Numerische Behandlung des Eigenwertproblems

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Numerische Behandlung des Eigenwertproblems"

Transkript

1 Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Zusammenfassung Das Ziel dieses Vortrages ist, zwei gute Methoden für die numerische Bestimmung der Eigenwerte zu zeigen und wie man diese mit Matlab anwenden kann (implementieren). Namentlich wären das die Vektoriteration und die QR-Zerlegung. 0. Einleitung Wie wir bereits gesehen haben, benötigt man zum Lösen von den verschiedensten Problemen oft die Eigenwerte (EW) einer Matrix; sei es um die Hauptspannungen einer belasteten Probe auszurechnen oder eine Matrix in der Normalform zu schreiben. Deshalb möchte man die Eigenwerte möglichst gut und einfach berechnen können. In der Praxis geschieht dies natürlich numerisch mittels Computern. Mit der Methode des charakteristischen Polynoms, die wir ja meist anwenden, hat der Computer seine Mühen, besonders wenn die Eigenwerte sehr nahe beieinander liegen. In diesem Fall können unverhältnismässig grosse Fehler entstehen, was gelinde gesagt, nicht wünschenswert ist. Ein Auszug vom Buch Lineare Algebra von K. Nipp auf der Seite 25 soll diese Problematik verdeutlichen: P ( λ) = ( λ.4)( λ 3 2)( λ 2) 3 2 = λ λ λ Das Polynom mit 5-stelliger Numerik ausgerechnet, ist mit 3-stelligen Fehlern behaftet. * 3 = [ λ λ ].6*0 * 3 = [ λ3 λ3 ].3*0 Wobei das die exakten Eigenwerte sind λ =.4 λ = 2 λ 2 2 = [ λ λ ].6*0 * = Zusammenfassend kann man sagen, dass die Methode des charakteristischen Polynoms folgende Nachteile besitzt: - Bei Polynomen höheren Grades ist die Bestimmung der Nullstellen schwer und fehleranfällig - imaginäre Lösungen können auftreten - relativ grosse Fehler bei nah zusammenliegenden EWs - (es werden alle EW ausgerechnet) Es sind also andere Methoden von Nöten, um die EW zu bestimmen. 2 Samuele Laffranchini, Maya Matthias

2 . Vektoriteration.. Vektoriteration für symmetrische Matrizen Die Vektoriteration ist ein Verfahren zur Berechung von Eigenvektoren und Eigenwerten. Es wird dabei jeweils nur der betragsmässig kleinste Eigenwert berechnet, in der Praxis reicht das aber oft aus. Wir betrachten hier nur die Vektoriteration für symmetrische Matrizen, am Beispiel einer 2x2 Matrix A. Für eine solche Matrix A gilt: Alle Eigenwerte sind reell Es existiert eine orthonormale Eigenbasis zu A Aufgrund dieser Voraussetzungen lässt sich ein beliebiger 2x Vektor x a als Linearkombination der beiden normierten Eigenvektoren x () und x (2) der Matrix A schreiben: x a = c a x () + c 2 a x (2) Es gelten ausserdem folgende Identitäten: A x () = λ x () A x (2) = λ 2 x (2) (Definition des Eigenwerts) A x a = A c a x () + A c 2 a x (2) = λ c a x () + λ 2 c 2 a x (2)..2 erste Iteration Wir definieren nun eine Folge von Vektoren x 0, x, x 2,, x k. Der obere Index ohne Klammer bezeichnet den jeweiligen Iterationsschritt. x 0 ist ein zufällig gewählter Startvektor. Es soll nun gelten: A x = x 0 A x 2 = x A x 3 = x 2 Usw. Dies ist unsere Iterationsvorschrift. Für die Iteration muss in jedem Schritt eine Gleichung A x k = x k- mit Hilfe einer LR-Zerlegung gelöst werden, dies führt am Ende zu einem Vektor x k...3 Eigenschaften dieser Iteration Unter Anwendung obiger Identitäten lässt sich die Gleichung schreiben als: λ c x () + λ 2 c 2 x (2) = c 0 x () + c 2 0 x (2) (λ c - c 0 ) x () + (λ 2 c 2 c 2 0 ) x (2) = 0 Da x () und x (2) die Eigenbasis von A bilden, sind sie linear unabhängig und die obige Gleichung wird nur Null, wenn die Koeffizienten gleich Null sind: (λ c - c 0 ) = 0 (λ 2 c 2 - c 2 0 ) = 0 c = (/ λ ) c 0 c 2 = (/ λ 2 ) c 2 0 Samuele Laffranchini, Maya Matthias 2

3 Der Iterationsvorschrift zufolge lässt sich der Vektor: x = c x () + c 2 x (2) also schreiben als: x = (/ λ ) c 0 x () + (/ λ 2 ) c 2 0 x (2) In einem 2. Iterationsschritt können wir x 2 bestimmen: A x 2 = x λ c 2 x () + λ 2 c 2 2 x (2) = c x () + c 2 x (2) Mit der gleichen Rechung wie oben lassen sich wieder c 2 und c 2 2 durch c und c 2 ausdrücken: c 2 = (/ λ ) c c 2 2 = (/ λ 2 ) c 2 c 2 = (/ λ ) 2 c 0 c 2 2 = (/ λ 2 ) 2 c 2 0 Daraus folgt für den Vektor x 2 : x 2 = (/ λ ) 2 c 0 x () + (/ λ 2 ) 2 c 2 0 x (2) = (/ λ ) 2 (c 0 x () + (λ / λ 2 ) 2 c 2 0 x (2) ) Für k Iterationsschritte gilt: x k = (/ λ ) k (c 0 x () + (λ / λ 2 ) k c 2 0 x (2) ) Wir definieren nun λ als den betragsmässig kleinsten Eigenvektor der Matrix A. Dann konvergiert der zweite Term der Summe für k gegen Null, da (λ / λ 2 ) <. Es gilt dann: x k = (/ λ ) k c 0 x () = d x () d ist dabei nur ein Skalar, d.h. die Iteration führt zu einem x k, welches gegen einen Vektor in Richtung des Eigenvektors konvergiert...4 zweite Iteration Mit diesem Wissen modifizieren wir die Iterationsvorschrift so, dass wir jeden iterierten Vektor normieren. Dies spielt vor allem für die spätere Berechnung von λ eine Rolle. Wir starten mit einem normierten x 0 : A x = x 0 A x 2 = (x / x ) A x 3 = (x 2 / x 2 ) usw. Für k gilt dann: (x k / x k )= x () Somit kann man mit dieser Iteration den Eigenvektor zum kleinsten Eigenwert der Matrix A berechnen. Die Iteration wird solange durchgeführt bis die Vektoren (x k / x k ) und (x k- / x k- ) bis zur gewünschten Genauigkeit übereinstimmen. Samuele Laffranchini, Maya Matthias 3

4 Für die Berechnung des Eigenwertes λ zu diesem Eigenvektor, betrachten wir die folgende Gleichung: Für k gross genug gilt: (x k / x k )= x () A(x k / x k )= Ax () (Ax k )/ x k = λ x () (x k- / x k- )/ x k = λ x () ((x k- / x k- )/ x k ) = λ x () / x k = λ (Da x () und (x k- / x k- ) die Norm besitzen) Somit kann man durch die Vektoriteration bis zum k-ten Schritt den kleinsten Eigenwert und den dazugehörigen Eigenvektor berechnen..2 Die Implementierung der Vektoriteration in Matlab.2. Vorgehensweise Um ein Algorithmus erfolgreich zu implementieren, ist es sicher sinnvoll die einzelnen Schritte des Verfahrens in der logischen Reihenfolge zu skizzieren: Zur Erinnerung: Gegeben ist: Gesucht ist: A sei eine beliebige, symmetrische ( A = A T ) Matrix vom Rang r und x 0 sei ein beliebiger Spaltenvektor ( r x ), jedoch kein EV von A Betragsmässig kleinster EW von A Input: Dimension Toleranz Matrix x 0 normieren Gleichungssystem Ax = x 0 nach x lösen Nein x normieren Output: kl. Eigenwert Eigenvektor Ja x mit x 0 vergleichen Genügend genau? Samuele Laffranchini, Maya Matthias 4

5 .2.2 Das Programm Das Schema aus.2. in die Sprache von Matlab übersetzt wäre dann: % Vektoriteration Titel d = 3 legt die Dimension fest A = randn(d,d); erstellt eine dxd Matrix, hier 3x3 A = A'*A; macht sie symmetrisch A = round(0*a) rundet Werte (zwischen 0 und 0) x0 = randn(d,); erstellt zufälliger Spaltenvektor x0 = round(x0) rundet den Spaltenvektor x0 = x0/norm(x0); x0 wird durch seine Norm ersetzt (Normierung) for i=:00 Begin der Schleife (*) x = A\x0; neuer Vektor x n = norm(x); x = x/n; normiert den Vektor x if (abs(x-x0)<.e-5) Abbruchsbedingung, Toleranz break; else x0 = x; Definiert x als neues x0 end (es geht zurück zu (*)) end fprintf('anzahl von Schritten %i\n',i) fprintf('eigenwert ist %f\n',/n) x Ausgabe der benötigten Schritte zeigt den EW zeigt den EV [V D] = eig(a); Kontrollrechnung D(,) zeigt den EW V(:,) zeigt den EV Es muss nicht jeder einzelne Tag (Code) verstanden werden, sondern die Vorgehensweise ist entscheidend. Zeichenerklärung: % kommentiert eine Zeile aus (deaktiviert) ; Unterdrückt die Anzeige dieser Zeile im Output fprintf(' ') Textfeld for Erstellt i Schleifen (i geht von bis 00) break Stoppt die for-schleife if else Wenn (if) die Bedingung erfüllt ist, dann mache dies, sonst (else) mach das. randn Erzeugt eine Zufallszahl norm() Normiert einen Vektor round() Rundet Zahlen [V D] = eig(a) Erstellt eine Matrix V bestehend aus den EV und einer Diagonalmatrix D mit den EW. Hier wurde eine Zufallsmatrix der Dimension d erstellt. Man kann auch eine selbstgewählte (symmetrische) Matrix verwenden. Beispielsweise: A =[ 2 ; 2 ] Die Toleranz oder die Mindestgenauigkeit wird bei if mit: (abs(x-x0)<.e-5) bestimmt. Das Programm läuft bis diese Genauigkeit erreicht wurde (oder i=00). Dass das Programm tatsächlich funktioniert, zeigt das Beispiel im Anhang 3. Samuele Laffranchini, Maya Matthias 5

6 .2.3 Vergleich: Methode des charakteristischen Polynoms und der Vektoriteration Wir kommen zurück zur Methode des charakteristischen Polynoms und möchten diese mit der Vektoriteration vergleichen. Dazu wurde auch die Methode des charakteristischen Polynoms in Matlab implementiert. (Der Quellcode befindet sich im Anhang 3.2) Da es schwer ist Rechenschritt an sich zu zählen, möchten wir die benötigte Zeit der beiden Algorithmen vergleichen. Die Zeit ist schlussendlich ja das entscheidende Effizienzkriterium. Dazu wurde die Zeit mit der Funktion tic toc vom Computer selbst gemessen. Natürlich mussten die beiden Algorithmen die gleiche Zufallsmatrix bearbeiten. Es wurden verschiedene d für die Dimension verwendet. Dabei hat sich herauskristallisiert, dass bei kleinen d beide Algorithmen praktisch gleich schnell sind, hingegen bei grösseren d, die Vektoriteration deutlich schneller ist. Jedoch muss man eingestehen, dass bei der Methode des charakteristischen Polynoms alle Eigenwerte ausgerechnet wurden..2.4 Gesamtbeurteilung der Vektoriteration Somit hat die Vektoriteration gegenüber der Methode des charakteristischen Polynoms folgende Vorteile: - Liefert beliebig genaue Resultate - Geringe Fehleranfälligkeit, keine komplexen Zahlen - Hohe Effizienz - Es wird nur das berechnet, was man wirklich braucht. Eine Schwachstelle des Algorithmus ist, wenn der zufällige Vektor gerade ein Eigenvektor der Matrix ist. Dies ist aber unwahrscheinlich und deshalb nicht weiter störend. Da es aber auch vielfach Fälle gibt, wo man alle Eigenvektoren und alle Eigenwerte einer Matrix ausrechnen will, braucht man noch einen zweiten Algorithmus. 2. QR Algorithmus 2. Ziel QR-Algorithmus: Finden alle Eigenwerte und Eigenvektoren ( auch Komplexe) einer allgemeinen reellen n x n- Matrix Vorwissen aus QR-Zerlegung: Zu jeder m x n-matrix A, mit m > n, existiert eine orthogonale m x m-matrix Q, so dass gilt: A = QR mit R = ( R 0 / 0) Wobei R 0 eine n x n-rechtsdreiecksmatrix ist und 0 die (m-n) x n-nullmatrix. Samuele Laffranchini, Maya Matthias 6

7 2..3 Theorie: Zwei quadratischen Matrizen A und B werden ähnlich genannt, falls es eine reguläre n x n- Matrix T gibt, so dass: B = T - AT In diesen Fall, haben A und B die gleiche Eigenwerte, nämlich, wenn λ Eigenwerte von A ist, und wenn x seine Eigenvektor ist, es gilt: BT - x = T - Ax = λ T - x Beweis: Ist λ Eigenwert von A und x seine Eigenvektor, es gilt Ax = λx Wir müssen beweisen, dass es gilt: B x 2 = λx 2 x x 2 Wir wissen auch dass es gilt: B = T - AT Wir können probieren, diese Gleichung zu benutzen, aber es folgt: T-AT x = λ x!!!!! Diese ist falsch!!! Das T zwischen A und x muss verschwinden! Um diese T zu eliminieren, können wir B multiplizieren nach T -. B T - = T - AT T - = T - AI = T - A Jetzt können wir T - A benutzen: T - Ax = λ T - x = BT - x Wir sehen, dass die Eigenwert von A und B ist gleich, aber die Eigenvektoren sind verschiedene: Eigenvektor von A = x= x Eigenvektor von B = T - x = x 2 Also λ ist auch Eigenwerte von B und seine Eigenvektor ist T - x. Die Methoden, die sie gleichzeitig alle Eigenwerte von einer Matrix zu aproximieren erlauben, sind generell auf die Idee begründet sich die Anfangsmatrix in eine ähnliche Dreiecksmatrix zu verwandeln. Davon entsteht, dass die Eigenwerte von die Diagonalelement dargestellt werden. Die QR-Algorithmus ist das mehr benutzte Methode, um die Eigenwerte zu berechnen, auch, weil das wirksamste ist. Samuele Laffranchini, Maya Matthias 7

8 2..4 QR-Algorithmus: Zerlege: A = Q R Bilde A 2 = R Q [ = Q T AQ ] Dieser zwei Schritte sind die Basis des QR-Algorithmus, findet einmal A, es muss dem gleichen Verfahren folgen, um A 3 A 4, A n zu finden. Je höher n wird, desto genauer sind die gefundene Eigenwerte. In allgemein für das QR-Algorithmus gilt: A k = Q k R k und A k+ = R k Q k Von diese zwei Beziehungen folgt, dass: R k = Q k - A k A k+ = Q k - A k Q k =Q k T A k Q k Also die Matrizen der Folge {A k } sind alle ähnliche, und also haben die gleiche Eigenvektor. Die Matrix A k für k konvergiert zu eine Dreiecksmatrix Die Eigenvektoren: Um die Eigenvektor x (j) der Matrix A zu finden, muss man die folgende Gleichung zu lösen: x (j) = Q y (j) Wobei y (j) ist die Eigenvektor der Matrix A k (und es ist einfach zu berechnen!) und Q = Q *Q 2 *..*Q k ist die Produkt aller orthogonale Matrizen Q i, die wir benutzen haben, um das QR-Algorithmus zu führen Einfach Beispiel: (mit MATLAB durchgeführt) Bestimmen alle Eigenwerte dieser Matrix mit das QR-Algorithmus: A = [ 3 4 ; 4 ] Zerlegung von A : A = Q R = [ ; ] * [ ; ] Bildung von A 2 : A 2 = R Q = [ ; ] Zerlegung von A 2 : A 2 = Q 2 R 2 =[ ; ] * [ ; ] Samuele Laffranchini, Maya Matthias 8

9 Bildung von A 3 : A 3 =R 2 Q 2 = [ ; ] Zerlegung von A 3 : A 3 =Q 3 R 3 = [ ; ] *[ ; ] Bildung von A 4 : A 4 = R 3 Q 3 = [ ; ].. Bildung von A 7 : A 7 = R 6 Q 6 = [ ; ] Jetzt können wir stoppen, weil wir eine hinlänglich Genauigkeit erreichen haben. Die gefundene Eigenwerte sind deshalb 6.23 und Wenn wir mit der Methode der Determinante die Eigenwerte berechnen, erhalten wir die gleiche Resultat. Berechnen nun die Eigenvektoren: Q = [ ; ] y () = [ ; -] y (2) = [ - ; ] Benutzen wir jetzt die Formel x (j) = Q y (j) : x () = [ ; 0.370] x (2) = [ ; ] Samuele Laffranchini, Maya Matthias 9

10 2.2 Beispiele zum QR-Algorithmus [mit Matlab] 2.2. Einfache 2x2-Matrix A = [ 2;2 ] A = 2 2 Kontrolle eig(a) ans = - 3 Eigenwerte: - und 3 Samuele Laffranchini, Maya Matthias 0

11 2.2.. Schrittweise Berechnung [Q R] = qr(a) Q = R = A= Q*R A = A= R*Q A = A3=R2*Q2 A3 = [Q R]= qr(a) Q = R = [Q3 R3]= qr(a3) Q3 = R3 = A2= R*Q A2 = [Q2 R2]=qr(A2) A4=R3*Q3 A4 = usw. Q2 = R2 = Samuele Laffranchini, Maya Matthias

12 Direkte Berechnung mit Matlab A = [ 2;2 ] Matrix A = 2 2 Genauigkeit oder Toleranz tol=.e-5; Maximaler Lauf maxn=00; Titel fprintf('qr Algorithmus\n') QR Algorithmus for i=:maxn [Q R] = qr(a); A= Q'*A*Q; Abbruchbedingung if (abs(a(2,))<tol) Eigenwerte von A ev= diag(a); break end end i = 2 ev = Samuele Laffranchini, Maya Matthias 2

13 2.2.2 Beliebige 5x5 Matrix tol=.e-5; maxn=700; Beliebige 5x5-Matrix B= randn(5,5); Symmetrische Matrix B=B'*B Matrix B = Titel fprintf('qr Algorithmus\n') QR Algorithmus for i=:maxn [Q R]=qr(B); B=Q'*B*Q; if (abs(b(2,))<tol) Samuele Laffranchini, Maya Matthias 3

14 Eigenwerte von B ev=diag(b); break end end i = 26 ev = Kontrolle eig(b) ans = Samuele Laffranchini, Maya Matthias 4

15 3. Anhang 3. Matlab Ausgabe einer Vektoriteration Ein Beispiel einer Vektoriteration mit Matlab d = 4 A = x0 = x = x = x = x = x = Gewählte Dimension Zufällige symmetrische Matrix Zufälliger Startvektor Erste Iteration Zweite Iteration Dritte Iteration Vierte Iteration Fünfte Iteration Anzahl von Schritten 5 Eigenwert ist x = Eigenwert (Lösung) Eigenvektor (Lösung) Samuele Laffranchini, Maya Matthias 5

16 3.2 Programm: Algorithmen-Vergleich Dieses Programm vergleicht die Laufdauer der beiden Methoden. % Parameter festlegen tol =.e-6; maxn = 00; d = 4; % Matrix wird erstellt A = randn(d,d); A = A'*A; A = round(0*a) % Toleranz % Maximale Anzahl Schleifen % Dimension % Erstellt eine beliebige Matrix % Wird symmetrisch gemacht % Eigenwerte ausrechnen % Kontrollrechnung fprintf('genaue Eigenwerte\n') [EV EW] = eig(a); ev = diag(ew) % Gibt die Ews aus % Errechnet die EW mit dem charakteristischem Polynom fprintf('löst mit der Methode des charakteristischen Polynoms\n') tic % Startet Zeitmessung syms lambda p = det(a-lambda*eye(d)); % Das charakteristische Polynom ev = solve(p); % Findet Nullstellen ev = eval(ev) % Gibt die Ews aus toc % Stoppt Zeitmessung % Vektoriteration fprintf('löst mit der Methode der Vektoriteration\n') tic y0 = randn(d,); y0 = y0/norm(y0); for i=:maxn y = A\y0; n = norm(y); y = y/n; if (abs(y-y0)< tol) ev = /n; break; else y0 = y; end end ev toc % Startet Zeitmessung % Zufälliger Startvektor % Normiert % Nächster Vektor % Normiert % Prüft das Stoppkriterium % Stoppt % Neue Itineration % Gibt den EW aus % Stoppt Zeitmessung return Samuele Laffranchini, Maya Matthias 6

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

MC-Serie 11: Eigenwerte

MC-Serie 11: Eigenwerte D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 009 Dienstag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.4 009/06/3 4:55:47 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

3 Matrizenrechnung. 3. November

3 Matrizenrechnung. 3. November 3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

Mehr

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Eigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1)

Eigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) Eigenwerte 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) für einen Vektor x 0. Vektor x heißt ein

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2

Mehr

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012 Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.0 Aufgabe : Entscheiden Sie in dieser Aufgabe, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründungen sind nicht erforderlich. Ein korrekt gesetztes

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme 6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Jörn Loviscach Versionsstand:. März 04, :07 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.jl7h.de/videos.html

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Serie 8: Fakultativer Online-Test

Serie 8: Fakultativer Online-Test Prof Norbert Hungerbühler Lineare Algebra I Serie 8: Fakultativer Online-Test ETH Zürich - D-MAVT HS 215 1 Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen Die Nachbesprechung

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.

Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn. Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +

Mehr

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte : und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b

Mehr

Gliederung. Links-Rechts-Zerlegung Elimination faktorisiert A = L R. Determinante Inverse. Kleinste Quadrate. Lösung durch. Links-Rechts- Zerlegung

Gliederung. Links-Rechts-Zerlegung Elimination faktorisiert A = L R. Determinante Inverse. Kleinste Quadrate. Lösung durch. Links-Rechts- Zerlegung Matrixzerlegungen. 7. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand 29. April 2010 Gliederung Elimination faktorisiert A = L R Die A = L R Faktorisieren: Zerlege A in ein Produkt (einfacherer) Angenommen,

Mehr

1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse

1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung A sei eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen. Zunächst sei n m. Bilde B = A A. Dies ist eine n n-matrix. Berechne die Eigenwerte von B. Diese

Mehr

Einführung in die Programmierung (MA8003)

Einführung in die Programmierung (MA8003) Theorie 2.2: Schleifen, Vektorisierung, bedingte Ausführung Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 05.10.2016 Numerische Mathematik M2

Mehr

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1) 34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)

Mehr

Das QZ-Verfahren. vorgelegt von Janina Gnutzmann. Erstgutachter: Prof. Dr. Steffen Börm Zweitgutachter: Dipl.-Math.

Das QZ-Verfahren. vorgelegt von Janina Gnutzmann. Erstgutachter: Prof. Dr. Steffen Börm Zweitgutachter: Dipl.-Math. Das QZ-Verfahren Bachelor-Arbeit im 1-Fach Bachelorstudiengang Mathematik der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel vorgelegt von Janina Gnutzmann Erstgutachter:

Mehr

Überbestimmte Gleichungssysteme

Überbestimmte Gleichungssysteme Siebente Vorlesung, 8. Mai 2008, Inhalt Überbestimmte Gleichungssysteme Kleinste Quadrate: einfaches Beispiel, elementare Herleitung Normalengleichungen Transformation mit QR-Zerlegung und SVD Nichtlineare

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Lineare Ausgleichsprobleme. Lineare Ausgleichsprobleme. Normalgleichungen. Normalgleichungen

Lineare Ausgleichsprobleme. Lineare Ausgleichsprobleme. Normalgleichungen. Normalgleichungen Wir betrachten in diesem Abschnitt das lineare Ausgleichsproblem Ax b 2 = min! (1) Heinrich Voss voss@tu-harburgde Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation mit gegebenem A R

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01 Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die

Mehr

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2.

Definition. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) n 0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...) gilt Rekursion. Matrix-Formulierung. c 2. Fibonacci-Zahlen als Beispiel Für f = (f n ) = (0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,...) gilt Rekursion erzeugende Funktion f n2 = f n f n (n 0), f 0 = 0, f = f(z) = f n z n = z z z 2 Partialbruchzerlegung mit φ

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Grundlagen der Monte Carlo Simulation

Grundlagen der Monte Carlo Simulation Grundlagen der Monte Carlo Simulation 10. Dezember 2003 Peter Hofmann Inhaltsverzeichnis 1 Monte Carlo Simulation.................... 2 1.1 Problemstellung.................... 2 1.2 Lösung durch Monte

Mehr

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14. Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

8.2 Invertierbare Matrizen

8.2 Invertierbare Matrizen 38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

Der Kern einer Matrix

Der Kern einer Matrix Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis

Mehr

Fakultät für Mathematik und Informatik. Seminar über angewandte Analysis. Sommersemester 2007. Der Kreissatz von Gerschgorin

Fakultät für Mathematik und Informatik. Seminar über angewandte Analysis. Sommersemester 2007. Der Kreissatz von Gerschgorin Fakultät für Mathematik und Informatik Lehrgebiet angewandte Mathematik Prof. Dr. H. Linden Dipl.-Math. H.-J. Schäfer Seminar über angewandte Analysis Sommersemester 2007 Der Kreissatz von Gerschgorin

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21 5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11

Mehr

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016,

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 6, 6.7.6 Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren

Mehr

Orientierung der Vektoren b 1,..., b n. Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelotops

Orientierung der Vektoren b 1,..., b n. Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelotops 15. DETERMINANTEN 1 Für n Vektoren b 1,..., b n im R n definiert man ihre Determinante det(b 1,..., b n ) Anschaulich gilt det(b 1,..., b n ) = Orientierung der Vektoren b 1,..., b n Volumen des von den

Mehr

KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren

KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren Beispiel 3.2. Gesucht u(x), das eine Differentialgleichung vom Typ u (x) + λ(x)u(x) = f(x), x [0,], mit den Randbedingungen u(0) = u() = 0

Mehr

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 $Id: quadrat.tex,v. 9/6/9 4:6:48 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6. Symmetrische Matrizen Eine n n Matrix heißt symmetrisch wenn

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2. Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Orthonormalbasis. Orthogonalentwicklung

Orthonormalbasis. Orthogonalentwicklung Orthonormalbasis Eine Orthogonal- oder Orthonormalbasis des R n (oder eines Teilraums) ist eine Basis {v,..., v n } mit v i = und v i, v j = für i j, d. h. alle Basisvektoren haben Norm und stehen senkrecht

Mehr

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Kapitel 5 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5.1 Einführung Bemerkung 5.1 Aufgabenstellung. Diese Kapitel behandelt numerische Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems. Gegeben sei A R n n.

Mehr

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung 4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung In vielen Anwendungen treten lineare Gleichungssysteme auf, die eine unterschiedliche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten besitzen: Ax

Mehr

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $ Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit

Mehr

Die Top 10 der Algorithmen Der QR-Algorithmus

Die Top 10 der Algorithmen Der QR-Algorithmus Die Top 10 der Algorithmen Der QR-Algorithmus Hans Hansen TU Chemnitz WS 04/05 17. Januar 2005 1 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 3 2 Die Grundidee 3 3 Ähnlichkeitstransformationen

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

45 Eigenwerte und Eigenvektoren

45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.

Mehr

Dünn besetzte Matrizen. Unterschiede in Speicherbedarf und Rechenzeit im Vergleich zu voll besetzten Matrizen. Besetzungsmuster mit spy.

Dünn besetzte Matrizen. Unterschiede in Speicherbedarf und Rechenzeit im Vergleich zu voll besetzten Matrizen. Besetzungsmuster mit spy. 170 005 Übungen zu Numerische Methoden I Fünfte Übungseinheit 21. März, 22. und 23. April 2013 Inhalt der fünften Übungseinheit: Dünn besetzte Matrizen. Unterschiede in Speicherbedarf und Rechenzeit im

Mehr

Erwin Grüner 09.02.2006

Erwin Grüner 09.02.2006 FB Psychologie Uni Marburg 09.02.2006 Themenübersicht Folgende Befehle stehen in R zur Verfügung: {}: Anweisungsblock if: Bedingte Anweisung switch: Fallunterscheidung repeat-schleife while-schleife for-schleife

Mehr

Übungsaufgaben Lösungen

Übungsaufgaben Lösungen Übungsaufgaben Lösungen Stochastische Matrizen, Markov-Prozesse MV5.1 Eine N N-Matrix P heißt stochastisch, wenn ihre Matrixelemente nicht-negativ sind und alle Zeilensummen 1 ergeben. In Formeln: P ij

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

Mehr

Maple-Skripte. A.1 Einleitung. A.2 Explizite Zweischritt-Runge-Kutta-Verfahren. Bei der Ausführung

Maple-Skripte. A.1 Einleitung. A.2 Explizite Zweischritt-Runge-Kutta-Verfahren. Bei der Ausführung A Maple-Skripte A.1 Einleitung Bei der Ausführung mechanischer Rechnungen können Computeralgebra-Programme sehr nützlich werden. Wenn man genau weiß, was eingesetzt, umgeformt, zusammengefaßt oder entwickelt

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe

Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe Teil III Lineare Algebra Inhaltsangabe 3 Lineare Algebra 22 3.1 Einführung.......................... 22 3.2 Matrizen und Vektoren.................... 23 3.3 Spezielle Matrizen...................... 24

Mehr

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Mehr

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter Vorwort Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8 sowie im Buchhandel. Carl Hanser

Mehr

Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades

Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Gleichungen dritten Grades 3 3 Gleichungen vierten Grades 7 1 Einführung In diesem Skript werden

Mehr

Lineare Algebra 2 (SS 13) Blatt 13: Musterlösung

Lineare Algebra 2 (SS 13) Blatt 13: Musterlösung Prof. Dr. B. Hanke Dr. J. Bowden Lineare Algebra 2 (SS ) Blatt : Musterlösung Aufgabe. Es sei C (R) der R-Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf R und : C (R) C (R), f f die Abbildung,

Mehr

1.) Matrix einer linearen Abbildung

1.) Matrix einer linearen Abbildung 1.) Matrix einer linearen Abbildung Aufgaben: 7 restart; with(linearalgebra): Definitionen MATH: Seien und Vektorräume über dem Körper mit Basen und. Wir wollen eine bequeme Art finden, eine lineare Abbildung

Mehr

Taylorentwicklung der k ten Dimension

Taylorentwicklung der k ten Dimension Taylorentwicklung der k ten Dimension 1.) Taylorentwicklung... 2 1.1.) Vorgehenesweise... 2 1.2.) Beispiel: f ((x, y)) = e x2 +y 2 8x 2 4y 4... 3 2.) Realisierung des Algorithmus im CAS Sage Math... 5

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Aufgabe. Welche der folgenden Matrizen 3 0 0 A = 0 4, B = 3, C = 0 0 0 6 0 0 0 sind über R und welche über C diagonalisierbar? Bestimmen Sie dazu

Mehr

Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus

Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus Zurück Letzter Update 7... Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus In der Mathematik bezeichnet man mit Matrix ein rechteckiges Schema, in dem Zahlen oder Funktionen angeordnet werden. Hier

Mehr

Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung.

Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Die heutige Sitzung dient dem ersten Kennenlernen von MATLAB. Wir wollen MATLAB zuerst

Mehr