Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finite- Elemente-Methode

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1 K.Bräuer: Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finiten-Elemente-Methode 1 Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finite- Elemente-Methode Kurt Bräuer Privatdozent am Institut für Theoretische Physik, Uni Tübingen Raum D8A40 Ziele: Motivierung und Veranschaulichung der Grundgesetzte der theoretischen Physik Bereitstellung eines sehr allgemeinen Werkzeuges zur Untersuchung theoretischer Zusammenhänge (Lösung partieller Differentialgleichungen mit der Finiten Elemente Methode [FEM]) Vertraut machen mit sehr allgemeiner Computer-Software zur Verwendung von FEM (weniger 'GUI' und 'Mulitphysics', sondern Ausformulierung der physikalischen Zusammenhänge und Formulierung als Skript-Programme) Längerfristige Planung SS 04 Vorlesung WS 04/05 Computational Physics Praktikum: SS 05 Vorlesung SS 05 Übungen WS 05/06 Schwerpunkte: Physikalische Grundlagen Mathematische Grundlagen Physikalische Anwendungen mit FEM-Lab Entwicklung einer einfachen FEM-Software Schwerpunkte: Numerik, Programmierung Schwerpunkte: Physikalische Grundlagen Mathematische Grundlagen Schwerpunkt: physikalische Anwendungen mit eigener FEM-Software 20. April 2004

2 2 Inhalt der Vorlesung Theoretische Physik Grundlagen der theor. Physik Raum- und Zeitkoordinaten Wirkungsfunktion Bewegungsgleichungen Kontinuitätsgleichung Schrödingergleichung Wirkung und Wahrscheinlichkeit (was mit welcher Wahrscheinlichkeit) Zerfließen der Aufenthaltswahrscheinlichkeit Doppelspaltexperiment Klein-Gordon-Gleichung und Elektrodynamik Strahlung beschleunigter Ladungen Atomare Strahlungsfelder Klassische Mechanik - Kontinuitätstheorie Wirbelbildung in der Hydrodynamik Druckwellen in elastischen Röhren Selbstorganisation der Materie (Form der Qualle) Mathematik und Numerik Methode der Finiten Elemente Allgemeine Form partieller Differentialgleichungen Integralgleichungen Netze Finite Elemente Diskretisierung der Integralgleichungen Lösungsalgorithmen Lineare Lösungsmethoden Nichtlineare Lösungsmethoden Zeitabhängige Probleme Eigenwertprobleme Fehlerabschätzung Grundlagen von MatLab Vektoren und Matrizen Plotbefehle Grundlagen von FemLab Geometrie Netze Differentialgleichungen Randbedingungen Solver

3 K.Bräuer: Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finiten-Elemente-Methode 3 Unterrichtseinheiten 1 Überblick Differentialgleichung, Euler-Methode, Verbesserte Euler-Methode, Runge-Kutta Partielle Differentialgleichungen und ihre Lösungsmethoden FemLab: Geometrie, Gitter, Gleichungen, Randbedingungen, Beispiele: Schrödinger-Gleichung, Elektrodynamik, Hydrodynamik 2 Grundlagen der theoretischen Physik Raum- und Zeitkoordinaten Wirkungsfunktion Bewegungsgleichungen Kontinuitätsgleichung 3 Methode der Finiten Elemente Allgemeine Form partieller Differentialgleichungen Integralgleichungen Netze Finite Elemente Diskretisierung der Integralgleichungen 4 Schrödinger-Gleichung Wirkung und Wahrscheinlichkeit (was mit welcher Wahrscheinlichkeit) Zerfließen der Aufenthaltswahrscheinlichkeit Doppelspaltexperiment 5 Grundlagen von FemLab Geometrie Netze Differentialgleichungen Randbedingungen Solver 6 Klein-Gordon-Gleichung und Elektrodynamik Relativistischer Energiesatz Lorentz-Invariante Kontinuitätsgleichung Aufteilung der Wirkung auf Materie und Wechselwirkung (Maxwell-Gleichungen) Atomares Strahlungsfelder 7 Lösungsalgorithmen Lineare Lösungsmethoden Nichtlineare Lösungsmethoden Zeitabhängige Probleme Eigenwertprobleme Fehlerabschätzung 20. April 2004

4 4 8 Klassische Mechanik - Kontinuitätstheorie Wirbelbildung in der Hydrodynamik Druckwellen in elastischen Röhren (Pulswellen in Blutadern) 9 Selbstorganisation der Materie Saint-Venants Flachwassergleichungen Form der Qualle 10 Philosophische Betrachtungen über Raum, Zeit und Wirkung Psychologische Grundlagen von Raum, Zeit und Wirkung (Julian James) Implizite Ordnung (David Bohm) Theoretisch physikalischer Überblick Raum und Zeit: Homogenität -> Mathematische Beschreibung mit Koordinatensystemen (und finiten Elementen) Wirkungsfunktion Fundamentale Größe der Physik Wirkungsfunktion 1 S( xt, ) = p = c, ts xs Wirkungs- Vierer- = E = p strom Impuls Energie Impuls Klein-Grodon-Gleichung (Schrödinger-Gleichung) Kontinuitäts- Gleichung Elektrodynamik relativistischer Energiesatz (, ) Wellenfunktion S xt = p = p + ea Vierer- Beobach- Wechsel- Impuls tung wirkung Wirkungsstrom mc e e φ φ = i 2 ( A φ+ A φ) + AA 2 φ ħ ħ ħ statistischer Wirkungsstrom 2 is / 2 4 ρ S 0, E mc, e = = φ = ρ ħ φ mc = 0 Klein-Gordon- Gleichung

5 K.Bräuer: Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finiten-Elemente-Methode 5 Strom des EM-Feldes ν ν A = e ρ p Kontinuitäts- Gleichung Kopplungsstärke stat. Wirkungs- Strom (Quellstrom) Maxwell-Gleichungen Klassische Kontinuumsmechanik (Hydrodynamik) Massen-Geschwin- Impuls- Dichte digkeits- strom- Feld Dichte ρv t ρ v = x Π oder ( t, x) = 0 Π Euler'sche Gleichung S ħ + effektive Kräfte Beispiel Quantenmechanisches Doppelspaltexperiment Freie Schrödinger-Gleichung 2 ħ ħ 2 tψ = xψ i 2m Rand G Randbedingungen ψ x ( G) = ( ) ( G) 0 ( Reflexion an der Wand) ψ = 0 hohe Potentialwände oder Startbedingung ψ ( xyt,, 0) = = e (( ) ) x.5 + y / a + ikx 20. April 2004

6 6 FemLab-Formulierung 2 ħ xψ ħ x 2m tψ + = 0 2 i y ħ = F = da yψ 2m R = ψ = 0 ( Diriclet-Randbedingung) n ˆ Γ= G + η ψ R ( von Neumann-Randbedingungen) Lagrange- Multiplikator Norma- = 0 lenvektor auf G =Γ FemLab-Skriptfile Konstanten function QM_1 XMax=4; YMax=2; Nx=2; a=1; k=10; TMax=.25; clear fem fem.variables={'xmax' XMax 'YMax' YMax 'a' a 'k' k}; Geometrie d=.2; e=.6 l=.3; s1=rect2(-xmax, XMax, -YMax, YMax) s1a=line2(... [-XMax -d -d d d XMax XMax d d -d -d -XMax],... [-YMax -YMax -e -e -YMax -YMax YMax YMax e e YMax YMax]) s2=rect2(-d,0,-l,l) s3_u=rect2(-d,0,-ymax,-e) s3_o=rect2(-d,0,e,ymax) s4=poly2(xmax*[ ],YMax*[ ]) s=geomcomp({(s1+s4)-(s2+s3_u+s3_o)}) fem.geom=s; geomplot(fem,'pointlabels','off','edgelabels','on')

7 K.Bräuer: Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finiten-Elemente-Methode 7 Gitter fem.mesh=meshinit(fem,'hmax',.2); meshplot(fem) Anfangswerte fem.expr={'psi0' 'exp(-((x+2)^2+y^2)/(a^2)+i*k*x)'}; postplot(fem,'tridata','psi0','tribar','on','geom','on'); %Wellenfunktion für t=0 postplot(fem,'tridata','conj(psi0)*psi0','tribar','on','geom','on'); %Wahrscheinlichkeitsdicht für t= April 2004

8 8 Wellenfunktion Wahrscheinlichkeit für Wirkung Gleichung und Randbedingungen fem.form='general'; fem.dim={'psi'}; fem.equ.ga={{{'psix' 'Psiy'}}}; fem.equ.da='i'; fem.bnd.r='-psi'; Lösungen fem.equ.init={{'psi0'}}; fem=femdiff(fem); fem.xmesh=meshextend(fem); fem.sol=femtime(fem,'tlist',linspace(0,tmax,50),'report','on'); Graphische Darstellunge der Ergebnisse postplot(fem,'tridata','conj(psi0)*psi0','tribar','on','geom','on'); postmovie(fem,'tridata','real(psi)','repeat',1,'tribar','on','tridlim',[-1 1],'Geom','on');

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