9 :DVLVWQXQGLH8UVDFKHI UGLH+DOO6SDQQXQJ" Im Magnetfeld erfahren die bewegten Ladungsträger eine Lorentzkraft, die die Elektronen nach oben, evetuelle positive Ladungsträger nach unten drängt. Dies geschieht so lange, bis die Verschiebung ein Querfeld (+ aufgebaut hat, dass der Lorentz-Kraft entgegengesetzt ist und sie kompensiert. Dieses Feld ruft dann eine Potentialdifferenz zwischen a und D hervor, die als Hall-Spannung gemessen wird. Bei bekanntem Magnetfeld kann man mittels der Hall-Spannung auch Materialeigenschaften der Sonde selbst bestimmen. Å 'DV)DUDGD\VFKH,QGXNWLRQVJHVHW] Stellen wir uns ein homogenes Magnetfeld vor, in dem wir eine Leiterschleife rotieren lassen. Auf die beweglichen Ladungeträger im Leiter wird eine Lorentzkraft ausgeübt, die zu einer Bewegung der Ladungsträger führt. Es wird demnach ein Strom in der Leiterschleife induziert und wir können an den Enden der Schleife eine Spannung abgreifen. Eine genauere Betrachtung des Sachverhalts liefert für die induzierte Spannung: U ind = -B da þþþþþþþ dt [25] mit der Magnetfeldstärke B und der Leiterschleifenfläche A. Die induzierte Spannung ist also proportional zur Magnetfeldstärke B und der Änderung der in der Zeit vom magnetischen Fluß durchsetzen Fläche der Leiterschleife da. Eine Spannung wird auch induziert, wenn die Schleife fest steht und sich die Magnetfeldstärke zeitlich ändert. Eine allgemeinere Formulierung des Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife mit n Windungen lautet daher: U ind = -n df þþþþþþþ dt [26] Die induzierte Spannung ist proportional zur Zahl der Windungen und zur Änderungen des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife. é 6HOEVWLQGXNWLRQ Jeder stromführende Leiter baut in seiner Umgebung ein Magnetfeld auf, dessen Fluß F proportional zur Stromstärke I im Leiter ist: F = LI. [27] Den Proportionalitätsfaktor L nennt man 6HOEVWLQGXNWLRQVNRHIIL]LHQWHQ oder IQGXNWLYLWlW des Leiters. Die Einheit ist [ þþþþþþ Vs $ ] oder +HQU\ [H]. Wird in einer Leiterschleife die Stromstärke geändert, so ändert sich gleichzeitig auch der magnetische

10 Fluß, was nach dem Induktionsgesetz eine Spannung induziert, die der den Strom aufbauenden Spannung entgegengesetzt ist: U ind = -þþþþþþþ df dt = -L di þþþþþþþþþþþ dt. [28] Die Selbstinduktion hat zur Folge, dass beim Einschalten eines Stromkreises, in dem sich eine große Induktivität befindet, der Strom nicht sprungartig ansteigen kann, sondern wegen der induzierten Gegenspannung langsam ansteigt, bis er möglicherweise einen konstanten Wert erreicht. Wenn er zeitlich unveränderlich ist, entsteht auch keine Induktionsspannung mehr, es gilt dann das ohmsche Gesetz. Man sagt, in einem induktiven Stromkreis eilt die Spannung dem Strom vor, in einem kapazitiven Stromkreis eilt der Strom der Spannung vor. Warum ist das so? é (U]HXJXQJYRQ:HFKVHOVWU PHQ Die folgende Abbildung zeigt eine einfache Ausführung eines Wechselstromgenerators: Er besteht aus zwei Permanentmagneten, einer Leiterschleife und zwei Schleifkontakten, die auf Kontaktringen laufen, von denen jeweils einer mit einem Leiterschleifenende verbunden ist. Rotiert die Schleife mit einer Kreisfrequenz w, so ändert sich der magnetische Fluß F durch die Leiterschleife periodisch mit der Frequenz n = þþþþþþþ w 2 p : F HtL = BA = B A cos wt = F 0 cos wt [29] Nach dem Induktionsgesetz entsteht an den Schleifenenden eine Wechselspannung

11 U = - df þþþþþþþ dt = w F 0 sin wt = U 0 sin wt. [30 ] Man bezeichnet 8 0 als 6FKHLWHOZHUW der Spannung. Bei richtigen Generatoren werden viele Schleifen zu einer Spule (Anker) gewickelt. Die induzierte Wechselspannung ist proportional zur Anzahl der Schleifen, zur Magnetfeldstärke und zur Kreisfrequenz, mit der sich der Anker dreht. In einem an die Kontakte des Generators angeschlossenen Stromkreis wird ein Wechselstrom erzeugt: I = I 0 sin Hwt -jl. [31] Der Winkel j ist die Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung. Die Größe von j hängt von dem im Stromkreis vorhandenen Kapazitäten C, ohmschen Widerständen R und Inuktivitäten L ab. = X WD = L W -jd X = L = w = p j = þþþþ p 8W < 3ORW6W\OH $[HV/DEHO -> 8W $PSOLWXGH<D Amplitude t ú Graphics ú

12 Die Graphik oben zeigt den zeitlichen verlauf von Stromstärke und Spannung eines harmonischen Wechselstroms. Wie müssten die Schleifringe des Generators beschaffen sein, damit keine Wechselspannung, sondern eine Gleichspannung (soll heissen, eine Spannung, die ihr Vorzeichen nicht umkehrt) erzeugt wird?

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