Die Betriebsdämpfungsfunktion H(s) in Abhängigkeit der komplexen Frequenz s (s = j! für reelle Frequenzen!) ergibt sich als U 2 : (1)

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1 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/ Einleitung Bei Filtern handelt es sich um lineare (und zeitinvariante) Netzwerke, mit denen bestimmte Frequenzbereiche eines Eingangssignals herausgeltert werden. Man unterscheidet so beispielsweise zwischen Tiefpässen (Transmission nur bei tiefen Frequenzen), Hochpässen (Transmission nur bei hohen Frequenzen), Bandpässen (Transmission nur in einem vorgegebenen Frequenzbereich) und Bandsperren (Transmission nur ausserhalb eines vorgegebenen Frequenzbereichs). Das Filternetzwerk sei verlustfrei und reziprok. Die Quelle habe einen reellen Innenwiderstand R und wir betrachten eine ebenfalls reelle Last R 2 gemäÿ Abb.. Abb. : Anordnung eines verlustlosen Filters. Die Betriebsdämpfungsfunktion H(s) in Abhängigkeit der komplexen Frequenz s (s = j! für reelle Frequenzen!) ergibt sich als U 2 = R 2 : () U H(s) 4R jh(j!)j 2 charakterisiert dabei die Leistungsübertragung jh(j!)j 2 = verfügbare Leistung der Quelle abgegebene Leistung an der Last = ju j 2 =(8R ) > : (2) ju 2 j 2 =(2R 2 ) Die Dämpfung des Filters wird normalerweise in db angegeben mit dem Betriebsdämpfungsmaÿ a b (!) = 20 lgjh(j!)jdb: (3) Das Filternetzwerk in Abb. lässt sich auch mit Streuparametern beschreiben, was besonders einfach wird, wenn man den Eingang (Tor ) auf eine Leitung mit dem Wellenwiderstand R und den Ausgang (Tor 2) auf eine Leitung mit dem Wellenwiderstand R 2 bezieht. Der Ausgang ist dann angepasst, so dass sich dort nur eine hinauslaufende Wellenamplitude b 2 ergibt, während am Eingang das Signal durchaus reektiert werden kann, so dass sowohl I als auch U 0 hin- und rücklaufende Strom- bzw. Spannungskomponenten beinhalten: U 0 = U h + U r (4) I = I h + I r = R (U h U r ) (5) Somit gilt: U = R I + U 0 = 2U h (6)

2 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/2 Der Streuparameter S 2 ergibt sich somit S 2 = b 2 = U p 2= R2 a U h = p = U 2 4R = R R 2 H(j!) und wegen der Reziprozität auch S 2 = S 2 = =H(j!). Unter Ausnutzung der Verlustfreiheit des Netzwerkes (Unitarität der Streumatrix) gilt für den Eigenreexionskoezienten = js j = js 22 j = U js 2 j 2 = (7) jh(j!)j jh(j!)j 2 (8) Es ist häug auch die Gruppenlaufzeit g durch ein Filter von Interesse. Sie ist mit H(j!) = jh(j!)j exp ( j'(!) ) (9) durch gegeben. g = d'(!) d! (0) 2 Realisierung von LC-Tiefpässen Die Übertragungsfunktion =H(s) lässt sich als Quotient eines Zähler- und eines Nennerpolynoms schreiben, die durch ihre jeweiligen Nullstellen in der komplexen s-ebene charakterisiert werden (siehe auch Vorlesung Signale und Systeme). Für einige Tiefpasslter (z.b. Potenz- bzw. Butterworth, Tschebysche- oder Bessel-Thomson-Tiefpässe) wird die Übertragungsfunktion nur durch ein Nennerpolynom beschrieben, so dass sich dann die Betriebsdämpfungsfunktion H(s) schreiben lässt als H(s) = C N n= (s s xn ); () wobei N die Ordnung des Polynoms und damit des Filters angibt. C ist eine Konstante. Die Nullstellen s xn von H(s) (die Polstellen der Übertragungsfunktion =H(s)) liegen dabei in der linken s-halbebene (d.h. Re(s xn ) < 0) und sind entweder rein reell oder paarweise konjugiert komplex (siehe Vorlesung Signale, Netzwerke und Systeme). Mögliche Realisierungen eines LC-Tiefpasslters mit H(s) gemäÿ Gl.() zeigt Abb. 2, wobei N die Anzahl der benötigten Reaktanzen angibt. Die Tore und 2 wären wie in Abb. mit der Signalquelle bzw. der Last zu verbinden. Oensichtlich wirken die Schaltungen in Abb. 2 als Tiefpässe, denn mit zunehmender Frequenz nimmt sowohl der Blindwiderstand der Serieninduktivitäten als auch der Blindleitwert der Querkapazitäten zu. Die genaue Wahl der Kapazitäten bzw. Induktivitäten hängt von den gewünschten Polstellen s xn in Gl.() ab. In Abb. 3 sind die Dämpfungsverläufe verschiedener Tiefpässe der Ordnung N = 5 dargestellt, wobei der Potenztiefpass (auch bezeichnet als Butterworth-Tiefpass) und der Tschebysche-Tiefpass durch Gl.() dargestellt und gemäÿ Abb. 2 realisiert werden. Für diese Tiefpässe gilt bei hohen Frequenzen (jsj js xn j) nach Gl.(): jh(j!)j! N ; (2)

3 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/3 Abb. 2: Mögliche Tiefpässe verschiedener Ordnung N. Abb. 3: Betriebsdämpfung verschiedener Filter der Ordnung N = 5. was einem Dämpfungsanstieg bei hohen Frequenzen von N 6dB=Oktave entspricht. Für die Tiefpass-Realisierung sind verschiedene Optimierungsstrategien möglich. Beim Potenz- bzw. Butterworth-Tiefpass wird die Forderung nach maximal achem Dämpfungsverlauf gestellt, der durch (! ) 2N (3) jh(j!)j 2 = +! G gegeben ist (! G - 3 db Grenzfrequenz) und sich dadurch auszeichnet, dass d n ( ) jh(j!)j 2!=0 = 0 für n < 2N (4) d! n und damit alle Ableitungen bis zur Ordnung (2N ) bei! = 0 verschwinden. Der Dämpfungsverlauf des Potenzlters in Abb. 3 entspricht genau Gl.(3) mit N = 5.

4 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/4 Die zur Realisierung des Potenzlters gemäÿ Gl.(3) sich ergebenden Pole s xn (Nullstellen von H(s) in Gl.()) liegen in der komplexen s-ebene auf einem Halbkreis mit dem Radius! G gemäÿ (siehe Signale und Systeme) s xn =! G exp ( j N + 2n 2N ) ; n = ; 2; : : : ; N: (5) Die in Abb. 3 eingeführte Durchlaÿgrenzfrequenz! D bezeichnet die Frequenz, unterhalb derer die Dämpfung einen vorgegebenen Wert, in Abb. 3 0,773 db (entspricht mit Gl.(3), (7) einem = 0; 2) nicht überschreitet. Eine Realisierung als Tschebysche-Tiefpass (dort ist jh(j!)j 2 = + T 2 (!=! N D), - Konstante, T N (x) - Tschebysche-Polynom der Ordnung N) lässt im Durchlaÿbereich eine Oszillation der Betriebsdämpfung im vorgegebenen Toleranzbereich zu, wodurch ein steilerer Übergang zum Sperrbereich erzielt wird. Ein noch steilerer Übergang vom Durchlaÿ- zum Sperrbereich wird erzielt, wenn die Betriebsdämpfungsfunktion H(s) zusätzlich zu den Nullstellen s xn noch Pole (Nullstellen der Übertragungsfunktion =H(s)) enthält. Man gelangt dann beispielsweise zum Cauer-Tiefpass. Die Pole im Dämpfungsverlauf entstehen, wenn in Abb. 2 Induktivitäten durch Parallelschwingkreise oder Kapazitäten durch Serienschwingkreise ersetzt werden. Für eine Tiefpass-Anordnung nach Abb. 2 (oder ähnlich) lässt sich die Betriebsdämpfung berechnen, wobei die Kapazitäten und Induktivitäten so gewählt werden müssen, dass die gewünschten Pole und Nullstellen entstehen. Ergebnisse derartiger Rechnungen sind in Filterhandbüchern enthalten, wobei beispielsweise die Realisierung eines Filters 5. Ordnung mit einer maximalen Dämpfung von 0,773 db im Durchlaÿbereich ( = 0; 2) Abb. 4 entnommen werden kann (aus R. Saal, Handbuch zum Filterentwurf, AEG-Telefunken, 979). Abb. 4 zeigt die Tiefpassrealisierung in normierter Darstellung. ist die normierte Frequenz =!! B (6) mit der Bezugsfrequenz! B, wobei hier! B =! D mit der Dämpfungsgrenzfrequenz! D gilt. Entsprechend gilt für die normierte komplexe Frequenz p = s=! B, und damit sind die Nullstellen s xn von H(s) (Polstellen der Übertragungsfunktion) durch s x =! B ( j ) gegeben. Die Bauelemente-Dimensionierung bezieht sich auf gleiche Widerstände am Ein- und Ausgang R = R 2 (r = r 2 ) bzw. einer Speisung mit idealer Stromquelle (r! bzw. R! ) oder idealer Spannungsquelle (r 0 = 0 bzw. R0 = 0). Die Realisierungen A und B entsprechen einander (siehe auch obere und untere Beschriftungszeile in Abb. 4). Die angegebenen Induktivitäten und Kapazitäten sind normiert, l =! B L=R, c =! B RC mit dem aktuellen Abschlusswiderstand R, so dass sich die aktuellen Induktivitäten bzw. Kapazitäten ergeben zu L = l R! B ; C = c! B R (7)

5 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/5 Abb. 4: Realisierung von Tiefpassltern 5. Ordnung als P : Potenz- oder Butterworth-Tiefpass oder T : Tschebysche-Tiefpass. = 7 : : : 25: Cauer-Tiefpässe unterschiedlicher Sperrdämpfung.

6 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/6 Beispiel: Ein Tschebysche-Tiefpasslter (N = 5) mit der Grenzfrequenz f D =! D =2 = 0MHz und < 0:2 für f < f D sei mit der unten in Abb. 2 dargestellten Schaltung und R = R 2 = 50 zu dimensionieren. Aus Abb. 4 folgt: c = c 5 = ; l 2 = l 4 = ; c 3 = 2; und damit C = C 5 = 44pF L 2 = L 4 = ; 07H C 3 = 678pF Man erhält dann den in Abb. 3 dargestellten Dämpfungsverlauf. 3 Realisierung von Hochpass, Bandpass, Bandsperre Filterhandbücher enthalten im allgemeinen nur die Dimensionierung von Tiefpässen, da sich der Entwurf von Hochpässen, Bandpässen und Bandsperren auf einen Tiefpass-Entwurf zurückführen lässt. Abb. 5 illustriert die Transformation eines Referenztiefpasses (Abb. 5a) mit der Bezugsfrequenz! B in einen Hochpass (Abb. 5b), Bandpass (Abb. 5c) sowie eine Bandsperre (Abb. 5d). Tiefpass-Hochpass-Transformation Aus dem Referenz-Tiefpass in Abb. 5a ergibt sich das Hochpassverhalten in Abb. 5b, wenn die Frequenzen! <! B des Tiefpasses in die entsprechenden Frequenzen ~! >! B des Hochpasses abgebildet werden. Die komplette Abbildungsvorschrift zwischen der komplexen Frequenz j! des Tiefpasses und der komplexen Frequenz j ~! lautet j ~!! B =! B j! bzw: ~p = p (8) Damit entspricht das Dämpfungsverhalten des Hochpasses bei der Frequenz ~! = a! B exakt dem Dämpfungsverhalten des zugrundeliegenden Tiefpasses bei der Frequenz! =! B =a. Die zur Realisierung des Referenztiefpasses erforderlichen Induktivitäten und Kapazitäten seien bekannt. Bei der Transformation einer Induktivität L 0 des Referenztiefpasses muss mit Gl.(8) für seine Impedanz gelten: L Z = j!l 0 =! 2 0! B = j ~! j ~!C mit C =! 2 L (9) B 0 so dass eine Induktivität L 0 des Tiefpasses im transformierten Hochpass durch die Kapazität C nach Gl.(9) ersetzt wird. Für eine Kapazität C 0 des Referenztiefpasses gilt entsprechend C Y = j!c 0 =! 2 0 B j ~!! = j ~!L mit L =! 2 C B 0 (20) so dass C 0 im transformierten Hochpass durch eine Induktivität L nach Gl.(20) ersetzt wird. Die aus Abb. 2 transformierten Hochpässe bestehen damit aus Längskapazitäten mit Querinduktivitäten. Die obigen Zusammenhänge sind in Abb. 6 tabellarisch zusammengefaÿt. Tiefpass-Bandpass-Bandsperre Transformation Beim transformierten Bandpass soll die Mittenfrequenz bei der Bezugsfrequenz! B liegen, so dass die Frequenz! 0 des Tiefpasses in die Frequenzen ~!! B des Bandpasses transformiert werden muss. Die Transformation erfolgt nicht nur zu

7 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/7 Abb. 5: Dämpfungsverlauf eines a) Referenztiefpasses und des daraus abgeleiteten b) Hochpasses, c) Bandpasses sowie einer d) Bandsperre. ~! +! B, sondern auch zu ~!! B, da immer jh(j ~!)j = jh( j ~!)j gelten muss. Es wäre deshalb folgende Transformation wünschenswert: j! j2a(~!! B ) für ~! +! B (2) j! j2a(~! +! B ) für ~!! B (22) wobei der Faktor a das Bandbreitenverhältnis zwischen dem transformierten Bandpass und dem Tiefpass angibt. Gl.(2),(22) gemeinsam werden relativ gut durch die Transformationsvorschrift j! = ja (~!! B)(~! +! B ) ~! = a(j ~! +! 2 B =j ~!) (23) oder in normierter Form mit p = j!=! B, ~p = j ~!=! B durch ( ) p = a ~p + ~p (24)

8 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/8 Abb. 6: Transformation eines Referenztiefpasses in Hochpass,Bandpass, Bandsperre. erfüllt. Ähnlich wie bei der Tiefpass-Hochpass-Transformation können auch bei der Tiefpass-Bandpass- Transformation die Induktivitäten und Kapazitäten des Referenztiefpasses durch geeignete Reaktanzen ersetzt werden. Bei der Transformation einer Induktivität L 0 des Referenztiefpasses muss mit Gl.(23) gelten: Z = j!l 0 = j ~!al 0 + a!2 B j ~! L 0! = j ~!L + j ~!C mit L = al 0 ; C = a! 2 L (26) B 0 so dass eine Induktivität des Tiefpasses im transformierten Bandpass durch einen Serienschwingkreis ersetzt wird. Entsprechend gilt bei einer Kapazität C 0 des Referenztiefpasses: (25) Y = j!c 0 = j ~!ac 0 + a!2 B j ~! C! 0 = j ~!C + j ~!L (27)

9 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/9 mit C = ac 0 ; L = a! 2 C ; (28) B 0 der damit in einen Parallelschwingkreis transformiert wird. Die Durchlaÿgrenzfrequenzen des Bandpasses ~! =! D ergeben sich aus der Durchlaÿgrenzfrequenz des Tiefpasses! =! B mit Gl.(23) zu:! D =! B + 4a (29) 2 2a so dass sich die gewünschte Durchlaÿbandbreite (! +D! D) =! B =a ergibt. Aufgrund der endlichen Güte Q der verwendeten Bauelemente (Q =!L=R, R parasitärer Reihenwiderstand bei einer Induktivität bzw. Q =!C=G, G parasitärer Parallelleitwert bei Kapazitäten) sind nicht beliebig kleine Bandbreiten realisierbar. Praktisch sollte a Q 0 : : : 00 erfüllt sein. Für kleinere Bandbreiten und damit höhere Güten können Quarze, keramische Filter, SAW(surface acoustic wave)-filter oder unter Umständen auch Filter mit Leitungselementen eingesetzt werden. Bei der Tiefpass-Bandsperre Transformation gelten ähnliche Überlegungen wie beim Bandpass, wobei der Tiefpass gedanklich erst in einen Hochpass und dieser Hochpass dann gemäÿ obiger Bandpass- Transformationsbeziehungen transformiert wird. Die Transformationsbeziehungen sind in Tabelle 6 nochmals zusammengestellt. Bei der praktischen Filtersynthese wird häug gedanklich zunächst! B = =s und ein Impedanzniveau von R = zugrundegelegt. Die so normierten Induktivitäten und Kapazitäten werden dann erst zum Schluss gemäÿ Gl.(7) entnormiert. 4 Positiv-Impedanz-Inverter (PII) Mit den vorgenannten Überlegungen ist die Synthese einer breiten Klasse von Filtern möglich. Es können sich aber möglicherweise Bauelementewerte ergeben, die nur schwer realisierbar sind. In diesem Fall kann es vorteilhaft sein, Impedanzen zu transformieren, beispielsweise mit einem Positiv-Impedanz- Inverter (PII). Abb. 7: Positiv-Impedanz-Inverter. Ein Positiv-Impedanz-Inverter gemäÿ Abb. 7 mit dem Bezugswiderstand R D soll einen Abschlusswiderstand Z e in einen Eingangswiderstand Z a = U a I a = R2 D Z e (30)

10 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/0 transformieren, ihn also invertieren. Die Kettenmatrix des PII ist gegeben als U a I a = exp(j') 0 R D R D 0 U e I e (3) wobei sich mit Reaktanzen beispielsweise folgende Realisierungsmöglichkeiten (Abb. 8) ergeben: Abb. 8: Positiv-Impedanz-Inverter in - oder T-Schaltung Reaktanzen jr D sind jedoch breitbandig nicht realisierbar. Eine schmalbandige Realisierung um eine Bezugsfrequenz! B herum ist jedoch beispielsweise möglich gemäÿ Abb. 9. Abb. 9: Schmalbandige Positiv-Impedanz-Inverter. Für die LC-Schaltungen gilt dabei! B L = R D = (! B C). Ein schmalbandiger PII kann auch durch eine =4-Leitung mit dem Wellenwiderstand Z L = R D dargestellt werden. Mit Hilfe eines PII ist es beispielsweise möglich, eine Kapazität in eine Induktivität oder umgekehrt zu transformieren. Die schmalbandige Realisierung nach Abb. 9 kann dabei durchaus ausreichend sein,

11 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/ solange es sich um die Synthese schmaler Bandlter handelt. 5 Gekoppelte Bandlter Bandlter werden häug auch als miteinander verkoppelte Schwingkreise realisiert. Unter Berücksichtigung des Positiv-Impedanz-Inverters ist auch hier ein systematischer Entwurf möglich. Abb. 0: Tiefpass-Bandpass-Transformation mit gekoppelten Schwingkreisen. Als Beispiel wird in Abb. 0 die Transformation eines Tiefpasslters der Ordnung N = 3 in einen Bandpass betrachtet. Zunächst werden beim Tiefpass in Abb. 0a die Induktivität L 0 mit Hilfe von Positiv-Impedanz-Invertern mit den Bezugswiderständen R D = R in die Kapazitäten C 0 = L0 R 2 (32) in Abb. 0b umgewandelt. Der Tiefpass von Abb. 0b hat damit die gleichen Eigenschaften wie der Tiefpass in Abb. 0a. Der Tiefpass von Abb. 0b wird nun mit Hilfe der Tiefpass-Bandpass- Transformation in einen Bandpass (Mittenfrequenz! B, Bandbreite! B =a) umgewandelt (vergl. Tabelle 6), so dass sich in Abb. 0c ergibt C = ac 0 ; L 0 = a! 2 B C0 ; C 2 = ac 0 2 ; L 20 = a! 2 B C0 2 (33) und die Positiv-Impedanz-Inverter können schmalbandig nach Abb. 8 mit R D = R =! B L 0, d.h. mit positiven und negativen Induktivitäten L 0 = R! B (34)

12 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/2 realisiert werden. Durch Zusammenfassung der Induktivitäten ergibt sich dann Abb. 0d, wobei die Induktivität L 20 in 2 parallele Induktivitäten von jeweils 2L 20 aufgeteilt ist und sich damit L = ( ) L 0 L 0 und L 22 = ( ) 2L 20 L 0 ergeben. Die beiden -Schaltungen aus Induktivitäten können bei Vergleich mit Gl.(7), (8), Abschnitt P als Transformatoren dargestellt werden mit (35) und M = k p L L 2 mit beziehungsweise k = L = L (L 22 + L 0 ) L + L 22 + L 0 (36) L 2 = L 22(L + L 0 ) L + L 22 + L 0 (37) M = L 22 L L + L 22 + L 0 (38) ( + L 0 L 22 )( + L 0 L ): (39) Alternativ zur induktiven Kopplung in Abb. 0e lässt sich das Filter auch mit kapazitiver Kopplung entwerfen, wenn die Reaktanzen des Positiv-Impedanz-Inverters in Abb. 7 nicht mit Induktivitäten, sondern mit Kapazitäten realisiert werden. Beispiel: Aufbauend auf einen Tschebysche-Tiefpass 3. Ordnung mit maximaler Dämpfung von 0,773 db ( < 0:2) im Durchlaÿbereich soll ein Bandpass mit der Mittenfrequenz f B = 0MHz und einer Bandbreite von 2 MHz (a = 5) für R = 50 entworfen werden. Nach Filterhandbuch gilt: l 0 = ; 89469, c 0 2 = ; 5493 Damit hätte der Referenztiefpass (! D =! B = 2f B = 2 0MHz, R = 50) L 0 = 947nH ; C 0 2 = 367pF (40) und für den Bandpass in Abb. 0e ergibt sich mit L 0 = 34nH, L 20 = 38nH, L 0 = 796nH, L = 6nH und L 22 = 422nH die Dimensionierung: C = ; 89nF ; C 2 = ; 84nF (4) L = 42nH ; L 2 = 293nH ; k = 0; 24 (42) 6 Allpässe Allpässe haben eine konstante Dämpfung jh(j!)j = const, so dass nur die Phase ' von! abhängt, was zu einer frequenzabhängigen Gruppenlaufzeit gemäÿ Gl.(0) führt. Allpässe werden eingesetzt, um Laufzeitverzerrungen auszugleichen. Nähere Informationen ndet man beispielsweise in Meinke/Gundlach: Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, 4. Auage.

13 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/3 7 Filter mit Leitungen Filter mit quasi-konzentrierten Elementen Die einfachste Möglichkeit zur Realisierung eines Tiefpasslters gemäÿ Abb. 2 besteht darin, die Kapazitäten und Induktivitäten durch kurze Leitungsstücke (Länge =4 im interessierenden Frequenzbereich) darzustellen, wobei Induktivitäten durch Leitungsstücke mit sehr hohem Wellenwiderstand L 0 =C 0 ( L 0 =C 0 Z L, Z L -Wellenwiderstand der Zuleitung), und Kapazitäten durch Leitungsstücke mit sehr kleinem Wellenwiderstand L 0 =C 0 ( L 0 =C 0 Z L ) realisiert werden. Abb. : Schematische Realisierungeines Tiefpasslters 5. Ordnung. Als Beispiel ist in Abb. ein Tiefpasslter der Ordnung N = 5 in Anlehnung an Abb. 2, unten, skizziert. Die Kapazitäten C i und Induktivitäten L i ergeben sich mit den jeweiligen Leitungsbelägen C 0 i, L0 i und den jeweiligen Leitungslängen l i näherungsweise zu C i C 0 i l i, L i L 0 i l i. Auch für Bandlter lassen sich leicht schmalbandige Leitungsrealisierungen angeben. So können für den Bandpass in Abb. 0c die Positiv-Impedanz-Inverter durch =4-Leitungen (vergl. Abb. 9e) und die 3 Parallelschwingkreise durch am Ende kurzgeschlossene =4-Stichleitungen realisiert werden. Filter mit Leitungen jeweils gleicher Länge Eine genauere und doch einfache Analyse von Leitungsltern wie z.b. in Abb. ist dann möglich, wenn alle vorkommenden Leitungsstücke gleich lang sind. Wenn man beispielsweise gemäÿ Abschnitt SMI eine am Ende kurzgeschlossene Leitung der Länge l mit dem Wellenwiderstand Z L betrachtet, gilt für die Eingangsimpedanz bzw. für eine verlustfreie Leitung mit = j = j!=v Z a = Z L tanh(l) (43) Z a = Z L tanh(j!l=v ) (44)

14 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/4 wobei wir die komplexe Frequenz j! = s und l=v =, -Laufzeit der Leitung (Dispersion vernachlässigt), einführen können und sich so ergibt wobei S eine transformierte Frequenzebene gemäÿ Z a = Z L S (45) S = tanh(s) (46) angibt. Gl.(46) wird auch als Richards-Transformation bezeichnet, die sich mit auch schreiben lässt als mit exp(x) exp( x) tanh(x) = exp(x) + exp( x) S = z z + (47) (48) z = exp(2s); (49) wobei Gl.(49) praktisch der z-transformation entspricht (vergleiche 'Signale und Systeme'). Der Grundgedanke der Filtersynthese besteht nun darin, einen Standardlterentwurf in der S-Ebene durchzuführen und die dort erhaltenen Elemente dann durch entsprechende Leitungsstücke in der s- Ebene zu ersetzen. So entspricht die Impedanz einer kurzgeschlossenen Leitung gemäÿ Gl.(45) formal in der S-Ebene der Impedanz einer Induktivität L = Z L. Damit lässt sich die kurzgeschlossene Leitung in der S-Ebene formal als Induktivität darstellen (siehe auch Abb. 2). Ähnlich lässt sich die am Ende leerlaufende Leitung durch eine Eingangsimpedanz Z a = Z L coth(l) = Z L S beschreiben und damit in der S-Ebene durch eine Kapazität C = =Z L darstellen. Ein allgemeines Leitungselement kann mit einer Kettenmatrix (siehe Seite SMI/2) beschrieben werden, die sich mit der Richards-Transformation schreiben lässt: U a I a = p S 2 SZ L S Z L U e I e (50) (5) Da sich diese Matrix in der S-Ebene nicht als einfaches Reaktanz-Netzwerk darstellen lässt, wird in der S-Ebene ein neues Element, das sogenannte Einheitselement (engl. unit element, abgekürzt UE) mit der charakteristischen Impedanz Z = Z L eingeführt, welches durch die Matrix Gl.(5) repräsentiert wird. Die korrespondierenden Elemente in der Leitungsebene und der Richards-Ebene sind in Abb. 2 zusammenfassend dargstellt. Wenn man die komplexen Frequenzen gemäÿ s = + j! und S = u + jv beschreibt, ist der Zusammenhang zwischen! (für s = j!) und der transformierten Frequenz v (für S = jv) nach Gl.(46) durch v = tan(!) (52) gegeben. Kleine Frequenzen v in der S-Ebene entsprechen damit den Frequenzen! 0; =; 2=; : : :, während groÿe v! den Frequenzen! =2; 3=2; 5=2; : : : entsprechen.

15 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/5 Abb. 2: Richards-Transformation von Schaltungselementen. Zur Illustration zeigt Abb. 3a den Dämpfungsverlauf eines Referenztiefpasses (Tschebysche-Tiefpass 3. Ordnung) in der S-Ebene, woraus sich dann nach Transformation in Abb. 3b ein Leitungslter mit über! periodischem Dämpfungsverlauf ergibt. So wird der Tiefpass in Abb. 3a für kleine Frequenzen! =2 wieder in einen Tiefpass transformiert, für! =2 in eine Bandsperre, für! in einen Bandpass usw. Ein Realisierungsbeispiel dafür ist in Abb. 5 dargestellt. Für den gewünschten Tschebysche-Tiefpass werden zunächst die Induktivitäten L, L 3, C 2 für die gewünschte Dämpfungsgrenzfrequenz v D in der S-Ebene bestimmt. Wenn man bei der Transformation in die Leitungsebene die Induktivitäten und Kapazitäten gemäÿ Abb. 2 einfach durch kurzgeschlossene bzw. leerlaufende Leitungsstücke ersetzt, entsteht das Problem, dass alle Leitungsstücke an der gleichen Stelle angreifen, was oft nur schwer realisierbar ist. Es ist deshalb zweckmäÿig, in das Filter Einheitselemente gemäÿ Abb. 5b einzuführen (dies entspricht Leitungsstücken mit dem Wellenwiderstand Z L = Z = R), die das Übertragungsverhalten des Filters nicht verändern. Einheitselemente mit angeschlossenen Reaktanzen können dann entsprechend Abb. 4 umgeformt werden (Kuroda-Transformation), so dass sich schlieÿlich die in Abb. 5c dargestellte Realisierung in der S-Ebene ergibt. In der Leitungsrealisierung (mit der Filterdämpfung nach Abb. 3b) erhält man dann die Anordnung nach Abb. 5d mit drei leerlaufenden Stichleitungen.

16 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/6 Abb. 3: Entwurf von Leitungsltern mit Richards-Transformation. a) Tiefpassentwurf in der S-Ebene (Frequenz v) und b) Dämpfungsverhalten des transformierten Filters mit Leitungselementen. Bei der gemäÿ obigen Überlegungen durchgeführten Filtersynthese ist zu beachten, dass Leitungswellenwiderstände nur in einem begrenzten Bereich realisierbar sind. Einheitselemente sind aber nicht nur durch einfache Leitungsstücke realisierbar, sondern auch mit verkoppelten Leitungen (Mehrleitersysteme), so dass sich mit verkoppelten Leitungen unter Umständen besser realisierbare Filter entwerfen lassen (siehe Zinke, Brunswig, Band I oder Meinke/Gundlach, Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, 4. Auage, Abschnitt F). Wenn das Filter in Abb. durch Hintereinanderschaltung gleichlanger Leitungsstücke realisiert wird, lässt sich das in der S-Ebene als die Hintereinanderschaltung von Einheitselementen unterschiedlicher Impedanz Z i darstellen. Wenn U a, I a Spannung und Strom am Eingang und U e, I e Spannung und Strom am Ende des Filters bezeichnen, gilt für die Kettenmatrix bei N hintereinander geschalteten Einheitselementen (vergleiche Gl.(5)): U a I a = (p S 2) N N i= SZ i S Z i U e I e (53) woraus sich die Übertragungsfunktion des Filters bestimmen lässt. Die einzelnen Wellenwiderstände Z i lassen sich dann so wählen, dass die gewünschten Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion in der S-Ebene entstehen. Insbesondere bewirkt eine =4-Leitung (dort ist S! ) mit dem Wellenwiderstand Z L = p R R 2 eine schmalbandige Impedanztransformation zwischen den Widerständen R, R 2. Damit stellt ein

17 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/7 Abb. 4: Kuroda-Transformationen. Einheitselement für S! (bzw. v! ) einen schmalbandigen Impedanzwandler (genauer Impedanzinverter) dar. Zur breitbandigen Impedanztransformation um S! herum ist in der S-Ebene ein hochpassartiges Übertragungsverhalten erforderlich, das sich durch Analyse von Gl.(53) mit geeignet monoton gestuften Impedanzen Z i erreichen lässt (Eine genauere Analyse derartiger mehrstuger Leitungstransformatoren ndet sich in Zinke-Brunswig, Band I). 8 SAW-Filter Zur Realisierung von Filtern (insbesondere Bandpassltern) im Frequenzbereich 0MHz < f < GHz werden auch oft SAW-Filter (SAW = surface acoustic wave) eingesetzt (beispielsweise Zwischenfrequenz- Filter in Fernsehempfängern). Für SAW-Filter werden piezoelektrische Kristalle (z.b. Lithiumniobat (LiNbO 3 ), Lithiumtantalat (LiTaO 3 ), Quarz (SiO 2 ) ) mit Interdigitalwandlern versehen, so dass eine angelegte Spannung an den Interdigitalwandlern zu mechanischen Verformungen an der Kristalloberäche führt, die sich dann als akustische Oberächenwelle (englisch abgekürzt SAW) mit einer Ausbreitungsgeschwindigkeit von typischerweise v a = 3000 : : : 4000m/s ausbreiten. Dies führt beim oben angegebenen Frequenzbereich 0MHz < f < GHz zu akustischen Wellenlängen = v a =f 3m : : : 400m. Abb. 6 zeigt ein SAW-Filter, es besteht aus 2 Interdigitalwandlern zur Wandlung des elektrischen Signals in das akustische Signal und wieder zurück.

18 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/8 Abb. 5: Anwendung der Kuroda-Transformation. Zum Verständnis des Filters ist der Interdigitalwandler genauer zu analysieren, wie er beispielsweise in Abb. 7 dargestellt ist. Eine angelegte Spannung u(t) führt zu elektrischen Feldern, wie sie durch Pfeile in Abb. 7 dargestellt sind. Diese Felder bewirken entsprechende mechanische Verformungen, die sich dann als SAW mit der Geschwindigkeit v a ausbreiten. Die Wirkung des Interdigitalwandlers lässt sich als Transversallter auassen, so dass sich das Ausgangssignal y (t) (mechanische Auslenkung oder dergleichen) innerhalb der SAW als Überlagerung der Wirkungen der einzelnen Fingerelemente darstellen lässt: y (t) = N n= ( ) n w n u(t n) (54) mit der Laufzeit = p=v a zwischen den Fingerelementen und dem Wichtungskoezienten w n des n-ten Segmentes proportional zur Überlappung der jeweiligen Fingerelektroden, siehe Abb. 7. Für u(t) = (t) ((t)-dirac Impuls) erhält man aus Gl.(54) die Impulsantwort y (t) = h(t) wie sie in Abb. 8 skizziert ist. Entsprechend der Laufzeit der SAW unterhalb des Interdigitalwandlers hat die Impulsantwort eine endliche Dauer T = N. Wenn die Zeitskala t 0 so eingeführt wird, dass sich der Impuls von t 0 = T=2 bis t 0 = +T=2 erstreckt und nur die Frequenzkomponenten um f 0 = =2 herum betrachtet werden kann, gilt näherungsweise aus Abb. 8: h(t 0 ) = w (t 0 ) cos(2f 0 t 0 ) (55)

19 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/9 Abb. 6: Praktische Ausführung eines akustischen Oberächenwellenlters. Abb. 7: Interdigitalwandler. mit der quasi-kontinuierlichen Wichtungsfunktion w (t) mit w (t 0 ) = 0 für jt 0 j > T=2. Die Übertragungsfunktion G(j!) ergibt sich als Fouriertransformierte der Impulsantwort h(t 0 ) zu (vergleiche 'Signale und Systeme'): G(j!) = 2 [ W (j(!!0 )) + W (j(! +! 0 )) ] ; (56) wobei W (j!) die Fouriertransformierte von w (t) und! 0 = 2f 0 bezeichnet. Beispiel: Für gleichlange Finger des SAW-Filters sind die Wichtungskoezienten w n konstant, so dass sich die Wichtungsfunktion w (t 0 ) als Rechteckfunktion darstellen lässt: w (t 0 ) = jt 0 j < T 2 0 jt 0 j > T 2 so dass sich für die Übertragungsfunktion ergibt (vergleiche 'Signale und Systeme') ( ) ) T si 2 (!! 0) + si (58) G(j!) = T 2 ( T 2 (! +! 0) mit si(x) = sin(x)=x. Solange wir ein schmalbandiges Filter mit T! 0 betrachten und uns auf positive Frequenzen beschränken, ist der zweite si-term vernachlässigbar und wir erhalten: (57) G(j!)!>0 T 2 si(t (f f 0)) (59)

20 Hochfrequenztechnik II Hochfrequenzlter FI/20 Abb. 8: Impulsantwort (schematisch) eines Interdigitalwandlers. und es ergibt sich als 4 db-bandbreite B (Argument der si-funktion = =2): B = T = 2f 0 N ; (60) die damit genau umgekehrt proportional ist zur Laufzeit der SAW unterhalb des Interdigitalwandlers. Die oben angegebene Übertragungsfunktion beinhaltet nur die Wandlung vom elektrischen ins akustische Signal, so dass die komplette Übertragungsfunktion (elektrisch - akustisch - elektrisch) durch G 2 (j!) beschrieben wird (Annahme gleicher Interdigitalwandler am Ein- und Ausgang) und die Bandbreite B gemäÿ Gl.(60) dann der 8 db-bandbreite entsprechen würde. Beim kompletten SAW-Filter ist zusätzlich noch die elektrische Beschaltung und insbesondere die Kapazität der Interdigitalwandler zu berücksichtigen.